Programma di Metodi Matematici per l`Ingegneria

Programma di Metodi Matematici per l’Ingegneria
Ingegneria Informatica ed Automatica, Meccanica e delle Telecomunicazioni
A.A. 2007-08
Prof. F. Battelli
1. Funzioni di una variabile complessa. I numeri complessi. Algebra dei numeri complessi.
Rappresentazione cartesiana di un numero complesso. Diseguaglianza triangolare. Potenze e radici dei
numeri complessi. Formula di De Moivre. Esponenziale, logaritmo e funzioni goniometriche nel campo
complesso. Successioni a valori complessi. Convergenza e condizioni equivalenti. Serie di numeri complessi
e loro convergenza. Serie assolutamente convergenti. La serie geometrica. Limiti di funzioni e funzioni
continue. Continuità delle componenti. Continuità delle funzioni elementari. Algebra delle funzioni continue.
Continuità della radice n-esima. Superfici di Riemann del logaritmo e della radice. Funzioni derivabili in
senso complesso. Condizioni di CauchyRiemann e condizioni equivalenti. Condizioni CR in coordinate
polari. Differenziabilità di ez e log z. Algebra delle funzioni differenziabili. Curve regolari e generalmente
regolari in C. Concatenazione di curve. Integrazione di funzioni a valori complessi in un intervallo. Modulo
dell’integrale e integrale del modulo. Integrale lungo un cammino. Teorema di Cauchy. Altre proprietà
dell’integrale di linea. Funzioni olomorfe e forme chiuse. Primitive di una funzione olomorfa e forme esatte.
Criteri di esattezza delle forme chiuse (richiamo). Formula integrale di Cauchy. Integrali di Fresnel. Lemma
del grande cerchio. Funzioni analitiche. Analiticità delle funzioni olomorfe. Raggio di convergenza di una
serie di potenze e della serie delle derivate. Convergenza totale delle serie di potenze. Derivabilità delle
Serie di Potenze. Formula e stima di Cauchy per le derivate. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale
dell’algebra. Zeri delle funzioni analitiche. Principio di identità. Alcune proprietà delle funzioni sin z,
cos z. Discontinuità eliminabili delle funzioni olomorfe. Poli e singolarità essenziali delle funzioni olomorfe.
Funzioni olomorfe in un anello. Serie e coefficienti di Laurent. Derivazione di una serie di Laurent. Dominio
di convergenza delle serie di Laurent. Il teorema dei residui. Richiamo sugli integrali impropri in intervalli
limitati e illimitati. Integrabilità delle funzioni non negative. Funzioni sommabili. Criterio del confronto.
Integrazione di alcune funzioni elementari. Integrabilità e integrabilità assoluta. Lemma di Jordan e del
piccolo cerchio. Calcolo di integrali impropri con il metodo dei residui. Estensione del lemma del piccolo
cerchio. Calcolo di altri integrali impropri. Estensione del Lemma di Jordan ad altri settori circolari. Altre
proprietà delle funzioni olomorfe: teorema dell’indicatore logaritmico. Teorema dell’applicazione aperta e
del max modulo.
2. Trasformate di Fourier e di Laplace. Serie di Fourier nel campo complesso. Trasformata
Fourier di una funzione L1 . Proprietà analitiche e algebriche delle trasformate di Fourier. Calcolo di TdF.
Il teorema della convergenza dominata di Lebesgue. Derivazione sotto il segno di integrale. Inversione
della TdF. Convoluzione e TdF. Gli spazi di Schwartz. La trasformata di Fourier negli spazi di Schwartz.
Uguaglianza di Parseval e identità di Plancherel. TdF di funzioni L2 . Trasformata di Fourier del prodotto
di due trasformate. Funzioni L-trasformabili. Ascissa di convergenza e sue proprietà. La trasformata di
Laplace e sue proprietà. Comportamento asintotico e olomorfia delle TdL. TdL della funzione di Heaviside.
TdL della derivata e delle derivate successive. Uso della TdL per la risoluzione di EDO a coefficienti costanti.
Relazione fra TdL e TdF. Inversione della TdL. Formula del contorno di Bromwhich. TdL della convoluzione.
Ulteriori proprietà algebrico-differenzial delle TdL. Risoluzione di equazioni differenziali con il metodo delle
TdL. Funzione Γ e sua estensione al C. Poli di Γ. Funzione β di Eulero. Relazione fra Γ e β. TdL di tα .
Formula dei complementi. Serie di Laurent del prodotto di due funzioni. Funzioni di Bessel. Equazione di
Bessel e relazione algebrica fra le funzioni di Bessel. TdL delle funzioni di Bessel.
Testi Consigliati.
G.C.Barozzi; Matematica per l’ingegneria dell’informazione; Zanichelli
Spiegel; Variabili Complesse; Coll. Shaum’s 15, Mc Graw Hill.
Spiegel; Trasformate di Laplace; Coll. Shaum’s 27, Mc Graw Hill.