LOGICA MATEMATICA

LOGICA MATEMATICA
Sonia L’Innocente
Corso di Laurea
Informatica e Tecnologie/Informatica Industriale
Argomento 1.
Logica proposizionale
a.a.
2014-2015
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
1 / 83
Introduzione
Outline
1
Introduzione
2
Semantica e valutazioni
3
Cenni di sintassi
4
Connettivi, forme normali
5
Il problema della soddisfacibilità
6
Forme normali e clausole
7
Il Teorema di decomposizione
8
Il Teorema di risoluzione
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Introduzione
Tentativo di definizione
Logica (matematica) = studio del pensiero (matematico)
I grandi della logica:
Una lista sommaria di nomi e motivazioni
Aristotele (il sillogismo)
Leibniz (calculus ratiocinator)
Boole (l’algebra del pensiero, i fondamenti algebrici della logica)
Frege (i fondamenti logici della matematica)
Hilbert (il metodo assiomatico e il Programma)
Godel (i teoremi di incompletezza, i limiti della conoscenza
matematica)
Tarski (che cos’è la verità)
Turing (l’avvento dell’informatica, l’intelligenza artificiale)
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Introduzione
Cerchiamo di capire la struttura di affermazioni arbitrarie e di afferrare
le regole che ne assicurano o ne escludono la verità. Una premessa è
doverosa, per mettere in guardia dalle differenze sottili che talora
separano
• il rigore della logica matematica,
• le convenzioni della lingua comune.
Il primo aiuta a studiare le seconde, ma spesso segue strade proprie.
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Introduzione
Qualche esempio delle ambiguità che distinguono il linguaggio
comune e quello rigoroso della matematica.
• In geometria piana le due affermazioni “q, q’ sono quadrati e “q è un
quadrato e q’ è un quadrato paiono perfettamente equivalenti: l’una e
l’altra sono vere se e solo se, appunto, sia q che q’ sono quadrati.
• Le due affermazioni “Carlo e Camilla sono sposati, “Carlo è sposato
e Camilla è sposata si prestano a interpretazioni diverse, perch nel
linguaggio comune la prima equivale a dire che Carlo e Camilla sono
sposati tra loro, la seconda a sostenere che ciascuno dei due sposato,
ma eventualmente per conto proprio.
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Introduzione
Consideriamo la seguente definizione:
un numero naturale n si dice primo se e solo se n > 1 e, se a è un
naturale ed a divide n, allora a = 1 o a = n.
Analizzando la struttura di questa definizione, si riconoscono
proposizioni fondamentali
n > 1, a è un naturale, a divide n, a = 1, a = n
separate da connettivi
. . . e . . . , se . . . allora . . ., . . . o . . .
Se si indicano con p0 , p1 , p2 , p3 , p4 le proposizioni fondamentali sopra
elencate, e con ∧, →, ∨ i connettivi, la precedente definizione appare
così strutturata:
p0 ∧ ((p1 ∧ p2 ) → (p3 ∨ p4 )).
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Introduzione
La Logica Proposizionale
La logica proposizionale si propone un’analisi generale della ossatura
delle proposizioni matematiche sulle basi sopra accennate.
Introduciamo questa logica. Cominciamo col definirne le formule.
Definizione.
Alfabeto della logica proposizionale è l’insieme dei seguenti elementi:
variabili proposizionali p0 , p1 , . . ., pn , . . . per n naturale;
connettivi
¬ (non), ∧ (e), ∨ (o), → (se ... allora), ↔ (se e solo se);
parentesi ( , ) .
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Introduzione
Gli elementi dell’alfabeto si dicono simboli della logica proposizionale.
Si definisce invece parola una sequenza finita di simboli dell’alfabeto.
Ad esempio, p0 ( )¬∧ è una parola (in verità un po’ disordinata).
Definizione.
L’insieme F delle formule della logica proposizionale è il minimo
insieme di parole dell’alfabeto
• contenente ogni variabile proposizionale pn (per n naturale);
• tale che, se α e β sono in F , allora anche ¬α, α ∧ β, α ∨ β, α → β,
α ↔ β sono in F .
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Introduzione
Esempio.
p0 ∧ ((p1 ∧ p2 ) → (p3 ∨ p4 ))
è una formula. Le parentesi (, ) sono usate nel modo ovvio per evitare
pericoli di confusione ed ordinare le formule più elaborate. Così anche
(p0 ∧ p1 ) ∧ (p2 → (p3 ∨ p4 ))
è una formula, ma è diversa dalla precedente, come le parentesi
appunto testimoniano. In realtà potremmo definire rigorosamente il
ruolo delle parentesi, ma preferiamo qui affidarci al puro buon senso.
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Introduzione
È comunque intuitivamente accettabile che, se α, β e γ ∈ F , le formule
α ∧ (β ∧ γ),
(α ∧ β) ∧ γ,
α ∨ (β ∨ γ),
(α ∨ β) ∨ γ,
come anche
si possano identificare. Scriveremo allora liberamente α ∧ β ∧ γ oppure
α ∨ β ∨ γ. Se poi α0 , . . . , αn ∈ F , le abbreviazioni
^
_
αi ,
αi
i≤n
i≤n
hanno l’ovvio significato
α0 ∧ . . . ∧ αn ,
α0 ∨ . . . ∨ αn .
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Semantica e valutazioni
Outline
1
Introduzione
2
Semantica e valutazioni
3
Cenni di sintassi
4
Connettivi, forme normali
5
Il problema della soddisfacibilità
6
Forme normali e clausole
7
Il Teorema di decomposizione
8
Il Teorema di risoluzione
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Semantica e valutazioni
Le valutazioni della logica proposizionale.
Definizione. Valutazione è una applicazione v dell’insieme
{pn : n ∈ N} di tutte le variabili proposizionali in {0, 1}.
Una valutazione v è, allora, parlando alla buona, un modo di intendere
ogni variabile proposizionale pn come vera o falsa, nel senso che
• v (pn ) = 1 significa che pn è vera per v ,
• v (pn ) = 0 significa che pn è falsa per v .
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Semantica e valutazioni
Ogni valutazione v si può estendere ad una applicazione v
dell’insieme F di tutte le formule in {0, 1} nel modo seguente (che
esprime rigorosamente ragionevoli intuizioni del senso comune):
anzitutto, per ogni n naturale,
v (pn ) = v (pn );
se poi α e β sono formule,
v (¬α) è 1 se v (α) = 0 e 0 altrimenti;
v (α ∧ β) è 1 se v (α) = v (β) = 1 e 0 altrimenti;
v (α ∨ β) è 1 se v (α) oppure v (β) è 1, e 0 altrimenti;
v (α → β) è 1 se v (α) = 0 o v (β) = 1, 0 altrimenti;
v (α ↔ β) è 1 se v (α) = v (β), 0 altrimenti;
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Semantica e valutazioni
La definizione di v (α → β) può forse creare qualche perplessità,
perché è difficile accettare che, quando si pensa che α sia falsa, allora
α → β sia supposta vera indipendentemente da β. Suggeriamo però le
seguenti implicazioni, che sono vere, ed hanno premesse false e
conclusioni l’una falsa e l’altra vera:
se 2 + 2 = 5, allora 3 + 2 = 6,
se 2 + 2 = 5, allora 2 + 2 > 3.
Nel seguito indicheremo v ancora con v per semplificare la notazione.
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Semantica e valutazioni
Definizione.
Siano α ∈ F , v una valutazione. Si dice che v soddisfa α (v |= α) se
v (α) = 1.
In particolare, se α e β appartengono a F , allora si ha:
v |= ¬α se e solo se v 6|= α,
v |= α ∧ β se e solo se v |= α e v |= β,
v |= α ∨ β se e solo se v |= α o v |= β,
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Semantica e valutazioni
v |= α → β se e solo se v 6|= α o v |= β,
v |= α ↔ β se e solo se v |= α esattamente quando v |= β.
Se S è un insieme di formule e v è una valutazione, diciamo che v
soddisfa S (v |= S) se v |= σ per ogni σ ∈ S.
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Semantica e valutazioni
Teorema di coincidenza
Siano α una formula di F , n un naturale tale che le variabili
proposizionali occorrenti in α sono tra p0 , . . . , pn . Siano poi v0 e v1
due valutazioni tali che v0 (pi ) = v1 (pi ) per ogni i ≤ n. Allora v0 |= α se
e solo se v1 |= α.
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Semantica e valutazioni
Dimostrazione.
Si procede per induzione sulla costruzione della formula α.
Se α è una variabile proposizionale, deve essere α = pi per qualche
i ≤ n; ma allora v0 |= pi se e solo se v1 |= pi per ipotesi.
Se α è ¬β per qualche β ∈ F soddisfacente la tesi, allora v0 |= α se e
solo se v0 6|= β e dunque se e solo se v1 6|= β, cioè se e solo se v1 |= α.
Se α è β ∧ γ dove β, γ ∈ F soddisfano la tesi, allora v0 |= α se e solo
se v0 |= β e v0 |= γ, dunque se e solo se v1 |= β e v1 |= γ, cioè se e
solo se v1 |= α.
Gli altri casi α = β ∨ γ, α = β → γ, α = β ↔ γ si trattano in modo
analogo.
a
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Semantica e valutazioni
Definizione.
Una formula α si dice soddisfacibile se e solo se esiste una
valutazione v tale che v |= α.
Enunciamo anche il problema principale che intendiamo studiare
nell’ambito della logica proposizionale.
Problema della soddisfacibilità (per la logica proposizionale).
Determinare un algoritmo per decidere, per ogni formula α, se α è
soddisfacibile o no.
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Semantica e valutazioni
Definizione.
Una formula α si dice valida (o tautologia) se e solo se, per ogni
valutazione v , v |= α.
Allora una formula α è valida se e solo se ¬α non è soddisfacibile.
Definizione. Un insieme S di formule si dice soddisfacibile se e solo
se esiste una valutazione v tale che v |= S (cioè, per ogni formula σ di
S, v |= σ).
Si vede facilmente che, se V
S è un insieme finito di formule, allora S è
soddisfacibile se e solo se σ∈S σ è soddisfacibile. In particolare
l’insieme vuoto è soddisfacibile, anzi è soddisfatto da ogni valutazione.
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Semantica e valutazioni
Equivalenza logica
Definizione. Due formule α e β si dicono logicamente equivalenti se e
solo se, per ogni valutazione v , v |= α esattamente quando v |= β.
In altre parole, α e β sono logicamente equivalenti se e solo se α ↔ β
è una tautologia. Osserviamo poi che la relazione di equivalenza
logica è (a conferma del nome) una relazione di equivalenza
nell’insieme di tutte le formule.
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Semantica e valutazioni
Conseguenza logica
Definizione. Siano S un insieme di formule, α una formula. Si dice
che α è conseguenza di S (S |= α) se e solo se, per ogni valutazione
v , quando v |= S, allora v |= α.
Per S e α come sopra, S |= α se e solo se S ∪ {¬α} non è
soddisfacibile.
V
Se S è finito, S |= α se e solo se la formula σ∈S σ ∧ ¬α non è
soddisfacibile.
Notiamo poi che una formula α è valida se e solo se ∅ |= α.
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Semantica e valutazioni
Segue dalle precedenti osservazioni che, se si dispone di un algoritmo
per il problema della soddisfacibilità, si possono agevolmente costruire
algoritmi per decidere:
1. per ogni formula α, se α è valida o no;
2. per ogni insieme finito S di formule, se S è soddisfacibile o no;
3. per ogni coppia di formule α e β, se α e β sono logicamente
equivalenti o no;
4. per ogni insieme finito di formule S e per ogni formula α, se α è o no
conseguenza di S.
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Semantica e valutazioni
Osservazioni
(i) Siano α, β e γ formule. Sono logicamente equivalenti
α e ¬¬α,
¬(α ∧ β) e ¬α ∨ ¬β,
¬(α ∨ β) e ¬α ∧ ¬β,
α ↔ β e (α → β) ∧ (β → α),
α → β e ¬α ∨ β,
α ∧ (β ∨ γ) e (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ),
α ∨ (β ∧ γ) e (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ).
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Semantica e valutazioni
Osservazioni
(ii) Siano α, β, α0 , β 0 formule tali che α è logicamente equivalente ad
α0 , e β è logicamente equivalente a β 0 . Allora anche le seguenti
formule sono logicamente equivalenti:
¬α e ¬α0 ,
α ∧ β e α0 ∧ β 0 ,
α ∨ β e α0 ∨ β 0 ,
α → β e α0 → β 0 ,
α ↔ β e α0 ↔ β 0 .
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Semantica e valutazioni
Abbiamo prima definito i concetti di insieme soddisfacibile S di
formule, e per conseguenza di un insieme S di formule.
Abbiamo anche osservato che, se si dispone di un algoritmo per il
problema della soddisfacibilità per le formule, è agevole dedurne altri,
uno per controllare la soddisfacibilità di un insieme S di formule, ed
uno per controllare le conseguenze di S, purché S sia finito.
L’ipotesi di finitezza di S è, del resto, assolutamente ovvia nel contesto
di ricerca di algoritmi da applicare nella pratica.
Vogliamo però dimostrare che, in un certo senso, il caso in cui S è
infinito si può ridurre al caso finito.
Vale il seguente teorema.
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Semantica e valutazioni
Teorema di Compattezza
Sia S un insieme infinito di formule. Allora S è soddisfacibile se e solo
se ogni sottoinsieme finito di S è soddisfacibile.
In particolare si ha:
Corollario.
Se S è un insieme infinito di formule e α è una formula, allora α è
conseguenza di S se e solo se esiste un sottoinsieme finito S0 di S
tale che α è conseguenza di S0 .
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Semantica e valutazioni
Dimostrazione del corollario.
Sappiamo che S |= α se e solo se S ∪ {¬α} non è soddisfacibile. Se
vale il Teorema di compattezza, questo equivale ad affermare che
esiste un sottoinsieme finito S1 di S ∪ {¬α} che non è soddisfacibile, e
non c’è perdita di generalità nel supporre ¬α ∈ S1 , cioè
S1 = S0 ∪ {¬α} per qualche sottoinsieme finito S0 di S (infatti, se si
aggiungono nuove formule, come ¬α, ad un insieme già
insoddisfacibile, si ottiene un insieme ancora insoddisfacibile).
Possiamo allora dire che S |= α se e solo se esiste un sottoinsieme
finito S0 di S tale che S0 ∪ {¬α} non è soddisfacibile, cioè tale che
S0 |= α.
a
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Cenni di sintassi
Outline
1
Introduzione
2
Semantica e valutazioni
3
Cenni di sintassi
4
Connettivi, forme normali
5
Il problema della soddisfacibilità
6
Forme normali e clausole
7
Il Teorema di decomposizione
8
Il Teorema di risoluzione
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Cenni di sintassi
Teorema di completezza
Definizione: α dimostrabile
Dato
• un insieme di assiomi (ovvero di formule di F di evidente
sensatezza);
• un insieme di regole di deduzione (ovvero di funzioni che a certe
sequenze ordinate di formule associano nuove formule, ad esempio
(α, α → β) 7−→ β)
si dice che, per ogni formula α e per ogni insieme S di formule, α è
dimostrabile da S ,
S`α
se e solo se esiste una sequenza finita α0 , . . . , αn di formule tali che
αn = α e, per ogni i < n, αi è un assioma o appartiene a S o si ottiene
da formule precedenti tramite le regole di deduzione.
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Cenni di sintassi
Teorema di completezza
È possibile definire in modo opportuno
• un insieme di assiomi;
• un insieme di regole di deduzione;
in modo tale che, ∀α e ∀ insieme S di formule,
S |= α se e solo se S ` α
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Cenni di sintassi
Questo risultato prende il nome di Teorema di completezza. Il suo
significato è chiaro. Sappiamo infatti che, se α è una formula e S è un
insieme di formule, α è conseguenza di S se e solo se ogni
valutazione che crede a S crede anche ad α. Il Teorema di
completezza ci dice che, per una opportuna scelta di assiomi e regole
di deduzione, questo equivale, per ogni S e α, alla possibilità di
dimostrare (nel senso sopra descritto) α da S.
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Connettivi, forme normali
Outline
1
Introduzione
2
Semantica e valutazioni
3
Cenni di sintassi
4
Connettivi, forme normali
5
Il problema della soddisfacibilità
6
Forme normali e clausole
7
Il Teorema di decomposizione
8
Il Teorema di risoluzione
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Connettivi, forme normali
Intendiamo affrontare in questo paragrafo il problema di dare una
definizione rigorosa di connettivo.
Intuitivamente, connettivo (ad esempio ∧) è una costruzione che, a
partire da certe formule (α, β nel nostro caso), definisce una nuova
formula (α ∧ β, appunto).
Della nuova formula non è tanto importante la rappresentazione che
se ne dà, quanto il significato che le si attribuisce, e dunque quando la
si ritiene vera, in relazione naturalmente ai valori di verità assegnati
alle formule che la definiscono.
Vediamo il successivo esempio.
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Connettivi, forme normali
Esempio
∀v , si ha che: v (α ∧ β) = 1 se e solo se v (α) = v (β) = 1. In questo
senso ∧ si identifica con la funzione
f : {0, 1}2 → {0, 1}
tale che
f ((1, 1)) = 1,
f ((0, 0)) = f ((0, 1)) = f ((1, 0)) = 0
o, equivalentemente, tale che, per ogni x0 , x1 ∈ {0, 1},
f ((x0 , x1 )) = v (α ∧ β) dove α e β sono formule e v è una valutazione
tale che v (α) = x0 e v (β) = x1 .
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Connettivi, forme normali
Queste considerazioni suggeriscono la seguente definizione.
Connettivo
Definizione. Sia n un intero positivo. Connettivo n-ario è una funzione
di {0, 1}n in {0, 1}.
Sia α con variabili proposizionali tra p0 , . . . , pn−1 .
Allora α definisce il seguente connettivo n-ario fαn : per ogni scelta di
x0 , . . . , xn−1 ∈ {0, 1},
fαn (x0 , . . . , xn−1 ) = v (α)
dove v è una valutazione tale che v (pi ) = xi ∀i < n
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Connettivi, forme normali
Osservazioni.
Siano α e β due formule con variabili proposizionali tra p0 , . . . , pn−1 .
1. fαn è la funzione non nulla se e solo se α è soddisfacibile.
Spiegazione
Sia infatti α soddisfacibile, e sia v tale che v (α) = 1. Allora
fαn (v (p0 ), . . . , v (pn−1 )) = 1,
e fαn non è la funzione nulla.
Viceversa, assumiamo che esista x = (x0 , . . . , xn−1 ) ∈ {0, 1}n tale
che fαn (x) = 1. Se v è una valutazione tale che v (pj ) = xj per ogni
j < n, si ha v (α) = fαn (x) = 1. Così v |= α.
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Connettivi, forme normali
Osservazioni.
2. fαn = fβn se e solo se α e β sono logicamente equivalenti.
Spiegazione
Supponiamo infatti α e β logicamente equivalenti. Allora, ∀v ,
v (α) = v (β). Sia x ∈ {0, 1}n ; ricordiamo che
fαn (x) = v (α),
fβn (x) = v (β)
dove v è tale che v (pj ) = xj per ogni j < n; dunque fαn (x) = fβn (x).
Segue fαn = fβn .
Supponiamo adesso fαn = fβn . Per ogni v , si ha
v (α) = fαn (v (p0 ), . . . , v (pn−1 )),
v (β) = fβn (v (p0 ), . . . , v (pn−1 )).
Allora v (α) = v (β). Dunque α e β sono logicamente equivalenti.
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38 / 83
Connettivi, forme normali
Siamo ora in grado di dimostrare il seguente teorema.
Teorema.
Siano n ∈ N − {0} e g un connettivo n-ario.
Allora esiste una formula α con variabili proposizionali tra p0 , . . . , pn−1
tale che fαn = g. Inoltre α può essere scelta come una disgiunzione di
congiunzioni di variabili proposizionali o negazioni di variabili
proposizionali.
Osservazione
Il teorma mostra che ∀n ∈ N − {0}e per ogni connettivo n-ario g, ∃ una
formula
costruita con il solo uso di ¬, ∧ e ∨ (addirittura
W αV
α = i≤k j<n λi,j dove ciascun λi,j è pj o la sua negazione) tale che
g = fαn . In particolare i connettivi proposti ¬, ∧, ∨, →, ↔ sono (più che)
sufficienti; anzi ¬, ∧ e ∨ bastano per generare tutti i possibili connettivi.
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39 / 83
Connettivi, forme normali
Definizione.
Una formula α si dice
1. basica se e solo se α è una variabile proposizionale o la sua
negazione;
2. in forma normale disgiuntiva se α è una disgiunzione di
congiunzioni di formule basiche:
α=
W
i≤k
V
j≤ni
λi,j
dove k e ciascun ni (i ≤ k ) sono interi positivi, mentre ciascun λi,j è
una formula basica (si scrive allora α ∈ DNF );
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Connettivi, forme normali
3. in forma normale congiuntiva se α è una congiunzione di
disgiunzioni di formule basiche:
^ _
α=
λi,j
i≤k j≤ni
dove k e ciascun ni (i ≤ k ) sono interi positivi, mentre ciascun λi,j è
una formula basica (si scrive allora α ∈ CNF ).
Un’altra conseguenza del precedente teorema è data dal seguente
corollario.
Corollario.
Sia β una formula. Allora esistono una formula α ∈ DNF e una formula
γ ∈ CNF logicamente equivalenti a β.
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41 / 83
Il problema della soddisfacibilità
Outline
1
Introduzione
2
Semantica e valutazioni
3
Cenni di sintassi
4
Connettivi, forme normali
5
Il problema della soddisfacibilità
6
Forme normali e clausole
7
Il Teorema di decomposizione
8
Il Teorema di risoluzione
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Il problema della soddisfacibilità
È già stato introdotto il problema della soddisfacibilità nella logica
proposizionale, un metodo semplice è il seguente
Le Tavole di verità
Data una formula α,
1. si enumerano le variabili proposizionali p0 , . . . , pn−1 in α;
2. si enumerano tutte le possibili sequenze x0 , . . . , xn−1 che una
valutazione v può associare a p0 , . . . , pn−1 ,
3. per ogni sequenza, si calcola il corrispondente valore di v (α).
α è soddisfacibile se e solo se almeno una volta si ottiene v (α) = 1.
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Il problema della soddisfacibilità
Esempi
1. α è ¬p0 ∨ (p0 → p1 ). Allora α è soddisfacibile.
p0
p1
¬p0
p0 → p1
α
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
In particolare, le valutazioni v per cui v (α) = 1 sono quelle tali che
v (p0 ) = 0 o v (p1 ) = 1.
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Il problema della soddisfacibilità
2.
Sia α la formula (p0 → p1 ) ∧ (p1 → p0 ). Allora α è soddisfacibile.
p0
p1
p0 → p1
p1 → p0
α
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
La formula α è soddisfacibile perché esistono valutazioni che le
associano il valore 1. Tali valutazioni sono quelle v per cui
v (p0 ) = v (p1 ). In particolare α è logicamente equivalente a p0 ↔ p1 .
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Il problema della soddisfacibilità
3.
Sia ora α la formula p0 ∨ (p1 ∧ ¬p2 ). Allora α è soddisfacibile, come
mostra la seguente tabella.
p0
p1
p2
¬p2
p1 ∧ ¬p2
α
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
La formula α è soddisfacibile perché esistono valutazioni che le
associano il valore 1.
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Il problema della soddisfacibilità
4.
Il metodo esposto si può applicare, più in generale, per stabilire la
soddisfacibilità di una formula quale ¬α ∨ (α → β) con α e β in F , in
riferimento, naturalmente, alle valutazioni di α e β. In questo caso si ha
α
β
¬α
α→β
¬α ∨ (α → β)
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
Perciò, per ogni valutazione v , si ha che v soddisfa ¬α ∨ (α → β) se e
solo se v non soddisfa α oppure v soddisfa β. L’esistenza di una tale
valutazione, e quindi la soddisfacibilità di ¬α ∨ (α → β), dipende
ovviamente da α e β.
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Il problema della soddisfacibilità
5.
Per ogni formula α, α ∨ ¬α è valida.
α
¬α
α ∨ ¬α
1
0
0
1
1
1
Dunque, per ogni valutazione v , v soddisfa α ∨ ¬α.
6. Per ogni formula α, α ∧ ¬α non è soddisfacibile.
α
¬α
α ∧ ¬α
1
0
0
1
0
0
Dunque, per ogni valutazione v , v non soddisfa α ∧ ¬α.
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Il problema della soddisfacibilità
7.
Se α e β sono formule, allora α → β e ¬α ∨ β sono logicamente
equivalenti.
α
β
α→β
¬α
¬α ∨ β
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
Allora, per ogni valutazione v , v soddisfa α → β se e solo se v
soddisfa ¬α ∨ β. Di conseguenza le due formule sono logicamente
equivalenti.
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Il problema della soddisfacibilità
8.
Se α e β sono formule, allora β è conseguenza di {α, α → β}.
α
β
α→β
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
1
In particolare, una valutazione v che soddisfa α e α → β soddisfa
anche β.
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Il problema della soddisfacibilità
Metodo efficiente?
Il metodo delle tavole di verità è dunque molto semplice. Ha però un
grave difetto: infatti, se α è una formula con n variabili proposizionali
p0 , . . . , pn−1 , le possibili sequenze (v (p0 ), . . . , v (pn−1 )), quando v
varia tra le valutazioni, esauriscono tutto {0, 1}n , e sono dunque 2n .
L’impostazione della tavola di verità di α richiede 2n passi; segue che il
metodo richiede troppo tempo e troppo spazio quando n è grande.
Si pone il problema di ottenere algoritmi più pratici ed efficienti.
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Forme normali e clausole
Outline
1
Introduzione
2
Semantica e valutazioni
3
Cenni di sintassi
4
Connettivi, forme normali
5
Il problema della soddisfacibilità
6
Forme normali e clausole
7
Il Teorema di decomposizione
8
Il Teorema di risoluzione
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52 / 83
Forme normali e clausole
Nella ricerca di nuovi metodi più veloci per il problema della
soddisfacibilità, possiamo allora cercare intanto un metodo effettivo
per tradurre una arbitraria formula α in una formula in DNF o in CNF
logicamente equivalente ad α. Illustremo tale metodo.
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Forme normali e clausole
Riduzione in DNF o in CNF.
Sia α una formula. Per ottenere una formula in DNF o in CNF
logicamente equivalente ad α si esegue il seguente programma.
(a) Eliminare ↔ in α (basta ricordare che, se β e γ sono due formule,
allora β ↔ γ è logicamente equivalente a (β → γ) ∧ (γ → β)).
(b) Eliminare → (per ogni scelta di β e γ, β → γ è logicamente
equivalente a ¬β ∨ γ).
(c) Eliminare ogni connettivo ¬ che non riguardi direttamente variabili
proposizionali (ricordare che, per ogni scelta di β e γ, sono
logicamente equivalenti ¬¬β e β, ¬(β ∧ γ) e ¬β ∨ ¬γ, ¬(β ∨ γ) e
¬β ∧ ¬γ).
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Forme normali e clausole
Sappiamo che valgono le proprietà distributive tanto di ∧ rispetto a ∨
quanto di ∨ rispetto a ∧: infatti, per ogni scelta di β, γ e δ in F , sono
logicamente equivalenti le formule β ∧ (γ ∨ δ) e (β ∧ γ) ∨ (β ∧ δ),
β ∨ (γ ∧ δ) e (β ∨ γ) ∧ (β ∨ δ)).
Così un semplice trucco per ridurre, dopo il passo (c), la formula α in
DNF è quello di sostituire in α ∨ e ∧ rispettivamente con + e ·, fare i
calcoli come se α fosse un polinomio e, dopo aver ridotto il polinomio
in forma normale (somma di prodotti di variabili proposizionali),
mettere nuovamente ∨ e ∧ al posto di + e ·. Naturalmente, se si
preferisce CNF a DNF , il trucco è lo stesso; basta avere la
precauzione di sostituire stavolta ∧ con + e ∨ con ·. Sintetizzando,
l’ultimo passo del programma di riduzione a DNF o CNF è:
(d) usare le proprietà distributive di ∧ (∨) rispetto a ∨ (∧).
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Forme normali e clausole
Proseguiamo la ricerca di un algoritmo per il problema della
soddisfacibilità. Sia α una formula in CNF , ad esempio:
^ _
α :
λi,j
i≤n j≤mi
con n, mi ∈ N e formule basiche λi,j .
Cambiando notazione, possiamo scrivere α come un insieme (finito e
non vuoto) di insiemi (finiti e non vuoti) di formule basiche ponendo:
α = {{λi,j : j ≤ mi } : i ≤ n}.
In generale, possiamo dare la seguente definizione.
Definizione. Clausola è un insieme finito di formule basiche.
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Forme normali e clausole
Ogni formula in CNF definisce un insieme finito e non vuoto di
clausole non vuote. Esistono altri insiemi finiti di clausole:
• l’insieme vuoto ∅;
• gli insiemi contenenti la clausola vuota.
Nel seguito porremo
= clausola vuota
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Forme normali e clausole
Ricordiamo che, se v è una valutazione e α è una formula di CNF ,
rappresentata nella forma
^ _
λi,j ,
i≤n j≤mi
o anche come insieme finito e non vuoto di clausole non vuote
{{λi,j : j ≤ mi } : i ≤ n},
allora v soddisfa α (v |= α) se e solo se, per ogni i ≤ n, esiste j ≤ mi
tale che v (λi,j ) = 1. Poniamo allora la seguente definizione.
Definizione. Siano v una valutazione, α un insieme finito di clausole.
Si dice che v soddisfa α, e si scrive v |= α, se e solo se, per ogni
k ∈ α, esiste λ ∈ k tale che v (λ) = 1.
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Forme normali e clausole
Inoltre:
• ogni valutazione v soddisfa ∅ (non esiste alcuna clausola in ∅);
• se α è un insieme finito di clausole e ∈ α, allora nessuna
valutazione v soddisfa α (infatti è una clausola di α, ma non esiste
alcun formula basica λ in ).
Possiamo adesso dare la seguente definizione.
Definizione. Diciamo che un insieme finito di clausole α è
soddisfacibile se e solo se esiste una valutazione v che soddisfa α.
Se poi α e α0 sono due insiemi finiti di clausole, diciamo che α0 è
conseguenza logica di α, e scriviamo α |= α0 , se ogni valutazione v
che soddisfa α soddisfa anche α0 . Ad esempio, è facile osservare che,
se α0 ⊆ α, allora α |= α0 .
Finalmente definiamo due insiemi finiti di clausole α e α0 logicamente
equivalenti se sono soddisfatti dalle stesse valutazioni.
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Forme normali e clausole
Lemma.
Siano α un insieme finito di clausole, k ∈ α, λ una variabile
proposizionale tale che tanto λ quanto ¬λ appartengono a k . Allora α
e α − {k } sono logicamente equivalenti.
Dimostrazione.
Se v |= α, si ha v |= α − {k } perché α − {k } ⊆ α. Supponiamo allora
v |= α − {k }; siccome v (λ) = 1 o v (¬λ) = 1, esiste comunque µ ∈ k
tale che v (µ) = 1. Dunque v |= α.
a
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Forme normali e clausole
Possiamo poi assumere che, per ogni clausola k in α e per ogni
variabile proposizionale λ,
λ 6∈ k oppure ¬λ 6∈ k .
Infatti, se α contiene una clausola k tale che, per qualche formula
basica λ, tanto λ quanto ¬λ appartengono a k , allora α è
soddisfacibile se e solo se α − {k } è soddisfacibile.
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61 / 83
Forme normali e clausole
Conviene allora introdurre, a proposito di α e della formula basica λ, la
seguente notazione:
αλ0 = {k ∈ α : λ 6∈ k , ¬λ 6∈ k },
αλ+ = {k ∈ α : λ ∈ k },
αλ− = {k ∈ α : ¬λ ∈ k }
(allora αλ0 , αλ+ , αλ− formano una partizione di α: sono a due a due
disgiunti e αλ0 ∪ αλ+ ∪ αλ− = α); poniamo anche:
Posλ (α) = αλ0 ∪ {k − {λ} : k ∈ αλ+ },
Negλ (α) = αλ0 ∪ {k − {¬λ} : k ∈ αλ− }
(naturalmente, quando λ = ¬µ è la negazione di una variabile
proposizionale, si intende ¬λ = µ)
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Forme normali e clausole
Esempio.
Siano
α = {{p0 , ¬p1 , p2 }, {¬p0 , ¬p1 , p2 }, {p1 , ¬p2 }, {p0 }},
λ = p0 .
Allora
αλ0 = {{p1 , ¬p2 }},
αλ+ = {{p0 , ¬p1 , p2 }, {p0 }},
αλ− = {{¬p0 , ¬p1 , p2 }},
Posλ (α) = {{p1 , ¬p2 }, {¬p1 , p2 }, },
Negλ (α) = {{p1 , ¬p2 }, {¬p1 , p2 }}.
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Il Teorema di decomposizione
Outline
1
Introduzione
2
Semantica e valutazioni
3
Cenni di sintassi
4
Connettivi, forme normali
5
Il problema della soddisfacibilità
6
Forme normali e clausole
7
Il Teorema di decomposizione
8
Il Teorema di risoluzione
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Il Teorema di decomposizione
Teorema (di decomposizione). Siano α un insieme finito di clausole,
λ una variabile proposizionale. Allora α è soddisfacibile se e solo se
Posλ (α) o Negλ (α) è soddisfacibile.
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65 / 83
Il Teorema di decomposizione
Osservazione
Sia α una formula in CNF con variabili proposizionali tra p0 , . . . , pn−1 .
Sappiamo che α è soddisfacibile se e solo se Posλ (α) oppure Negλ (α)
è soddisfacibile. Dunque, per controllare la soddisfacibilità di α, basta
controllare quella di
Pospi (α), Negpi (α),
per qualche i < n; Pospi (α) e Negpi (α) hanno il vantaggio di avere una
variabile proposizionale in meno perché pi non occorre né in Pospi (α)
né in Negpi (α); conviene anzi scegliere i < n tale che pi (o ¬pi ) ha il
massimo numero di occorrenze in α.
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Il Teorema di decomposizione
Corollario 1 (regola della formula basica pura).
Se α ∈ CNF (o, più in generale, α è un insieme finito di clausole), λ è
una formula basica e αλ− = ∅ (cioè ¬λ non occorre mai nelle clausole
di α), allora α è soddisfacibile se e solo se αλ0 è soddisfacibile.
Dimostrazione. Infatti, se α è soddisfacibile, anche αλ0 ⊆ α è
soddisfacibile. Viceversa supponiamo αλ0 soddisfacibile; siccome
αλ− = ∅, Negλ (α) = αλ0 , e dunque Negλ (α) è soddisfacibile. Per il
Teorema di decomposizione, α è soddisfacibile.
a
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67 / 83
Il Teorema di decomposizione
Corollario 2 (regola della clausola unitaria).
Se α ∈ CNF e, per qualche formula basica λ, {λ} è una clausola di α,
allora α è soddisfacibile se e solo se Negλ (α) è soddisfacibile.
Dimostrazione. Se {λ} ∈ α, allora {λ} ∈ αλ+ e dunque = {λ} − {λ}
appartiene a Posλ (α). Segue che Posλ (α) non è soddisfacibile. La tesi
è allora un caso particolare del Teorema di decomposizione.
a
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Il Teorema di decomposizione
Diamo adesso alcuni esempi di applicazione del Teorema di
decomposizione e delle regole di Davis-Putnam.
Esempi
1. Sia dapprima
α = {{¬p0 , ¬p1 , p2 }, {¬p0 , ¬p1 , p3 }, {¬p4 , ¬p5 , p6 },
{¬p6 , ¬p3 , p7 }, {p0 }, {p1 }, {p4 }, {p5 }, {¬p7 }}.
Allora α non è soddisfacibile. Infatti, con uso ripetuto della regola della
clausola unitaria, possiamo vedere che α è soddisfacibile se e solo se
risultano successivamente soddisfacibili i seguenti insiemi finiti di
clausole:
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Il Teorema di decomposizione
{{¬p1 , p2 }, {¬p1 , p3 }, {¬p4 , ¬p5 , p6 }, {¬p6 , ¬p3 , p7 },
{p1 }, {p4 }, {p5 }, {¬p7 }},
e poi
{{p2 }, {p3 }, {¬p4 , ¬p5 , p6 }, {¬p6 , ¬p3 , p7 }, {p4 }, {p5 }, {¬p7 }},
{{p2 }, {¬p4 , ¬p5 , p6 }, {¬p6 , p7 }, {p4 }, {p5 }, {¬p7 }},
{{p2 }, {¬p4 , p6 }, {¬p6 , p7 }, {p4 }, {¬p7 }},
{{p2 }, {p6 }, {¬p6 , p7 }, {¬p7 }},
{{p2 }, {p6 }, {¬p6 }},
{{p2 }, }
(si considerino nell’ordine le clausole unitarie {p0 }, {p1 }, {p3 }, {p5 },
{p4 }, {¬p7 }, {p6 }). L’ultimo insieme di clausole non è soddisfacibile
perché contiene .
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Il Teorema di decomposizione
2.
Sia adesso
α = {{p0 , p1 , ¬p2 , p3 }, {¬p0 , ¬p1 , ¬p2 , p3 }, {¬p0 , ¬p1 , ¬p2 }}.
−
Siccome α¬p
= ∅, si può usare la regola della formula basica pura per
2
0
λ = ¬p2 . Dato che α¬p
= ∅ è soddisfacibile, anche α lo è.
2
3. Finalmente consideriamo
α = {{p0 , ¬p1 }, {p0 , p2 }, {¬p0 , ¬p1 }, {¬p0 , p3 }, {p1 , ¬p2 }, {p1 , ¬p3 }}.
Applicando il Teorema di decomposizione per λ = p0 , si ha che α è
soddisfacibile se e solo se uno dei seguenti insiemi è soddisfacibile:
Posp0 (α) = {{¬p1 }, {p2 }, {p1 , ¬p2 }, {p1 , ¬p3 }},
Negp0 (α) = {{¬p1 }, {p3 }, {p1 , ¬p2 }, {p1 , ¬p3 }}.
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Il Teorema di decomposizione
Consideriamo dapprima Posp0 (α); con la regola della clausola unitaria
applicata a p2 , si ottiene:
{{¬p1 }, {p1 }, {p1 , ¬p3 }},
da cui si passa, ancora con la regola della clausola unitaria, stavolta
applicata a p1 , a {}, che è non soddisfacibile. Segue che Posp0 (α)
non è soddisfacibile. Allo stesso modo si vede che anche Negp0 (α)
non è soddisfacibile (basta ripetere i passaggi per Posp0 (α) invertendo
i ruoli di p2 e p3 ). Dunque neppure α lo è.
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Il Teorema di decomposizione
Algoritmo per il problema della soddisfacibilità suggerito dal
Teorema di Decomposizione
Data formula α in CNF , con variabili proposizionali tra p0 , . . . , pn−1 , è
o no soddisfacibile: determinare prima
Posp0 (α),
Negp0 (α)
(che hanno variabili proposizionali tra p1 , . . . , pn−1 ), poi
Posp1 (Posp0 (α)),
Negp1 (Posp0 (α))
Posp1 (Negp0 (α)),
Negp1 (Negp0 (α)),
e
(che hanno variabili proposizionali tra p2 , . . . , pn−1 ), e così via. Si
determina in questo modo un albero 2-adico con n livelli e, quindi, 2n
rami. Al termine di ciascun ramo si trova un insieme finito di clausole
non contenenti alcuna formula basica, dunque coincidenti con ∅
oppure con {}.
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Il Teorema di decomposizione
Algoritmo per il problema della soddisfacibilità suggerito dal
Teorema di Decomposizione
Per il Teorema di decomposizione, α è soddisfacibile sse, ad ogni
livello dell’albero, almeno un nodo è soddisfacibile. Ricordiamo che ∅ è
soddisfatto da ogni valutazione, mentre {} non è soddisfacibile.
α è soddisfacibile se e solo se al termine di almeno un ramo si trova ∅.
In particolare il metodo richiede, se α ha n variabili proposizionali, di
esplorare 2n rami di un albero. Si presta perciò alle medesime critiche
delle tavole di verità: è, in generale, troppo lento. Naturalmente, in casi
particolari (come quelli relativi agli esempi precedenti), l’uso del
Teorema di decomposizione e delle regole di Davis-Putnam permette
un rapido controllo della soddisfacibilità della formula proposta.
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Il Teorema di risoluzione
Outline
1
Introduzione
2
Semantica e valutazioni
3
Cenni di sintassi
4
Connettivi, forme normali
5
Il problema della soddisfacibilità
6
Forme normali e clausole
7
Il Teorema di decomposizione
8
Il Teorema di risoluzione
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75 / 83
Il Teorema di risoluzione
Definizione.
Siano k1 , k2 due clausole, λ una variabile proposizionale tale che
λ ∈ k1 e ¬λ ∈ k2 . Si dice risolvente di k1 e k2 rispetto a λ, e si indica
con resλ (k1 , k2 ), la clausola (k1 − {λ}) ∪ (k2 − {¬λ}).
Esempio. Siano k1 = {p0 , p1 }, k2 = {¬p0 , p2 }, λ = p0 . Allora
resλ (k1 , k2 ) = {p1 , p2 }.
Si noti che, per ogni valutazione v , se v |= {k1 , k2 }, allora v (p1 ) = 1
oppure v (p2 ) = 1, e dunque v |= {resλ (k1 , k2 )}.
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Il Teorema di risoluzione
Lemma 1.
Siano k1 , k2 clausole, λ una variabile proposizionale tale che λ ∈ k1 e
¬λ ∈ k2 . Allora {k1 , k2 } |= {resλ (k1 , k2 )}.
Risolvente di una formula
Sia α ∈ CNF (o, più in generale, sia α un insieme finito di clausole), e
sia λ una variabile proposizionale. Poniamo
RESλ (α) = αλ0 ∪ {resλ (k1 , k2 } : k1 ∈ αλ+ , k2 ∈ αλ− }.
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Il Teorema di risoluzione
Lemma 2.
Siano α ∈ CNF (o comunque un insieme finito di clausole), λ una
variabile proposizionale. Allora α è soddisfacibile se e solo se
RESλ (α) è soddisfacibile.
Dimostrazione. (=⇒) Proviamo che, addirittura, ogni valutazione v che
soddisfa α soddisfa anche RESλ (α). Sia k ∈ RESλ (α), cerchiamo
µ ∈ k tale che v (µ) = 1. Se k ∈ αλ0 , allora k ∈ α, e la tesi è ovvia. Sia
allora k = resλ (k1 , k2 ) con k1 ∈ αλ+ e k2 ∈ αλ− . Allora {k1 , k2 } ⊆ α,
dunque v |= {k1 , k2 }. Per il Lemma 1, v |= {k }, ovvero esiste µ ∈ k
tale che v (µ) = 1.
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Il Teorema di risoluzione
Dimostrazioen del Lemma 2 (seconda parte)
(⇐=) Per il Teorema di decomposizione, basta provare che, se v è una
valutazione che soddisfa RESλ (α), allora v soddisfa Posλ (α) oppure
Negλ (α). Dunque supponiamo che v |= RESλ (α) ma v 6|= Posλ (α), e
dimostriamo che, in questo caso,
v |= Negλ (α) = αλ0 ∪ {k2 − {¬λ} : k2 ∈ αλ− }. Chiaramente v |= αλ0
perché αλ0 ⊆ α. Sia ora k2 ∈ αλ− ; sappiamo che esiste k ∈ Posλ (α) tale
che, per ogni µ ∈ k , v (µ) = 0, e, siccome v |= αλ0 , deve essere
k = k1 − {λ} per un’opportuna clausola k1 ∈ αλ+ . Per ipotesi
v |= {resλ (k1 , k2 )}, cioè esiste µ ∈ resλ (k1 , k2 ) tale che v (µ) = 1; ma
non può essere µ ∈ k1 − {λ} = k , dunque µ ∈ k2 − {λ}. In
conclusione, v |= Negλ (α).
a
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Il Teorema di risoluzione
Il lemma 2 suggerisce già un algoritmo per controllare la
soddisfacibilità di una formula α ∈ CNF .
Se le variabili proposizionali di α sono tra p0 , . . . , pn−1 , si costruiscono
successivamente
α0 = α
e, per ogni i con 0 < i < n,
αi+1 = RESpi (αi ).
Allora, per ogni i < n, le variabili proposizionali nelle clausole di αi
sono tra pi , . . . , pn−1 , e αi è soddisfacibile sse lo è α.
Le clausole di αn non contengono alcuna variabile proposizionale, e
dunque αn = ∅ oppure αn = {}. Se αn = ∅, allora α è soddisfacibile,
mentre, se αn = {}, α non è soddisfacibile.
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Il Teorema di risoluzione
Definizione.
Sia α ∈ CNF . Si dice confutazione di α una sequenza finita k0 , . . . , km
di clausole tali che km = e, per ogni i ≤ m, ki ∈ α o esistono j, h < i
ed una variabile proposizionale λ tali che λ ∈ kj , ¬λ ∈ kh e
ki = resλ (kj , kh ).
Teorema di risoluzione.
Sia α ∈ CNF . Allora α non è soddisfacibile sse esiste una
confutazione di α.
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Il Teorema di risoluzione
Esempio.
Sia
α = {{¬p0 , ¬p1 , p2 }, {¬p0 , ¬p1 , p3 }, {¬p4 , ¬p5 , p6 },
{¬p6 , ¬p3 , p7 }, {p0 }, {p1 }, {p4 }, {p5 }, {¬p7 }}.
Abbiamo già provato, con l’uso delle regole di Davis-Putnam, che α
non è soddisfacibile. Ecco una confutazione di α:
k0 = {¬p0 , ¬p1 , p3 } ∈ α,
k1 = {¬p6 , ¬p3 , p7 } ∈ α,
k2 = {¬p0 , ¬p1 , ¬p6 , p7 } = resp3 (k0 , k1 ),
k3 = {p0 } ∈ α,
k4 = {¬p1 , ¬p6 , p7 } = resp0 (k3 , k2 ),
k5 = {p1 } ∈ α,
k6 = {¬p6 , p7 } = resp1 (k5 , k4 ),
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Il Teorema di risoluzione
k7 = {¬p7 } ∈ α,
k8 = {¬p6 } = resp7 (k6 , k7 ),
k9 = {¬p4 , ¬p5 , p6 } ∈ α,
k10 = {¬p4 , ¬p5 } = resp6 (k9 , k8 },
k11 = {p4 } ∈ α,
k12 = {¬p5 } = resp4 (k11 , k10 ),
k13 = {p5 } ∈ α,
k14 = = resp5 (k13 , k12 ).
Si può comunque mostrare che anche il metodo ora descritto, per
quanto più rapido dei precedenti in qualche caso particolare ha tuttavia
lo stesso difetto: è troppo lento.
Sonia L’Innocente
Sonia L’Innocente (Camerino)
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