Esercizio 1 - [email protected]

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Esercizio 1
Siano A e B due eventi tali che P A  0.3 , PB  0.4 .
Calcolare PA  B  e P A  B nell’ipotesi che:
a) A e B siano indipendenti
b) A e B siano incompatibili
Soluzione
Per la legge di de Morgan
A  B  A  B  P A  B   P A  B   1  P A  B 
A  B  A  B  P A  B   P A  B   1  P A  B 
con P A  B  P A  PB  P A  B
a) Nell’ipotesi di indipendenza statistica P A  B  P APB , quindi
PA  B   P A  B   1  P A  B  = 1  P A  PB  P APB  0,42
PA  B   P A  B   1  P APB   0.88
b) Nell’ipotesi che A e B siano incompatibili P A  B  0 , quindi
PA  B   P A  B   1  P A  B   1  P A  PB   0.3
PA  B   P A  B   1  P APB   1
Esercizio 2
Siano A e B due eventi tali che P A  0.4 , PB   0.6 , P A  B  0.5 . Calcolare:
a) P A  B
b) PA  B 
c) PA | B 
Soluzione
a) P A  B = P A  PB  P A  B  0.4  0.4  0.5  0.3
b) B   A  B   A  B   PB   P A  B   PA  B  
PA  B   PB   P A  B   0.1
c) PA | B  
PA  B  0.1

PB 
0.4
Esercizio 3
Considerate due eventi A e B tali che P A  B  0.7 , PA   0.8 , PB  0.6 . Dite se A e B
sono stocasticamente indipendenti
Soluzione
A e B sono stocasticamente indipedenti se P A  B  P APB
P A  B  P A  PB  P A  B  0.2  0.6  0.7  0.1  P APB  (0.2)(0.6)
A e B non sono stocasticamente indipedenti
Esercizio 4
Siano A e B due eventi tali che P A | B  PB | A . Si dica, giustificando la risposta, se A e B
hanno oppure no la stessa probabilità.
Soluzione
P A  B 
P A  B 
 P B  
P A | B  
P B 
P A | B 
P A  B 
P A  B 
 P A 
P  B | A 
P  A
PB | A
Quindi P A  PB
Esercizio 5
In un gioco si devono lanciare contemporaneamente un dado e una moneta.
a) Descrivere lo spazio degli eventi elementari 
b) Descrivere l’evento “Vinco il gioco” come sottoinsieme di  e determinarne la probabilità
nell’ipotesi che la vincita si abbia se si presenta
I caso: “Croce e punteggio pari” e “croce e punteggio maggiore o uguale a 3”
II caso: “Croce e punteggio pari” oppure “Croce e punteggio maggiore o uguale a 3”
Soluzione
a)  = T , i , C, i , i  1,,6 card()  12
b) A=”vinco il gioco”
I caso B1  “Croce e punteggio pari”= C,2, C,4, C,6
B2  “croce e punteggio maggiore o uguale a 3”= C,3, C,4, C,5C,6
A= B1  B2 = C,4, C,6
n casi favorevoli card(A) 2
P  A 


n casi possibili
card() 12
II caso
B1  “Croce e punteggio pari”= C,2, C,4, C,6
B2  “croce e punteggio maggiore o uguale a 3”= C,3, C,4, C,5C,6
A= B1  B2 = C,2, C,3C,4, C,5, C,6
n casi favorevoli card(A) 5
P  A 


n casi possibili
card() 12
Esercizio 6
In uno scompartimento di un treno vi sono 6 persone, di cui tre provengono da Roma, una da Milano e
2 da Palermo. Scelte a caso, senza reimmissione, due persone
a) Descrivere lo spazio degli eventi elementari 
Determinare la probabilità che
b) la prima provenga da Milano e la seconda da Palermo
c) la seconda provenga da Milano
d) almeno una provenga da Milano
Soluzione
a)   ( RM ), ( RP), ( RR), (MP), (MR), ( PM ), ( PR), ( PP) card(  )=8
 2  1  2
b) P{(MP)}= P( M 1  P2 )  PP2 | M 1 P( M 1 )     
 5  6  30
c) P{(PM)}+P{(RM)}=
 PP1  M 2   P( R1  M 2 )  PM 2 | P1 PP1   PM 2 | R1 PR1  
 1  2   1  3  5
        
 5  6   5  6  30
d) P(almeno una provenga da Milano)=1-P(nessuna provenga da Milano)
“nessuna provenga da Milano”={(RP),(RR),(PR),(PP)}
P(nessuna provenga da Milano)=P{(RP)}+ P{(RR)}+ P{(PR)}+ P{(PP)}=
PP2 | R1 P( R1 )  PR2 | R1 P( R1 )  PR2 | P1 P( P1 )  PP2 | P1 P( P1 ) 
=  2  3   2  3   3  2   1  2  20
                
 5  6   5  6   5  6   5  6  30
P(almeno una provenga da Milano)=
1
3
Esercizio 7
Si supponga che in un’urna vi siano 2 palline bianche, 5 rosse e 3 nere
a) Si estraggono 2 palline senza reimmissione. Si calcoli la probabilità di ottenere due palline bianche
b) Si supponga che l’estrazione avvenga con reimmissione. Si calcoli la probabilità di ottenere due
palline bianche
Soluzione
Indichiamo con B i l’evento “l’i-esima pallina estratta è bianca” per i=1,2
1 2
1

a) PB1  B2   PB2 | B1 PB1  
9 10 45
2 2
1

c) Gli eventi B1 e B2 sono indipendenti: PB1  B2   PB1 PB2  
10 10 25
Esercizio 8
Una popolazione si compone per il 40% di uomini e per il 60% di donne.Si sa che il 40% delle donne e
il 45% degli uomini sono fumatori. Qual è la probabilità che un individuo scelto a caso sia fumatore?
Soluzione
PU   0.40, P D  0.6,
 
PF | U   0.45 PF | D   0.4
Applico il teorema delle probabilità totali
PF   PF | U PU   PF | DPD  0,450,40  0,40,6  0,42
Esercizio 9
Cento pazienti sono trattati con i farmaci F1 , F2 , F3 e precisamente quarantacinque sono trattate con
F1 , venticinque con F2 , trenta con F3 . Le probabilità di guarire assumendo i farmaci Fi è pari,
rispettivamente, a 0.3, 0.55, 0.6. Sapendo che un paziente è guarito, qual è la probabilità che sia stato
trattato con il farmaco F2 ?
Soluzione
PF1   45 / 100  0.45, PF2   25 / 100  0.25, PF2   30 / 100  0.3
PG | F1   0.3, PG | F2   0.55, PG | F3   0.6
Si tratta di calcolare PF2 | G  . Utilizzo il teorema di Bayes
PF2 | G  
PG | F2 PF2 
0.550.25
=0,304









0
.
3
0
.
45

0
.
55
0
.
25

0
.
6
0
.
3
 PG | Fi PFi 
3
i 1

Esercizio 10
Da un’urna contenente 80 palline numerate da 1 a 80, vengono estratte senza reimmissione 4 palline.
a) Qual è la probabilità di estrarre la quaterna (1,3,4,2)?
b) Qual è la probabilità di estrarre i numeri 1,3,4,2 in un ordine qualunque?
Soluzione
quaterne ordinate (1 ,  2 ,  3 ,  4 ) tale che gli  i sono diversi tra loro 


e possono assumere valori interi da 1 a 80

80
!
card ()  card ( D480 ) 
76!
a) A={(1,3,4,2)} rappresenta un evento elementare  i
n casi favorevoli card(A) 76 !


n casi possibili
card() 80 !
b)A.={    | 1 , ,  5   1, ,4 in un ordine qualunque}
P(A)=P{(1,3,4,2)}=
card ( A)  card ( P4 )  4 !
n casi favorevoli card(A) 4 ! 76 !


P(A)=
n casi possibili
card()
80 !
Esercizio 11
Da un’urna contenente 80 palline numerate da 1 a 80, ne vengono estratte 4 con reimmissione. Qual è
la probabilità di estrarre almeno due palline uguali?
Soluzione
  S 4 dove S  1,2,3,4, cioè
   (1 ,  2 ,  3 ,  4 ) tale che  i può assumere valori interi da 1 a 80
Si ha card ()  80 4
A={    ;  ha almeno due componenti uguali}
A  {    ;  ha tutte le componenti diverse}
80 !
card ( A )  card ( D480 ) 
76 !
card(A)
n casi favorevoli
80 !
P(A)= 1-P( A )=1=0.073
1
1 4
n casi possibili
card()
80 76 !
Esercizio 12
Una maestra con una classe di 30 alunni, di cui 17 femmine e 13 maschi, deve sceglierne 5 per
svolgere una ricerca. Qual è la probabilità di scegliere tre maschi e due femmine?
Soluzione
 è l’insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di 5 elementi nell’insieme dei 30 alunni, cioè
  cinquine (1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 ) tale che gli  i sono diversi tra loro 
 30  30 !
card ()  card (C530 )    
 5  5 !25
A={    ;  è composto di 3 maschi e 2 femmine } cioè A è l’insieme di tutti gli eventi elementari
con 3 elementi estratti dal gruppo dei maschi (di numerosità 13) e 2 elementi estratti dal gruppo delle
femmine (di numerosità 17)
1317 
card (A)    
 3  2 
1317 
  
n casi favorevoli card(A)  3  2 
P(A)=
=0.273


n casi possibili
card()
 30 
 
5 
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