1) Due blocchi di massa m1= 2 kg e m2 = 1 kg, sono posti su un piano orizzontale privo di
attrito a contatto fra di loro,: una forza orizzontale F = 6 N è applicata al blocco di massa
m1 e spinge l’insieme dei due. Determinare l’accelerazione con cui si muovono i due
blocchi e la forza di contatto fra i due.
1
2
F
2) Un mattone di massa m = 5 Kg è posto a contatto di una parete verticale scabra e si trova
ad un’altezza dal suolo h = 1.8 m. Esso è mantenuto fermo da una forza F che lo preme
contro la parete; F forma un angolo q = p/3 rispetto alla perpendicolare alla parete e la
sua componente verticale è rivolta verso l’alto. Sapendo che il coefficiente di attrito fra
mattone e parete è m = 0.6 , calcolare: a) il valore massimo e minimo di F per cui si ha
equilibrio, b) per F pari alla metà del valore minimo precedentemente trovato calcolare
l’accelerazione con cui si muove il mattone, il tempo che impiega a giungere a terrra e la
corrispondente velocità.
2
1
q
F
F
3) Due blocchi, denominati 1 e 2, di massa rispettivament m1 = 6 Kg e m2 = 4 Kg sono
collocati uno sopra l’altro. Il blocco 1 poggia su un piano orizzontale liscio , mentre il
blocco 2 è posto sopra il blocco 1. Fra i due blocchi vi è attrito ed il coefficiente di attrito
statico è m = 0.8 ; al blocco 1 è applicata una forza orizzontale F. a) Determinare il
massimo valore FM che può assumere F affinchè i due blocchi si muovano in modo
solidale. b) Determinare l’accelerazione con cui si muovono i due blocchi per F = FM /2.
4) Nel sistema del problema 3) si suppone che le dimensioni del blocchetto 2 siano
trascurabili e che il blocchetto 1 sia di forma cubica di lato l = 15 cm. Il sistema è
inizialmente fermo, con il punto 2 nel centro della faccia superiore del blocco 1, e a
quest’ultimo viene applicata una forza F = 2FM. a) Si determini l’istante in cui il punto 2
casca dal bloccco 1, e in corrispondenza la sua velocità e la sua distanza dalla posizione
iniziale. b) Si determini il moto successivo della massa 2 ed in particolare a quale
distanza dalla sua posizione iniziale urta il piano orizzontale
5) Due blocchi di massa m1= 3 kg e m2 = 2 kg, sono posti su un piano inclinato scabro che
forma un angolo q con l’orizzontale e sono collegati rigidamente da una sbarra, parallela
al piano inclinato e di massa trascurabile (*), con m1 sopra m2; i coefficienti di attrito dei
due blocchi con il piano sono rispettivamente m1= 0.5 e m 2 = 0.6. a) calcolare il valore
massimo dell’angolo q per cui si ha equilibrio. b) per q = p /6 calcolare l’accelerazione
dei due blocchi e la forza esercitata dalla sbarra sul blocco 2. c) dire che cosa cambia
nelle risposte alle precedenti domande se si scambiano fra di loro i due blocchi. d) dire
che cosa cambia nelle risposte alle precedenti domande se si sostituisce la sbarra con una
funicella. (* come conseguenza della disposizione della sbarra e della sua massa nulla si
può dimostrare che le forze applicate dalla sbarra ai due blocchi sono parallele alla sbarra
medesima e di uguale modulo. Si faccia quindi questa ipotesi.).
1
1
1
2
q
6) Un blocco 1 di massa m1 = 500 gr è posto su un piano scabro, inclinato di un angolo q =
30° rispetto all’orizzontale, e il coefficiente di attrito relativo è m = 0.3 ; esso si trova ad
una certa distanza dal bordo superiore del piano inclinato ed è collegato, tramite una
funicella passante per una piccola carrucola, ad una massa m2 che pende liberamente
lungo la verticale; si suppone inoltre che il tratto di funicella che va dal blocco 1 alla
carrucola sia parallelo al piano inclinato . a) Determinare il valore massimo e minimo di
m2 per cui il sistema è in equilibrio e le corrispondenti tensioni della funicella. b) Con una
massa m2 pari al doppio del valore massimo trovato in a) calcolare l’accelerazione con
cui si muove il sistema e la tensione della funicella.
M m1
m2
q
7) Data una molla, di costante elastica K = 104 N/m e lunghezza a riposo l0 = 20 cm, di
estremi O e A, si collega ad A una massa m = 200 gr mentre O viene collegato ad un
perno. Il sistema viene posto in rotazione, con velocità angolare costante, attorno al perno
in O su un piano orizzontale privo di attrito. Calcolare l’allungamento della molla e la
forza agente sul perno quando la massa m compie 10 giri al secondo.
8) Un punto materiale P di massa m = 200 gr è collegato tramite una funicella ad una massa
M. Mediante un opportuno supporto O , in cui la funicella può scorrere liberamente, si
realizza una condizione di equilibrio dinamico: la massa M è ferma e pende liberamente
lungo la verticale passante per O mentre P si muove di moto circolare uniforme attorno
all’asse verticale passante per O in una configurazione in cui il tratto di funicella che va
da O a P è l = 75 cm e forma con la verticale un angolo q = p/6. a) Determinare la
velocità angolare di P ed il valore di M. b) Con la stessa massa M si riduce la lunghezza
del tratto di funicella OP a l’= 50 cm realizzando una nuova situazione di equilibrio
dinamico. Calcolare il lavoro necessario per passare dalla prima alla seconda delle due
configurazioni.
O
q
l
P
M
9) Una massa puntiforme m = 200 gr è attaccata all’estremità P di una cordicella
ideale OP di lunghezza l = 50 cm. a) Calcolare la tensione della funicella quando
la massa m pende liberamente lungo la verticale. b) Calcolare la tensione della
funicella quando essa viene utilizzata per imprimere un’accelerazione a = 3 m/s2 ,
diretta verso l’alto o verso il basso, alla massa m. c) Calcolare la tensione della
funicella, in funzione della velocità angolare w, quando la massa m viene fatta
ruotare attorno ad O, in un piano verticale. Si calcoli in particolare il suo valore
nel punto più alto e più basso della traiettoria per w = 6 rad/s.
10) Una massa m = 125 gr, di dimensioni trascurabili, è appesa all’estremità P di una
funicella ideale di lunghezza l = 1 m il cui altro estremo O è appeso al soffitto di un
vagone ferroviario. Supposto che il vagone si muova con accelerazione costante A = 5
m/s2 si calcoli: a) la tensione della funicella e l’angolo che essa forma rispetto alla
verticale quando il pendolo è fermo rispetto al vagone; b) il periodo delle piccole
oscillazioni, attorno alla posizione di equilibrio, e la sua variazione percentuale rispetto al
periodo che ha il pendolo quando il vagone si muove con velocità costante.
11) Sul pavimento, liscio, di un vagone ferroviario è posta una massa m = 100 gr
collegata ad una molla, di costante elastica K = 10 N/m, il cui altro estremo è fissato alla
parete del vagone. a) Si determini la compressione della molla quando la massa m è
ferma rispetto al vagone e questo si muove con accelerazione costante A = 2 m/s2. b) Si
determini il moto della massa m, relativo al vagone, nel caso in cui la massa ed il vagone
siano inizialmente fermi e l’accelerazione di quest’ultimo passi istantaneamente da 0 al
valore A = 2 m/s2 e rimanga poi costante. c) Si determini il moto della massa m, relativo
al vagone, nel caso in cui la massa ed il vagone siano inizialmente fermi e quest’ultimo si
metta in moto con uno strattone assumendo una velocità costante. Si suppone che durante
questa fase, di durata t = 0.01 s, agisca una accelerazione costante A = 100 m/s2 e che la
massa non si sposti rispetto al vagone.
A
12) Un pendolo semplice è costituito da una massa m = 150 gr appeso all’estremità P di
una corda ideale di lunghezza l = 75 cm sospesa con l’altro estremo ad un chiodo O. Esso
viene lanciato, in un piano verticale, con velocità v0 = 2 m/s dalla posizione in cui la
corda forma un angolo q0 = - 30° con la verticale discendente. a) Calcolare la velocità
della massa nel punto più basso della traiettoria. b) Calcolare il minimo valore di v0 per
cui la corda durante il moto può disporsi orizzontalmente. c) Calcolare il minimo valore
di v0 per cui il pendolo può descrivere una circonferenza completa invece di oscillare. d)
Stabilire come cambiano i valori della velocità calcolati ai punti b)-c) nel caso in cui la
corda sia sostituita da un’asticella di uguale lunghezza e di massa trascurabile.
13) Una massa puntiforme m è appesa ad un filo di lunghezza l = 60 cm e può oscillare in
un piano verticale attorno ad O. Essa viene abbandonata, da ferma, dalla posizione in cui
il filo è orizzontale e quando passa per la verticale il filo inizia ad avvolgersi attorno ad
un chiodo C posto al disotto di O. Determinare il minimo valore della distanza b fra C ed
O perchè la massa m descriva una circonferenza completa attorno al chiodo.
O
C
P
14) Sono dati due piani inclinati di altezza h = 1m i cui angoli rispetto all’orizzontale
sono q1= p/6 e q2= p/4. Ciascuno di essi, nella parte più bassa, è raccordato con una guida
semicircolare. Dal punto più alto di ciascuno dei piani inclinati si abbandona , con
velocità nulla, una massa m = 100 gr che si suppone opportunamente vincolata a
muoversi lungo i piani inclinati e le guide semicircolari.
a) supposto nullo l’attrito fra la massa m e i piani inclinati e la guida, calcolare: i) la
velocità della massa quando giunge in fondo ai due piani inclinati, ii) la quota
massima a cui essa risale lungo la guida circolare nei due casi, iii) il tempo che
impiega la massa m ad arrivare in fondo ai due piani inclinati.
b) supposto che vi sia attrito fra la massa m e i soli piani inclinati e che il relativo
coefficiente di attrito sia m = 0.1, calcolare: i) la velocità della massa quando giunge
in fondo ai due piani inclinati, ii) la quota massima a cui essa risale lungo la guida
circolare nei due casi, iii) il tempo che impiega la massa m ad arrivare in fondo ai due
piani inclinati
h
q
15) E’ dato un piano inclinato formante un angolo q = p/6 con l’orizzontale. Una
massa m = 150 gr viene lanciata lungo il piano inclinato , dal suo fondo, con
una velocità vO = 5 m/s. a) nel caso in cui il piano inclinato sia liscio (senza
attrito) determinare la quota massima raggiunta dalla massa m. b) nel caso in cui
vi sia attrito determinare , in funzione del coefficiente di attrito m, la quota
massima raggiunta dalla massa m e quindi il valore minimo mm del coefficiente
di attrito per cui essa una volta raggiunta la massima quota rimane ferma. c) per
m = 2mm determinare il valore della quota massima. d) per m = mm /2 determinare
il valore della velocità quando la massa m torna al punto di partenza.
vO
q
16) Su un piano inclinato liscio formante un angolo q = p /6 con l’orizzontale è
posta una massa m = 0.12 Kg, collegata ad una molla di costante elastica K =
10 N/m disposta parallelamente al piano inclinato. a) determinare
l’allungamento della molla nella configurazione di equilibrio del sistema.
Abbandonata la massa m da ferma dalla posizione di riposo della molla
(elongazione nulla) determinare: b) la massima elongazione della molla, c) la
velocità massima della massa, d) il valore massimo e minimo dell’accelerazione
e le corrispondenti elongazioni della molla, e) il valore massimo della forza
esercitata sul supporto a cui è attaccato l’altro estremo della molla, f) il tempo
che intercorre fra due passaggi consecutivi della massa per la posizione
corrispondente all’equilibrio.
q
17) Su un piano inclinato formante un angolo q = p /6 con l’orizzontale è posta una
massa m = 0.12 Kg, collegata ad una molla di costante elastica K = 10 N/m
disposta parallelamente al piano inclinato; fra il piano inclinato e la massa vi è
attrito e il corrispondente coefficiente è m = 0.1. La massa m viene abbandonata
da ferma da una posizione in cui la molla ha un’elongazione x0 =12 cm,
calcolare : a) la deformazione della molla nel punto di arresto immediatamnte
successivo, b) la forza agente sulla massa m in tale punto.
18) Un piccolo anello P, di massa m = 70 gr e dimensioni trascurabili è infilato in
una guida circolare, liscia, di raggio R = 50 cm e centro O disposta in un piano
verticale. si indichi con q l’angolo che il raggio OP forma con la verticale
ascendente. Inizialmente P è fermo nel punto più alto della guida e, a causa di
uno spostamento infinitesimo dalla posizione di equilibrio, inizia a scivolare
lungo di essa. a) Calcolare la reazione vincolare della guida in corrispondenza
degli angoli q1= 30° e q 2 = 60°. b) Nel caso in cui la massa P non sia infilata
nella guida ma sia semplicemente appoggiata su un uguale supporto circolare si
determini il valore dell’angolo qd per cui si ha il distacco di P dal supporto. c)
Nel caso in cui vi sia attrito fra P ed il supporto, stabilire se il distacco avviene
ad un angolo maggiore o minore di qd.
P
q
O
19) Una massa m = 125 gr si muove su un piano orizzontale liscio con velocità costante
v0 = 7 m/s. Ad un determinato istante essa entra in contatto con l’estremo libero di una
molla , orizzontale , di costante elastica K = 1000 N/m fissata ad una parete. Determinare:
a) la massima compressione della molla; b) la velocità della massa m alla fine
dell’interazione con la molla; c) la forza esercitata dalla molla sulla massa in funzione del
tempo ed il suo modulo massimo; d) la durata dell’interazione con la molla; e) l’impulso
totale fornito dalla forza elastica della molla . f) Si ricalcolino i valori numerici delle
grandezze fisiche determinate nelle precedenti domande per una costante elastica della
molla K’= 100 K, e si consideri il loro comportamento quando la costante elastica della
molla tende all’infinito.
v0
20) Una massa m = 125 gr si muove su un piano orizzontale scabro, ed il coefficiente di
attrito relativo è m = 0.55. Ad un determinato istante, in cui la sua velocità è v0 = 1 m/s,
essa entra in contatto con l’estremo libero di una molla , orizzontale , di costante elastica
K = 1 N/m fissata ad una parete. Determinare: a) la massima compressione della molla;
b) il massimo valore dellla velocità v0 per cui la massa m, una volta raggiunta la posizione
di massima compressione della molla, rimane ferma in quel punto; c) l’energia dissipata;
d) la forza esercitata dalla molla sulla massa in funzione del tempo; e) il tempo necessario
a raggiungere la massima compressione della molla; f) l’impulso totale fornito alla
massa m e quello della sola forza elastica della molla. g) Si consideri il comportamento
delle grandezze fisiche determinate nelle precedenti domande quando la costante elastica
della molla e il coefficiente di attrito tendono all’infinito, in modo tale però che il
rapporto m/(K)0.5 rimanga costante.
21) Due blocchi di massa m1 e m2 si muovono lungo una guida rettilinea orizzontale liscia
con velocità rispettivamente v10 e v20 (v20 < v10) in modo tale che vadano a scontrarsi fra
di loro. Al blocco di massa m2 è attaccata una molla di costante elastica K. Calcolare: a)
la velocità del centro di massa del sistema prima e dopo l’interazione dei due blocchi; b)
l’energia cinetica relativa al centro di massa prima e dopo l’interazione dei due blocchi e
nell’istante di massima compressione della molla; c) la massima compressione della
molla d) le velocità dei due blocchi al termine della loro interazione. e) Nel caso in cui,
raggiunta la massima compressione della molla, i due blocchi rimangano agganciati fra
loro in questa posizione, calcolare la loro velocità e l’energia cinetica dissipata. f) Si
discutano i risultati delle precedenti domande nel caso particolare in cui la massa m2 è
inizialmente ferma. g) Si discutano i risultati delle domande precedenti per il caso
particolare m1 = m2 = m. h) Si discutano i risultati delle precedenti domande c) e d) nel
limite (m2/ m1) >> 1.
v10
v20
22) Due blocchi di massa m1 e m2 sono poggiati su un piano orizzontale liscio e collegati
tra loro tramite una molla di costante elastica K = 30 N/m. I due blocchi vengono
avvicinati fra loro, comprimendo la molla di una quantità x0 = 4 cm , e quindi essi
vengono rilasciati da fermi. a) Determinare l’ampiezza delle successive oscillazioni delle
due masse e il relativo periodo in funzione di m1 e m2 ed infine l’equazione oraria per i
corpi 1 e 2. b) Determinare l’ampiezza delle successive oscillazioni delle due masse e il
relativo periodo per m1 = m2 = m = 150 gr.
1
2
23) Una pallina di massa m = 250 gr, appesa ad una corda di lunghezza l = 80 cm ,
sospesa ad un sostegno O, è abbandonata da una posizione orizzontale con
velocità nulla. Nel punto più basso della traiettoria la pallina urta un blocco di
massa M = 400 gr ferma su un piano orizzontale scabro. a) Supposto l’urto
completamente elastico calcolare la quota a cui arriva la pallina dopo l’urto e ,
sapendo che il blocco si arresta dopo aver percorso una distanza L = 2.2 m, il
coefficiente di attrito fra piano e blocco. b) Supposto l’ urto completamente
anelastico calcolare il moto successivo del pendolo. d) Dire che cosa cambia nella
soluzione del problema se la funicella viene sostituita da un’asticella di uguale
lunghezza.
O
24) Un fucile di massa M = 5 Kg, la cui canna è lunga l = 70 cm, spara un proiettile
di massa m = 15 gr contro un blocco di massa m’ = 0.8 Kg posto su un piano
orizzontale liscio e collegato ad una molla di costante elastica K = 2.5 kN/m. Il
proiettile si arresta penetrando dentro il blocco e si osserva che la compressione
massima della molla, in conseguenza dell’urto, è pari a X = 7.5 cm. Supposta
nulla l’energia dissipata in calore durante i vari processi calcolare: a) la velocità
del proiettile, dopo l’espulsione, e la velocità di rinculo del fucile; b) l’energia
sprigionata dall’esplosivo; c) la forza media che deve essere esercitata sul calcio
del fucile per tenerlo fermo e la durata della fase di espulsione del proiettile dalla
canna del fucile; nel calcolo si suppongano costanti le forze in gioco durante
questa fase.
25) Un cuneo, a forma di triangolo rettangolo di altezza h = 50 cm la cui ipotenusa
forma un’angolo q = 30° con l’orizzontale , ha massa M = 10 Kg e poggia su un
piano orizzontale liscio. Un piccolo blocco di massa m = 2 Kg viene appoggiato sul
punto più alto del cuneo. Si suppone che non vi sia attrito fra il blocchetto ed il cuneo,
e che il sistema sia abbandonato da fermo nella configurazione iniziale. Calcolare: a)
lo spostamento subito dal cuneo quando il blocchetto raggiunge il fondo del cuneo;
b) la velocità del cuneo e del blocchetto nello stesso istante; c) la traiettoria del
blocchetto; d) il lavoro compiuto dalle forze agenti sul cuneo.
h
q
