INTEGRALI IMPROPRI

INTEGRALI IMPROPRI
Prerequisiti:
Calcolo degli integrali indefiniti
Integrale definito di una funzione continua
Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale
Applicazioni del calcolo integrale
Obiettivi :
Saper riconoscere un integrale improprio
Saper distinguere integrali impropri di primo tipo, di secondo tipo e misti
Saper determinare il carattere di un integrale improprio
TEORIA in sintesi
Sia y = f ( x ) una funzione continua nell’intervallo [a, b] , sappiamo che sotto tali condizioni esiste
l’integrale definito fra a e b della funzione f ( x ) e graficamente tale integrale rappresenta l’area
della parte di piano (TRAPEZOIDE) delimitata dal grafico della funzione, dall’asse delle ascisse e
dalle rette di equazione x = a e x = b .
Nel caso in cui la funzione assegnata non sia continua nell’intervallo di integrazione, oppure
almeno uno degli estremi di integrazione non sia finito si parla di INTEGRALE IMPROPRIO.
In sostanza l’integrale improprio rappresenta l’estensione del concetto di integrale definito per
funzioni che presentino un numero finito di punti discontinuità nell’intervallo di integrazione,
oppure per funzioni il cui intervallo di integrazione risulti illimitato.
Gli integrali impropri si classificano in:
1. Integrali impropri di I tipo o specie se almeno uno degli estremi di integrazione non è
finito.
2. Integrali impropri di II tipo o specie se nell’intervallo di integrazione si ha almeno un
punto di discontinuità.
3. Integrali impropri che sono contemporaneamente di I e II tipo.
INTEGRALI IMPROPRI DI PRIMO TIPO
Sono integrali che hanno uno o entrambi gli estremi di integrazione non finiti e si presentano sotto
la forma:
+∞
+∞
b
∫ f (x )dx
∫ f (x )dx
;
∫ f (x )dx
;
−∞
a
−∞
Per calcolare il valore di tali integrali si integra la funzione in un intervallo finito e poi si passa al
limite facendo tendere all’infinito uno o entrambi gli estremi di integrazione:
+∞
∫
a
t
f (x )dx = lim ∫ f ( x )dx
t → +∞
a
b
;
∫
−∞
+∞
b
f ( x )dx = lim
s → −∞
∫
f ( x )dx
;
s
∫
t
f ( x )dx = lim
−∞
∫ f (x )dx
t →+∞
s → −∞ s
In base al risultato che assume il limite si distinguono i seguenti casi:
1)
Se il valore del limite è finito si dice che la funzione è integrabile in senso improprio o
generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio è convergente . (Carattere
convergente)
Interpretazione geometrica ⇒ Area del trapezoide FINITA
2)
Se il valore del limite è infinito si dice che la funzione non è integrabile in senso improprio
o generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio è divergente . (Carattere
divergente)
Interpretazione geometrica ⇒ Area del trapezoide INFINITA
3)
Se il valore del limite non esiste si dice che la funzione non è integrabile in senso improprio
o generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio è indeterminato. (Carattere
indeterminato)
Interpretazione geometrica ⇒ Nulla si può affermare sulla’area del trapezoide
+∞
Esempio 1
Si debba calcolare il seguente integrale improprio
∫
1
+∞
∫
1
dx
x
t
dx
dx
t
= lim ∫
= lim [log x ]1 = lim [log t − log1] = lim (log t ) = +∞
t →+∞
t → +∞
x t →+∞ 1 x t →+∞
Poiché il limite ottenuto non è finito, l’integrale improprio diverge.
+∞
Esempio 2
Calcolare il seguente integrale improprio
∫
1
+∞
∫
1
dx
x2
t
t
dx
dx
1
 1
 1 1
= lim ∫ 2 = lim −  = lim − +  = −
+1 = 0 +1 = 1
2
t → +∞ x
t → +∞  x 
t → +∞  t
1
+
∞
x

1
1
Poiché il limite esiste ed è finito, l’integrale improprio converge.
π
Esempio 3
Calcolare il seguente integrale improprio
∫ cos xdx
−∞
π
π
∫ cos xdx = lim ∫ cos xdx = lim [senx]
π
−∞
s → −∞
s
s → −∞
s
= lim [senπ − sens ] = 0 − sen(− ∞ ) = − sen(− ∞ )
s → −∞
Poiché per s → −∞ , sens oscilla costantemente tra − 1 e + 1 ,
tale limite non esiste e quindi l’integrale improprio è indeterminato.
INTEGRALI IMPROPRI DI SECONDO TIPO
Sono integrali che presentano almeno un punto di discontinuità nell’intervallo di integrazione e,
proprio in relazione al loro intervallo di integrazione, si presentano, in genere, nelle seguenti forme:
b
∫ f (x )dx
→ con f ( x ) definita in [a; b[
a
b
∫ f (x )dx
→ con f ( x ) definita in ]a, b]
a
b
∫ f (x )dx
→ con f ( x ) definita in ]a, b[
a
b
∫ f (x )dx
→ con f ( x ) definita in [a, c[ ∪ ]c, b]
a
Per calcolare il valore di tali integrali si integra la funzione in un intervallo di completa continuità e
poi si passa al limite facendo tendere a zero uno o entrambi i parametri utilizzati nei nuovi estremi
di integrazione:
b
∫
→
∫
a
a
b
b
∫ f (x )dx
→
f (x )dx = lim+
ε →0
b
b
∫ f (x )dx = δlim
∫ f (x )dx
→0
+
a +δ
b −ε
b
f ( x )dx
→
∫ f (x )dx
a
a
a
∫
b −ε
b
f ( x )dx
∫
f ( x )dx = lim+
∫ f (x )dx
a
a
ε →0
δ →0 + a +δ
b
c
b
a
c
∫ f (x )dx
a
→
c −ε
b
∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx = εlim
∫ f (x )dx + δlim
∫ f (x )dx
→0
→0
+
+
a
c +δ
In base al risultato che assume il limite si distinguono i seguenti casi:
1) Se il valore del limite è finito si dice che la funzione è integrabile in senso improprio o
generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio ha carattere convergente .
Interpretazione geometrica ⇒ Area del trapezoide FINITA
2) Se il valore del limite è infinito si dice che la funzione non è integrabile in senso improprio o
generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio ha carattere divergente .
Interpretazione geometrica ⇒ Area del trapezoide INFINITA
3) Se il valore del limite non esiste si dice che la funzione non è integrabile in senso improprio o
generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio ha carattere indeterminato.
Interpretazione geometrica ⇒ Nulla si può affermare sulla’area del trapezoide
2
Esempio 1
Calcolare il seguente integrale improprio:
1 + 3x
∫ x 2 − 1 dx
1
poiché f ( x ) ha un punto di discontinuità per x = 1 l’integrale è improprio di
secondo tipo e, mediante il metodo d’integrazione di funzioni razionali fratte,
si riduce a:
2
2
1 + 3x
1 + 3x
2
dx = lim+ [log x + 1 + 2 log x − 1 ]1+δ =
2
∫1 x 2 − 1dx = δlim
+ ∫
→0
δ →0
1+δ x − 1
log 3 − lim+ [log 2 + δ + 2 log δ ] = log 3 − log 2 − 2 ⋅ (− ∞ ) = +∞
δ →0
Poiché il limite ottenuto non è finito, l’integrale improprio diverge.
2
Esempio 2
Calcolare il seguente integrale improprio :
∫
0
1
4−x
2
dx
poiché f ( x ) ha un punto di discontinuità per x = 2 l’integrale è improprio di
secondo tipo e, riconducendolo ad una integrazione immediata, diventa:
2
∫
0
2 −ε
1
4 − x2
dx = lim+
ε →0
∫
0
2 −ε
x

dx = lim+ arcsen 
ε →0 
20
4 − x2
1
=
2−ε
π


lim+ arcsen
− arcsen0 = arcsen1 − 0 =
ε →0 
2
2

Poiché il limite esiste finito, l’integrale improprio converge.
1
Esempio 2
Calcolare il seguente integrale improprio :
∫
−2
1
dx
x2
poiché f ( x ) nell’intervallo d’integrazione ha un punto di discontinuità per x = 0
l’integrale è improprio di secondo tipo e diventa:
1
∫
−2
0
1
1
1
1
dx = ∫ 2 dx + ∫ 2 dx = lim+
2
ε →0
x
−2 x
0 x
0−ε
∫
−2
1
0 −ε
1
1
1
 1
 1
dx + lim+ ∫ 2 dx = lim+ − 
+ lim+ − 
=
2
δ →0
ε →0  x  − 2
δ →0  x  0 +δ
x
x
0 +δ
1
1 
1  1 1
1

 1
lim+ −
+
+ lim+ − +
= + − − 1 + + = +∞


ε →0  0 − ε
− 2  δ →0  1 0 + δ  0
2
0
Poiché il limite esiste finito, l’integrale improprio converge.
ESERCIZI: Quesiti a risposta multipla:
ESERCIZI: Determina il carattere dei seguenti integrali impropri:
+∞
2
1.
dx
∫ x−5
−∞
2.
−2 x
∫ e dx
1
3.
1
∫ log xdx
0
dx
∫ 3 x +1
4.
−3
0
π
+∞
2
dx
5. ∫
2
0 cos x
4
9.
∫
0
dx
x
6.
∫ xe
−x2
0
dx
7.
−∞
−2
+∞
8.
11.
∫ senxdx
0
dx
∫ (x − 1)2
1
+∞
+∞
1
10. ∫
dx
2
− ∞1 + x
∫
1
dx
x
2
12.
∫
−2
1
3
x2
dx