Modelli microscopici della Mobilit`a degli elettroni in Silicio

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica
Dipartimento di Ingegneria Elettrica
Gestionale e Meccanica
Tesi di Laurea
Modelli microscopici della Mobilità
degli elettroni in Silicio
Relatore:
Laureando:
Chiar.mo Prof. Luca Selmi
Marco Lanaro
Correlatori:
Dott. Ing. Pierpaolo Palestri
Dott. Ing. David Esseni
Anno Accademico 2002-03
Indice
1 Introduzione
1.1 La Microelettronica ieri ed oggi . . . . . . . . .
1.2 Lo Scaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 I dispositivi Double-Gate e Single-Gate Fet SOI
1.4 La Mobilità dei portatori . . . . . . . . . . . .
1.5 Scopo della Tesi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Il Metodo di Simulazione Monte Carlo
2.1 Introduzione al Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Un Tipico Programma Monte Carlo . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Definizione del Sistema Fisico . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Condizioni Iniziali del Moto . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Durata del Volo Libero Self-Scattering . . . . . . . . . . .
2.1.5 Scelta del Meccanismo di Scattering . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Scelta dello Stato dopo lo Scattering . . . . . . . . . . . .
2.2 Struttura a Bande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Struttura Cristallina del Silicio . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Elettroni in un Potenziale Periodico - Struttura a Bande .
2.2.3 Bande di Conduzione e di Valenza - Relazioni Energetiche
2.2.4 Modello della Banda Full-Band . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Determinazione delle arandezze fisiche . . . . . . . . . . .
3 Lo Scattering da Fononi
3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Formulazione Generale . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Introduzione ai Fononi Ottici ed Acustici . . . . . . . .
3.2.1 Interazione Elettrone-Fonone . . . . . . . . . . .
3.2.2 Scattering da Fononi Acustici . . . . . . . . . . .
3.2.3 Scattering da Fononi Ottici . . . . . . . . . . . .
3.3 Il codice di Bandit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Calcolo dello Scattering in Bandit . . . . . . . .
3.3.3 Scelta del Meccanismo di Scattering . . . . . . .
3.4 Stato dopo lo scattering nel caso dei fononi . . . . . . .
3.4.1 Determinazione dello stato dopo lo scattering nel
3.4.2 Rotazione dello stato dopo lo scattering . . . . .
3.5 Simulazioni delle Caratteristiche Velocità-Campo . . . .
I
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3.6
3.5.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 I Potenziali di Deformazione . . . . . .
3.5.3 Confronto degli Scattering rate . . . . .
3.5.4 Velocità di Saturazione in funzione della
3.5.5 Velocità e Mobilità elettronica . . . . .
3.5.6 Distribuzione energetica degli elettroni .
3.5.7 Coefficienti da Generazione da Impatto
Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Temperatura Reticolare
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4 Lo Scattering da Impurezze Ionizzate
4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Il Modello Fisico dello Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Espressione dello scattering rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Stato Dopo lo Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Lunghezza di Screening nella distribuzione di Fermi-Dirac . . . . . . . .
4.3 Il Codice delle impurezze ionizzate in Bandit . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Descrizione del codice prima di essere modificato in questa tesi . . . . .
4.3.2 Calcolo dello Scattering rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Calcolo dello Stato dopo lo Scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Analisi e Correzione del Codice mediante le Simulazioni . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Il Modello della Mobilità elettronica di Tirelli . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Modifiche al Codice: Modello di Brooks & Herring . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Modifiche al Codice: Conservazione dell’energia dei portatori prima e
dopo dell’evento di scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.5 Modifiche al codice: Screening secondo la Fermi-Dirac . . . . . . . . . .
4.4.6 Modifiche al Codice: Funzione di Correzione della Mobilità elettronica .
4.4.7 Confronto con il modello di mobilità degli elettroni di Kaiblinger-Grulin
4.4.8 Modifiche al Codice: Screening dipendente dalla concentrazione libera .
4.5 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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111
5 Conclusioni
113
A Programmi
A.1 Programma per il Calcolo della Dipendenza della velocità di saturazione dalla
temperatura reticolare TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Programma per la determinazione della curva che approsima i dati sperimentali
della mobilità elettronica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Programma per la determinazione della curva che approsima i dati sperimentali
della velocità elettronica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Programma per il Calcolo della curva di Mobilità degli elettroni del modello di
Kaiblinger-Grulin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.5 Il Tempo di rilassamento del Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
II
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. 119
Elenco delle figure
1.1
Evoluzione della miniaturizzazione dei dispositivi elettronici . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Schema del Transistore MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Schema del Transistore Double-Gate FET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.4
Schema del Transistore Single-Gate SOI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1
Diagramma di flusso del programma di simulazione “single particle” Monte Carlo
9
2.2
Determinazione stocastica di un evento nel caso discreto. S i rappresenta la
probabilità che si verifichi l’evento i-esimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3
Generazione del reticolo cubico a facce centrate del Silicio . . . . . . . . . . . . . 12
2.4
Zona di Brillouin del reticolo cubico a facce centrate. Le etichette Γ, X e K sono i
punti di simmetria. Γ è il centro della zona [0, 0, 0]; X il punto finale in direzione
[1, 0, 0]. L e K sono i punti finali nelle direzioni [1, 1, 1] e [1, 1, 0] rispettivamente. 14
2.5
Tipica rappresentazione del potenziale cristallino . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.6
Bande energetiche in funzione del vettore d’onda k . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7
Struttura della Banda di Conduzione del Silicio usata nel simulatore Bandit . . . 16
3.1
Relazione di dispersione quando si considera solo i fononi longitudinali vicino al
centro della zona di Brillouin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2
Meccanismi di Scattering Intervalle di tipo F e di tipo G . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3
Dipendenza del Potenziale di Deformazione Acustico dall’energia della particella
3.4
Schema concettuale della funzione CreateScattering . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.5
Schema concettuale della funzione DoScattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.6
Desistà degli stati di sr contenete lo stato dopo lo scattering . . . . . . . . . . . 37
3.7
Scelta dello stato dopo lo scattering in modo analitico . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.8
Significato dei bit di itmp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.9
Barretta di Silicio uniformemente Drogata
26
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.10 Confronto dello Scattering rate fononico Totale nell’intervallo 0 ÷ 6eV . . . . . . 48
3.11 Confronto dello Scattering rate fononico Totale nell’intervallo 0 ÷ 100meV . . . . 49
3.12 Ingrandimento dello Scattering rete Totale nell’intervallo 0 ÷ 4meV . . . . . . . . 49
3.13 Scattering rate dei fononi di Jacoboni nell’intervallo 0 ÷ 6eV
. . . . . . . . . . . 50
3.14 Scattering rate dei fononi di Jacoboni nell’intervallo 0 ÷ 100meV . . . . . . . . . 50
3.15 Velocità di Saturazione degli elettroni v sat in funzione della temperatura reticolare TL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.16 Curve di Mobilità elettronica e di velocità elettronica che approssimano i dati
sperimentali[11] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.17 Curva di Velocità degli elettroni nella Barretta Uniforme ottenuta dalle simulazioni 53
III
3.18 Confronto delle velocità degli elettroni, dovute ai soli fononi, ottenute dalle simulazioni di Bandit con i potenziali di deformazione di Bandit, Jacoboni e Bufler
(Fx = 20[kV /cm]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.19 Confronto delle Mobilità elettroniche ottenute dalle simulazioni di Bandit implementando i potenziali di deformazione di Bandit, Jacoboni e Bufler fino a
20[kV /cm] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.20 Confronto delle Mobilità elettroniche ottenute dalle simulazioni di Bandit implementando i potenziali di deformazione di Bandit, Jacoboni e Bufler a basso
campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.21 Funzioni di Distribuzione degli elettroni in funzione di T L ottenute con le simulazioni di Bandit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.22 Confronto delle Funzioni di Distribuzione degli elettroni per i potenziali di deformazione di Bandit, Bufler e Jacoboni per un campo elettrico di F x = 100[kV /cm]
3.23 Confronto delle Funzioni di Distribuzione degli elettroni per i potenziali di deformazione di Bandit, Bufler e Jacoboni per un campo elettrico di F x = 200[kV /cm]
3.24 Confronto delle Funzioni di Distribuzione degli elettroni per i potenziali di deformazione di Bandit, Bufler e Jacoboni per un campo elettrico di F x = 300[kV /cm]
3.25 Confronto delle Funzioni di Distribuzione degli elettroni per i potenziali di deformazione di Bandit, Bufler e Jacoboni per un campo elettrico di F x = 500[kV /cm]
3.26 Processo di Generazione coppie e-h dovuto alla ionizzazione da impatto . . . . .
3.27 Scattering rate da ionizzazione da impatto ottenuto dalle simulazioni di Bandit .
3.28 Valori di α ottenuti con i potenziali di deformazione di Jacoboni, Bufler e Bandit
dalle simulazioni Bandit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.29 Distribuzione degli elettroni per un campo elettrico di F x = 200[kV /cm]: modifica di Bude dei fononi di Jacoboni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.30 Distribuzione degli elettroni per un campo elettrico di F x = 500[kV /cm]: modifica di Bude dei fononi di Jacoboni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.31 Valori di α ottenuti dei potenziali di deformazione di Jacoboni, Bude e Bandit
dalle simulazioni Bandit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.32 Confronto delle curve della Mobilità elettronica di Bude e di Jacoboni . . . . . .
4.1
4.2
Legame dei vettori d’onda e gli angoli θ e φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Scattering da impurezze ionizzate: gli angoli α e θ per calcolare lo stato dopo lo
scattering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Posizione del livello di Fermi nel semiconduttore degenere e non degenere . . . .
4.4 Rappresentazione della distribuzione di Fermi-Dirac e di Maxwell-Boltzmann in
funzione della concentrazione n0 degli elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Rapporto tra l’inverso della lunghezza di screening usando la statistica di FermiDirac e Maxwell-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Sturuttura dati regdata delle impurezze ionizzate . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Sturuttura dati delle impurezze ionizzate: corrispondenza tra gli elementi della
mesh e i campi della struttura regdata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Sturuttura dati ionsc->ionreg delle impurezze ionizzate . . . . . . . . . . . . .
4.9 Schema funzionale della funzione InitIonizedImpScattering del codice delle impurezze ionizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Schema funzionale della funzione DoImpurity del codice delle impurezze ionizzate
4.11 Modelli della mobilità elettronica di Caughey-Thomas[23] e di Kosina[21] . . . .
IV
54
55
55
56
57
58
59
59
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61
62
63
64
64
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71
72
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77
77
78
79
83
86
4.12 Modello di Tirelli: Curve di Mobilità elettronica . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13 Modello di Brooks & Herring: Curve di Mobilità elettronica . . . . . . . . . .
4.14 Problema della non conservazione dell’energia dell’elettrone nel processo di scattering con le impurezze ionizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15 Confronto di kM B→F D interpolata e non interpolata per correggere l’inverso della
lunghezza di screnning βs nella formulazione di Fermi-Dirac . . . . . . . . . .
4.16 Confronto delle curve di mobilità elettronica per F x = 1, 2, 5kV /cm ottenute da
Bandit con la distribuzione di Maxwell-Boltzmann e Fermi-Dirac . . . . . . . .
4.17 Confronto delle curve di mobilità elettronica ottenute da Bandit con la distribuzione di Maxwell-Boltzmann e Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.18 Confronto della curva di mobilità elettronica ottenuta con Bandit con il modello
di Kosina nella formulazione di Brooks & Herring . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.19 Confronto del modello finale di Mobilità degli elettroni con la curva di riferimento
di Cauchey-Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.20 Confronto del modello finale di Mobilità degli elettroni con il modello finale di
Kosina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.21 Confronto del modello finale della mobilità elettronica di Bandit con il modello
di mobilità di Kaiblinger-Grulin[32] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.22 Nuova struttura dati delle impurezze ionizzate per associare ad ogni elemento
della mesh i dati di screening dipendenti dalla concentrazione dei portatori liberi
e delle impurezze ionizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 87
. 88
. 94
. 97
. 100
. 100
. 101
. 103
. 104
. 105
. 106
A.1 Legame del inverso tempo di rilassamento con lo scattering rete per le impurezze
ionizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
V
Elenco delle tabelle
1.1
Regole di Scaling a Campo Elettrico Costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Regole di Scaling a Tensione Elettrica Costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.1
Elementi del point group. A. Morgan, in Landsberg, ed., Solid State Theory:
Methods and Applications.1969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.1
Modelli dello scattering rate per i fononi acustici intravalle (banda sferica):
modello analitico, modello Full-Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2
Modelli dello scattering rate per i fononi ottici intervalle (banda sferica): modello
analitico, modello Full-Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3
ImaxTable: tabella delle disuguaglianze delle componenti del vettore d’onda . . . 40
3.4
Tabella SwapTableF corretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5
Tabella SwapTableG corretta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6
Errori della scelta dello stato dopo lo scattering nel codice di Bandit prima delle
modifiche implementate in questa tesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7
Confronto dei potenziali di deformazione dei fononi ottici ed acustici implementati in Bandit con quelli di Jacoboni e Bufler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.8
Confronto delle velocità elettroniche ottenute dalle simulazioni per un campo
elettrico di 500 V /cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.9
Confronto delle velocità degli elettroni, dovute ai soli fononi, ottenute dalle simulazioni di Bandit con i potenziali di deformazione di Bandit, Jacoboni e Bufler
(Fx = 20[kV /cm]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.10 Valori dei parametri del modello di Chinoweth presenti in letteratura . . . . . . . 61
4.1
Masse elettrone-lacune . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.2
Parametri del modello di Caughey-Thomas per la mobilità [23] . . . . . . . . . . 86
4.3
Modello di mobilità di Tirelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.4
Modello di mobilità di Brooks & Herring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.5
Risultati della non conservazione dell’energia degli elettroni per lo scattering da
impurezze ionizzate del file ion-imp.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.6
Funzione d’approsimazione di kM B→F D per correggere l’inverso della lunghezza
di screening βs nella formulazione di Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.7
Valori della Mobilità totale degli elettroni ottenuti dalle simulazioni di Bandit
attivando lo scattering da impurezze ionizzate e da fononi . . . . . . . . . . . . . 98
4.8
Valori della Mobilità fononica degli elettroni ottenuti dalle simulazioni di Bandit
4.9
Valori della Mobilità delle sole impurezze ionizzate degli elettroni derivate dalle
simulazioni di Bandit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
VI
98
4.10 Valori della Mobilità delle sole impurezze ionizzate estratte dalla curva di CaugheyThomas considerando che la mobilità dei fononi sia qualla ricavata dalle simulazioni di Bandit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Modello di mobilità di Brooks & Herring: Distribuzione di Fermi-Dirac . . . . . .
4.12 Coefficienti di correzione della mobilità degli elettroni in funzione del doping che
vengono utilizzati nel codice di Bandit per lo scattering rate delle impurezze
ionizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13 Modello finale di mobilità per gli elettroni ottenuto con la funzione di correzione
della mobilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII
99
99
101
103
Capitolo 1
Introduzione
1.1
La Microelettronica ieri ed oggi
Per microelettronica si intende quella disciplina dell’elettronica che si interessa dello studio della
tecnologia, dei dispositivi elettronici e dei circuiti elettronici in modo da miniaturizzarli cosı̀ da
incrementare la densità di integrazione.
Figura 1.1: Evoluzione della miniaturizzazione dei dispositivi elettronici
Lo sviluppo del primo transistor ad opera di W. Brattain, W. Shockley e J. Bardeen nel
1948 è l’inizio dell’era della microelettronica a semiconduttore cosı̀ come oggi la si intende. Infatti per mezzo della tecnologia del primo transistor a semiconduttore è iniziata effettivamente
l’era della microintegrazione; tutti quei dispositivi elettronici che venivano realizzati con le valvole termoioniche ora vengono realizzati su semiconduttore con dimensioni sempre più scalate
e consumi di potenza sempre più ridotti.
La chiave di lettura della spinta all’integrazione dei dispositivi va ricercata nella continua evoluzione tecnologica, nella ricerca di nuovi materiali utilizzati nei processi di fabbricazione e nella
ricerca continua sui dispositivi e sui loro problemi. In questo senso, la tecnologia maggiormente
diffusa ad oggi è quella dei transistori MOSFET, i quali vengono utilizzati per la realizzazione
della maggior parte dei circuiti integrati.
1
X
LG
Gate
Ossido
VG
VS
Source
n+
VD
Drain
n+
Leff
Y
p
Substrato (Bulk)
VB
Figura 1.2: Schema del Transistore MOSFET
La figura 1.2 riproduce lo schema di principio di un transistore n-MOS che vienere realizzato partendo da un Substrato drogato con atomi di tipo accettore (p-type) nel quale vengono
impiantate due tasche drogate con atomi donori (n-type) chiamate rispettivamente Source e
Drain. Il processo di fabbricazione prevede la realizzazione di uno strato di isolamento (t ox )
realizzato tipicamente con ossido di silicio (SiO 2 ) sul quale viene realizzato il Gate con materiale conduttore quale ad esempio l’alluminio (AL) o con polisilicio.
La ricerca e lo sviluppo dei singoli dispositivi (compreso il MOS) si articola essenzialmente in
due fasi:
• si punta alla riduzione delle dimensioni fisiche dei dispositivi già esistenti che permette di
aumentare il grado di integrazione sul wafer. Questo processo prende il nome di Scaling e
comprende una serie di regole che permettono una riduzione delle dimensioni fisiche senza
penalizzare le prestazioni statiche e dinamiche del dispositivo;
• si studiano nuovi materiali, le loro proprietá, le caratteristiche chimiche ed elettriche degli
elementi utilizzati e la ricerca di nuove caratteristiche progettuali dei dispositivi.
1.2
Lo Scaling
La riduzione delle dimensioni fisiche del dispositivo si riferisce alle cosidette regole di Scaling
che stabiliscono, fissato il fattore di riduzione K > 1, il legame che deve sussistere tra le varie
grandezze coinvolte affinchè i dispositivi scalati risultino sottoposti alla medesime condizioni
operative delle strutture più grandi. È necessario comprendere che lo scaling non coinvolge un
solo parametro, ma modifica un intero set di parametri fisici e il processo di fabbricazione in
modo da evitare l’insorgere di fenomeni di degradazione delle prestazioni del transistore. Tali
fenomeni sono ad esempio: gli effetti di canale corto, gli effetti legati ai portatori caldi, delle
cariche intrappolate nell’ossido, etc.
Nella tabella 1.1 è tabulato uno scaling dei parametri fisici atto a mantenere costante il campo
elettrico F~ in modo da conservare il medesimo grado di affidabilità. Le modifiche dei parametri
fisici del transistor, secondo questa regola, quali: doping, dimensioni, tensioni, correnti, etc.
sono tutte eseguite per mantenere il campo costante. Se si vuole diminuire di un fattore K
2
Parametri Fisici
Dimensioni (L,W ,tox ,yd )
Impurity Doping (Nd ,Na )
Tensioni (VGS ,VDS )
Correnti (ID )
ID
Densità di corrente ( Area
)
Capacità per Area (CG )
Scaling
1
K
K
1
K
1
K
K
K
Parametri Fisici
Campo Elettrico (F~ )
Ritardo del circuito ( CGIVDDD )
Dissipazione di potenza (Pd )
Pd
)
Densità di potenza ( Area
2
Power-Dalay Product (CG VDD
)
Scaling
1
1
K
1
K2
1
1
K3
Tabella 1.1: Regole di Scaling a Campo Elettrico Costante
le dimensioni fisiche del transistor, ne consegue che anche la tensione elettrica V applicata al
transistor deve diminuire del medesimo fattore. Tuttavia queste regole di scaling comportano
l’insorgere di una serie di problematiche che portano a prendere in considerazione le regole di
scaling a tensione costante (tab.1.2).
Le principali problematiche possono cosı̀ essere riassunte:
• I livelli della tensione elettrica V sono generalmente fissati tra l’interfaccia e il dispositivo.
• All’aumentare del fattore di scaling K la tensione di soglia V T del transistore MOS via
via si riduce potendo anche assumere valori negativi. Questo comporta, poichè anche la
tensione elettrica diminuisce, che lo swing di tensione diminuisce e se V T diventa negativa
si perde definitivamente la possibilità di controllare il transistor.
Parametri Fisici
Dimensioni (L,W ,tox ,yd )
Impurity Doping (Nd ,Na )
Tensioni (VGS ,VDS )
Correnti (ID )
ID
Densità di corrente ( Area
)
Capacità per Area (CG )
Scaling
1
K
2
K
1
K
K3
Parametri Fisici
Campo Elettrico (F~ )
Ritardo del circuito ( CGIVDDD )
Dissipazione di potenza (Pd )
Pd
Densità di potenza ( Area
)
2
Power-Dalay Product (CG VDD
)
Scaling
K
1
K2
1
K
3
K
1
K
1
K
Tabella 1.2: Regole di Scaling a Tensione Elettrica Costante
Nella tabella 1.2 sono riportate le regole di scaling a tensione costante che permettono di ovviare
alla riduzione dello swing di tensione, ma determinano aumenti delle correnti e della densità di
corrente, della potenza elettrica per unità di area e del campo elettrico.
In generale si può osservare che l’operazione di scaling determina il miglioramento di alcuni
parametri quali ad esempio le costanti di tempo e il prodotto Ritardo-Potenza, ma le densità
di corrente e i campi elettrici aumentano determinando un aggravamento dei fenomeni fisici
intrinseci al MOS che peggiorano le prestazioni dei dispositivi. Se da una parte la riduzione delle
dimensioni geometriche porta chiaramente al vantaggio dell’aumento del livello di integrazione,
dall’altra determina l’insorgere di fenomeni fisici dannosi alle prestazioni del dispositivo scalato
che devono essere corretti con accorgimenti di tipo progettuale, quali ad esempio la realizzazione
di un nuovo layout e il miglioramento degli step di fabbricazione.
3
1.3
I dispositivi Double-Gate e Single-Gate Fet SOI
Nel lavoro di Wong[1] è presentata un’analisi dettagliata delle tecniche di scaling dei transistori
e del miglioramento delle grandezze d’interesse attraverso la progettazione di nuovi dispositivi
o l’impiego di nuovi materiali. Per esempio, si può incrementare la densità di carica utilizzando
il transistore Double-Gate FET oppure diminuendo la temperatura operativa. Se si persegue il
miglioramento delle proprietá del trasporto dei portatori, cioè in primis della mobilitá all’interno
dei semiconduttori, si possono utilizzare varie tecniche:
• si può usare silicio di tipo “strained”;
• si possono impiegare materiali che permettono di avere alte mobilità (Ge, InGaAs, InP ,
etc.);
• si possono ridurre i fattori che determinano il degrado della mobilità come ad esempio il
campo elettrico trasverso, lo scattering con i fononi o con le impurezze ionizzate;
Se si è posto quale obbiettivo la scalabilità dei dispositivi attraverso la riduzione del canale si
possono addottare altri metodi:
• mantenere un buon controllo elettrostatico del potenziale di canale controllando la geometria fisica del dispositivo;
• aumentare la capacità di gate, attraverso la riduzione dello spessore di ossido o l’impiego
di un gate metallico per ottenere il controllo più efficace del potenziale di canale.
Il transistor Double-Gate è schematizzato in figura 1.3 e fu introdotto per la prima volta all’inizio
degli anni ottanta.
VS
VD
top gate
source
Lg
drain
VG
Bottom gate
tsi
Figura 1.3: Schema del Transistore Double-Gate FET
Questo tipo di transistor permette di:
1. Controllare gli effetti di canale corto attraverso la geometria del dispositivo;
2. di aumentare l’accoppiamento del potenziale di gate V G con il potenziale di canale utilizzando un sottile spessore di silicio tsi .
4
In figura 1.4 è schematizzato il dispositivo Single-gate SOI che è un transistore MOS
realizzato su uno strato di ossido (Buried oxide).
VS
VG
VD
top gate
source
Lg
Buried oxide
tsi
drain
tbox=200 nm
Si Substrate
Figura 1.4: Schema del Transistore Single-Gate SOI
Nei primi studi condotti sui Single-Gate SOI[2], si è dimostrato che la mobilità dei portatori
segue la curva universale di mobilità similmente a quella ottenuta dal transitore bulk, se il
campo efficace è determinato in modo appropiato al transistor Single-Gate SOI.
Come analizzato nel lavoro di Esseni[3], in condizione di alta densità di carica di inversione
Ninv , la mobilità dei transistor ultrasottili SOI, è insensibile allo spessore del silicio t Si ed è
più grande di quella del transistor MOSFET bulk fortemente drogato poichè il campo efficace
è più piccolo. In condizioni di piccola Ninv , la mobilità del transistor SOI presenta invece
una sistematica riduzione con il decremento dello spessore del silicio t Si . L’analisi suggerisce
l’importanza del comportamento dello scattering dei fononi dovuto al confinamento dei portatori
nel sottilissimo strato di semiconduttore.
Nel lavoro[4] si confronta la mobilità efficace µ ef f degli elettroni del transistor Double-Gate
con quella del Single-Gate in funzione della carica di inversione N inv . In condizione di alta
carica di inversione, dove la mobilità efficace è limitata dallo scattering dovuto alla “surface
roughness”, praticamente non sono state osservate differenze tra la µ ef f del Single-Gate e quella
del Double-Gate MOSFET. Per spessori del silicio t Si di circa 20nm o superiori la mobilità è
essenzialmente la stessa per i due tipi di dispositivi.
1.4
La Mobilità dei portatori
La mobilità è un importante parametro per la progettazione e l’analisi dei dispositivi elettronici.
Infatti modifica il fattore di guadagno k del transistor MOSFET e quindi incide sulla corrente
di drain IDS αK.
ox W
k=µ
(1.1)
tox L
dove tox è lo spessore dell’ossido, W e L rappresentano le dimensioni fisiche del transistor
MOSFET.
La mobilità è definita come il rapporto tra la velocità media dei portatori v x e il campo elettrico
Fx nella direzione del trasporto x:
vx
(1.2)
µx =
Fx
Fisicamente la mobilità µx , è ottenuta dall’interazione tra il campo elettrico F x , che cede
energia ai portatori imponendo un moto di trascinamento e i vari meccanismi di scattering che
5
determinano l’interruzione di tale moto attraverso le collisioni dei portatori.
I meccanismi di scattering si suddividono in:
• elastici: L’energia cinetica dei portatori si conserva prima e dopo della collisione;
• anelastici: L’energia cinetica dei portatori non si conserva durante il processo d’urto.
Esistono vari meccanismi di scattering:
• scattering con i fononi di tipo ottico o acustico;
• scattering dovuto alle impurezze ionizzate;
• scattering dovuto alla rogosità superficiale (“surface rougness”);
• scattering superficiale con i fononi ottici che, come è stato analizzato nel lavoro[5], potrebbe essere importante per spiegare la dipendenza della mobilità degli elettroni dallo
spessore del silicio tSi nei transistor Single-Gate e Double-Gate SOI MOSFET;
• scattering dovuto alle fluttuazioni dello spessore del film di silicio.
1.5
Scopo della Tesi
Questa tesi si prefigge quale scopo l’analisi e la comprensione dei meccanismi di scattering
implementati nel simulatore Monte Carlo Bandit, che determinano la mobilità degli strati d’inversione e la loro corretta implementazione in un simulatore Monte Carlo. È in quest’ottica
che viene affrontato lo studio dello scattering dipendente dai fononi ottici, dai fononi acustici,
l’analisi della funzione di distribuzione degli elettroni e dei coefficienti di ionizzazione per i set
dei potenziali di deformazione di riferimento forniti da Jacoboni[9], Bufler[19] e presenti nel
simulatore Bandit.
Si effettua una corretta implementazione del modello per la mobilità degli elettroni facendo sı̀
che tale modello del trasporto elettronico corrisponda con quello di Caughey-Thomas[23] che
permette di descrivere la mobilità degli elettroni fino a 300K in funzione del doping e del campo
elettrico.
La tesi è cosı̀ organizzata:
• Capitolo 2: Si descrive il metodo di simulazione Monte Carlo;
• Capitolo 3: Si prende in esame lo scattering dei fononi studiando come tale modello
viene implementato nel codice di Bandit e la corrispondenza tra i dati di simulazione ed
i risultati proposti in letteratura;
• Capitolo 4: Si analizza lo scattering dalle impurezze ionizzate e si corregge il modello
implementato in Bandit in modo che sia in accordo con il modello di Caughey-Thomas
per la mobilità degli elettroni.
• Capitolo 5: Vengono riportate le conclusioni alla tesi.
6
Capitolo 2
Il Metodo di Simulazione Monte
Carlo
2.1
Introduzione al Monte Carlo
Con l’avvento dei computer ci si è resi conto dell’esigenza di disporre di uno strumento potente,
affidabile, che permettesse di analizzare in dettaglio le proprietà intrinseche e il comportamento
dei semiconduttori in presenza e/o assenza di forze esterne.
Dal punto di vista fisico-matematico, l’equazione differenziale di Boltzmann,
∂f
d~r
d~
p
∂f
df
=
+ ( ) · ∇ r f + ( ) · ∇ p f = ( )C
dt
∂t
dt
dt
∂t
(2.1)
che descrive il problema del trasporto, non si presta ad una soluzione analitica semplice eccetto
per pochi casi che però non modellano i sistemi reali.
Quando si prende in considerazione il comportamento reale non lineare di un semiconduttore,
aumenta notevolmente la difficoltà : la soluzione analitica dell’equazione del trasporto senza
linearizzazione, in condizione di forze esterne applicate, è un problema matematico molto impegnativo e non sempre si presta alla soluzione teorica rigorosa. Da quanto sinteticamente
esposto, è quindi chiaro che è veramente importante disporre di uno strumento che risolva
per via numerica l’equazione 2.1 anche se tale soluzione dovesse risultare per qualche ragione
non assolutamente rigorosa. Il metodoMonte Carlo è un metodo numerico-statistico
generale usato per risolvere problemi matematici come il problema del trasporto
nei semiconduttori. L’approccio numerico alla soluzione di questo problema, è una
simulazione della dinamica a livello microscopico dei portatori nel cristallo. Questa
tecnica di simulazione fu presentata per la prima volta da Kurosawa alla conferenza internazionale sui semiconduttori tenutasi a Kyoto nel 1966.
2.1.1
Un Tipico Programma Monte Carlo
La simulazione inizia con un elettrone posto nello stato iniziale k~0 ; la durata del volo libero
è scelta da una distribuzione di probabilità determinata partendo dalla probabilità dei vari
meccanismi di scattering cui è soggetto il portatore. Ogni meccanismo di scattering ha un
proprio scattering rate dipendente dalle proprietà fisiche di quel meccanismo.
Durante il volo libero le forze esterne impongono sui portatori una forza che ne modifica il
7
moto:
~
e
˙
~ ~r = 5~k (k)
h̄~k = eF~ + ~v × B
(2.2)
c
h̄
dove il membro di destra rappresenta la forza di Lorenz composta dal contributo elettrico e da
quello magnetico.
Se il programma è di tipo “single particle” le particelle vengono simulate una dopo l’altra e i
risultati sono collezionati subito prima dell’interruzione del volo libero dovuta allo scattering;
se il programma è di tipo “ensemble” più paricelle vengono simulate contemporaneamente e le
statistiche vengono raccolte in prefissati istanti.
Lo step successivo è la scelta del meccanismo di scattering che pone fine al volo libero della
particella in accordo con la relativa distribuzione di probabilità di tutti i possibili meccanismi
di scattering. Questa scelta impone un nuovo stato k~0 , scelto in accordo con le regole proprie
del meccanismo di scattering che ha determinato l’interruzione del volo libero della particella.
Tale stato è assunto come stato iniziale per la successiva simulazione. Il processo è ripetuto più
volte e ad ogni passo la simulazione diventa sempre più precisa: la simulazione globale termina
quando si è raggiunta la precisione voluta.
2.1.2
Definizione del Sistema Fisico
Il simulatore viene inizializzato partendo dalla definizione del sistema fisico d’interesse fornita
dall’utente. Vengono definiti anche i parametri che controllano la simulazione: il numero di step
di transitorio (non si collezionano i dati della simulazione) e il numero di step di simulazione
per collezionare i risultati statistici d’interesse. A questo punto si procede al calcolo preliminare
di ogni scattering rate in funzione dell’energia delle particelle; si ottiene cosı̀ una informazione
preliminare del massimo valore di queste funzioni per ottimizzare l’efficienza della simulazione.
L’ultimo step di questa fase preliminare è l’inizializzazione a zero delle grandezze cumulative
quali ad esempio la velocità delle particelle, le correnti, etc.
2.1.3
Condizioni Iniziali del Moto
Nel caso della simulazione dello stato di regime, il tempo di simulazione deve essere abbastanza
lungo affinchè la scelta delle condizioni iniziali del moto per la particella non influenzi i risultati
finali. Tale scelta è un compromesso tra l’esigenza dell’ergodicità (t → ∞) e il tempo computazionale proprio del programma-calcolatore. Nel caso particolare in cui si applica un campo
elettrico F~ molto alto e si inizializza l’energia dell’elettrone al valore k B T0 dove kB è costante
di Boltzmann; questa energia iniziale è notevolmente inferiore all’energia media a regime; ne
consegue che durante il transitorio, che è un tempo definito dall’utente, l’elettrone incrementa
la propria energia fino al valore di regime. L’elettrone interagisce con il campo determinando
un valore di mobilità molto più alto rispetto alla condizione di stazionarietà . È per questo che
vengono definiti gli step di simulazione che compongono il transitorio dove le particelle vengono
simulate, ma i risultati statistici non vengono collezionati. Più lungo è il tempo di transitorio,
meno le condizioni iniziali influenzano i risultati medi finali.
2.1.4
Durata del Volo Libero Self-Scattering
Durante un volo libero il vettore d’onda ~k della particella cambia in continuazione in accordo
con l’equazione 2.2 come conseguenza del campo elettrico applicato F~ .
8
Definizione del Sistema Fisico
Input dei Parametri Fisici e di Simulazione
Condizioni Iniziali del
Moto
Determinazione
Stocastica del Volo
libero
Determinazione dello
stato prima dello
Scattering
Collezione dei Dati per
gli Estimatori Statistici
Determinazione
Stocastica del
meccanismo di
Scattering
Precisione
raggiunta ?
Determinazione
Stocastica dello
Stato dopo lo
Scattering
Valutazione
Estimatori
Stampa dei
Risultati
STOP!
Figura 2.1: Diagramma di flusso del programma di simulazione “single particle” Monte Carlo
Introducendo la probabilità che la particella nello stato ~k subisca una collisione durante il tempo
dt, P [~k(t)]dt, si può derivare tutta la formulazione statistica della teoria computazionale del
volo libero. Cosı̀ la probabilità che una particella che aveva subito una collisione al tempo t = 0
9
e al tempo t non ha ancora subito nessun evento di urto, viene definita nella seguente forma:
Rt
−
P [~
k(t0 )]dt0
e 0
(2.3)
L’espressione rappresenta la probabilità che nell’intervallo temporale (0,t) non ci sia un evento
di scattering.
La probabilità che ci sia un evento di urto nell’intorno di t, durante dt per la particella è la
seguente:
Rt
−
p[~
k(t0 )]dt0
P(t)dt = P [~k(t)]e 0
dt
(2.4)
Data la complessità dell’eq.2.4, questa non viene implementata nel metodo Monte Carlo dato
che l’energia della particella non si conosce prima che termini il free-flight.
Un metodo è il self-scattering: definendo Smax il massimo valore di P (~k) nello spazio delle fasi
d’interesse, si ricorre al self-scattering in modo che la probabilità dello scattering totale rimanga
costante ed uguale a Smax .
L’equazione 2.4 può essere quindi ridotta nella forma:
P(t) =
1 − τt
e 0
τ0
Smax =
(2.5)
1
τ0
dove Smax può essere una conveniente funzione dell’energia.
Il tempo di volo libero è ottenuto dall’equazione:
tr = −τ0 ln(r)
Ricordando che P (~k) è una funzione dell’energia posseduta dalla particella si può scegliere di
assumere Smax = P (M ), con M uguale alla massima energia per la particella.
Dopo il free-flight si genera un numero casuale r con distribuzione uniforme e lo si confronta
con:
S()/Smax
(2.6)
L’energia della particella , che permette di calcolare lo scattering rate, è calcolata al termine
del volo libero. Se r > S()/Smax il meccanismo self-scattering è selezionato e lo stato dopo
la collisione k~0 è preso uguale a quello prima dell’evento di urto ~k, cosı̀ che il percorso della
particella rimane imperturbato se non si verifica un vero meccanismo di scattering.
Esistono algoritmi piú accurati che non vengono qui descritti per brevità.
2.1.5
Scelta del Meccanismo di Scattering
A volo libero avvenuto, l’energia è nota e bisogna quindi scegliere il meccanismo di scattering.
Si sceglie un meccanismo appartenente all’insieme dei possibili meccanismi di scattering implementati nel simulatore: introducendo un numero random r, il prodotto rS max è confrontato
con le successive somme delle probabilità dei singoli meccanismi.
Un meccanismo è selezionato applicando la seguente tecnica: se S i è lo scattering rate del
meccanismo i-esimo
P
Sj = rSmax Smax = i Si
Il meccanismo j-esimo è scelto se j è tale che, se la prima somma parziale che è uguale a
Sj assume il valore S1 + S2 + .... + Sj . La figura riportata mette in luce che la probabilità
di scegliere il meccanismo j-esimo è proporzionale a S j come desiderato. Se viceversa tutti
i possibili meccanismi di scattering sono stati provati e nessuno di essi è stato selezionato,
significa che rSmax > S() e quindi bisogna introdurre un self-scattering.
10
Smax
S1+S2+S3
Sj=rSmax
S3
S1+S2
S2
S1
S1
0
Figura 2.2: Determinazione stocastica di un evento nel caso discreto.
probabilità che si verifichi l’evento i-esimo
2.1.6
S i rappresenta la
Scelta dello Stato dopo lo Scattering
Una volta individuato il particolare meccanismo di urto che interrompe il volo libero della
particella, è necessario determinare lo stato k~f dopo tale evento. Se si era verificato un selfscattering, lo stato finale k~f è uguale a quello iniziale k~i , viceversa se si era individuato il
meccanismo di urto, tale stato finale è generato stocasticamente in accordo con il procedimento
proprio di ogni meccanismo di scattering.
La probabilità P (k~f ) di scegliere come stato finale dopo lo scattering k~f è ottenuta dal rapporto
tra il transition rate Sn (k~i , k~f ) e il total scattering rate Sn (k~i ) dello stato prima dello scattering.
P (k~f ) =
Sn (k~i , k~f )
Sn (k~i )
(2.7)
Lo scattering rate Sn (k~i ) è ottenuto dal transition rate Sn (k~i , k~f ) sommando tutti gli stati finali
k~f .
X
Sn (k~i , k~f )
(2.8)
Sn (k~i ) =
k~f
L’equazione 2.7 può essere cosı̀ riscritta:
Sn (k~i , k~f )
P (k~f ) = P
~ ~
k~f Sn (ki , kf )
11
(2.9)
2.2
Struttura a Bande
La definizione della struttura a bande è indispensabile per derivare la relazione energetica (~k),
in funzione del vettore d’onda ~k, che permette di determinare il moto della particella.
2.2.1
Struttura Cristallina del Silicio
Prendendo in considerazione un cristallo di qual si voglia semiconduttore, questo è costituito
da una base e da un reticolo di Bravais.
La base può essere un qualunque aggregato di atomi la cui dimensione è compresa tra il singolo
atomo e la molecola (p. es. DNA).
Il reticolo di Bravais è un insieme di punti Rl che sono generati per mezzo di tre traslazioni non
complanari a1 ,a2 ,a3 appartenenti allo spazio vettoriale tridimensionale.
~ l = l1 a~1 + l2 a~2 + l3 a~3
R
(2.10)
dove li sono dei numeri interi.
Partendo dalle proprietà di questo reticolo (p. es. riflessione, rotazione, ..) si possono distinguere quattordici reticoli di Bravais. Nel caso di interesse, i semiconduttori, sono caratterizzati
da una struttura tetraedica; cioè il reticolo atomico può essere visto come un reticolo cubico a
facce centrate partendo da una base composta da due soli atomi.
Dal punto di vista matematico è importante sottolineare che i reticoli cristallini e le loro
Figura 2.3: Generazione del reticolo cubico a facce centrate del Silicio
proprietà fisiche, sono trasformati in loro stessi per mezzo di opportuni operatori geometrici (rotazioni, riflessioni, ecc.)[12]. L’insieme di questi operatori è chiamato “point group” del
reticolo cristallino e comprende 48 operatori; di questi, 24 sono trasformazioni linearmente indipendenti, mentre le altre 24 si ottengono semplicemente per inversione. Nella tabella 2.1 è
tabulato il “point group” valido per i semiconduttori a reticolo cubico a facce centrate. Ad
esempio, la trasformazione Q3 (x¯1 , x2 , x¯3 ) rappresenta la funzione di inversione f (−x1 , x2 , −x3 )
per ogni generica funzione f dipendente dalle coordinate del sistema di riferimento.
12
Q1 (x1 , x2 , x3 )
Q5 (x2 , x3 , x1 )
Q9 (x3 , x1 , x2 )
Q13 (x¯1 , x3 , x¯2 )
Q17 (x2 , x¯1 , x¯3 )
Q21 (x3 , x2 , x1 )
Q2 (x1 , x¯2 , x¯3 )
Q6 (x¯2 , x3 , x¯1 )
Q10 (x¯3 , x¯1 , x2 )
Q14 (x¯1 , x¯3 , x2 )
Q18 (x¯2 , x1 , x¯3 )
Q22 (x¯3 , x2 , x¯1 )
Q3 (x¯1 , x2 , x¯3 )
Q7 (x¯2 , x¯3 , x1 )
Q11 (x3 , x¯1 , x¯2 )
Q15 (x¯3 , x¯2 , x1 )
Q19 (x1 , x3 , x2 )
Q23 (x2 , x1 , x3 )
Q4 (x¯1 , x¯2 , x3 )
Q8 (x2 , x¯3 , x¯1 )
Q12 (x¯3 , x1 , x¯2 )
Q16 (x3 , x¯2 , x¯1 )
Q20 (x1 , x¯3 , x¯2 )
Q24 (x¯2 , x¯1 , x3 )
Tabella 2.1: Elementi del point group. A. Morgan, in Landsberg, ed., Solid State Theory:
Methods and Applications.1969
Esistono anche le simmetrie di traslazione, cioè il cristallo viene traslato in se stesso.
~ l ) = f (~r)
f (~r + R
~ l = vettore reticolare.
con R
Data la periodicità della funzione f (~r) si può ricorrere alla serie di Fourier:
(
P
~
f (~r) = k~h Ak~h eikh ·~r
R
~
Ak~h = Ω1 Ω f (~r)e−ikh ·~r
(2.11)
(2.12)
dove Ω è il volume base che genera il cristallo. La scelta del volume non è univoca, quindi lo si
sceglie partendo da a~1 , a~2 , a~3 che individuano quel volume che prende il nome di cella di WignerSeitz. Questa cella si ottiene connettendo gli atomi vicini con le linee (a~1 , −a~1 , a~2 , −a~2 , a~3 , −a~3
) e tagliando le connessioni a metà per mezzo di piani. La cella è la figura racchiusa da questi
piani. Il valore del volume lo si ottiene dal prodotto misto dei vettori a~1 , a~2 , a~3 :
Ω = a~1 · (a~2 × a~3 )
(2.13)
Ricordando la periodicità della funzione esponenziale il cui argomento è puramente immaginario,
si giunge alle seguenti espressioni:

~ ~

 Kh · Rl = 2π
(2.14)
K~h = h1 b~1 + h2 b~2 + h3 b~3

 ~
2π
2π
2π
~
~
b2 = Ω a~3 × a~1 b3 = Ω a~1 × a~2
b1 = Ω a~2 × a~3
dove hi i = [1, 2, 3] sono degli interi.
K~h rappresenta il reticolo reciproco nello spazio delle fasi.
Per il silicio, ad esempio, il reticolo diretto cubico a facce centrate è trasformato per mezzo
dell’operatore di traslazione nel reticolo reciproco cubico a corpo centrato. La prima zona di
Brillouin può essere ottenuta considerando che, prendendo (0, 0, 0) come punto centrale, i punti
più vicini sono i vertici del cubo (±1, ±1, ±1) e i centri dei cubi vicini sono i punti (±2, 0, 0),
(0, ±2, 0), (0, 0, ±2). Come conseguenza, la prima zona è data dall’intersezione tra il cubo e
i piani, le cui equazioni cartesiane sono del tipo |k x | + |ky | + |kz | = 32 . Cosı̀ i punti ~k che
appartengono alla prima zona di Brillouin verificano le seguenti relazioni:

kx ≤ 1




ky ≤ 1
(2.15)

kz ≤ 1



|kx | + |ky | + |kz | ≤ 23
dove tutti i vettori sono in unità di 2π/a e a è la costante reticolare. Tenendo in considerazione
quanto è stato illustrato fin qui, la prima zona di Brillouin ha 48 simmetrie, per cui i calcoli
13
possono essere condotti in una zona ristretta chiamata volume irriducibile che verifica:
(
1 ≥ |kx | ≥ |ky | ≥ |kz | ≥ 0
(2.16)
kx + ky + kz < 32
Figura 2.4: Zona di Brillouin del reticolo cubico a facce centrate. Le etichette Γ, X e K sono i
punti di simmetria. Γ è il centro della zona [0, 0, 0]; X il punto finale in direzione [1, 0, 0]. L e
K sono i punti finali nelle direzioni [1, 1, 1] e [1, 1, 0] rispettivamente.
2.2.2
Elettroni in un Potenziale Periodico - Struttura a Bande
Gli elettroni presenti nella struttura cristallina del semiconduttore, interagiscono con i campi
di forza esterni applicati alla struttura e con il potenziale cristallino U c (~r) dovuto agli atomi
reticolari ed agli altri elettroni.
Uc(r)
z
Figura 2.5: Tipica rappresentazione del potenziale cristallino
Per trovare le funzioni d’onda Ψ(z) bisogna risolvere l’equazione di Schrödinger per l’elettrone:
h̄2 ∂ 2 Ψ(z)
+ Uc (z)Ψ(z) = Ψ(z)
(2.17)
−
2m0 ∂z 2
14
Le funzioni d’onda Ψ(z), soluzione dell’equazione di Schödinger, sono anche chiamate Onde di
Bloch quando si considera un potenziale cristallino periodico U c (r) e consistono in una funzione
periodica nella costante reticolare a moltiplicata per l’espressione dell’onda piana.
Ψk = uk eik~r
uk (~r + a) = uk (~r)
(2.18)
Per trovare uk (z) basta semplicemente inserire l’espressione per le onde di Bloch nell’equazione
di Schödinger ottenendo la relazione:
[
1 h̄ ∂
(
+ h̄k)2 + Uc (z)]uk = (~k)uk
2m0 i ∂z
(2.19)
Risolvendo tale equazione con le opportune condizioni al contorno in funzione del vettore d’onda
~k e per ogni autovalore (~k), si ottiene il valore della funzione d’onda u k . Si nota che fissando
n (~k) n = 1, 2, 3.. e facendo assumere al vettore d’onda ~k valori appartenenti ad R si ottiene
un’infinità di autovalori della funzione d’onda uk . Ad ogni autovalore (~k) è associata una
banda energetica poichè come ~k varia, una intera banda energetica è coperta.
Il comportamento generale della struttura formata dalle bande energetiche è schematizzato
nella figura 2.6. Le linee tratteggiate rappresentano l’intervallo minimo di periodicità della
ε(κ)
n=3
ε3(κ1)
ε2(κ1)
n=2
ε1(Κ1)
n=1
−π /a
k1
π /a
k
Figura 2.6: Bande energetiche in funzione del vettore d’onda k
bande nello spazio delle fasi. È importante notare che esistono zone proibite dove l’energia non
può assumere nessun valore determinando la separazione delle bande con dei “salti” che sono
chiamati “energy gap”.
2.2.3
Bande di Conduzione e di Valenza - Relazioni Energetiche
La regione energetica della struttura a bande di un semiconduttore, essenziale nella trattazione
e formulazione del problema del Trasporto, è centrata rispetto all’energy gap e si estende di
qualche eV al di sotto del massimo della banda di valenza e al di sopra del minimo della banda
di conduzione. Siccome la relazione di dispersione energetica ha una forma molto complessa,
spesso vengono introdotte delle relazioni semplificate che descrivono l’energia in funzione del
vettore d’onda ~k.
L’espressione della relazione energetica è del tipo = (~k), cioè in funzione del vettore d’onda
15
12.0
10.0
Energy [eV]
8.0
6.0
4.0
2.0
0.0
L
Γ
X U,K
Wave Vector k
Γ
Figura 2.7: Struttura della Banda di Conduzione del Silicio usata nel simulatore Bandit
dei portatori (elettroni o lacune) sottoposti a una forza esterna. Nella regione intorno al minimo
della banda di conduzione, chiamata normalmente valle, o intorno al massimo della banda di
valenza, la funzione (~k) è data dall’espressione quadratica in ~k. L’espressione è del tipo:
• (k) =
h̄k2
2m :
k2
banda sferica ed approssimazione parabolica;
• (k) = h̄2 ( mll +
kt2
mt ):
banda elissoidale ed approssimazione parabolica;
• (k) = ak 2 [1 ∓ g(ϑ, ψ)]: banda “warped” ed approssimazione parabolica;
Nel caso in cui k assume valori non più vicini al minimo della banda di conduzione o al
massimo della banda di valenza, le espressioni di (k) prese in considerazione non sono più
valide. Per considerare la non parabolicità bisogna quindi sostituire ad (k) un’espressione in
funzione di α che rappresenta il coefficiente di non parabolicità .
(k) → (k)[1 + α(k)] =
ky2
kx2
k2
+
+ z
2mx
2my
2mz
(2.20)
per la banda di valenza, non si può semplicemente sostituire ad (k) l’espressione in α ma bisogna considerare che la non parabolicità ha un espressione più complicata.
16
2.2.4
Modello della Banda Full-Band
Nel lavoro di Venturi-Ghetti[18] viene discussa la tecnica Full-Band per il calcolo della struttura
a bande impiegata nel simulatore Monte Carlo. In un simulatore Monte Carlo Full-Band
la struttura a bande del semiconduttore è descritta per via numerica in termini della totale
dipendenza di (~k), senza imporre la forma della banda. Il modello Full-Band è alternativo e
k2
k2
molto più accurato del più comune modello analitico non parabolico: (1 + α) = 2ml l + 2mt t .
Entrambi i modelli della struttura a bande permettono di calcolare la Densità degli stati (Dos),
fondamentale per derivare tutte le espressioni d’interesse quali ad esempio lo scattering rate.
La Dos è definita come: il numero di stati elettronici per unità di volume in ~r e in ~k ed è data
da due volte (lo spin) il numero totale di stati (N 3 ) diviso il volume in ~r (Ω) e il volume totale
in ~k (N 3 Vk ).
1
2N 3
=
(2.21)
g(~r, ~k) =
ΩN 3 Vk
4π 3
La Dos in realtà è funzione dell’energia , quindi la si può esprimere per mezzo della seguente
espressione:
Z
1
g() =
δ( − (~k))d~k
(2.22)
4π 3
In 3D la funzione (~k) è di solito descritta attraverso una tabella dove vengono raccolti i valori
ijp per tutti i nodi di coordinate kx = i/N , ky = j/N , kz = p/N in unità di (2π/a) appartenenti ad una griglia regolare condotta sul volume irriducibile IW della cella di Wigner-Seitz o
appartenenti ad un’altra griglia formata da tetraedi, possibilmente non uniformemente distribuiti, in modo che (~k) diventa una funzione lineare su ogni tetraedo.
Griglia Tabulare
Si procede calcolando il numero ottimo di nodi N nella direzione 4 di una griglia spaziata con
regolarità . Per computare l’energia dato lo stato ~k, bisogna prima determinare gli indici
i, j, p del cubo centrato in ~k; l’energia risultante la si ottiene mediante la seguente formula di
interpolazione:
j+1 X
p+1
i+1 X
X
=
(2.23)
i0 j 0 p0 fi0 j 0 p0 (~k)
i0 =i j 0 =j p0 =p
fi0 j 0 p0 (~k) =
kx − ki0 ,x
ky − kj 0 ,y
kz − kp0 ,z
·
·
ki0 +1,x − ki0 ,x kj 0 +1,y − kj 0 ,y kp0 +1,z − kp0 ,z
(2.24)
Questo schema di interpolazione è valido per valutare la Dos (g()) come funzione dell’energia
.
Griglia Tetraedica
La griglia tetraedica implica che (~k) sia una funzione lineare su ogni tetraedo che compone la
griglia permettendo di semplificare la determinazione degli eventi di scattering: lo scattering
dipende dalla Dos che in questa griglia, è data dalla somma delle aree dei triangoli o dei
quadrilateri ottenuti dall’intersezione di ogni tetraedo con la superficie a energia costante ( =
cost). La griglia permette anche di semplificare la valutazione dei voli liberi delle particelle:
essendo (~k)una funzione lineare, nè segue che la velocità di gruppo v g è costante in ogni
elemento e l’integrazione delle equazioni del moto risulta semplificata. La griglia tetraedica
incrementa la velocità di simulazione come conseguenza della semplificazione della struttura a
bande[18].
17
2.2.5
Determinazione delle arandezze fisiche
La soluzione dell’equazione del trasporto 2.1 è la funzione di distribuzione che è indispensabile
alla formulazione di tutte le altre grandezze fisiche che permettono di descrivere le proprietà
dei portatori.
Cosı̀ per ottenere il numero totale dei portatori, basta semplicemente sommare tutti i portatori
in ogni stato con momento p~ = h̄~k.
La concentrazione media dei portatori è ricavata dall’equazione:
n(~r, t) =
1X
f (~r, p~, t)
Ω
(2.25)
p
~
dove la sommatoria coinvolge tutti i p~ appartenenti alla prima zona di Brillouin.
La densità di corrente, dovuta agli elettroni, J(~r, t) è ottenuta considerando la funzione di
distribuzione f (~r, p~, t) ed è data dalla sommatoria:
J(~r, t) = −
5~ (~k)
q X
vg (~
p)f (~r, p~, t) ~vg = k
Ω
h̄
(2.26)
p
~
La densità media dell’energia cinetica è invece ricavata dall’espressione:
W (~r, t) =
1X
E(~
p)f (~r, p~, t)
Ω
(2.27)
p
~
La densità media dell’energia cinetica è cosı̀ espressa:
Z
2
∗
1
1 X p~2
p~2 e[EF −Ec0 (~r)−~p /2m ]/kB TL d~
p
f (~r, p~) '
W0 (~r) =
3 ∗
3
Ω
2m∗
8π h̄ m p~
p
~
che da come risultato
(2.28)
W0
3
= u 0 = k B TL
(2.29)
n
2
dove u0 è l’energia cinetica media per portatore in equilibrio ed è l’espressione di Boltzmann
dell’energia di un gas elettronico in equilibrio.
È importante osservare che tutte le grandezze sono state ricavate dalla conoscenza dei singoli
portatori nel senso che, simulando la dinamica dei portatori attraverso la tecnica Monte Carlo,
è possibile ricavare dei dati che permettono di esprimere le proprietà dei singoli portatori e
quelle che descrivono il comportamento globale.
18
Capitolo 3
Lo Scattering da Fononi
3.1
Introduzione
Alla base dello studio del trasporto nei dispositivi vi è quello dei procedimenti di “scattering”.
Con tale terminologia si intende l’insieme dei meccanismi di collisione che determinano un
cambiamento dello stato dei portatori nell spazio delle fasi ~k. In questo capitolo si vuole
affrontare lo studio dello scattering dovuto ai fononi implementati nel simulatore Monte Carlo
Bandit. Lo scattering fononico è inelastico, cioè l’energia dell’elettrone durante il processo
d’urto non si conserva. Di conseguenza esso è uno dei principali meccanismi che dissipano
l’energia cinetica degli elettroni acquistata dal campo elettrico. Si studierà la mobilità fononica
degli elettroni in una barretta di silicio uniformemente drogata a cui è applicato un campo
elettrico costante confrontandola con il modello di riferimento di mobilità. L’analisi si articola
in:
• Analisi dello scattering rate dovuto ai fononi ottici ed acustici implementato nel codice di
Bandit ricercando le incongruenze esistenti tra il modello implementato e quanto previsto
dalla teoria procedendo alla correzione del codice. In quest’ottica si analizza anche come
viene implementata nel codice la scelta dello stato dopo lo scattering;
• Si utilizzano i set dei potenziali di deformazione dei fononi di Bandit, di Jacoboni[9] e di
Bufler[19] eseguendo il confronto delle curve di velocità e di mobilità degli elettroni per
verificare che i risultati ottenuti siano tra loro consistenti;
• Si analizzano le distribuzioni degli elettroni in funzione dell’energia e i coefficienti di
ionizzazione α(II) per i vari set di potenziali di deformazione. Si studia quindi il comportamento degli elettroni caldi e la corrispondenza del modello implementato in Bandit
con i dati di misura presenti in letteratura;
La mobilitá degli elettroni viene studiata perchè è un parametro indispensabile per la determinazione della corrente IDS dei MOSFET, quindi è necessario che questa sia corretta. I portatori
caldi determinano il degrado dell’affidabilitá del dispositivo e sotto l’influsso della ionizzazione
da impatto, determinano una corrente di substrato che puó provocare l’insorgere di effetti bipolari parassiti[31]. La corrispondenza dei portatori caldi con quanto previsto in letteratura è
indispensabile per determinare i valori corretti delle correnti di gate e di substrato di questi
dispositivi.
19
3.1.1
Formulazione Generale
Le onde di Bloch si muovono attraverso il reticolo ad opera del potenziale cristallino. Occasionalmente la particella incontra una perturbazione causata da una vibrazione reticolare o da
un’impurità; da tale incontro scaturisce un evento di collisione che determina il mutamento
dello stato da k~0 a k~00 .
È possibile determinare una espressione del transition rate S( k~0 , k~00 ) in funzione del potenziale di perturbazione Us (z, t). Tutta la formulazione dello scattering si sviluppa partendo
dall’equazione d’onda.
∂Ψ(z, t)
[H0 + Us (z, t)]Ψ(z, t) = ih̄
(3.1)
∂t
dove H0 è l’operatore Hamiltoniano e il potenziale U s (z, t) è periodico di periodo ejωt .
Si giunge alla formulazione della Regola d’oro di Fermi, che esprime il transition rate in funzione
della matrix element, dello stato prima e dopo lo scattering e di ω.
2π e 2
2π a 2
|H
|H
| δ[(k~00 ) − (k~0 ) − h̄ω] +
| δ[(k~00 ) − (k~0 ) + h̄ω]
(3.2)
h̄ k~0 k~00
h̄ k~0 k~00
Analizzando l’espressione si può chiaramente osservare che il membro di destra è composto da
due addendi che differiscono solamente per l’argomento della funzione δ. Il primo addendo
contribuisce solamente quando (k~00 ) = (k~0 ) + h̄ω, quindi viene assorbita un’energia pari a
h̄ω; il secondo contribuisce invece quando (k~00 ) = (k~0 ) − h̄ω, quindi viene emessa un’energia
pari a h̄ω. L’equazione è alla base della teoria dello scattering applicabile ai portatori nel
semiconduttore.
Si definisce l’elemento di Matrice relativo al potenziale di scattering (deformazione) U s (z, t) il
termine:
Z
S(k~0 , k~00 ) =
+∞
Hk~0 k~0 ≡
0
−∞
Ψ∗k~0 (z)Us Ψk~0 (z)dz
(3.3)
0
Se si considerano come portatori gli elettroni, le funzioni d’onda per il problema imperturbato
risultano essere le onde di Bloch e il matrix element puó essere riformulato come:

~0
~
~ ~0


 Hk~0 k~00 = I(kR0 , k0 )U (k0 − k0 )
+∞
(3.4)
I(k~0 , k~00 ) ≡ −∞ u∗k~ (z)uk~0 (z)dz
0


 U (k~ − k~0 ) = R +∞ e−ik~00 z U (z)eik~0 z dz
0
s
0
−∞
dove I(k~0 , k~00 ) è chiamato integrale di overlap. Per una banda parabolica I( k~0 , k~00 ) ' 1 e
R +∞
~0
~
Hk~0 k~0 ' −∞ e−ik0 z Us (z)eik0 z dz.
0
L’integrale di overlap determinato dalla parte periodica della funzione di Bloch è unitario quando le superfici equienergetiche sono sferiche e l’energia varia con legge parabolica con il momento.
Il transition rate o tasso di transizione S(k~0 , k~00 ) è il tasso per il quale i portatori mutano lo stato
iniziale in un altro specificato. Per le espressioni di interesse comunque quello che conta è lo
scattering rate, cioè il tasso di cambiamento da uno stato iniziale specificato verso un qualsiasi
altro stato.
X
1
=
S(k~0 , k~0 )
(3.5)
τ (k~0 )
~0
k ↑
L’equazine 3.5 rappresenta una relazione basilare di uso ricorrente nella trattazione delle concentrazioni, delle correnti etc. all’interno di un dispositivo realizzato con materiale semiconduttore:
lo scattering rate è l’inverso del tempo medio tra due collisioni τ (k 0 ). Un semplice uso di questa
uguaglianza permette attraverso l’impiego del teorema dell’impulso di definire la mobilitá come
20
segue:
→
−
−
−q F τ (k~0 ) = m∗ < →
v drif t >
⇒
µn =
−
|<→
v drif t > |
qτ (k~0 )
=
→
−
m∗
|F |
(3.6)
attraverso m∗ si tiene conto del potenziale imperturbato.
Chiaramente per ogni meccanismo di scattering si può definire un corrispondente tempo di
rilassamento τ (k~0 ) per poi ricorrere alla regola di composizione della mobilità di Mathiessen
per esprimere il valore complessivo di mobilità.
X 1
1
=
µ
µi
i
(3.7)
Come conseguenza macroscopica di questa approccio si ricorda che la resistività di un semiconduttore è legata alla mobilitá per mezzo della seguente relazione approssimata:
ρ=
1
q(pµp + nµn )
(3.8)
Lo scattering rate modifica la mobilitá che determina un cambiamento di resistività che si
riperquote sul termine ohmico della corrente nella condizione di campo elettrico applicato .
3.2
Introduzione ai Fononi Ottici ed Acustici
La definizione classica di fonone associa questo termine alle vibrazioni reticolari all’interno del
semiconduttore. Le vibrazioni non sono altro che le oscillazioni rispetto alla posizione d’equilibrio degli atomi del reticolo. L’interazione tra le vibrazioni reticolari e il moto delle particelle
cariche all’interno del reticolo è ovvia quando si pensi che il profilo di energia potenziale interno
al reticolo è determinato dalla posizione d’equilibrio degli atomi. Scostamenti degli atomi dalla
posizione d’equilibrio inducono variazioni del profilo di potenziale interno, che a loro volta interagiscono con le particelle in moto nel reticolo.
I fononi si dividono in:
• ottici: hanno una relazione di dispersione approsimata ω( k~q ) ' w0 = cost dove k~q è il
vettore d’onda del fonone. Sono chiamati ottici poichè hanno la medesima relazione di
dispersione (costante per ogni ω) dei fotoni;
• acustici: hanno invece una relazione di dispersione approsimata del tipo ω( k~q ) = vs |k~q |
dove vs è la velocitá del suono. Sono chiamati acustici poichè questi fononi hanno la forma
della relazioni di dispersione del tipo di quelle delle onde acustiche.
In figura fig.3.2 è riportato l’andamento delle relazioni di dispersione in funzione del vettore
d’onda k~q per i fononi acustici ed ottici.
3.2.1
Interazione Elettrone-Fonone
Poichè la struttura a bande nel semiconduttore è determinata dal potenziale cristallino la costante reticolare di un semiconduttore, sottoposta a pressione, viene a subire una perturbazione
che comporta di conseguenza una perturbazione energetica nella banda di interesse.
δEc = Dc
∂a
a
δEv = Dv
∂a
a
(3.9)
dove Dc e Dv sono i potenziali di perturbazione dedotti sperimentalmente e tabulati per i più
comuni semiconduttori. Ne consegue che le vibrazioni deformano il reticolo producendo una
21
ω
ω=ω
0
ω=υ skq
kq
Figura 3.1: Relazione di dispersione quando si considera solo i fononi longitudinali vicino al
centro della zona di Brillouin
deformazione del bordo della banda. Elettroni e fononi interagiscono quando i vettori d’onda
dei portatori “scatterano” fuori da questa deformazione. La trattazione di questa interazione
assume come punto di partenza l’uso delle onde elastiche 1 che vengono impiegate per derivare
l’espressione dei potenziali di interazione dei fononi ottici e degli acustici.
UAP (x, t) = DA
∂u
∂x
UOP (x, t) = DO u(x, t)
(3.10)
La deformazione del reticolo ad opera dei fononi polari perturba il momento di dipolo tra gli
atomi determinando quindi un campo elettrico che rappresenta le collisioni dei portatori con i
fononi, mentre la deformazione dovuta agli altri fononi varia la costante reticolare determinando
la variazione del gap tra la banda di conduzione e quella di valenza.
3.2.2
Scattering da Fononi Acustici
Per valutare lo scattering rate dovuto ai fononi acustici volendo introdurre il concetto del
potenziale di deformazione (ADP), si parte dalla regola d’oro di Fermi e si assume che ∆ =
±h̄ω, dove − è riferito all’assorbimento e + all’emissione. Lo scattering acustico è intravalle
perchè il vettore d’onda del fonone k~q è piccolo.
Ricordando il fattore di Bose-Einstein Nβ , che esprime il numero di fononi, si può scrivere
l’operatore Hamiltoniano per i fononi acustici e ricavare lo scattering rate per l’emissione.
1
Nβ =
e
H ac =
1 u(x, t)
s
h̄ωq
kb TL
(3.11)
−1
h̄(Nβ + 1/2 ± 1/2)
~
DA k~q e±j kq ·~r
2ρΩωq
= Aβ ei(±βx−ωt)
22
(3.12)
dove k~q = ∂u/∂x.
Il tasso di transizione S(~k, k~0 ) è cosı̀ ricavato:
2π
S(~k, k~0 ) =
| < ~k|H ac |k~0 > |2 δ((k~0 ) − (~k) + ∆)
h̄
(3.13)
dove < ~k|H ac |k~0 > è la notazione per indicare il matrix element e +∆ rappresenta l’emissione
del fonone .
Z
+∞
~
~0
e−j k·~r ac e+j k ·~r
√ H
√ dΩ
Ω
Ω
−∞
s
Z +∞
h̄(Nβ + 1)
1 j(−k~0 −k~q +~k)
< ~k|H ac |k~0 >=
DA k~q [
e
dΩ]
2ρΩωq
−∞ Ω
< ~k|H ac |k~0 >=
(3.14)
(3.15)
Quindi il trasition rate S(~k, k~0 ) può essere riscritto nella seguente formulazione:
2π 2 h̄(Nβ + 1) ~ 2
|kq | δ(−k~0 − k~q + ~k)δ((k~0 ) − (~k) + h̄ωq )
D
S(~k, k~0 ) =
h̄ A 2ρΩωq
(3.16)
(Nβ + 1) è riferito all’emissione del fonone:
(Nβ + 1) =
1
eh̄ωq /(kB T )
−1
+ 1 ωq → 0 (Nβ + 1) =
kB T
h̄ωq
(3.17)
mentre per l’assorbimento si ottiene che Nβ → 0. L’espressione finale del transition rate S(~k, k~0 )
per i fononi di tipo acustico è qui ottenuta assumendo che ω q = k~q vs :
π kB T 2
S(~k, k~0 ) =
D δ(−k~0 − k~q + ~k)δ((k~0 ) − (~k) + h̄ωq )
ρΩ h̄vs2 A
(3.18)
Lo scattering rate S(~k) è ottenuto integrando il transition rate S(~k, k~0 ) su tutti i possibili stati
finali k~0 (tabella 3.1).
Modello
Scattering rate
Full-Band
S() =
Analitico parabolico
S() =
/non parabolico
S() =
P δ((k~0 )−(~k)+h̄ωq )
π kB T
2
k~0
ρ h̄vs2 DA
Ω
R
Ω
0 )dk
0
~
~
~
S(
k,
k
(2π)3
2
πDA
kB TL
gc ()
h̄ν 2 ρ
s
Densità degli stati
Analitica parabolica
gc () =
Analitica non parabolica
gc () =
√
8π 2(m∗ )3/2 √
3
√ h
8π 2(m∗ )3/2
(1 +
h3
√
√
2α) 1 + α Tabella 3.1: Modelli dello scattering rate per i fononi acustici intravalle (banda sferica): modello
analitico, modello Full-Band
La relazione dello scattering rate per gli acustici dimostra che lo scattering rate è proporzionale al numero di stati finali disponibili.
3.2.3
Scattering da Fononi Ottici
Il procedimento adottato è analogo a quello dello scattering acustico, se non che, nel caso deifononi otticilo scattering non può essere considerato elastico a meno che, l’energia dei portatori
non sia molto alta.
Le superfici ad energia costante per gli elettroni nel silicio consistono di parecchie valli. Per il
silicio esistono due possibili meccanismi di scattering intervalle:
23
• tipo G: Il processo muove un portatore da una valle nota in un’altra sullo stesso asse;
• tipo F: Il processo muove un portatore sulle valli ortogonali a quella di partenza.
Questi processi di scattering producono un cambio di momento (vettore d’onda) molto grande
e quindi necessitano di fononi con vettori d’onda k~q vicino al confine della zona.
Figura 3.2: Meccanismi di Scattering Intervalle di tipo F e di tipo G
Il numero di valli finali disponibili per lo scattering intervalle è cosı̀ riassunto:
• tipo G →
Z = 1 valle;
• tipo F →
Z = 4 valli;
Per derivare il modello si deve considerare l’espressione dell’operatore Hamiltoniano per i
fononi ottici e il fattore di Bose-Einstein eq.3.11.
s
h̄(Nβ + 1/2 ± 1/2)
~
H opt =
DO e±j kq ·~r
(3.19)
2ρΩωq
Utilizzando la regola d’oro di Fermi si esprime il transition rate S(~k, k~0 ) per gli ottici:
2π
S(~k, k~0 ) =
| < ~k|H opt |k~0 > |2 δ((k~0 ) − (~k) ± ∆)
h̄
(3.20)
Il matrix element è cosı̀ espresso:
< ~k|H
opt
|k~0 >=
s
h̄(Nβ + 1)
DO [
2ρΩωq
Z
+∞
−∞
1 j(−k~0 ±k~q +~k)
e
dΩ]
Ω
(3.21)
2π 2 h̄(Nβ + 1)
δ(−k~0 ± k~q + ~k)δ((k~0 ) − (~k) ± h̄ωq )
D
S(~k, k~0 ) =
h̄ O 2ρΩωq
(3.22)
2 Nβ 1/2 ± 1/2
δ(−k~0 ± k~q + ~k)δ((k~0 ) − (~k) ± h̄ωq )
S(~k, k~0 ) = DO
ρΩωq
(3.23)
24
Modello
Scattering rate
Full-Band
S() =
Analitico parablico
S() =
/non parabolico
S() =
P δ((k~0 )−(~k)±h̄ωq )
π ZNβ
2
ρ ωq D O
Ω
k~0
R
Ω
~
~
S(k, k 0 )dk~0
(2π)3
2
ZNβ
πDO
gc ()
ρωq
Densità degli stati
√
2(m∗ )3/2 √
3
√ h ∗ 3/2
8π 2(m )
6
(1 +
h3
Analitica parabolica
gc () = 6 8π
Analitica non parabolica
gc () =
√
√
2α) 1 + α Tabella 3.2: Modelli dello scattering rate per i fononi ottici intervalle (banda sferica): modello
analitico, modello Full-Band
Dalla relazione si osserva che un portatore con una qualunque energia può subire un processo di urto causato dal’assorbimento di un fonone ottico, ma solo i portatori con un’energia
eccedente urtano per emissione di fononi ottici.
3.3
Il codice di Bandit
3.3.1
Introduzione
Lo scopo di questa sezione è quello di illustrare le modifiche operte al codice di Bandit e l’analisi
dei dati ottenuti tramite simulazioni e di confrontarli con quanto è riportato in letteratura.
Il codice Bandit implementato prima di apportare le correzioni presentava diversi errori quali:
• Per il meccanismo di scattering di tipo F per i fononi ottici esistevano certe configurazioni
per cui la scelta dello stato dopo lo scattering risultava intravalle;
• Per il meccanismo di scattering di tipo G per i fononi ottici esistevano certe configurazioni
per cui la scelta dello stato dopo lo scattering era di tipo intervalle.
Si sono apportate anche modifiche al codice oltre a quelle necessarie per correggere gli errori
esistenti quali:
• Il calcolo della densità degli stati (Dos) attraverso il modello analitica da applicare in
prossimitá degli espremi della banda;
• Inserimento della scelta dello stato dopo lo scattering per i fononi acustici;
Nel lavoro [17] vengono confrontati tra loro più simulatori Monte Carlo implementati con codici
diversi che risolvono l’equazione semiclassica di Boltzmann per gli elettroni nel silicio. Da tale
lavoro risulta che il modello implementato in Bandit per la struttura a bande del silicio, di tipo
Full Band, produce dei risultati conformi con quelli ottenuti con gli altri simulatori specialmente
con quelli che implementano il modello analitico della struttura a bande.
Il comando in Bandit attivare il meccanismo di scattering con i fononi acustici è il seguente:
-soa coef[1][eV ],coef[2][eV ],e1[eV ],e2[eV ]
dove coef[1] e coef[2] sono i potenziali di deformazione acustici D A .
Si osserva che per lo scatterig da fononi acustici (ScattAcoustic), si utilizzano due coefficienti
che vengono passati dal file curl.c con i valori del potenziale di deformazione acustico D A
25
Acoustic Deformation Potenzial
imposti dall’utente. Si utilizzano due coefficienti per realizzare una dipendenza lineare tra il
potenziale di deformazione acustico e l’energia della particella. Lo scettering rate da fononi
acustici dipende anche dall’energia della particella oltre che dalla Dos: si può schematizzare
tale dipendenza lineare mediante la figura 3.3
coef[1]
coef[2]
e1
e2
Electron Energy [eV]
Figura 3.3: Dipendenza del Potenziale di Deformazione Acustico dall’energia della particella
Il comando in Bandit per attivare il meccanismo di scattering da fononi ottici di tipo G, F
o nessuno dei due è il seguente:
-soe EF onone [eV],DO [eV/cm],tipo
tipo=(f;g;void)
dove DO è il potenziale di deformazione ottico e EF onone è l’energia del fonone.
3.3.2
Calcolo dello Scattering in Bandit
Il file sorgente che implementa lo scattering delle particelle in Bandit è il file scatt.c. In questo
file vengono implementati i meccanismi di scattering fononico (acustico, ottico) e richiamate le
funzioni per il calcolo dello scattering rate delle impurezze ionizzate IonImpurityScattRate del
file ion-imp.c e la funzione IIScatteringRate del file impact.c che implementa lo scattering
da generazione da impatto.
La prima sezione del file si occupa del calcolo dello scattering rate, mentre nella seconda si
determina lo stato della particella (elettrone-lacuna) dopo l’evento che ha determinato la fine
del volo libero.
La funzione CreateScattering si occupa di inizializzare i valori per il calcolo dello scattering
rate per ogni meccanismo di urto implementato in Bandit, di calcolare la densità degli stati
(Dos) e di calcolare lo scattering rate. In figura 3.4 è riprodotto lo schema concettuale.
26
Figura 3.4: Schema concettuale della funzione CreateScattering
Il seguente frammento di codice rappresenta l’inizializzazione del coefficiente dello scattering
rate che verrà moltiplicato per la Dos, calcolata nel codice vecchio con la tecnica Full-Band,
mentre nel codice nuovo viene calcolata Full-Band per energie degli elettroni superiori a 0.1eV ,
altrimenti è calcolata analiticamente.
/* scale scattering mechanism coefficients */
for (sm = sc->smf; sm < sc->sml; sm++) {
if (sm->t & ScattAcoustic) {
sm->coef[1] = 2 * M_PI * bs->temp * nsb /
(bs->ul * bs->ul * bs->rho * bs->dirvol * egran *
27
bs->smax[type]->d) * sm->coef[1] * sm->coef[1];
sm->coef[1] *= 1.0 / 6.0;
sm->coef[2] = 2 * M_PI * bs->temp * nsb /
(bs->ul * bs->ul * bs->rho * bs->dirvol * egran *
bs->smax[type]->d) * sm->coef[2] * sm->coef[2];
sm->coef[2] *= 1.0 / 6.0;
} else if (sm->t & ScattOptic) {
r = sm->e / (2 * bs->temp);
nph = 1 / (2 * exp(r) * sinh(fabs(r)));
sm->coef[1] = M_PI * nph * nsb /
(bs->rho * fabs(sm->e) * bs->dirvol * egran *
bs->smax[type]->d) * sm->coef[1] * sm->coef[1];
if (sm->t & ScattF) sm->coef[1] *= 4.0 / 6.0;
if (sm->t & ScattG) sm->coef[1] *= 1.0 / 6.0;
}
}
Studiando il frammento di codice, Il ciclo for viene eseguito sulla tabella dei meccanismi di
scattering (smf è il puntatore all’inizio della tabella, sml è il puntatore alla fine) i cui campi sono
riempiti con i meccanismi di scattering impostati dall’utente. Inizialmente coef[1] contiene il
valore del potenziale di deformazione.
Per i fononi ottici l’espressione del codice è cosı̀ convertita nell’espressione canonica per il calcolo
dello scattering rate:
h
i
π·nph·sm→coef[1]2 ·Z
nsb
sm → coef[1] = bs→rho·fabs(sm→e)
bs→dirvol·egran·bs→smax[type]→d
dove:
bs → rho = ρ: è la densità del cristallo;
bs → dirvol = Ω: è il volume diretto del cristallo;
sm → e = h̄ωq : è l’energia del fonone;
bs → temp = kB TL : è la temperatura reticolare;
bs → ul = vs : è la velocità del suono.
nph: è il fattore di Bose-Einstein
Le grandezze di seguito elencate servono per il calcolo della Dos Full-Band:
nsb: è il numero di sottobande che compongono la struttura a bande;
egran: è la granularità energetica;
bs → smax[type] → d: la dos Full-Band viene organizzata in una matrice formata
da 3 colonne: energia, stato, Dos cumulativa. bs → smax[type] → d è il valore massimo della Dos cumulativa.
28
smin→
e
Enegia
i
Stato
d
Dos Cumulativa
smax→
Per i fononi acustici l’espressione implementata nel codice è cosı̀ convertita nell’espressione
canonica dello scattering rate:
2
smh → coef[1] = π·bs→temp·sm→coef[1]
6·bs→rho·bs→ul
i2 Dos
sh→d−sl→d
nsb
Dos = bs→dirvol·egran·bs→smax[type]→d · smax[type]→d
Lo scattering rate è ottenuto implementando il seguente codice:
/* compute scattering rate */
egran05 = egran / 2;
smin = bs->smin[type];
smax = bs->smax[type];
SetupEDSRFunction(bs, sc, egran, type);
dedsr = 1 / sc->edsrp[1];
nedsr = ceil((bs->emax[type] - sc->edsrp[0]) * sc->edsrp[1]);
sc->edsr = (double*) malloc(nedsr * sizeof(double));
edsrl = sc->edsr + nedsr;
for (edsr = sc->edsr; edsr < edsrl; edsr++)
*edsr = 0;
tmpedsr = 0;
if (verbose & VerbScattering) {
tmpedsr = (double*) malloc(nedsr * sizeof(double));
edsrl = tmpedsr + nedsr;
for (edsr = tmpedsr; edsr < edsrl; edsr++)
*edsr = 0;
}
for (sm = sc->smf; sm < sc->sml; sm++) {
if (sm->t & ScattII)
{
if (IIScatteringRate( sm, nedsr, dedsr, bs, emax, type))
exit(-20);
sc->ii = sm;
continue;
}
if (sm->t & ScattIonImp)
{
if (InitIonizedImpScattering(cm, sc, nedsr, dedsr, bs, emax,
type, &mmsz))
exit(-21);
continue;
}
29
sl = smin;
sh = smin;
edsr = sc->edsr;
tedsr = tmpedsr;
for (e = bs->emin[type]; e <= bs->emax[type]; e += dedsr) {
el = e + sm->e - egran05;
eh = e + sm->e + egran05;
while (sl < smax && sl->e < el) sl++;
while (sh < smax && sh->e < eh) sh++;
r = (sm->c)(e - bs->emin[type], (struct ScattMech*)sm) * (sh->d - sl->d);
*edsr++ += r;
if (verbose & VerbScattering) *tedsr++ += r;
}
}
• Il for(sm = sc → smf; sm < sc → sml; sm + +) più esterno punta alla tabella dei meccanismi di scattering e richiama le opportune funzioni per il calcolo dello scattering rate.
Se la variablie sm → t si riferisce alla ionizzazione da impatto, la scattering rate è ottenuto richiamando la funzione IIScatteringRate del file impact.c, se sm → t si riferisce
alle impurezze ionizzate viene richiamata la funzione InitIonizedImpScattering del file
ion-imp.c altrimenti si procede con il calcolo dello scattering rate dei fononi.
• La Dos Full-Band è ottenuta dal ciclo for(e = bs → emin[type]; e <= bs → emax[type];
e+ = dedsr) annidato che è utilizzato quando si deve calcolare lo scattering rate per i fononi. È un ciclo energetico è viene eseguito partendo dal minimo della struttura a bande
fino al massimo della stessa ed incrementata e ad ogni passo della quantità energetica
dedsr = ∆/2 (passo energetico).
Definite la quantità
el = e + sm → e − egran05
eh = e + sm → e + egran05
→
→
el = e + ph − egran/2
el = e + ph + egran/2
che rappresentano due variabili energetiche che vengono utilizzate per identificare la Dos FullBand corretta. Fin tanto che sl è minore del massimo puntatore della struttura Dos e l’energia
sl → e dello stato puntato da sl è minore di el, il puntatore sl viene ingrementato. Lo stesso
procedimento avviene per sh. I puntatori sl e sh identificano nella tabella della Dos cumulativa gli stati disponibili (sh → d − sl → d): la densità degli stati è ottenuta rapportando
sh → d − sl → d con il valore della massima dos cumulativa smax[type] → d.
DoSF ull−Band =
X δ((k~0 ) − (~k) ± h̄ωq )
k~0
Ω
=
nsb
sh → d − sl → d
·
(3.24)
bs → dirvol · egran smax[type] → d
Lo scattering rate dei fononi è ottenuto moltiplicando sm → c (prefattore dei fononi) per la Dos.
Una delle modifiche apportate al codice di Bandit è il calcolo analitico del fondo della Banda
(Dos) ottenuto con il seguente codice implementato per sostituire il calcolo della Dos Full-Band
nell’intorno del minimo dell’energia. Se l’energia della particella è minore a 0.1eV si calcola la
30
Dos analiticamente, altrimenti la si calcola con il modello Full-Band. Questo valore energetico
è impostato dall’utente nel file di input di Bandit con il comando -x.
const double DOSFactor = 1 /
(EnergyFactor * (LengthFactor / Centimeter) *
(LengthFactor / Centimeter) * (LengthFactor / Centimeter));
double nsesb=bs->cbls - bs->cbfs + 1;
PCBMinimum mn;
double ugf=4 * M_PI / bs->a0;
for (mn = bs->mnf; mn < bs->mnl && mn->sbi!=4; mn++);
if ((type==Electron)&&((e-bs->emin[type])*(1.0+mn->a*(e-bs->emin[type]))
<mn->BMEmax))
{
double dos_ana;
if (e+sm->e<bs->emin[type])
dos_ana=0;
else
{
dos_ana=(bs->dirvol*egran*smax->d/DOSFactor/2.0/nsesb)*
6.0*(sqrt(2.0)*8.0*M_PI*ElectronCharge*
sqrt(ElectronCharge)/PlanckConstant/
PlanckConstant/PlanckConstant)
*Centimeter*Centimeter*Centimeter
*sqrt(
ElectronRestMass*ElectronRestMass*ElectronRestMass
*pow(ugf*ugf/4.0,3.0)
/mn->ekem[0]/mn->ekem[1]/mn->ekem[2]
)
*sqrt((e+sm->e-bs->emin[type])*EnergyFactor)
*sqrt(1.0+mn->a*(e+sm->e-bs->emin[type]))
*(1.0+2.0*mn->a*(e+sm->e-bs->emin[type]));
}
r=(sm->c)(e - bs->emin[type], (struct ScattMech*)sm)
*dos_ana;
Il ciclo for viene eseguito sui minimi della struttura a bande. Il codice per il calcolo della
Dos analitica implementa l’espressione teorica della dos:
)3 · bs→dirvol·egran·smax→d
Dosanal = gc () = 0.5EnergyFactor( LengthFactor
cm
nsesd
h
i
i
h
√
2
8· 2·πe3/2 m3/2
3
o
· cm3 ( ugf
· 6 h3 ·mn→ekem[0]·mn→ekem[1]·mn→ekem[2]
4 )
p
p
· e + sm → e − bs → emin[type] · 1 + 2 · mn → a(e + sm → e − bs → emin[type])
p
· 1 + mn → a(e + sm → e − bs → emin[type])
31
Prescindendo dai fattori di adimensionalizzazione dell’espressione della Dos, la formula implementata nel codice è esattamente l’espressione teorica riportata nelle tabelle 3.1 e 3.2 (termine racchiuso nelle parentesi graffe).
3.3.3
Scelta del Meccanismo di Scattering
La funzione DoScattering realizza il calcolo dello stato della particella dopo l’evento di scattering che ha interrotto il suo volo libero. In questa funzione è implementato lo schema concettuale
di figura 3.5 per la ricerca del particolare meccanismo di scattering e il calcolo dello stato dopo
lo scattering.
La selezione del meccanismo di scattering implementata in Bandit è quella discussa nel precedente capitolo. Si esegue un ciclo sulla tabella delle particelle: selezionata una ad una la
particella, se ne determina lo stato dopo lo scattering.
for(pp = ppf; pp < ppl; pp + +){
p=*pp;
..
I puntatori iniziale e finale alla tabella delle particelle sono ppl e ppf. Lo scattering rate
totale è calcolato mediante la funzione TotalScatteringRate che è la somma del contributo
dello scattering rate dipendente dall’energia (fononi e ionizzazione da impatto) e dal contributo
dipendente dalle coordinate spaziali (impurezze ionizzate).
r=TotalScatteringRate(p → ek, sc, p → r, cm, &x, &y, &ed)*drand48();
drand48() fornisce un numero random tra 0 e 1.
Si esegue quindi un ciclo sulla tabella dei meccanismi di scattering definiti dall’utente in Bandit
e si calcola lo scattering rate sr proprio di quel meccanismo:
for (sm = smf; sm < sml && r >= 0; sm++) {
if (sm->t & ScattII)
{
iedsr = (int) ((p->ek - sc->edsrp[0]) * sc->edsrp[1]);
if (iedsr > nedsr - 2) iedsr = nedsr - 2;
edsr = sc->ii->s + (iedsr > 0 ? iedsr : 0);
sr = edsr[1] > edsr[0] ? edsr[1] : edsr[0];
}
else if (sm->t & ScattIonImp)
sr = IonImpurityScattRate(sc, x, y, p->ek);
else
{
ek = p->ek + sm->e - egran05;
sa = smin;
sb = smax;
while ((d = sb - sa) > 1) {
s = sa + d / 2;
if (s->e > ek) sb = s; else sa = s;
}
sl = sa;
32
for sulle particelle
p=* pp
r=TotalScatteringRate
*rand48 ()
for sul i- esimo
meccanismo di Scattering
p=p+1
si
r>0
no
p< ppl
no
sì
Calcolo dello scattering
rate del i- esimo
meccanismo ( sr i)
Exit
State After Scattering
r<sr i
si
no
Impact Ionization
Ionized Impurity
Phonons
r=r-sr i
Figura 3.5: Schema concettuale della funzione DoScattering
ek += egran;
sa = smin;
sb = smax;
while ((d = sb - sa) > 1) {
33
s = sa + d / 2;
if (s->e > ek) sb = s; else sa = s;
}
sh = sa;
sr = (sm->c)(p->ek - bs->emin[p->type], (struct ScattMech*)sm) *
(sh->d - sl->d);
}
Per lo scattering da fononi l’espressione while((d =sb-sa)>1) permette di identificare gli stati
che verificano la seguente diseguaglianza per l’energia delle particelle:
i ± h̄ωq − ∆/2 < particle < i ± h̄ωq + ∆/2
dove i è l’energia della particella prima dello scattering, h̄ω q è l’energia del fonone e ∆/2
è il passo d’integrazione.
Lo scattering rate dovuto ai fononi sr è proporzionale alla Dos.
sr ∝ (sh → d − sl → d)
Se r è minore di sr significa che è stato individuato il corretto meccanismo di scattering e
quindi si procede con la determinazione dello stato dopo tale evento di urto con le regole proprie
di tale meccanismo; viceversa se r è maggiore di sr bisogna ricercare un’altro meccanismo di
scattering nella tabella dei meccanismi d’urto. Il successivo passo è quello di decrementare il
total scattering rate r della quantità sr. Quando r = 0 si procede incrementando il puntatore a
particella ∗pp di un’unità, cioè si realizza un self-scattering. Si determina quindi lo stato dopo
lo scattering per tutte le particelle appartenenti alla tabella delle particelle.
3.4
Stato dopo lo scattering nel caso dei fononi
Lo stato dopo lo scattering per i fononi è ricercato prima nel volume irriducibilie (IW) e poi
viene ruotato con le regole del meccanismo di scattering nelle valli disponibili conoscendo la
valle di partenza.
3.4.1
Determinazione dello stato dopo lo scattering nel IW
Per i fononi si deve determinare lo stato dopo lo scattering che ha un’energia f = i ± h̄ωq .
if (r < sr) {
if (sm->t & ScattII)
{
if (verbose & VerbDebug2)
fprintf(stderr,"NEW P: %d %e %e %e %e\n",newppl-ppl+1,
r/TimeFactor, sr/TimeFactor,
(p->ek-bs->emin[p->type])*EnergyFactor,p->w);
pe = ph = NULL;
if (flags & BipolarDev)
{
if (newppl >= ppe - 2)
nnii++;
34
else
{
/* create new electron */
pe = *newppl;
*pe = *p;
pe->type = Electron;
newppl++;
/* create new hole */
ph = *newppl;
*ph = *p;
ph->type = Hole;
newppl++;
}
}
else if (p->type == majority)
{
if (newppl >= ppe)
nnii++;
else
{
/* create new majority carrier */
**newppl = *p;
(*newppl)->type = majority;
if (majority == Electron)
pe = *newppl;
else
ph = *newppl;
newppl++;
if (flags & IISecondary)
{
if (newppl >= ppe)
nnii++;
else
{
/* create new minority carrier */
**newppl = *p;
(*newppl)->type = minority;
if (minority == Electron)
pe = *newppl;
else
ph = *newppl;
newppl++;
}
}
}
}
35
else if (p->type == minority)
{
if (newppl >= ppe)
nnii++;
else
{
/* create new minority carrier */
**newppl = *p;
(*newppl)->type = minority;
if (minority == Electron)
pe = *newppl;
else
ph = *newppl;
newppl++;
if (!(flags & IINoTer))
{
if (newppl >= ppe)
nnii++;
else
{
/* create new majority carrier */
**newppl = *p;
(*newppl)->type = majority;
if (majority == Electron)
pe = *newppl;
else
ph = *newppl;
newppl++;
}
}
}
}
else
{
fprintf(stderr,"INTERNAL ERROR in scatt\n");
exit(222);
}
DoImpact( bs, egran, p, pe, ph);
}
else if (sm->t & ScattIonImp)
DoImpurity(p, x, y, bs, sc);
else
{
dos = sl->d + r / (sm->c)(p->ek - bs->emin[p->type],
(struct ScattMech*) sm);
sa = sl;
36
sb = sh;
while ((d = sb - sa) > 1) {
s = sa + d / 2;
if (s->d > dos) sb =
}
ultmp = sa->i;
p->sbi = ultmp & mask;
ultmp >>= log2n;
px[0] = (ultmp & mask) * h +
ultmp >>= log2n;
px[1] = (ultmp & mask) * h +
px[2] = (ultmp >> log2n) * h
s; else sa = s;
dsp * (drand48() - 0.5);
dsp * (drand48() - 0.5);
+ dsp * (drand48() - 0.5);
Nel codice si calcola la Dos dello stato dopo lo scattering considerando il rapporto tra r e sr
(fig.3.6).
Lo stato dopo lo scattering viene ricercato nella Dos di sr; si utilizzano due puntatori sa e
sh−−>d
sr
r
sh−−>d
DoS di sr
Figura 3.6: Desistà degli stati di sr contenete lo stato dopo lo scattering
sb che vengono incrementati fino a quando non si è determinato lo stato (d = 1). Identificata
cosı̀ la Dos cumulativa dello stato dopo lo scattering puntata da sa, si utilizza il campo i per
decodificare lo stato. Le componenti dello stato dopo lo scattering vengono moltiplicate per la
quantità:
(drand48() − 0.5) · dsp
per randomizzare lo stato discreto i attraverso il fattore di dispersione dsp e drand48(). Si
ottine cosı̀ lo stato dopo lo scattering in modo random con il vincolo che appartenga al volume
irriducibile (IW).
La modifica introdotta al codice di Bandit permette di calcolare analiticamente per gli elettroni
lo stato dopo lo scattering.
Il ciclo for è condotto sui minimi della struttura a bande e definita la quantità:
gam = p → ek + sm → e − bs → emin[p → type]
37
si verifica che l’energia (gam), calcolata in modo non parabolico, sia minore della massima energia
BMEmax per la validità del modello analitico impostata in Bandit dall’utente con il comando -x.
for (mn = bs->mnf; mn < bs->mnl && mn->sbi!=4; mn++);
if ((p->type==Electron)&&
((gam=(p->ek+sm->e-bs->emin[p->type])
*(1.0+mn->a*(p->ek+sm->e-bs->emin[p->type])))
<mn->BMEmax))
{
double costheta,sintheta,phi;
phi=drand48()*M_PI/4.0;
costheta=2.0*drand48()-1.0;
sintheta=sqrt(1.0-costheta*costheta);
qiso[0]=sqrt(gam)*costheta;
qiso[1]=sqrt(gam)*sintheta*cos(phi);
qiso[2]=sqrt(gam)*sintheta*sin(phi);
px[0]=mn->p[0]+qiso[0]/sqrt(mn->ekem[0]);
px[1]=mn->p[1]+qiso[1]/sqrt(mn->ekem[1]);
px[2]=mn->p[2]+qiso[2]/sqrt(mn->ekem[2]);
}
Lo stato dopo dell’evento d’urto è calcolato attraverso gli angoli φ e θ che sono ricavati dall’integrale dello scattering rate fononico nel caso della banda analitica sferica.
Sr ()ph = A1
Z
∞
k
02
0
Z
2π
0
Z
π
0
sin(θ)δ(f − i ± h̄ωq )dk 0 dφdθ
X
sqrt(gam)
θ
Y
ϕ
Z
Figura 3.7: Scelta dello stato dopo lo scattering in modo analitico
38
(3.25)
L’angolo φ è ottenuto da un numero random uniformemente distribuito tra [0 ÷ 1]
Z
2π
0
dφ → φ
[0 ÷ 2π] → φ =
π
drand48()
4
(3.26)
ed è limitato tra −π/4 e π/4 affinchè lo stato dopo lo scattering appartenga al volome irriducibile
(IW), mentre il coseno dell’angolo θ è ottenuto dall’espressione:
Z
π
sin(θ)dθ =
0
Z
1
−1
d cos(θ) → cos(θ) = 2drand48() − 1
(3.27)
In figura 3.7 è illustrato la scelta delle componenti dello stato dopo lo scattering per la banda
sferica. gam è la somma dell’energia della particella e di quella del fonone in banda sferica. Lo
stato dopo lo scattering è quindi ottenuto dalle trasformazioni di Herring & Vogt che trasformano lo stato in banda sferica in banda elissoidale. Lo stato in banda elissoidale è la somma
del minimo della banda elissoidale e lo stato in banda sferica diviso per sqrt(mn → ekem[0]) che
rappresenta la trasformazione di Herring & Vogt. Cosı̀ come sono stati calcolati p[0], p[1] e
p[2] verificano sempre l’appartenenza al volume irriducibile (IW).
3.4.2
Rotazione dello stato dopo lo scattering
Una volta trovato lo stato dopo lo scattering nel IW, esso deve essere ruotato nella giusta valle
d’arrivo in accordo con le regole del meccanismo di scattering fononico conoscendo la valle di
partenza.
if (sm->t & ScattF) {
imax = IMaxTable[fabs(p->p[0]) > fabs(p->p[1])]
[fabs(p->p[1]) > fabs(p->p[2])]
[fabs(p->p[2]) > fabs(p->p[0])];
itmp = lrand48() / randdivF;
iswp = SwapTableF[itmp / 8][imax];
} else if (sm->t & ScattG) {
imax = IMaxTable[fabs(p->p[0]) > fabs(p->p[1])]
[fabs(p->p[1]) > fabs(p->p[2])]
[fabs(p->p[2]) > fabs(p->p[0])];
itmp = lrand48() / randdivG;
iswp = SwapTableG[itmp / 8][imax];
if (p->p[imax]>0)
{
if(itmp % 2 == 0) itmp ^= 1;
}
else
{
if(itmp % 2 == 1) itmp ^= 1;
}
} else if (sm->t & ScattAcoustic ) {
imax = IMaxTable[fabs(p->p[0]) > fabs(p->p[1])]
[fabs(p->p[1]) > fabs(p->p[2])]
[fabs(p->p[2]) > fabs(p->p[0])];
39
itmp = lrand48() / randdivG;
iswp = SwapTableG[itmp / 8][imax];
if (p->p[imax] >0 )
{
if (itmp % 2 == 1) itmp ^=1;
}
else
{
if (itmp % 2 == 0 ) itmp ^=1;
}
} else {
itmp = lrand48() / randdiv;
iswp = SwapTable[itmp / 8];
}
p->p[iswp[0]] = itmp % 2 ? -px[0] : px[0];
itmp /= 2;
p->p[iswp[1]] = itmp % 2 ? -px[1] : px[1];
itmp /= 2;
p->p[iswp[2]] = itmp % 2 ? -px[2] : px[2];
ek = KineticEnergy(p->p, p->sbi, bs);
de = ek - (p->ek + sm->e);
p->ek = ek;
Si calcola imax, che rappresenta l’indice della componente più grande dello stato k~i prima
dello scattering e si ottiene dalle diseguaglianze che legano tra loro le componenti di k~i . Tali
diseguaglianze sono riprodotte in tabella 3.3. imax permette di determinare la valle in cui la
imax = −1
imax = 0
imax = 1
imax = 2
impossibile
|Px | > |Pz | > |Py | oppure |Px | > |Py | > |Pz |
|Py | > |Px | > |Pz | oppure |Py | > |Pz | > |Px |
|Pz | > |Px | > |Py | oppure |Pz | > |Py | > |Px |
Tabella 3.3: ImaxTable: tabella delle disuguaglianze delle componenti del vettore d’onda
particella risiede prima di subire l’evento d’urto.
iswp è un vettore formato da tre componenti ed è selezionato dalle tabelle SwapTableF e
SwapTableG (tab.3.4, tab.3.5) per mezzo di imax e di itmp. itmp assume un valore random
appartenente ad un insieme numerico la cui dimensione dipende del tipo di meccanismo di
scattering: per il meccanismo di tipo G itmp assume valore tra 0 e 16, per il meccanismo di
tipo F assume valore tra 0 e 32, mentre per un meccanismo generico assume valore tra 0 e 48.
I valori possibili di itmp sono ottenuti dalla simmetria della struttura: una valle è formata da
8 simmetrie, cosı̀ per un vettore d’onda appartenente al volume irriducibile (IW) della cella
di Wigner-Seitz, si ottengono tutti gli altri vettori data la simmetria della struttura. Risulta
comprensibile che per un meccanismo di scattering generico la possibile valle di arrivo può essere
una qualsiasi delle 6 valli e quindi per le simmetrie può appartenere a un qualsiasi spicchio dei
48 che compongono il reticolo reciproco del silicio.
40
Le Tabelle SwapTableF e SwapTableG sono state corrette perchè quelle precedentemente
itmp=0
itmp/8=1
itmp/8=2
itmp/8=3
imax=0
{1,0,2}
{1,2,0}
{2,0,1}
{2,1,0}
imax=1
{0,1,2}
{2,0,1}
{0,2,1}
{2,1,0}
imax=2
{0,1,2}
{1,2,0}
{0,2,1}
{1,0,2}
Tabella 3.4: Tabella SwapTableF corretta
itmp/8=0
itmp/8=1
imax=0
{0,1,2}
{0,2,1}
imax=1
{1,0,2}
{1,2,0}
imax=2
{2,0,1}
{2,1,0}
Tabella 3.5: Tabella SwapTableG corretta
implementate in Bandit presentavano dei casi per cui la particella continuava a rimanere nella
stessa valle sia prima che dopo l’evento di scattering trasformando il meccanismo intervalle in
uno intravalle. Per esempio prima di correggere il codice di Bandit, si potevano verificare le
scelte dello stato dopo lo scattering riportate in tabella 3.6.
Maccanismo F
Stato prima dello scattering
|Pz | > |Py | > |Px |
Stato dopo lo scattering
|Pz | > |Py | > |Px |
Maccanismo G
Stato prima dello scattering
|Pz | > |Px | > |Py |
Stato dopo lo scattering
|Px | > |Py | > |Pz |
imax = 2
p[x] = −0.0375
itmp = 3
p[y] = 0.04997
iswp = [2, 1, 0]
p[z] = −0.92503
p[x] = −0.0375
errore
imax = 2
p[x] = −0.03725
p[y] = 0.04997
intravalle
itmp = 4
p[y] = −0.01244
p[z] = −0.92503
p[x] = −0.9250
errore
p[y] = 0.0249
intervalle
iswp = [0, 1, 2]
p[z] = −0.096255
p[z] = −0.01249
Tabella 3.6: Errori della scelta dello stato dopo lo scattering nel codice di Bandit prima delle
modifiche implementate in questa tesi
Lo stato finale dopo lo scattering lo si ottiene con il seguente codice:
p->p[iswp[0]] = itmp % 2 ? -px[0] : px[0];
itmp /= 2;
p->p[iswp[1]] = itmp % 2 ? -px[1] : px[1];
itmp /= 2;
p->p[iswp[2]] = itmp % 2 ? -px[2] : px[2];
Tale codice assegna lo stato finale della particella partendo da quello dopo l’evento d’urto,
calcolato nel volume irriducibile, mediante iswp che determina la valle d’arrivo in accordo con
le regole proprie di ogni meccanismo di scattering: se il meccanismo è di tipo G si ottiene che
la valle di arrivo è esattamente l’opposta di quella di partenza, viceversa se il meccanismo è di
41
tipo acustico la valle di arrivo è esattamente quella di partenza. itmp, attraverso l’operazione
di modulo, determina i segni delle componenti del vettore d’onda dello stato finale dopo lo
scattering: si associa il segno negativo se il resto è diverso da zero; viceversa si associa il segno
positivo se il resto è nullo. Come già discusso precedentemente, itmp assume valori dipendenti
dal tipo di meccanismo di scattering. L’insieme minimo di itmp si ha per lo scattering di tipo
G ed Acustico itmp=[0÷16]. Prendendo come esempio itmp=18 il significato binario è quello
riportato in figura 3.8:
0
0
1
0
1
0
Acesso alla
Tabella SwapTable
Selezione
del Segno
Figura 3.8: Significato dei bit di itmp
I 3 bit meno significativi vengono impiegati per determinare il segno dello stato finale dopo
lo scattering, mentre i bit più significativi [2 o 3] vengono usati per estrarre iswp dalle tabelle
quando il meccanismo e di tipo F, G o Acustico. Avvalendosi sempre dell’esempio precedente
l’assegnazione del segno è cosı̀ realizzata:
itmp=0 (bit meno significativo)
p->p[iswp[0]] = -px[0];
itmp /= 2 = 1;
p->p[iswp[1]] = +px[1];
itmp /= 2 = 0;
p->p[iswp[2]] = -px[2];
3.5
3.5.1
Simulazioni delle Caratteristiche Velocità-Campo
Introduzione
Le simulazioni vengono condotte sulla barretta di silicio in figura 3.9 soddisfacente alle seguenti
proprietà :
• dimensioni fisiche della barretta 1µm · 1µm;
• drogaggio uniforme con atomi di fosforo P atti ad aumentare la concentrazione degli
elettroni a temperatura ambiente;
• Presenza di due contatti come in figura 3.9 ai quali si applica una differenza di potenziale
U che determina un campo elettrico Fx uniforme poichè la barretta è uniformemente
drogata .
42
electron velocity along x
Fx
U
Uniform Electric Field Fx
Uniform Dopin=n+
Figura 3.9: Barretta di Silicio uniformemente Drogata
In condizioni di campo elettrico Fx uniforme la relazione che lega il campo elettrico al potenziale
elettrico U è la seguente:
U
(3.28)
Fx = −
∆x
Siccome lungo x la dimensione fisica della barretta è di 1µm, per avere un campo elettrico F x
di −1kV /cm bisogna applicare una differenza di potenziale U tra i contatti di 100mV .
Questa barretta di silicio permette di studiare la velocità v x degli elettroni in funzione del
campo elettrico Fx applicato e quindi di derivare la rispettiva curva di velocità e di mobilità.
3.5.2
I Potenziali di Deformazione
Nel lavoro di Jacoboni-Reggiani[9] viene tabulato un set dei potenziali di deformazione per i
fononi ottici ed acustici. Per il silicio tale set è formato da:
• un potenziale di deformazione acustico;
• tre potenziali di deformazione ottici per gli scattering di tipo F;
• tre potenziali di deformazione ottici per gli scattering di tipo G.
Nella seguente tabelle tab.3.7, sono confrontati i valori dei potenziali di deformazione del set
implementato nativamente in Bandit con il set proposto da Jacoboni e quello proposto da
Bufler[19].
43
Optical Phonons
Energy [eV ]
0.062
0.018
0.012
Intervalley Type
g
g
g
eV
]
DBandit [ cm
2.15e8
eV
]
DJacoboni [ cm
11e8
0.8e8
0.5e8
eV
]
DBuf ler [ cm
10.75e8
0.782e8
0.488e8
0.059
0.047
0.019
f
f
f
2.15e8
2.15e8
2.0e8
2.0e8
0.3e8
1.95e8
1.95e8
0.293e8
C2
Bandit
6.86 [eV ]
C1 = C 2
Jacoboni
9.0 [eV ]
0.058
0.055
0.041
2.15e8
2.15e8
2.15e8
Acoustic Phonons
Energy e1 [eV ]
Energy e2 [eV ]
0.07
0.1
C1
Bandit
8.69 [eV ]
C1 = C 2
Bufler
8.79 [eV ]
Tabella 3.7: Confronto dei potenziali di deformazione dei fononi ottici ed acustici implementati
in Bandit con quelli di Jacoboni e Bufler
Le modifiche al codice di Bandit sono state apportate solamente alla versione sc, mentre
bandit ox usa ancora il codice senza modifiche. Il potenziale di deformazione acustico usato
√
in bandit ox è quello di Bandit tabulato in tabella 3.7 e diviso per 6 per considerare che lo
scattering dovuto ai fononi acustici nel vecchio codice è intravalle.
I fononi per i 3 set dei potenziali di deformazione sono cosı̀ utilizzati nel file di comando
input.crl di Bandit.
Per i fononi di Jacoboni:
# Definizione dello scattering
# Scattering da fononi acustici
-sae 9.0,9.0,0.07,0.1
#Scattering da fononi ottici
#tipo g
-soe 0.062,11.0e8,g
-soe 0.018,0.8e8,g
-soe 0.012,0.5e8,g
#tipo f
-soe 0.059,2.0e8,f
-soe 0.047,2.0e8,f
-soe 0.019,0.3e8,f
Per i fononi di Bandit:
# Defininizione dello scattering
#Scattering da fononi acustici
-sae 8.69,6.86,0.07,0.1
#Scattering da fononi ottici
#tipo g
44
-soe 0.062,2.15e8,g
#tipo f
-soe 0.047,2.15e8,f
-soe 0.059,2.15e8,f
#tipo ne f ne g
-soe 0.058,2.15e8
-soe 0.055,2.15e8
-soe 0.041,2.15e8
Per i fononi di Bufler:
# Defininizione dello scattering
#Scattering da fononi acustici
-sae 8.79,8.79,0.07,0.1
#Scattering da fononi ottici
#tipo g
-soe 0.062,10.75e8,g
-soe 0.018,0.782e8,g
-soe 0.012,0.488e8,g
#tipo f
-soe 0.059,1.95e8,f
-soe 0.047,1.95e8,f
-soe 0.019,0.293e8,f
Si riporta un esempio di file di comando input.crl usato per la simulazione della barretta
uniforme con Bandit:
#Defininzione delle Bande
-b si-allband,d
-x 0.85,0,0,4,0.1,0.916,0.19,0.19,0.5
-y 1,1,0.1
-y 2,2,0.1
-y 3,3,0.1
# Defininizione dello scattering
#elettroni
#Scattering da fononi acustici
-sae 8.79,8.79,0.07,0.1
#Scattering da fononi ottici
#tipo g
-soe 0.062,10.75e8,g
-soe 0.018,0.782e8,g
-soe 0.012,0.488e8,g
#tipo f
-soe 0.059,1.95e8,f
-soe 0.047,1.95e8,f
-soe 0.019,0.293e8,f
#Scattering da Generazione da Impatto
-ii iirates.table,secdis
# Informazioni da stampare e settaggio della simulazione
45
# Massima energia delle particelle
-e 5
#Informazioni da stampare a video
-vimdf
# Definizione del Transitorio
-ts 1e-15
-tt 10e-12
# multiplication stuff
-mse n
-mee 0.0,0.0,1.0,1.0,n,1
-nm 10
#Numero di particelle primarie
-np 50000
#Numero particelle secondarie
-n2 200
#Numero di Step di simulazione
-ns 30000
#Step di stampa dei risultati
-nt 20
3.5.3
Confronto degli Scattering rate
In questo paragrafo si affronta l’analisi dello scattering rate totale e parziale ottenuto per i diversi
set dei potenziali di deformazione con Bandit in cui sono state implementate le modifiche al
codice discusse nalla precedente sezione 3.3:
• Determinazione della Dos con il modello analitica per energie inferiori a BMEmax (definita
dall’utente di Bandit con il comando -x);
• Determinazione dello stato dopo lo scattering analiticamente;
• Correzione della rotazione dello stato dopo lo scattering per i fononi ottici di tipo G e F;
• Introduzione delle regole di selezione della valle d’arrivo per lo scattering da fononi
acustici;
Con il seguente comando di Bandit si stampano nel file out.dat i valori dello scattering rate in
funzione dell’energia degli elettroni ricordando che nel file di comando input.crl sono definiti i
vari meccanismi di scattering che concorrono nella simulazione, mentre il file uni.bnm, ottenuto
da inbandit sc, contiene le informazioni fisiche del dispositivo da simulare quali: la dimensione,
i punti di griglia, il doping, il campo elettrico , etc.
bandit_sc -f input.crl -m uni.bnm -vs -c -e6 > out.dat
dove −vs impone di stampare lo scattering rate, −e6 impone di stampare lo scattering rate
fino all’energia dell’elettrone di 6 eV .
Dalla stampa dello scattering rate si possono estrarre diverse informazioni necessarie per la
comprensione del comportamento della velocità degli elettroni in funzione del campo elettrico
applicato:
46
• a basso campo elettrico, quindi per basse energie dell’elettrone, dallo studio dello scattering rate si può comprendere le differenze di velocità ottenute implementando i vari set
dei potenziali di deformazione considerati precedentemente. Il campo elettrico F x impone
all’elettrone di accelerare e quindi di accrescere la sua energia. Lo scattering determina
l’interruzione del volo libero della particella e quindi del trasferimento di energia: se il
meccanismo di scattering è elastico tale energia si conserva altrimenti verrà decrementata
di una quantità propria per ogni meccanismo di urto;
• ad alto campo elettrico l’analisi del profilo di velocità viene spiegato sempre dallo studio
dello scattering rate. In questa regione di campo bisogna tenere in considerazione che
i meccanismi di scattering concorrenti sono dovuti ai fononi e alla generazione da impatto. Ogni aumento dell’energia delle particelle determinato dall’aumento dall’intensità
del campo elettrico Fx è compensato dello scattering rate e quindi mediamente le particelle presentano il medesimo valore di velocità media nonostante l’incremento del campo
elettrico.
Nelle figure 3.10, 3.11 e 3.12 sono confrontati gli scattering rate complessivi ottenuti implementando i fononi di Jacoboni, di Bufler e di Bandit nel codice corretto e lo scattering rate ottenuto
dal vecchio codice di Bandit.
In figura 3.10 vengono plottati i Total Scattering Rete τ ottenuti implementando i vari set
dei potenziali di deformazione tabulati nella tabella 3.7 ed implementati nel codice corretto
di Bandit per essere confrontati con lo scattering rate totale ottenuto con il vecchio codice di
Bandit. Si può quindi osservare che:
• I Total Scattering rate ottenuti implementando i fononi di Bandit nel codice corretto e
nel vecchio codice sono identici poichè i potenziali di deformazione sono i medesimi;
• Il Total Scattering rate ottenuto con il set di Jacoboni è più elevato di quello di Bandit,
quindi potenzialmente determina una riduzione del tempo di volo libero maggiore rispetto
a quella ottenuta con i fononi di Bandit;
• Lo scattering rate totale ottenuto con il set di Bufler si posiziona tra quello di Bandit e
quello di Jacoboni.
In figura 3.11 vengono ancora plottati i Total Scattering Rates da fononi, ma il range energetico è limitato tra 0 ÷ 100meV . È importante studiare lo scattering rete τ in questa regione
energetica poichè gli elettroni che hanno un’energia minore o uguale a 100meV appartengono al fondo della banda di conduzione e quindi per modelizzare la realtà e per incrementare la
precisione del calcolo della Densità degli stati è stato implementato nel codice di Bandit sc il calcolo analitico della Dos. Ad esempio anche nella funzione KineticEnergyIrreducibleWedge,
preposta al calcolo dell’energia cinetica della particella, è implementato il calcolo analitico
dell’energia cinetica dell’elettrone se questa è minore di BMEmax, cioè è minore della massima
energia dove vale il calcolo energetico analitico per la i-esima sottobanda. Viceversa se l’energia
dell’elettrone calcolata per via analitica è maggiore, si procede calcolandola mediante il modello
Full-Band.
In figura si osserva quanto segue:
• Per energie minori di 80meV il Total Scattering Rate ottenuto con i fononi di Bandit è
maggiore rispetto a quello ottenuto con i fononi di Jacoboni e di Bufler.
47
Total Scattering rate τ[1/s]
3e+14
2e+14
1e+14
Fononi di Bandit codice corretto
Fononi di Jacoboni
Fononi tesi di dottorato di Bufler
Fononi Bandit codice vecchio
0
0
2
4
Electron Energy [eV]
6
Figura 3.10: Confronto dello Scattering rate fononico Totale nell’intervallo 0 ÷ 6eV
• Per energie superiori a 80meV il Total Scattering rate dominante è quello di Jacoboni. Il
motivo di questa diminuzione dello scattering rete di Bandit è determinato dalla funzione
lineare del potenziale di deformazione acustico D A in funzione dell’energia della particella
mostrata in figura 3.3 e tabulata nella tabella 3.7. Tale funzione è invece indipendente
dall’energia degli elettroni per i potenziali di deformazione acustici di Bufler e di Jacoboni.
In figura 3.13 è plottato il set dei potenziali di deformazione dei fononi di Jacoboni nell’intervallo
energetico 0 ÷ 6eV .
48
1.5e+13
Total Scattering rate τ[1/s]
Fononi Bandit codice corretto
Fononi di Jacoboni
Fononi Tesi di dottorato di Bufler
Fononi Bandit codice vecchio
1e+13
5e+12
0
0e+00
2e−02
4e−02
6e−02
Electron Energy[eV]
8e−02
1e−01
Figura 3.11: Confronto dello Scattering rate fononico Totale nell’intervallo 0 ÷ 100meV
1.6e+12
Total Scattering rate τ[1/s]
1.4e+12
1.2e+12
1e+12
8e+11
6e+11
0e+00
Fononi di Bandit codice corretto
Fononi di Jacoboni
Fononi tesi di dottorato di Bufler
Fononi Bandit codice vecchio
1e−03
2e−03
3e−03
4e−03
Electron Energy[eV]
Figura 3.12: Ingrandimento dello Scattering rete Totale nell’intervallo 0 ÷ 4meV
In figura 3.14 è plottato il set dei potenziali di deformazione dei fononi di Jacoboni nell’intervallo energetico 0 ÷ 100meV .
49
fononi ottici f [0.019,0.3e08]
fononi ottici f [0.047,2.0e08]
fononi ottici f [0.059,2.0e08]
fononi ottici g [0.012,05e08]
fononi ottici g [0.018,0.8e08]
fononi ottici g [0.062,11e08]
fononi acustici 9.0 [eV]
Scattering rate [1/s]
1.5e+14
1e+14
5e+13
0
0
2
4
Electron Energy [eV]
6
Figura 3.13: Scattering rate dei fononi di Jacoboni nell’intervallo 0 ÷ 6eV
5e+12
fononi ottici f [0.019,0.3e08]
fononi ottici f [0.047,2.0e08]
fononi ottici f [0.059,2.0e08]
fononi ottici g [0.012,0.5e08]
fononi ottici g [0.018,0.8e08]
fononi ottici g [0.062,11e8]
fononi acustici 9.0 [eV]
Scattering rate [1/s]
4e+12
3e+12
2e+12
1e+12
0
0
0.02
0.04
0.06
Electron Energy [eV]
0.08
0.1
Figura 3.14: Scattering rate dei fononi di Jacoboni nell’intervallo 0 ÷ 100meV
3.5.4
Velocità di Saturazione in funzione della Temperatura Reticolare
I fononi ottici giocano un ruolo importante nel comprendere la saturazione della velocità degli
elettroni. L’energia di un di fonone ottico è dell’ordine, per il silico, di 63meV (vedi tab.3.7)
50
quindi a temperatura ambiente un elettrone non è mediamente in grado di emettere fononi ottici,
ossia di cedere energia e quantità di moto al reticolo mediante questo particolare meccanismo.
Al crescere dell’energia media e della temperatura dei portatori l’emissione di fononi ottici
diviene possibile.
L’emissione di fononi ottici è un meccanismo in grado di cedere quantità notevoli di energia al
reticolo. Nei semiconduttori, per campi elettrici superiori ad un valore di soglia dell’ordine di
qualche kV /cm, l’emissione di fononi ottici è in grado di cedere al reticolo tutta l’energia in
più ceduta dal campo elettrico ai portatori stessi e conseguentemente la velocità di deriva non
cresce proporzionalmente con il campo, ma tende a saturare ad un valore v sat dell’ordine di
1 · 107 [cm/s].
La dipendenza della velocità di saturazione v sat con la temperatura reticolare TL può essere
espressa mediante la seguente espressione[10]:
vsat =
2.4 · 107
1 + 0.8 · eTL /600
[cm/s]
(3.29)
In figura 3.15 è stata riprodotta la dipendenza dalla velocità di saturazione dalla temperatura
1.4e+07
espressione teorica Jacoboni
Bandit: Fx=200[kV/cm] fononi di Bandit
1.3e+07
vsat[cm/s]
1.2e+07
1.1e+07
1.0e+07
9.0e+06
8.0e+06
0
100
200
300
400
Temperatura reticolare TL[K]
500
600
Figura 3.15: Velocità di Saturazione degli elettroni v sat in funzione della temperatura reticolare
TL
reticolare TL risultante dalle simulazioni e dalla equazione 3.29.
51
3.5.5
Velocità e Mobilità elettronica
La curva di mobilità µx , ottenuta dalle misure sperimentali, può essere approssimata per il
silicio con la seguente espressione[11]:
µx =
µ0e
(3.30)
1
x β β
[1 + ( FFcr
) ]
dove Fcr è il campo critico, µ0e è il valore di mobilità per Fx → 0, mentre β rappresenta la
forma della regione di mobilità . Il campo elettrico critico F cr e β sono ottenuti dalle seguenti
espressioni:
β = 2.57 · 10−2 · TL0.66
(3.31)
Fcr = 1.01 · TL1.55
(3.32)
Si può osservare che sia β che Fcr dipendono dalla temperatura del reticolo TL e quindi mediante queste relazioni si possono tracciare i profili di mobilità µ x in funzione delle temperatura
reticolare TL e del campo elettrico Fx .
In figura 3.16 è riprodotto l’andamento delle curve di mobilità elettronica µ x e di velocità elettronica vx che approssimano i dati sperimentali. In figura 3.17 è stampato il confronto delle
8e+06
1500
2
electron mobility µx[cm /(Vs)]
electron velocity vx[cm/s]
6e+06
4e+06
2e+06
1000
500
TL=300[K]
Fononi di Jacoboni
Fononi di Bandit codice corretto
TL=300[K]
Fononi di Jacoboni
Fononi di Bandit codice corretto
0
0
5000
10000
15000
Electric Field Fx[V/cm]
20000
0
0
5000
10000
15000
Electric Field Fx[V/cm]
20000
Figura 3.16: Curve di Mobilità elettronica e di velocità elettronica che approssimano i dati
sperimentali[11]
velocità elettroniche ottenute delle simulazioni dal codice corretto di Bandit, quelle ottenute dal
codice vecchio e confrontate con la curva di velocità ottenuta dal modello di Caughey-Thomas
che implementa il solo scattering da fononi.
Nella tabella 3.8 sono tabulati per un campo elettrico F x di 500 V /cm i risultati ottenuti
dalle simulazioni con Bandit delle velocità elettroniche v x della barretta uniformemente drogata
e confrontati con il valore ottenuto con il modello di Caughey-Thomas.
In tabella 3.9 sono riportati i valori di velocità degli elettroni ottenuti per un campo elettrico
Fx di 20 kV /cm, mentre la figura 3.18 rappresenta le curve di velocità fino a 20 kV /cm.
52
1.1e+06
electron velocity vx[cm/s]
1e+06
Caughey−Thomas model
fononi Jacoboni Full−Band
fononi bandit codice corretto Full−Band
fononi tesi di dottorando Buffer Full−Band
fononi bandit codice vecchio Full−Band
fononi Jacoboni Dos analitica
9e+05
8e+05
7e+05
6e+05
460
480
500
Electric Field Fx[V/cm]
520
540
Figura 3.17: Curva di Velocità degli elettroni nella Barretta Uniforme ottenuta dalle simulazioni
Campo elettrico Fx = 500[V /cm]
Tipo Simulazione
Velocità Vx [cm/s] risp.to Caughey-Thomas [%]
Bandit old code
Bandit new code
Fononi di Jacoboni
Fononi Tesi Dr. Bufler
946270
798347
851322
849938
Caughey-Thomas
667625
41.737
19.580
27.515
27.308
Tabella 3.8: Confronto delle velocità elettroniche ottenute dalle simulazioni per un campo
elettrico di 500 V /cm
Nelle figure 3.19 e 3.20 sono riprodotte le curve di mobilità µ x elettronica in funzione del
campo elettrico Fx applicato alla barretta di silicio uniformemente drogata.
53
Campo elettrico Fx = 20[kV /cm]
Tipo Simulazione
Velocità Vx [cm/s] risp.to Caughey-Thomas [%]
8.40 · 10+6
7.99 · 10+6
7.64 · 10+6
7.72 · 10+6
Bandit old code
Bandit new code
Fononi di Jacoboni
Fononi Tesi Dr. Bufler
+2.101
-2.954
-7.214
-6.272
8.23 · 10+6
Caughey-Thomas
Tabella 3.9: Confronto delle velocità degli elettroni, dovute ai soli fononi, ottenute dalle simulazioni di Bandit con i potenziali di deformazione di Bandit, Jacoboni e Bufler (F x =
20[kV /cm])
electron velocity vx[cm/s]
8e+06
6e+06
4e+06
Caughey−Thomas model
fononi Jacoboni Full−Band
fononi bandit codice corretto Full−Band
fononi tesi di dottorando Buffer Full−Band
fononi bandit codice vecchio Full−Band
fononi Jacoboni Dos analitica
fononi Bandit Dos Analitica
2e+06
0
0
5000
10000
15000
Electric Field Fx[V/cm]
20000
Figura 3.18: Confronto delle velocità degli elettroni, dovute ai soli fononi, ottenute dalle simulazioni di Bandit con i potenziali di deformazione di Bandit, Jacoboni e Bufler (F x =
20[kV /cm])
Dall’analisi dei risultati ottenuti dalle simulazioni di Bandit, della velocità degli elettroni e
quindi della mobilità dei soli fononi, si può concludere che la velocità degli elettroni è uguale
per i 3 set dei potenziali di deformazione, quindi le mobilità degli elettroni di Bandit, Jacoboni
e Bufler sono grossomodo uguali.
54
1500
2
electron mobility µx[cm /(Vs)]
2000
1000
Caughey−Thomas model
fononi bandit codice corretto Full−Band
fononi bandit codice vecchio Full−Band
fononi Jacoboni Full−Band
fononi tesi di dottorando Buffer Full−Band
fononi Jacoboni Dos analitica
500
0
0
5000
10000
electric field Fx[V/cm]
15000
20000
Figura 3.19: Confronto delle Mobilità elettroniche ottenute dalle simulazioni di Bandit
implementando i potenziali di deformazione di Bandit, Jacoboni e Bufler fino a 20[kV /cm]
2000
2
electron mobility µx[cm /(Vs)]
1800
1600
1400
1200
1000
−1000
Caughey−Thomas model
fononi bandit codice corretto Full−Band
fononi bandit codice vecchio Full−Band
fononi Jacoboni Full−Band
fononi tesi di dottorando Buffer Full−Band
fononi Jacoboni Dos analitica
0
1000
electric field Fx[V/cm]
2000
3000
Figura 3.20: Confronto delle Mobilità elettroniche ottenute dalle simulazioni di Bandit
implementando i potenziali di deformazione di Bandit, Jacoboni e Bufler a basso campo
55
3.5.6
Distribuzione energetica degli elettroni
La funzione di distribuzione energetica descrive come i portatori mediamente si distribuiscono
in funzione del momento o della propria energia e può essere usata per ottenere diverse quantità
d’interesse o per descrivere il comportamento della popolazione dei portatori. La distribuzione
degli elettroni caldi è indispensabile per l’analisi e la progettazione dei dispositivi attraverso il
simulatore Monte Carlo. Infatti, ad esempio, dalla distribuzione degli elettroni caldi si ricava
la corrente di sub-strato del Mosfet. Le Isub e le correnti iniettate nell’ossido sono un ottimo
indicatore dell’affidabilità del dispositivo[30]. La I sub può essere stimata attraverso la seguente
relazione[30]:
Z Z
∞
Isub = q
f (, x)SII ()ddx
(3.33)
0
dove x è la coordinata nel canale, f è la funzione di distribuzione degli elettroni e S II è lo
scattering rate dovuto alla ionizzazione da impatto.
Gli elettroni caldi hanno fisicamente un’alta energia cinetica è quindi possono essere iniettati
nello strato d’ossido di gate di un Mosfet daneggiandolo e determinando la riduzione d’affidabilità di tale dispositivo. Si vuole confrontare le distribuzioni degli elettroni caldi ottenuti dalle
simulazioni di Bandit dei potenziali di deformazione di Jacoboni e Bufler con la distribuzione
che usa i potenziali di deformazione di Bandit che sono tarati affichè le distribuzioni degli elettroni caldi siano conformi con i dati sperimentali.
Nella figura fig.3.21 sono riprodotti gli andamenti della funzione di distribuzione degli elettroni
in funzione della temperatura reticolare TL ottenuti dalle simulazioni.
−2
10
Bandit: Fx=100 [kV/cm] TL=100 [K]
Bandit: Fx=100 [kV/cm] TL=200 [K]
Bandit: Fx=100 [kV/cm] TL=300 [K]
−3
Distribution Function f0(r,p)
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
−8
10
0
1
2
3
Electron Energy [eV]
4
5
Figura 3.21: Funzioni di Distribuzione degli elettroni in funzione di T L ottenute con le
simulazioni di Bandit
56
Per ottenere le funzioni di distribuzione in funzione dell’energia degli elettroni dalle simulazioni di Bandit bisogna:
1. eseguire la simulazione di Bandit ottenendo a fine elaborazione il file di dati output.dat
dal file di mesh uni.bnm;
2. Utilizzare il programma outbandit sc per estrarre dal file output.dat la distribuzione
degli elettroni con il seguente comando:
outbandit_sc -g uni.bnm -s output.dat -a1 > distribuzione.dat
dove i flag indicano:
-g: imposta il file di mesh;
-s: imposta il file di dati;
-a1: impone la stampa della funzione di distribuzione
In figura 3.22 è plottata la distribuzione degli elettroni per un campo elettrico di 100[kV /cm].
Come si può osservare, anche per le altre distribuzioni, la distribuzione degli elettroni in funzione dell’energia che utilizza i fononi di Bandit nel codice corretto è identica a quella del codice
senza le modifiche.
Le distribuzioni degli elettroni di Bufler e di Jacoboni sono pressochè identiche, ma si discosta−2
10
fononi Bandit codice corretto
fononi Jacoboni
fononi Bandit codice vecchio
fononi tesi di Dottorato Bufler
−3
Distribution Function f(Ee)
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
−8
10
0
0.5
1
Electron energy Ee[eV]
1.5
2
Figura 3.22: Confronto delle Funzioni di Distribuzione degli elettroni per i potenziali di
deformazione di Bandit, Bufler e Jacoboni per un campo elettrico di F x = 100[kV /cm]
no da quelle ottenute con i fononi di Bandit. Tale discostamento è ben evidenziato anche nelle
distribuzioni ottenute aumentando il campo elettrico F x con l’unica differenza, che fissato un
comune riferimento dalla probabilità di occupazione, l’aumento del campo elettrico determina
57
che gli elettroni si distribuiscono per energie cinetiche superiori.
Fissato un comune rifermiento per le energie degli elettroni, si osserva che le distribuzioni degli
elettroni di Jacoboni-Bufler determinano una sottostima della probabilità di occupazione rispetto a quella di Bandit.
In figura 3.23 è riportato il confronto delle funzioni di distribuzioni degli elettroni per un campo
elettrico di 200[kV /cm].
In figura 3.24 e 3.25 sono riportate le funzioni di distribuzione degli elettroni per un campo
−3
Distribution Function f(Ee)
10
fononi Bandit codice corretto
fononi Jacoboni
fononi Bandit codice vecchio
fononi tesi di Dottorato Bufler
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
−8
10
0
1
2
Electron energy Ee[eV]
3
Figura 3.23: Confronto delle Funzioni di Distribuzione degli elettroni per i potenziali di
deformazione di Bandit, Bufler e Jacoboni per un campo elettrico di F x = 200[kV /cm]
elettrico di 300[kV /cm] e 500[kV /cm].
58
−3
10
fononi Bandit codice corretto
fononi Jacoboni
fononi Bandit codice vecchio
fononi tesi di Dottorato Bufler
Distribution Function f(Ee)
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
−8
10
0
1
2
3
Electron energy Ee[eV]
4
Figura 3.24: Confronto delle Funzioni di Distribuzione degli elettroni per i potenziali di
deformazione di Bandit, Bufler e Jacoboni per un campo elettrico di F x = 300[kV /cm]
−3
fononi Bandit codice corretto
fononi Jacoboni
fononi Bandit codice vecchio
fononi tesi di Dottorato Bufler
Distribution Function f(Ee)
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
−8
10
0
1
2
3
4
Electron energy Ee[eV]
5
6
Figura 3.25: Confronto delle Funzioni di Distribuzione degli elettroni per i potenziali di
deformazione di Bandit, Bufler e Jacoboni per un campo elettrico di F x = 500[kV /cm]
59
3.5.7
Coefficienti da Generazione da Impatto
La ionizzazione da impatto (II) è un processo di generazione di coppie elettrone-lacuna dovuto
ai portatori caldi. Con riferimento alla figura 3.26, se un elettrone della banda di conduzione
(CB) acquista, per effetto del campo elettrico F , un’energia superiore all’energia del gap G ,
può interagire con un elettrone della banda di valenza (VB) promuovendolo in banda di conduzione. L’effetto complessivo di tale processo è che si hanno due elettroni in banda di conduzione
e una lacuna in banda di valenza disponibili per la conduzione.
L’interazione può avvenire in modo diretto o può essere mediata da fononi. In ogni caso questo
processo di generazione deve conservare il momento e l’energia totale del sistema di particelle
coinvolte.
Il processo può essere descritto tramite la funzione S II (k~i , k~f , k~1 , k~2 ) chiamata scattering rate
che rappresenta il numero di eventi da ionizzazione da impatto per unità di tempo di un elettrone nello stato k~i . Integrando sugli stati iniziali dell’energia , si ottiene l’espressione dello
scattering rete2 SII () in funzione dell’energia e quindi si può determinare il numero di coppie
elettrone-lacuna generate GII per unità di tempo e di volume.
GII (~r) =
Z
∞
SII ()f (~r, )gc ()d
(3.34)
G
L’equazione 3.34 è una funzione dipendente dallo scattering rate S II (), dalla funzione di distribuzione f (~r, ), dalla densità degli stati gc () e tutto dipende dall’energia cinetica dei portatori.
Il numero di coppie e-h può quindi essere espresso attraverso il coefficiente di ionizzazione α:
−
−
CB
CB
VB
VB
−
−
+
a)
b)
Figura 3.26: Processo di Generazione coppie e-h dovuto alla ionizzazione da impatto
GII (~r) = nα|v~n | = α
J~n
q
(3.35)
Tale espressione dipende dalla concentrazione degli elettroni n, dalla velocità degli stessi e da
α. Si può anche esprimere α in tutta generalità partendo dalla conoscenza della funzione di
distribuzione f (~r, ~k):
R
SII (~k)f (~r, ~k)d~k
α(~r) = R
(3.36)
f (~r, ~k)vg (~k)d~k
2 L’approccio è valido solo se si può conoscere l’energia delle singole particelle e quindi attraverso la tecnica
di simulazione Monte Carlo che simula il moto delle singole particelle
60
1.5e+14
Scattering rate SII(ε)[1/s]
Bendit model
1e+14
5e+13
0
0
2
4
6
Electron Energy ε[eV]
Figura 3.27: Scattering rate da ionizzazione da impatto ottenuto dalle simulazioni di Bandit
α è in generale una proprietà non locale, quindi la II dipende dalla storia passata dei portatori.
Si studia α utilizzando una barretta di silicio uniformemente drogata a cui è applicato un campo
elettrico Fx costante tale che α diventi una proprietà locale.
Il modello, che si trova in letteratura, per esprimere le misure di α in funzione del campo
elettrico F è il modello di Chinoweth:
α = an e−bn /F
(3.37)
dove log(α) è una funzione lineare dell’inverso del campo elettrico F .
Grant
Maes
Van Overstraeten
an [cm−1 ]
2.6 · 106
6.2 · 105
5 · 105
3.318 · 105
7.03 · 105
bn [V /cm]
1.43 · 106
1.08 · 106
0.99 · 106
1.174 · 106
1.231 · 106
F [V /cm]
2 · 10 < F < 2.4 · 105
2.4 · 105 < F < 5.3 · 105
5.3 · 105 < F < 7.7 · 105
8 · 104 < F < 1.5 · 105
1.75 · 105 < F < 6 · 105
5
Tabella 3.10: Valori dei parametri del modello di Chinoweth presenti in letteratura
In tabella 3.10 sono tabulati i parametri an e bn degli studi condotti sui coefficienti di
ionizzazione da impatto presenti nella letteratura:
• I risultati di Grant per l’impact ionization sono stati ottenuti dalle misure condotte utilizzando un diodo illuminato con luce di diversa lunghezza d’onda. I valori di α sono stati
estratti con un algoritmo che ricavava il valore in funzione del campo elettrico F senza
ipotizzare nessun andamento a priori;
61
• I risultati di Van Overstraeten e De Men sono stati ottenuti dalle misure seguendo lo
stesso metodo sperimentale di Grant, ma utilizzando una procedura di estrazione diversa.
L’andamento del campo elettrico è stato approsimato con un gradino anzichè con una
funzione costante a tratti come utilizzato da Grant. Ciò permette di trovare le relazioni
tra α e il campo elettrico senza ipotizzare alcun profilo a priori.
• I risultati di Maes, De Meyer e Van Overstraeten sono ricavati partendo dalle misure
condotte su un transistor bipolare con uno strato epitassiale molto lungo (8µm) in cui, in
pratica, gli effetti non locali avevano poca influenza. L’estrazione dei valori di α è stata
ottenuta ipotizzando la validità dell’equazione 3.37.
In figura 3.28 sono riportati i coefficienti di ionizzazione α ottenuti dalle simulazioni di Bandit
per i potenziali di deformazione di Jacoboni, Bufler e Bandit. Si può osservare che i coefficienti
5
10
4
−1
α(cm )
10
3
10
2
10
1
10
0.0e+00
Slotboom bulk (1987)
Slotboom surface (1987)
Grant (1972)
Maes,De Meyer, VanOverstraten (1990)
VanOverstraeten,DeMan(1970)
fononi Jacoboni
fononi Bufler
fononi Bandit codice corretto
fononi Bandit vecchio codice
2.0e−06
4.0e−06
1/E(cm/V)
6.0e−06
Figura 3.28: Valori di α ottenuti con i potenziali di deformazione di Jacoboni, Bufler e Bandit
dalle simulazioni Bandit
di ionizzazione α ottenuti implementando in Bandit i fononi di Bandit sia nel codice corretto che
in quello vecchio, sono identici e ricalcano l’andamento del modello di Van Overstraeten pochè
Bandit è stato calibrato con questo modello. Gli α ottenuti con i potenziali di deformazione di
Jacoboni e Bufler si discostano dai coefficienti di ionizzazione di Bandit. Risulta quindi che i
fononi di Jacoboni e Bufler sono inaccurati per descrivere la ionizzazione da impatto e quindi
le simulazioni dei dispositivi basati su tali set dei potenziali di deformazione, non descrivono
correttamente la corrente di substrato.
62
Per far si che la distribuzione degli elettroni ottenuta con i fononi di Jacoboni ricalchi quella
di Bandit e quindi sia concordante con i dati sperimentali, si deve prendere in considerazione
il lavoro di Bude[29]. Bude assume quale set dei potenziali di deformazione quello di Jacoboni
per basse energie e viene esteso in modo consistente con la struttura a bande per le alte energie.
Bude ha trovato che gli scattering rate di Jacoboni devono essere moltiplicati per 0.85, quindi
√
i potenziali di deformazione vengono moltiplicati per 0.85. In questo modo la distribuzione
degli elettroni è uguale a quella di Bandit. Nelle figure 3.29 e 3.30 si riportano le distribuzioni
degli elettroni di Bude. Come si vede le distribuzioni energetiche degli elettroni ottenute con i
fononi di Jacoboni ai quali è stata applicata la correzione di Bude, sono identiche con quelle di
Bandit.
−2
10
fononi di Bandit
fononi di Jacoboni
fononi di Bude
−3
Distribution Function f(Ee)
10
−4
10
−5
10
−6
10
−7
10
−8
10
0
1
2
3
Electron Energy [eV]
4
Figura 3.29: Distribuzione degli elettroni per un campo elettrico di F x = 200[kV /cm]: modifica
di Bude dei fononi di Jacoboni
63
10
−2
fononi di Bandit
fononi di Jacoboni
fononi di Bude
10
10
10
10
−3
−4
−5
−6
0
1
2
3
4
5
Figura 3.30: Distribuzione degli elettroni per un campo elettrico di F x = 500[kV /cm]: modifica
di Bude dei fononi di Jacoboni
Eseguendo la correzione dei potenziali di deformazione di Jacoboni in accordo con la modifica
di Bude, si correggono i coefficienti di ionizzazione α riportati in figura 3.31.
5
10
4
−1
α(cm )
10
3
10
2
10
Slotboom bulk (1987)
Slotboom surface (1987)
Grant (1972)
Maes,De Meyer, VanOverstraten (1990)
VanOverstraeten,DeMan(1970)
fononi Jacoboni
fononi Bude
fononi Bandit
1
10
0.0e+00
2.0e−06
4.0e−06
1/E(cm/V)
6.0e−06
Figura 3.31: Valori di α ottenuti dei potenziali di deformazione di Jacoboni, Bude e Bandit
dalle simulazioni Bandit
64
Come si vede in figura 3.31 la correzione di Bude dei potenziali di deformazione dei fononi
di Jacoboni determina che i coefficienti di ionizazione α coincidono con quelli di Bandit e quindi
con i risultati sperimentali ottenuti da Van Overstraeten. Per contro, la mobilità degli elettroni,
utilizzando questa modifica, è sbagliata. In figura 3.32 è plottata la mobilità degli elettroni.
2000
8e+06
electron mobility µx[cm /(Vs)]
2
electron velocity vx[cm/s]
1500
6e+06
4e+06
2e+06
1000
500
Caughey−Thomas model
fononi Bude
fononi Jacoboni
fononi Bandit
Caughey−Thomas model
fononi Bude
fononi Jacoboni
fononi Bandit
0
0
5000
10000
15000
Electric Field Fx[V/cm]
20000
0
0
5000
10000
15000
Electric Field Fx[V/cm]
20000
Figura 3.32: Confronto delle curve della Mobilità elettronica di Bude e di Jacoboni
65
3.6
Conclusioni
In questo capitolo si sono affrontati diversi argomenti che possono essere cosı̀ riassunti:
• Si è corretto il codice di Bandit sc e più precisamente:
Si è corretta la determinazione dello stato dopo lo scattering dovuto ai fononi ottici
di tipo G e F.
Si è corretto lo scattering rate per i fononi acustici considerando che è un meccanismo intravalle.
Si è implementata la scelta dello stato dopo lo scattering per i fononi acustici.
Si è sostituito il calcolo Full-Band della densità degli stati (Dos) con il calcolo analitico per energie degli elettroni inferiori a 100meV .
• Dall’analisi dei risultati delle simulazioni di Bandit, ottenuti implementando i set dei
potenziali di deformazione di Bandit, Bufler e Jacoboni, la mobilità degli elettroni è coincidente.
• La funzione di distribuzione degli elettroni caldi ottenuta con i fononi di Bandit non coicide con le distribuzioni ottenute impiegando i fononi di Jacoboni e Bufler; queste sono
inferiori e poichè la distribuzione di Bandit è calibrata con i dati sperimentali, i fononi di
Bufler e Jacoboni determinano una sottostima della probabilità di occupazione degli stati.
• I coefficienti di ionizzazione α per i fononi di Bandit sono uguali ai dati sperimentali di
Van Overstraeten, mentre quelli di Bufler e Jacoboni si discostano.
• Prendendo in considerazione il lavoro di Bude, si è verificato che i potenziali di deformazione di Jacoboni modificati, determinano che le distribuzioni dei portatori caldi
coincidono con quelle di Bandit cosı̀ come avviene per i coefficienti di ionizzazione α.
66
Capitolo 4
Lo Scattering da Impurezze
Ionizzate
4.1
Introduzione
Quando si prende in esame il comportamento microscopico del trasporto nei dispositivi non si
può non trattare il problema delle impurezze ionizzate: sono infatti intrinseche al dispositivo.
Prendendo in considerazione il silicio drogato, ogni atomo impiantato rappresenta una impurezza ionizzata che determina l’instaurarsi di un campo elettrico locale il cui effetto macroscopico
è quello di modificare la mobilità degli elettroni.
In questo capitolo si analizza lo scattering da impurezze ionizzate nella formulazione di Brooks
& Herring prendendo come punto di riferimento il lavoro di Chattopadhyay e Queisser [25] che
è una raccolta dei principali risultati teorici per le impurezze. È fondamentale l’analisi della
corrispondenza del codice per le impurezze del simulatore Monte Carlo Bandit con il modello
teorico e la corrispondente correzione in modo che ciò che viene simulato numericamente corrisponda a quanto misurato nella pratica. Il codice precedentemente implementato in Bandit
presentava diverse incongruenze:
• L’espressione dello scattering rete implementata nel codice non coincideva con l’espressione teorica del modello di Brooks & Herring;
• L’energia dell’elettrone prima e dopo lo scattering non si conservava. Il processo risultava
inelastico per determinate energie dell’elettrone in disaccordo con quanto previsto dalla
teoria;
• Come dimostrato nel lavoro di Kosina[21], in presenza di semiconduttori degeneri, l’espressione della lunghezza di screening LD nella formulazione che assume una distribuzione di Maxwell-Boltzmann non è corretta, ma bisogna prendere in considerazione una
distribuzione di Fermi-Dirac;
• Nel lavoro di Fischetti[20] si dimostra che oltre allo scattering da fononi e da impurezze
ionizzate esistono altri meccanismi di scattering quali lo scattering elettrone-plasma e lo
scattering portatore-portatore che influenzano la mobilità degli elettroni. Per considerare
la dipendenza della mobilità da questi ulteriori meccanismi, si è fatto uso di una funzione
di correzione della mobilità dipendente dal doping affinchè questa sia il più possibile
67
coincidente con la curva di riferimento di Cauchey-Thomas, la cui espressione è riportata
nel lavoro di Klaassen[23].
Lo scopo di questo lavoro è di ottenere il modello di mobilità per gli elettroni, considerando i
potenziali di deformazione per i fononi di Jacoboni, che sia il più possibile coincidente al modello di Cauchey-Thomas perchè, mediante le simulazioni numeriche di Bandit, si può analizzare
il comportamento dei dispositivi elettronici. Questo approccio risulta essere un valido strumento nell’analisi e progettazione dei nuovi dispositivi elettronici purchè i dati ottenuti dalle
simulazioni siano consistenti con quelli ottenuti dalle misure condotte sui medesimi dispositivi.
4.2
4.2.1
Il Modello Fisico dello Scattering
Espressione dello scattering rate
I portatori vengono deflessi modificando la direzione del loro percorso quando incontrano il
campo elettrico di un’impurezza ionizzata. Questo tipo di collisione in natura è elastica, quindi
si ha la conservazione dell’energia prima e dopo l’urto e tale meccanismo da solo non è in grado
di controllare il processo di trasporto in presenza di un campo elettrico esterno F x ; deve esserci
anche un meccanismo inelastico che dissipi l’energia dei portatori quale ad esempio lo scattering
fononico visto nel capitolo precedente.
Fisicamente quello che si osserva è che se una carica è posta in un sistema induce un potenziale
elettrico che determina il movimento delle altre cariche presenti nel sistema. Queste cariche
si muovono per contrastare questo potenziale e il risultato netto di tale movimento è un potenziale elettrico che non è semplicemente quello Coulombiano dovuto alla sola carica iniziale.
Il processo è autoconsistente. La modifica del Potenziale Coulombiano è chiamato effetto di
schermo o di screening.
Il punto iniziale della trattazione delle impurezze ionizzate è l’espressione del potenziale Coulombiano:
q2
Us (r) =
(4.1)
4π0 Si r
dove q è la carica elettrica.
Risolvendo l’equazione di Poisson (4.2) in coordinate sferiche ed assumendo che il semiconduttore sia non degenere, per cui si può esprimere la concentrazione n degli elettroni tramite
l’equazione 4.3, si ottiene l’espressione del potenziale di perturbazione (Potenziale Coulombiano
Schermato) equazione 4.4.
q
1 d
+
2 dU
r
=
(n − ND
)
(4.2)
2
r dr
dr
0 Si
n = Nc e(F −c0(r) )/kB T
(4.3)
2
US (r) =
q
e−r/LD
4π0 Si r
(4.4)
dove LD è chiamata lunghezza di Debye o di screening ed è espressa mediante la relazione:
s
0 Si k B T L
(4.5)
LD =
q 2 n0
dove n0 è la concentrazione degli elettroni liberi.
La lunghezza di screening LD è ottenuta assumendo che la distribuzione degli elettroni sia
quella di equilibrio.
68
Una volta determinata l’espressione del potenziale di perturbazione per le impurezze ionizzate,
si può procedere calcolando il matrix element:
1 q2 1
1
|Hk~i ,k~f | = | < k~i |US (r)|k~f > | =
2
Ω 0 Si βs 1 + k 2 /βs2
(4.6)
2
2
e k 2 = |k~f − k~i |.
Il transition rate S(k~i , k~f ) è espresso mediante la relazione:
dove βS2 ≡
1
L2D
q4
1
2π ND
1
2π
δ(i − f )
|Hk~i ,k~f |2 δ(i − f ) =
S(k~i , k~f ) =
h̄
h̄ Ω (0 Si )2 βs4 (1 + k 2 /βs2 )2
(4.7)
Lo scattering rate S()BH lo si ottiene integrando il transitio rate S(k~i , k~f ) su tutti i possibili
stati finali k~f .
Z
Z
q 4 ND
1
1
Ω
BH
~
~
~
S(ki , kf )dkf =
δ(i − f )dk~f
(4.8)
S()
=
2
2
3
2
4
(2π)
(2π) 0 Si h̄ βs
(1 + k 2 /βs2 )2
φ
K
Kf
θ
Ki
Figura 4.1: Legame dei vettori d’onda e gli angoli θ e φ
Nell’equazione 4.9 k è relazionato a k~i , k~f mediante gli angoli θ e φ (fig.4.1).
k 2 = ki 2 + kf 2 − 2ki kf cos(θ)
(4.9)
Esprimendo k~f in coordinate polari, lo scattering rate può essere riscritto nella forma:
Z
1
1
q 4 ND
2
S()BH =
2 δ(i −f )kf sin(θ)dkf dθdφ (4.10)
(2π)2 20 2Si h̄ βs4 kf ,θ,φ
ki 2 +kf 2 −2ki kf cos(θ)
1+
β2
s
L’integrale in dθ viene risolto effettuando un cambiamento di variabile e si ottiene il risultato
espresso nell’equazione 4.11.
Z π
1
2
(4.11)
2 sin(θ)dθ =
2
2
k
(k −k )2
2
2
k
k +k −2k k cos(θ)
0
1 + 2 βi2 + 2 βf2 + i β 4 f
1 + i f β2 i f
s
s
s
s
L’integrale in dφ da come risultato un termine costante pari a 2π.
Riassemblando i vari risultati si può riscrivere lo scattering rate S( i ) nell’espressione:
Z ∞
q 4 ND
1
2
BH
S(i )
=
δ(i − f )dkf
2
2
2
4
k
k
i
(2π)0 Si h̄ βs 0 1 + 2 2 + 2 f22 + (ki −k4 f )2
β
β
β
s
69
s
s
(4.12)
Dato che in banda sferica k~i = k~f essendo i = f , il risultato dell’integrale 4.12 nella formulazione di Brooks & Herring è il seguente:
S(i )BH =
2π 2 ND q 4 1
1
gc (i )
2
2
4
0 Si h βs 1 + 4 ki22
(4.13)
βs
dove
√
√ √
8π 2(m∗ )3/2
(1 + 2αi ) i 1 + αi
(4.14)
3
h
L’espressione dello scattering rate nella formulazione di Brooks & Herring è esattamente uguale
a quella di Jacoboni[9] ed implementata nel codice di Bandit.
gc (i ) =
4.2.2
Stato Dopo lo Scattering
Lo studio dello stato dopo lo scattering viene affrontato prendendo in considerazione che per il
silicio le valli a minor energia della banda di conduzione sono fortemente anisotrope, quindi
bisogna utilizzare tutte le espressioni che tengono conto dell’anisotropia.
Quando si tratta il problema del trasporto ad opera dei portatori nel silicio o in altri semiconduttori a gap indiretto, è utile applicare le trasformazioni di Herring & Vogt che permettono
di trasformare le superfici equienergetiche elissoidali, nello spazio delle fasi ~k, in quelle sferiche
nello spazio dei vettori d’onda trasformati ~k ∗ semplificando i calcoli e utilizzando le espressioni isotrope pur conservando l’anisotropia. Le trasformazioni di Herring e Vogt trasformano il
vettore d’onda dello spazio delle fasi ~k nel vettore d’onda dello spazio delle fasi trasformate ~k ∗
mediante la seguente relazione matriciale:
k~∗ = T̂ (m)~k
(4.15)
dove la matrice di passaggio è cosı̀ definita:
 q


T̂ (m) = 

m∗
mt
0
q
m∗
mt
0
0
0
0
0
q
m∗
ml





p
dove m∗ = 3 m2t ml è la massa effettiva della densità degli stati, m t e ml sono le masse elettroniche effettive trasversa e longitudinale per le superfici equienergetiche elissoidali relazionate a
m0 cosı̀ come si evince dalla seguente tabella:
elettroni
mt
0.19m0
ml 0.916m0
lacune
mlight 0.16m0
mheavy 0.49m0
Tabella 4.1: Masse elettrone-lacune
Di conseguenza l’espressione energetica trasformata risulta essere
(k~∗ ) =
h̄2 (m) ~ (m) ~
h̄2 (k ∗ )2
T̂
·
k
T̂
·
k
=
2m∗
2m∗
(4.16)
Per determinare lo stato dopo lo scattering nel caso isotropo si ricorre al uso di due angoli α e
θ (fig.4.2). Il valore di θ viene determinato mediante la tecnica diretta partendo dall’integrale
70
z
α
ki
kf
θ
x
y
Figura 4.2: Scattering da impurezze ionizzate: gli angoli α e θ per calcolare lo stato dopo lo
scattering
che compare nel calcolo dello scattering rate eq.4.8:
Z
π
0
1
1+
k2
2 βi2 (1
s
− cos(θ))
sin(θ)dθ =
Z
1+4
k2
i
2
βs
1
1
dx
x2
(4.17)
che permette di esprimere θ in funzione di un numero casuale r uniformemente distribuito tra
[0 ÷ 1].
La tecnica diretta prevede che una generica funzione f (x) sia normalizzata a 1 nell’intervallo
(a, b) cosı̀ che si può scrivere:
Z
xr
r = F (xr ) =
f (x)dx
(4.18)
a
Tuttavia se la funzione f (x) non è normalizzata si può normalizzarla mediante l’espressione:
R xr
f (x)dx
(4.19)
r = Rab
f (x)dx
a
Impostato il valore di r si sceglie xr in modo da verificare l’equazione 4.19. La probabilità
P (x)dx che xr , scelto in questo modo, sia contenuto nell’intervallo dx centrato in x è uguale
alla corrispondente variazione di F (dF ) se r ha una distribuzione uniforme.
P (x)dx = dF = f (x)dx
(4.20)
L’angolo θ viene ricavato applicando il procedimento della tecnica diretta all’integrale 4.17.
Definito γ = 1 + 2ki2 /βs2 (1 − cos(θ)) si esprime il legame con r mediante l’equazione 4.19.
Rγ 1
1 − γ1
x2 dx
(4.21)
r = R 1+4k1 2 /β
=
2
s 1
i
1 − 1+4k12 /β 2
2 dx
x
1
i
1
4ki2 /βs2
= 1 − r{
}
γ
1 + 4ki2 /βs2
γ=
1 + 4ki2 /βs2
1 + (1 − r)4ki2 /βs2
71
s
(4.22)
(4.23)
Sostituendo ad γ l’espressione corrispondente nell’equazione precedente si ottiene l’espressione
finale che lega θ a r.
2r
cos(θ) = 1 −
(4.24)
k2
1 + (1 − r)4 βi2
s
L’angolo α è scelto partendo sempre da un numero casuale uniformemente distribuito tra [0÷1],
ma in modo da determinare una scelta uniforme di α tra 0 e 2π.
α = 2πr
4.2.3
(4.25)
Lunghezza di Screening nella distribuzione di Fermi-Dirac
L’equazione 4.5 esprime la lunghezza di screening L D assumendo che la funzione di distribuzione sia quella di equilibrio di Maxwell-Boltzmann (semiconduttore non degenere). Per
elevate concentrazioni di elettroni, il livello di Fermi F non è più localizzato al centro del gap
F = G /2, ma si sposta (fig.4.3); se il livello di Fermi F appartiene all’intervallo v0 +3kB TL ≤
F ≤ c0 − 3kB TL si può utilizzare l’approsimazione di Maxwell-Boltzmann per descrivere la
distribuzione degli elettroni, altrimenti bisogna utilizzare l’espressione di Fermi-Dirac e la relazione 4.3, che fornisce la concentrazione degli elettroni, non è più valida. Aumentando la
concentrazione degli elettroni, il materiale diviene degenere.
Nella formulazione della distribuzione di Fermi-Dirac le grandezze, quali ad esempio la concentrazione, vengono calcolate per mezzo di un termine che prende il nome di integrale di Fermi.
Definendo la quantità
F − c0
η f0 =
(4.26)
kB T
si può esprimere l’integrale di Fermi nella seguente formulazione:
R∞√
x x−η1f dx
0
(4.27)
F1/2 (ηf ) = R ∞ √e −x+1
xe dx
0
La concentrazione n degli elettroni è cosı̀ espressa:
CB
CB
CB
EF
Ec0−3KT
EG
EF
Ev0+3KT
EF
VB
VB
VB
Eccesso di elettroni (e)
Eccesso di lacune (h)
Distribuzione di Maxwell−Boltzman
Semiconduttore: NonDegenere
Distribuzione di Fermi−Dirac
Semiconduttore: Degenere
Figura 4.3: Posizione del livello di Fermi nel semiconduttore degenere e non degenere
n = NC F1/2 (ηf0 )
72
(4.28)
h ∗
i3/2
kB T
dove NC = 2 m2πh̄
è la densità efficace degli stati in banda di conduzione.
2
Per ηf → −∞ si ottiene:
F1/2 (ηf )|ηf →−∞ → eηf0
riottenendo la validità della distribuzione di Maxwell-Boltzmann per F lontano dal minimo
della banda di conduzione c0 .
Il quadrato dell’inverso della lunghezza di screening β s2 è cosı̀ espresso:
q 2 NC F1/2 (ηf )
d ln(F1/2 (ηf ))
dF1/2 (ηf )
1
q 2 n dn
=
|ηf =ηf0 = βS2 (M B)
kB TL dηf
kB TL 0 Si F1/2 (ηf )
dηf
dηf
(4.29)
In figura 4.4 sono rappresentati i termini F1/2 e eη in funzione della concentrazione degli elettroni. Per concentrazioni inferiori a 1019 [cm−3 ] i due termini sono identici mentre per concentrazioni degli elettroni superiori (semiconduttore degenere) si osserva che la distribuzione di
Maxwell-Boltzmann è inadatta poichè determina una sovrastima della probabilità di occupazione giustificando l’aumento della mobilità per concentrazioni superiori a 10 19 [cm−3 ]. Bisogna
quindi considerare la funzione di distribuzione di Fermi-Dirac ed eseguendo il rapporto tra
βs2 (F D) e βs2 (M B), si può disegnare tale andamento in funzione della concentrazione elettronica n0 ottenendo i coefficienti in funzione del doping necessari per correggere la lunghezza di
screening nella formulazione di Maxwell-Boltzmann in quella di Fermi-Dirac per considerare
che il semiconduttore è degenere (figura 4.5).
βs2 (F D) =
6
10
5
10
F1/2(η)
exp(η)
4
10
3
F1/2(η), exp(η)
10
2
10
1
10
0
10
−1
10
−2
10
−3
10
−4
10
16
10
17
10
18
19
20
10
10
10
−3
Electron Concentration n0[cm ]
21
10
Figura 4.4: Rappresentazione della distribuzione di Fermi-Dirac e di Maxwell-Boltzmann in
funzione della concentrazione n0 degli elettroni
73
1
0.6
2
2
β (FD)/ β (MB)
0.8
0.4
0.2
0 16
10
17
10
18
19
20
10
10
10
−3
Electron Concentration n0 [cm ]
21
10
22
10
Figura 4.5: Rapporto tra l’inverso della lunghezza di screening usando la statistica di FermiDirac e Maxwell-Boltzmann
4.3
4.3.1
Il Codice delle impurezze ionizzate in Bandit
Descrizione del codice prima di essere modificato in questa tesi
Lo scattering da impurezze ionizzate viene attivato nelle simulazioni di Bandit per mezzo del
comando:
-ion 0.1,9,2.5
dove i coefficienti rappresentano:
• 0.1 è la massima energia in eV (emaxion) per la validità del modello analitico del fondo
della banda di conduzione;
• 9 è il numero di regioni per decade, ossia in quante regioni viene suddiviso il range di
concentrazione del drogante nel dispositivo;
• 2.5 è il valore del prefattore (sclpre) che modifica il valore dell’inverso della lunghezza
di screening βs2 .
Il file ion-imp.c implementa in Bandit il modello di Brooks & Herring per le impurezze ionizzate se l’energia dell’elettrone è inferiore alla massima energia (emaxion) per la validità
dell’approsimazione analitica del fondo della banda di conduzione.
Il codice prima di essere corretto presentava diversi errori:
• La densità degli stati (Dos) veniva moltiplicata per il coefficiente di molteplicità della
banda di conduzione Nm = 6, ma per le impurezze tale coefficiente è uguale a 1;
74
• La formula dello scattering rate S(i ) non era quella canonica nella formulazione di Brooks
& Herring.
• L’energia dello stato dopo lo scattering per certe energie iniziali dell’elettrone era superiore
a quella dello stato prima dello scattering implicando un meccanismo non elastico.
• La lunghezza di screening LD veniva determinata con la distribuzione di Maxwell-Boltzmann
in funzione della concentrazione delle impurezze ionizzate N D .
4.3.2
Calcolo dello Scattering rate
Di seguito si elencano le principali funzioni che compongono il file per le impurezze ionizzate
ion-imp.c che sono richiamate nel file scatt.c.
• la funzione InitIonizedScattering viene richiamata nella funzione CreateScattering
del file scatt.c per inizializzare la tabella degli scattering rate delle impurezze ionizzate;
• la funzione IonImpurityScattRate calcola lo scattering rate sr di una particella e viene
richiamata nella funzione DoScattering del file scatt.c per identificare il meccanismo
di scattering che determina lo stato dopo lo scattering;
• la funzione DoImpurity viene richiamta nella funzione DoScattering e calcola lo stato
dopo lo scattering quando è selezionato il meccanismo delle impurezze ionizzate.
La funzione DoS calcola la densità degli stati in unità interne in funzione dell’energia implementando nel codice la relazione 4.14.
/* DoS in 1/u.l.^3 u.e., e in eV for a sferic non parabolic band */
static double DoS(double e, ParticleType pt)
{
double dos;
double coef = M_SQRT2 * 8.0 * M_PI * ElectronRestMass *
LengthFactor / PlanckConstant * sqrt(ElectronRestMass) *
LengthFactor / PlanckConstant * sqrt(ElectronCharge) *
LengthFactor / PlanckConstant * ElectronCharge * EnergyFactor;
dos = coef * Md[pt] * sqrt(Md[pt]) * sqrt(e);
if (alpha[pt])
dos *= sqrt(alpha[pt] * e + 1) * (1 + 2 * alpha[pt] * e);
return dos;
}
La funzione etok2 calcola il modulo quadro del vettore d’onda k 2 in unità adimensionali
avendo fornito l’energia e in eV ed utilizzando la relazione della banda sferica non parabolica.
/* k2 in 1/u.l.^2, e in eV for a sferic non parabolic band */
static double etok2(double e, ParticleType pt)
{
75
double k2;
const double coef = 8.0 * M_PI * LengthFactor / PlanckConstant *
ElectronCharge * M_PI * LengthFactor / PlanckConstant *
ElectronRestMass;
k2 = coef * Md[pt] * e;
if (alpha[pt])
k2 *= (1 + alpha[pt] * e);
return k2;
}
La funzione ImpurityScat implementa la relazione 4.13 per il calcolo dello scattering rate. Si
è corretto il termine 10k2/bs2 con il termine 4k2/bs2 per implementare la formula corretta
dello scattering rate.
/* Ionized Impurity Scattering rate */
static double ImpurityScat(IonRegion *ionr, ParticleType pt, Energy e)
{
double eev, scr, ni, bs2, k2;
const double coef = 2.0 * M_PI * ElectronCharge / PlanckConstant * M_PI /
(LengthFactor * SiliconRelativePermittivity * VacuumPermittivity) /
(LengthFactor * SiliconRelativePermittivity * VacuumPermittivity) *
ElectronCharge / EnergyFactor * ElectronCharge * TimeFactor;
eev = e * EnergyFactor;
if (eev > emaxion) return 0.0;
bs2 = ionr->beta2;
ni = ionr->conc;
k2 = etok2(eev, pt);
scr = coef / bs2 * ni / bs2
return scr;
/ (1 +
4 * k2 /
bs2 ) * DoS(eev, pt);
}
La funzione InitIonizedScattering ha il compito di inizializzare la tabella degli scattering
rate per le impurezze ionizzate realizzando lo schema funzionale di figura 4.9. La struttura
dati è una struttura collegata con puntatori. La mesh, il cui puntatore è cm, viene divisa in un
numero finito di elementi nel e per ogni elemento si assegna la concentrazione delle impurezze
ionizzate ND letta da Dessis. La struttura dati, chiamata regdata, è organizzata in modo da
raggruppare ogni elemento della mesh in un numero finito di insiemi dipendenti dal doping
delle impurezze ionizzate. Infatti la dimensione di regdata (nionreg) è ottenuta calcolando
il logaritmo del minimo (cmin) e del massimo (cmax) della concentrazione delle impurezze ionizzate nella mesh. Determinata la variazione di concentrazione delle impurezze nella mesh si
raggruppano gli elementi della mesh in un numero di regioni per decade nregdec il cui valore
è determinato dall’utente.
76
In figura 4.6 è rappresentata la struttura dati regdata formata dai campi:
• conc è la concentrazione delle impurezze ionizzate della regione i-esima di doping;
• beta2 è il quadrato dell’inverso della lunghezza di screening determinato della regione
i-esima di doping calcolata con l’espressione:
ionsc->ionreg[k]->beta2 = ionsc->ionreg[k]->conc / (dlsf * bs->temp) /
(scrlpre * scrlpre);
dove scrlpre è il prefattore usato da Tirelli per modificare la mobilità degli elettroni;
• s è lo scattering rete determinato nella regione i-esima di doping mediante ImpurityScat
in funzione dell’energia e.
regdata
conc
beta2
s
# regioni
di Doping
nionreg
Figura 4.6: Sturuttura dati regdata delle impurezze ionizzate
Questa struttura dati è organizzata in funzione della concentrazione delle impurezze ionizzate
ND poichè lo screening βs2 è calcolato considerando questa concentrazione invece di quella dei
portatori liberi n0 .
Si inizializza a zero i campi conc, beta2 e s della struttura regdata. Eseguendo un ciclo sugli
elementi della mash, si calcola il doping per quel elemento della griglia e si determina l’indice
i necessario per collegare l’elemento all’insieme finito delle regioni di doping (fig.4.7).
y
Doping (conc)
mesh
x
numero di regione (i)
ionreg[k]
conc beta2
k
k−esimo elemento
nionreg
nel
ionreg
s
regdata
Figura 4.7: Sturuttura dati delle impurezze ionizzate: corrispondenza tra gli elementi della
mesh e i campi della struttura regdata
77
In figura 4.8 è rappresentata la struttura dati ionsc->ionreg:
IonImpScat
ionsc
IonRegion
regdata
ioreg
0
nel
k
regdata
conc beta2 *s
sc rate energy
emin
emax
Doping
cm
nel
sc rate energy
emin
emax
x
y
0
5 10
1
2
3
k−esimo elemento
nel
4
mesh
Figura 4.8: Sturuttura dati ionsc->ionreg delle impurezze ionizzate
Una volta creata la struttura dati per le impurezze ionizzate viene collegata alla struttura
dati generale dello scattering rate, puntata da sc, che raggruppa tutti i meccanismi di scattering
utilizzati in Bandit.
sc->ion = ionsc;
La struttura dati è organizzata in funzione del doping delle impurezze ionizzate N D eliminando
la corrispondenza biunivoca tra dati e posizione nella griglia poichè l’inverso della lunghezza di
screnning βs2 è calcolato in funzione di tale concentrazione. Come sarà discusso, si è riorganizzata la struttura dati delle impurezze ionizzate per conservare la corrispondenza biunivoca tra
dati e posizione nella griglia in modo da calcolare correttamente β s2 con la concentrazione dei
portatori liberi n0 in accordo con la teoria.
Il codice della funzione InitIonizedScattering è la seguente:
/* Setup ion. imp. region data & scattering rate */
int InitIonizedImpScattering(CurlMesh *cm, PScatt sc, int nedsr, double dedsr,
PBandStructure bs, Energy emax, ParticleType pt, int *memsize)
{
double cmin = HUGE_VAL, cmax = -HUGE_VAL, rlog, con, e, *sr;
int i, j, k, mindec, maxdec, k1, k2, k3, k4, ilog;
IonImpScat *ionsc;
const double norml = Centimeter / LengthFactor;
const double normv = LengthFactor / (norml * norml * Micron);
const double normv1 = 1.0 / (norml * norml * norml);
const double dlsf = EnergyFactor * LengthFactor / ElectronCharge *
(SiliconRelativePermittivity * VacuumPermittivity);
*memsize = 0;
if (cm->ver < 110)
{
78
Figura 4.9: Schema funzionale della funzione InitIonizedImpScattering del codice delle
impurezze ionizzate
fprintf(stderr,"WARNING: Impurity concentration not available.\n");
fprintf(stderr,"
Ionized impurity scattering turned off.\n\n");
79
sc->ion = NULL;
return 0;
}
if (!(ionsc = (IonImpScat*) malloc(sizeof(IonImpScat))))
{
fprintf(stderr,"not enough memory for ion. imp. scattering rate\n");
return 1;
}
*memsize += sizeof(IonImpScat);
ionsc->cm = cm;
ionsc->nel = (cm->nx - 1) * (cm->ny - 1);
if (!(ionsc->ionreg = (IonRegion**) malloc(ionsc->nel*sizeof(IonRegion*))))
{
fprintf(stderr,"not enough memory for ion. imp. scattering rate\n");
return 1;
}
*memsize += ionsc->nel*sizeof(IonRegion*);
/* find min & max impurity concentration */
for (k = 0; k < ionsc->nel; k++)
{
i = k / (cm->ny - 1);
j = k - i * (cm->ny - 1);
k1 = i*cm->ny + j;
k2 = k1 + 1;
k3 = k2 + cm->ny;
k4 = k1 + cm->ny;
/*-----10/10/2002----------------*/
if ((cm->mat[k1]==1)&&(cm->mat[k2]==1)&&
(cm->mat[k3]==1)&&(cm->mat[k4]==1))
continue;
/*------------------------------*/
con = (cm->tconc[k1] + cm->tconc[k2] + cm->tconc[k3] + cm->tconc[k4]) /
4 / normv;
cmin = MIN(cmin, con);
cmax = MAX(cmax, con);
}
/* compute number of region */
mindec = log10(cmin);
maxdec = log10(cmax) + 1;
ionsc->nionreg = (maxdec - mindec) * nregdec;
/* allocate space for impurity region data */
if (!(ionsc->regdata=(IonRegion*)malloc(ionsc->nionreg*sizeof(IonRegion))))
{
80
fprintf(stderr,"not enough memory for ion. imp. scattering rate\n");
return 1;
}
*memsize += ionsc->nionreg*sizeof(IonRegion);
for (i = 0; i < ionsc->nionreg; i++)
{
ionsc->regdata[i].conc = 0.0;
ionsc->regdata[i].beta2 = 0.0;
ionsc->regdata[i].s = NULL;
}
/* find which region each element in the grid belongs to */
for (k = 0; k < ionsc->nel; k++)
{
i = k / (cm->ny - 1);
j = k - i * (cm->ny - 1);
k1 = i*cm->ny + j;
k2 = k1 + 1;
k3 = k2 + cm->ny;
k4 = k1 + cm->ny;
/*-----10/10/2002----------------*/
if ((cm->mat[k1]==1)&&(cm->mat[k2]==1)&&
(cm->mat[k3]==1)&&(cm->mat[k4]==1))
continue;
/*------------------------------*/
con = (cm->tconc[k1] + cm->tconc[k2] + cm->tconc[k3] + cm->tconc[k4]) /
4 / normv;
rlog = log10(con);
ilog = rlog - mindec;
rlog -= ilog + mindec;
rlog = pow(10, rlog);
i = ilog * nregdec + nregdec * (rlog-1) / 9;
ionsc->ionreg[k] = ionsc->regdata + i;
ionsc->ionreg[k]->conc = con * normv1;
ionsc->ionreg[k]->beta2 = ionsc->ionreg[k]->conc / (dlsf * bs->temp) /
(scrlpre * scrlpre);
}
/* setup masses & transformations */
Md[pt] = masses[pt][0] * masses[pt][1] * masses[pt][2];
Md[pt] = cbrt(Md[pt]);
for (i = 0; i < 3; i++)
{
hvt[pt][i] = sqrt(Md[pt] / masses[pt][i]);
ihvt[pt][i] = 1.0 / hvt[pt][i];
}
81
/* for each region compute scattering rate */
for (k = 0; k < ionsc->nionreg; k++)
{
if (ionsc->regdata[k].conc == 0.0) continue;
if (!(ionsc->regdata[k].s = (double*) malloc(nedsr * sizeof(double))))
{
fprintf(stderr,"not enough memory for ion. imp. scattering rate\n");
return 1;
}
*memsize += nedsr * sizeof(double);
sr = ionsc->regdata[k].s;
for (e = 0.0; e<= bs->emax[pt] - bs->emin[pt]; e += dedsr)
*sr++ = ImpurityScat(ionsc->regdata+k, pt, e);
}
sc->ion = ionsc;
/* print out impurity scattering (if required) */
if (verbose & VerbScattering) {
printf("# %s Ionized Impurity Scattering Rate [1/s]\n",
(pt==Electron)?"Electron":"Hole");
for (k = 0; k < ionsc->nionreg; k++)
{
if (ionsc->regdata[k].conc == 0.0) continue;
printf("# Region %d, Concentration: %g [1/cm^3], "
"Screening Length: %g [um]\n", k+1,
ionsc->regdata[k].conc / normv1,
1.0 / sqrt(ionsc->regdata[k].beta2) * LengthFactor / Micron);
sr = ionsc->regdata[k].s;
for (e = bs->emin[pt]; e <= bs->emax[pt] &&
e <= bs->emin[pt] + emax; e += dedsr)
printf("%g
%g\n", (e - bs->emin[pt]) * EnergyFactor, *sr++ /
TimeFactor);
printf("&\n");
fflush(stdout);
}
}
return 0;
}
4.3.3
Calcolo dello Stato dopo lo Scattering
La funzione DoImpurity viene richiamata all’interno di DoScattering del file scatt.c e determina il calcolo dello stato dopo lo scattering quando è selezionato il meccanismo delle impurezze
ionizzate. Nella figura fig.4.10 è riprodotto lo schema di principio. La funzione DoImpurity implementa la trasformazione di Herring & Vogt per il calcolo dello stato dopo lo scattering
trasformando le superfici equienergetiche elissoidali in superfici sferiche. Si procede riportando
il vettore d’onda nel volume irriducibile (IW ) e si tiene traccia della posizione nel volume reale
82
Figura 4.10: Schema funzionale della funzione DoImpurity del codice delle impurezze ionizzate
tramite ch. Si sottrae al vettore d’onda appartenente a IW il minimo della banda di conduzione per poi applicare le trasformazioni di Herring & Vogt. Si procede nel calcolo dell’angolo
θ formato tra lo stato prima dello scattering k~i e lo stato dopo lo scattering k~f in accordo con
la relazione eq.4.24 propria per le impurezze ionizzate.
83
void DoImpurity(PParticle p, int i, int j, PBandStructure bs, PScatt sc)
{
int ch, l, k ;
PhaseSpace q,q_old;
IonRegion *ionr;
double ek, cospolangle, r, eev, de;
k = i*(sc->ion->cm->ny - 1) + j;
ionr = sc->ion->ionreg[k];
/* translate to the minimum */
q[0] = p->p[0];
q[1] = p->p[1];
q[2] = p->p[2];
ch = TranslateToMinimum(q, bs, p->type);
/* scale: Herring & Vogt transformation */
for (l = 0; l < 3; l++)
q[l] *= hvt[p->type][l];
/* generate polar angle */
ek = p->ek;
eev = (ek - bs->emin[p->type]) * EnergyFactor;
r = drand48();
cospolangle = 1.0 - 2.0 * (1 - r) /
(1 + 4 * r * etok2(eev, p->type) / ionr->beta2);
/* rotate the k-vector */
Rotate(q, cospolangle);
/* scale back: inverse Herring & Vogt transformation */
for (l = 0; l < 3; l++)
q[l] *= ihvt[p->type][l];
/* translate to the center */
TranslateToCenter(q, bs, p->type);
/* translate to the original wedge */
FlipBack(q, ch);
p->p[0] = q[0];
p->p[1] = q[1];
p->p[2] = q[2];
p->ek = KineticEnergy(p->p, p->sbi, bs);
statsec.nion++;
statsec.deion += de;
statsec.de2ion += de * de;
statsec.demaxion = fabs(de) > statsec.demaxion ?
fabs(de) : statsec.demaxion;
}
84
Si determina lo stato dopo lo scattering isotropo per mezzo della funzione Rotate.
/* rotate a vector of a given angle */
static void Rotate(PhaseSpace p, double cpol)
{
double kxy, sphi, cphi, steta, cteta, spol;
double ccsi, scsi, kmod, csi;
kxy = hypot(p[0], p[1]);
if (kxy)
{
sphi = p[0] / kxy;
cphi = p[1] / kxy;
}
else
{
sphi = 0.0;
cphi = 1.0;
}
kmod = sqrt(p[0]*p[0] + p[1]*p[1] + p[2]*p[2]);
steta = kxy / kmod;
cteta = p[2] / kmod;
spol = sqrt(1.0 - cpol*cpol);
csi = 2.0 * M_PI * drand48();
ccsi = cos(csi);
scsi = sin(csi);
p[0] = kmod*(cphi*ccsi*spol+sphi*cteta*scsi*spol+sphi*steta*cpol);
p[1] = kmod*(-sphi*ccsi*spol+cphi*cteta*scsi*spol+cphi*steta*cpol);
p[2] = kmod*(-steta*scsi*spol+cteta*cpol);
}
Si deve poi applicare la trasformazione inversa di Herring & Vogt che ritrasforma la banda
sferica in banda elissoidale. Si risomma il minimo della banda di conduzione al vettore d’onda
dello stato dopo lo scattering e lo si riposiziona nel volume reale d’origine (FlipBack). Come
ultima operazione si calcola l’energia cinetica dell’elettrone del nuovo stato dopo lo scattering
che deve essere uguale a quella prima dello scattering poichè il meccanismo è elastico.
4.4
4.4.1
Analisi e Correzione del Codice mediante le Simulazioni
Introduzione
I dati delle simulazioni della mobilità elettronica µ x vengono confrontati con i modelli della
mobilità per le impurezze ionizzate proposti da Kosina[21] e il modello di Caughey-Thomas,
che è il modello di riferimento della mobilità elettronica per il doping con atomi di fosforo (P )
85
ottenuto dalla relazione[23]:
µe (ND ) = µmin +
µmax − µmin
1 + (ND /Nref,1 )x1
(4.30)
dove ND è la concentrazione del doping e i rimanenti parametri sono tabulati nella seguente
tabella 4.2:
Parameter
µmax [cm2 /(V s)]
µmin [cm2 /(V s)]
Nref,1 [cm−3 ]
x1
A → AS
1417
52.2
9.68 · 1016
0.68
P
1414
68.5
9.20 · 1016
0.711
B
470.5
44.9
2.23 · 1016
0.719
Tabella 4.2: Parametri del modello di Caughey-Thomas per la mobilità [23]
Nella figura 4.11 sono riprodotti il modello di Caughey-Thomas e i modelli di Kosina in
funzione del doping ND delle impurezze ionizzate. I modelli di mobilità per gli elettroni di
Kosina sono rispettivamente quello che implementa il solo modello di Brooks & Herring e il
modello finale di mobilità che fitta i dati della curva di Caughey-Thomas.
Caughey−Thomas model
Kosina’s Brooks & Herring model
Kosina’s final model
1000
2
Electron Mobility µx[cm /(Vs)]
1250
750
500
250
0
16
10
17
10
18
19
20
10
10
10
−3
Donor Concentration ND[cm ]
10
21
Figura 4.11: Modelli della mobilità elettronica di Caughey-Thomas[23] e di Kosina[21]
86
4.4.2
Il Modello della Mobilità elettronica di Tirelli
Il modello della mobilità elettronica di Tirelli[14] è ottenuto dal codice ion-imp.c senza le
modifiche proposte in questa tesi e attivando in Bandit il comando per le impurezze ionizzate
con i seguenti valori:
-ion 0.1,9,2.5
In figura 4.12 è riprodotta la curve di mobilità elettronica µ x (Fx ) ottenuta con il modello di
Tirelli e confrontata con la curva di Caughey-Thomas.
Modello di Caughey−Thomas
Tirelli’s mobility model
1000
2
majority electron mobility µx[cm /(Vs)]
1250
750
500
250
0 16
10
17
18
19
10
10
10
3
Donor concentration ND[1/cm ]
10
20
Figura 4.12: Modello di Tirelli: Curve di Mobilità elettronica
ND [cm−3 ]
1 · 1016
1 · 1017
1 · 1018
1 · 1019
1 · 1020
µ[cm2 /(V · s)]
1019.7
642.55
250.62
120.39
92.035
Caughey-Thomas
1183.8
721.31
276.96
114.84
77.771
∆µ[%]
-13.86
-10.92
-9.51
4.83
18.34
Tabella 4.3: Modello di mobilità di Tirelli
4.4.3
Modifiche al Codice: Modello di Brooks & Herring
Il modello della mobilità nella formulazione di Brooks & Herring è ottenuto con il codice
ion-imp.c discusso nella sezione 4.3 in cui si è corretto il termine 10k2/bs2 con il termine
4k2/bs2 e attivando in Bandit il comando per le impurezze ionizzate con i seguenti valori:
-ion 0.1,9,1.0
87
In figura 4.13 è riprodotta la curva di mobilità elettronica µ x (Fx ) ottenuta con il modello di
Brooks & Herring e confrontata con la curva di Caughey-Thomas e i modelli di Kosina.
Modello di Caughey−Thomas
Kosina’s Brooks & Herring model
Kosina’s impurity final model
Bandit’s Brooks & Herring model
1000
2
majority electron mobility µx[cm /(Vs)]
1250
750
500
250
0 16
10
17
18
19
10
10
10
3
Donor concentration ND[1/cm ]
20
10
Figura 4.13: Modello di Brooks & Herring: Curve di Mobilità elettronica
ND [cm−3 ]
1 · 1016
1 · 1017
1 · 1018
1 · 1019
1 · 1020
µ[cm2 /(V · s)]
1131.9
910.25
492.05
343.47
503.6
Caughey-Thomas
1183.8
721.31
276.96
114.84
77.771
∆µ[%]
-4.38
26.19
77.7
199
547.5
Tabella 4.4: Modello di mobilità di Brooks & Herring
Osservando la figura 4.13 si può vedere che a partire dalla concentrazione N D = 1019 [cm−3 ]
la curva di mobilità µx del modello di Brooks & Herring aumenta all’aumentare della concentrazione. Questo si spiega considerando che la funzione di distribuzione assunta per il modello
è quella di equilibrio di Maxwell-Boltzmann e quindi l’inverso della lunghezza di screening β s è
ottenuto dalla relazione 4.5. In realtà , il semiconduttore è degenere, quindi bisogna considerare
la funzione di distribuzione di Fermi-Dirac e l’espressione 4.29 per il β s come si vedrà.
4.4.4
Modifiche al Codice: Conservazione dell’energia dei portatori
prima e dopo dell’evento di scattering
Prima di correggere la formulazione di βs2 bisogna affrontare il problema della non conservazione
dell’energia prima e dopo dell’evento di scattering dovuto alle impurezze ionizzate.
Infatti la funzione DoImpurity contenuta nel file ion-imp.c gestisce la scelta dello stato dopo
lo scattering in accordo con il modello per le impurezze ionizzate discusso nella sezione 4.2.2.
88
Tale meccanismo di scattering, per quanto già visto, è elastico quindi necessariamente deve
conservare l’energia del portatore prima e dopo dell’evento di urto: non si devono avere ne
aumenti ne diminuzioni dell’energia.
Si è studiata la correzione per la conservazione dell’energia inserendo nella funzione dei check
energetici.
void DoImpurity(PParticle p, int i, int j, PBandStructure bs, PScatt sc)
{
int ch, l, k;
PhaseSpace q,q_old;
IonRegion *ionr;
double ek, cospolangle, r, eev, de;
/*LM ---------------------------------------------------------*/
static int in=0;
PhaseSpace q1,q2,q3,q4;
double Ken;
double Eksferi, Eksferf, Etm=0, Etc=0, gam=0, Bma=-100,dee1,dee2;
PCBMinimum mn;
double c= Md[p->type]*8.0 * M_PI * LengthFactor / PlanckConstant *
ElectronCharge * M_PI * LengthFactor / PlanckConstant *
ElectronRestMass, Cod = (2*M_PI)/bs->a0*(2*M_PI)/bs->a0;
/*---------------------------------------------------------*/
k = i*(sc->ion->cm->ny - 1) + j;
ionr = sc->ion->ionreg[k];
/* translate to the minimum */
q[0] = p->p[0];
q[1] = p->p[1];
q[2] = p->p[2];
q_old[0]=q[0];
q_old[1]=q[1];
q_old[2]=q[2];
ch = TranslateToMinimum(q, bs, p->type);
q1[0]=q[0];
q1[1]=q[1];
q1[2]=q[2];
/* Determinazione del p del minimo della banda*/
FlipBack(q1, ch);
q4[0]=q_old[0]-q1[0];
q4[1]=q_old[1]-q1[1];
q4[2]=q_old[2]-q1[2];
q1[0]=q[0];
q1[1]=q[1];
q1[2]=q[2];
/*Energy Check-------------------------*/
for (mn = bs->mnf; mn < bs->mnl; mn++) {
if (p->sbi == mn->sbi && (gam = q[0] * q[0] * mn->ekem[0] + q[1] * q[1]
Etm = (mn->ek + gam / (0.5 + sqrt(0.25 + mn->a * gam)));
Bma=mn->BMEmax;
break;
}
89
else
Etm=0.0;
}
/* scale: Herring & Vogt transformation */
for (l = 0; l < 3; l++)
q[l] *= hvt[p->type][l];
/*Momento dopo la trasformazione*/
q3[0]=q[0];
q3[1]=q[1];
q3[2]=q[2];
/* generate polar angle */
/*-----------------------------------------*/
/*ek = p->ek;*/
ek= KineticEnergy(p->p, p->sbi,bs);
/*----------------------------------------*/
eev = (ek - bs->emin[p->type]) * EnergyFactor;
r = drand48();
cospolangle = 1.0 - 2.0 * (1 - r) /
(1 + 4 * r * etok2(eev, p->type) / ionr->beta2);
/*--Energia dopo la trasformazione H &V------------------------*/
Ken= q[0]*q[0]*Cod + q[1]*q[1]*Cod + q[2]*q[2]*Cod;
Eksferi = -1.0 + sqrt(1.0 + 2.0 * Ken / c );
dee1=ek*EnergyFactor-Eksferi;
/*-------------------------------------------------------------*/
/* rotate the k-vector */
Rotate(q, cospolangle);
/*-Energia dopo la rotazione-----------------------------------*/
Ken= q[0]*q[0]*Cod + q[1]*q[1]*Cod + q[2]*q[2]*Cod;
Eksferf = -1.0 + sqrt(1.0 + 2.0 * Ken / c );
/*-------------------------------------------------------------*/
/* scale back: inverse Herring & Vogt transformation */
for (l = 0; l < 3; l++)
q[l] *= ihvt[p->type][l];
/*Energia dopo la trasformazione inversa di H & V--------------*/
for (mn = bs->mnf; mn < bs->mnl; mn++) {
if (p->sbi == mn->sbi && (gam = q[0] * q[0] * mn->ekem[0] + q[1] * q[1]
Etc = (mn->ek + gam / (0.5 + sqrt(0.25 + mn->a * gam)));
break;
}
else
Etc=0.0;
}
/*------------------------------------*/
/* translate to the center */
TranslateToCenter(q, bs, p->type);
q2[0]=q[0];
q2[1]=q[1];
90
q2[2]=q[2];
/* translate to the original wedge */
FlipBack(q, ch);
p->p[0] = q[0];
p->p[1] = q[1];
p->p[2] = q[2];
p->ek = KineticEnergy(p->p, p->sbi,bs);
dee2=Eksferf-p->ek*EnergyFactor;
/* check energy conservation */
de = p->ek - ek;
/*-Stampa dei risultati se la variazione energetica e’ superiore a 10meV---*/
if (fabs(de*EnergyFactor) > 0.01)
{
in=in+1;
fprintf(stderr,"#particelle:=%d\n",in);
fprintf(stderr,"de:=%f\n",de*EnergyFactor);
fprintf(stderr,"eold:=%f\n",ek*EnergyFactor);
fprintf(stderr,"eatm:=%f\n",Etm*EnergyFactor);
fprintf(stderr,"de1=eold-Esi:=%f\n",dee1);
fprintf(stderr,"Energia prima della rotazione (banda sferica)
Esi=%g\n",Eksferi);
fprintf(stderr,"Energia dopo la rotazione (banda sferica)
Esf=%g\n",Eksferf);
fprintf(stderr,"ebtc:=%f\n",Etc*EnergyFactor);
fprintf(stderr,"enew:=%f\n",p->ek*EnergyFactor);
fprintf(stderr,"de2=Esf-enew:=%f\n",dee2);
fprintf(stderr,"qold=(%g %g %g) qnew=(%g %g %g)\n",q_old[0],q_old[1],
q_old[2],p->p[0],p->p[1],p->p[2]);
fprintf(stderr,"qatm=(%g %g %g) qatc=(%g %g %g)\n",q1[0],q1[1],
q1[2],q2[0],q2[1],q2[2]);
fprintf(stderr,"qahvt=(%g %g %g)\n",q3[0],q3[1],q3[2]);
fprintf(stderr,"BMEmax=%g\n",Bma*EnergyFactor);
fprintf(stderr,"sbi=%d\n",p->sbi);
fprintf(stderr,"qmin=(%g %g %g)\n",q4[0],q4[1],q4[2]);
fprintf(stderr,"gam=%g \n",gam*EnergyFactor);
fprintf(stderr,"******************************************\n");
}
Dalle simulazioni si sono ottenuti i seguenti risultati sulla non conservazione dell’energia degli
elettroni tab.4.5 il cui significato è il seguente:
• de è la variazione dell’energia della particella in eV ottenuta come differenza tra l’energia
posseduta prima dell’evento d’urto e quella dopo lo scattering;
• eold è l’energia cinetica dell’elettrone in eV prima dello scattering;
• eatm è l’energia cinetica dell’elettrone in eV ottenuta dopo aver riportato il vettore d’onda
nel volume irriducibile (IW ) e sottratto il minimo della banda di conduzione utilizzando
l’espressione energetica per la banda elissoidale;
91
• Esi è l’energia della particella in eV dopo aver applicato la trasformazione di Herring &
Vogt. L’energia è calcolata con l’espressione valida per la banda sferica;
• de1 è la variazione energetica in eV ottenuta come differenza tra l’energia prima dello
scattering (eold) e l’energia in banda sferica prima dello scattering (Esi);
• Esf è l’energia della particella in eV dopo lo scattering ottenuta in banda sferica;
• ebtc è l’energia della particella in eV calcolata dopo la trasformazione inversa di Herring
& Vogt prima di sommare di nuovo il minimo della banda di conduzione;
• enew è l’energia della particella in eV dello stato dopo lo scattering;
• de2 è la differenza di energia in eV tra Esf e enew;
• qold sono le componenti del vettore d’onda, in unità interne di Bandit, dello stato prima
dello scattering;
• qatm sono le componenti del vettore d’onda, in unità interne di Bandit, dello stato prima
dello scattering a cui è stato sottratto il minimo della banda di conduzione;
• qatc sono le componenti del vettore d’onda, in unità interne di Bandit, dello stato dopo lo
scattering a cui è stato sommato il minimo della banda di conduzione, ma il vettore d’onda
non è stato ancora riposizionato nel volume originario tramite la funzione FlipBack;
• qahvt sono le componenti del vettore d’onda, in unità interne di Bandit, dello stato prima
dello scattering dopo aver applicato la trasformazione di Herring & Vogt.
• BMEmax è la massima energia in eV per la validità del modello analitico della banda di
conduzione per il calcolo dell’energia cinetica della particella. Se la particella eccede
tale energia, il calcolo dell’energia posseduta dalla particella è ottenuta con il metodo
Full-Band;
• sbi è l’indice della sottobanda della banda di conduzione;
• qmin sono le componenti, in unità interne di Bandit, del minimo della banda di conduzione;
• gam è il valore dell’energia cinetica in eV posseduta dalla particella calcolata con l’espressione analitica della banda di conduzione.
Osservando i risultati della tabella 4.5 si possono ricavare le seguenti considerazioni:
• Sommando de1 e de2 si ottiene la variazione energetica de;
• Il processo di scattering dell’elettrone determina l’aumento dell’energia dell’elettrone enew
rispetto all’energia prima dell’urto eold;
• L’energia prima e dopo la rotazione del vettore d’onda ~k in banda sferica si conserva;
• Il valore dell’energia calcolato dopo il processo di sottrazione del minimo della banda di
conduzione eatm è nullo cosı̀ come il valore dell’energia prima di sommare il minimo della
banda di conduzione ebtc;
• BMEmax, che è uguale al valore d’inizializzazione (-100) e l’energia della particella non
viene calcolata con il modello analitico.
92
ND = 1 · 1016 [cm−3 ] Fx = 1[kV /cm]
# particelle 1
de:=0.012154
eold:=0.0955565
eatm:=0.00000
de1:=eold-Esi:=-0.007543
Energia prima della rotazione (banda sferica) Esi=0.103108
Energia dopo la rotazione (banda sferica) Esf=0.103108
ebtc:=0.00000
enew:=0.107719
de2:=Esf-enew=-0.004611
qold=(-0.824956 0.0500164 -0.0375032) qnew=(-0.775815 0.0523877 -0.0123378)
qatm=(-0.025044 0.0500164 0.0375032) qatc=(0.775815 0.052877 0.0123378)
qahvt=(-0.0148248 0.0650084 0.0487445)
BMEmax=-100
sbi=4
qmin=(-0.85 0 0)
gam=0.108424
Tabella 4.5: Risultati della non conservazione dell’energia degli elettroni per lo scattering da
impurezze ionizzate del file ion-imp.c
Dai risultati e dalle simulazioni si è determinato la causa che implica la non conservazione
dell’energia. Esiste una condizione per cui effettivamente l’elettrone possiede prima dello scattering un’energia minore a emaxion, che è la massima energia per la validità del modello analitico
del fondo della banda di conduzione per il file ion-imp.c, ma l’energia cinetica dell’elettrone è
ottenuta con il modello Full-Band non analitico. Infatti le energie eatm e ebtc sono calcolate
con l’espressione analitica del fondo della banda di conduzione implementata nella funzione
KineticEnergy: gam diverso da zero e BMEmax=-100 implicano che l’espressione analitica per
il calcolo dell’energia cinetica non è stata usata e tale energia è stata calcolata quindi con il
modello Full-Band non analitico. Durante il processo di sottrazione e somma del minimo della
banda di conduzione la particella acquiscisce impropriamente energia.
Il problema della non conservazione dell’energia dell’elettrone è visualizzato in figura 4.14.
Bandit usa il modello analitico per il fondo della banda di conduzione mentre il modello FullBand per la restante banda. Esistono elettroni “di confine” appartenenti alle regioni evidenziate
dai rettangoli, che possiedono effettivamente un’energia maggiore di emaxion se si usa il modello
analitico, mentre quella calcolata con il modello Full-Band è minore di emaxion. Purtoroppo il
codice delle impurezze ionizzate considera tali stati come analitici e gli da un energia maggiore
di quella Full-Band.
Per correggere questo problema si possono seguire due procedimenti:
• Porre emaxion pari a 0.08eV . Corrisponde a diminuire la soglia energetica
per la validità del modello analitico della banda di conduzione determinando
l’annullamento delle regioni rettangolari;
• Condizionare l’esecuzione della funzione DoImpurity. Infatti, inserendo l’espressione condizionale if il cui argomento controlla che la particella abbia
un’energia cinetica calcolata con il modello analitico minore di emaxion, si
93
Electron Energy
emaxion
Banda
Analitica
Banda
Full−Band
k State
Figura 4.14: Problema della non conservazione dell’energia dell’elettrone nel processo di
scattering con le impurezze ionizzate
risolve effettivamente la non conservazione dell’energia e il processo di scattering risulta elastico. Se l’elettrone possiede un’energia calcolata con il modello FullBand, la funzione DoImpurity non viene eseguita.
Il codice è cosı̀ corretto:
void DoImpurity(PParticle p, int i, int j, PBandStructure bs, PScatt sc)
{
int ch, l, k;
PhaseSpace q;
IonRegion *ionr;
if(CheckAnalEnergy(p, bs) == 0)
{
k = i*(sc->ion->cm->ny - 1) + j;
ionr = sc->ion->ionreg[k];
/* translate to the minimum */
q[0] = p->p[0];
q[1] = p->p[1];
q[2] = p->p[2];
ch = TranslateToMinimum(q, bs, p->type);
/* scale: Herring & Vogt transformation */
for (l = 0; l < 3; l++)
q[l] *= hvt[p->type][l];
/* generate polar angle */
ek= KineticEnergy(p->p, p->sbi,bs);
eev = (ek - bs->emin[p->type]) * EnergyFactor;
r = drand48();
cospolangle = 1.0 - 2.0 * (1 - r) /
94
(1 + 4 * r * etok2(eev, p->type) / ionr->beta2);
/* rotate the k-vector */
Rotate(q, cospolangle);
/* scale back: inverse Herring & Vogt transformation */
for (l = 0; l < 3; l++)
q[l] *= ihvt[p->type][l];
/* translate to the center */
TranslateToCenter(q, bs, p->type);
/* translate to the original wedge */
FlipBack(q, ch);
de = p->ek - ek;
statsec.nion++;
statsec.deion += de;
statsec.de2ion += de * de;
statsec.demaxion = fabs(de) > statsec.demaxion ?
fabs(de) : statsec.demaxion;
}
}
Dove la funzione CheckAnalEnergy controlla che l’energia dell’elettrone sia minore di emaxion
con il calcolo analitico dell’energia cinetica.
inline
int CheckAnalEnergy(PParticle p, PBandStructure bs){
int ch=0;
Energy gam=0;
PCBMinimum mn;
PhaseSpace q;
q[0] = p->p[0];
q[1] = p->p[1];
q[2] = p->p[2];
ch = TranslateToMinimum(q, bs, p->type);
for (mn = bs->mnf; mn < bs->mnl; mn++) {
if (p->sbi == mn->sbi && (gam = q[0] * q[0] * mn->ekem[0] +
q[1] * q[1]
* mn->ekem[1] + q[2] * q[2] * mn->ekem[2]) <= mn->BMEmax) {
return 0;
}
return 1;
}
95
4.4.5
Modifiche al codice: Screening secondo la Fermi-Dirac
Riprendendo le considerazioni affrontate nella sezione 4.2.3 si è visto che l’assunzione della
statistica di equilibrio di Maxwell-Boltzmann è inadeguata nel caso del semiconduttore degenere
e quindi l’espressione dell’inverso della lunghezza di screening β s deve essere modificata.
L’espressione di βs nella formulazione di Fermi-Dirac è :
βs2 (M B) =
βs2 (F D) = βS2 (M B)
n0 q 2
0 Si k B T
d ln(F1/2 (ηf ))
= βs2 (M B)kM B→F D
dηf
(4.31)
(4.32)
Il βs2 (F D) è espresso dal βs2 (M B) attraverso il coefficiente kM B→F D il cui andamento in funzione
della concentrazione degli elettroni n0 è riportato in figura 4.5. Per modificare βs2 , implementato
nel codice di Bandit, basta moltiplicarlo per il coefficiente k M B→F D in funzione della concentrazione n0 , cosı̀ si corregge l’andamento della curva di mobilità degli elettroni µ x in condizione
di alto doping.
Nella seguente tabella 4.6 è riportata l’interpolazione di k M B→F D ottenuta con un insieme di
rette le cui lunghezze sono scelte in modo da minimizzare l’errore d’approsimazione dove la
curva ha un maggior raggio di curvatura.
electron concentration n0 [cm−3 ]
ND ≤ 1015
1015 ≤ ND < 1 · 1017
1 · 1017 ≤ ND < 1 · 1018
1 · 1018 ≤ ND < 1.93 · 1018
1.93 · 1018 ≤ ND < 4.968 · 1018
4.968 · 1018 ≤ ND < 1 · 1019
1 · 1019 ≤ ND < 2.40048 · 1019
2.40048 · 1019 ≤ ND < 1 · 1020
1 · 1020 ≤ ND < 2.34 · 1020
2.34 · 1020 ≤ ND < 6.575 · 1020
6.575 · 1020 ≤ ND < 1 · 1021
1 · 1021 ≤ ND < 1.2304 · 1021
ND ≥ 1021
kM B→F D (ND )
1
0.999
−3
−3.492 · 10 ln(ND ) + 1.133
−16.88 · 10−3 ln(ND ) + 1.688
−35.64 · 10−3 ln(ND ) + 2.477
−71.90 · 10−3 ln(ND ) + 4.038
−132.9 · 10−3 ln(ND ) + 6.708
−212 · 10−3 ln(ND ) + 10.24
−211.7 · 10−3 ln(ND ) + 10.21
−134.8 · 10−3 ln(ND ) + 6.612
−82.92 · 10−3 ln(ND ) + 4.123
−68.66 · 10−3 ln(ND ) + 3.434
0.099594
Tabella 4.6: Funzione d’approsimazione di kM B→F D per correggere l’inverso della lunghezza di
screening βs nella formulazione di Fermi-Dirac
In figura 4.15 è confrontata l’interpolazione di k M B→F D ottenuta implementando le espressioni della tabella 4.6 con la curva non approssimata. La funzione InitIonizedImpScattering
che implementa anche il calcolo di βs2 viene cosı̀ modificata:
ionsc->ionreg[k]->beta2 = ionsc->ionreg[k]->conc / (dlsf * bs->temp);
ionsc->ionreg[k]->beta2 *= F12(con);
dove la funzione F12 calcola il corretto coefficiente k M B→F D in funzione del logaritmo della
concentrazione degli elettroni n0 .
96
1
0.8
kMB−>FD
0.6
0.4
0.2
rapporto analitico
rapporto approsimato con spezzoni di rette
0 14
10
16
18
20
10
10
10
−3
Electron concentration n0[cm ]
22
10
Figura 4.15: Confronto di kM B→F D interpolata e non interpolata per correggere l’inverso della
lunghezza di screnning βs nella formulazione di Fermi-Dirac
double F12(double conc)
{
double colog=log(conc);
if (1e15 <= conc && conc < 0.999e17)
return 0.999;
else if (0.999e17 <= conc && conc < 1e18)
return -3.492e-3 * colog +1.133;
else if (1e18 <= conc && conc < 1.93e18)
return -16.88e-3 * colog + 1.688;
else if (1.93e18 <= conc && conc < 4.968e18)
return -35.64e-3 * colog + 2.477;
else if (4.968e18 <= conc && conc < 1e19)
return -71.90e-3 * colog +4.038;
else if (1e19 <= conc && conc < 2.40048e19)
return -132.9e-3 * colog +6.708;
else if (2.40048e19 <= conc && conc < 1e20)
return -212e-3 * colog +10.24;
else if (1e20 <= conc && conc < 2.34e20)
return -211.7e-3 * colog +10.21;
else if (2.34e20 <= conc && conc < 6.575e20)
return -134.8e-3 * colog +6.612;
else if (6.575e20 <= conc && conc < 1e21)
97
return -82.92e-3 * colog +4.123;
else if (1e21 <= conc && conc <1.2304e21)
return -68.66e-3 * colog +3.434;
else if (conc >= 1.2304e21)
return 0.099594;
else
return 1;
}
In figura 4.16 sono graficate le mobilità degli elettroni in funzione del doping N D per campi
elettrici di 1kV /cm, 2kV /cm e 5kV /cm usando le distribuzioni di Maxwell-Boltzmann e FermiDirac. Si determina un’unica curva di mobilità ottenuta selezionando alcuni valori delle curve
di mobilità dipendenti dal campo elettrico F x . La mobilità totale è ottenuta con la regola di
Mathiessen:
1
µtot = 1
(4.33)
1
µf on + µimp
Invertendo la relazione 4.33 si può ricavare la mobilità delle sole impurezze ionizzate considerando che questo meccanismo di scattering è elastico e quindi la mobilità è indipendente dal
campo elettrico.
µtot µf on
(4.34)
µimp =
µf on − µtot
Dalle simulazioni di Bandit si sono ottenuti i seguenti valori della mobilità totale (tab.4.7) e di
quella dipendente dai soli fononi(tab.4.8) per i campi elettrici di 1, 2 e 5kV /cm.
Si è quindi scorporata la mobilità delle sole impurezze ionizzate con la relazione 4.34 ottendo i
ND
[cm−3 ]
1 · 1016
1 · 1017
1 · 1018
1 · 1019
1 · 1020
1 · 1021
µtot (Fx = 1[kV /cm])
[cm2 /(V s)]
1390.7
973.89
638.14
415.23
343.37
231.17
µtot (Fx = 2[kV /cm])
[cm2 /(V s)]
1176
900.8
556.8
350
298
189.1
µtot (Fx = 5[kV /cm])
[cm2 /(V s)]
886.4
748
500.2
322.9
272.4
162.4
Tabella 4.7: Valori della Mobilità totale degli elettroni ottenuti dalle simulazioni di Bandit
attivando lo scattering da impurezze ionizzate e da fononi
Fx [kV /cm]
1
2
5
µf on [cm2 /(V s)]
1450
1270
910
Tabella 4.8: Valori della Mobilità fononica degli elettroni ottenuti dalle simulazioni di Bandit
valori tabulati nella tabella 4.9. I valori in grassetto sono quelli utilizzati per costruire la curva
di mobilità di riferimento che verrà confrontata con il modello di Caughey-Thomas.
Dalla curva di mobilità di Caughey-Thomas si estrae la mobilità delle impurezze ionizzate
98
ND
[cm−3 ]
1 · 1016
1 · 1017
1 · 1018
1 · 1019
1 · 1020
1 · 1021
µimp (Fx = 1[kV /cm])
[cm2 /(V s)]
33.02 · 103
2.949 · 103
1.146 · 103
579
451
273
µimp (Fx = 2[kV /cm])
[cm2 /(V s)]
15.63 · 103
3.11 · 103
989
483
392
222
µimp (Fx = 5[kV /cm])
[cm2 /(V s)]
29.48 · 103
4.20 · 103
1.11 · 103
498
388
197
Tabella 4.9: Valori della Mobilità delle sole impurezze ionizzate degli elettroni derivate dalle
simulazioni di Bandit
supponendo che la mobilità dei fononi sia quella ricavata con le simulazioni di Bandit e si
tabula tale mobilità nella tabella 4.10.
ND [cm−3 ]
1 · 1016
1 · 1017
1 · 1018
1 · 1019
1 · 1020
1 · 1021
µimpC−T [cm2 /(V s)]
17.27 · 103
1.668 · 103
398
131
85
76.2
Fx [kV /cm]
2
2
5
5
5
5
Tabella 4.10: Valori della Mobilità delle sole impurezze ionizzate estratte dalla curva di
Caughey-Thomas considerando che la mobilità dei fononi sia qualla ricavata dalle simulazioni
di Bandit
Nella figura 4.17 sono riprodotti i risultati ottenuti dalle simulazioni di Bandit per la mobilità
elettronica µx ottenute con la modifica discussa in questa sottosezione. Come si vede ad alte
concentrazioni ND > 1 · 1020 l’utilizzo della distribuzione di Fermi-Dirac corregge l’andamento
della mobilità determinando la diminuzione della mobilità in funzione del doping.
Nella tabella 4.11 sono riportati i valori di mobilità ottenuti con la modifica della lunghezza di
screening nella distribuzione di Fermi-Dirac.
ND [cm−3 ]
1 · 1016
1 · 1017
1 · 1018
1 · 1019
1 · 1020
1 · 1021
µ[cm2 /(V · s)]
1176
900.8
500.2
322.9
272.4
162.4
Caughey-Thomas
1183.8
721.31
276.96
114.84
77.771
∆µ[%]
-0.65
24.88
80.60
181.2
250.25
Tabella 4.11: Modello di mobilità di Brooks & Herring: Distribuzione di Fermi-Dirac
99
espressione di Caughey−Thomas
Brooks & Herring Bandit M−B Fx=1[kV/cm]
Brooks & Herring Bandit M−B Fx=2[kV/cm]
Brooks & Herring Bandit M−B Fx=5[kV/cm]
Brooks & Herring Bandit F−D Fx=1[kV/cm]
Brooks & Herring Bandit F−D Fx=2[kV/cm]
Brooks & Herring Bandit F−D Fx=5[kV/cm]
1250
2
majority electron mobility µx[cm /(V*s)]
1500
1000
750
500
250
0 16
10
17
18
19
20
10
10
10
3
Donor concentration ND[1/cm ]
10
Figura 4.16: Confronto delle curve di mobilità elettronica per F x = 1, 2, 5kV /cm ottenute da
Bandit con la distribuzione di Maxwell-Boltzmann e Fermi-Dirac
modello di Caughey−Thomas
Bandit’s Brooks & Herring M−B model
Bandit’s Brooks & Herring F−D model
1000
2
majority electron mobility µx[cm /(V*s)]
1250
750
500
250
0 16
10
17
10
18
19
20
10
10
10
3
Donor concentration ND[1/cm ]
21
10
Figura 4.17: Confronto delle curve di mobilità elettronica ottenute da Bandit con la
distribuzione di Maxwell-Boltzmann e Fermi-Dirac
Nella figura 4.18 si confronta il modello della mobilità di Bandit, ottenuto con la distribuzione di Fermi-Dirac, con i modelli di Kosina. Come si vede il modello della mobilità degli
elettroni di Bandit è simile al modello di Kosina nella formulazione di Brooks & Herring.
100
modello di Caughey−Thomas
Kosina‘s Brooks & Herring model
Kosina‘s impurity final model
Bandit’s Brooks & Herring F−D model
1000
2
majority electron mobility µx[cm /(V*s)]
1250
750
500
250
0 16
10
17
10
18
19
20
10
10
10
3
Donor concentration ND[1/cm ]
21
10
Figura 4.18: Confronto della curva di mobilità elettronica ottenuta con Bandit con il modello
di Kosina nella formulazione di Brooks & Herring
4.4.6
Modifiche al Codice: Funzione di Correzione della Mobilità
elettronica
Come già discusso nell’introduzione al capitolo, il lavoro di Fischetti[20] identifica altri meccanismi di scattering oltre a quello fononico e da impurezze ionizzate che influenzano la mobilità
degli elettroni. Per tenere in considerazione questi ulteriori meccanismi e ottenere un modello
di mobilità che sia concordante con i dati sperimentali , si utilizza una funzione di correzione
della mobilità ottenuta con il modello di Brooks & Herring e la funzione di distribuzione di
Fermi-Dirac. Si determina in funzione del doping N D il rapporto tra la mobilità delle impurezze ionizzate ottenute dalle simulazioni di Bandit e la mobilità delle impurezze ionizzate
ottenute dalla curva di Caughey-Thomas. Dalle simulazioni di Bandit si sono ottimizzati tali
coefficienti il cui valore è riportato in tabella.
Questi coefficienti vengono impiegati nel codice delle impurezze ionizzate in Bandit per modiND [cm−3 ]
1 · 1016
1 · 1017
1 · 1018
1 · 1019
1 · 1020
1 · 1021
µimp /µimpC−T
1.5
2.5
4
6.5
10
9.24
Tabella 4.12: Coefficienti di correzione della mobilità degli elettroni in funzione del doping che
vengono utilizzati nel codice di Bandit per lo scattering rate delle impurezze ionizzate
ficare lo scattering rate delle impurezze e conseguentemente per diminuire la mobilità totale ed
101
ottenere cosı̀ il modello finale di riferimento per gli elettroni.
In Bandit la funzione ImpurityScat viene cosı̀ corretta:
static double ImpurityScat(IonRegion *ionr, ParticleType pt, Energy e)
{
double eev, scr, ni, bs2, k2;
const double coef = 2.0 * M_PI * ElectronCharge / PlanckConstant * M_PI /
(LengthFactor * SiliconRelativePermittivity * VacuumPermittivity) /
(LengthFactor * SiliconRelativePermittivity * VacuumPermittivity) *
ElectronCharge / EnergyFactor * ElectronCharge * TimeFactor;
eev = e * EnergyFactor;
if (eev > emaxion) return 0.0;
bs2 = ionr->beta2;
ni = ionr->conc;
k2 = etok2(eev, pt);
scr = coef / bs2 * ni / bs2
ConcCorFactor(ni);
return scr;
/ (1 +
4 * k2 /
bs2 ) * DoS(eev, pt)*
}
dove la funzione ConcCorFactor fornisce il coefficiente di correzione in funzione del doping N D .
inline double ConcCorFactor(double conc)
{
double norml = Centimeter / LengthFactor;
/*concentrazione in unita‘ [1/cm^3]*/
conc *= (norml*norml*norml);
if ( 1e16 <= conc && conc < 1e17)
return 1.1e-18 * conc + 1.389;
else if (1e17 <= conc && conc < 1e18)
return 1.7e-18 * conc + 2.33;
else if (1e18 <= conc && conc <1e19)
return 289e-21 * conc + 3.71;
else if (1e19 <= conc && conc < 1e20)
return 50e-21 * conc + 6.0;
else if (1e20 <= conc && conc < 0.999e21)
return -853.9e-24 * conc + 10.09;
else if (0.999e21 <= conc && conc < 1e22)
return 9.24;
else if (conc >= 1e22)
return 10;
else
return 1;
}
In figura 4.19 è graficato il modello di mobilità finale per gli elettroni ottenuto con le simulazioni
di Bandit ed è confrontato con la curva di Caughey-Thomas.
102
In figura 4.20 è invece confrontato il modello finale di mobilità con il modello finale di
modello di Caughey−Thomas
final Bandit mobility model
2
majority electron mobility µx[cm /(V*s)]
1200
800
400
0 16
10
17
18
19
10
10
10
3
Donor concentration ND[1/cm ]
10
20
Figura 4.19: Confronto del modello finale di Mobilità degli elettroni con la curva di riferimento
di Cauchey-Thomas
Kosina[21].
In tabella 4.13 si analizzano i risultati della mobilità .
ND [cm−3 ]
1 · 1016
1 · 1017
1 · 1018
1 · 1019
1 · 1020
1 · 1021
µ[cm2 /(V · s)]
1168
709.1
258.9
118.2
80
62.9
Caughey-Thomas
1183.8
721.31
276.96
114.84
77.771
∆µ[%]
-1.335
-1.693
-6.52
2.93
2.866
Tabella 4.13: Modello finale di mobilità per gli elettroni ottenuto con la funzione di correzione
della mobilità
103
modello di Caughey−Thomas
Kosina’s impurity final model
final Bandit mobility model
2
majority electron mobility µx[cm /(V*s)]
1200
800
400
0 16
10
17
18
19
10
10
10
3
donor concentration ND[1/cm ]
20
10
Figura 4.20: Confronto del modello finale di Mobilità degli elettroni con il modello finale di
Kosina
In conclusione la correzione della mobilità degli elettroni ottenuta utilizzando la funzione
di correzione dipendente dal doping, ha permesso di ottenere un modello il cui comportamento
è verosimile a quello del modello di Caughey-Thomas conservando intatta la formulazione di
Brooks & Herring.
4.4.7
Confronto con il modello di mobilità degli elettroni di KaiblingerGrulin
Nel lavoro di Kaiblinger-Selberherr[32] si è ricavato un modello analitico della mobilità nel silicio
in funzione dal tipo di drogante e della temperatura reticolare. Questo modello della mobilità
degli elettroni maggioritari è calibrato sulle misure dei maggiritari condotte da Masetti[33] sul
silicio ed è accurato per concetrazioni di drogante 10 14 ÷ 1022 cm−3 [32].
Il modello analitico della mobilità degli elettroni è il seguente:
µmaj (ND , T, Z) =
µ0 − g − h
g
+
+h
1 + (ND /C1 )α
1 + (ND /C2 )β
(4.35)
Si definiscono le seguenti grandezze:
T̄ = TL [K]/300[K]
Z̄ = Z/ZP
(4.36)
dove TL è la temperatura del reticolo in K e Z è il numero atomico della specie drogante di
tipo donore presa come riferimento (fosforo → ZP = 15).
µ0 (T̄ ) = 380 + 20700e−3T̄ [cm2 /(V · s)]
(4.37)
g(T̄ , Z̄) = 18 − 8Z̄ + (7Z̄ + 280)e−1.5T̄ [cm2 /(V · s)]
(4.38)
104
h(T̄ , Z̄) =
9 − Z̄
[cm2 /(V · s)]
T̄
α(T̄ ) = 0.9 − 0.18T̄
(4.39)
β(T̄ ) = 0.46 + 1.05T̄
(4.40)
C1 (T̄ ) = [11.85T̄ 3 + 0.45]1016 [cm−3 ]
C2 (T̄ , Z̄) = (3 +
(4.41)
1
)(1.2 − T̄ e3−7T̄ )1020 [cm−3 ]
Z̄ 2
(4.42)
In figura 4.21 è confrontato il modello finale della mobilità degli elettroni di Bandit con questo
modello in funzione della concentrazione delle impurezze ionizzate N D e della temperatura
reticolare TL .
1000
1000
TL=500[K]
2
electron mobility µx[cm /(Vs)]
2
electron mobiliy µx[cm /(Vs)]
TL=300[K]
100
Kaiblinger mobility model
Bandit final model
Kosina final model
10 16
10
17
10
18
10
19
10
100
Kaiblinger mobility model
Bandit final model
10 16
10
20
10
−3
19
10
20
10
Donor concentration ND[cm ]
elctron mobility µx[cm /(Vs)]
TL=300[k]
TL=100[K]
1000
2
2
electron mobility µx[cm /(Vs)]
18
10
−3
Donor concentration ND[cm ]
1000
17
10
100
Caughey−Thomas mobility model
Bandit final model
16
10
17
10
18
10
19
10
20
10
−3
100
Kaiblinger mobility model
Bandit final model
16
10
17
10
18
10
19
10
20
10
−3
Donor concentration ND[cm ]
Donor Concentration ND[cm ]
Figura 4.21: Confronto del modello finale della mobilità elettronica di Bandit con il modello di
mobilità di Kaiblinger-Grulin[32]
Quando la temperatura reticolare TL = 300K il modello della mobilità elettronica di Bandit
è coincidente con questo modello, anche se per concentrazioni di doping N D > 1020 [cm−3 ] si
discosta da tale modello. Quando la temperatura reticolare T L è di 100K il modello della
mobilità di Bandit è coicidente con questo modello di mobilità anche se per concetrazioni di
doping inferiori a 1016 cm−3 e superiori a 1020 cm−3 si discosta. Se si imposta una temperatura
reticolare di 500K il modello finale di Bandit non fitta correttamente i valori di mobilità di
questo modello.
105
4.4.8
Modifiche al Codice: Screening dipendente dalla concentrazione
libera
La struttura dati viene riorganizzata affinchè esiata la corrispondenza biunivoca tra gli elementi
della mesh e i dati (beta2,conc,*s) di ogni elemento. Questa modifica è indispensabile poichè
l’inverso della lunghezza di screening βs è ottenuto considerando la concentrazione dei portatori
liberi n0 e non quella delle impurezze ionizzate ND . Si vuole avere lo screening dipendente dalla
concetrazione dei portatori liberi, mentre lo scattering rete deve dipendere dalla concentrazione
dei portatori liberi e da quella delle impurezze ionizzate come previsto dalla teoria. Questa
correzione della struttura dati è fondamentale se si vuole simulare il comportamento dinamico
dei portatori all’interno del MOS; quindi non si organizzano più i dati in un numero di regioni
di doping, ma si hanno tanti campi quanti sono gli elementi della mesh (nel).
La modifica apportata alla struttura IonRegion del file curl.h prevede l’inserimento di un
nuovo campo econc che rappresenta la somma della concentrazione degli elettroni liberi e di
quella delle lacune libere per ogni elemento della mesh.
typedef struct
{
double conc;
double beta2;
double *s;
double econc;
} IonRegion;
/*
/*
/*
/*
impurity concentration */
square of inverse of screening (Debye) length */
scattering probability */
free carrier concentration */
Si corregge l’espressione dell’inverso della lunghezza di screening β s implementata nel codice,
sostituendo la concentrazione del doping conc con la concentrazione degli elettroni liberi econc.
La struttura è riorganizzata come in figura 4.22.
IonRegion
IonImpScat
ionsc
Regdata
econc conc beta2
regdata
ioreg
0
nel
1
*s
sc rate energy
emin
emax
cm
nel−2
nel−1
sc rate energy
emin
emax
x
y
0
5 10 *
*
*
*
1
*
*
*
*
*
*
2
*
*
*
*
*
*
3
*
*
*
*
*
*
4
*
*
*
*
* nel
mesh
Figura 4.22: Nuova struttura dati delle impurezze ionizzate per associare ad ogni elemento della
mesh i dati di screening dipendenti dalla concentrazione dei portatori liberi e delle impurezze
ionizzate
106
Il quadrato dell’inverso della lunghezza di screening beta2 per ogni elemento della mesh
viene cosı̀ calcolato:
/*free carrier concentration*/
/* electron concentration*/
econ = (cm->nconc[k1] + cm->nconc[k2] + cm->nconc[k3] + cm->nconc[k4]) /
4 / normv;
/* hall concetration*/
econ +=(cm->pconc[k1] + cm->pconc[k2] + cm->pconc[k3] + cm->pconc[k4]) /
4 / normv;
if (econ < 1e14) econ = 1e14;
ionsc->ionreg[k] = ionsc->regdata + k;
ionsc->ionreg[k]->econc = econ * normv1;
ionsc->ionreg[k]->beta2 = ionsc->ionreg[k]->econc / (dlsf * bs->temp);
ionsc->ionreg[k]->beta2 *= F12(econ);
La funzione if controlla che la concentrazione dei portori liberi sia maggiore 10 14 cm−3 poichè
quando si simula ad esempio il MOS, esistono elementi della mesh che hanno concetrazioni
inferiori (ad esempio nelle zone di deplition delle giunzioni del source e del drain) determinando
degli scattering rete talmente elevati da bloccare la simulazione del moto dei portatori.
Il codice della struttura dati modificato nella funzione InitIonizedImpScattering è il seguente:
int InitIonizedImpScattering(CurlMesh *cm, PScatt sc, int nedsr, double dedsr,
PBandStructure bs, Energy emax, ParticleType pt, int *memsize)
{
double con, e, *sr;
double econ;
int i, j, k, k1, k2, k3, k4;
IonImpScat *ionsc;
const double norml = Centimeter / LengthFactor;
const double normv = LengthFactor / (norml * norml * Micron);
const double normv1 = 1.0 / (norml * norml * norml);
const double dlsf = EnergyFactor * LengthFactor / ElectronCharge *
(SiliconRelativePermittivity * VacuumPermittivity);
*memsize = 0;
if (cm->ver < 110)
{
fprintf(stderr,"WARNING: Impurity concentration not available.\n");
fprintf(stderr,"
Ionized impurity scattering turned off.\n\n");
sc->ion = NULL;
return 0;
}
if (!(ionsc = (IonImpScat*) malloc(sizeof(IonImpScat))))
{
fprintf(stderr,"not enough memory for ion. imp. scattering rate\n");
return 1;
107
}
*memsize += sizeof(IonImpScat);
ionsc->cm = cm;
ionsc->nel = (cm->nx - 1) * (cm->ny - 1);
if (!(ionsc->ionreg = (IonRegion**) malloc(ionsc->nel*sizeof(IonRegion*))))
{
fprintf(stderr,"not enough memory for ion. imp. scattering rate\n");
return 1;
}
*memsize += ionsc->nel*sizeof(IonRegion*);
/* element mesh= impurity region data*/
ionsc->nionreg=ionsc->nel;
/* allocate space for impurity region data */
if (!(ionsc->regdata=(IonRegion*)malloc(ionsc->nionreg*sizeof(IonRegion))))
{
fprintf(stderr,"not enough memory for ion. imp. scattering rate\n");
return 1;
}
*memsize += ionsc->nionreg*sizeof(IonRegion);
for (i = 0; i < ionsc->nionreg; i++)
{
ionsc->regdata[i].conc = 0.0;
ionsc->regdata[i].beta2 = 0.0;
ionsc->regdata[i].econc = 0.0;
ionsc->regdata[i].s = NULL;
}
/* find which region each element in the grid belongs to */
for (k = 0; k < ionsc->nel; k++)
{
i = k / (cm->ny - 1);
j = k - i * (cm->ny - 1);
k1 = i*cm->ny + j;
k2 = k1 + 1;
k3 = k2 + cm->ny;
k4 = k1 + cm->ny;
if ((cm->mat[k1]==1)&&(cm->mat[k2]==1)&&
(cm->mat[k3]==1)&&(cm->mat[k4]==1))
continue;
/*impurity concentration*/
con = (cm->tconc[k1] + cm->tconc[k2] + cm->tconc[k3] + cm->tconc[k4]) /
4 / normv;
/*free carrier concentration*/
/*electron concentration*/
econ = (cm->nconc[k1] + cm->nconc[k2] + cm->nconc[k3] + cm->nconc[k4]) /
4 / normv;
/*hall concentration*/
108
econ +=(cm->pconc[k1] + cm->pconc[k2] + cm->pconc[k3] + cm->pconc[k4]) /
4 / normv;
if (econ < 1e14) econ = 1e14;
ionsc->ionreg[k] = ionsc->regdata + k;
ionsc->ionreg[k]->conc = con * normv1;
ionsc->ionreg[k]->econc = econ * normv1;
ionsc->ionreg[k]->beta2 = ionsc->ionreg[k]->econc / (dlsf * bs->temp);
ionsc->ionreg[k]->beta2 *= F12(econ);
}
/* setup masses & transformations */
Md[pt] = masses[pt][0] * masses[pt][1] * masses[pt][2];
Md[pt] = cbrt(Md[pt]);
for (i = 0; i < 3; i++)
{
hvt[pt][i] = sqrt(Md[pt] / masses[pt][i]);
ihvt[pt][i] = 1.0 / hvt[pt][i];
}
/* for each region compute scattering rate */
for (k = 0; k < ionsc->nionreg; k++)
{
if (ionsc->regdata[k].conc == 0.0) continue;
if (!(ionsc->regdata[k].s = (double*) malloc(nedsr * sizeof(double))))
{
fprintf(stderr,"not enough memory for ion. imp. scattering rate\n");
return 1;
}
*memsize += nedsr * sizeof(double);
sr = ionsc->regdata[k].s;
for (e = 0.0; e<= bs->emax[pt] - bs->emin[pt]; e += dedsr)
*sr++ = ImpurityScat(ionsc->regdata+k, pt, e);
}
sc->ion = ionsc;
/* print out impurity scattering (if required) */
if (verbose & VerbScattering) {
printf("# %s Ionized Impurity Scattering Rate [1/s]\n",
(pt==Electron)?"Electron":"Hole");
for (k = 0; k < ionsc->nionreg; k++)
{
if (ionsc->regdata[k].conc == 0.0) continue;
i = k / (cm->ny - 1);
j = k - i * (cm->ny - 1);
printf("#mesh x,y=[%d,%d],",i,j);
109
printf(" number element %d, Concentration: %g [1/cm^3], "
"Screening Length: %g [um], Electron Concetration:
%g[1/cm^3]\n", k+1, ionsc->regdata[k].conc / normv1,
1.0 / sqrt(ionsc->regdata[k].beta2) * LengthFactor /
Micron, ionsc->regdata[k].econc / normv1);
sr = ionsc->regdata[k].s;
for (e = bs->emin[pt]; e <= bs->emax[pt] &&
e <= bs->emin[pt] + emax; e += dedsr)
printf("%g
%g\n", (e - bs->emin[pt]) * EnergyFactor, *sr++ /
TimeFactor);
printf("&\n");
fflush(stdout);
}
}
return 0;
}
Ponendo nel codice della nuova struttura:
ionsc->nionreg=ionsc->nel;
si è fissata la dimensione del numero di regioni di doping pari al numero di elementi della mesh
implicando cosı̀ la corrispondenza biunivoca tra i dati di screening e gli elementi della mesh.
Nel caso della barretta uniformemente drogata, la curva di mobilità elettronica ottenuta da Bandit con la nuova struttura è uguale a quella ottenuta con la vecchia, quindi la riorganizzazione
della struttura non influisce sui risultati delle simulazioni.
110
4.5
Conclusioni
In questo capitolo si è studiato il meccanismo di scattering delle impurezze ionizzate ricordando
che è elastico, quindi l’energia dello stato prima dello scattering deve necessariamente essere
uguale a quella dello stato dopo lo scattering.
Si è corretto il modello dello scattering rate implementato nel codice di Bandit affichè risultasse
uguale all’espressione teorica nella formulazione di Brooks & Herring. Per correggere la mobilità degli elettroni in condizione di alto doping, si è corretta l’espressione della lunghezza di
screnning LD considerando la funzione di distribuzione di Fermi-Dirac. Per correggere la non
conservazione dell’energia durante il processo di scattering, si è individuata la causa della non
conservazione nell’uso del modello analitico per il fondo della banda di conduzione e di quello
Full-Band per la restante banda di conduzione; quindi se l’energia dell’elettrone è calcolata
con il modello analitico, lo stato dopo lo scattering è ottenuto con le regole per le impurezze
ionizzate, viceversa l’elettrone non urta con le impurezze ionizzate. Per implementare in Bandit il modello di mobilità di Caughey-Thomas per gli elettroni, si è utilizzata una funzione di
correzione dello scattering rate delle impurezze ionizzate in funzione del doping, poichè come
dimostrato nel lavoro di Fishetti[20], la curva di mobilità dipende da altri meccanismi di scattering oltre a quello dei fononi e delle impurezze ionizzate.
Si è confrontato il modello finale della mobilità degli elettroni ottenuto con Bandit con il modello di Kaiblinger-Grulin[32] in funzione del doping N D e della temperatura reticolare TL . Per
temperature reticolare TL < 300K il modello di Bandit è simile al modello di Kaiblinger-Grulin,
mentre per la temperatura di 500K si osserva che la curva della mobilità di Bandit non fitta i
dati del modello di riferimento.
A questo punto si è riorganizzata la struttura dati per le impurezze ionizzate affichè esista una
corrispondenza biunivoca tra i dati e gli elementi in cui è suddivisa la mesh. Cosı̀ facendo, si è
potuto correggere l’espressione del βs2 implementata nel codice di Bandit, poichè utilizzava la
concentrazione delle impurezze ionizzate invece di quella dei portatori liberi prevista dalla teoria. Questa modifica è fondamentale quando si vuole simulare il comportamento dei portatori
nel MOS.
111
Capitolo 5
Conclusioni
La mobilità degli elettroni nel silicio è un paramentro importante per l’analisi e la progettazione
dei dispositivi elettronici. Disporre di modelli accurati della mobilità è fondamentale affinchè
dalle simulazioni numeriche si ottengano valori corretti delle correnti nei dispositivi.
• Nel secondo capitolo si è analizzato lo scattering anelastico dovuto ai fononi ottici ed
acustici implementato in Bandit provando ad utilizzare i set dei potenziali di deformazione di Jacoboni[9], Bufler[19] e di Bandit. I risultati delle simulazioni numeriche hanno
evidenziato che le mobilità degli elettroni, ottenute con i diversi set dei potenziali di deformazione, sono identiche e coincidenti con il modello di riferimento di Caughey-Thomas
per il solo meccanismo di scattering fononico. Si è voluto anche simulare il comportamento
degli elettroni caldi, indispensabile per trarre informazioni sull’affidabilità dei dispositivi
simulati[30]. Le distribuzioni degli elettroni caldi, ottenute dalle simulazioni di Bandit,
con i fononi di Jacoboni e Bufler sono identiche, ma inferiori rispetto a quelle dei fononi
di Bandit. Anche i coefficienti di ionizzazione α, per i fononi di Jacoboni e Bufler, sono
diversi da quelli ottenuti con i fononi di Bandit. Siccome i fononi di Bandit, sono stati
calibrati affinchè i coefficienti di ionizzazione α fossero concordi con i dati sperimentali di
Van Overstraeten, si conclude che i fononi di Jacoboni e Bufler determinano dei risultati
numerici in disaccordo con i dati sperimentali. A questo riguardo modificando i fononi di
Jacoboni come proposta da Bude[29], si ottiene che le distribuzioni degli elettroni caldi
sono uguali a quelle ottenute con i fononi di Bandit e anche si ha l’uguaglianza dei coefficienti di ionizzazione α. Il set dei potenziali di deformazione di Jacoboni, e quindi di
Bufler, sono ideali per ottenere la mobilità degli elettroni a basso campo, ma inadeguati
per descrivere il comportamento degli elettroni caldi. Se si volesse comunque utilizzare
questo set dei potenziali di deformazione dei fononi, bisognerebbe modificare il codice di
Bandit: si dovrebbero usare i fononi di Jacoboni per ottenere la mobilità degli elettroni a basso campo e la modifica di Bude per descrivere il comportamento dei portatori caldi.
• Nel capitolo terzo si è analizzato lo scattering da impurezze ionizzate implementato in
Bandit. Questo meccanismo è elastico e quindi non implica la dissipazione dell’energia
degli elettroni durante il processo d’urto. La formulazione teorica del modello delle impurezze ionizzate è quella di Brooks & Herring che sovrastima la mobilità degli elettroni
a basso campo nei semiconduttori drogati. Si basa sulla descrizione stazionaria dell’interazione tra gli elettroni e la singola impurezza ionizzata addottando l’approsimazione
al primo ordine della relazione di Born. Questa relazione assume che gli ioni siano statici
113
e che non risentano del moto degli altri elettroni. Questa assunzione non è più valida al
crescere della concentrazione ND in quanto la distanza media tra due impurezze decresce
e lo scattering con due o più ioni simultaneamente diviene importante. Per concentrazioni ND > 1018 [cm−3 ] la mobilità degli elettroni cresce poichè l’effetto di schermo diviene
meno efficace. Per correggere la mobilità si è utilizzata la funzione di distribuzione di
Fermi-Dirac modificando l’espressione dell’inverso della lunghezza di screening β s .
Utilizzando la distribuzione di Fermi-Dirac si è corretto l’andamento della mobilità degli
elettroni recuperando l’effetto di schermo degli elettroni in condizione di alto doping.
Siccome la mobilità è determinata da altri meccanismi di scattering oltre a quello dei fononi e delle impurezze ionizzate, si è determinata una funzione di correzione delle mobilità
degli elettroni in funzione del doping per far sı̀, che il modello di mobilità di Bandit fornisca risultati congruenti con quello di Caughey-Thomas[23]. A questo punto si è analizzato
il codice di Bandit per correggere la non conservazione dell’energia durante il processo di
scattering ad opera delle impurezze ionizzate. Tale condizione si verificava poichè Bandit
può utilizzare sia il modello analitico (per il fondo della banda di conduzione) che quello
Full-Band (per la restante parte della banda); quindi esistono degli elettroni di “confine”
che hanno una energia inferiore alla massima energia per la validità del modello analitico,
ma tale valore è calcolato con il modello Full-Band che è meno preciso di quello analitico.
Si è confrontato il modello finale della mobilità per gli elettroni di Bandit con il modello
di Kaiblinger-Grulin[32] in funzione della concentrazione delle impurezze ionizzate N D e
della temperatura reticolare TL dimostrando che il modello finale, determinato in questa
tesi, è simile a questo modello di riferimento per temperature reticolari inferiori a 300K.
Per temperature reticolari superiori bisogna determinare dei nuovi coefficienti di correzione, ottenendo cosı̀ una dipendenza sia dal doping e che dalla temeratura reticolare T L .
Si è modificata la struttura dati per le impurezze ionizzate poichè nel vecchio codice di
Bandit lo screening veniva calcolato mediante la concentrazione delle impurezze ionizzate
ND invece di quella dei portatori liberi. La nuova struttura dati fa corrispondere ad ogni
elemento della mesh i propri dati di screening e l’inverso della lunghezza di screening è
calcolato utilizzando la concentrazione dei portatori liberi (lacune ed elettroni). Questa
modifica è fondamentale per simulare correttamente i portatori nei dispositivi quali ed
esempio i MOS anche se bisognerebbe aggiornare dinamicamente il valore della concentrazione dei portatori liberi. Questa concentrazione dipende dalla simulazione stessa e
quindi un eventuale aggiornamento dinamico non può essere effettuato frequentemente se
non si vuole allungare il tempo di simulazione.
114
Appendice A
Programmi
A.1
Programma per il Calcolo della Dipendenza della velocità di saturazione dalla temperatura reticolare TL
Il seguente codice C realizza la dipendenza delle velocità di saturazione dalla temperatura
reticolare proposta nel lavoro[10] la cui espressione implementata è :
vsat =
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
2.4 · 107
1 + 0.8 · eTL /600
[cm/s]
int main()
{
printf("#Programma di analisi della velocita’\n");
printf("#saturazione in funzione delle temperatura\n");
printf("#Jacoboni, Canali: Solid State Electron 1977\n");
/*Temperatura in Kelvin*/
double TL=8, dT=2;
int i;
double vsat=0;
printf("#TL[K]\tVsat[cm/s]\n");
/*Ciclo per il calcolo della velocita’*/
funzione della temperatura TL*/
for (i=1;i<250;i++)
{
TL +=dT;
vsat=2.4e7/(1+0.8*exp(TL/600));
printf("%lg\t%lg\n",TL,vsat);
}
}
115
(A.1)
A.2
Programma per la determinazione della curva che approsima i dati sperimentali della mobilità elettronica
Il seguente codice implementa le seguenti espressioni che permettono di tracciare la curva di
mobilità elettronica µx (Fx ) che approsima i dati sperimentali[11]:
µx =
µ0e
1
x β β
) ]
[1 + ( FFcr
(A.2)
dove Fcr è il campo critico, µ0e è il valore di mobilità per Fx → 0, mentre β rappresenta la
forma della regione di mobilità .
Il campo elettrico critico Fcr e β sono ottenuti dalle seguenti espressioni:
β = 2.57 · 10−2 · TL0.66
(A.3)
Fcr = 1.01 · TL1.55
(A.4)
/*file: mobility.c*/
/*Created by Marco Lanaro*/
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
printf("#Programma di determinazione della\n");
printf("#curva di mobilita’ elettronica\n");
printf("#che fitta i dati sperimentiali\n");
double F=0;/*electric field [V/cm]*/
double dF=10;/*electric field step [V/cm]*/
double mu=0;/*electron mobility [cm^2/(Vs)]*/
double Fcri=6.98e3;/*Critic Field*/
int i=0;
double B=1.1; /*beta*/
double B1=1/B;
double mu0=1500; /*electron mobility*/
/*Ciclo che realizza la curva che
* aprossima i dati sperimentali della
* mobilita’ eletronica*/
printf("#F[V/cm]\tve[cm^2/(Vs)]\n");
for(i=0;i<2001;i++)
{
mu=F/Fcri;
mu=pow(mu,B);
mu+=1;
mu=pow(mu,B1);
116
mu=mu0/mu;
printf("%lg\t%lg\n",F,mu);
F+=dF;
}
}
A.3
Programma per la determinazione della curva che approsima i dati sperimentali della velocità elettronica
Il seguente codice implementa le seguenti espressioni che permettono di tracciare la curva della
velocità degli elettroni che approsima i dati sperimentali:
vx =
µ0e Fx
[1 + (
1
µ0e Fx β β
vsat ) ]
(A.5)
dove µ0e è il valore di mobilità per Fx → 0, mentre β rappresenta la forma della regione di
mobilità .
β è ottenuto dalla seguente espressione:
β = 2.57 · 10−2 · TL0.66
/*file: velocity.c*/
/*Created by Marco Lanaro*/
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
printf("#Programma di determinazione della\n");
printf("#curva di velocita’ elettronica\n");
printf("#che fitta i dati sperimentiali\n");
double F=0;/*electric field [V/cm]*/
double dF=10;/*electric field step [V/cm]*/
double ve=0;/*electron velocity [cm/s]*/
int i=0;
double B=1.1; /*beta*/
double B1=1/B;
double mu0=1500; /*electron mobility*/
printf("#F[V/cm]\tve[cm/s]\n");
/*Calcolo della curva che approsima i dati
* sperimentali della velocita’ elettronica*/
for(i=0;i<2001;i++)
{
117
(A.6)
ve=mu0*F/1e7;
ve=pow(ve,B);
ve+=1;
ve=pow(ve,B1);
ve=mu0*F/ve;
printf("%lg\t%lg\n",F,ve);
F+=dF;
}
}
A.4
Programma per il Calcolo della curva di Mobilità
degli elettroni del modello di Kaiblinger-Grulin
Il seguente codice in C plotta i valori del modello di mobilità degli elettroni maggioritari la cui
espressione è [32]:
µmaj (ND , T, Z) =
µ0 − g − h
g
+
+h
α
1 + (ND /C1 )
1 + (ND /C2 )β
/*file: Kaibling.c*/
/*Created by Marco Lanaro*/
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
printf("#Programma di determinazione del\n");
printf("#modello di mobilita’ elettronica\n");
printf("#di Kaiblinger\n");
int i=0;
double N = 1e16;/*impurity concentration [1/cm^3]*/
double dN = 0.11e1;/*impurity concentration step*/
double mu, mu1, mu2;
double T = 300; /*temperature of lattice TL [K]*/
double Tbar = T/300;
double Z = 15; /*atomic number*/
double Zbar = Z/15;
double mu0 = 380+20700*exp(-3*Tbar);
double g = 18-8*Zbar+(7*Zbar+208)*exp(-1.5*Tbar);
double h = (9-Zbar)/Tbar;
double alpha = 0.9-0.18*Tbar;
double beta = 0.46+1.05*Tbar;
double C1 = (11.85*pow(Tbar,3)+0.45);
118
(A.7)
C1 *=1e16;
double C2 = (3+1/pow(Zbar,2))*(1.2-Tbar*exp(3-7*Tbar));
C2 *=1e20;
printf("#N[1/cm^3]\tmobility[cm^2/(Vs)]\n");
for(i=0;i<146;i++)
{
mu1 = N / C1;
mu1 = pow(mu1,alpha);
mu1 += 1;
mu1 = (mu0-g-h) / mu1;
mu = mu1;
mu2 = N/C2;
mu2 = pow(mu2,beta);
mu2 += 1;
mu2 = g / mu2;
mu += mu2 + h;
printf("%lg\t%lg\n",N,mu);
N *= dN;
}
}
A.5
Il Tempo di rilassamento del Momento
In questa sezione si affrontano i calcoli del tempo di rilassamento del momento per lo scattering
da impurezze ionizzate, che è il tempo necessario per randomizzare il momento. Si studia per
le impurezze ionizzate la relazione esistente tra il tempo di rilassamento del momento, che è un
processo isotropo, e lo scattering rate che è invece un meccanismo anisotropo .
L’inverso del tempo di rilassamento del momento 1/τ m è cosı̀ definito:
X
1
k0
S(~k, k~0 )(1 − z )
=
τm
kz
(A.8)
k~0
dove kz0 /kz = cos(θ).
Sostituendo al transition rate S(~k, k~0 ) = S(k~i , k~f ) l’espressione per le impurezze ionizzate si può
riscrivere l’equazione A.8 sostituendo la sommatoria con l’operatore di integrazione.
Z
Ω
1
2πND q 4 1
1
=
δ(i − f )(1 − cos(θ))dk~f
(A.9)
3
τm
(2π) k~f Ωh̄(0 Si )2 βs4 (1 + k 2 /b2s )2
dove ND è la concentrazione delle impurezze, q è la carica elettrica, i e f sono rispettivamente
l’energia iniziale e finale.
Applicando l’equazione 4.9 si riscrive l’espressione precendente nella seguente forma.
Z
1
δ(i − f )
ND q 4
k 2 sin(θ)(1 − cos(θ))dkf dθdφ (A.10)
=
τm
(2π)2 h̄(0 Si )2 βs4 kf ,θ,φ (1 + ki2 +kf2 −2ki kf cos(θ) )2 f
β2
s
119
Derivando membro a membro la relazione f (1 + αf ) = h̄2 kf2 /(2m∗ ) → df = h̄2 kf /((1 +
αf )m∗ )dkf e utilizzandola nell’equazione A.10 permette di ottenere il seguente risultato.
Z πZ ∞
1
ND q 4
δ(i − f )
m∗ (1 + 2αf )
=
kf df (1 − cos(θ)) sin(θ)dθ
2 +k 2 −2k k cos(θ)
2
4
k
i
f
τm
2πh̄(0 Si ) βs 0 0 (1 + i f
h̄2
2
)
2
βs
(A.11)
La δ(i − f ) è diversa da zero per f = i e quindi per kf = ki .
Z
ND q 4 m∗ (1 + 2αi ) π ki (1 − cos(θ) sin(θ)
1
dθ
(A.12)
=
2k2 (1−cos(θ) 2
τm
2πh̄3 (0 Si )2 βs4
0
(1 + i β 2
)
s
Risolvendo l’integrale in dθ si ottiene l’espressione finale dell’inverso del tempo di rilassamento
del momento.
4ki2
1
ND q 4 m∗ (1 + 2αi )
4ki2 /βs2
[ln(1
+
=
)
−
]
(A.13)
τm
βs2
1 + 4ki2 /βs2
8πh̄3 (0 Si )2 ki3
Il rapporto tra l’equazione A.13 di 1/τm e l’espressione dello scattering rate S() è il seguente.
2
1/τm
= 2 [ln(1 + l)(1 + l) − l]
S()
l
(A.14)
dove l = 4ki2 /βs2 .
In figura A.1 è riprodotto tale rapporto in funzione di l = 4k i2 /βs2 . Si osserva che per l → 0,
1
(1/τm)/S(ε)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
2
4
6
l=4k /β
2
i
8
10
2
s
Figura A.1: Legame del inverso tempo di rilassamento con lo scattering rete per le impurezze
ionizzate
significa che la concentrazione degli elettroni liberi deve essere grande n 0 ↑↑, 1/τm è uguale allo
scattering rate S(). L’uguaglianza dello scattering rete con l’inverso del tempo di rilassamento
del momento è valida in condizione di alto doping. Viceversa se l → ∞, cioè si è in condizione
120
di basso doping, 1/τm non è più uguale allo scattering rate.
Alle stese considerazioni si arriva riferendosi all’espressione 4.24 per il calcolo dell’angolo θ dello
stato dopo lo scattering. Si può esprimere tale relazione in funzione di l:
cos(θ) = 1 −
2r
1 + (1 − r)l
l→0
cos(θ) = 1 − 2r
(A.15)
Quando l → 0 lo scatering rate coincide con l’inverso del tempo di rilassamento del momento
e lo stato dopo lo scattering può essere ottenuto con le relazioni isotrope; viceversa quando
l → ∞ le impurezze ionizzate non deflettono i portatori.
In condizione di alto doping si può sostituire l’equazione 4.24 con l’espressione cos(θ) = 1 − 2r;
quindi si determina lo stato dopo lo scattering per le impurezze ionizzate in modo isotropo
sostituendo alla scattering rete l’espressione del tempo di rilassamento del momento per le
impurezze ionizzate.
L’angolo φ è scelto uniformentente tra 0 e 2π come nel caso anisotropo.
121
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125
Ringraziamenti
Il momento più impegnativo che deve essere affrontato quale conclusione di questa
mia tesi è il Ringraziamento personale a tutti coloro che si sono prodigati affinchè
potessi concludere brillantemente questo percorso vitale per la forgiatura di queste
mie capacità e di questo mio carattere.
Mosso da questo senso di profonda gratitudine il mio primo ringraziamento è
rivolto al Cordialissimo Professore Luca Selmi per la possibilità offertami di affrontare, con vivo interesse, lo studio delle problematiche legate alla simulazione
dei dispositivi elettronici. Si rende necessario, il doveroso ringraziamento al Dott.
Ing. Pierpaolo Palestri che è stato per me punto di riferimento indiscusso ed artefice delle conoscenze da me acquisite in tutti questi mesi di necessario e doveroso
impegno, presufi nella speranza di usufruire nella vita professionale di quanto appreso in Laboratorio. Ringrazio anche il Dott. Ing. David Esseni per il contributo
offertomi affinchè questa tesi potesse essere formulata e per l’attenzione dimostratami. A questo punto voglio offrire i mie più profondi sentimenti d’affetto e
di ringraziamento a mio Padre e a mia Madre. Devo alla loro fiducia e ai loro
sacrifici, che tutt’oggi perdurano ancora, se ho potuto coronare questo mio arcaico desiderio e se sono orgoglioso di tutti questi nostri sacrifici per garantirmi un
futuro migliore e una conoscenza più approfondita della umana vita.
Grazie a mio Fratello e a mia Sorella per avermi sopportato per tutto questo tempo e per avermi confortato; se sono ora arrivato al traguardo è merito anche loro.
Voglio rivolgere il mio ultimo ringraziamento ai Salesiani di San Giovanni Bosco
per gli insegnamenti imparti sia come alunno, che come persona. Se oggi posso
andare fiero di quello che sono, nel profondo del cuore il merito è anche loro.
Grazie.
Marco Lanaro
Povoletto, lı̀ Settembre 2003.
127