matematica-geometria-secondo-anno

Geometria - secondo anno
Book in
progress
Geometria
secondo anno
1
Geometria - secondo anno
INDICE
6.
UNITÀ 6: LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
Generalità .................................................................... 5
Simmetrie nella circonferenza e nel cerchio .................. 6
Le parti della circonferenza e del cerchio ..................... 7
Proprietà delle corde di una circonferenza ................. 10
Reciproche posizioni fra retta e circonferenza............. 16
Reciproche posizioni fra due circonferenze................. 18
Angoli alla circonferenza e corrispondenti
angoli al centro ........................................................... 21
6.8 Tangenti condotte da un punto ad una circonferenza . 25
ESERCIZI UNITÀ 6:
LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO
Conoscenza e comprensione............................................. 28
Applicazione........................................................................31
Problemi. Corde e archi...................................................... 34
Reciproche posizioni fra retta e circonferenza.
Reciproche posizioni fra due circonferenze......................... 35
Angoli al centro e angoli alla circonferenza.
Tangenti a una circonferenza .............................................. 36
Problemi di riepilogo ........................................................... 38
… OLIMPIADI.................................................................. 40
7.
UNITÀ 7: POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI.
POLIGONI REGOLARI
7.1
7.2
7.3
7.4
Generalità ................................................................... 43
Punti notevoli di un triangolo....................................... 44
I quadrilateri inscritti e circoscritti................................. 49
I poligoni regolari......................................................... 54
ESERCIZI UNITÀ 7:
PERPENdICOLARITÀ E PARALLELISmO
Conoscenza e comprensione............................................. 58
Applicazione....................................................................... 60
Punti notevoli di un triangolo............................................... 62
Quadrilateri inscritti e circoscritti ......................................... 62
Poligoni regolari .................................................................. 63
Problemi di riepilogo ........................................................... 63
… OLIMPIADI.................................................................. 66
2
8.
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
UNITÀ 8: L’ EQUIVALENZA dEI POLIGONI
Figure equivalenti ........................................................ 69
Somma e differenza di superfici .................................. 70
Poligoni equivalenti ..................................................... 74
Costruzione di poligoni equivalenti.............................. 80
I teoremi di Pitagora e di Euclide ................................ 82
Espressioni metriche dei teoremi
di Pitagora e di Euclide ............................................... 86
8.7 Aree dei poligoni – Area del cerchio ............................ 88
8.8 Applicazioni del teorema di Pitagora ........................... 89
8.9 Relazioni tra i lati dei poligoni regolari e i raggi
delle circonferenze inscritte e circoscritte................... 92
ESERCIZI UNITÀ 8
Conoscenza e comprensione ............................................ 97
Costruzioni ....................................................................... 100
Problemi .......................................................................... 101
Primo teorema di Euclide ................................................ 103
Teorema di Pitagora ......................................................... 104
Secondo teorema di Euclide ............................................ 104
Problemi di riepilogo sull’equivalenza................................ 105
Problemi sulle aree dei poligoni.
Espressioni metriche dei teoremi di Pitagora e di Euclide. 106
… OLIMPIADI ............................................................... 109
9.
UNITÀ 9:
LE GRANdEZZE E LA PROPORZIONALITÀ
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
Generalità ................................................................. 111
Grandezze commensurabili e incommensurabili ....... 111
Rapporto di due grandezze ...................................... 113
Rapporto tra due numeri. Proporzioni....................... 114
Grandezze direttamente proporzionali ...................... 118
Grandezze inversamente proporzionali ..................... 119
Il teorema di Talete.................................................... 119
ESERCIZI UNITÀ 9:
ESERCIZI SULLE PROPORZIONI............................... 121
Book in
progress
Geometria - secondo anno
INDICE
10. UNITÀ 10: LA SImILITUdINE TRA FIGURE PIANE
11. UNITÀ 11: LA GEOmETRIA dELLO SPAZIO
10.1 Generalità ................................................................. 125
10.2 La similitudine nei triangoli ........................................ 127
10.3 I criteri di similitudine dei triangoli .............................. 128
10.4 Applicazione della similitudine................................... 131
10.5 La similitudine dei poligoni ........................................ 135
10.6 Applicazione della similitudine a corde, tangenti,
secanti e bisettrici ..................................................... 136
10.7 Sezione aurea........................................................... 138
11.1 Generalità ................................................................. 153
11.2 Elementi di geometria dello spazio ........................... 153
11.3 Posizioni reciproche nello spazio
(retta – retta; piano – piano; retta – piano)................. 155
11.4 Proiezioni .................................................................. 162
11.5 Diedri ........................................................................ 164
11.6 Angoloidi................................................................... 166
11.7 Le trasformazioni geometriche nello spazio .............. 168
11.8 I poliedri .................................................................... 175
11.9 I prismi...................................................................... 175
11.10 Criteri di congruenza dei triedri.............................. 180
11.11 La piramide........................................................... 180
11.12 I solidi di rotazione................................................. 183
11.13 Il cilindro................................................................ 184
11.14 Il cono ................................................................... 185
11.15 La sfera e le sue parti............................................ 188
11.16 L’equivalenza nello spazio ..................................... 191
ESERCIZI UNITÀ 10:
ESERCIZI SULLA SImILITUdINE
Conoscenza e comprensione .......................................... 141
Problemi su triangoli e poligoni ......................................... 144
Similitudine e i Teoremi di Euclide
Conoscenza e comprensione .......................................... 146
Problemi .......................................................................... 147
Similitudine e circonferenza
Conoscenza e comprensione .......................................... 147
Problemi ........................................................................... 148
Problemi sulla similitudine da risolvere algebricamente ..... 148
… OLIMPIADI ............................................................... 150
INVALSI Esercizi sulla similitudine ..................................... 151
ESERCIZI UNITÀ 11:
ESERCIZI GEOmETRIA dELLO SPAZIO
Conoscenza e comprensione .......................................... 194
Applicazioni e problemi..................................................... 197
… OLIMPIADI ............................................................... 202
3
Geometria - secondo anno
4
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
UNITÀ 6. LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO
6.1 GENERALITÀ
Fissati nel piano un punto O ed un segmento r , si
chiama circonferenza di centro O e raggio r il luogo
geometrico dei punti P del piano aventi distanza da
O congruente al segmento r (fig. 1):
Ovviamente ogni segmento avente per estremi il
punto O ed un punto qualsiasi della circonferenza è
congruente al segmento r (e quindi tutti i raggi sono
congruenti). Si chiama corda il segmento che ha per
estremi due punti qualsiasi della circonferenza (fig. 2):
Si chiama diametro ogni segmento che ha per
estremi due punti della circonferenza e che contiene
il centro della circonferenza stessa (fig. 3):
PQ corda
AB diametro
Il diametro è, quindi, una corda che contiene il centro della circonferenza. Gli estremi A e B del diametro si dicono punti
diametralmente opposti. La retta passante per A e B viene detta retta diametrale.
Dato che il diametro è congruente al doppio del raggio, tutti i diametri di una stessa circonferenza sono congruenti.
Le circonferenze si disegnano con il compasso: la punta metallica nel centro O ed apertura “uguale” al raggio.
DISEGNA sul tuo quaderno tre circonferenze con centri in tre punti A, B, C a tua scelta e raggi rispettivamente r = 3 cm,
r = 5 cm, r = 6 cm.
La circonferenza è una linea chiusa non intrecciata e divide il piano in tre sottoinsiemi disgiunti:
- l’insieme dei punti la cui distanza dal centro è minore del raggio (punti interni alla circonferenza);
- l’insieme dei punti la cui distanza dal centro è congruente al raggio (punti della circonferenza);
- l’insieme dei punti la cui distanza dal centro è maggiore del raggio (punti esterni alla circonferenza).
In fig. 4 è data una circonferenza Γ e sono
rappresentati un punto interno, un punto esterno
e un punto appartenente a Γ:
Si dice cerchio di centro O e raggio r il luogo dei
punti P del piano che hanno distanza da O minore
o congruente al raggio; in simboli:
Pertanto, il cerchio è la figura formata dall’insieme
dei punti interni e dei punti appartenenti alla
circonferenza (fig. 5):
Il cerchio è una figura convessa [PERCHÉ?]
È intuitivo che due circonferenze/cerchi sono
congruenti se e solo se hanno raggi congruenti.
La circonferenza è il contorno del cerchio.
Il punto O è il centro della circonferenza e
del cerchio.
5
Geometria - secondo anno
6.2 SImmETRIE NELLA CIRCONFERENZA (E NEL CERCHIO)
La circonferenza e il cerchio hanno infiniti assi di simmetria e un centro di simmetria.
Valgono infatti i seguenti teoremi:
TEOREMA
Ogni retta che contiene un diametro è asse di simmetria per la circonferenza / il cerchio.
Sia data una circonferenza Γ di centro O e raggio r. Consideriamo un diametro AB e la simmetria assiale
retta AB. Vogliamo dimostrare che, considerato un generico punto P di Γ, il suo corrispondente P', nella
ancora a Γ.
di asse la
, appartiene
Quindi:
Dimostrazione
Nella
si ha:
perché O è un punto
dell’asse di simmetria
e, poiché per ipotesi:
si ha:
Dato che la simmetria assiale è una isometria, si ha:
per la proprietà transitiva della congruenza, cioè
e, poiché
segue che:
La figura seguente “sintetizza” il precedente teorema:
C.V.D.
Dal precedente teorema segue che la circonferenza e
il cerchio hanno infiniti assi di simmetria che sono le
infinite rette passanti per il centro (rette del fascio di
centro O), cioè le infinite rette che “contengono” gli
infiniti diametri.
TEOREMA
Il centro della circonferenza è centro di simmetria per la circonferenza / il cerchio.
Data la circonferenza Γ di centro O e raggio r, consideriamo la simmetria centrale di centro O,
.
Vogliamo dimostrare che, considerato un generico punto A di Γ, il suo corrispondente nella
appartiene ancora a Γ.
Dimostrazione
Quindi:
Sappiamo per ipotesi che
e che
quindi, per definizione di simmetria centrale, è:
e, poiché
si ha che:
per la proprietà transitiva della congruenza,
cioè
(fig. 6):
C.V.D.
PROVA TU:
La circonferenza e il cerchio sono figure unite
in ogni rotazione di centro O.
6
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
6.3 LE PARTI dELLA CIRCONFERENZA E dEL CERCHIO
Si dice arco ciascuna delle due parti in cui una circonferenza
viene divisa da due suoi punti (fig. 7):
I punti A e B individuano due archi che si indicano con
Spesso, per evitare confusione, si fissa un punto interno ad
uno dei due archi che si vuole individuare (fig. 8):
Si hanno così gli archi
oppure, volendo riferirsi, per esempio, all’arco
si dice l’arco
che contiene P o, ancora, l’arco
che non contiene Q.
Alcuni parlano di “arco minore” / “arco maggiore”, ….. con qualche problema, però, nel caso in cui gli estremi dell’arco
siano punti diametralmente opposti.
Ad ognuno dei due archi individuati da due punti A e B della
circonferenza “corrisponde” una sola corda AB (corda
sottesa dall’arco) ma ad ogni corda “corrispondono” due
archi AB (archi sottesi dalla corda) [fig. 9]:
-
La corda AB è sottesa da ciascuno dei due archi AB.
I due archi AB sono sottesi dalla corda AB.
Quando i due punti A e B sono diametralmente opposti,
ognuno dei due archi viene chiamato semicirconferenza
(fig. 10):
Ogni corda divide il cerchio in due parti, ciascuna delle quali
si chiama segmento circolare ad una base.
In fig. 11, la corda AB delimita due segmenti circolari di base
AB:
OSSERVAZIONE:
Il segmento circolare a una base si può pensare ottenuto
dall’intersezione di un semipiano, la cui origine contiene una
corda, con un cerchio (fig. 12):
Si dice altezza di un segmento circolare ad una base il
segmento che ha come estremi il punto medio della base e
il punto d’intersezione dell’asse della base con la
circonferenza (meglio, con l’arco del nostro segmento
circolare).
7
Geometria - secondo anno
In fig. 13 abbiamo individuato un segmento circolare di base
AB e altezza MH:
Se la corda è un diametro (fig. 14), ognuno dei due segmenti
circolari viene chiamato semicerchio:
Il semicerchio è ciascuna delle due parti di piano comprese
fra una circonferenza ed un suo diametro.
Se consideriamo due corde parallele AB e CD, la parte di
cerchio compresa tra le due corde si chiama segmento
circolare a due basi (AB e CD basi) [fig. 15]:
OSSERVAZIONE:
Il segmento circolare a due basi si può pensare ottenuto
dall’intersezione di una striscia, individuata da due corde
parallele (basi del segmento circolare) con un cerchio
(fig. 16):
Si chiama altezza di un segmento circolare a due basi la
distanza tra le due basi (fig. 17):
CH altezza del segmento circolare
di basi AB e CD.
Si dice angolo alla circonferenza un angolo convesso
avente per vertice un punto della circonferenza e i lati
entrambi secanti la circonferenza (fig. 18), oppure uno
secante e l’altro tangente (fig. 19):
angolo alla circonferenza.
I lati AB e AC sono entrambi secanti la circonferenza.
8
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
L’angolo alla circonferenza individua l’arco
rosso: si dice che l’angolo alla circonferenza
insiste sull’arco
di colore
oppure:
angolo alla circonferenza.
Il lato DF è secante, il lato DE è tangente alla circonferenza.
di colore blu:
L’angolo alla circonferenza individua l’arco
si dice che l’angolo alla circonferenza
insiste sull’arco
Si dice angolo al centro un angolo che ha il vertice nel
centro di una circonferenza (fig. 20):
angolo convesso
In fig. 20, i lati dell’angolo al centro intersecano la
circonferenza in due punti A e B, individuando, così, l’arco
di circonferenza, (e la corda AB), interno all’angolo: si
dice che l’angolo al centro
insiste sull’arco
o
sottende l’arco
.
In fig. 21, l’angolo convesso
insiste sull’arco
di
colore rosso mentre l’angolo concavo
insiste sull’arco
di colore blu.
OSSERVAZIONE:
Ad ogni angolo alla circonferenza “corrisponde” uno ed un
solo angolo al centro che insiste sullo stesso arco (fig. 22):
angolo alla circonferenza che insiste sull’arco
All’angolo
→ uno ed un solo angolo al centro, l’angolo
che insiste sullo stesso arco
La “corrispondenza” evidenziata non è però biunivoca; infatti
ad un angolo al centro che insiste su un certo arco,
corrispondono infiniti angoli alla circonferenza che insistono
sullo stesso arco (fig. 23):
angolo alla circonferenza
che insiste sull’arco
All’angolo
angolo alla circonferenza
che insiste sull’arco
angolo alla circonferenza
che insiste sull’arco
................................................
9
Geometria - secondo anno
PROVA TU il seguente
TEOREMA
In ogni circonferenza se si verifica una delle seguenti congruenze:
- due corde sono congruenti;
- due archi sono congruenti;
- due angoli al centro sono congruenti,
allora si verificano anche le restanti congruenze.
Si dice settore circolare ciascuna delle due parti di cerchio
limitate da due raggi (fig. 24):
Ciascuna delle due parti colorate è un settore circolare;
α ampiezza del settore di colore fucsia.
OSSERVAZIONE:
Il settore circolare si può pensare ottenuto dall’intersezione
di un angolo al centro con il cerchio (fig. 25):
6.4 PROPRIETÀ dELLE CORdE dI UNA CIRCONFERENZA
TEOREMA
In una circonferenza, ogni diametro è maggiore di qualsiasi corda non passante per il centro.
Dimostrazione
Congiungiamo gli estremi C e D della corda
con il centro O della nostra circonferenza
ottenendo, così, il triangolo COD (fig. 26):
Poiché in un triangolo la somma di due lati è
maggiore del terzo lato, si ha:
ed essendo OC e OD raggi, risulta:
e quindi:
C.V.D.
TEOREMA
In una circonferenza, l’asse di una corda
passa per il centro della circonferenza
stessa.
10
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
Dimostrazione
Sappiamo che CD è l’asse della corda AB, cioè la
perpendicolare ad AB passante per il suo punto medio M.
Per dimostrare che CD è un diametro, basta far vedere che
vi appartiene il centro O.
Ora, il centro della circonferenza è, per definizione,
equidistante da tutti i punti della circonferenza e, quindi,
anche dagli estremi A e B della corda (fig. 27):
Pertanto il centro O appartiene all’asse di AB [ricorda che
“l’asse di un segmento è il luogo dei punti del piano
equidistanti dagli estremi del segmento”].
C.V.D.
CIRCONFERENZA PER TRE PUNTI
Come conseguenza del precedente teorema si ha il seguente:
TEOREMA
Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza.
circonferenza passante
per A, B, C
Dimostrazione
Conduciamo gli assi dei segmenti AB e BC ed indichiamo
con O il loro punto d’intersezione (esiste! PERCHÉ?) [fig. 28]:
Si ha:
perché O appartiene all’asse di AB;
perché O appartiene all’asse di BC,
da cui segue:
per la proprietà transitiva della congruenza.
Pertanto O è equidistante dai punti A, B, C e, quindi, è il centro della circonferenza passante per tali punti (fig. 29):
La circonferenza è unica perché è unico il punto d’intersezione
dei due assi e, di conseguenza, è unico il punto equidistante
dai punti dati.
C.V.D.
OSSERVAZIONE:
Per la dimostrazione del teorema si possono condurre due qualsiasi tra i tre assi dei tre segmenti AB, BC, AC.
11
Geometria - secondo anno
COROLLARIO 1
Due circonferenze distinte non possono avere più di due punti di intersezione.
[Infatti se ne avessero tre, sarebbero la stessa circonferenza].
COROLLARIO 2
Una circonferenza non può avere tre punti allineati.
[Se una circonferenza avesse, infatti, tre punti allineati:
A, B, C allineati
gli assi delle corde AB e BC dovrebbero essere incidenti in O, per cui …CONTINUA……………………………………....
……………………………....……………………………....
Ora giochiamo ….. con un po’ di circonferenze e “verifichiamo” con il disegno che:
- per un punto del piano passano infinite circonferenze.
Dato, infatti, nel piano un punto P, osserviamo che
ognuno degli infiniti punti
distinti da P,
può essere considerato come centro di una circonferenza
di raggio rispettivamente
(fig. 30):
- per due punti del piano passano infinite circonferenze.
Dati, infatti, nel piano due punti P e Q, conduciamo l’asse
del segmento PQ ed osserviamo che ognuno degli infiniti
punti
dell’asse può essere considerato
come centro di una circonferenza
di raggio rispettivamente
(fig. 31):
- per tre punti del piano, non allineati, passa una ed
una sola circonferenza.
Dati, infatti, nel piano tre punti L, M, N, non allineati …CONTINUA……………………………………………………………
(costruzione riportata in fig. 28, pag. 9).
12
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
TEOREMA
La perpendicolare condotta dal centro della circonferenza ad una sua corda dimezza la corda.
Dimostrazione
Congiungiamo il centro O con gli estremi A e B della corda
(fig. 32):
e consideriamo i triangoli OAH e OBH; essi hanno:
retti, per ipotesi;
perché raggi;
OH
in comune (o OH ≅ OH per la proprietà
riflessiva della congruenza).
I due triangoli, avendo ordinatamente congruenti l’angolo
retto, l’ipotenusa ed un cateto, sono congruenti per il
criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. Avranno,
pertanto, tutti gli altri elementi corrispondenti congruenti,
in particolare:
(“segnare AH e HB con il simbolo * ”).
C.V.D.
Al termine della teorema la figura si presenta come segue:
TEOREMA INVERSO
La congiungente il centro O di una circonferenza con il punto medio M di una sua corda è perpendicolare alla
corda.
Dimostrazione
Congiungiamo il centro O con gli estremi A e B della
corda (fig. 33):
e consideriamo i triangoli OAM e OBM; essi hanno:
AM≅ MB
OA≅ OB
OM
per ipotesi;
perché raggi;
in comune (o OM ≅ OM per la proprietà
riflessiva della congruenza).
I due triangoli, avendo ordinatamente congruenti i tre lati,
sono congruenti per il terzo criterio di congruenza dei
triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli altri elementi
corrispondenti congruenti, in particolare:
ed essendo
piatto, si ha che gli angoli
sono retti e quindi:
C.V.D.
[Questa volta, ... e quasi sempre in seguito, COMPLETA TU la figura].
13
Geometria - secondo anno
TEOREMA
In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro.
[Dimostriamo il teorema nel caso in cui le due corde appartengono alla stessa circonferenza].
Dimostrazione
Osserviamo che le perpendicolari OH e OK, condotte
da O alle corde, tagliano le corde nel loro punto medio
(teorema pag. 11), per cui:
perché metà di corde congruenti
(“segnare AH, HB, CK e KD con il simbolo * ”).
Congiungiamo, ora, il centro O con gli estremi A e C
(fig. 34):
e consideriamo i triangoli OAH e OCK; essi hanno:
retti, per ipotesi;
OA≅ OC
perché raggi;
AH≅ CK
per precedente osservazione.
I due triangoli, oltre all’angolo retto, hanno
ordinatamente congruenti l’ipotenusa ed un cateto
per cui sono congruenti per il criterio di congruenza
dei triangoli rettangoli. Avranno, pertanto, tutti gli altri
elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
OH ≅ OK .
C.V.D.
Si effettua un’analoga dimostrazione se le corde appartengono a due circonferenze congruenti (questa considerazione
vale anche per i teoremi successivi).
TEOREMA INVERSO
In una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) se due corde hanno la stessa distanza dal centro, allora
sono congruenti.
[Dimostriamo il teorema nel caso in cui le due corde appartengono alla stessa circonferenza]
Dimostrazione
Congiungiamo il centro O con gli estremi A e C
(fig. 35):
e consideriamo i triangoli OAH e OCK; essi hanno:
( ≅ 90°) perché OH e OK distanze
di O rispettivamente da AB e CD;
OA≅ OC
perché raggi;
OH≅ OK
per ipotesi.
I due triangoli, avendo ordinatamente congruenti
l’angolo retto, l’ipotenusa ed un cateto, sono
congruenti per il criterio di congruenza dei triangoli
rettangoli. Avranno, pertanto, tutti gli altri elementi
corrispondenti congruenti, in particolare: AH ≅ CK.
Infine, poiché le perpendicolari condotte dal centro
alle corde dividono ogni corda in due segmenti
congruenti, si deduce che, se le metà sono
congruenti, saranno congruenti anche le corde
stesse; cioè: AB ≅ CD .
C.V.D.
14
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
TEOREMA
Se in una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) due corde non sono congruenti, allora anche le loro
distanze dal centro non sono congruenti e, in particolare, la corda maggiore ha distanza minore.
[Dimostriamo il teorema nel caso in cui AB e CD siano due corde della stessa circonferenza di centro O, con AB > CD]
Dimostrazione
Se le due corde non sono consecutive,
“costruiamo” la corda BE consecutiva ad AB e
congruente a CD (fig. 36):
e diciamo OT la distanza di BE da O (fig. 37):
Poiché le corde CD e BE sono congruenti, si ha
che le loro distanze dal centro sono congruenti
(teorema pag. 12), cioè OK ≅ OT.
Inoltre, da:
AB > CD ∧ CD ≅ BE
segue, per la proprietà della disuguaglianza tra
segmenti, che: AB > BE
e la stessa relazione vale fra le metà delle due
corde, cioè: BH > BT
(PERCHÈ BH è la metà di AB e BT la metà di BE?)
Consideriamo ora il triangolo BHT (fig. 38):
e osserviamo che, poiché in un triangolo al lato
maggiore sta opposto l’angolo maggiore
(disuguaglianza triangolare), si ha:
(“segnare
rispettivamente
con i simboli
e
”) [fig. 39]:
per cui fra gli angoli
, complementari
rispettivamente degli angoli
vale la
relazione opposta, cioè:
e quindi: OH < OT
perché nel triangolo HOT ad angolo minore si oppone lato minore, che è lo stesso dire: OH < OK
Se le corde sono consecutive, riferire la dimostrazione alle corde AB e BE.
C.V.D.
15
Geometria - secondo anno
TEOREMA INVERSO
Se in una stessa circonferenza (o in circonferenze congruenti) due corde hanno distanze dal centro non congruenti,
allora anche le corde non sono congruenti e, in particolare, è maggiore la corda che ha distanza minore da esso.
PROVA TU a dimostrare il teorema, sempre nel caso in cui le due corde AB e CD appartengono alla stessa circonferenza
di centro O e la distanza di AB da O sia minore di quella di CD da O.
Riferisci, quindi, la dimostrazione alla seguente figura e ai dati riportati:
[suggerimento: se le due corde non sono
consecutive, “costruisci” la corda BE consecutiva
a ….. e congruente a ….. . Dimostrazione per
assurdo]
6.5 RECIPROCHE POSIZIONI FRA RETTA E CIRCONFERENZA
Date la circonferenza Γ, di centro O e raggio r, ed una retta s, vogliamo studiare le posizioni che la retta può assumere
rispetto alla circonferenza. Tracciamo dal centro O la perpendicolare OH alla retta s. Si possono presentare i seguenti casi:
1. retta esterna alla circonferenza (fig. 40):
COMPLETA:
In tal caso il punto H è esterno alla circonferenza e
ogni altro punto P appartenente ad s, avendo
distanza da O …………………. di …… , perché il
segmento di perpendicolare è ……………………..
di ogni segmento ………………. , è ………………
…………………………. alla circonferenza (fig. 41):
Pertanto: Γ ∩ s = ……. .
In tal caso la retta è esterna alla circonferenza.
Pertanto:
una retta è esterna ad una circonferenza se la
sua distanza dal centro della circonferenza è
maggiore del raggio.
Viceversa:
Se la distanza di una retta dal centro di una
circonferenza è maggiore del raggio, allora la
retta è esterna alla circonferenza (PROVA TU)
[e quindi “si ha” una condizione necessaria e
sufficiente].
2. retta tangente alla circonferenza (fig. 42):
COMPLETA:
In tal caso il punto H “sta” sulla circonferenza e ogni
altro punto P appartenente ad s, avendo distanza
da O …………………. di …… (perché il segmento
di perpendicolare è ………………………… di ogni
segmento ………………. , è …………………. alla
circonferenza (fig. 43):
16
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
Pertanto:
Γ ∩ s = {H}
In questo caso la retta è tangente alla circonferenza.
Pertanto:
una retta è tangente ad una circonferenza se la
sua distanza dal centro della circonferenza è
congruente al raggio.
Viceversa:
Se la distanza di una retta dal centro di una
circonferenza è congruente al raggio, allora la
retta è tangente alla circonferenza (PROVA TU)
[e quindi “si ha” una condizione necessaria e
sufficiente].
H si dice punto di tangenza
3. retta secante la circonferenza (fig. 44):
COMPLETA:
In tal caso il punto H è interno alla circonferenza.
Prendiamo, allora, su s un punto P tale che PH ≅ r
e consideriamo il triangolo rettangolo OPH (fig. 45):
Si ha che:
OP > … ,
perché, nel triangolo rettangolo OPH,
il lato OP è ………………………
e quindi:
…>r,
per cui il punto … è esterno alla circonferenza.
Segue che il segmento HP unisce un punto interno
(…) con un punto esterno (…) e pertanto deve
intersecare la ………….….………….. (postulato di
continuità), diciamo nel punto E (fig. 46):
Ripetendo lo stesso ragionamento con un punto Q,
simmetrico di P rispetto ad H, e quindi tale che
QH≅ r , si ha che il segmento QH ha un punto F in
comune con la circonferenza (fig. 47):
Esistono, quindi, due punti E ed F, comuni alla retta
s e alla circonferenza. In questo caso la retta s si
dice secante la circonferenza nei punti E ed F.
In simboli:
Γ ∩ s = {E, F} .
Pertanto:
una retta è secante ad una circonferenza se la sua distanza dal centro della circonferenza è minore del raggio.
Viceversa:
Se la distanza di una retta dal centro di una circonferenza è minore del raggio, allora la retta è secante la
circonferenza (PROVA TU) [e quindi “si ha” una condizione necessaria e sufficiente].
17
Geometria - secondo anno
Tutto quanto detto ci permette di formulare il seguente teorema:
TEOREMA
Condizione necessaria e sufficiente affinchè una retta sia:
- esterna ad una circonferenza è che la sua distanza dal centro sia maggiore del raggio;
- tangente ad una circonferenza è che la sua distanza dal centro sia congruente al raggio;
- secante ad una circonferenza è che la sua distanza dal centro sia minore del raggio.
In conclusione, sai dire QUANTI punti, al massimo, possono avere in comune una retta ed una circonferenza?
6.6 RECIPROCHE POSIZIONI FRA dUE CIRCONFERENZE
Date in un piano due circonferenze Γ1 e Γ2 , esaminiamo le possibili reciproche posizioni che esse possono assumere.
Osserviamo innanzitutto che per tre punti allineati non passa alcuna circonferenza (COROLLARIO 2, pag. 10),
mentre per tre punti non allineati ne passa una sola (TEOREMA pag. 9).
Pertanto, due circonferenze possono avere al massimo due punti di intersezione (COROLLARIO 1, pag. 10).
Si possono presentare, quindi, i casi seguenti:
1° caso: circonferenze esterne (fig. 48):
Le circonferenze Γ1 e Γ2 sono esterne: la distanza
fra i due centri è maggiore della somma dei due
raggi.
In simboli:
O1O2 > r1 + r2
COMPLETA:
Nel caso delle circonferenze esterne, ogni punto
di Γ1 è ………………… a Γ2 e ogni …………… di
….. è ………………… a Γ1 .
Quindi: Γ1 ∩ Γ2 = ……
Si ha:
- due circonferenze Γ1 e Γ2 sono fra loro esterne se la distanza fra i due centri è maggiore della somma dei due
raggi.
Viceversa:
- se la distanza fra i centri di due circonferenze è maggiore della somma dei due raggi, allora le due circonferenze
sono esterne.
[e quindi “si ha” una condizione necessaria e sufficiente].
2° caso: circonferenze tangenti esternamente (fig. 49):
Le
circonferenze
Γ1
e
Γ2
sono
tangenti
esternamente: la distanza fra i due centri è
congruente alla somma dei due raggi.
In simboli: O1O2 ≅ r1 + r2
T si dice punto di tangenza
COMPLETA:
Nel caso delle circonferenze Γ1 e Γ2 , esse hanno
un unico ……….. comune T, appartenente alla retta ..... ; ogni altro punto di …… è ……………… a Γ2 e ogni altro punto
di …… è ……………… a …… (cioè il centro di ognuna delle due circonferenze è ……………. all’altra).
Quindi: Γ1 ∩ Γ2 = ……
18
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
Si ha:
- due circonferenze Γ1 e Γ2 sono tangenti esternamente se la distanza fra i centri è congruente alla somma dei
due raggi.
Viceversa:
- se la distanza fra i centri di due circonferenze è congruente alla somma dei due raggi, allora le due circonferenze
sono tangenti esternamente. [e quindi “si ha” una condizione necessaria e sufficiente].
OSSERVAZIONE:
Nel caso esaminato, le due circonferenze hanno, nel punto T, la stessa retta tangente t che è perpendicolare alla
congiungente O1O2 (fig. 50):
3° caso: circonferenze secanti (fig. 51):
Le circonferenze Γ1 e Γ2 sono secanti: la
distanza fra i due centri è minore della somma
dei due raggi e maggiore della loro differenza.
In simboli:
r1 – r2 < O1O2 < r1 + r2
COMPLETA:
Nel caso delle circonferenze secanti, le due
circonferenze Γ1 e Γ2 hanno ….. punti, … e …
, in comune e che non appartengono alla
congiungente ……. .
Si ha:
- due circonferenze Γ1 e Γ2 sono secanti
se la distanza fra i due centri è minore
della somma dei raggi e maggiore della
loro differenza.
Viceversa:
- se la distanza fra i centri di due circonferenze è minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza,
allora le due circonferenze sono secanti. [e quindi “si ha” una condizione necessaria e sufficiente].
4° caso: circonferenze tangenti internamente (fig. 52):
Le circonferenze Γ1 e Γ2 sono tangenti
internamente: la distanza fra i due centri è
congruente alla differenza dei due raggi.
In simboli:
O1O2 ≅ r1 – r2
T si dice punto di tangenza
COMPLETA:
Nel caso delle circonferenze tangenti internamente, le due circonferenze Γ1 e Γ2 hanno un unico …….…... comune T,
appartenente alla retta …. , e ogni altro punto di …….. è interno a ………… .
Quindi:
Γ1 ∩ Γ2 = ……
Si ha:
- due circonferenze Γ1 e Γ2 sono tangenti internamente se la distanza fra i due centri è congruente alla differenza
dei due raggi.
Viceversa:
- se la distanza fra i centri di due circonferenze è congruente alla differenza dei raggi, allora le due circonferenze
sono tangenti internamente. [e quindi “si ha” una condizione necessaria e sufficiente].
19
Geometria - secondo anno
OSSERVAZIONE:
Nel caso esaminato, le due circonferenze hanno, nel punto T, la stessa retta tangente t che è perpendicolare alla retta O1O2
(fig. 53):
5° caso: circonferenza una interna all’altra (fig. 54):
La circonferenza Γ2 è interna alla circonferenza Γ1 : la
distanza fra i due centri è minore della differenza dei raggi.
In simboli: O1O2 < r1 – r2
COMPLETA:
Nel caso della circonferenza Γ2 , interna alla circonferenza
Γ1 , si ha che ……….. punto di ….. è ……………. a Γ1.
Quindi: Γ1 ∩ Γ2 = ……
Si ha:
- una circonferenza Γ2 è interna ad una
circonferenza Γ1 se la distanza dei loro centri è
minore della differenza dei raggi.
Viceversa:
- se la distanza fra i centri di due circonferenze è minore della differenza dei raggi, allora una circonferenza è
interna all’altra. [e quindi “si ha” una condizione necessaria e sufficiente].
Tutto quanto detto ci permette di formulare il seguente teorema:
TEOREMA
Condizione necessaria e sufficiente affinchè due circonferenze siano:
- esterne è che la distanza fra i centri sia maggiore della somma dei raggi;
- tangenti esternamente è che la distanza fra i centri sia congruente alla somma dei raggi;
- secanti è che la distanza fra i centri centri sia minore della somma dei raggi e maggiore della loro differenza;
- tangenti internamente è che la distanza fra i centri sia congruente alla differenza dei raggi;
- interne una all’altra è che la distanza fra i centri centri sia minore della differenza dei raggi.
Come caso particolare di circonferenze una interna
all’altra, si ha quello di due circonferenze che hanno lo
stesso centro (circonferenze concentriche) [fig. 55]:
La definizione si estende ovviamente ai cerchi
concentrici.
Nel caso di due circonferenze concentriche, si definisce
corona circolare la parte di piano limitata dalle due
circonferenze (fig. 56):
In altre parole, la corona circolare è l’insieme dei punti
del cerchio di raggio maggiore che sono esterni a quello
di raggio minore.
20
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
Riassumendo si ha:
6.7 ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA E CORRISPONdENTI ANGOLI AL CENTRO
Vale il seguente:
TEOREMA
Ogni angolo alla circonferenza è congruente alla metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco.
Esaminiamo i casi che si possono presentare:
1° caso: i lati dell’angolo alla circonferenza sono entrambi secanti ed il centro appartiene ad uno di essi.
Dimostrazione
Indichiamo l’angolo alla circonferenza
l’angolo al centro corrispondente
con α e
con β (fig. 57):
Dobbiamo quindi dimostrare che
Osserviamo, a tale scopo, che il triangolo OAV è
isoscele sulla base AV perché:
OA≅ OV
raggi della stessa circonferenza.
Segue che:
perché angoli alla base di un triangolo
isoscele (“indicare
con α”)
[fig. 58]:
Inoltre:
perché
è un angolo esterno al triangolo OAV
ed è quindi congruente alla somma degli angoli
interni non adiacenti ad esso (secondo teorema
dell’angolo esterno, primo anno, pag. 79)
e quindi: β ≅ α + α ≅ 2 α
cioè:
C.V.D.
21
Geometria - secondo anno
2° caso: i lati dell’angolo alla circonferenza sono uno secante, passante per il centro, e l’altro tangente.
Dimostrazione
Basta osservare che l’angolo alla
circonferenza AVB è retto e che l’angolo
al centro corrispondente
è piatto,
per cui:
C.V.D.
3° caso: i lati dell’angolo alla circonferenza sono entrambi secanti e il centro della circonferenza è interno all’angolo.
Dimostrazione
Tracciamo il diametro VC (fig. 59):
e osserviamo che:
e quindi, sommando membro a membro:
cioè:
C.V.D.
4° caso: i lati dell’angolo alla circonferenza sono uno secante e l’altro tangente; il centro della circonferenza è interno
all’angolo.
Dimostrazione
Tracciamo il diametro VC (fig. 60):
e osserviamo che:
e quindi, sommando membro a membro:
cioè:
C.V.D.
22
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
5° caso: i lati dell’angolo alla circonferenza sono entrambi secanti e il centro della circonferenza è esterno all’angolo.
Dimostrazione
Tracciamo il diametro VC (fig. 61):
e osserviamo che:
ma:
COMPLETA
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
………………………………………………
6° caso: i lati dell’angolo alla circonferenza sono uno secante e l’altro tangente; il centro della circonferenza è esterno
all’angolo.
Dimostrazione
PROVA TU
[suggerimento:
traccia il diametro VC …………………]
Come conseguenze del teorema sugli angoli
al centro e alla circonferenza si hanno i
seguenti:
COROLLARIO 1
Angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco o su archi congruenti sono congruenti.
Dimostrazione
PROVA TU
[suggerimento: “confronta” ogni angolo alla
circonferenza con il corrispondente angolo
al centro].
Vale anche il viceversa:
Angoli alla circonferenza congruenti
insistono su archi congruenti (PROVA TU).
COROLLARIO 2
Ogni angolo alla circonferenza che insiste su di una semicirconferenza è retto.
Dimostrazione
PROVA TU
Il COROLLARIO 2 può essere formulato nel
seguente modo: “ogni triangolo inscritto in
una semicirconferenza è rettangolo”.
23
Geometria - secondo anno
CURIOSITÀ
Il COROLLARIO 2 è detto anche “teorema di Dante” in quanto Dante Alighieri, nel Paradiso, al canto XIII versi 101 – 102,
riporta:
“o se del mezzo cerchio far si puote
triangol sì ch’un retto non avesse”
(commento: … o se in un semicerchio si possa inscrivere un triangolo che non sia rettangolo).
VICEVERSA:
Un triangolo rettangolo si può inscrivere in una circonferenza con il diametro coincidente con l’ipotenusa.
Infatti, dato un triangolo rettangolo ABC, retto in C
(figura a lato), tracciamo la circonferenza passante
per i punti A, B, C (che ….………. ed è .….….…).
CONTINUA …………………………………………………………………………………………………..……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
Il COROLLARIO 2 permette di disegnare “correttamente” un triangolo rettangolo se si ha un compasso e un righello.
Infatti …CONTINUA ………………………………………………………………………………..………………………………
1° Problema risolto
Data la circonferenza Γ di centro O e raggio r, siano AB e CD due suoi diametri. Dimostra che il quadrilatero ACBD è un
rettangolo.
Dimostrazione
Per il COROLLARIO 2, pag. 21, si ha che:
- il triangolo DAC è retto in A, perché inscritto nella semicirconferenza di diametro CD;
- il triangolo ACB è retto in C, perché inscritto nella semicirconferenza di diametro AB;
- il triangolo CBD è retto in B, perché inscritto nella semicirconferenza di diametro CD;
- il triangolo BDA è retto in D, perché inscritto nella semicirconferenza di diametro AB.
Pertanto il quadrilatero ACBD, avendo tutti e quattro gli angoli retti, è un rettangolo.
C.V.D.
“Quando” il rettangolo ACBD “diventa” un quadrato?
[Ti aiuto con la figura che segue:
dove AB e CD ……………. CONTINUA]
24
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
6.8 TANGENTI CONdOTTE dA UN PUNTO Ad UNA CIRCONFERENZA
Siano dati nel piano una circonferenza Γ e un punto P.
Distinguiamo i seguenti casi:
1° caso: il punto P è interno alla circonferenza (fig. 62):
Tutte le rette passanti per P (fascio di rette di centro P)
sono secanti la circonferenza e quindi non esiste alcuna
retta tangente alla circonferenza passante per P.
2° caso: il punto P appartiene alla circonferenza (fig. 63):
In tal caso esiste una ed una sola retta t tangente alla
circonferenza passante per P (punto 2. pag. 14).
Tale retta è perpendicolare al raggio OP (fig. 64):
3° caso: il punto P è esterno alla circonferenza (fig. 65):
In tal caso esistono due rette t1 e t2 tangenti a Γ, passanti
per P. Tracciamo, infatti, la circonferenza di diametro OP
che è secante Γ in due punti T1 e T2 (fig. 66):
Non conduciamo …
per ora le tangenti t1 e t2.
Basta, poi, osservare che i due triangoli OT1P e OT2P sono retti rispettivamente in T1 e in T2 in quanto inscritti in una
semicirconferenza e quindi le rette PT1 e PT2, perpendicolari rispettivamente ai raggi OT1 e OT2, sono le tangenti t1 e t2 a
Γ, passanti per P (fig. 67):
t1 e t2 rette tangenti a Γ passanti per P.
I segmenti PT1 e PT2 sono detti segmenti di tangenza.
25
Geometria - secondo anno
Si ha il seguente
TEOREMA
Se da un punto P, esterno ad una circonferenza di centro O, si conducono le due rette tangenti ad essa, i segmenti
di tangenza sono congruenti.
Dimostrazione
Congiungiamo O con P (fig. 68):
e consideriamo i triangoli OPT1 e OPT2; essi hanno:
perché entrambi retti;
in comune (o OP ≅ OP per la proprietà
riflessiva della congruenza);
OT1 ≅ OT2 perché raggi della stessa circonferenza.
I due triangoli, oltre all’angolo retto, hanno due altri
elementi ordinatamente congruenti (che non sono i
due angoli acuti) e quindi sono congruenti per il
criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.
Avranno, pertanto, tutti gli altri elementi corrispondenti
congruenti, in particolare:
PT1 ≅ PT2.
OP
C.V.D.
COROLLARIO 1
Data una circonferenza di centro O ed un punto P esterno ad essa, il segmento PO appartiene alla bisettrice
dell’angolo formato dalle due tangenti condotte dal punto P (PROVA TU).
COROLLARIO 2
Data una circonferenza di centro O ed un punto P esterno ad essa, il segmento PO appartiene all’asse della corda
che ha per estremi i punti di tangenza (PROVA TU).
COSTRUZIONI GEOMETRICHE (con squadra e compasso)
- Data una retta t , sia O un punto non appartenente a tale retta. PROVA TU a “costruire” la circonferenza di centro O e
tangente alla retta t . Motiva la costruzione effettuata.
- Data una retta t, PROVA TU a “costruire” la circonferenza tangente a t in un punto T e passante per un dato punto A,
distinto da T. Motiva la costruzione effettuata.
Cosa succede se il punto A appartiene alla retta t ?
- Date due rette s e t, PROVA TU a “costruire” la circonferenza tangente alle due rette, conoscendo il punto T di tangenza
con una di esse.
Esegui la costruzione nei seguenti casi:
a) le rette s e t sono parallele;
b) le rette s e t sono incidenti.
Motiva le costruzioni effettuate.
[suggerimento: nel caso a), manda la mediana della striscia individuata dalle rette ….. ; nel caso b), manda le bisettrici
degli angoli formati dalle rette ….. ]
- Date tre rette s , t , u , a due a due incidenti, PROVA TU a “costruire” la circonferenza tangente alle tre rette.
Motiva la costruzione effettuata.
26
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
2° Problema risolto
Data una circonferenza Γ di centro O, sia AB un suo diametro. Traccia le rette tangenti, t1 e t2, rispettivamente in A e in B.
Conduci, poi, un’ulteriore retta t3, tangente a Γ, tale che:
Dimostra che: PQ ≅ PA + QB.
Dimostrazione
Osserviamo innanzitutto che la retta tangente ad una circonferenza ed il raggio passante per il punto di tangenza sono fra
loro perpendicolari per cui la figura può essere subito “arricchita” come segue:
Inoltre:
PA≅ PC
perché segmenti di tangenti condotte
da P (punto esterno) alla circonferenza Γ ;
QB≅ QC
perché segmenti di tangenti condotte da Q
(punto esterno) alla circonferenza Γ .
Pertanto, da:
PQ ≅ PC + QC
segue:
PQ ≅ PA + QB.
“arricchimento” eseguito
…. per non dimenticare
C.V.D.
27
Geometria - secondo anno
ESERCIZI UNITÀ 6
Conoscenza e comprensione
1) Definisci la circonferenza.
2) Definisci il cerchio.
3) Le seguenti proposizioni sono vere o false?
a) La circonferenza è un sottoinsieme del cerchio.
b) Una corda è una linea che unisce due punti di una circonferenza.
c) Il diametro di una circonferenza è una corda.
d) Una corda è un segmento che ha per estremi due punti del cerchio.
e) Una corda è anche un diametro di una circonferenza.
f) Una corda è un segmento che ha per estremi due punti di una circonferenza.
g) Un segmento passante per il centro di una circonferenza è un diametro.
h) Due circonferenze sono congruenti se hanno lo stesso raggio.
i) Due cerchi sono congruenti se hanno i raggi congruenti.
q
q
q
q
q
q
q
q
q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
q
q
q
q
q
q
q
q
q
F
F
F
F
F
F
F
F
F
4) In una circonferenza, due punti sono diametralmente opposti se:
a) appartengono alla circonferenza;
b) hanno la stessa distanza dal centro;
c) sono gli estremi di un diametro;
d) sono gli estremi di una corda.
5) Completa le seguenti proposizioni in modo che risultino vere:
a) un punto è ……………….. alla circonferenza se la sua distanza dal centro è minore del raggio;
b) un punto è esterno alla circonferenza se la sua distanza dal centro è ………………..... del raggio;
c) un punto …………………….. alla circonferenza se la sua distanza dal centro è congruente al raggio.
6) Quanti e quali sono gli assi di simmetria di una circonferenza? Spiega perché.
7) Quanti e quali sono i centri di simmetria di una circonferenza? Spiega perché.
8) Rispetto a quale trasformazione la circonferenza è una figura unita?
9) Che cosa si intende per arco di una circonferenza?
10) In quale caso un arco di circonferenza prende il nome di semicirconferenza?
11) Un settore circolare è l’intersezione di due insiemi di punti. Quali?
12) Un segmento circolare è l’intersezione di due insiemi di punti. Quali?
13) Che cosa si intende per altezza di un segmento circolare a due basi? E per altezza di un segmento circolare ad una base?
14) Dai la definizione di angolo al centro e angolo alla circonferenza.
15) Cosa vuol dire che un angolo al centro o alla circonferenza insiste sull’arco AB?
16) In quale caso un angolo alla circonferenza e un angolo al centro si dicono corrispondenti?
17) Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
La relazione che ad ogni angolo alla circonferenza associa il corrispondente angolo al centro:
a) è una funzione iniettiva;
b) è una funzione suriettiva;
c) è una funzione invertibile;
d) è una funzione;
e) non è una funzione.
18) La misura di una corda di una circonferenza, espressa in cm, è 25. Quali, fra i seguenti numeri, può esprimere la
misura, in cm, del raggio della circonferenza?
a) 10;
b) 13;
c) 8;
d) 12;
e) 3;
f) 28;
g) 9;
h) 12,5.
28
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
19) Una circonferenza ha il raggio di 8 cm. Quali delle seguenti lunghezze, espresse in cm, possono rappresentare corde
della circonferenza? Motiva la tua risposta:
a) 7;
b) 10;
c) 18;
d) 2,7;
e) 16;
f) 20;
g) 0,3;
h) 9;
i) 8,2;
l) 12;
m) 15;
n) 16,1.
20) Vero o falso?
a) La distanza di una corda dal centro può essere maggiore del raggio della circonferenza.
b) Il centro di una circonferenza appartiene all’asse di una sua corda.
c) Il punto medio di una corda di una circonferenza appartiene alla perpendicolare
alla corda passante per il centro della circonferenza.
d) Se due corde hanno la stessa distanza dal centro, le due corde sono congruenti.
e) Due corde di una circonferenza tra loro parallele, hanno la stessa distanza dal
centro della circonferenza.
f) La distanza di una corda dal centro è sempre minore del raggio della circonferenza.
q V
q V
q
q
F
F
q V
q V
q
q
F
F
q V
q V
q
q
F
F
21) AB e CD sono due corde di una stessa circonferenza tali che AB > CD. Quale relazione esiste fra le loro distanze dal
centro della circonferenza?
22) Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
a) Per tre punti distinti del piano passa una sola circonferenza.
b) Le circonferenze passanti per due punti del piano sono più di una, ma in numero finito.
c) Siano A e B due punti distinti del piano; i centri di tutte le circonferenze passanti per A e B non sono allineati.
d) Se i centri di due circonferenze distinte appartengono all’asse del segmento AB, le due circonferenze passano per
gli estremi del segmento.
e) Tre punti di una circonferenza possono essere allineati.
23) Quando una retta è esterna ad una circonferenza? E quando è tangente? E quando è secante una circonferenza?
24) Sia s una retta secante una circonferenza il cui raggio misura 5 cm. Quali, fra i seguenti numeri può rappresentare la
distanza, espressa in cm, di s dal centro della circonferenza?
a) 9;
b) 5;
c) 4,8;
d) 7;
e) 6.
25) Siano Γ una circonferenza di raggio r e v una retta. Se esiste almeno un punto di v la cui distanza dal centro di Γ è
minore di r, che cosa si può dire della posizione di v rispetto a Γ?
26) Siano Γ una circonferenza di raggio r ed a una retta. Se esiste almeno un punto di a la cuidistanza dal centro di Γ è
maggiore di r, che cosa si può dire della posizione di a rispetto a Γ?
27) Siano Γ una circonferenza di raggio r e b una retta. Se esiste almeno un punto di b la cui distanza dal centro di Γ è
congruente ad r, che cosa si può dire della posizione di b rispetto a Γ?
28) Siano Γ una circonferenza di raggio r e d una retta. Se esiste un solo punto di d la cui distanza dal centro di Γ è
congruente ad r, che cosa si può dire della posizione di d rispetto a Γ?
29) Quante e quali posizioni possono assumere, reciprocamente, due circonferenze?
30) Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale? Se due circonferenze non hanno punti in comune, allora:
a) sono sicuramente una esterna all’altra;
b) sono tangenti;
c) sono sicuramente una interna all’altra;
d) nessuna delle precedenti affermazioni è corretta.
31) Siano Γ1 e Γ2 due circonferenze di centro, rispettivamente, O1 e O2 e di raggio, rispettivamente, r1 e r2 (r1 > r2).
Completa le seguenti proposizioni in modo che esse risultino vere:
a) se r1 + r2 < O1O2, Γ1 e Γ2 sono ………………. ;
b) se r1 + r2 ….. O1O2, Γ1 e Γ2 sono tangenti esternamente;
c) se r1 − r2 < O1O2 < r1 + r2, Γ1 e Γ2 sono ………………. ;
d) se r1 − r2 ≅ O1O2, Γ1 e Γ2 sono ………………………………….. ;
e) se r1 − r2 > O1O2, Γ1 e Γ2 sono ………………………………….. .
29
Geometria - secondo anno
32) Siano A, B e V punti della circonferenza Γ di centro O, allora:
a)
è la metà di
b)
è il doppio di
c)
è il doppio di
d)
e)
33) Che cosa si intende per corona circolare?
34) Perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco o su archi congruenti sono congruenti?
35) Sia AB il diametro di una circonferenza Γ e P un punto di Γ. Una sola delle seguenti affermazioni è corretta. Quale?
a)
b)
c)
è acuto;
è ottuso;
è retto.
36) Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:
a) Un triangolo inscritto in una circonferenza può essere rettangolo.
b) Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è sempre un triangolo rettangolo.
c) Se il centro di una circonferenza non è interno ad un triangolo inscritto
in essa, il triangolo è sicuramente ottusangolo.
d) Se un triangolo inscritto in una circonferenza è acutangolo, allora il centro
della circonferenza è interno al triangolo
q V
q V
q F
q F
q V
q F
q V
q F
37) Sia P un punto del piano esterno ad una circonferenza Γ; quante sono le rette tangenti a Γ che passano per P?
38) Che cosa si intende per segmento di tangenza o di tangente?
39) Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
Se per un punto P del piano non passa alcuna retta tangente alla circonferenza Γ, allora:
a) P è esterno a Γ;
b) P è interno a Γ;
c) P è un punto di Γ.
40) Sia P un punto della circonferenza Γ di centro O e s una retta tangente a Γ passante per P; quale delle seguenti
affermazioni è corretta?:
a) l’angolo che OP forma con la retta s è ottuso;
b) l’angolo che OP forma con la retta s è acuto;
c) l’angolo che OP forma con la retta s è retto.
41) Le proposizioni che seguono si riferiscono alla seguente figura. Stabilisci se sono vere o false:
t1 e t2 tangenti per P alla circonferenza
a)
e
sono complementari.
b) Il triangolo HPK è isoscele.
c)
e
sono complementari.
d)
e
sono supplementari.
e) HK è perpendicolare ad OP.
f)
e
sono supplementari.
g)
h)
i)
j) t1 ∩ t2 = {H, K).
k) Il triangolo HOK è equilatero.
l) DH è perpendicolare a t1
m) DH < 2 OH
Motiva le risposte.
30
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
42) In base alla seguente figura:
completa le varie affermazioni:
1. O è il ……………………………………………………….………….;
2. AB è il . ……………………………………………………………….;
3. AO è ……………………………………………………….………….;
4. CD è …………………………………………………………………..;
5. OH è ……………………………………………………….………….;
6. H è ...……...……………………………………………… …………..;
7. t è ...…………………………………………………………………. .
43) Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:
a) Un angolo che ha per vertice un punto della circonferenza è un angolo alla circonferenza.
b) Due circonferenze che non hanno punti in comune sono esterne.
c) Due circonferenze secanti hanno tre tangenti comuni.
d) Due circonferenze esterne non hanno tangenti comuni.
e) Due circonferenze concentriche possono avere centri diversi.
f) Un angolo che ha per vertice un punto della circonferenza è un angolo al centro.
g) Da un punto appartenente ad una circonferenza si possono condurre
più di una tangente alla circonferenza stessa.
q
q
q
q
q
q
V
V
V
V
V
V
q V
q
q
q
q
q
q
F
F
F
F
F
F
q F
Applicazione
1) Riferendoti alla seguente figura, misura con la squadra le lunghezze dei segmenti indicati e completa:
2) Che cosa rappresenta la seguente figura?
Riproduci la figura sul tuo quaderno e, senza far uso del goniometro, valuta,
approssimativamente, l’ampiezza dell’angolo convesso
3) Disegna una circonferenza di raggio qualsiasi e traccia le rette q, s, t, tra loro parallele, tali che:
- q sia esterna alla circonferenza;
- s sia secante la circonferenza;
- t sia tangente alla circonferenza.
4) Riproduci su l quaderno l’angolo
della figura a lato.
Traccia la sua bisettrice b e prendi su di essa un
punto P, distante 5 cm dal vertice O. Conduci, poi, i segmenti
PH e PK, perpendicolari rispettivamente ai lati OA e OB.
Traccia, infine, la circonferenza di centro P tangente ai lati dell’angolo dato.
Qual è il raggio di tale circonferenza?
31
Geometria - secondo anno
5)
Traccia la distanza OH della retta q dal centro O della circonferenza Γ di raggio r e completa le relazioni riportate:
6)
Traccia la distanza OH della retta s dal centro O della circonferenza Γ di raggio r e completa le relazioni riportate:
7)
Traccia la distanza OH della retta t dal centro O della circonferenza Γ di raggio r e completa le relazioni riportate:
Dopo aver disegnato una circonferenza Γ di centro O e raggio r = 4 cm , risolvi i seguenti esercizi:
8) Traccia una circonferenza Γ1 di centro O1 , distante da O di un segmento congruente a 3 cm, e raggio r1 = 2 cm.
Come risultano Γ e Γ1 ?
9) Traccia una circonferenza Γ2 di centro O2 , distante da O di un segmento congruente a 3 cm, e raggio r2 = 1 cm.
Come risultano Γ e Γ2 ?
10)Traccia una circonferenza Γ3 di centro O3 , distante da O di un segmento congruente a 5 cm, e raggio r3 = 1 cm .
Come risultano Γ e Γ3 ?
11)Traccia una circonferenza Γ4 di centro O4 , distante da O di un segmento congruente a 2 cm, e raggio r4 = 1 cm .
Come risultano Γ e Γ4 ?
12)Traccia una circonferenza Γ5 di centro O5 O e raggio r5 = 3 cm. Come risultano Γ e Γ5 ?
13)Traccia una circonferenza Γ6 di centro O6 , distante da O di un segmento congruente a 8 cm, e raggio r6 = 3 cm .
Come risultano Γ e Γ6 ?
Come deve variare r6 affinchè le circonferenze Γ e Γ6 mantengano la stessa posizione reciproca?
14)Nella figura a lato è rappresentato il segmento OB ≅ OA + AB.
Riproduci sul tuo quaderno tale segmento e disegna la figura che si ottiene facendo compiere al segmento OB una
rotazione completa intorno ad O. I punti A e B cosa descrivono?
E il segmento OB?
E il segmento OA?
E il segmento AB?
32
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
In ognuno dei seguenti esercizi è rappresentato un angolo alla circonferenza α. Disegna l’angolo al centro corrispondente
β e, data la misura di α, determina quella di β.
16)
17)
18) Completa la seguente tabella sapendo che
centro:
è un angolo alla circonferenza e
15)
è il corrispondente angolo al
Disegna, poi, una figura per ciascuna coppia di angoli corrispondenti.
Calcola l’ampiezza degli angoli indicati con i simboli
19)
20)
21)
22)
23)
24)
t tangente in B alla circonferenza
25)
t1 tangente in A alla circonferenza
t2 tangente in B alla circonferenza
33
Geometria - secondo anno
26) La somma di due angoli alla circonferenza è 114°. Sapendo che uno è i 9/10 dell’altro, qual è l’ampiezza dei
corrispondenti angoli al centro?
[108° ; 120°]
27) La somma di due angoli alla circonferenza è 96°. Sapendo che uno è triplo dell’altro, qual è l’ampiezza dei corrispondenti
angoli al centro?
[144° ; 48°]
28) La somma di due angoli alla circonferenza è 105° e la loro differenza è 47°. Qual è l’ampiezza dei corrispondenti angoli
al centro?
[152° ; 58°]
29) Qual è l’ampiezza degli angoli alla circonferenza che insistono rispettivamente su archi che sono
della circonferenza?
30) Due angoli al centro hanno come somma 165° e sono uno i
alla circonferenza?
[72° ; ………]
dell’altro. Qual è l’ampiezza dei corrispondenti angoli
[33° ; 49°30’]
31) Dividi un cerchio in tre settori circolari in modo che l’ampiezza del secondo sia
del terzo sia la metà di quella del secondo. Qual è l’ampiezza di ogni settore?
di quella del primo e che l’ampiezza
[225° ; 90° ; 45°]
32) Dividi un cerchio in tre settori circolari in modo che il secondo abbia ampiezza doppia di quella del primo e il terzo
[60° ; 120° ; 180°]
ampiezza pari alla somma dei primi due. Qual è l’ampiezza di ogni settore?
33) Dividi un cerchio in tre settori circolari in modo che le ampiezze del secondo e del terzo siano rispettivamente
di quella del primo. Qual è l’ampiezza di ogni settore?
[200° ; 40°; 120°]
Problemi
Corde e archi
1) Siano date una circonferenza Γ, di centro O, e due sue corde AB e CD tra loro congruenti. Detto P il punto di intersezione
delle rette contenenti le due corde, dimostra che la congiungente PO è bisettrice dell’angolo
2) In una circonferenza di centro O è data una corda AB la cui distanza dal centro è congruente alla metà della corda
stessa. Considerata la simmetria σs , di asse la retta s , contenente il diametro parallelo ad AB, sia:
σs (A) = A' ;
σs (B) = B' .
Dimostra che gli archi
sono congruenti.
3) Siano date una circonferenza Γ e due corde parallele AB e CD.
Dimostra che se AB ≅ CD (figura a lato) allora il quadrilatero
ABDC è un rettangolo.
4) Siano date una circonferenza Γ e due corde parallele AB e CD.
Dimostra che se AB ≅ CD (nella figura a lato AB > CD) allora
il quadrilatero ABDC è un trapezio isoscele.
5) Siano dati una circonferenza Γ, di centro O, e una sua corda AB. Considera su AB due punti C e D tali che AC ≅ BD.
Dimostra che il triangolo COD è isoscele.
34
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
6) Data una circonferenza Γ di centro O, sia OA un suo raggio.
Dopo aver tracciato una corda BC parallela ad OA (figura a lato),
dimostra che il segmento BA biseca l’angolo
7) Sia AB una corda di una circonferenza di centro O. Considerata la simmetria σs ,di asse la retta s , contenente il diametro
CD, parallelo ad AB, sia:
σs (A) = A' ;
σs (B) = B' .
Dimostra che i triangoli ACA' e BDB' sono congruenti.
8) Siano dati una circonferenza di centro O e un suo diametro AB. Condotte le corde AC e BD, parallele tra loro, dimostra
che AC ≅ BD.
9) Siano dati una circonferenza Γ, di centro O, ed una sua corda AB. Dopo aver prolungato la corda di due segmenti
congruenti AC e BD, dimostra che OC ≅ OD.
10) Data una circonferenza Γ, conduci due suoi diametri AB e CD. Dimostra che il quadrilatero ADBC è un rettangolo.
11) Data una circonferenza Γ, conduci due suoi diametri AB e CD tra loro perpendicolari. Dimostra che il quadrilatero ADBC
è un quadrato.
12) In una circonferenza Γ, di centro O, considera due corde AB e CD, incidenti perpendicolarmente nel punto E.
Conduci da O le perpendicolari alle corde AB e CD ed indica con H e K i rispettivi piedi delle perpendicolari.
Dimostra che il quadrilatero OHEK è un rettangolo. Quando il quadrilatero OHEK è un quadrato?
13) Siano date una circonferenza Γ di centro O e una sua corda AB. Prolunga la corda di due segmenti AC e BD congruenti
fra loro. Dimostra che i triangoli AOD e BOC sono congruenti.
14) Sia data una circonferenza Γ di centro O e due sue corde AB e CD congruenti.
Prolunga le due corde di due segmenti BE e DF congruenti fra loro (figura a lato):
Dimostra che il segmento EF ha per asse una retta diametrale.
[suggerimento: manda dal centro O le perpendicolari alle corde e considera
i due triangoli ……….. ]
Reciproche posizioni fra retta e circonferenza
Reciproche posizioni fra due circonferenze
15) Data una circonferenza Γ di centro O, sia s una retta secante Γ nei punti P e Q. Traccia un diametro AB ed indica con
H e K le proiezioni ortogonali rispettivamente di A e B sulla retta s. Dimostra che OH ≅ OK.
16) Data una circonferenza Γ di centro O, sia s una retta secante Γ nei punti P e Q. Traccia un diametro AB ed indica con
H e K le proiezioni ortogonali rispettivamente di A e B sulla retta s. Dimostra che HC ≅ DK.
17) Siano date due circonferenze concentriche Γ e Γ', di centro O e raggi rispettivamente r ed r', con
r < r'. Considera una retta s tale che:
s ∩ Γ = {A, B};
s ∩ Γ' = {C, D}.
Dimostra che i segmenti CA e BD , compresi fra le due circonferenze, sono congruenti.
18) Siano date due circonferenze concentriche Γ e Γ' di centro O e raggi rispettivamente r ed r', con r < r'.
Dimostra che:
1. due qualsiasi corde della circonferenza maggiore, tangenti a quella minore, sono congruenti;
2. il punto di tangenza di ogni corda è il punto medio della corda stessa.
35
Geometria - secondo anno
19) Data una circonferenza Γ di centro O, siano q e s due rette parallele secanti Γ. Dimostra che gli archi compresi fra le
due parallele sono congruenti.
20) Siano date due circonferenze esterne:
- Γ1 di centro O1 e raggio r1,
- Γ2 di centro O2 e raggio r2,
con r1 ≠ r2.
Conduci le tangenti esterne s e t, comuni alle due circonferenze,
e dimostra che tali tangenti si incontrano sulla retta dei centri
O1 e O2 (fig. a lato):
[suggerimento: la bisettrice di un angolo è il luogo dei punti …….. ]
PERCHÈ abbiamo posto r1 ≠ r2?
21) Due circonferenze Γ1 e Γ2 , di centri rispettivamente O1 e O2, sono tangenti esternamente in un punto T. Conduci da
T una retta s che incontri ulteriormente la circonferenza Γ1 in A e la circonferenza Γ2 in B. Dimostra che la retta tangente
in A a Γ1 è parallela alla retta tangente in B alla Γ2.
22) Siano date due circonferenze concentriche Γ e Γ' di centro O e raggi rispettivamente r ed r', con r < r'. Siano:
- AB un diametro della circonferenza Γ' ;
- CD un diametro della circonferenza Γ, non contenuto in AB.
Dimostra che il quadrilatero ACBD è un parallelogramma.
Angoli al centro e angoli alla circonferenza
Tangenti a una circonferenza
23) Sia dato il triangolo ABC, retto in C. Detto M il punto medio di AB, dimostra che:
24) Data una circonferenza Γ, sia
un suo angolo alla circonferenza. Detta AM la mediana dell’arco sotteso dall’angolo
conduci la corda CD parallela ad AM. Dimostra che AD ≅ BM.
25) Sia data una semicirconferenza di diametro AB. Conduci da B la retta t tangente alla semicirconferenza e prendi su di
essa un punto P tale che BP ≅ AB. Dimostra che il segmento AP incontra la semicirconferenza nel suo punto medio M.
[suggerimento: angoli alla circonferenza …….. ]
26) Siano date una circonferenza Γ, di centro O, ed una sua corda AB. Conduci la tangente t in B a Γ e prendi su di essa,
nel semipiano individuato dalla retta AB contenente O, un punto C tale che CB sia congruente alla corda AB.
Se:
dimostra che:
27) Sia data una circonferenza Γ di centro O. Da un punto P, esterno a Γ, conduci una delle due tangenti e dal punto di
tangenza T manda la perpendicolare al segmento OP, indicando con H il piede di tale perpendicolare.
Se : Γ ∩ OP = {A}, dimostra che TA è bisettrice dell’angolo
28) Siano date due circonferenze esterne Γ1 e Γ2 , di centri
rispettivamente O1 e O2. Traccia due rette, t1 e t2,
tangenti comuni a Γ1 e Γ2 (figura a lato).
Dimostra che i segmenti AB e CD sono congruenti.
Che cosa puoi dire del quadrilatero ACBD?
36
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
29) Siano dati una circonferenza Γ, di centro O, e un suo diametro AB. Condotta la corda AC congruente al raggio, prolunga
AB, dalla parte di A, di un segmento AD congruente ad AC. Dimostra che il segmento DC è tangente a Γ.
30) Data una circonferenza Γ di centro O, siano AB e AC rispettivamente un diametro ed una corda. Dai punti A e C manda
le tangenti t1 e t2 a Γ. Dimostra che
31) Siano dati una circonferenza Γ, di centro O, e due corde congruenti AB e BC. Condotte dagli estremi A, B, C
rispettivamente le tangenti t1, t2, t3 a Γ e indicati con:
{D} = t1 ∩ t2 ;
{E} = t2 ∩ t3 ,
dimostra che i triangoli ABD e BCE sono congruenti.
32) Sia data una circonferenza Γ di centro O. Considera un arco
dell’arco
e la corda ad esso sottesa. Detto M il punto medio
, dimostra che la tangente in M a Γ è parallela alla corda AB. “Scrivi” e “dimostra” la proposizione inversa.
[suggerimento: “se una corda e una tangente sono ………. ]
33) Siano date due circonferenze Γ1 e Γ2 , tangenti internamente nel punto T, con Γ1 di raggio maggiore a quello di Γ2.
Dal punto A del diametro AT di Γ1 conduci le tangenti a Γ2 , indicando con B e C i punti di intersezione con la tangente
comune t. Dimostra che il triangolo ABC è isoscele.
34) Nella figura a lato sono date due circonferenze Γ1 e Γ2 , di centri rispettivamente O1 e O2, tangenti esternamente nel
punto A. Sapendo che le rette s, t, u sono le tangenti comuni a Γ1 e a Γ2 e che:
s ∩ u = {F} ;
t ∩ u = {G},
dimostra che:
1. F è il punto medio del segmento BC;
2. G è il punto medio del segmento DE;
3. il triangolo ABC è retto in A.
35) Siano dati una circonferenza Γ, di centro O, e un suo diametro AB. Dimostra che le rette tangenti a Γ, condotte dagli
estremi del diametro, sono parallele.
36) Siano date due circonferenze Γ1 e Γ2 , di centri rispettivamente
O1 e O2, con Γ2 interna a Γ1. Conduci le corde AB e CD di Γ1 ,
tangenti a Γ2 , parallele alla retta dei centri (figura a lato):
Dimostra che AB ≅ CD.
[suggerimento: osserva che le due corde hanno distanze ……….. ]
37) Siano date due circonferenze Γ e Γ' tangenti esternamente e sia T il loro punto di contatto. Traccia da T due rette q ed
s secanti le circonferenze.
Sapendo che:
q ∩ Γ = {A, T}
q ∩ Γ' = {B, T}
s ∩ Γ = {C, T}
s ∩ Γ' = {D, T}
dimostra che AC // BD.
37
Geometria - secondo anno
Problemi di riepilogo
38) Siano Γ1 e Γ2 due circonferenze tangenti esternamente nel punto T. Conduci da T due rette r ed s che intersecano
rispettivamente la circonferenza Γ1 nei punti A e B e la circonferenza Γ2 nei punti C e D. Dimostra che i triangoli ABT e
CDT hanno gli angoli a due a due congruenti. [suggerimento: conduci da T la tangente comune …………]
39) Sia data una circonferenza Γ di centro O. Da un punto P di Γ conduci le corde PA e PB e siano M ed N i rispettivi punti
medi. Detto Q il punto medio del raggio PO, dimostra che MQ ≅ NQ.
[suggerimento: congiungi A e B con O; il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo …….. ]
40) Siano date due circonferenze Γ1 e Γ2 , secanti tra loro nei punti A e B. Conduci da A una retta s che incontri ulteriormente
Γ1 e Γ2 rispettivamente in C e D. Dimostra che l’angolo
non varia al variare della retta s.
[suggerimento: conduci per A una ulteriore retta t secante le due circonferenze; angoli alla circonferenza che insistono
sullo stesso arco ……….. ]
41) Sia dato un triangolo ABC, isoscele sulla base BC, con il vertice A centro di una circonferenza Γ di raggio maggiore di
ciascuno dei lati congruenti del triangolo. Detti P e Q i punti di intersezione della retta BC con Γ, dimostra che BP ≅ CQ.
[suggerimento: considera i triangoli ABP e …….. ]
42) Siano date una circonferenza Γ di centro O e due rette t1 e t2 , tangenti a Γ, con t1 // t2 . Sia t3 un’ulteriore tangente
allla circonferenza tale che:
t3 ∩ t1 = {A} ,
t3 ∩ t2 = {B} .
Dimostra che il segmento AB è visto da O secondo un angolo retto.
43) Siano date due circonferenze Γ1 e Γ2 , tangenti esternamente nel punto T. Traccia da T la tangente t comune alle due
circonferenze e, da un punto P∈t, conduci le ulteriori tangenti alle circonferenze. Se:
{A} = t ∩ Γ1 ,
{B} = t ∩ Γ2 ,
dimostra che il triangolo PAB è isoscele.
44) Dati una circonferenza Γ di centro O ed un punto P interno a Γ, conduci per P la corda di lunghezza minima.
[suggerimento: unisci il centro O con P e traccia la corda AB, passante per P e perpendicolare ad OP …….. ]
45) Siano date due circonfrenze Γ e Γ', di centri rispettivamente O e O’, congruenti e tangenti esternamente nel punto T.
Conduci da T, dalla stessa parte rispetto alla retta dei centri, due corde TA e TB, perpendicolari tra loro.
Dimostra che AB // OO'.
[suggerimento: conduci da T la tangente comune alle due circonferenze; angoli alla circonferenza e angoli al centro
…………… ]
46) Siano dati una circonferenza Γ e un suo diametro AB. Indicati con M il punto medio di una delle due semicirconferenze
e con P un generico punto dell’altra semicirconferenza, dimostra che la corda PM è bisettrice dell’angolo
47) Siano dati una circonferenza Γ e un suo diametro AB. Conduci la corda AC e prolungala di un segmento CD ≅ AC.
a) Dimostra che BD ≅ BA.
b) Traccia da A la perpendicolare ad AC ed indica con E l’ulteriore punto di intersezione con la circonferenza.
Prolunga AE di un segmento EF ≅ AE. Dimostra che i punti D, B ed F sono allineati.
[suggerimento: indica l’angolo
con α e “osserva” gli angoli
………. ]
48) Date due circonferenze secanti Γ e Γ', siano A e B i loro punti di intersezione. Condotti i diametri AC e AD, dimostra
che i punti C, B e D sono allineati. [suggerimento: “osserva ” gli angoli
………]
49) Sia data una circonferenza Γ di centro O. Prendi un punto P su Γ e conduci da tale punto due corde qualsiasi PA e PB.
Detti M, N e Q i punti medi rispettivamente di PA, PB e PO, dimostra che MQ ≅ NQ.
[suggerimento: unisci i punti A e B con il centro O della circonferenza; i segmenti che uniscono i punti medi ………
…………]
50) Siano dati una circonferenza Γ di centro O e due suoi archi congruenti
Conduci da A e da C rispettivamente
le tangenti t1 e t2 a Γ. Dimostra che la distanza di B dalla t1 è congruente a quella di D dalla t2.
38
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
51) Relativamente alla circonferenza di centro O, rappresentata nella
figura a lato, si sa che le corde AC e AD formano angoli congruenti
con il diametro AB. Dimostra, utilizzando la simmetria, che:
a) AC ≅ AD ;
b)
52) Sia dato un triangolo ABC, isoscele sulla base AB. Traccia la circonferenza di centro C, secante i lati CA e CB
rispettivamente nei punti D ed E. Dimostra che il quadrilatero ABED è un trapezio isoscele.
39
Geometria - secondo anno
OLImPIAdI
53) ABC è un triangolo rettangolo in B non isoscele e D l’ulteriore intersezione del cerchio di diametro BC con l’ipotenusa.
Dire quali delle seguenti affermazioni è falsa (DF è la tangente alla circonferenza in D):
a.
b. DF = FA
c. DF biseca l’angolo
d. DF biseca il segmento BA
e. FD = FB
[Gara Senior, 1992]
54) Siano AC e BC due corde di una circonferenza aventi un estremo in comune, M' sia il punto dell’arco
(non
contenente B) equidistante da A e da C e M'' il punto dell’arco
(non contenente A) equidistante da B e da C.
Se H e K sono le intersezioni del segmento M'M'' con le due corde, si dimostri che CHK è isoscele.
[Olimpiadi della Matematica, Gara Senior, 1993]
55) Supponiamo che nel cerchio in figura l’angolo
a. 35°
b. 45°
c. 50°
d. 55°
sia di 35°. Se CD è il diametro passante per C, quanto vale
[Giochi di Archimede, 1998]
56) PR e QR sono tangenti al cerchio in figura. Sapendo che l’arco
a. 72°
b. 90°
c. 105°
d. 108°
e. 120°
è quattro volte l’arco
allora l’angolo
è:
[Giochi di Archimede, Gara del biennio 3 dicembre 1997]
57) La lunghezza del lato di un quadrato posto su un piano è di 1 cm. Ogni vertice di questo quadrato è centro di una
circonferenza di raggio 1 cm, giacente nello stesso piano. In quanti punti del piano si intersecano queste circonferenze?
a. 6
b. 8
c. 10
d. 12
e. 14
[Kangourou Italia – Cadet 15 marzo 2001]
58) ABC è un triangolo equilatero e B è il punto medio del segmento AD (vedi figura). Un punto E è scelto nello stesso
piano in modo che
Si sa che la distanza tra C ed E è la massima possibile. Quanto misura l’angolo
a) 45°
b) 30°
c) 20°
d) 15°
e) 10°
[Kangourou Italia – Cadet 15 marzo 2001]
40
Book in
progress
6. La circonferenza e il cerchio
59) Siano A, B, C tre punti su una circonferenza di centro O. Sia D un punto esterno alla circonferenza situato sulla retta
AB dalla parte di B. Sapendo che
= 72°, quanto misura l’angolo
a) 135°
b) 144°
c) 153°
d) 162°
e) 171°
[Olimpiadi della Matematica, Giochi di Archimede, 2004]
60) E’ data una circonferenza di diametro AB e centro O. Sia C un punto sulla circonferenza (diverso da A e da B) e si
tracci la retta r parallela ad AC passante per O. Sia D l’intersezione di r con la circonferenza dalla parte opposta di C
rispetto ad AB. Dimostrare che DO è bisettrice di
[Olimpiadi della Matematica, gara provinciale 2007]
61) Sia AB una corda di una circonferenza e P un punto interno ad AB tale che AP = 2 PB. Sia DE la corda passante per
P e perpendicolare ad AB. Dimostrare che il punto medio Q di AP è l’ortocentro di ADE.
[Olimpiadi della Matematica, gara provinciale 2008]
62) E’ dato un triangolo ABC rettangolo in A e con AC cateto maggiore; sia M il punto medio di BC, N il simmetrico di A
rispetto a BC, O l’intersezione fra la perpendicolare ad MN passante per N e la retta contenente BC. Dimostrare che
l’angolo
è il doppio dell’angolo
[Olimpiadi della Matematica, gara provinciale 2009]
41
Geometria - secondo anno
42
Book in
progress
7. Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari
UNITÀ 7. POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI. POLIGONI REGOLARI
7.1 GENERALITÀ
Un poligono si dice inscritto in una circonferenza /in
un cerchio se tutti i suoi vertici appartengono
alla circonferenza.
In tal caso la circonferenza /il cerchio si dice
circoscritta/o al poligono.
In fig. 1 è rappresentato il pentagono ABCDE che è
inscritto nella circonferenza Γ:
In fig. 2 è rappresentato il quadrilatero ABCD che non
è inscritto nella circonferenza Γ:
PERCHÈ?
Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza
/ad un cerchio se tutti i suoi lati sono tangenti alla
circonferenza.
In tal caso la circonferenza / il cerchio si dice
inscritta/o nel poligono ed il raggio si dice apotema
del poligono.
In fig. 3 è rappresentato l’esagono ABCDEF che è
circoscritto alla circonferenza Γ:
In fig. 4 è rappresentato il quadrilatero ABCD che non
è circoscritto alla circonferenza Γ:
PERCHÈ?
OSSERVAZIONE:
- Data una circonferenza, è sempre possibile sia inscrivervi che circoscrivervi un poligono con un qualsiasi numero di lati.
- Dato un poligono qualsiasi, non è sempre possibile inscriverlo o circoscriverlo ad una circonferenza.
43
Geometria - secondo anno
7.2 PUNTI NOTEVOLI dI UN TRIANGOLO
Abbiamo già parlato di ortocentro, baricentro, incentro e circocentro di un triangolo (pag. 93 e successive 1° anno).
Tali “punti” vengono detti punti notevoli di un triangolo (punti, cioè, in cui si incontrano segmenti/rette particolari, come
altezze, mediane, bisettrici, assi). A tali punti si “aggiungono” gli ex-centri.
In questa unità approfondiremo l’argomento, grazie all’introduzione dei quadrilateri, della circonferenza/del cerchio e dei
poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza/un cerchio.
TEOREMA
Gli assi dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto che si chiama circocentro.
Dimostrazione
Osserviamo che due dei tre assi, per esempio a e b, sono
incidenti in un punto O, in quanto l’angolo
è minore
di un angolo piatto (cosa succede nel caso dell’angolo
congruente ad un angolo piatto?) [fig. 5]:
Poiché l’asse di un segmento è il luogo dei punti
equidistanti dagli estremi del segmento si ha:
OA≅ OB
perché O∈a ;
OB≅ OC
perché O∈b .
Segue:
OA≅ OC
per la proprietà transitiva della congruenza
e quindi:
O∈c
(PERCHÉ?)
Pertanto: a ∩ b ∩ c = {O} [fig. 6]:
COSTRUISCI TU LA FIGURA
fig. 6
C.V.D.
OSSERVAZIONE:
Ricordiamo che per tre punti non allineati (i vertici A, B, C
del triangolo) passa una e sola circonferenza (teorema
pag. 9) [fig. 7]:
Si ha quindi che esiste una (ed una sola!) circonferenza
circoscritta al triangolo e poiché la perpendicolare ad ogni
corda condotta dal centro della circonferenza dimezza …
… CONTINUA……………………………………..………
………………………………………………………………
…………………………………...……………………...…
C.V.D.
44
Book in
progress
7. Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari
Questo teorema permette la seguente affermazione:
“ogni triangolo può essere inscritto in una circonferenza il cui centro è il punto di intersezione degli assi dei lati
(circocentro del triangolo)”.
In realtà più che di una affermazione si tratta di una conferma in quanto hai già “verificato” con il compasso che
gli assi dei lati di un triangolo si incontrano in uno stesso punto (circocentro del triangolo) che è il centro della circonferenza
circoscritta al triangolo (pag. 95 1° anno). Possiamo, pertanto, concludere che vale il seguente:
COROLLARIO
Ogni triangolo è inscrivibile in una circonferenza il cui centro è il circocentro del triangolo.
TEOREMA
Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno stesso punto che si chiama incentro.
Dimostrazione
Osserviamo che due delle tre
bisettrici, per esempio a e b, sono
incidenti in un punto I, interno al
triangolo, in quanto formano, con la
trasversale AB, angoli coniugati
interni non supplementari
(PERCHÉ?) [fig. 8]:
Poiché la bisettrice di un angolo è il
luogo dei punti equidistanti dai lati
dell’angolo, indicati con:
- H il piede della perpendicolare
condotta da I al lato AB;
- K il piede della perpendicolare
condotta da I al lato AC;
- T il piede della perpendicolare
condotta da I al lato BC,
si ha che:
IK ≅ IH perché I∈a
IH ≅ IT perché I∈b
e quindi:
IK ≅ IT per la proprietà transitiva
della congruenza.
Pertanto il punto I, essendo
equidistante dai lati dell’angolo C,
appartiene alla bisettrice di tale
angolo, cioè I∈c (fig. 9):
C.V.D.
OSSERVAZIONE:
Il punto I è quindi equidistante dai
tre lati del triangolo ABC per cui
esiste una (ed una sola!
PERCHÉ?) circonferenza con
centro in I e raggio IH (o IT o IK)
inscritta nel triangolo (fig. 10):
45
Geometria - secondo anno
Il teorema precedente permette l’affermazione che ogni triangolo può essere circoscritto ad una circonferenza il
cui centro è il punto d’intersezione delle bisettrici degli angoli interni del triangolo (incentro).
In realtà, anche qui, più che di una affermazione si tratta di una conferma in quanto hai già “verificato” con il
compasso che le bisettrici degli angoli interni di un triangolo si incontrano in uno stesso punto (incentro del
triangolo) che è il centro della circonferenza inscritta nel triangolo [pag. 93, 1° anno].
Possiamo, pertanto, concludere che vale il seguente:
COROLLARIO
Ogni triangolo è circoscrittibile ad una circonferenza che ha come centro l’incentro del triangolo.
Di seguito riportiamo, senza dimostrarlo, il seguente teorema:
TEOREMA
Le bisettrici di due angoli esterni di un triangolo e la bisettrice dell’angolo interno non adiacente
ad essi passano per uno stesso punto che si chiama ex-centro (fig. 11):
Nel caso della fig. 11, il teorema ci assicura
l’esistenza di una circonferenza (circonferenza
ex-inscritta al triangolo ABC) che ha come
tangenti il lato BC e i prolungamenti degli altri due
lati AB e AC (fig. 12):
Analogamente si costruiscono le altre due
circonferenze ex-inscritte (fig. 13):
OSSERVAZIONE:
Per ora (e rimarrà così!) possiamo dire che:
“Un triangolo ha quattro punti equidistanti dalle
rette dei lati: l’incentro e i tre ex-centri”.
46
Book in
progress
7. Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari
TEOREMA
Le altezze di un triangolo, o i loro prolungamenti, passano per uno stesso punto detto ortocentro.
[Ci riferiamo ad un triangolo acutangolo quindi ……… ]
Dimostrazione
Conduciamo da ogni vertice del triangolo la parallela
al lato opposto e sia DEF il triangolo così ottenuto
(fig. 14):
(PERCHÈ le rette DE, EF, FD si incontrano a due
a due?)
COMPLETA:
Osserviamo che i quadrilateri ABCD e AFBC
sono parallelogrammi perché i lati opposti
sono a due a due paralleli e quindi:
AD≅ BC perché ……………………………..
AF≅ BC perchè ……………………………..
Segue:
AD≅ …. per la proprietà transitiva della congruenza.
Pertanto il punto A è il punto medio del segmento …. .
Inoltre AK, essendo perpendicolare a BC, è perpendicolare anche a DF (PERCHÉ?) e quindi risulta …………. di DF.
Analogamente si dimostra che BS è asse di …. e che CT è ……. di …. .
Pertanto le rette che “contengono” le tre altezze del triangolo ABC coincidono con gli assi del triangolo DEF per cui, in
base al teorema di pag. 54, tali rette passano per uno stesso punto H.
C.V.D.
OSSERVAZIONE:
L’ortocentro del triangolo ABC coincide con il circocentro del triangolo DEF.
TEOREMA
Le mediane di un triangolo passano per uno stesso punto (baricentro), che divide ciascuna mediane in due
parti, delle quali quella che contiene il vertice è doppia dell’altra.
Dimostrazione
Disegniamo “per bene” due delle tre mediane,
per esempio le mediane AM e BN e indichiamo
con G il loro punto di intersezione
(esiste! PERCHÉ?) [fig. 15]:
Non riportiamo la mediana CP
…… per una figura più “pulita”.
47
Geometria - secondo anno
Congiungiamo N con M (fig. 16):
ed osserviamo che il segmento NM unisce i punti medi
dei lati AC e BC per cui si ha (teorema pag. 184, 1° anno) che:
Siano ora Q ed R i punti medi rispettivamente dei lati AG e BG
del triangolo ABG e congiungiamo Q con R (fig. 17):
Osserviamo che il segmento QR unisce i punti medi dei lati
AG e BG per cui si ha (per il teorema su richiamato ) che:
Dalle relazioni
segue, per la proprietà transitiva
della congruenza, che:
per cui il quadrilatero NMRQ, avendo due lati opposti paralleli
e congruenti, è un parallelogramma (pag. 170, 1° anno) [fig. 18]:
Poiché in un parallelogramma le diagonali si incontrano nel loro
punto medio si ha:
NG≅ GR (“segnare NG con il simbolo ”)
e
MG≅ GQ (“segnare MG con il simbolo ”) [fig. 19]:
Pertanto risulta:
AQ≅ QG≅ GM e BR≅ RG≅ GN
cioè:
AG≅ 2GM e BG≅ 2GN .
Ripetendo lo stesso ragionamento per un’altra coppia di mediane, per esempio AM e CP, si trova che il loro punto
comune G' le divide allo stesso modo e cioè: AG' ≅ 2G'M e CG' ≅ 2G'P , per cui la mediana AM è divisa nello stesso
modo sia dalla mediana BN che dalla mediana CP e questo implica che G ≡ G', cioè le tre mediane passano per lo
stesso punto G e ciascuna di esse viene divisa da G in due parti tali che quella che contiene il vertice è doppia dell’altra.
C.V.D.
48
Book in
progress
7. Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari
7.3 I QUAdRILATERI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
Parlando dei poligoni inscritti e circoscritti ad una circonferenza abbiamo visto che, dato un poligono qualsiasi, non è sempre
possibile inscriverlo oppure circoscriverlo ad una circonferenza (a differenza di quanto accade per i triangoli).
Puoi facilmente osservare …… e verificare che per qualsiasi poligono valgono le seguenti “regole”:
- un poligono è inscrittibile in una circonferenza se gli assi dei suoi lati si incontrano tutti nello stesso punto;
- un poligono è circoscrittibile ad una circonferenza se le bisettrici dei suoi angoli si incontrano tutte nello stesso punto.
Tali “regole” rappresentano in realtà “condizioni necessarie e sufficienti” perché un poligono sia rispettivamente inscrittibile
e circoscrittibile.
Le “regole” su esposte valgono per qualsiasi poligono e, quindi, anche per i quadrilateri (convessi) per i quali, però, si
dimostrano anche i seguenti teoremi:
TEOREMA (sui quadrilateri inscritti)
Se un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza, allora i suoi angoli opposti sono supplementari. [condizione
necessaria]
Dimostrazione
Osserviamo innanzitutto che basterà dimostrare
uno solo dei due punti della tesi perché l’altro si
dedurrà immediatamente dal fatto che la somma
degli angoli interni di un quadrilatero è congruente
a due angoli piatti.
Indichiamo, pertanto, l’angolo
con α e l’angolo
con β (fig. 20):
e dimostriamo che α è supplementare di β, cioè che:
α + β ≅ 1 angolo piatto .
Congiungiamo il centro O con B e D (fig. 21):
e osserviamo che:
- l’angolo convesso
è un angolo al centro che insiste
sull’arco
che contiene C;
- l’angolo
è un angolo alla circonferenza che insiste sullo
stesso arco
quindi:
perché ogni angolo al centro è congruente al
doppio dell’angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco,
cioè:
Così:
- l’angolo concavo
è un angolo al centro che insiste sull’arco
che contiene A;
- l’angolo
è un angolo alla circonferenza che insiste sullo
stesso arco
quindi:
cioè:
[fig. 22]:
Poiché:
2α + 2β ≅ 2 angoli piatti
si ha: α + β ≅ 1 angolo piatto
[Per la 2a parte del teorema vale l’osservazione riportata in
precedenza, oppure si ripete un ragionamento analogo].
C.V.D.
49
Geometria - secondo anno
TEOREMA (inverso del precedente)
Un quadrilatero con gli angoli opposti supplementari è inscrittibile in una circonferenza. [condizione sufficiente]
Osserviamo, ancora una volta, che la somma degli angoli interni di un quadrilatero è congruente a 2 angoli piatti per cui,
se due angoli opposti sono supplementari, allora lo sono anche gli altri due.
Pertanto il teorema può essere enunciato nel seguente modo:
Un quadrilatero con una coppia di angoli opposti supplementari è inscrittibile in una circonferenza.
Dimostrazione
Poiché per tre punti non allineati passa una ed una sola
circonferenza (teorema pag. 9), esiste una circonferenza Γ che
passa, per esempio, per A, B e C. Dobbiamo dimostrare che la
circonferenza Γ passa anche per D.
Ragioniamo per assurdo e supponiamo che la circonferenza Γ,
passante per A, B e C, non passi anche per D.
Si possono presentare due casi:
1° caso:
Il punto D è esterno alla circonferenza Γ che interseca
il lato CD nel punto E (fig. 23):
In tal caso osserviamo che il quadrilatero ABCE risulta inscritto nella
circonferenza Γ (fig. 24):
per cui si ha:
angolo piatto perché
e
sono angoli
opposti di un quadrilatero inscritto in una circonferenza,
e poiché:
angolo piatto per ipotesi,
si ha:
perché supplementari dello stesso angolo
Quest’ultima congruenza è un assurdo perché l’angolo
esterno al triangolo ADE, deve essere maggiore di ciascuno degli
angoli interni ad esso non adiacente (teorema pag. 29, 1° anno),
cioè, in particolare, deve essere:
Per “non cadere” in un assurdo, la circonferenza Γ deve, quindi,
passare anche per D.
C.V.D.
Nell’ultima parte del teorema, invece di utilizzare il 1° teorema dell’angolo esterno di un triangolo,
PROVA TU a pervenire alla tesi utilizzando il parallelismo.
[suggerimento: gli angoli AEC e ADC risultano angoli corrispondenti ……… ]
50
Book in
progress
7. Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari
2° caso: Il punto D è interno alla circonferenza Γ che
interseca il prolungamento del lato CD nel punto E (fig. 25):
In tal caso osserviamo che ..…CONTINUA TU ……………………
………………………………....………………………………………
………………………………....………………………………………
C.V.D.
I due teoremi precedenti si possono riassumere nel seguente:
TEOREMA
Condizione necessaria e sufficiente perché un quadrilatero sia inscrittibile in una circonferenza è che gli angoli
opposti siano supplementari.
Questo teorema permette di stabilire quando quattro punti appartengono ad una stessa circonferenza; si può, infatti,
affermare che: “quattro punti appartengono ad una stessa circonferenza se il quadrilatero da essi individuato ha gli angoli
opposti supplementari”. (ovviamente basta che due …………………… )
OSSERVAZIONE:
Per quanto detto sui poligoni inscrittibili (pag. 47), puoi verificare, anche con il disegno, che, se un quadrilatero è inscrittibile
in una circonferenza, il punto di intersezione dei quattro assi dei lati del quadrilatero è il centro della circonferenza circoscritta.
COROLLARIO 1
Ogni rettangolo è inscrittibile in una circonferenza (PROVA TU).
COROLLARIO 2
Ogni quadrato è inscrittibile in una circonferenza (PROVA TU).
COROLLARIO 3
Ogni trapezio isoscele è inscrittibile in una circonferenza (PROVA TU).
Cosa puoi dire circa l’inscrittibilità di un rombo in una circonferenza?
TEOREMA (sui quadrilateri circoscritti)
In un quadrilatero circoscritto a una circonferenza la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli
altri due. [condizione necessaria]
Dimostrazione
Siano E, F, G e H i punti di tangenza
rispettivamente dei lati AB, BC, CD e
DA con la circonferenza (fig. 26):
Osserviamo che ogni vertice del nostro quadrilatero può essere
considerato come un punto esterno alla circonferenza dal quale
vengono condotte le tangenti alla circonferenza stessa.
Si ha quindi (teorema pag. 24) che:
AE ≅ AH
segmenti di tangenti condotte dal punto A;
BE ≅ BF
segmenti di tangenti condotte dal punto B;
CF ≅ CG
segmenti di tangenti condotte dal punto C;
DG ≅ DH
segmenti di tangenti condotte dal punto D.
Pertanto si ha:
[GIUSTIFICA le congruenze riportate].
C.V.D.
51
Geometria - secondo anno
TEOREMA INVERSO
Un quadrilatero è circoscrittibile ad una circonferenza se la somma di due lati opposti è congruente alla somma
degli altri due. [condizione sufficiente]
Dimostrazione
Osserviamo che le bisettrici di due angoli interni del quadrilatero, per esempio degli angoli A e B, si intersecano in un punto
O (PERCHÉ?) che è equidistante dai lati AD, AB e BC.
Esiste, pertanto, una ed una sola circonferenza Γ tangente ai tre lati del quadrilatero. Dobbiamo dimostrare che Γ è tangente
anche al quarto lato CD. Supponiamo per assurdo che Γ non risulti tangente a CD.
Tracciamo allora dal punto C la retta tangente a Γ che interseca la retta del lato AD in un punto E.
Si possono presentare due casi:
1° caso: il punto E è interno al lato AD (fig. 27):
In tal caso il quadrilatero ABCE risulta circoscritto a Γ per cui
vale la relazione: AB + CE ≅ AE + BC
e poiché per ipotesi è: AB + CD ≅ AD + BC
sottraendo, membro a membro, dalla seconda relazione la prima,
si ha: AB + CD – (AB + CE) ≅ AD + BC – (AE + BC)
cioè: AB + CD – AB – CE ≅ AD + BC – AE – BC
Semplificando, si ha: CD – CE ≅ AD – AE
cioè: CD – CE ≅ DE
e ancora: CD≅ DE + CE.
Quest’ultima congruenza è assurda per la disuguaglianza triangolare relativa al triangolo CDE (ogni lato di un triangolo è
minore della somma degli altri due).
Per “non cadere” in un assurdo, la circonferenza Γ deve, quindi, essere tangente anche al lato CD per cui il quadrilatero
ABCD è circoscritto a Γ.
C.V.D.
2° caso: il punto E è esterno al lato AD, cioè appartiene al suo prolungamento (fig. 28):
CONTINUA TU ………………………………………………………
……………………………………………...……………………...…
……………………………………………...……………………...…
……………………………………………...……………………...…
C.V.D.
52
Book in
progress
7. Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari
I due teoremi precedenti si possono riassumere nel seguente:
TEOREMA
Condizione necessaria e sufficiente affinchè un quadrilatero sia circoscrittibile ad una circonferenza è che la somma
di due lati opposti sia congruente alla somma degli altri due.
OSSERVAZIONE:
Per quanto detto sui poligoni circoscrittibili (pag. 86), puoi verificare, anche con il disegno, che, se è un quadrilatero è
circoscrittibile ad una circonferenza, il punto di intersezione delle quattro bisettrici degli angoli interni del quadrilatero è il
centro della circonferenza inscritta.
COROLLARIO
Un quadrilatero con i lati tutti congruenti tra loro si può circoscrivere ad una circonferenza (PROVA TU).
Relativamente alla circoscrittibilità dei seguenti quadrilateri:
- quadrato;
- rombo;
- (generico) parallelogramma;
- (generico) rettangolo,
cosa puoi dedurre in base all’ultimo corollario?
Problema risolto … o quasi
Siano dati una circonferenza Γ di centro O ed un suo diametro AB. Preso un punto C su Γ, conduci dal punto A la
perpendicolare alla retta OC ed indica con H il piede di tale perpendicolare: Detta K la proiezione di C sul diametro AB,
dimostra che:
1. AH≅ CK;
2. Il quadrilatero convesso AHKC
è inscrittibile in una circonferenza
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli AOH e COK;
essi hanno:
entrambi retti per ipotesi;
AO ≅ OC perché raggi della stessa circonferenza;
perché angoli opposti al vertice.
I due triangoli, avendo oltre all’angolo retto due altri elementi ordinatamente congruenti (che non sono gli angoli acuti),
sono congruenti per il criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. Avranno, pertanto, tutti gli elementi corrispondenti
congruenti, in particolare AH ≅ CK e, quindi, è dimostrato il punto 1.
Per dimostrare il punto 2., osserviamo il quadrilatero AHKC (fig. 29):
Poiché il triangolo AHC è retto in H, si ha che tale triangolo è inscritto nella semicirconferenza di diametro AC e analogamente
…CONTINUA TU ………………………………
53
Geometria - secondo anno
7.4 I POLIGONI REGOLARI
Un poligono si dice regolare se ha tutti i lati e tutti gli angoli fra loro congruenti.
In altre parole, un poligono è regolare se è equilatero ed equiangolo.
Sono esempi di poligoni regolari:
- il triangolo equilatero (che è anche equiangolo): è l’unico poligono regolare che ha tre lati;
- il quadrato.
In particolare osserviamo che:
- il rombo e il quadrato sono i quadrilateri equilateri;
- il rettangolo e il quadrato sono i quadrilateri equiangoli.
Pertanto, il quadrato è l’unico quadrilatero regolare.
Vi sono, inoltre, pentagoni regolari, esagoni regolari, ettagoni regolari, ….… , poligoni regolari di n lati ( ∀ n > 4). [fig. 30]:
fig. 30
pentagono regolare
esagono regolare
ottagono regolare
TEOREMA
Ogni poligono regolare è sia inscrittibile che circoscrittibile e le due circonferenze (circoscritta e inscritta) sono
concentriche. [Riferiamo il teorema, per semplicità, ad un esagono regolare, sottolineando che esso vale per un qualsiasi
poligono di n lati, con n ≥ 3 ].
Dimostrazione
Tracciamo due qualsiasi bisettrici degli
angoli interni dell’esagono, per esempio
degli angoli A e B e sia O il loro punto di
intersezione (PERCHÈ tali bisettrici si
incontrano?) [fig. 31]:
Osserviamo che tali bisettrici bisecano
gli angoli A e B in angoli tutti e quattro
congruenti tra loro perché metà di angoli
congruenti per ipotesi (A ≅ B).
Quindi:
OAF≅ OAB≅ OBA≅ OBC
(“segnare tali angoli con il simbolo
[fig. 32]
54
”)
Book in
progress
7. Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari
Il triangolo AOB è quindi isoscele sulla base AB per cui:
OA≅ OB (“segnare OA e OB con il simbolo / ” ).
Congiungiamo O con il vertice C (fig. 33):
Consideriamo, ora, i triangoli ABO e BCO; essi hanno:
OB in comune (o OB ≅ OB per la proprietà riflessiva
della congruenza);
AB≅ BC
per ipotesi:
OBA≅ OBC per precedente dimostrazione.
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo fra essi compreso ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 1° criterio di
congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli altri elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
OA≅ OC
(“segnare OA e OC con il simbolo / ”);
OAB≅ OCB (“segnare OCB con il simbolo ”).
Segue, per la proprietà transitiva della congruenza, che: OA≅ OB≅ OC e OAB≅ OBA≅ OBC≅ OCB
per cui il triangolo BCO, congruente al triangolo ABO,
è isoscele sulla base BC (fig. 34):
Analogamente si dimostra che sono isosceli e
congruenti fra loro tutti i triangoli ottenuti congiungendo
O con i vertici del poligono (fig. 35):
Il punto O è, pertanto, equidistante da tutti i vertici del
poligono per cui è il centro della circonferenza Γ1
circoscritta al poligono (fig. 36):
Inoltre O è anche il punto d’incontro delle bisettrici degli
angoli interni dell’esagono per cui, per una proprietà
delle bisettrici (teorema pag. 80, 1° anno),
O è anche equidistante dai lati del poligono e quindi è
il centro della circonferenza inscritta nel poligono (fig. 37):
O è il centro sia della circonferenza
circoscritta che di quella inscritta.
C.V.D.
55
Geometria - secondo anno
OSSERVAZIONE:
Nei poligoni regolari, grazie al teorema precedente, possono essere individuati alcuni elementi particolari.
Riferendoci all’esagono ABCDEF e alle circonferenze circoscritta e inscritta della fig. 38 si riportano gli elementi particolari
del poligono:
Il centro: è il centro O della circonferenza circoscritta e inscritta;
il raggio: è il raggio della circonferenza circoscritta (in figura il segmento OA);
l’apotema: è il raggio della circonferenza inscritta (in figura il segmento OH).
Continuiamo lo studio delle proprietà dei poligoni inscritti e circoscritti
dimostrando i seguenti teoremi:
TEOREMA
Se si divide una circonferenza in n parti congruenti (n ≥ 3), il poligono ottenuto congiungendo successivamente i
punti di divisione è regolare. [Riferiamo il teorema alla suddivisione di una circonferenza in sei parti congruenti,
sottolineando che esso vale per la suddivisione di una circonferenza in n qualsiasi parti congruenti, con n ≥ 3].
Dimostrazione
Ai fini della dimostrazione, dobbiamo far vedere
che il poligono ABCDEF (esagono) ha lati e
angoli tutti congruenti tra loro, cioè:
AB≅ BC≅ CD≅ DE≅ EF ≅ FA
e
A≅ B≅ C≅ D≅ E ≅ F .
A tale scopo, osserviamo che:
AB≅ BC≅ CD≅ DE≅ EF ≅ FA
perché corde sottese da archi congruenti (teorema pag. 8) [“segnare i lati AB, BC, CD, DE, EF, FA con il simbolo / ”];
e inoltre:
A≅ B≅ C≅ D≅ E ≅ F
perché angoli alla circonferenza che sottendono archi congruenti (COROLLARIO 1 pag. 21)
[“segnare gli angoli A, B, C, D, E, F con il simbolo
”]
(per dimostrare la congruenza degli angoli
potevamo considerare i triangoli AOB, BOC,
…CONTINUA………..………..………........
……………………..……………..…………...)
C.V.D.
56
Book in
progress
7. Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari
TEOREMA
Se si divide una circonferenza in n parti congruenti (n ≥ 3), il poligono circoscritto che ha i lati tangenti nei punti di
divisione è regolare. [Riferiamo il teorema alla suddivisione di una circonferenza in sei parti congruenti, sottolineando
che esso vale per la suddivisione di una circonferenza in n qualsiasi parti congruenti, con n ≥ 3].
Dimostrazione
Ai fini della dimostrazione,
dobbiamo far vedere che il poligono
GHILMN (esagono) ha lati e angoli
tutti congruenti tra loro, cioè:
GH≅ HI ≅ IL ≅ LM≅ MN≅ NG
e
G≅ H≅ I ≅ L ≅M≅ N .
A tale scopo, osserviamo che:
AB≅ BC≅ CD≅ DE≅ EF ≅ FA perché corde che sottendono archi congruenti
(“segnare le corde AB, BC, … con il simbolo / ”);
e inoltre:
GAB≅ GBA≅ HBC≅ HCB≅ ICD ≅ …..NFA ≅ NAF perché angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco o
su archi congruenti (“segnare gli angoli alla circonferenza GAB,
GBA, … con il simbolo ”) [fig. 40]:
Ci limitiamo a “segnare” solo alcune
corde e qualche angolo alla circonferenza
Pertanto i triangoli GAB, HBC, ICD, ….. , NAF sono triangoli isosceli tutti congruenti tra loro.
Segue che il poligono ABCDEF ha ……CONTINUA TU……………………………………………...………………………
....................................................................................................................................................................................................
C.V.D.
57
Geometria - secondo anno
ESERCIZI UNITÀ 7
Conoscenza e comprensione
1) Cosa vuol dire che un poligono è inscritto in una circonferenza?
2) Cosa vuol dire che un poligono è circoscritto ad una circonferenza?
3) Quali sono i punti notevoli di un triangolo?
4) Il centro di quale circonferenza è detto ex-centro di un triangolo?
5) Vero o Falso?
a) Se un poligono è circoscritto ad una circonferenza, tutti i suoi punti sono esterni ad essa.
b) Se un poligono è inscritto in una circonferenza, i suoi lati sono corde della circonferenza.
c) Un triangolo ottusangolo non può essere circoscritto ad una circonferenza.
d) Se un triangolo è inscritto in una circonferenza, il centro della circonferenza
coincide con l’incentro del triangolo.
e) Se una circonferenza è inscritta in un triangolo, l’incentro del triangolo è il centro
della circonferenza.
f) Un triangolo ammette un solo ex-centro.
g) La circonferenza inscritta e quella circoscritta ad un triangolo possono essere concentriche.
h) Il baricentro di un triangolo equilatero è il centro della circonferenza ad esso circoscritta.
i) Un poligono concavo non può essere circoscritto ad una circonferenza.
j) In un circonferenza si può inscrivere un poligono concavo.
k) Se un poligono è inscritto in una circonferenza, esso è sicuramente convesso.
l) Se le bisettrici dei vertici di un poligono convesso passano per uno stesso
punto, il poligono è inscrittibile in una circonferenza.
m) Se una circonferenza è circoscritta ad un poligono convesso, gli assi dei lati
del poligono passano per uno stesso punto.
q V
q V
q V
q F
q F
q F
q V
q F
q
q
q
q
q
q
q
V
V
V
V
V
V
V
q
q
q
q
q
q
q
F
F
F
F
F
F
F
q V
q F
q V
q F
6) Esponi la CNES affinchè un quadrilatero sia inscrivibile in una circonferenza.
7) Esponi la CNES affinchè un quadrilatero sia circoscrivibile ad una circonferenza.
8) Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
a) Un trapezio è sempre inscrittibile in una circonferenza.
b) Se due angoli consecutivi di un quadrilatero sono supplementari, esso è inscrittibile in una circonferenza.
c) Se due angoli opposti di un quadrilatero sono complementari, il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza.
d) Se due angoli opposti di un quadrilatero sono supplementari, esiste sicuramente una circonferenza circoscritta al
quadrilatero.
e) Se due angoli opposti di un quadrilatero sono supplementari, esiste sicuramente una circonferenza inscritta
9) Sia Γ una circonferenza circoscritta al quadrilatero ABCD; quali, fra le seguenti, possono essere le ampiezze degli
angoli del quadrilatero?
a) A = 83° ;
B = 75° ;
C = 80° ;
D = 122°.
b) A = 73° ;
B = 96° ;
C = 108°;
D = 83°.
c) A = 106° ;
B = 93° ;
C = 74° ;
D = 87°.
d) A = 80° ;
B = 110°;
C = 100°;
D = 80°.
e) A = 87° ;
B = 87° ;
C = 97° ;
D = 97°.
10) Il quadrilatero FGKL è inscritto in una circonferenza Γ di centro O; l’ampiezza dell’angolo FOG è di 114° e quella di FKL
è di 45°; qual è l’ampiezza di LFG?
a) 66°;
b) 21°;
c) 78°;
d) 80°;
e) non si può determinare.
58
Book in
progress
7. Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari
11) Sia Γ una circonferenza inscritta nel quadrilatero ABCD; quali, fra le seguenti, possono essere le misure dei lati del
quadrilatero?
a) AB = 42 cm; BC = 73 cm; CD = 60 cm; AD = 30 cm.
b) AB = 52 cm; BC = 52 cm; CD = 32 cm; AD = 35 cm.
c) AB = 55 cm; BC = 20 cm; CD = 32 cm; AD = 68 cm.
d) AB = 25 cm; BC = 35 cm; CD = 42 cm; AD = 18 cm.
e) AB = 25 cm; BC = 35 cm; CD = 35 cm; AD = 25 cm.
12) Il quadrilatero PQRS è circoscritto ad una circonferenza; i lati PQ e SR misurano, rispettivamente, 14 cm e 18 cm, il
lato PS è i 2 di SR. Qual è la misura di QR?
3
a) 19;
b) 22;
c) 18;
d) 8;
e) 20.
13) Quale dei seguenti poligoni non è circoscrivibile ad una circonferenza?
a) trapezio rettangolo;
b) quadrato;
c) rombo;
d) trapezio isoscele;
e) rettangolo.
14) Osserva la figura e stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false.
a)
b)
c)
d)
Il quadrilatero OTDS è circoscrivibile ad una circonferenza.
S è un punto della circonferenza circoscritta al triangolo OTD.
Il punto medio di OD è il centro della circonferenza circoscritta a OTDS.
Il centro della circonferenza inscritta nel quadrilatero OTDS appartiene ad OD.
q
q
q
q
V
V
V
V
q
q
q
q
F
F
F
F
q
V
q F
q
q
V
V
q F
q F
q
q
V
V
q F
q F
15) Dai la definizione di poligono regolare.
16) Vero o Falso?
a) I vertici di un poligono regolare dividono la circonferenza circoscritta in archi congruenti.
b) I centri della circonferenza inscritta e di quella circoscritta ad un poligono
regolare sono punti distinti.
c) L’apotema di un poligono regolare è il raggio della circonferenza circoscritta al poligono.
d) Il lato di un quadrato è congruente al doppio del raggio della circonferenza
inscritta nel quadrato.
e) Il diametro di una circonferenza è congruente alla diagonale del quadrato in essa inscritto.
59
Geometria - secondo anno
Considera i seguenti quadrilateri e completa secondo le indicazioni date:
17)
18)
19)
20)
21)
Applicazione
1) Nella tabella seguente sono date le ampiezze degli angoli opposti A e C di un insieme di quadrilateri.
Completa la tabella secondo le indicazioni riportate:
A
60
C
A+C
Il quadrilatero è inscrittibile?
(scrivere SI o NO)
64°
116°
………………
………………
71°
110°
………………
………………
29°
151°
………………
………………
60° 28' 15''
119° 31' 45''
………………
………………
106° 59' 12''
73° 48''
………………
………………
63° 38''
116° 22''
………………
………………
Book in
progress
7. Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari
2) Le ampiezze di due angoli di un quadrilatero inscritto in una circonferenza sono 46° 30' 18'' e 114° 25' 35''. Calcola
le ampiezze degli altri angoli.
[133° 29' 42'' ; 65° 34' 25'']
3) Sia dato un quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza. Sapendo che gli angoli di vertici A e B hanno ampiezza
rispettivamente di 58° 37'' e 60° 29' 15'', calcola l’ampiezza degli angoli di vertici C e D.
[121° 59' 23'' ; 119° 30' 45'']
4) Sia dato un quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza. Sapendo che l’angolo A ha ampiezza 81° 21' 12'' e che
l’angolo B è congruente ai 2/3 di tale ampiezza, determina l’ampiezza degli angoli B, C, D.
[54° 14' 8'' ; 98° 38' 48'' ; 125° 45' 52'']
5) In un quadrilatero inscritto in una circonferenza la somma di due angoli è 185° 41' 34'' e la loro differenza è 31° 15'
38''. Determina l’ampiezza dei quattro angoli del quadrilatero.
[108° 28' 36'' ; 77° 12' 58'' ; 31° 31' 24'' ; 102° 47' 2'']
6) Nella tabella seguente sono date le lunghezze dei lati, espresse in cm, di un insieme di quadrilateri.
Completa la tabella secondo le indicazioni riportate:
AB
BC
CD
DA
AB + CD
BC + DA
Il quadrilatero è inscrittibile?
(scrivere SI o NO)
29
34
35
20
………………
………………
………………
42
27
18
33
………………
………………
………………
35
29
18
24
………………
………………
………………
46
52
39
23
………………
………………
………………
59
46
32
45
………………
………………
………………
7) Sia ABCD un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza. Sapendo che AB e il lato opposto CD misurano
rispettivamente 50 cm e 27 cm, determina le misure di BC e di DA, con BC ≅ 2 · DA.
[19 cm ; 38 cm]
8) Sia ABCD un quadrilatero circoscritto ad una circonferenza. Sapendo che la somma dei lati opposti AB e CD è
congruente a 63 cm e che AB ≅ 2 · CD, determina le misure dei lati del quadrilatero nel caso in cui BC ≅ 3 DA .
4
[42 cm ; 27 cm ; 21 cm ; 36 cm]
9) Dato il quadrilatero ABCD, figura a lato, completa la seguente tabella in modo che il quadrilatero sia inscrittibile e
circoscrittibile (le misure dei lati sono espresse in cm):
AB
BC
CD
DA
A
35
20
………
32
………
26
1/2 AB
15
………
62°
………
2 CD
42
2/3 CD
2/3 DA
………
1/2 AB
………
78
2 DA
B
C
D
109°
………
………
………
98°
………
………
74°
89°
96
2C
………
………
3B
1/3 BC
79°
49°
………
………
61
Geometria - secondo anno
10) Calcola l’ampiezza dell’angolo indicato con il simbolo x :
Problemi
Punti notevoli di un triangolo
1) Sia data una circonferenza Γ in cui è inscritto un triangolo ABC, isoscele sulla base BC. Detto O l’incentro del triangolo,
siano rispettivamente D ed E gli ulteriori punti d’intersezione delle rette BO e CO con Γ.
Dimostra che: 1) Il quadrilatero ADOE è un rombo;
2) ABC≅ (EAD – BAC).
2) Dato un triangolo ABC, sia G il suo baricentro. Detto M il punto medio del segmento AG, conduci dai punti G ed M le
parallele al lato BC. Dimostra che tali parallele dividono i lati AB e AC in tre segmenti fra loro congruenti.
3) Dato un triangolo ABC, siano M, N e P i punti medi rispettivamente dei lati AB, BC e AC.
Dimostra che: 1) I triangoli ABC e MNP hanno lo stesso baricentro.
2) L’ortocentro del triangolo MNP è il circocentro del triangolo ABC.
4) Dimostra che in ogni triangolo rettangolo la distanza del baricentro dal vertice dell’angolo retto è congruente alla terza
parte dell’ipotenusa.
5) Dato un triangolo ABC, sia H il suo ortocentro. Dimostra che il vertice C è l’ortocentro del triangolo ABH.
6) Dato un triangolo ABC, retto in A, sia AH l’altezza relativa all’ipotenusa BC. Prendi un punto P interno al segmento BH
e conduci da tale punto la parallela al cateto AB. Detto K il punto d’intersezione di tale parallele con l’altezza AH,
dimostra che K è l’ortocentro del triangolo PAC.
[suggerimento: detto T il punto d’intersezione della retta PK con il cateto AC, il punto K ……]
Quadrilateri inscritti e circoscritti
7) Siano dati una circonferenza Γ ed un quadrilatero ABCD in essa inscritto, con le rette dei lati DA e CB incidenti in un
punto E. Dimostra che i triangoli ABE e DCE hanno gli angoli ordinatamente congruenti.
8) Sia dato un trapezio ABCD circoscritto ad una circonferenza Γ di centro O. Dimostra che i triangoli aventi per vertici il
centro della circonferenza e gli estremi dei lati non paralleli sono rettangoli.
9) Siano dati il rombo ABCD e la circonferenza di centro O in esso inscritta. Dimostra che il quadrilatero che si ottiene
congiungendo i punti di contatto tra il rombo e la circonferenza è un rettangolo.
10) Siano dati una circonferenza Γ di centro O, un suo diametro AB e una corda CD perpendicolare ad AB. Dimostra che
il quadrilatero ACBD è circoscrittibile ad una circonferenza.
11) Dato un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza Γ di centro O, dimostra che il triangolo avente per vertici O
e gli estremi di un lato obliquo è rettangolo.
12) Siano dati una circonferenza Γ di centro O e un punto P esterno a Γ. Conduci da P le tangenti alla circonferenza ed
indica con S e T i punti di contatto. Dimostra che il quadrilatero PSOT è inscrittibile e circoscrittibile.
13) Dato un triangolo rettangolo, considera la circonferenza inscritta e dimostra che il suo diametro è congruente alla
differenza fra la somma dei cateti e l’ipotenusa.
62
Book in
progress
7. Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari
14) Sia dato un trapezio ABCD circoscritto ad una semicirconferenza. Dimostra che la base maggiore è congruente alla
somma dei lati obliqui. [suggerimento: unisci il centro della semicirconferenza con gli estremi della base minore …..]
15) Sia dato il quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza. Dopo aver condotto le diagonali AC e BD, dimostra che
gli angoli ACD e ABD sono congruenti. Sai dire quali sono tutte le coppie di angoli congruenti?
Poligoni regolari
16) Dato un poligono regolare, dimostra che il poligono ottenuto unendo i punti medi dei suoi lati è ancora regolare.
17) Dato un pentagono regolare ABCDE, conduci due diagonali (non uscenti dallo stesso vertice).
Dimostra che tali diagonali si intersecano in parti corrispondenti congruenti e che la maggiore di esse è congruente al
lato del pentagono. Classifica, poi, i poligoni in cui resta suddiviso il pentagono.
18) Dato un esagono regolare PQRSTU, conduci le diagonali PR, PT e QU. Dimostra che:
1. le diagonali PS e PT dividono la diagonale QU in tre parti congruenti;
2. l’angolo QPT è retto.
19) Sia dato un esagono regolare inscritto in una circonferenza Γ. Dimostra che il lato dell’esagono è congruente al raggio
di Γ.
20) Dato un esagono regolare ABCDEF, considera la diagonale AD. Dimostra che i due quadrilateri in cui viene suddiviso
l’esagono sono due trapezi isosceli congruenti.
21) Sia dato un esagono regolare ABCDEF inscritto in una circonferenza di centro O. Dimostra che l’apotema dell’esagono
è congruente alla metà del lato del triangolo equilatero inscritto nella stessa circonferenza.
22) Sia PQRSTU un esagono regolare. Prolunga i lati UP ed RQ ed indica con V il punto di intersezione di tali prolungamenti.
Dimostra che PQV è un triangolo equilatero.
23) Dato l’esagono regolare ABCDEF, conduci le diagonali AC, BD, DF e AE. Dimostra che i punti di incontro di tali diagonali
individuano un rombo.
24) Dato un pentagono regolare ABCDE, conduci due diagonali non uscenti
dallo stesso vertice.
Dimostra che le due diagonali si tagliano in due parti di cui la maggiore è
congruente al lato del pentagono. [suggerimento: riferendoti alla figura a lato,
completa la dimostrazione “ragionando” sugli angoli]
Problemi di riepilogo
25) In una circonferenza Γ di centro O è inscritto un trapezio isoscele ABCD con la base maggiore AB coincidente con un
diametro della circonferenza. Condotte le diagonali AC e BD che si incontrano in P, dimostra che P è l’ortocentro del
triangolo ABE ottenuto prolungando i lati obliqui del trapezio.
26) Dimostra che in ogni triangolo rettangolo la somma dei due cateti è congruente alla somma dei diametri delle
circonferenze inscritta e circoscritta al triangolo.
63
Geometria - secondo anno
27) Dato un triangolo acutangolo PQR, siano:
- PS l’altezza relativa al lato QR;
- QT l’altezza relativa al lato PR;
- PS ∩ QT = {U}.
Dimostra che il quadrilatero RTUS è inscrittibile in una circonferenza.
28) Dimostra che il raggio della circonferenza circoscritta ad un triangolo equilatero ABC è doppio del raggio della
circonferenza inscritta. [suggerimento: dal centro O conduci l’apotema OH relativa al lato AB ……]
29) Dato un qualsiasi triangolo acutangolo, dimostra che la circonferenza avente per diametro un lato del triangolo interseca
gli altri due lati nei piedi delle rispettive altezze.
30) Dato un triangolo ABC, retto in A, siano:
- M il punto medio del cateto AB,
- N il punto medio dell’ipotenusa BC,
- P il punto medio del cateto AC.
Dimostra che il quadrilatero APNM è inscrittibile in una circonferenza.
31) Sia dato un triangolo equilatero ABC. Prolunga i lati AB, BC e CA, dalle parti rispettivamente di B, C e A, dei segmenti
BD, CE e AF congruenti tutti ai lati del triangolo equilatero. Dimostra che:
1. il triangolo DEF è equilatero;
2. le circonferenze circoscritte ai triangoli ABC e DEF sono concentriche.
32) Siano dati una circonferenza Γ di centro O ed un suo diametro AB. Conduci, da parti opposte rispetto al diametro AB,
due corde AC e AD. Dimostra che il quadrilatero che ha per vertici A, O e i punti medi delle corde AC e AD è
inscrittibile in una circonferenza.
33) Due rette r ed s, distinte e tra loro parallele, sono tagliate da una trasversale t rispettivamente nei punti A e B. Conduci
le bisettrici degli angoli alterni interni di vertici A e B ed indica con C e D i loro punti di intersezione. Dimostra che il
quadrilatero ACBD è inscrittibile in una circonferenza e determinane il centro.
34) In una circonferenza Γ di centro O, è inscritto un triangolo ABC, isoscele sulla base AB.
Congiungi il vertice C con O e sia D il punto d’intersezione del prolungamento di CO con la circonferenza. Dimostra
che il triangolo ABD è isoscele sulla base AB.
35) Ad una circonferenza Γ di centro O è circoscritto un triangolo ABC, retto in C. Sia:
-
AC∩ Γ = {H};
-
BC∩ Γ = {K}.
Dimostra che il quadrilatero CHOK è un quadrato.
36) Sia dato un triangolo ABC, retto in C. Sul prolungamento del cateto AC, dalla parte di A, prendi il punto D tale che
AD ≅ AB. Dimostra che il quadrilatero ADEB, con E punto qualsiasi sul prolungamento di BC, dalla parte di B, non è
circoscrittibile ad una circonferenza.
37) Siano date due circonferenze Γ e Γ', tangenti internamente nel punto A. Conduci il diametro AB della circonferenza
maggiore Γ e, dal suo estremo B, traccia le tangenti BS e BT alla circonferenza Γ'. Dimostra che il quadrilatero ASBT
è circoscrittibile.
38) Sia dato il triangolo ABC, isoscele sulla base BC. Traccia la semicirconferenza di diametro BC ed indica rispettivamente
con D ed E i punti di intersezione della semicirconferenza con i lati AB e AC. Detto F il punto d’intersezione tra BE e
CD, dimostra che il quadrilatero ADFE è inscrittibile.
64
Book in
progress
7. Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari
39) Sia dato un triangolo equilatero ABC inscritto in una circonferenza.
Detto H l’ortocentro del triangolo, riferendoti alla figura a lato:
dimostra che BC è bisettrice dell’angolo HBG.
[suggerimento: confronta gli angoli dei triangoli ADC e BCE;
angoli alla circonferenza ……….]
65
Geometria - secondo anno
OLImPIAdI
40) Dato un triangolo acutangolo ABC, siano U e V i piedi delle altezze uscenti dai vertici A e B.
Dimostra che l’asse di UV passa per il punto medio di AB.
[Olimpiadi della Matematica, Gara Senior, 1989]
41) Sia ABCD un quadrilatero convesso inscrivibile in una circonferenza e tale che le diagonali AC e BD siano perpendicolari.
Detto P il punto d’intersezione di AC e BD, dimostra che la perpendicolare da P a ciascun lato biseca il lato opposto.
[Olimpiadi della Matematica, Cortona, 1995]
42) Sia ABC un triangolo tale che l’angolo ACB = 60°. Sia M il punto medio del lato AB e siano H e K i piedi delle altezze
che partono, rispettivamente, da B e da A. Dimostra che HMK è equilatero. (suggerimento: ABHK è inscrivibile ….. )
[Olimpiadi della Matematica, Gara provinciale, 2001]
43) Sia ABC un triangolo isoscele tale che BAC= 120° e AB = AC = 1. Quanto misura il raggio del cerchio circoscritto?
[Olimpiadi della Matematica, gara provinciale 2002]
44) Sia data una stella a cinque punte inscritta in una circonferenza. Quanto vale la somma degli angoli con vertice nelle
punte della stella?
a. 100°
b. 150°
c. 180°
d. 200°
e. i dati a disposizione sono insufficienti.
[Olimpiadi della Matematica, Giochi di Archimede, 2003]
45) In un triangolo ABC si tracciano le bisettrici da B e da C che incontrano rispettivamente i lati AC e AB in D ed E.
Detto I il punto d’incontro delle bisettrici, si sa che il quadrilatero IDAE è inscrivibile in una circonferenza. Allora l’angolo
in A vale:
a. 30°
b. 45°
c. 60°
d. 90°
e. non si può determinare in modo univoco
[Olimpiadi della Matematica, Giochi di Archimede, 2004]
46) In un triangolo, per ogni coppia di lati consecutivi, i due assi dei lati e la bisettrice dell’angolo formato dai due lati si
incontrano in uno stesso punto. Possiamo affermare che:
a. non esiste un triangolo con questa proprietà.
b. il triangolo è equilatero
c. il triangolo ha un angolo di 30°
d. il triangolo è rettangolo
e. il triangolo ha un angolo di 45°
[Olimpiadi della Matematica, Giochi di Archimede, 2005]
47) In un pentagono convesso ABCDE i lati BC, CD, DE sono uguali. Inoltre ogni diagonale è parallela a un lato.
Dimostrare che ABCDE è un pentagono regolare.
[Cortona, 1989]
48) Dato un triangolo acutangolo ABC inscritto in una circonferenza di centro O, si tracci la bisettrice dell’angolo BAC;
detta D la sua intersezione con BC, si conduca da D la perpendicolare alla retta AO e si supponga che essa incontri
la retta passante per A e per C in un punto P interno al segmento AC. Si dimostri che AP = AB.
[Gara nazionale, 1995]
66
Book in
progress
7. Poligoni inscritti e circoscritti. Poligoni regolari
49) Sia ABCD un quadrilatero in una circonferenza γ. Dette rispettivamente A', B', C', D' le intersezioni di γ con le bisettrici
degli angoli in A, B, C, D del quadrilatero assegnato, si dimostri che A'B'C'D' è un rettangolo. In quali casi A'B'C'D' è
un quadrato?
La medesima costruzione può essere applicata a A'B'C'D' per ottenere un rettangolo A''B''C''D'', e così via. Si
descrivano i rettangoli così ottenuti.
[Gara Senior, 1992]
50) Un triangolo è tale che esiste un cerchio che passa per tutti
i punti che dividono ciascun lato in tre parti uguali.
Provare che ABC è equilatero.
[Gara Senior, 1989]
51) Dimostrare che un pentagono inscritto in una circonferenza
e tale che ogni sua diagonale sia parallela a un lato,
è necessariamente regolare.
[Gara provinciale, 1999]
52) Si consideri un quadrato di lato unitario; inscriviamo al suo
interno una circonferenza e all’interno di questa un esagono regolare.
Quanto misura il lato dell’esagono?
[Giochi di Archimede, 1998]
53) Su una circonferenza consideriamo cinque punti che chiamiamo,
ordinatamente, A, M, B, C, D, e sia M equidistante da A e da B
(vedi figura). Siano, inoltre, E ed F rispettivamente le intersezioni
di MD con AC e di MC con BD. Si dimostri che il quadrilatero CDEF
è inscrivibile in una circonferenza.
[Olimpiadi della Matematica, gara nazionale 1989]
54) Sia Γ una circonferenza fissata e ABC un triangolo in essa inscritto. Se A', B', C' sono le intersezioni delle bisettrici
uscenti rispettivamente da A, B, C con Γ, dimostrare che esse sono le altezze del triangolo A'B'C'.
[Olimpiadi della Matematica, gara nazionale 1991]
67
Geometria - secondo anno
68
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
UNITÀ 8. L’EQUIVALENZA dEI POLIGONI
Il problema
Il signor X vuole calcolare l’area del terreno, adiacente alla sua casa, di forma rettangolare con i lati che misurano 120 m e
70 m. Applicherà con naturalezza e sicurezza la formula A = b · h , che esprime l’area di un rettangolo di base b ed altezza
h ( formula che ha imparato fin da piccolo).
Insieme al signor X, vogliamo, però, chiederci: “perché l’area del rettangolo si calcola in quel modo?”
Più in generale: “perché l’area di una determinata figura si calcola applicando le formule che conosciamo?”
8.1 FIGURE EQUIVALENTI
Ricordiamo che viene detta figura piana, o superficie piana (finita), la parte di piano delimitata da una o più linee chiuse
non intrecciate (fig. 1):
[Nel nostro lavoro useremo indifferentemente i due termini]
Ad ogni figura piana si può associare la sua estensione, cioè la caratteristica di occupare una certa parte di piano.
[L’estensione è un concetto primitivo. Ricordi cosa significa?]
Ci chiediamo se è possibile definire un metodo per stabilire, per esempio, se alcune delle figure precedenti delimitano la
stessa “estensione”; cioè, se occupano la stessa parte di piano. Sappiamo che due figure congruenti si possono
sovrapporre, così che il contorno dell’una coincida perfettamente con il contorno dell’altra e siamo portati a dire che hanno
la stessa estensione (fig. 2):
Il simbolo
sta ad indicare che le due figure hanno la stessa estensione.
Nel caso di due figure A e B non congruenti, se, sovrapponendole, si ha che B contiene A, si dice che A è meno estesa
di B (o A è suvvalente a B) o, anche, che B è più estesa di A (o B è prevalente ad A) [fig. 3]:
69
Geometria - secondo anno
Ma come si opera quando le figure non sono sovrapponibili o lo sono solo in parte?
Nella pratica capita spesso di dover confrontare le estensioni di figure diverse fra loro: per esempio due pareti di forma
diversa; ebbene, se per dipingere due pareti, una rettangolare e l’altra quadrata, si è utilizzata la stessa quantità di vernice,
diciamo che le due pareti, pur avendo forma diversa, hanno la stessa superficie; così un pavimento è più grande di un altro
se ci vogliono più mattoni dello stesso “tipo” per ricoprirlo; ecc.
Per poter dire se due regioni piane hanno, o non hanno, la stessa superficie, da un punto di vista geometrico, però, si
devono avere criteri ben precisi.
Diamo la seguente definizione:
Due figure piane si dicono equiestese se hanno uguale estensione.
(si legge “F1 è equiesteso a F2”).
Se F1 ed F2 sono due figure equiestese, si scrive
La relazione di equiestensione gode delle seguenti proprietà che si assumono come assiomi:
proprietà riflessiva:
ogni figura F è equiestesa a se stessa (
);
proprietà simmetrica:
se una figura F1 è equiestesa ad una figura F2, allora la figura F2 è equiestesa
alla figura F1 (
);
proprietà transitiva:
se una figura F1 è equiestesa ad una figura F2 e F2 è equiestesa ad una figura F3 ,
).
allora F1 è equiestesa a F3 (
La relazione di equiestensione è, quindi, una relazione di equivalenza per cui l’insieme delle figure piane si può ripartire in
classi di equivalenza: ad ogni classe appartengono tutte e sole le figure piane che hanno la stessa estensione (area).
Poiché la relazione di equiestensione è una relazione di equivalenza, due figure equiestese si dicono, anche, equivalenti.
Enunciamo il seguente assioma (legge di tricotomia o di esclusione):
Date due figure A e B, fra di esse sussiste una sola fra le seguenti relazioni:
(A ha la stessa estensione di B);
- A < B (A è meno estesa di B);
- A > B (A è più estesa di B).
8.2 SOmmA E dIFFERENZA dI SUPERFICI
Si chiama somma di due superfici piane A e B, non aventi punti in comune o aventi in comune solo punti appartenenti al
loro contorno, la superficie F formata dall’unione dei punti di A e di B.
In simboli: F = A + B .
Le superfici A e B sono dette parti di F . Il concetto di somma può ovviamente essere esteso a più di due superfici.
Esempio 1:
Le superfici A e B non hanno punti in comune (fig. 4):
La superficie F1 = A + B è formata dall’unione dei punti delle due parti distinte (fig. 5):
70
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
Esempio 2:
Le superfici C e D hanno in comune punti del loro contorno (fig. 6):
La superficie F2 = C + D è formata dall’unione dei punti delle due superfici date (fig. 7):
La somma di superfici gode della proprietà commutativa e di quella associativa (PROVA TU a scrivere tali proprietà).
Se una superficie F è somma di due superfici A e B, si dice che B è la differenza tra F ed A (o, anche, che A è la differenza
tra F e B). In simboli: B = F - A (A = F - B)
-
Due figure F1 e F2, ottenute come somma di parti congruenti, hanno la stessa estensione e si dicono equicomposte.
- Date le figure A, B, C (fig. 8):
“componiamole” in modo diverso (fig. 9):
Le figure F1 e F2 sono equicomposte per cui avranno la stessa estensione.
-
Due figure, che si possono suddividere in modo che siano formate da parti congruenti, hanno la stessa estensione e si
dicono equiscomponibili.
- Osserviamo le figure F1 e F2 (fig. 10):
Le figure F1 e F2 possono essere scomposte nello stesso numero di parti ordinatamente congruenti, per cui risultano
equiscomponibili e perciò sono equivalenti.
Non vale sempre il viceversa; esistono, infatti, figure equivalenti che non sono, però, equiscomponibili (per esempio, un
cerchio e un quadrato equivalenti non possono essere scomposti in uno stesso
numero di parti ordinatamente congruenti).
71
Geometria - secondo anno
-
Le figure, ottenute per sottrazione di parti congruenti, hanno la stessa estensione e si dicono equiscomponibili.
- Consideriamo due rettangoli A e B tra loro congruenti (fig. 11):
Se, da ciascuno dei due rettangoli dati, “togliamo” due quadratini congruenti, otteniamo le figure F1 e F2 (fig. 12):
Le figure F1 e F2 sono equiestese perché ottenute “sottraendo, appunto, da rettangoli congruenti, due quadratini congruenti.
- Le figure F1 e F2 ed F3 hanno la stessa estensione perché ottenute “sottraendo”, da quadrati congruenti, quattro
quadratini congruenti (fig. 13 ):
72
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
Alcuni giochi matematici, antichissimi, consistono nella scomposizione di
figure piane / solide e nel ricomporre la figura di partenza o nell’ottenere
una figura nuova. Il più noto fra questi è il gioco cinese noto come
Tangram: un quadrato composto da sette forme geometriche (pezzi o
tessere), precisamente cinque triangoli rettangoli isosceli, un quadrato e
un parallelogramma (fig.14):
Con i sette pezzi del Tangram è possibile costruire tantissime figure differenti, sia geometriche che di oggetti o animali
(fig.15):
PROVA TU a costruire altre figure, procedendo come segue:
1. prendi un cartoncino;
2. disegna un quadrato con lato a piacere;
3. traccia le diagonali e tutti i segmenti che uniscono i punti medi dei lati del quadrato;
4. colora le parti ottenute, come illustrato in fig. 14 (ovviamente puoi utilizzare altri colori);
5. ritaglia le parti colorate.
….. Hai costruito il tuo TANGRAM!
Per iniziare il lavoro, mescola le tue tessere e cerca di ricostruire il quadrato iniziale. Ce l’hai fatta? Penso proprio di sì.
Procedi, allora, nella costruzione di nuove figure e ….. buon lavoro!
Puoi osservare che le figure ottenute non hanno la stessa forma per cui non sono congruenti ma sono tutte composte con
i sette pezzi dello stesso tangram, cioè dallo stesso numero di parti congruenti. Sono, quindi, tutte figure che, pur diverse
tra loro, risultano equiscomponibili.
73
Geometria - secondo anno
8.3 POLIGONI EQUIVALENTI
Equiscomponibilità fra parallelogrammi
TEOREMA
Due parallelogrammi sono equivalenti se hanno ordinatamente congruenti le basi e le altezze corrispondenti.
Dimostrazione
Mediante un movimento rigido, trasportiamo il parallelogramma EFGI sul parallelogramma ABCD in modo che la base EF
coincida con AB e che i lati GI e CD e siano nello stesso semipiano rispetto alla retta del lato AB. Poiché i due
parallelogrammi hanno le altezze congruenti, i lati CD e GI giaceranno sulla stessa retta (parallela ad AB).
Si distinguono quattro casi:
1° caso) G coincide con C e I coincide con D (fig. 16):
I due parallelogrammi si sovrappongono punto per punto
per cui sono congruenti e quindi equivalenti.
2° caso) I lati CD e GI hanno “una parte” in comune (fig. 17):
Osserviamo che:
- il parallelogramma ABCD è formato dal trapezio ABCI e
dal triangolo AID;
- il parallelogramma ABGI è formato dallo stesso trapezio
ABCI e dal triangolo BGC.
Consideriamo, allora, i triangoli AID e BGC; essi hanno:
AD ≅ BC perché lati opposti del parallelogramma ABCD;
AI ≅ BG
perché lati opposti del parallelogramma ABGI;
DI ≅ CG
perché differenza di segmenti congruenti (DC ≅ IG ∧ IC ≅ IC).
I due triangoli, avendo i tre lati ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 3° criterio di congruenza dei triangoli.
[PROVA TU a dimostrare la congruenza dei triangoli AID e BGC utilizzando, invece, il 1° criterio di congruenza dei triangoli].
Si ha quindi che:
cioè:
3° caso) I lati CD e GI hanno solo un estremo in comune (fig. 18):
Osserviamo che:
- il parallelogramma ABCD è formato dai triangoli ABC e ADC;
- il parallelogramma ABGI è formato dallo stesso triangolo
ABC e dal triangolo BGI.
Consideriamo, allora, i triangoli ADC e BGI; essi hanno:
AD ≅ BC perché lati opposti del parallelogramma ABCD;
AC ≅ BG perché lati opposti del parallelogramma ABGI;
DC ≅ GI
perché …CONTINUA TU……………………………………………………………………………………………
74
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
I due triangoli, avendo ……………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………… .
I parallelogrammi ABCD e ABGI sono ………………………………… e, quindi, ………………………………………….. .
4° caso): I lati CD e GI non hanno punti in comune (fig. 19):
Osserviamo che:
- il parallelogramma ABCD è formato dal trapezio
ATCD e dal triangolo ABT;
- il parallelogramma ABGI è formato dal trapezio
BGIT e dallo stesso triangolo ABT.
Consideriamo i triangoli ADI e BCG; essi hanno:
AD ≅ BC
perché …………………………………………………………………………………………………………….. ;
…………
……………………………………………………………………………………………………………………… ;
…………
……………………………………………………………………………………………………………………… ;
I due triangoli, avendo ……………………………………………………………………………………………………………...
………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
[Osserva che se ai triangoli ADI e BCG “togli” il triangolo ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………].
COROLLARIO
Un parallelogramma è equivalente ad un rettangolo che ha la base e l’altezza rispettivamente congruenti alla base
e all’altezza del parallelogramma.
La conseguenza diretta dal teorema precedente è “visualizzata” nelle figg. 20 e 21:
Illustra le figure al tuo insegnante.
75
Geometria - secondo anno
Equiscomponibilità fra parallelogramma e triangolo
TEOREMA
Un parallelogramma è equivalente ad un triangolo che ha la base congruente alla base del parallelogramma ed
altezza doppia di quella del parallelogramma.
Dimostrazione
Trasportiamo il triangolo EFG sul parallelogramma ABCD in modo che
la base EF coincida con AB (fig. 22):
Conduciamo dal vertice G la parallela GI al lato AD del parallelogramma
ed indichiamo con L ed M, rispettivamente, i punti d’intersezione dei lati
EG e FG con il lato DC (fig. 23):
Poiché:
per ipotesi, si ha:
e
Consideriamo i triangoli ADL e GIL; essi hanno:
AL≅ LG
per precedente osservazione;
DAL≅ LGI
perché angoli alterni interni formati dalle parallele AD e GI
tagliate dalla trasversale AG (“segnare DAL e LGI con il
simbolo ”) ;
ALD≅ GLI
perché angoli opposti al vertice (“segnare ALD e GLI con il
simbolo ”). [fig. 25]:
76
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente
congruenti, sono congruenti per il 2° criterio di congruenza dei triangoli.
Seguendo lo stesso procedimento, si dimostra che sono congruenti i triangoli
BCM e GIM (PROVA TU) [fig. 26]:
Pertanto:
cioè il parallelogramma ABCD e il triangolo ABG, o EFG, sono equicomposti e quindi equivalenti.
C.V.D.
Il teorema può essere formulato nel seguente modo:
Un parallelogramma è equivalente ad un triangolo che ha la stessa altezza del parallelogramma e base doppia di
quella del parallelogramma.
PROVA TU a dimostrarlo.
[suggerimento: il parallelogramma e il triangolo risultano equicomposti nello stesso quadrilatero e in due triangoli tra loro
congruenti].
TEOREMA
Un parallelogramma è equivalente al doppio di un triangolo che ha la stessa base e la stessa altezza del
parallelogramma (fig. 27).
PROVA TU a dimostrarlo.
[suggerimento: il parallelogramma risulta diviso dalla diagonale BD
in due triangoli tra loro congruenti].
Come conseguenza degli ultimi due teoremi si ha il seguente:
TEOREMA
Due triangoli che hanno basi congruenti ed altezze congruenti sono equivalenti.
PROVA TU a dimostrarlo.
[suggerimento: i due triangoli sono ordinatamente equivalenti a parallelogrammi che risultano tra loro equivalenti] .
OSSERVAZIONE:
Dato il triangolo ABC, se conduciamo da C la parallela alla base AB, si ha che gli estremi della base formeranno, con un
qualsiasi punto di tale parallela, triangoli che risultano tutti equivalenti tra loro (teorema precedente). [fig. 28]:
77
Geometria - secondo anno
Equiscomponibilità fra triangolo e trapezio
TEOREMA
Un trapezio è equivalente ad un triangolo avente come base la somma delle basi del trapezio e per altezza la
stessa altezza.
Dimostrazione
Dato il trapezio ABCD (fig. 29):
Prolunghiamo la base AB di un segmento BE ≅ DC
(“segnare BE e DC con il simbolo * ”);
congiungiamo D con E ed indichiamo con F il punto
d’intersezione tra DE e BC [fig. 30]:
Vogliamo dimostrare che:
Consideriamo i triangoli BEF e CDF; essi hanno:
BE≅ CD
per costruzione;
BEF ≅ CDF
perché angoli alterni interni formati dalle
parallele BE e CD con la trasversale DE
(“segnare BEF e CDF con il simbolo ”);
EBF ≅ DCF
perché angoli alterni interni formati dalle
parallele BE e CD con la trasversale BC
(“segnare EBF e DCF con il simbolo ”).
[fig. 31]
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti
ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 2° criterio di
congruenza dei triangoli.
Il trapezio ABCD, formato dal quadrilatero ABFD e dal triangolo CDF, è, quindi, equiscomponibile con il triangolo AED,
formato dallo stesso quadrilatero ABFD e dal triangolo BEF (congruente al triangolo CDF):
Pertanto:
C.V.D.
Equiscomponibilità tra poligono circoscritto e triangolo
TEOREMA
Ogni poligono circoscritto ad una circonferenza è equivalente ad un triangolo che ha per base il perimetro del
poligono e per altezza il raggio della circonferenza inscritta nel poligono. [Senza perdere in generalità, riferiamo il
teorema ad un esagono ABCDEF circoscritto ad una circonferenza di centro O].
Dimostrazione
Congiungiamo ogni vertice dell’esagono
con il centro O della circonferenza ( fig. 32 ):
78
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
Si ottengono tanti triangoli, aventi come base un lato del poligono e per altezza il raggio della circonferenza, per quanti
sono i lati del poligono (“sei”, nel nostro caso).
Riportiamo, poi, su una retta s, consecutivamente, tanti segmenti per quanti sono i lati del nostro poligono, precisamente
i segmenti:
Prendiamo, in uno dei due semipiani individuati dalla retta s, un punto T che abbia distanza da s pari ad un segmento TK
congruente al raggio della circonferenza, cioè TK ≅ OH. Congiungiamo T con gli estremi dei segmenti riportati (fig. 34):
Osserviamo che ognuno dei 6 triangoli ottenuti ha la base congruente ad un lato del poligono e tutti hanno la stessa altezza,
congruente al raggio della circonferenza. Pertanto, si ha che:
Quindi:
perché somma di triangoli equivalenti.
C.V.D.
COROLLARIO
Un poligono regolare è equivalente ad un triangolo che ha la base congruente al perimetro del poligono e l’altezza
congruente all’apotema (del poligono).
PROVA TU a dimostrarlo ( osserva che un poligono regolare è sempre …)
Quanto fatto finora ci permette di confrontare, in termini di equivalenza, alcuni poligoni particolari: parallelogrammi, rettangoli,
triangoli, quadrati, trapezi, poligoni circoscritti, poligoni regolari.
Abbiamo anche visto che è possibile determinare un triangolo equiesteso ad un rettangolo, ad un parallelogramma, ad un
trapezio, ad un poligono circoscritto ad una circonferenza, ad un poligono regolare.
La maggior parte dei teoremi ci ha permesso, quindi, di passare da un particolare poligono di quattro lati ad uno di tre lati,
ad esso equivalente.
E se abbiamo un poligono con un numero generico n di lati?
E, in generale, come si fa a stabilire quando due poligoni qualsiasi sono equivalenti?
Il problema di stabilire se due poligoni qualsiasi sono equivalenti si risolve con un procedimento che generalizza quanto
fatto in precedenza e, precisamente, permette di determinare un triangolo equiesteso a un dato poligono convesso con
un qualsiasi numero di lati.
79
Geometria - secondo anno
8.4 COSTRUZIONE dI POLIGONI EQUIVALENTI
1 Trasformazione di un poligono convesso di n lati (n > 3) in un altro, ad esso equivalente, con n-1 lati, cioè con un lato
di meno.
Sia dato, per esempio, l’esagono convesso ABCDEF (fig. 35):
Fissiamo tre vertici consecutivi, ad esempio C, D, E, e conduciamo,
per il vertice medio D, la retta r parallela alla diagonale EC (fig. 36):
Indichiamo con G il punto d’intersezione della retta del lato BC
con tale parallela e uniamo E con G (fig. 37):
Osserviamo che i triangoli ECD e ECG sono equivalenti in quanto
hanno la stessa base EC e le altezze congruenti perché segmenti
di perpendicolari compresi tra rette parallele.
Ora:
- l’esagono ABCDEF è formato dal pentagono ABCEF
e dal triangolo ECD;
- il pentagono ABGEF è formato dallo stesso pentagono
ABCEF e dal triangolo ECG,
e, poiché i triangoli ECD e ECG sono equivalenti, si ha:
perché somma di figure equivalenti.
Il poligono dato è stato così trasformato in un altro poligono,
ad esso equivalente, e con un lato di meno.
2 Trasformazione di un poligono convesso in un triangolo ad esso equivalente.
Applicando più volte la costruzione descritta al punto 1, si ottiene ogni volta un nuovo poligono, equivalente a quello
precedente, ma con un lato sempre in meno, fino ad avere un triangolo.
3 Trasformazione di un poligono convesso in un rettangolo ad esso equivalente.
Innanzitutto si trasforma il poligono in un triangolo equivalente e, successivamente, il triangolo in un parallelogramma
(teorema pag. 74) e questo in un rettangolo equivalente (teorema pag. 73).
4 Trasformazione di un triangolo in un altro equivalente e con un lato di lunghezza assegnata.
Dato il triangolo ABC, di base AB, si vuole costruire un altro triangolo, ad esso equivalente, con un lato congruente ad
un segmento assegnato DE.
80
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
Escludendo il caso banale in cui AB ≅ DE (in tal caso, il triangolo dato risolve il nostro problema), si possono presentare i
seguenti due casi:
1° caso): AB < DE (fig. 38):
Dimostrazione
Riportiamo sulla semiretta AB, a partire da A, il segmento AF ≅ DE (“segnare AF e DE con il simbolo // ”) [fig. 39]:
Congiungiamo C con F; tracciamo da B la parallela a CF ed indichiamo con G il suo punto d’intersezione con AC. Uniamo,
poi, G con F (fig. 40):
Osserviamo che i triangoli CGB e FGB sono equivalenti
perché hanno la stessa base GB e altezze congruenti in quanto
distanze fra rette parallele.
Analogamente sono equivalenti i triangoli CFB e CFG (PROVA TU).
Pertanto:
ma:
e, quindi:
2° caso) AB > DE (fig. 41):
Dimostrazione
PROVA TU
[Segui il procedimento precedente].
5 Trasformazione di un triangolo in un altro, ad esso equivalente, avente un’altezza assegnata.
PROVA TU [Segui il procedimento di cui al punto 4].
6 Trasformazione di un poligono convesso in un triangolo, ad esso equivalente, avente un lato assegnato
(caso particolare del punto 2). PROVA TU
[Considera un poligono generico e procedi come nel punto 1, fino ad ottenere un triangolo. Trasforma il triangolo in un
altro triangolo, ad esso equivalente, con il lato assegnato (punto 4)].
7 Trasformazione di un poligono convesso in un rettangolo, ad esso equivalente, avente una dimensione (base o altezza)
congruente ad un segmento assegnato (caso particolare del punto 3). PROVA TU
[Considera un poligono generico e, procedendo come nel punto 6, trasforma il poligono in un triangolo con un lato
congruente alla dimensione assegnata per il rettangolo. Costruisci, poi, il rettangolo avente una delle due dimensioni
congruente a quella attribuita al triangolo e l’altra congruente alla metà dell’altezza del triangolo].
81
Geometria - secondo anno
Grazie alle trasformazioni dei poligoni, siamo, ora, in grado di stabilire se due dati poligoni, P1 e P2, sono equivalenti.
Procediamo, infatti, nel seguente modo:
I
Trasformiamo i due poligoni, P1 e P2 , in due triangoli, T1 e T2 , con T1 P1 e T2 P2 ( punto 1-costruzione di poligoni
equivalenti) per cui confrontare i due poligoni equivale a confrontare i due triangoli.
II
Trasformiamo uno dei due triangoli ottenuti, per esempio T1, in un triangolo T'1, ad esso equivalente, con un lato, scelto
come base, congruente alla base di T2 ( punto 4-costruzione di poligoni equivalenti).
III Trasformiamo T'1 e T2 in due rettangoli, R1 ed R2 , aventi per basi le basi congruenti dei due triangoli, con
IV Confrontiamo i due rettangoli R1 ed R2 che, avendo le basi congruenti, possono portare ai seguenti casi:
a) se le due altezze sono congruenti, i due rettangoli sono congruenti e, dunque, equivalenti; di conseguenza, sono
equivalenti i due poligoni;
b) se le due altezze non sono congruenti, i due rettangoli non sono congruenti e, dunque, non sono equivalenti; di
conseguenza, non sono equivalenti i due poligoni.
8.5 I TEOREmI dI PITAGORA E dI EUCLIdE
Negli studi precedenti hai applicato, dal punto di vista numerico, il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide; ora, rivisitiamo
questi teoremi dal punto di vista dell’equivalenza, per poi ritornare sull’espressioni numeriche di tali teoremi.
PRIMO TEOREMA DI EUCLIDE
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni
l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull’ipotenusa.
Riferendoci alla figura, il teorema afferma che il quadrato Q
costruito sul cateto AB è equivalente al rettangolo R i cui lati
sono la proiezione BH del cateto AB sull’ipotenusa e l’ipotenusa
stessa; cioè:
La tesi può anche essere espressa nel modo seguente:
82
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
Dimostrazione
Prolunghiamo il lato FG, dalla parte di G, e indichiamo
con I e J i punti di intersezione di tale prolungamento
rispettivamente con le rette dei lati DB ed EH del rettangolo
(fig. 42):
Consideriamo i triangoli BFI e ABC;
essi hanno:
perché lati del quadrato Q;
BF ≅ AB
BFI≅ BAC
perché entrambi retti;
FBI ≅ ABC
perché complementari dello stesso angolo IBA.
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti
ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 2° criterio
di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli altri
elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
BI≅ BC.
Osserviamo inoltre che il quadrilatero ABIJ è un
parallelogramma perché i lati opposti sono paralleli
per costruzione.
Ora consideriamo il parallelogramma ABIJ
( indicato in figura con P ) e il quadrato ABFG
(indicato in figura con Q) [fig. 43]:
Essi hanno la stessa base AB e la stessa altezza BF
quindi sono equivalenti; cioè:
Anche il rettangolo BDEH ed il parallelogramma ABIJ
sono equivalenti perché hanno le basi BI ≅ BD
( perché ? ) e la stessa altezza BH; cioè:
Per la proprietà transitiva dell’equivalenza delle figure
piane si ha:
C.V.D.
Vale anche il teorema inverso. PROVA TU ad enunciarlo.
83
Geometria - secondo anno
TEOREMA DI PITAGORA
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui
due cateti.
Riferendoci alla figura precedente, il teorema afferma
che il quadrato Q3 costruito sull’ipotenusa BC è
equivalente alla somma del quadrato Q1, costruito
sul cateto AB, e del quadrato Q2, costruito sul
cateto AC; cioè:
La tesi può anche essere espressa nel modo
seguente:
Per dimostrare il teorema prolunghiamo l’altezza
AH dalla parte di H; in questo modo il quadrato Q3
viene diviso in due rettangoli R1 ed R2 (fig. 44):
Per il primo teorema di Euclide si ha che:
e, poiché:
segue che:
C.V.D.
Vale il seguente:
TEOREMA (INVERSO DEL TEOREMA DI PITAGORA)
Se in un triangolo la somma dei quadrati costruiti su due lati è equivalente al quadrato costruito sul terzo lato,
allora il triangolo è rettangolo.
PROVA TU a dimostrarlo.
[suggerimento: costruisci un triangolo rettangolo con i cateti congruenti a due lati del triangolo dato….. teorema di
Pitagora …..].
84
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha
per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Riferendoci alla figura precedente, il teorema afferma che il quadrato Q,
costruito sull’altezza AH relativa all’ipotenusa, è equivalente al rettangolo
che ha per dimensioni le proiezioni CH e BH dei cateti sull’ipotenusa (DH ≅ BH);
cioè:
La tesi può anche essere espressa nel modo seguente:
Per dimostrare il teorema, costruiamo il quadrato di lato AH ed il rettangolo
che ha per dimensioni BH ( proiezione di AB sull’ipotenusa BC)
e BJ ≅ BC (fig. 45):
Ora costruiamo il quadrato Q1 di lato AB e il quadrato Q2
di lato BH (fig. 46):
Per il primo teorema di Euclide, il quadrato Q1 è equivalente
al rettangolo R1 (BJKH), cioè:
Per il teorema di Pitagora applicato al triangolo ABH si ha:
e, di conseguenza, risulta:
Sottraendo ad ambo i membri dell’equivalenza la stessa
figura Q2 si ha:
e, osservando che la differenza di figure che compare
al primo membro è il rettangolo NJKD che indichiamo con F,
si ottiene:
85
Geometria - secondo anno
[vedi fig. 47]:
Le dimensioni del rettangolo F sono:
ma: BJ ≅ BC per costruzione,
e BN ≅ BH perché lati dello stesso quadrato,
per cui possiamo scrivere:
NJ ≅ BC – BH ≅ HC.
Segue che il rettangolo F ha per dimensioni BH e HC
che sono proprio le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
C.V.D.
Vale anche il teorema inverso.
PROVA TU ad enunciarlo.
8.6 ESPRESSIONI mETRICHE dEI TEOREmI dI PITAGORA E dI EUCLIdE
Al fine di un lavoro organico e, ancor di più, per le applicazioni pratiche, anticipiamo, rispetto al tema “la misura delle
grandezze” (oggetto di studio nell’unità successiva), le espressioni metriche dei teoremi di Pitagora e di Euclide.
Sarà necessario richiamare alcuni concetti, come la lunghezza dei segmenti e le aree di poligoni (triangolo, rettangolo,
quadrato …), che hai studiato negli anni precedenti.
In particolare, devi ricordare che la misura di un segmento (lunghezza) e quella di una superficie (area) sono numeri che
esprimono quante volte l’unità di misura scelta, [il metro (m) o il centimetro (cm), per esempio, per la misura di un
segmento; il metro quadrato (m2) o il centimetro quadrato per la misura di una superficie], è contenuta nel segmento o
nella superficie in esame.
Inoltre:
dati i segmenti AB, BC, CD, ….. , le scritture AB, BC, CD, ….. stanno ad indicare, rispetto ad una medesima unità di
misura, le corrispondenti misure dei segmenti.
Vogliamo, quindi, riscrivere le relazioni espresse dal teorema di Pitagora e dai teoremi di Euclide, utilizzando le misure delle
grandezze interessate e tenendo altresì conto che, quando si passa dalle grandezze alle relative misure, le relazioni di
equivalenza si trasformano in uguaglianze.
Riferiamo le nostre osservazioni ad un triangolo ABC, retto in A, e alle relative notazioni riportate in fig. 48:
AB cateto ; AB = c
AC cateto ; AC = b
BC ipotenusa; BC = a
AH altezza relativa all’ipotenusa ; AH = h
BH proiezione del cateto AB sull’ipotenusa ; BH = c'
CH proiezione del cateto AC sull’ipotenusa ; CH = b'
Così, l’enunciato del primo teorema di Euclide assume la forma seguente:
In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito su un cateto è uguale all’area del rettangolo che ha per
dimensioni l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
86
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
O ancora:
In ogni triangolo rettangolo il quadrato della misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa
per la misura della proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
In forma metrica, tale teorema è espresso dalle uguaglianze:
Dal momento che a, b, c, h, b', c' sono numeri reali positivi (rappresentano, infatti, lunghezze), possiamo applicare le regole
del calcolo algebrico, per cui si ha:
(e, ovviamente, si possono applicare le formule inverse).
Così, l’enunciato del teorema di Pitagora assume la forma seguente:
In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati
costruiti sui cateti.
O ancora:
In ogni triangolo rettangolo il quadrato della misura dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati delle misure
dei cateti.
In forma metrica, tale teorema è espresso dalle uguaglianze:
Applicando le regole del calcolo algebrico, si ha:
E ancora:
Così, l’enunciato del secondo teorema di Euclide assume la forma seguente:
In ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è uguale all’area del
rettangolo che ha per dimensioni le proiezione dei cateti sull’ipotenusa.
O ancora:
In ogni triangolo rettangolo il quadrato della misura dell’altezza relativa all’ipotenusa è uguale al prodotto delle
misure delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
In forma metrica, tale teorema è espresso dall’uguaglianza:
Applicando le regole del calcolo algebrico, si ha:
(e, ovviamente, si possono applicare le formule inverse).
Esempio
I cateti d in triangolo ABC, retto in C, misurano 45 cm e 60 cm. Determina il perimetro del triangolo e le proiezioni dei cateti
sull’ipotenusa.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC si ha:
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC si ha:
Per il 1° teorema di Euclide si ha:
(Per calcolare BH si poteva applicare ancora il 1° teorema di Euclide).
87
Geometria - secondo anno
8.7 AREE dEI POLIGONI – AREA dEL CERCHIO
Come il signor X (pag. 67), applichiamo con naturalezza e sicurezza le formule relative all’area dei poligoni e del cerchio,
per poi giustificare in seguito tali formule.
Parallelogramma
Rettangolo
Quadrato
Triangolo
(formula di Erone: conseguenza del teorema di Pitagora – permette di calcolare l’area di un triangolo, note le lunghezze
dei suoi lati)
Rombo
Cerchio
Poligono regolare
88
Trapezio
Poligono circoscritto ad una circonferenza
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
8.8 APPLICAZIONI dEL TEOREmA dI PITAGORA
Triangolo equilatero
Siano:
AB = BC = CA = l ∧ CH = h .
Ricordiamo che nel triangolo equilatero l’altezza CH, relativa ad AB,
è anche mediana di AB (e bisettrice dell’angolo in C) per cui:
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ACH (o BCH), si ha: AC 2 = AH 2 + CH 2
cioè:
da cui:
( BC 2 = HB 2 + CH 2) ;
cioè:
o, anche:
cioè:
Così, l’area del triangolo equilatero, nota la lunghezza del lato, è data da:
cioè:
A questo punto, è utile ritornare sul nostro triangolo equilatero
e osservare le relazioni tra le ampiezze degli angoli e le lunghezze
dei lati nei due triangoli rettangoli in cui il triangolo ABC resta
diviso dall’altezza AH (ovviamente limitiamo le nostre osservazioni
ad uno solo dei due triangoli. Perché?) [fig. 49]:
Osserviamo che il triangolo ACH, retto in H, ha gli angoli acuti di 30°
e 60° (fig. 50):
Si ha che:
- il cateto opposto all’angolo di 30° è la metà dell’ipotenusa;
- il cateto opposto all’angolo di 60° è la metà dell’ipotenusa
per √ 3 (il che è lo stesso dire che il cateto opposto all’angolo di 60°
è uguale al cateto opposto all’angolo di 30° per √ 3 ).
Queste relazioni e le relazioni inverse sono applicate nei
problemi in cui vi sono figure con angoli di 30°, 60°, 90° , 120°
(ovviamente tali figure possono essere ottenute anche con opportune
costruzioni).
89
Geometria - secondo anno
Risolviamo, quindi, alcuni problemi relativi a triangoli rettangoli con gli angoli acuti di 30° e 60° (in tali problemi è stato
cerchiato l’elemento noto). Nelle figg. 51, 52 e 53 è rappresentato il triangolo PQR che è la metà di un triangolo equilatero.
Esaminiamo i vari casi:
1. Nota la lunghezza dell’ipotenusa:
Si ha:
2. Nota la lunghezza del cateto opposto all’angolo di 30°:
Si ha:
3. Nota la lunghezza del cateto opposto all’angolo di 60°:
Si ha:
COMPLETA la risoluzione del seguente problema:
Sia dato il triangolo ABC, retto in B e con gli angoli acuti di 30° e 60°:
Sapendo che AB = 12 cm, determina il perimetro del triangolo.
Si ha:
AC = 2 · AB = 2 · 12 cm = 24 cm (ricorda che il cateto opposto all’angolo di 30° è ……… );
BC = …….
quindi: 2p = AB + BC + AC = (12 + ….. + 24) cm = …….. cm .
PROVA TU a formulare e a risolvere un problema sui triangoli rettangoli, con gli angoli acuti di 30° e di 60°, per ciascuno
dei seguenti tre casi:
1°. nota la lunghezza dell’ipotenusa;
2°. nota la lunghezza del cateto opposto all’angolo di 30°;
3°. nota la lunghezza del cateto opposto all’angolo di 60°.
Dopo aver “risolto” ogni triangolo, determinane perimetro e area.
90
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
Quadrato
Siano: AB = BC = CD = DA = l
AC = d
La diagonale AC divide il quadrato in due triangoli rettangoli congruenti.
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ABC (o ACD), si ha:
cioè:
da cui:
o, anche:
E' utile osservare le relazioni tra le ampiezze degli angoli e le lunghezze
dei lati nei due triangoli rettangoli in cui ciascuna diagonale divide il quadrato
(ovviamente, anche questa volta, limitiamo le nostre osservazioni ad uno solo
dei due triangoli. Perché?) [fig. 54]:
Il triangolo ABC, retto in B, ha gli angoli acuti di 45° (fig. 55):
Osserviamo che:
- la lunghezza della diagonale è data dal prodotto della lunghezza del lato per √ 2 ;
- la lunghezza del lato è data dal rapporto tra la lunghezza della diagonale e √ 2 .
Queste relazioni si utilizzano nei problemi in cui vi sono figure con angoli
di 45°, 90° e 135° (l’angolo di 135° è il supplementare di 45°): tali figure possono
essere ottenute anche con opportune costruzioni.
Risolviamo, ora, alcuni problemi relativi a triangoli rettangoli con gli angoli acuti di 45° (in tali problemi è stato cerchiato
l’elemento noto). Nelle figg. 56 e 57 è rappresentato un triangolo PQR, rettangolo isoscele, che è la metà di un quadrato
(vedi fig. 54).
Esaminiamo i vari casi:
1. Nota la lunghezza dei cateti (lati del nostro quadrato, come da fig. 54) :
Si ha:
2. Nota la lunghezza dell’ipotenusa (diagonale del nostro quadrato,
come da fig. 54):
Si ha:
91
Geometria - secondo anno
PROVA TU a formulare e a risolvere un problema sui triangoli rettangoli con gli angoli acuti di 45°, per ciascuno dei seguenti
due casi:
1. nota la lunghezza dei cateti;
2. nota la lunghezza dell’ipotenusa.
Dopo aver “risolto” ogni triangolo, determina perimetro e area.
PROVA TU a risolvere i seguenti problemi:
a) Relativamente alla figura a lato e ai dati riportati, determina il perimetro
e l’area del triangolo ABC.
b) Determina l’area di un triangolo isoscele che ha l’angolo al vertice di 135°
e il lato che misura 13 √ 2 cm .
c) Determina il perimetro di un quadrato che ha la diagonale di 28 cm .
8.9 RELAZIONI TRA I LATI dEI POLIGONI REGOLARI E I RAGGI dELLE CIRCONFERENZE
INSCRITTE E CIRCOSCRITTE
Triangolo equilatero inscritto in una circonferenza
Sia dato un triangolo equilatero ABC inscritto in una circonferenza di centro O e raggio r (fig. 58):
E' possibile risolvere il triangolo, nota la misura del raggio
della circonferenza circoscritta.
Congiungiamo il centro della circonferenza con i vertici del
triangolo equilatero, ottenendo, così, tre triangoli isosceli
con un angolo al vertice di 120° (360° : 3 = 120°).
Tracciamo, poi, da O, le altezze (che risultano anche mediane
e bisettrici), che formeranno sei triangoli tra loro congruenti (fig. 59):
Consideriamo uno di questi sei triangoli, ad esempio AHO,
triangolo che, per maggiore chiarezza, rappresentiamo ingrandito
(fig. 60):
Si ha:
perché raggio della circonferenza circoscritta;
perché l’altezza CH è bisettrice dell’angolo AOB (120° : 2 = 60°);
perché OH è l’altezza del triangolo AOB .
Il triangolo AOH ha gli angoli di 30° , 60° , 90° per cui, nota la misura del lato
AO = r, si ha:
92
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
Si ha, quindi [fig. 61]:
Nota la misura del lato l del triangolo equilatero, si può trovare il valore
del raggio della circonferenza circoscritta (fig. 62):
(completa tu, eventualmente, la figura)
Infatti, (fig. 59) da:
Triangolo equilatero circoscritto ad una circonferenza
Sia dato un triangolo equilatero ABC circoscritto ad una circonferenza di centro O e raggio r (fig. 63):
Tracciamo dal centro O della circonferenza le perpendicolari ai lati
del triangolo equilatero e congiungiamo O con i vertici del triangolo,
ottenendo, così, i triangoli ABO, BCO e CAO.
Osserviamo che le altezze di questi triangoli sono anche mediane
(perché?) e, quindi, i tre triangoli risultano isosceli e con gli angoli al
vertice di 120° (360° : 3 = 120°) [fig. 64]:
Il triangolo dato si può considerare scomposto in sei triangoli,
tutti congruenti tra loro ( le metà dei tre triangoli isosceli di cui in precedenza).
Consideriamo uno di questi sei triangoli, ad esempio AHO, triangolo che,
per maggiore chiarezza, rappresentiamo, ingrandito (fig. 65):
Si ha:
perché raggio della circonferenza circoscritta;
perché l’altezza OH è bisettrice dell’angolo AOB (120° : 2 = 60°);
perché OH è l’altezza del triangolo AOB .
Il triangolo AOH ha gli angoli di 30° , 60° , 90° per cui si ha:
93
Geometria - secondo anno
Si ha, quindi [fig. 66]:
Nota la misura del lato l del triangolo equilatero, si può trovare il valore
del raggio della circonferenza inscritta (fig. 67):
fig. 66
Infatti:
cioè:
fig. 67
Quadrato inscritto in una circonferenza
Sia dato il quadrato ABCD inscritto in una circonferenza di centro O e raggio r (fig. 68):
E' possibile risolvere il quadrato, nota la misura del raggio della circonferenza
circoscritta.
Basta osservare che ciascuna delle due diagonali del quadrato è un diametro
della circonferenza (fig. 69):
fig. 68
Per cui:
Inoltre, i quattro triangoli in cui le due diagonali dividono il quadrato sono
congruenti – perché? – per cui hanno gli angoli di vertice O di 90°.
Applicando, pertanto, il teorema di Pitagora ad uno di tali triangoli,
per esempio al triangolo AOB, si ha:
cioè:
fig. 69
Pertanto:
Nota la misura del lato l del quadrato, si può trovare il valore del raggio
della circonferenza circoscritta (fig. 70):
(completa tu la figura)
Qui applichiamo la formula inversa:
94
fig. 70
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
Quadrato circoscritto ad una circonferenza
Sia dato il quadrato ABCD circoscritto ad una circonferenza di centro O e raggio r (fig. 71):
E' possibile risolvere il quadrato, nota la misura del raggio della circonferenza
circoscritta. Basta osservare che il diametro della circonferenza corrisponde
al lato del quadrato (fig. 72):
Si ha, infatti:
fig. 71
fig. 72
Nota la misura del lato l del quadrato, si può trovare il valore del raggio
della circonferenza inscritta (fig. 73):
(completa tu, eventualmente, la figura)
Applichiamo ancora la formula inversa:
fig. 73
Esagono regolare inscritto in una circonferenza
Sia dato l’esagono regolare ABCDEF inscritto ad una circonferenza di centro O e raggio r (fig.74):
E' possibile risolvere l’esagono, nota la misura del raggio della circonferenza
circoscritta. Basta congiungere il centro della circonferenza con i vertici
dell’esagono ed osservare che si ottengono sei triangoli equilateri (fig. 75):
fig. 74
fig. 75
95
Geometria - secondo anno
Consideriamo uno di questi sei triangoli equilateri, ad esempio ABO, triangolo che, per maggiore chiarezza, rappresentiamo,
ingrandito. Il triangolo resta diviso dall’altezza OH, apotema dell’esagono, in due triangoli rettangoli con gli angoli acuti di
30° e 60° (fig. 76):
Giustifica tu la fig. 76 e che, di conseguenza, risulta:
Esagono regolare circoscritto ad una circonferenza
Sia dato l’esagono regolare ABCDEF circoscritto ad una circonferenza di centro O e raggio r (fig.77):
E' possibile risolvere l’esagono, nota la misura del raggio della
circonferenza inscritta.
Basta congiungere il centro della circonferenza con i vertici
dell’esagono ed osservare che si ottengono sei triangoli equilateri
(fig. 78):
Consideriamo uno di questi sei triangoli equilateri, ad esempio
ABO, triangolo che, per maggiore chiarezza, rappresentiamo,
ingrandito. Tale triangolo resta diviso dall’altezza OH, apotema
dell’esagono, in due triangoli rettangoli con gli angoli acuti
di 30° e 60° (fig. 79):
Giustifica tu la fig. 79 e che, di conseguenza, risulta:
Nota la misura del lato l dell’esagono regolare, si può trovare
il valore del raggio della circonferenza circoscritta (fig. 80):
Verifica tu che risulta:
96
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
ESERCIZI UNITÀ 8 - L’EQUIVALENZA dEI POLIGONI
Conoscenza e comprensione
1) Dai la definizione di estensione di una figura.
2) Cosa vuol dire che due figure hanno la stessa estensione?
3) Cosa vuol dire che due figure sono equiestese?
4) Quale simbolo usi per indicare che due figure sono equiestese?
5) La relazione di equiestensione fra figure del piano è una relazione di equivalenza? Giustifica la tua risposta.
6) Che cosa si intende per area di una figura?
7) Se F1 e F2 sono due figure del piano, come definisci la loro somma? E la loro differenza?
8) Cosa significa che due figure sono equiscomponibili?
9) Quali delle seguenti figure sono equiscomponibili?
10) Disegna tre figure equicomposte alla figura A:
fig. A
11) Vero o falso?
a) Due figure congruenti sono equiestese.
b) Due figure non congruenti non sono equiestese.
c) Due figure equiestese sono sempre equiscomponibili.
d) Due figure equiscomponibili sono sempre equiestese.
e) Due figure che hanno la stessa area sono equiscomponibili.
f) Due figure equicomposte sono congruenti.
g) Due figure somma di figure equiestese, sono equiestese.
h) Due figure somma di figure congruenti sono congruenti.
i) Due figure somma di figure congruenti sono equicomposte.
q
q
q
q
q
q
q
q
q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
q
q
q
q
q
q
q
q
q
F
F
F
F
F
F
F
F
F
12) Una sola delle seguenti affermazioni è vera; quale?
a) Due parallelogrammi aventi congruenti due lati consecutivi sono equiestesi.
b) Un rettangolo ed un parallelogramma aventi le basi congruenti sono equiestesi.
c) Un rettangolo ed un triangolo sono equiestesi se hanno basi congruenti e l’altezza del rettangolo è congruente alla
metà dell’altezza del triangolo.
d) Un quadrato ed un triangolo non possono mai essere equiestesi.
e) Un rombo ed un quadrato aventi lati congruenti sono equiestesi.
97
Geometria - secondo anno
13) Un parallelogramma è equiesteso ad un quadrato ed il lato del quadrato è congruente alla base del parallelogramma.
Cosa puoi dire dell’altezza del parallelogramma?
14) Un triangolo ed un parallelogramma sono equiestesi e la base del parallelogramma è la metà di quella del triangolo.
Cosa puoi dire delle loro altezze?
15) Due triangoli sono equiestesi e le loro basi sono congruenti; cosa puoi dire delle loro altezze?
16) Un triangolo ed un rettangolo sono equiestesi, inoltre la base del triangolo è doppia di quella del rettangolo. Una sola
delle seguente affermazioni è vera. Quale?
a) L’altezza del triangolo è congruente all’altezza del rettangolo.
b) L’altezza del rettangolo è doppia di quella del triangolo.
c) L’altezza del rettangolo è la metà di quella del triangolo.
d) L’altezza del triangolo e quella del rettangolo non sono confrontabili.
e) L’altezza del triangolo è il triplo di quella del triangolo.
17) Un trapezio ed un triangolo sono equiestesi e le loro altezze sono congruenti. Cosa puoi dire della base del triangolo?
18) Un parallelogramma ed un trapezio sono equiestesi e le loro altezze sono congruenti. Stabilisci se le seguenti
affermazioni sono vere o false.
a) La somma delle basi del trapezio è congruente alla base del parallelogramma.
q V
q F
b) La differenza delle basi del trapezio è congruente alla base del parallelogramma.
q V
q F
c) La somma delle basi del trapezio è congruente alla metà della base del parallelogramma.
q V
q F
d) La somma delle basi del trapezio è congruente al doppio della base del parallelogramma.
q V
q F
e) La differenza delle basi del trapezio è congruente al doppio della base del parallelogramma.
q V
q F
19) Un pentagono regolare ed un triangolo sono equiestesi ed il lato del pentagono regolare è la quinta parte della base
del triangolo. Che cosa puoi dire dell’apotema del pentagono regolare e dell’altezza del triangolo?
20) Un quadrato ed un esagono regolare sono equiestesi ed il lato del quadrato è congruente all’apotema dell’esagono.
Una sola delle seguente affermazioni è vera. Quale?
a) Il lato dell’esagono regolare è la sesta parte del lato del quadrato.
b) Il lato del quadrato è il doppio del lato dell’esagono regolare.
c) Il lato del quadrato è il triplo del lato dell’esagono regolare.
d) Il lato del’esagono regolare è il triplo del lato del quadrato.
e) Il lato dell’esagono regolare è il doppio del lato del quadrato.
21) Nella seguente figura MNPQ è un rettangolo e PR è un segmento parallelo a QN.
Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false:
a) Il triangolo NPR è equiesteso al triangolo QNM.
b) Il quadrilatero MNTQ è equiesteso al quadrilatero QNPR.
c) Il rettangolo MNPQ è equiesteso al quadrilatero QRPN.
d) Il triangolo QTR è equiesteso al triangolo QTN.
e) Il triangolo MNR è equiesteso al quadrilatero QNPR.
f) L’area del triangolo NPT è metà dell’area del triangolo QRP.
g) L’area del quadrilatero NQRP è quattro volte l’area del triangolo TRP.
h) L’area del triangolo MNQ è la metà dell’area del quadrilatero QNPR.
98
q
q
q
q
q
q
q
q
V
V
V
V
V
V
V
V
q
q
q
q
q
q
q
q
F
F
F
F
F
F
F
F
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
22) Come procedi per trasformare un poligono di n lati in un altro ad esso equiesteso con n – 1 lati?
23) Trasforma il quadrilatero ABCD nel triangolo APB ad esso equiesteso.
24) Che cosa afferma il I teorema di Euclide?
25) Che cosa afferma il Teorema di Pitagora?
26) Che cosa afferma il II teorema di Euclide?
27) Le diagonali di un quadrilatero sono fra loro perpendicolari e P è il loro punto d’intersezione.
Una sola delle seguente affermazioni è vera. Quale?
a) La somma dei quadrati costruiti su due lati consecutivi è equiestesa alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati.
b) La somma dei quadrati costruiti su due lati opposti è equiestesa alla somma dei quadrati costruiti sugli altri due lati.
c) Il rettangolo che ha per dimensioni i segmenti in cui una diagonale resta divisa dal punto P è equiesteso al rettangolo
che ha per dimensioni i segmenti in cui l’altra diagonale resta divisa dal punto P.
d) Ciascuna diagonale divide il quadrilatero in due triangoli equiestesi.
e) I triangoli rettangoli in P e aventi come ipotenusa i lati opposti del quadrilatero sono equiestesi.
f) Ciascuna diagonale divide il quadrilatero in due triangoli in ciascuno dei quali si può applicare il teorema di Pitagora.
28) Nella seguente figura è rappresentato un triangolo retto in B; quale delle seguenti affermazioni è falsa?
29) Il lato di un triangolo equilatero misura 6 cm.
Una sola, fra le seguenti, è la misura del raggio della circonferenza circoscritta al triangolo. Quale?
30) Il lato di un triangolo equilatero misura 8 cm. Una sola, fra le seguenti, è la misura del raggio della circonferenza inscritta
nel triangolo. Quale?
99
Geometria - secondo anno
31) Vero o Falso?
a) La diagonale di un quadrato inscritto in una circonferenza è il doppio
del raggio della circonferenza.
b) La misura della superficie di un quadrato inscritto in una circonferenza
è il doppio del quadrato del raggio.
c) In un triangolo rettangolo un angolo è di 60°; il lato che si oppone a tale angolo
è la metà dell’ipotenusa per la √2.
d) In un triangolo rettangolo un angolo è di 30°; il lato che si oppone a tale angolo
è la metà dell’ipotenusa.
e) In un triangolo rettangolo con un angolo è di 45° l’ipotenusa è il doppio di uno
dei cateti.
f) Il raggio di una circonferenza circoscritta ad un triangolo è la quarta parte del
quoziente fra il perimetro del triangolo e la sua superficie.
g) Il raggio di una circonferenza inscritta in un triangolo è uguale al quoziente fra
la superficie del triangolo ed il semiperimetro.
h) Il raggio di un circonferenza circoscritta ad un esagono regolare è la sesta parte
del perimetro dell’esagono.
q
V
q
F
q
V
q
F
q
V
q
F
q
V
q
F
q
V
q
F
q
V
q
F
q
V
q
F
q
V
q
F
32) Un quadrato di lato 2 cm è inscritto in una circonferenza.
Una sola, fra le seguenti, è la misura dell’altezza del segmento circolare che per base il lato del quadrato. Quale?
Costruzioni
1) Riproduci il triangolo ABC in figura
e costruisci un parallelogramma ad esso equivalente.
2) Riproduci il triangolo PQR in figura
e costruisci un rettangolo ad esso equivalente.
3) Trasforma il triangolo ABC in figura in un altro,
ad esso equivalente, di base DE indicata.
4) Trasforma il triangolo PQR in figura in un
altro, ad esso equivalente, di base ST
indicata.
100
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
5) Trasforma il quadrato ABCD in figura in un rettangolo,
ad esso equivalente, di base EF assegnata.
6) Trasforma il quadrato PQRS in figura in un rettangolo,
ad esso equivalente, di base AB assegnata.
7) Dato un segmento AB, prendi su di esso un punto P in modo che il rettangolo avente per dimensioni AP e PB sia
equivalente ad un quadrato di lato l . [suggerimento: traccia la semicirconferenza di diametro …..]
8) Riproduci, sul tuo quaderno, il poligono ABCDE in figura e
trasformalo in un rettangolo equivalente.
9) Disegna un triangolo qualsiasi e trasformalo in un triangolo rettangolo isoscele, ad esso equivalente.
[suggerimento: costruisci il rettangolo doppio del triangolo e, poi, trasformalo in un quadrato, la cui metà …..]
Problemi
1) Dato il triangolo ABC, traccia la mediana CM relativa al lato AB. Dimostra che i triangoli ACM e BCM sono equivalenti.
2) Sia dato un triangolo ABC. Dimostra che ciascuna mediana divide il triangolo in due triangoli equivalenti.
3) Dato un triangolo ABC, conduci le tre mediane AM, BN, CP e dimostra che il triangolo viene diviso in sei triangoli
equivalenti. [suggerimento: problema 2)]
4) Dato il parallelogramma ABCD, sia DH l’altezza relativa al lato AB. Dopo aver prolungato DH di un segmento
HK ≅ DH, dimostra che il quadrilatero ADBK è equivalente al parallelogramma dato.
5) Dato il triangolo ABC, retto in C, sia M il punto medio dell’ipotenusa AB. Conduci da M le perpendicolari MH e MK
rispettivamente ai cateti AC e BC. Dimostra che il quadrilatero CHMK è equivalente alla somma dei triangoli AMH e
MBK.
6) Dato il parallelogramma PQRS, conduci le diagonali PR e QS. Dimostra che tali diagonali dividono il parallelogramma
in quattro triangoli tra loro equivalenti.
7) Dato il parallelogramma ABCD, siano M, N, P, Q i punti medi dei suoi lati. Dimostra che il parallelogramma ABCD è
equivalente al doppio del quadrilatero MNPQ. [suggerimento: Il quadrilatero MNPQ è un ……..... ; traccia i segmenti
MP e NQ ……]
8) Dato il triangolo ABC, siano M ed N i punti medi rispettivamente dei lati AB e BC. Conduci da C la parallela al lato AB
ed indica con P il suo punto d’intersezione con la retta MN. Dimostra che il triangolo ABC è equivalente al
parallelogramma AMPC.
101
Geometria - secondo anno
9) Dato il quadrilatero ABCD, traccia dai suoi vertici le parallele alle diagonali AC e BD. Dimostra che il quadrilatero ottenuto,
EFGH, è equivalente al doppio del quadrilatero dato
10) Dato il parallelogramma ABCD, indica con M il punto medio del lato AD. Traccia, poi, la semiretta BM che incontra in
E la retta CD. Dimostra che il parallelogramma ABCD è equivalente al triangolo BCE.
11) Siano M ed N i punti medi rispettivamente dei lati obliqui AD e BC del trapezio ABCD. Indicato con P il punto medio
del segmento MN, dimostra che i triangoli APD e BPC sono equivalenti.
12) Sia dato il triangolo ABC, isoscele sulla base AB. Indica con M ed N i punti medi rispettivamente di AC e BC. Detto P
il punto medio del segmento MN, traccia da P:
- la retta r parallela ad AC, che incontra i lati AB e BC rispettivamente nei punti E ed F;
- la retta s parallela a BC, che incontra i lati AB e AC rispettivamente nei punti G ed I.
Dimostra che i quadrilateri AEPI e BGPF sono equivalenti.
13) Dato il rettangolo ABCD, sia M il punto medio di CD. Detti E ed F i punti medi rispettivamente di DM e CM, traccia le
semirette AE e BF ed indica con G il loro punto d’intersezione. Dimostra che il quadrilatero ABCD è equivalente al
triangolo ABG.
14) Dato il parallelogramma ABCD, traccia la diagonale AC e prendi su di essa un punto P. Conduci da P le parallele ai lati
del parallelogramma e dimostra che si ottengono quattro parallelogrammi tra cui due sono equivalenti.
15) Dato il trapezio ABCD, indica con M ed N i punti medi rispettivamente dei lati AD e BC.
Conduci da M e da N, rispettivamente, le rette r ed s perpendicolari alle rette delle basi e siano:
- P e P' le intersezioni di r rispettivamente con le rette AB e CD;
- Q e Q' le intersezioni di s rispettivamente con le rette AB e CD.
Dimostra che il rettangolo PQQ' P' è equiesteso al trapezio dato.
16) Dato il quadrilatero ABCD, conduci la sua diagonale AC. Indicato con M il punto medio di AC, unisci M con i vertici B e D.
Dimostra che i quadrilateri ABMD e BCDM sono equivalenti.
17) Dato il parallelogramma ABCD, sia O il punto d’intersezione delle diagonali AC e BD. Dal punto
O traccia una retta r che incontra i lati opposti AB e DC nei punti E ed F rispettivamente.
Dimostra che i quadrilateri AEFD e CFEB sono equiscomponibili.
18) Dato il parallelogramma PQRS, prolunga:
- il lato PQ, dalla parte di P, di un segmento PT ≅ PQ;
- il lato QR, dalla parte di R, di un segmento RU ≅ QR.
Dimostra che i quadrilateri PRST e PRUS sono equivalenti.
19) Dato il triangolo ABC, conduci le mediane AM e CN. Dimostra che i triangoli ACM e ACN sono equivalenti.
20) Siano dati un parallelogramma ABCD e un suo punto interno P. Unisci P con i quattro vertici del parallelogramma e
dimostra che la somma dei due triangoli aventi come basi due lati opposti è equivalente alla somma degli altri due
triangoli. [suggerimento: conduci da P le parallele ai lati …]
21) Dato il quadrato ABCD, dimostra che esso è equivalente alla metà del quadrato costruito su una sua diagonale.
22) Dato il parallelogramma ABCD, conduci la diagonale AC e prendi sul lato DC un punto qualsiasi P.
Unisci i vertici A e B con il punto P.
Dimostra che:
1) i triangoli ABC, ABP e ACD sono equivalenti;
2) il parallelogramma ABCD è equivalente al doppio del triangolo ABP.
23) Dato il quadrato ABCD, conduci la diagonale AC e prendi su di essa un punto E. Traccia da E due rette r ed s, parallele
rispettivamente ad AB e ad AD e sia:
- r ∩ AD = {F} , r ∩ BC = {F};
- s ∩ AB = {H} , s ∩ DC = {I}.
Dimostra che i quadrilateri HBGE e DFEI sono rettangoli tra loro equivalenti.
24) Dimostra che sono equivalenti due triangoli che hanno due lati rispettivamente congruenti e supplementari gli angoli
fra essi compresi. [suggerimento: fai in modo che i due angoli supplementari siano adiacenti ……. ]
102
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
25) Dato il triangolo ABC, siano M ed N i punti medi rispettivamente dei lati AC e BC. Dimostra che il quadrilatero ABNM
è equivalente al triplo del triangolo CMN. [suggerimento: congiungi M ed N con il punto medio ….. ]
26) Dimostra che, unendo i punti medi dei lati di un rombo, si ottiene un rettangolo equivalente a metà del rombo dato.
27) Dato un triangolo ABC, costruisci sui suoi lati i quadrati ABDE, BCFG, ACHI.
Unisci gli estremi dei lati dei quadrati che escono da una stesso vertice del triangolo
(figura a lato) e dimostra che i triangoli AIE, DBG, FCH sono equivalenti al triangolo dato.
[suggerimento: confronta ogni triangolo con il triangolo ABC (problema 24))]
28) Siano dati un triangolo ABC e due punti D ed E, interni al lato BC, tali che BD ≅ DE≅ CE.
Traccia i segmenti AD e AE ed indica con M ed N i rispettivi punti medi.
Dimostra che il quadrilatero DENM è equivalente alla quarta parte del triangolo ABC. [suggerimento: problema 25)]
29) Sia dato il quadrilatero ABCD circoscritto ad una circonferenza di centro O. Unisci O con i vertici del quadrilatero e
dimostra che:
[suggerimento: teorema sui quadrilateri circoscritti …..]
30) Dato un quadrilatero ABCD, siano M ed N i punti medi rispettivamente dei lati opposti AB e DC.
Congiungi ciascuno dei punti M ed N con uno dei vertici dei rispettivi lati opposti, in modo che i due segmenti non si
intersechino. Dimostra che il quadrilatero AMCN (o MBND) è equivalente alla metà del quadrilatero ABCD.
[suggerimento: traccia la diagonale AC ( o BD) …..]
31) Dato il parallelogramma ABCD, sia P un suo punto interno. Congiungi P con i vertici del parallelogramma e dimostra che:
[suggerimento: conduci da P le parallele ai lati …..]
32) Sia dato il quadrilatero ABCD con le diagonali AC e BD tra loro perpendicolari. Dimostra che:
Primo teorema di Euclide
33) Sia data la circonferenza Γ di centro O e diametro AB. Da un punto P di Γ conduci la perpendicolare PH al diametro AB.
Dimostra che:
34) Sia data una circonferenza Γ di centro O. Detto AB un suo diametro, siano:
- r una retta condotta da B tale che r ∩ Γ = {B , C};
- t la tangente in A a Γ;
- {D}= r ∩ t .
Conduci da C le distanze CH e CK rispettivamente ad AB e alla retta t. Dimostra che:
35) Dato un triangolo ABC, conduci l’altezza CH relativa alla base AB ed indica con K e T le proiezioni ortogonali di H
rispettivamente sui lati AC e BC. Dimostra che:
36) Sia dato un trapezio rettangolo ABCD, con la diagonale minore AC perpendicolare al lato obliquo BC.
Dimostra che:
37) Siano date una circonferenza Γ di centro O ed una corda AB, non passante per il centro. Condotto il diametro AC, indica
con H la proiezione di B su AC. Dimostra che:
103
Geometria - secondo anno
38) Un trapezio ABCD, di base maggiore AB, è circoscritto ad una circonferenza di centro O. Unisci gli estremi del lato obliquo
BC con il centro della circonferenza ed indica con H il piede della perpendicolare condotta da O al lato obliquo.
Dimostra che:
Teorema di Pitagora
39) Sia dato il quadrilatero ABCD con le diagonali AC e BD tra loro perpendicolari.
Dimostra che:
40) Dato un rettangolo ABCD, costruisci un triangolo DCE esterno al rettangolo.
Dimostra che:
[suggerimento: conduci dal punto E P la perpendicolare ai lati …..].
41) Sia dato un trapezio rettangolo ABCD con la diagonale minore AC perpendicolare al lato obliquo BC. Dimostra che il
quadrato costruito sulla base maggiore AB è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sugli altri tre lati del trapezio.
42) Dato un triangolo rettangolo isoscele, dimostra che il quadrato costruito su un cateto è equivalente alla metà del quadrato
costruito sull’ipotenusa.
43) Sia dato il triangolo PQR, retto in R e con RQ > RP. Dopo aver condotto l’altezza RT,
dimostra che:
44) Dato un quadrato ABCD, sia P un suo punto interno. Unisci P con i vertici
del quadrato e conduci da P le distanze dai lati del quadrato (figura a lato).
Dimostra che la somma dei quadrati costruiti sulle distanze di P dai vertici
è doppia della somma dei quadrati costruiti sulle distanze di P dai lati del
quadrato.
45) Dato il quadrato PQRS, dimostra che il quadrato costruito sulla diagonale
PR è doppio del quadrato dato.
46) Sia dato un triangolo ABC con gli angoli in A ( ≅ α) e in B ( ≅ β) acuti e tali
che α < β. Conduci l’altezza CH relativa al lato AB (figura a lato).
Dimostra che:
Secondo teorema di Euclide
47) Siano dati un trapezio isoscele ABCD e la circonferenza Γ in essa inscritta. Dimostra che il quadrato costruito sul diametro
di Γ è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le basi del trapezio.
48) Dato un triangolo rettangolo ABC, sia CH l’altezza relativa all’ipotenusa AB. Dimostra che:
49) Sia dato il trapezio isoscele ABCD, di base maggiore AB e base minore CD, circoscritto ad una circonferenza di centro O
e raggio r. Dimostra che:
50) In una circonferenza Γ, di centro O, traccia una corda AB e il diametro CD perpendicolare alla corda. Detto M il punto
d’intersezione di CD e AB, dimostra che:
51) Data una circonferenza Γ di centro O e diametro AB, sia CD una corda perpendicolare ad AB.
Detto E il punto d’intersezione di AB e CD, dimostra che il quadrato costruito su CD è equivalente al quadruplo del rettangolo
che ha per dimensioni AE e BE.
104
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
52) Utilizzando il secondo teorema di Euclide, costruisci un quadrato equivalente ad un rettangolo assegnato.
[suggerimento: prolunga una dimensione del rettangolo di un segmento congruente all’altra dimensione; prendi il
punto medio O ….. traccia la semicirconferenza di centro ….. ]
53) Data una semicirconferenza di centro O e diametro AB, prendi un punto P su di essa e siano r, s e t le tangenti alla
semicirconferenza condotte rispettivamente da A, B e P.
Se:
r ∩ t ={R};
s ∩ t ={Q},
dimostra che:
Problemi di riepilogo sull’equivalenza
54) Dato un triangolo equilatero ABC, dimostra che il quadrato costruito sull’altezza è equivalente al triplo del quadrato costruito
su metà lato. [suggerimento: costruisci il quadrato su un lato del triangolo e dividilo in …..]
55) Sia data una circonferenza Γ di centro O e diametro AB. Considera un punto P di Γ e traccia la perpendicolare PH ad AB.
Dimostra che si ha:
56) Siano dati un rettangolo ABCD ed un punto P interno ad esso. Unisci P con i vertici del rettangolo e dimostra che:
57) Sia dato un triangolo ABC, retto in C. Prendi sui cateti AC e BC rispettivamente i punti D ed E e dimostra che:
58) Dato il triangolo ABC, sia M il punto medio del lato AC. Traccia da M la retta r parallela ad AB e da B la retta s parallela ad
AC. Detto N il punto d’intersezione delle rette r ed s, dimostra che:
59) Sia dato un trapezio isoscele ABCD. Condotta l’altezza DK relativa alla base maggiore AB, dimostra che:
60) Sia dato un parallelogramma ABCD in cui la diagonale BD è perpendicolare al lato AD. Dimostra che:
61) Dato il parallelogramma ABCD, prolunga il lato AB, dalla parte di A, di un segmento AE ≅ AB e il lato BC, dalla parte di C,
di un segmento CF ≅ BC. Dimostra che i quadrilateri EACD e ACFD sono equivalenti.
62) Siano dati una circonferenza Γ di centro O ed un punto P esterno a Γ. Conduci da P una delle due tangenti alla circonferenza
ed indica con A il punto di tangenza. Traccia il diametro AB e il segmento BP che interseca Γ nel punto C.
Dimostra che:
63) Dato un trapezio ABCD, di base maggiore AB e base minore CD, indica con M ed N i punti medi rispettivamente dei lati
AD e BC. Dimostra che:
64) Relativamente alla seguente figura, dimostra che, dati due segmenti a e b, si ha:
La relazione data è l’interpretazione geometrica di un particolare prodotto notevole. Di quale?
105
Geometria - secondo anno
65) Relativamente alla seguente figura, dimostra che, dati due segmenti a e b, con a > b,
si ha:
Problemi sulle aree dei poligoni.
Espressioni metriche dei teoremi di Pitagora e di Euclide.
66) Sia dato un trapezio rettangolo ABCD con la base maggiore AB di 66 cm, l’altezza di 48 cm e il lato obliquo di 60 cm.
[204 cm ; 2304 cm2]
Calcola il perimetro e l’area del trapezio.
67) In un parallelogramma ABCD, la somma della base AB e dell’altezza relativa DH è 60 cm e AB è i
Calcola l’area del parallelogramma.
di DH.
[972 cm2]
68) In un triangolo ABC, retto in C, l’ipotenusa misura 50 cm e la proiezione del cateto AC sull’ipotenusa 18 cm. Determina il
perimetro e l’area del triangolo.
[120 cm ; 600 cm2]
69) La somma dei due cateti di un triangolo ABC, retto in C, è 91 cm e uno è i
e la misura dell’altezza relativa all’ipotenusa.
dell’altro. Calcola il perimetro del triangolo
[156 cm ; 31,2 cm]
70) L’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 90 cm . Determina l’area del triangolo, sapendo che la differenza tra i due
cateti è 18 cm . [suggerimento: indica con x la misura di un cateto, …..]
[1944 cm2]
71) La somma dei due cateti di un triangolo rettangolo è 119 cm e la loro differenza è 17 cm .
[204 cm ; 1734 cm2 ; 30,6 cm ; 54,4 cm]
Determina il perimetro, l’area e le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
72) In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è i
dei cateti sull’ipotenusa.
di un cateto e il perimetro è 60 cm . Determina l’area del triangolo e le proiezioni
[150 cm2 ; 9 cm ; 16 cm]
73) Sia dato il rombo ABCD di lato 18 cm . Sapendo che un angolo misura 60°, calcola l’area del rombo.
[162 √ 3 cm]
74) Il pentagono PQRST (figura a lato) è diviso dalla diagonale TR nel rettangolo PQRT, le cui dimensioni sono una doppia
dell’altra, e nel triangolo equilatero TRS, di lato 18 cm .
Calcola:
a) il perimetro del pentagono;
b) l’area del pentagono;
c) il rapporto fra l’area del rettangolo e quella del triangolo.
106
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
75) Sia dato un triangolo ABC, retto in C. Sapendo che i cateti sono uno i
l’ipotenusa e il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.
dell’altro e che la loro differenza è 8 cm, calcola
[40 cm ; 20 cm ]
76) Nel triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB e altezza CH, la mediana CM è lunga 50 cm.
L’altezza CH relativa all’ipotenusa è
del segmento HM. Calcola:
a) il perimetro e l’area del triangolo HMC;
b) il perimetro e l’area del triangolo ABC.
[2pHMC = 112 cm; AHMC = 336 cm2; 2pABC = 240 cm; AABC = 2400 cm2]
77) In una circonferenza di diametro AB, la corda AC è uguale ai
294 cm2 , determina il perimetro di tale triangolo.
78) Le proiezioni dei cateti di un triangolo rettangolo sono una i
minore. Determina il perimetro del triangolo.
79) In un triangolo rettangolo un cateto è
del diametro. Sapendo che l’area del triangolo ABC è
[84 cm]
dell’altra; e il cateto maggiore supera di 32 cm il cateto
[384 cm]
dell’ipotenusa e l’area è di 480 cm2 . Determina il perimetro del triangolo.
[120 cm]
80) Il cateto AB di un triangolo rettangolo ABC è i
del cateto AC e l’ipotenusa è 169 cm. Calcola l’area delle due parti in
cui il triangolo rimane diviso dall’altezza relativa all’ipotenusa AH. Detta, poi, AM la mediana relativa all’ipotenusa, calcola il
perimetro e l’area del triangolo AHM.
[750 cm2; 4320 cm2; 204 cm; 1785 cm2]
81) Dato il triangolo ABC, rettangolo in A, traccia l’altezza AH e siano D ed E le proiezioni di H rispettivamente sui cateti AC e
AB. Sapendo che
e che il perimetro di ABC misura 50 cm, determina la misura dell’altezza AH.
[10 cm]
82) Dato il triangolo ABC, rettangolo in A, traccia l’altezza AH e indica con D ed E le proiezioni di H rispettivamente sui cateti
AC e AB. .
Sapendo che
e che l’area di
cm2 determina il perimetro del trapezio.
[50 cm]
83) In un triangolo rettangolo la proiezione di un cateto sull’ipotenusa è
del suo cateto stesso, mentre la proiezione dell’altro
cateto misura 64 cm. Determina il perimetro del triangolo.
[240 cm]
84) Il rapporto tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo è
e l’ipotenusa misura 75 cm.
Calcola perimetro e area del triangolo.
[120 cm; 1350 cm2]
85) In un triangolo rettangolo il cateto minore misura 30 cm e la differenza tra le proiezioni dei cateti
sull’ipotenusa è 14 cm . Calcola:
[120 cm]
a. il perimetro del triangolo;
b. l’area del triangolo;
[600 cm2]
c. il rapporto tra le aree dei due triangoli in cui il triangolo dato viene diviso
[suggerimento: indica con x la misura di una delle due proiezioni, .., equazione di 2° grado, ..]
86) Un rombo ABCD ha le misure delle diagonali espresse, in metri, dai valori x e y, soluzioni del seguente sistema:
Calcola:
a. il lato del rombo;
b. il lato del quadrato equivalente al rombo;
c. il raggio del cerchio inscritto nel rombo.
107
Geometria - secondo anno
87) Un trapezio isoscele ha la base maggiore doppia della minore e gli angoli adiacenti alla base maggiore di 45°.
Sapendo che il prodotto delle misure delle due basi, espresso in cm2, è 800, calcola:
a. la misura delle diagonali del trapezio;
b. il perimetro del trapezio;
c. l’area del trapezio.
88) In un rombo ABCD, l’angolo di vertice A è di 60°. Sapendo che l’area del rombo è di
a. la misura delle diagonali del rombo;
b. la lunghezza della circonferenza inscritta nel rombo.
89) Sia data una circonferenza Γ di centro O e raggio di 20 cm. Calcola:
a. il lato e l’apotema del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza;
b. il lato e l’apotema del triangolo equilatero circoscritto alla circonferenza;
c. il lato e l’apotema del quadrato inscritto nella circonferenza;
d. il lato e l’apotema del quadrato circoscritto alla circonferenza;
e. il lato e l’apotema dell’esagono regolare inscritto nella circonferenza;
f. il lato e l’apotema dell’esagono regolare circoscritto alla circonferenza.
108
calcola:
Book in
progress
8. L’equivalenza dei poligoni
OLImPIAdI
90) Sui tre lati AB, BC, CA di un triangolo ABC si considerino rispettivamente tre punti L, M, N tali che
Qual è il rapporto fra l’area del triangolo LMN e quella del triangolo ABC?
E. Dipende dal particolare triangolo considerato.
(Giochi di Archimede, triennio 1999)
[B]
91) Da una lamiera di forma quadrata si taglia un cerchio del diametro massimo possibile, successivamente da tale cerchio
si taglia un quadrato di lato massimo possibile. La percentuale di lamiera sprecata è:
E. Nessuna delle precedenti
(Giochi di Archimede, biennio 1997)
[B]
92) Qual è la percentuale del quadrato colorata in figura?
a. 12,5%
b. 16,66%
c. 18,75%
d. 20%
e. 25%
(Giochi di Archimede, biennio e triennio 1997)
93) In un foglio a quadretti di lato
[C]
cm è disegnato il triangolo a fianco.
Quanto vale la sua area?
a. 3 cm2
b. 6 cm2
c. 1,5 cm2
d. 2 cm2
e. 1 cm2
(Giochi di Archimede, biennio e triennio 1997)
[C]
94) Dato un foglio rettangolare di lati a e b, con a > b, determinare l’area dei triangolo che risulta dalla sovrapposizione dei
due lembi che si ottengono piegando il foglio lungo una diagonale (il triangolo colorato nella figura a fianco sotto).
(Gara Nazionale 1999)
109
Geometria - secondo anno
95) La tela di un dipinto rettangolare è circondata da un passepartout (cioè un riquadro) largo 10 cm.
Attorno a quest’ultimo vi è poi una cornice, anche’essa larga 10 cm (nella figura, il rettangolo bianco rappresenta la
tela, la superficie tratteggiata il passepartout, la superficie nera la cornice).
Si sa che l’area dell’intero quadro (compresa la cornice) è uguale al doppio della somma di quelle del passepartout
della tela. Si può allora concludere che:
a. sono determinate sia l’area della cornice che quelle del passepartout e della tela
b. è determinata solo l’area della cornice
c. è determinata solo l’area del passepartout
d. è determinata solo l’area della tela
e. non è determinata nessuna delle grandezze precedenti.
(Gara Provinciale 2000)
96) I tre quadrati del disegno hanno lo stesso lato. In che rapporto stanno le aree delle tre figure colorate?
a. La prima area è maggiore delle altre due
b. La seconda area è maggiore delle altre due
c. La terza area è maggiore delle altre due
d. La prima area è uguale alla seconda, ed entrambe sono maggiori della terza
e. Le tre aree sono uguali
(Gara di Archimede, biennio 1996)
110
[D]
Book in
progress
9. Le grandezze e la proporzionalità
UNITÀ 9. LE GRANDEZZE E LA PROPORZIONALITÀ
9.1 GENERALITÀ
Nelle unità precedenti abbiamo considerato insiemi di elementi (segmenti, angoli, superfici piane) con i quali abbiamo operato
il confronto e la somma: si dice che tali elementi sono grandezze geometriche o semplicemente grandezze e si parla di
insiemi di grandezze o di classi di grandezze.
Le grandezze di una stessa classe si dicono omogenee fra loro e si possono confrontare e sommare.
Non ha senso, invece, confrontare e/o sommare un segmento con un angolo oppure un angolo e una superficie:
le operazioni di confronto e somma possono essere eseguite solo tra elementi di una stessa classe.
Data una classe di grandezze X, valgono le seguenti proprietà:
1. ∀A,B∈ X è vera una sola delle relazioni A < B , A = B , A > B
cioè due qualsiasi elementi di X sono sempre confrontabili;
2. ∀A,B∈ X : A + B = B + A (proprietà commutativa dell’addizione);
3. ∀A,B,C ∈ X : (A + B) + C = A + (B + C) (proprietà associativa dell’addizione).
Si estendono alle grandezze le proprietà delle relazioni < (minore), ≤ (minore o uguale), > (maggiore) e ≥ (maggiore o uguale)
che valgono negli insiemi numerici, nonché le definizioni di multiplo e di sottomultiplo date per i segmenti e per gli angoli.
Si ha, infatti, la seguente definizione:
- Si dice multiplo di una grandezza A, secondo il numero naturale n ≠ 0, la grandezza B, ad essa omogenea, somma di
n grandezze uguali ad A; cioè:
o, meglio: B = n A .
La grandezza A si dice sottomultipla di B secondo il numero n e si scrive:
Per le classi di grandezze valgono i due postulati seguenti:
POSTULATO DI EUDOSSO-ARCHIMEDE:
Date due grandezze omogenee, di cui una non nulla, esiste sempre una grandezza multipla della minore che supera la
maggiore.
POSTULATO DELLA DIVISIBILITÀ ALL’INFINITO (o POSTULATO DELLA DIVISIBILITÀ DELLE GRANDEZZE):
Per ogni grandezza A e per ogni numero naturale n non nullo, esiste sempre, ed è unica, la grandezza B, omogenea ad A,
sottomultipla di A secondo il numero n (cioè B
OSSERVAZIONE
Il secondo postulato permette di dividere una grandezza in un numero qualsiasi di parti congruenti.
9.2 GRANDEZZE cOmmENsURAbILI E INcOmmENsURAbILI
Due grandezze omogenee A e B si dicono commensurabili quando ammettono una grandezza C, ad esse omogenea,
come sottomultipla comune; in altre parole quando esiste una terza grandezza, omogenea alle prime due, che è contenuta
un numero intero di volte in entrambe le grandezze.
Se: A = m C e B = n C, con m ed n interi positivi, si ha:
e quindi:
o, anche:
(la grandezza A è multipla, secondo m, dell’n-esima parte della grandezza B)
e si dice che il rapporto delle grandezze A e B è
Si dice anche che il numero razionale
misura.
cioè un numero razionale.
è la misura della grandezza A rispetto alla grandezza B, scelta come unità di
111
Geometria - secondo anno
Esempio:
Fissato un segmento AB, consideriamo due segmenti CD = 3AB e EF = 2AB (fig. 1):
Osserviamo che i segmenti CD ed EF ammettono come sottomultiplo comune il segmento AB; infatti:
(cosa sta a significare questa scrittura?)
e quindi:
Inoltre:
e
I due segmenti CD ed EF sono commensurabili e scriviamo:
Pertanto:
- il numero razionale
è la misura del segmento CD rispetto al segmento EF;
-
è la misura del segmento EF rispetto al segmento CD.
il numero razionale
In generale, il rapporto di due grandezze commensurabili è un numero razionale, cioè un numero intero o un
numero decimale limitato o, ancora, un numero decimale illimitato periodico.
Due grandezze omogenee A e B si dicono incommensurabili quando non ammettono una grandezza C, ad
esse omogenea, come sottomultipla comune; in altre parole quando non esiste una terza grandezza, omogenea
alle prime due, che è contenuta un numero intero di volte in entrambe le grandezze.
Un esempio di grandezze incommensurabili è dato dal lato di un quadrato e dalla sua diagonale.
Si ha, infatti, il seguente:
TEOREMA
Il lato e la diagonale di un quadrato sono segmenti incommensurabili.
Dimostrazione
Supponiamo per assurdo che il lato AB e la diagonale AC
siano segmenti commensurabili e che, quindi, ammettano
come sottomultiplo comune un segmento, che
indichiamo con U, contenuto m volte in AB ed n volte in
AC, con m ed n interi positivi; cioè:
AB = m U
e
AC = n U ,
per cui i segmenti AB e AC possono essere divisi
rispettivamente in m ed n segmenti, tutti di lunghezza U.
112
Book in
progress
9. Le grandezze e la proporzionalità
Di conseguenza i quadrati costruiti su AB e AC sono
costituiti rispettivamente da m2 e da n2 quadratini di lato
U (fig. 2)
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo
isoscele ABC si ha:
[fig. 3]:
Poiché:
- q(AC) è costituito da n2 quadratini di lato U;
- q(AB) è costituito da m2 quadratini di lato U;
- q(BC) è costituito da m2 quadratini di lato U
(PERCHÉ?),
si ha: n2 = m2 + m2
cioè: n2 = 2 m2. (*)
Osserviamo che:
- se due numeri sono uguali, devono avere la stessa
scomposizione in fattori primi;
- se un numero è elevato al quadrato, tutti i suoi fattori
primi devono comparire un numero pari di volte.
Pertanto l’uguaglianza precedente implica che i numeri n2
e 2 m2, scomposti in fattori primi, devono avere gli stessi
fattori ed elevati agli stessi esponenti.
Ma:
- il numero intero n2, scomposto in fattori primi, o non contiene il fattore 2 o lo contiene un numero pari di volte;
- il numero intero 2 m2, scomposto in fattori primi, conterrà il fattore 2 necessariamente un numero dispari di volte
(PERCHÉ?), e quindi i numeri n2 e 2 m2 non contengono gli stessi fattori, elevati agli stessi esponenti.
Pertanto l’uguaglianza (*) non è vera; si è così giunti ad un assurdo e questo deriva dall’aver supposto che il lato AB e
la diagonale AC siano segmenti commensurabili. Si conclude, quindi, che il lato e la diagonale di un quadrato sono
segmenti incommensurabili.
C.V.D.
9.3 RAPPORTO DI DUE GRANDEZZE
Come conseguenza dell’ultimo teorema si ha che la misura di una grandezza rispetto ad un’altra non si può esprimere
sempre mediante un numero razionale. Più precisamente, date due grandezze omogenee A e B, si hanno i seguenti due
casi:
1. le grandezze A e B sono commensurabili: il loro rapporto è un numero razionale
2. le grandezze A e B sono incommensurabili: il loro rapporto non è un numero razionale.
Vogliamo vedere se è possibile dare una “nuova” definizione di rapporto di due grandezze omogenee che possa valere sia
per le grandezze commensurabili che per quelle incommensurabili. Il procedimento che seguiremo vale per due qualunque
grandezze omogenee; qui ci riferiamo, in particolare, a due segmenti AB e CD (fig. 4):
113
Geometria - secondo anno
Per determinare il rapporto
(fig. 5):
riportiamo consecutivamente il segmento CD sul segmento AB, a partire dall’estremo A
Nel caso in figura, CD è contenuto 3 volte in AB con resto EB < CD (cosa succede se AB < CD?).
Dividiamo ora CD in 10 parti congruenti e riportiamo su EB la decima parte di CD (fig. 6):
Osserviamo che
è contenuto 5 volte in EB, con resto
Ripetiamo lo stesso procedimento riportando, di
volta in volta, sui vari resti ottenuti, i sottomultipli decimali di CD, cioè
Se si perviene ad un resto nullo, vuol dire che il rapporto dei due segmenti è un numero decimale limitato, costituito dalla
successione delle varie cifre trovate; altrimenti tale successione dà luogo ad un numero decimale illimitato, periodico o
aperiodico, che rappresenta, in ogni caso, il rapporto dei due segmenti.
In definitiva, date due grandezze omogenee A e B, si ha che:
- se A e B sono commensurabili, il rapporto A/B è un numero razionale (intero, o decimale limitato, o decimale illimitato
periodico) rappresentato dal quoziente m/n di due numeri interi positivi.
- se A e B sono incommensurabili, il rapporto A/B è un numero irrazionale (cioè un numero decimale illimitato aperiodico).
Possiamo, quindi, affermare che il nostro tentativo ha avuto successo.
Si può, quindi, dare una “nuova” definizione di rapporto di due grandezze omogenee; precisamente:
Il rapporto di due grandezze omogenee è un numero reale positivo dato dal quoziente delle loro misure, relativamente
ad una grandezza scelta come unità di misura: questo numero reale è razionale o irrazionale a seconda che le due grandezze
siano rispettivamente commensurabili o incommensurabili.
Dal momento che la terminologia qui usata per i rapporti tra grandezze, e quella che verrà utilizzata in seguito per le
grandezze proporzionali, è la stessa di quella già usata per i rapporti e per le proporzioni tra numeri razionali assoluti,
riteniamo opportuno richiamare alcune definizioni e proprietà.
9.4 RAPPORTO TRA DUE NUmERI. PROPORZIONI
Iniziamo col dare la seguente definizione:
Si dice rapporto tra due numeri a e b, nell’ordine dato e con b ≠ 0, il quoziente della divisione di a e b. Il rapporto tra i
numeri a e b si indica con il simbolo a : b oppure
I due numeri a e b si dicono termini del rapporto e precisamente:
a è il primo termine del rapporto e si chiama antecedente;
b è il secondo termine del rapporto e si chiama conseguente.
Se si scambiano i termini del rapporto
Il rapporto
114
purché diverso da zero (PERCHÉ?), si ottiene il nuovo rapporto b : a
viene detto rapporto inverso o reciproco di
Book in
progress
9. Le grandezze e la proporzionalità
Esempi:
il rapporto tra 6 e 3 è 6 : 3 = 2 ; il suo inverso è 3 : 6
il rapporto tra 3 e 5 è
il rapporto tra
Consideriamo ora i seguenti due rapporti numerici:
I rapporti
sono uguali, infatti il quoziente di 12 : 3 (= 4) è uguale al quoziente di 24 : 6 (= 4), per cui possiamo
scrivere: 12 : 3 = 24 : 6
Questa uguaglianza si chiama proporzione e si legge “12 sta a 3 come 24 sta a 6”.
In generale, si dà la seguente definizione:
Dati quattro numeri a, b, c, d, nell’ordine in cui sono scritti, con b e d diversi da zero, si dice che essi sono in proporzione
se il rapporto tra il primo e il secondo è uguale al rapporto tra il terzo e il quarto, e si scrive:
a : b = c : d (si legge: “a sta a b come c sta a d ”).
[Una proporzione è, quindi, l’uguaglianza fra due rapporti].
I numeri a, b, c, d si chiamano termini della proporzione; in particolare:
- b, c si chiamano medi;
- a, d si chiamano estremi.
Il numero d si dice quarto proporzionale dopo a, b, c.
Inoltre:
- a e c, primo e terzo termine della proporzione, si chiamano antecedenti;
- b e d, secondo e quarto termine della proporzione, si chiamano conseguenti.
Una proporzione si dice continua se i medi sono uguali cioè se:
a:b=b:c
In questo caso, b si dice medio proporzionale tra a e c mentre c si dice terzo proporzionale dopo a e b.
Nella proporzione continua: 8 : 4 = 4 : 2
4 è il medio proporzionale tra 8 e 2 mentre 2 è il terzo proporzionale dopo 8 e 4.
Proprietà delle proporzioni
Dalla definizione di frazioni equivalenti, si deduce la seguente proprietà:
PROPRIETÀ FONDAMENTALE DELLE PROPORZIONI
In ogni proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi.
Dalla proporzione: a : b = c : d
si ricava infatti che:
bc=ad.
Esempio:
La proporzione 5 : 4 = 20 : 16 ,
scritta come uguaglianza tra frazioni, diventa:
Dalla definizione di frazioni equivalenti si ha (prodotti in croce): 4 · 20 = 5 · 16 (= 80) (e, ovviamente, 5 · 16 = 4 · 20).
Viceversa:
Siano dati i numeri 5, 2, 20, 8 ; poiché: 2 · 20 = 5 · 8 ( = 40 ),
possiamo dire che i numeri 5, 2, 20, 8 , nell’ordine dato, formano una proporzione; precisamente: 5 : 2 = 20 : 8.
115
Geometria - secondo anno
PROVA TU
Scrivi quattro numeri che, nell’ordine dato, formino una proporzione.
Dalla proprietà fondamentale, discendono le seguenti proprietà:
PROPRIETÀ DELL’INVERTIRE.
Se in una proporzione si scambia ogni antecedente con il proprio conseguente, si ha ancora una proporzione.
Dalla proporzione a : b = c : d , scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente, si ottiene: b : a = d : c
che è ancora una proporzione (PERCHÉ?).
Esempio:
Dalla proporzione 4 : 12 = 3 : 9 , scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente, si ottiene: 12 : 4 = 9 : 3
che è ancora una proporzione (PERCHÉ?).
PROPRIETÀ DEL PERMUTARE.
Se in una proporzione si scambiano fra loro i medi o gli estremi, si ottiene ancora una proporzione.
Dalla proporzione
a : b = c : d , si ottengono le seguenti proporzioni:
a : c = b : d (scambiando fra loro i medi);
d : b = c : a (scambiando fra loro gli estremi).
Esempio:
Dalla proporzione 15 : 5 = 6 : 2 ,
- scambiando fra loro i medi si ottiene: 15 : 6 = 5 : 2 che è ancora una proporzione (PERCHÉ?);
- scambiando fra loro gli estremi si ottiene: 2 : 5 = 6 : 15 che è ancora una proporzione (PERCHÉ?).
PROPRIETÀ DEL COMPORRE
In ogni proporzione, la somma dei primi due termini sta al primo (al secondo) come la somma degli altri due termini sta al
terzo (al quarto).
Dalla proporzione a : b = c : d ,
si ottengono le proporzioni seguenti:
(a+b) : a = (c+d) : c
(a+b) : b = (c+d) : d
[ovviamente devono essere definite le varie operazioni]
Esempio:
Dalla proporzione 5 : 2 = 10 : 4 ,
si ottengono le seguenti:
(5 + 2) : 5 = (10 + 4) : 10 cioè 7 : 5 = 14 : 10 ;
(5 + 2) : 2 = (10 + 4) : 4 cioè 7 : 2 = 14 : 4 ,
che sono ancora proporzioni (PERCHÉ?).
PROPRIETÀ DELLO SCOMPORRE
In ogni proporzione, in cui gli antecedenti sono maggiori dei conseguenti, la differenza fra i primi due termini sta al primo (al
secondo) come la differenza degli altri due termini sta al terzo (al quarto).
Dalla proporzione a : b = c : d (con a > b e c > d) ,
si ottengono le proporzioni seguenti:
(a − b) : a = (c − d) : c
(a − b) : b = (c − d) : d
E se a < b e c < d ?
116
Book in
progress
9. Le grandezze e la proporzionalità
Esempio:
Dalla proporzione 5 : 2 = 10 : 4 ,
si ottengono le seguenti:
(5 − 2) : 5 = (10 − 4) : 10 cioè 3 : 5 = 6 : 10 ;
(5 − 2) : 2 = (10 − 4) : 4 cioè 3 : 2 = 6 : 4. che sono ancora proporzioni (PERCHÉ?).
Risoluzione di una proporzione
La proprietà fondamentale permette di calcolare un termine incognito di una proporzione quando siano noti gli altri tre
termini oppure, nel caso di una proporzione continua, permette di calcolare il medio proporzionale.
1) Supponiamo di avere la seguente proporzione: a : b = c : x
nella quale a, b, c sono numeri noti e x è il termine incognito da calcolare.
Applicando la proprietà fondamentale si ha: a x = b c e quindi:
cioè: “il valore di un estremo incognito in una proporzione è uguale al prodotto dei medi diviso per l’estremo noto”.
2) Supponiamo di avere la seguente proporzione: a : b = x : d
nella quale a, b, d sono numeri noti e x è il termine incognito da calcolare.
Applicando la proprietà fondamentale si ha: a d = b x e quindi:
cioè: “il valore di un medio incognito in una proporzione è uguale al prodotto degli estremi diviso per il medio noto”.
3) Supponiamo di avere la seguente proporzione continua: a : b = b : x
nella quale a, b sono numeri noti e x è il termine incognito da calcolare.
Applicando la proprietà fondamentale si ha: a x = b2 da cui:
cioè: “in una proporzione continua, il terzo proporzionale è uguale al quadrato del secondo termine diviso per il primo
termine”.
4) Supponiamo di avere la seguente proporzione continua: a : x = x : b
nella quale a, b sono numeri noti e x è il termine incognito da calcolare.
Applicando la proprietà fondamentale si ha: x2 = a b da cui
cioè: “in una proporzione continua, il medio proporzionale fra gli altri due termini è dato dalla radice quadrata del loro
prodotto”.
PROVA TU
Risolvi le seguenti proporzioni:
1) x : 5 = 9 : 20
2) 3 : 15 = x : 10
3) 4 : 8 = 8 : x
4) 16 : x = x : 9
CATENA DI RAPPORTI UGUALI
La definizione di proporzione si estende al caso di tre o più rapporti uguali; precisamente si definisce catena di rapporti
uguali l’uguaglianza di tre o più rapporti.
Ad esempio, dati i rapporti: 4 : 2 ; 8 : 4 ; 12 : 6 ; 16 : 8 , che sono tutti uguali a 2,
si ha la seguente catena di rapporti uguali: 4 : 2 = 8 : 4 = 12 : 6 = 16 : 8
In essa, la proprietà del comporre si enuncia così:
In una catena di rapporti uguali, la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti, come un antecedente
qualsiasi sta al proprio conseguente.
Nel caso del nostro esempio si ha: (4 + 8 + 12 + 16) : (2 + 4 + 6 + 8) = 4 : 2 cioè: 40 : 20 = 4 : 2
e ancora: (4 + 8 + 12 + 16) : (2 + 4 + 6 + 8) = … continua tu
(4 + 8 + 12 + 16) : ………………………………….………………………………………………………(verifica che, in tutti i
casi, si ottiene una proporzione).
117
Geometria - secondo anno
PROBLEMI SULLE PROPORZIONI
Le proprietà delle proporzioni e, in generale, delle catene di rapporti uguali, possono essere utilizzate per risolvere problemi
di varia natura.
ESEMPI (di natura geometrica):
1. Determina le lunghezze di due segmenti sapendo che la loro somma, espressa in cm, è 40 e che il loro rapporto è
Indichiamo con x e y le lunghezze, in cm, dei due segmenti (con x > y); possiamo scrivere: x : y = 5 : 3
Applichiamo alla proporzione la proprietà del comporre (PERCHÉ?), così da avere: (x + y) : x = (5 + 3) : 5
cioè:
e quindi: y = 40 − 25 = 15.
2. Determina le lunghezze di due segmenti sapendo che la loro differenza, espressa in cm, è 4 e che il loro rapporto è
Indichiamo con x e y le lunghezze, in cm, dei due segmenti (con x > y); possiamo scrivere: x : y = 5 : 4
Applichiamo alla proporzione la proprietà dello scomporre (PERCHÉ?), così da avere: (x − y) : x = (5 − 4) : 5
si ha:
e quindi: y = 20 − 4 = 16.
PROVA TU
a. Determina le lunghezze di due segmenti sapendo che la loro somma è 66 cm e che il loro rapporto è
b. Determina le lunghezze di due segmenti sapendo che la loro differenza è 9 cm e che il loro rapporto è
9.5 GRANDEZZE DIRETTAmENTE PROPORZIONALI
Vi sono coppie di grandezze variabili che hanno un comportamento particolare, ossia sono tali che al raddoppiare, triplicare
… dell’una, raddoppia, triplica ….. in corrispondenza anche l’altra.
Tali grandezze si dicono direttamente proporzionali.
Sono esempi di grandezze direttamente proporzionali i seguenti:
- lo spazio percorso da un’automobile e i litri di benzina consumati;
- il costo di una merce e il suo peso;
- lo spazio percorso da una moto che viaggia a velocità costante e il tempo di viaggio.
“Leggi” la seguente tabella (e COMPLETA):
peso pane (P)
1 kg
2 kg
1/2 kg
costo pane (C)
2 euro
4 euro
1 euro
Rapporto ( P/C)
1/2
1/2
1/2
Osserva che il rapporto P/C è ………………………………………. .
Si dà, quindi, la seguente definizione:
Due grandezze variabili a e b si dicono direttamente proporzionali se il rapporto tra i valori corrispondenti assunti da a e
da b è costante: tale costante è detta costante di proporzionalità diretta e viene indicata con la lettera k. In simboli:
OSSERVAZIONE
Due classi di grandezze in corrispondenza biunivoca si dicono, quindi, direttamente proporzionali se il rapporto tra due
grandezze qualsiasi della prima classe è uguale al rapporto delle grandezze corrispondenti della seconda classe.
La verifica di tale condizione non è sempre agevole o possibile.
118
Book in
progress
9. Le grandezze e la proporzionalità
Vale, però, il seguente:
CRITERIO DELLA PROPORZIONALITÀ DIRETTA
Condizione necessaria e sufficiente affinché due classi di grandezze omogenee in corrispondenza biunivoca siano
direttamente proporzionali è che:
1. a grandezze uguali (congruenti) di una classe corrispondano grandezze uguali (congruenti) dell’altra classe;
2. alla somma di due grandezze di una classe corrisponda la somma delle due grandezze corrispondenti dell’altra
classe.
9.6 GRANDEZZE INvERsAmENTE PROPORZIONALI
Vi sono, invece, altre coppie di grandezze variabili tali che, raddoppiando, triplicando, dimezzando, … la prima grandezza,
la seconda, rispettivamente, si dimezza, diviene un terzo, raddoppia, … . Tali grandezze si dicono inversamente
proporzionali.
Sono esempi di grandezze inversamente proporzionali i seguenti:
- le basi di rettangoli equivalenti e le rispettive altezze;
- il numero di operai che svolgono un determinato lavoro e il numero di giorni necessari per portarlo a termine.
“Leggi” la seguente tabella (e COMPLETA):
Numero operai (o)
2
4
1
Numero di giorni (g)
6
3
12
Prodotto (o · g)
12
12
12
Dalla tabella osserviamo che il prodotto tra le due grandezze è …………………………………... .
Si dà, quindi, la seguente definizione:
Due grandezze variabili a e b si dicono inversamente proporzionali se il prodotto dei valori corrispondenti assunti da a e
b è costante: tale costante è detta costante di proporzionalità inversa e viene indicata con la lettera k. In simboli:
Come applicazione del concetto di proporzionalità tra classi di grandezze “introduciamo” il teorema di
Talete.
9.7 IL TEOREmA DI TALETE
Nell’unità 5 abbiamo definito il fascio improprio di rette (o fascio di rette parallele) come l’insieme di tutte le rette parallele
ad una data retta r .
Abbiamo, poi, introdotto la corrispondenza di Talete (una corrispondenza biunivoca) quando abbiamo considerato due
trasversali, t1 e t2, unitamente ai punti in cui ogni retta del fascio le intersecava (punti corrispondenti) e ai segmenti che
avevano per estremi punti corrispondenti (segmenti corrispondenti) [fig. 7]:
t1
A.
B.
C.
t2
a
. A'
b
. B'
. C'
c
r
fig. 7
119
Geometria - secondo anno
Abbiamo “visto” il TEOREMA DEL FASCIO DI RETTE PARALLELE:
Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono
segmenti congruenti sull’altra trasversale.
Abbiamo anche detto che questo teorema viene, talvolta, chiamato “piccolo teorema di Talete”, nel senso che è una
versione semplificata del “teorema di Talete”.
Dal teorema del fascio di rette parallele abbiamo dedotto i seguenti:
COROLLARIO 1
Se per il punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela ad un altro lato, questa divide il terzo lato in
due segmenti congruenti.
COROLLARIO 2 (TEOREMA INVERSO)
Il segmento che unisce i punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato ed è congruente alla sua
metà.
Sussiste il seguente:
TEOREMA DI TALETE
Un fascio di rette parallele determina su due trasversali classi di segmenti direttamente proporzionali.
[Per dimostrare che le due classi di segmenti sono direttamente proporzionali, possiamo utilizzare il CRITERIO DELLA
PROPORZIONALITÀ DIRETTA e cioè verificare che nella corrispondenza si mantengono la congruenza e la somma.
Nella richiamata unità 5, abbiamo dimostrato che viene conservata la congruenza (teorema del fascio di rette parallele)
(PROVA TU a “ricordare” la dimostrazione)].
Resta da dimostrare che viene conservata anche la
somma; cioè che se su t1 consideriamo un segmento
PQ, congruente alla somma di due segmenti di t1 ,
per esempio AB e CD, il segmento P'Q',
corrispondente di PQ su t2, è congruente alla somma
dei segmenti corrispondenti, sempre su t2, di AB e
CD (fig. 8):
t1
t2
. A'
A.
a
b
.B'
B.
c
.C'
. D'
C.
D.
d
e
p
.P'
P.
.Q' q
Q.
fig. 8
t1
Dimostrazione
Poiché per ipotesi: PQ ≅ AB + CD, si ha che esiste
un punto R su PQ tale che:
PR ≅ AB (“segnare PR e AB con il simbolo / ”) e RQ
≅ CD (“segnare RQ e CD con il simbolo * ”)
Dal punto R conduciamo la parallela r alle rette del
fascio e indichiamo con R' il corrispondente di R su
t2 (fig. 9):
A.
B.
C.
D.*
P.
COMPLETA la dimostrazione in base alla fig. 9 e alla
prima parte del teorema.
C.V.D.
120
R.
Q.*
t2
a
. A'
b
.B'
c
.C'
. D'
d
e
.P'
p
. R' r
.Q' q
fig. 9
Book in
progress
9. Le grandezze e la proporzionalità
EsERcIZI sULLE PROPORZIONI
1) Indica quali delle seguenti relazioni sono delle proporzioni:
2) Per ciascuna delle seguenti proporzioni, partendo dai suoi termini e applicando le diverse proprietà, costruisci altre 7
proporzioni.
3) Risolvi le seguenti proporzioni:
121
Geometria - secondo anno
4) Risolvi le seguenti proporzioni mediante l’uso delle proprietà relative:
5) Applicando le proprietà delle proporzioni, calcola due numeri conoscendo la loro somma ed il loro rapporto:
6) Applicando le proprietà delle proporzioni, calcola due numeri conoscendo la loro differenza ed il loro rapporto:
122
Book in
progress
9. Le grandezze e la proporzionalità
7) Trova due numeri la cui somma è 28 e il cui rapporto è
[12 ; 16]
8) Trova due numeri la cui differenza è 6 e il cui rapporto è
[15 ; 9]
9) La differenza delle misure di due segmenti è 84 cm. Sapendo che il loro rapporto è
determina la misura dei due segmenti.
10) La somma delle misure di due segmenti è 102 cm. Sapendo che il loro rapporto è
determina la misura dei due segmenti.
11) In un triangolo, la somma delle lunghezze della base e dell’altezza ad essa relativa è 78 cm
e il loro rapporto è
Determina l’area del triangolo.
[60 cm ; 42 cm]
[720 cm2]
12) La differenza tra le dimensioni di un rettangolo è 40 cm e il loro rapporto è
Determina il perimetro del rettangolo.
13) La somma delle dimensioni di un rettangolo è 50 cm e il loro rapporto è
Determina l’area del rettangolo.
14) Un segmento AB, lungo 63 cm, viene diviso da un punto P in due parti che stanno nel rapporto
Determina la lunghezza delle due parti.
[196 cm ; 112 cm]
[176 cm]
[576 cm2]
[AP = 35 cm ; PB = 28 cm]
15) Completa le tabelle nei due casi indicati:
a) Le grandezze x e y sono direttamente proporzionali e la costante di proporzionalità è 3:
b) Le grandezze x e y sono inversamente proporzionali e la costante di proporzionalità è 48:
123
Geometria - secondo anno
124
Book in
progress
10. La similitudine tra figure piane
UNITÀ 10. LA sImILITUDINE TRA FIGURE PIANE
10.1 GENERALITÀ
Negli studi precedenti hai “incontrato” figure congruenti e/o figure di forma diversa ma aventi uguale estensione o, ancora,
figure aventi la stessa forma ma non la stessa estensione. Insieme abbiamo già analizzato i casi delle figure congruenti e di
quelle equiestese; ora studiamo l’ultimo caso, ossia quello delle figure simili.
Disegna, a tale scopo, un rettangolo R di vertici A,B,C,D e traccia le sue diagonali, indicando con O il loro punto di
intersezione. Detti E, G, F, H i punti medi rispettivamente dei segmenti AO, OC, OB, DO, congiungi tali punti medi e chiama
R' il quadrilatero ottenuto. Costruisci, in base ai dati, la figura relativa
- Cosa puoi dire del quadrilatero R' ?
- Cosa puoi dire dei quadrilateri R e R' ?
Ti aiuto con il seguente esercizio di completamento (le “parole di completamento” vanno scelte tra quelle indicate dopo il
testo dell’esercizio, con l’avvertenza che vi sono parole “intruse”).
- R e R' sono due ……………………….. ;
- R e R' hanno la stessa ………………… ma non le stesse …………………………… ;
- R e R' sono figure ………………… ;
- gli angoli di R' sono ordinatamente …………………….. agli angoli di R (nel caso in questione gli angoli di R e R' sono
tutti angoli ………… ;
- i lati di R' sono ……………………… ai lati di R.
“Parole di completamento”: area, dimensioni, perpendicolari, simili, acuti, retti, rettangoli, paralleli, direzione, forma,
congruenti, opposti al vertice.
Parlando delle trasformazioni geometriche nel piano (unità 4) abbiamo visto, in particolare, il
“trasformato” di un triangolo ABC, retto in C, secondo una fissata trasformazione.
Abbiamo determinato le immagini dei vertici A, B, C
(rispettivamente A', B', C'), ottenendo, così,
il triangolo A' B' C' (fig. 2):
L’esame della figura ti dovrebbe permettere di “ricostruire” la trasformazione.
Ricordiamo la terminologia usata:
il punto A' è l’omologo o il corrispondente di A;
il punto B' è l’omologo o il corrispondente di B;
il punto C' è l’omologo o il corrispondente di C;
l’angolo A' è l’omologo o il corrispondente dell’angolo A; continua tu
l’angolo B' ………………………………………………….. ;
l’angolo …………………………………………………...... ;
il lato A'B' è l’omologo o il corrispondente del lato AB
(i due lati hanno, quindi, per estremi due coppie di vertici omologhi);
il lato B'C' ………………………………………………….. ;
il lato ……………………………………………………….. ;
O
*
~o
C'
A'
*
A
B'
~
C
o
B
fig. 2
Ti era stato consigliato, altresì, di “verificare” che:
- A'B' // AB, A'C' // AC, B'C' // BC;
- il triangolo A'B'C', trasformato del triangolo ABC, è retto in C'.
La “nostra” trasformazione non modifica , quindi, determinate proprietà geometriche (conserva, cioè, alcune proprietà)
mentre ne modifica altre.
- Ricordi gli invarianti?
- Quale “relazione” vi è tra gli angoli del triangolo A'B'C' e quelli omologhi del triangolo ABC?
- Quale “relazione” vi è tra i lati del triangolo A'B'C' e quelli omologhi del triangolo ABC?
125
Geometria - secondo anno
Nella fig. 2 dovresti aver verificato, ma potevi, anche, dedurlo da un teorema (quale?) che:
Scrivi le “relazioni” legate alla fig. 2 .
OSSERVAZIONE
Hai “trovato” che i “rapporti” tra i lati risultano uguali (a quanto?) nei casi illustrati in fig. 2 e ciò per le particolari trasformazioni
considerate. A questo punto, possiamo dare la seguente definizione:
Due poligoni
, di ugual numero di lati, si dicono simili, in simboli
congruenti ed i lati omologhi in proporzione.
In fig. 3 sono rappresentati due pentagoni simili:
se hanno gli angoli ordinatamente
Si ha quindi:
Il rapporto costante k tra due qualsiasi lati omologhi viene detto rapporto di similitudine (si ha k = 2).
Se k = 1, i due poligoni (simili) sono anche …………………… .
N.B. La relazione di similitudine tra poligoni gode delle proprietà:
- riflessiva: ogni poligono è simile a se stesso;
-
simmetrica: se il poligono
-
transitiva: se il poligono
allora
è simile al poligono
è simile al poligono
, allora
e il poligono
è simile a
;
è simile al poligono
è simile a
La relazione di similitudine è quindi una relazione di equivalenza.
Per stabilire che due poligoni sono simili, dobbiamo, quindi, eseguire le seguenti operazioni:
- verificare la congruenza fra gli angoli
e
- verificare la proporzionalità fra i lati.
Queste operazioni sono, in genere, laboriose per cui, come abbiamo fatto per la congruenza, ci chiediamo se sia possibile
effettuare un numero minore di confronti. Nel lavoro che segue, daremo una risposta a questa domanda introducendo i
criteri di similitudine dei triangoli prima e dei poligoni poi.
Esaminiamo, quindi, tre criteri, i criteri di similitudine dei triangoli, che forniscono condizioni sufficienti affinché due triangoli
siano simili.
126
Book in
progress
10. La similitudine tra figure piane
10.2 LA sImILITUDINE NEI TRIANGOLI
In base a quanto detto per i poligoni simili, si ha la seguente definizione:
Due triangoli si dicono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e se i lati corrispondenti (cioè i lati opposti agli
angoli congruenti) sono proporzionali. Consideriamo i triangoli ABC e A'B'C' (fig. 4):
In base alla definizione, i due triangoli sono simili se:
e
Nel caso di due triangoli simili, riferendoci ancora alla fig. 4, ribadiamo che si dicono:
- omologhi o corrispondenti i vertici di due angoli congruenti, per esempio i vertici A e A';
- omologhi o corrispondenti i lati opposti ad angoli congruenti, cioè i lati che hanno come estremi due coppie di vertici
omologhi, per esempio i lati AB e A'B';
e che si definisce:
- rapporto di similitudine il valore costante dei rapporti tra i lati omologhi, per esempio il valore del rapporto
Un triangolo T1 ha la base di 12 cm ed è simile ad un triangolo T2 avente la base di 36 cm. Qual è il valore di k?
Basta fare il rapporto fra la base dopo la trasformazione (36 cm) e la base prima della trasformazione (12 cm)
cioè:
In figura si ha:
T2
T1
K=3
Poiché k > 1, si ha un ingrandimento.
OSSERVAZIONE
Per stabilire se due triangoli sono simili, bisogna confrontare i tre angoli (per “vedere” se sono o meno ordinatamente
congruenti) e i tre lati (per “vedere” se sono o meno in proporzione). Queste “operazioni” risultano spesso complesse per
cui, come nel caso della congruenza, ci chiediamo se è possibile eseguire meno confronti.
La risposta, anche questa volta, è affermativa. Vedremo che, per verificare la similitudine di due triangoli, sarà sufficiente
che valgano opportune condizioni, espresse dai cosiddetti criteri di similitudine dei triangoli.
127
Geometria - secondo anno
10.3 I cRITERI DI sImILITUDINE DEI TRIANGOLI
TEOREMA (Primo criterio di similitudine)
Due triangoli sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti.
[Ne bastano due! Perché?]
Dimostrazione
Basta dimostrare che valgono le proporzioni: AB : A'B' = BC : B'C ' = AC : A'C'
Distinguiamo due casi:
I. AB ≅ A'B' In tal caso i due triangoli sarebbero congruenti (perché?) e quindi simili (i rapporti sarebbero tutti uguali a 1).
II. AB ≅ A'B' In tal caso uno dei due segmenti è maggiore dell’altro; supponiamo che AB > A'B' (così come in figura).
Sul lato AB prendiamo un punto D tale che: AD ≅ A'B' (“segnare AD e A'B' con il simbolo / ”)
e tracciamo da D la parallela al segmento BC che incontra il lato AC nel punto E (fig. 5):
Applicando il teorema di Talete al triangolo ABC, otteniamo la seguente proporzione: AB : AD = AC : AE (*)
Osserviamo, poi, che:
perché angoli corrispondenti formati dalle parallele DE e BC tagliate dalla trasversale
AB (“segnare
con il simbolo
”). [fig. 6]:
Consideriamo, ora, i triangoli ADE e A'B'C'; essi hanno:
AD≅ A'B'
per costruzione;
per la proprietà transitiva della congruenza tra angoli (perché?) [in fig. 6 sono già rappresentati con lo
stesso simbolo
];
per ipotesi.
I due triangoli, avendo un lato e i due angoli ad esso adiacenti ordinatamente congruenti, sono congruenti per il secondo
criterio di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli altri elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
DE≅ B'C' e AE ≅ A'C' .
128
Book in
progress
10. La similitudine tra figure piane
Ne consegue che nella proporzione (*) possiamo sostituire al lato AD il lato A'B' e al lato AE il lato A'C', ottenendo così la
seguente proporzione: AB : A'B' = AC : A'C'
PROVA TU , procedendo in modo analogo, a dimostrare che: AB : A'B' = BC : B'C' e, quindi, si ha la tesi.
C.V.D.
PROVA TU a dimostrare il teorema nel caso in cui AB < A'B'.
PROVA TU a dimostrare i seguenti corollari:
COROLLARIO 1
Due triangoli rettangoli con un angolo acuto congruente sono simili.
COROLLARIO 2
Due triangoli isosceli con l’angolo al vertice congruente sono simili.
COROLLARIO 3
Due triangoli isosceli con un angolo alla base congruente sono simili.
COROLLARIO 4
Due triangoli equilateri sono simili.
COROLLARIO 5
Una corda parallela ad un lato di un triangolo individua un triangolo simile a quello dato.
TEOREMA (Secondo criterio di similitudine)
Due triangoli sono simili se hanno un angolo congruente e i due lati che lo comprendono in proporzione.
Dimostrazione
Distinguiamo due casi:
I. AB ≅ A'B' In tal caso i due triangoli sarebbero congruenti (perché?) e quindi simili (i rapporti sarebbero entrambi uguali a 1).
II. AB ≅ A'B' In tal caso uno dei due segmenti è maggiore dell’altro; supponiamo che AB > A'B' (così come in figura).
Sul lato AB prendiamo un punto D tale che AD ≅ A'B' (“segnare AD e A'B' con il simbolo / ” ) e tracciamo da D la parallela
al segmento BC indicando con E il suo punto d’incontro con il lato AC (fig. 7):
Per il precedente COROLLARIO 5 si ha che i triangoli ABC e ADE risultano simili e, quindi, vale la seguente proporzione:
AB : AD = AC : AE
129
Geometria - secondo anno
Sostituendo al lato AD il lato congruente A'B', si ha: AB : A'B' = AC : AE
e, poiché per ipotesi: AB : A'B' = AC : A'C',
si ha, per l’unicità della grandezza quarta proporzionale, che: AE ≅ A'C'.
I triangoli ADE e A'B'C, avendo due lati e l’angolo tra essi compreso ordinatamente congruenti, risultano congruenti per il
primo criterio di congruenza dei triangoli.
In definitiva, si ha:
e quindi:
(perché?).
C.V.D.
Procedendo in maniera analoga, PROVA TU a dimostrare il teorema nel caso in cui AB < A'B'.
[suggerimento: sul lato A'B' prendiamo un punto D ……………………………………………….]
E ancora:
PROVA TU a dimostrare il seguente:
COROLLARIO
Due triangoli rettangoli che hanno i cateti in proporzione sono simili.
TEOREMA (Terzo criterio di similitudine)
Due triangoli sono simili se hanno i lati in proporzione.
Dimostrazione
Distinguiamo due casi:
I. AB ≅ A'B' In tal caso i due triangoli sono congruenti (perché?) e quindi simili (i rapporti sarebbero entrambi uguali a 1).
II. AB ≅ A'B' In tal caso uno dei due segmenti è maggiore dell’altro; supponiamo che sia AB > A'B' (così come in figura).
Sul lato AB prendiamo un punto D tale che AD ≅ A'B' (“segnare AD e A'B' con il simbolo / ”) e
tracciamo da D la parallela al segmento BC che incontra il lato AC nel punto E (fig. 8):
Sempre per il COROLLARIO 5 si ha che i triangoli ABC e ADE sono simili e, quindi, vale la seguente proporzione:
AB : AD = BC : DE = AC : AE
Sostituendo al lato AD il lato congruente A'B', si ha: AB : A'B' = BC : DE = AC : AE
e, poiché per ipotesi: AB : A'B' = BC : B'C' = AC : A'C'
si ha, per l’unicità della grandezza quarta proporzionale, che: DE = BC e AE = A'C'.
I triangoli A'B'C' e ADE risultano, pertanto, congruenti per il terzo criterio di congruenza dei triangoli.
In definitiva, si ha: ABC ~ ADE e ADE ~ A'B'C'
e quindi: ABC ~ A'B'C' (perché?).
C.V.D.
130
Book in
progress
10. La similitudine tra figure piane
PROVA TU a dimostrare il teorema nel caso in cui AB < A'B'.
PROVA TU a risolvere i seguenti problemi:
1. Sia dato un triangolo ABC. Prendi un punto D su AC e da tale punto traccia la parallela al lato BC indicando
con E il punto di intersezione con il lato AB (fig. sotto).
Dimostra che i triangoli ABC e ADE sono simili.
D.
C
.
E
A
B
2. Siano dati i triangoli ABC e DEF (figura sotto).
I due triangoli sono simili? In caso affermativo, quali sono i lati corrispondenti?
C
A
70°
F
35°
35°
B
E
70°
D
Quanto fatto ci permette di concludere che la definizione che è stata data per la similitudine dei poligoni risulta “eccessiva”
nel caso particolare dei triangoli.
Infatti, per i triangoli la congruenza degli angoli e la proporzionalità dei lati sono proprietà dipendenti l’una dall’altra, nel
senso che la prima implica la seconda e viceversa (tale relazione non vale per gli altri poligoni).
10.4 APPLIcAZIONI DELLA sImILITUDINE
TEOREMA
In due triangoli simili le altezze relative a due lati omologhi sono proporzionali ai lati stessi.
C
C'
ABC ~ A'B'C'
B
A
H
B
A'
H'
Hp.:
B'
CH ⊥ AB
CH ⊥ A'B'
CH ≅ C'H'
Th.: AB : A'B' = CH : C'H'
B
[oppure, la formulazione
equivalente: in due triangoli simili, due lati stanno fra loro come le rispettive altezze]
Dimostrazione
Consideriamo i triangoli ACH e A'C'H'; essi hanno:
CAH ≅ C'A'H'
perché angoli omologhi dei triangoli ABC e A'B'C', simili per ipotesi;
AHC ≅ ACH
perché entrambi retti.
I due triangoli sono quindi simili per il COROLLARIO 1 del primo criterio di similitudine dei triangoli.
Si ha, pertanto, che i lati omologhi sono in proporzione; cioè: AC : A'C' = CH : C'H'.
Inoltre, per la similitudine dei triangoli dati, si ha: AB : A'B' = AC : A'C' .
Dalle ultime due relazioni segue, per la proprietà transitiva dell’uguaglianza, che: AB : A'B' = CH : C'H'
C.V.D.
131
Geometria - secondo anno
PROVA TU a dimostrare il seguente
COROLLARIO
In due triangoli simili, le altezze relative a due lati omologhi sono proporzionali ad una qualsiasi coppia di lati
corrispondenti.
TEOREMA
In due triangoli simili, le mediane relative a due lati omologhi sono proporzionali ad una coppia di lati corrispondenti.
[PROVA TU]
TEOREMA
In due triangoli simili, le bisettrici relative a due angoli omologhi sono proporzionali ad una coppia di lati
corrispondenti. [PROVA TU]
TEOREMA
I perimetri di due triangoli simili sono proporzionali a due qualsiasi lati omologhi.
[dove 2p e 2p' indicano rispettivamente i perimetri dei triangoli ABC e A'B'C']
Dimostrazione
I triangoli ABC e A'B'C' sono simili per ipotesi e, quindi, i lati omologhi sono in proporzione; risulta cioè:
AB : A'B' = BC : B'C' = AC : A'C' .
Applicando a questa catena di rapporti uguali la proprietà del comporre (“in una catena di rapporti uguali, la somma degli
antecedenti sta alla somma dei conseguenti, come un antecedente qualsiasi sta al proprio conseguente”), si ha:
(AB + BC + AC) : (A'B' + B'C' + A'C') = AB : A'B'.
Poiché: AB + BC + AC = 2p e A'B' + B'C' + A'C' = 2p' si ha: 2p : 2p' = AB : A'B'
C.V.D.
TEOREMA
Le aree di due triangoli simili sono proporzionali ai quadrati di due lati omologhi.
[Abbiamo indicato con:
132
-
A e A' rispettivamente le aree dei triangoli ABC e A'B'C';
-
a e a' rispettivamente le lunghezze dei due lati omologhi AB e A'B']
Book in
progress
10. La similitudine tra figure piane
Dimostrazione
Osserviamo innanzitutto che se quattro segmenti sono in proporzione (e, quindi, sono in proporzione le loro misure),
risultano in proporzione anche i quadrati costruiti su di essi.
Infatti, se a, a', b, b' sono le lunghezze di quattro segmenti in proporzione, si ha:
Elevando ambo i membri al quadrato, si ottiene:
da cui risulta che sono in proporzione anche i quadrati costruiti sui quattro segmenti.
Indichiamo, ora, con h e h' le misure delle altezze relative rispettivamente ai lati a e a' (fig. 9):
Si ha:
e, passando ai loro rapporti:
Poiché i due triangoli sono simili si ha che:
(le altezze relative a due lati omologhi sono proporzionali ai lati stessi),
per cui, sostituendo nella relazione (*), si ottiene:
in altre parole, il rapporto delle aree è uguale al quadrato del rapporto di similitudine.
C.V.D.
PROVA TU il seguente:
TEOREMA
Le aree di due triangoli simili sono proporzionali ai quadrati di due qualsiasi altezze corrispondenti.
Abbiamo analizzato in precedenza i teoremi di Euclide e di Pitagora mediante l’equivalenza tra figure piane (unità 8), adesso,
“rivediamo” tali teoremi alla luce della teoria della similitudine.
1° TEOREMA DI EUCLIDE
In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso
sull’ipotenusa.
Dimostrazione
Osserviamo che i triangoli ABC e ACH, retti rispettivamente in C e in H, hanno l’angolo di vertice A in comune; pertanto i
due triangoli sono simili (COROLLARIO 1 del primo criterio di similitudine dei triangoli).
Ne consegue che i lati omologhi sono in proporzione per cui, considerando lati opposti ad angoli congruenti, si ha:
AB : AC = AC : AH e con ciò resta dimostrato il punto 1).
133
Geometria - secondo anno
Per dimostrare il punto 2), si considerano i triangoli ABC e BCH, retti rispettivamente in C e in H e si osserva che tali triangoli
hanno l’angolo di vertice B in comune per cui sono simili (COROLLARIO 1 del primo criterio di similitudine dei triangoli).
Segue che i lati omologhi sono in proporzione per cui, considerando lati opposti ad angoli congruenti, si ha:
AB : BC = BC : BH
C.V.D.
TEOREMA DI PITAGORA
In un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati
costruiti sui cateti.
Dimostrazione
Per il primo teorema di Euclide si hanno le seguenti uguaglianze: AC2 = AB · AH e BC2 = AB · BH
Sommando membro a membro tali uguaglianze si ha:
cioè:
C.V.D.
2° TEOREMA DI EUCLIDE
In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti stessi
sull’ipotenusa.
Dimostrazione
Osserviamo che:
quindi:
(PERCHÉ?)
(PERCHÉ?) ;
per la proprietà transitiva della relazione di similitudine.
Pertanto risultano in proporzione i lati opposti ad angoli congruenti, in particolare: AH : CH = CH : BH
C.V.D.
Valgono i teoremi inversi dei teoremi di Euclide e di Pitagora.
In particolare abbiamo già visto il TEOREMA INVERSO DEL TEOREMA DI PITAGORA :
Se in un triangolo la somma dei quadrati delle misure di due lati è uguale al quadrato della misura del
terzo lato, allora il triangolo è rettangolo.
[Ricorriamo a tale teorema quando abbiamo un triangolo di cui sono note le misure dei lati e dobbiamo verificare se è
rettangolo]. ENUNCIA i teoremi inversi dei teoremi di Euclide.
PROVA TU
a. Disegna un triangolo rettangolo e scrivi le proporzioni che esprimono il primo teorema di Euclide.
b. Disegna un triangolo rettangolo e scrivi la proporzione che esprime il secondo teorema di Euclide.
134
Book in
progress
10. La similitudine tra figure piane
10.5 LA sImILITUDINE DEI POLIGONI
Abbiamo già detto che per dimostrare che due poligoni (che non siano triangoli) sono simili, dobbiamo dimostrare che gli
angoli sono congruenti e che i lati corrispondenti sono in proporzione.
Esistono, però, dei criteri di similitudine per i poligoni; precisamente:
Due poligoni di ugual numero di lati sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati omologhi in
proporzione, tranne:
1) tre angoli interni relativi a due lati consecutivi;
2) un lato e due angoli ad esso adiacenti;
3) due lati consecutivi e l’angolo tra essi compreso, sui quali elementi non si fa alcuna ipotesi.
Nel caso, poi, di poligoni regolari vale il seguente:
TEOREMA
Due poligoni regolari con ugual numero di lati sono simili.
PROVA TU a dimostrare il teorema.
Ora ci limitiamo ad enunciare alcuni teoremi:
TEOREMA
I perimetri di due poligoni simili stanno fra loro come due lati corrispondenti (e, quindi, il loro rapporto è uguale al
rapporto di similitudine k dei poligoni).
TEOREMA
Le diagonali corrispondenti di due poligoni simili stanno fra loro come i lati corrispondenti (e, quindi, il loro rapporto
è uguale al rapporto di similitudine k dei poligoni).
TEOREMA
I perimetri di due poligoni regolari con ugual numero di lati stanno fra loro come i rispettivi raggi e come i rispettivi
apotemi (e, quindi, il loro rapporto è uguale al rapporto di similitudine k dei poligoni). PERCHÉ?
TEOREMA
Due poligoni simili stanno fra loro come i quadrati costruiti su due loro lati corrispondenti (e, quindi, il rapporto tra
le aree di due poligoni simili è uguale al quadrato del rapporto di similitudine k dei poligoni).
TEOREMA
Le aree di due poligoni regolari con ugual numero di lati stanno fra loro come i quadrati dei rispettivi raggi e come
i quadrati dei rispettivi apotemi (e, quindi, il rapporto tra le aree è uguale al quadrato del rapporto di similitudine k dei
poligoni). PERCHÉ?
In genere, le dimostrazione dei teoremi su riportati si effettuano scomponendo i poligoni
dati in triangoli simili.
135
Geometria - secondo anno
10.6 APPLIcAZIONE DELLA sImILITUDINE A cORDE, TANGENTI, sEcANTI E bIsETTRIcI
TEOREMA DELLE DUE CORDE
Se per un punto interno ad una circonferenza si conducono due corde, esse si dividono in modo che le due parti
dell’una sono i medi e le due parti dell’altra sono gli estremi di una proporzione.
[Costruisci la figura in base all’enunciato del teorema, aiutandoti anche con le relazioni espresse dall’ipotesi].
Dimostrazione
Dopo aver unito A con D e B con C, consideriamo i triangoli ADP e BCP; essi hanno:
APD ≅ CPB perché angoli opposti al vertice;
DAP ≅ BCP perché insistono sullo stesso arco BD (e/o ADP ≅ …… )
I triangoli sono, quindi, simili per il primo criterio di similitudine per cui vale la proporzione tra i lati omologhi; cioè:
AP : CP = PD : PB
C.V.D.
PROVA TU a dimostrare il teorema congiungendo A con C e B con D.
TEOREMA DELLE DUE SECANTI
Se per un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti, si ha che una secante e la sua parte
esterna formano i medi, l’altra secante e la sua parte esterna gli estremi di una proporzione.
[Costruisci la figura in base all’enunciato del teorema, aiutandoti anche con le relazioni espresse dall’ipotesi].
Dimostrazione
I triangoli CPB e APD hanno l’angolo di vertice P in comune e gli angoli in B e in D congruenti perché angoli alla circonferenza
che insistono sullo stesso arco.
I due triangoli sono perciò simili per il primo criterio di similitudine; vale, quindi, la proporzione tra i lati omologhi e cioè:
AP : PC = PD : PB
C.V.D.
136
Book in
progress
10. La similitudine tra figure piane
TEOREMA DELLA SECANTE E DELLA TANGENTE
Se per un punto esterno ad una circonferenza si conducono una secante ed una tangente, si ha che la tangente
è media proporzionale tra l’intera secante e la parte esterna di questa.
[Costruisci la figura in base all’enunciato del teorema, aiutandoti anche con le relazioni espresse dall’ipotesi].
Dimostrazione
I triangoli PBT e PTA hanno gli angoli di vertice P in comune e gli angoli in T e in A congruenti perché insistono sullo stesso
arco BT; perciò i triangoli PBT e PTA sono simili per il primo criterio di similitudine.
Vale, quindi, la proporzione tra i lati omologhi; cioè: AP : PT = PT : PB
C.V.D.
Enunciamo adesso due teoremi, di notevole importanza applicativa, che discendono dal teorema di Talete.
TEOREMA DELLA BISETTRICE DELL’ANGOLO INTERNO
La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati.
C
°°
A
B
D
TEOREMA DELLA BISETTRICE DELL’ANGOLO ESTERNO
Se la bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto al vertice
considerato, le distanze del punto d’incontro dagli estremi di quel lato sono direttamente proporzionali agli altri
due lati.
E
A
B
°
°
C
D
137
Geometria - secondo anno
10.7 sEZIONE AUREA
Vogliamo risolvere il seguente problema:
“dividere un segmento in due parti tali che una di esse sia media proporzionale fra l’intero segmento e la parte
rimanente”.
.
.
Sia AB il segmento dato (fig. 10):
A
B
fig. 10
Conduciamo dall’estremo B la perpendicolare ad AB e
prendiamo su tale perpendicolare il punto O tale che
.O
(fig. 11):
.
A
.
B
fig. 11
Tracciamo la circonferenza di centro O e raggio OB (fig. 12):
la circonferenza è tangente in B ad AB
Conduciamo ora la retta AO ed indichiamo con C e D
i suoi punti d’intersezione con la circonferenza (fig. 13):
Consideriamo su AB il punto P tale che AP ≅ AC
(“segnare AP e AC con il simbolo / ”) [fig. 14]:
Applicando il teorema della secante (AD) e della tangente (AB) si ha la seguente proporzione: AD : AB = AB : AC
da cui, per la proprietà dello scomporre, si ottiene: (AD – AB) : AB = (AB – AC) : AC . (*)
Osservando che: AB ≅ CD (PERCHÉ?) e che AC ≅ AP,
si ha: AD – AB ≅ AD – CD ≅ AC ≅ AP e AB – AC ≅ AB – AP ≅ PB
Pertanto la relazione (*) diventa: AP : AB = PB : AP
o, anche: AB : AP = AP : PB
Possiamo, pertanto, concludere che il segmento AB è stato diviso in due parti, AP e PB, tali che una di esse (AP) risulta
media proporzionale fra l’intero segmento e la parte rimanente (PB).
138
Book in
progress
10. La similitudine tra figure piane
Si hanno le seguenti definizioni:
- Si dice sezione o parte aurea di un segmento AB la parte AP di esso che è media proporzionale tra l’intero segmento
e la parte restante PB.
- Si definisce rapporto aureo o numero aureo o costante di Fidia o, ancora, proporzione divina il rapporto tra un
segmento AB e la sua sezione aurea.
Il rapporto aureo viene generalmente indicato con la lettera greca ϕ (“ fi ”), dall’iniziale del nome dello scultore greco Fidia
che avrebbe usato il rapporto aureo per creare le sculture del Partenone, tempio greco, dedicato alla dea Atena, che sorge
sull'Acropoli di Atene.
In generale, nelle opere d’arte, il rapporto aureo viene considerato come ideale di bellezza e armonia.
Relativamente al nostro problema, AP è la parte aurea del segmento AB, mentre il rapporto
Per calcolare il valore numerico del rapporto
si procede nel seguente modo:
-
si scrive la proporzione AB : AP = AP : PB come uguaglianza di due rapporti, cioè:
-
si osserva che PB ≅ AB – AP e si sostituisce tale relazione nell’uguaglianza precedente,
così da avere:
e ancora:
-
Ponendo
e, quindi:
è il rapporto aureo.
e, passando ai reciproci, si ottiene:
cioè:
la relazione precedente diventa:
(da cui: AB ≈ 1,618 AP).
Come applicazione della nozione di sezione aurea, “vediamo” la relazione che lega il lato del decagono regolare inscritto in
una circonferenza al raggio della circonferenza stessa.
Vale il seguente
TEOREMA
Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è la parte aurea del raggio.
[limitiamoci a considerare la decima parte del decagono regolare e, quindi, un angolo al centro
AOB di 36° (360° : 10 = 36°)] [fig. 15]:
Dimostrazione
Osserviamo che il triangolo AOB è isoscele
sulla base AB, con l’angolo al vertice di 36°;
pertanto si ha che: OAB ≅ OBA = 72°
[fig. 16]:
139
Geometria - secondo anno
Tracciamo la bisettrice dell’angolo OAB e indichiamo con C
la sua intersezione con il lato OB (fig. 17):
Osserviamo che:
- il triangolo ABC è isoscele sulla base BC perché ACB = 72°
(e, quindi ABC ≅ ACB);
- il triangolo OAC è isoscele sulla base OA perché CAO ≅ COA = 36°.
Quindi:
AB ≅ AC≅ CO = l10 , dove l10 indica la misura del lato del decagono
regolare inscritto nella circonferenza
(“segnare AB, AC, CO con il simbolo * ”) [fig. 18]:
I triangoli OAB e ABC, avendo gli angoli corrispondenti congruenti,
sono simili per cui possiamo scrivere la seguente proporzione tra lati
omologhi: OB : AC = AB : BC
che è equivalente a: OB : OC = OC : BC
Quindi OC è la parte aurea di OB, il che è lo stesso dire che il lato
AB ( ≅ OC) del decagono regolare inscritto nella circonferenza è la parte
aurea del raggio.
[Possiamo, pertanto, scrivere:
C.V.D.
140
Book in
progress
10. La similitudine tra figure piane
EsERcIZI sULLA sImILITUDINE
conoscenza e comprensione
1) Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:
a) in una qualsiasi similitudine l’orientamento dei punti è un invariante.
b) nella corrispondenza di Talete, il rapporto tra segmenti è un invariante.
c) due figure simili hanno la stessa forma.
d) la relazione di similitudine non è una relazione di equivalenza.
e) se due triangoli sono congruenti allora sono simili.
f) se due triangoli sono simili allora sono congruenti.
g) i lati corrispondenti di due triangoli simili sono proporzionali.
h) se due triangoli sono simili hanno area diversa.
i) se due triangoli sono simili, uno di essi è equilatero e uno rettangolo.
j) se due triangoli hanno gli angoli ordinatamente congruenti non sono
necessariamente simili.
k) tutti i triangoli equilateri sono simili tra loro.
l) tutti i triangoli isoscele sono simili tra loro.
m) tutti i quadrati sono simili tra loro.
n) tutti i rettangoli sono simili tra loro.
o) tutti gli esagoni regolari sono simili tra loro.
2) Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:
a) tutti i trapezi isosceli sono simili tra loro.
b) se due poligoni sono simili e il rapporto di similitudine è 1,
i due poligoni sono congruenti.
c) poligoni equiestesi sono necessariamente simili.
d) se due triangoli sono simili e k è il rapporto di similitudine, allora
è k anche il rapporto tra le loro altezze.
e) se due poligoni sono simili e k è il rapporto di similitudine, allora
è k anche il rapporto dei loro perimetri.
f) se due poligoni sono simili e k è il loro rapporto di similitudine, allora
è k anche il rapporto tra le loro aree.
g) due triangoli isosceli sono sempre simili.
h) non è vero che due triangoli equilateri sono sempre simili.
i) se due poligoni sono suddivisi in poligoni simili, allora sono simili.
j) se due figure piane sono equiscomponibili, allora sono simili.
k) se due figure piane sono simili, allora sono equiscomponibili.
3) Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:
a) in due triangoli simili gli angoli omologhi sono congruenti.
b) due triangoli simili hanno i lati omologhi congruenti.
c) figure piane simili hanno aree uguali.
d) non è detto che due poligoni regolari con lo stesso numero di lati
siano simili tra loro.
e) due trapezi rettangoli sono necessariamente simili.
f) due quadrati qualsiasi sono necessariamente simili.
g) due rettangoli non sono necessariamente simili.
h) le aree di due poligoni simili sono proporzionali al quadrato del
rapporto delle misure di due lati omologhi.
i) due figure simili hanno la stessa estensione.
j) due poligoni che hanno tutti gli angoli congruenti sono simili.
k) due triangoli che hanno due angoli congruenti sono simili.
q
q
q
q
q
q
q
q
q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
q
q
q
q
q
q
q
q
q
F
F
F
F
F
F
F
F
F
q
q
q
q
q
q
V
V
V
V
V
V
q
q
q
q
q
q
F
F
F
F
F
F
q V
q
F
q V
q V
q
q
F
F
q V
q
F
q V
q
F
V
V
V
V
V
V
q
q
q
q
q
q
F
F
F
F
F
F
q V
q V
q V
q
q
q
F
F
F
q
q
q
q
V
V
V
V
q
q
q
q
F
F
F
F
q
q
q
q
V
V
V
V
q
q
q
q
F
F
F
F
q
q
q
q
q
q
141
Geometria - secondo anno
l) due triangoli che hanno i lati omologhi congruenti sono simili.
m) due poligoni che hanno i lati omologhi in proporzione sono simili.
n) due triangoli che hanno gli angoli omologhi congruenti sono simili.
o) due triangoli sono simili se hanno i lati omologhi in proporzione.
4) Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:
a) due triangoli sono simili se hanno un angolo congruente
e due lati omologhi in proporzione.
b) due rombi che hanno un angolo congruente sono simili.
c) due trapezi isosceli che hanno due angoli congruenti non
sono necessariamente simili.
d) due figure simili hanno i lati corrispondenti in proporzione
e gli angoli omologhi congruenti.
e) la relazione di similitudine è una relazione di equivalenza.
f) se due triangoli sono congruenti allora non sono simili.
g) avere i lati in proporzione è una condizione necessaria,
ma non sufficiente, affinché due triangoli siano simili.
h) avere i lati in proporzione è una condizione sufficiente,
ma non necessaria, affinché due triangoli siano simili.
i) per due quadrilateri avere i lati in proporzione è una condizione
necessaria affinché i due quadrilateri siano simili.
j) in due poligoni simili i lati omologhi sono in proporzione e gli
angoli omologhi sono congruenti.
k) se due triangoli hanno ordinatamente gli angoli congruenti sono
necessariamente simili.
V
V
V
V
q
q
q
q
F
F
F
F
q V
q V
q
q
F
F
q V
q
F
q V
q V
q V
q
q
q
F
F
F
q V
q
F
q V
q
F
q V
q
F
q V
q
F
q V
q
F
q
q
q
q
5) Cosa si intende con l’espressione “figure simili”?
6) Cosa si intende con l’espressione lati “omologhi”?
7) Cosa si intende con l’espressione “angoli omologhi”?
8) Due figure simili hanno la stessa forma?
9) La relazione di similitudine è una relazione di equivalenza?
10) La lunghezza di un segmento è invariante in una similitudine? E l’ampiezza degli angoli?
11) La congruenza fra poligoni è una similitudine?
12) In due poligoni simili gli angoli omologhi sono congruenti?
13) Perché nei triangoli la congruenza degli angoli e la proporzionalità dei lati sono proprietà equivalenti?
14) Qual è l’enunciato del primo criterio di similitudine dei triangoli?
15) Dimostra il primo criterio di similitudine dei triangoli.
16) Qual è l’enunciato del secondo criterio di similitudine dei triangoli?
17) Dimostra il secondo criterio di similitudine dei triangoli.
18) Qual è l’enunciato del terzo criterio di similitudine dei triangoli?
19) Dimostra il terzo criterio di similitudine dei triangoli.
20) Enuncia e dimostra il terzo criterio di similitudine fra triangoli.
21) Se due triangoli hanno ordinatamente gli angoli congruenti sono simili? Perché?
22) Se due triangoli hanno due angoli congruenti sono simili? Perché?
23) Se due triangoli hanno i lati in proporzione sono simili? Perché?
24) Un triangolo isoscele può essere simile a un triangolo scaleno? Perché?
25) Un triangolo acutangolo può essere simile ad un triangolo rettangolo? Perché?
142
Book in
progress
10. La similitudine tra figure piane
26) Sapendo che i due triangoli ABC e A'B'C' rappresentati in figura sono simili, completa le scritture seguenti:
a) i lati AB, A'B' sono lati ……………………. dei triangoli;
b) i lati …… , …… e i lati ……, …… sono le altre due coppie
di lati omologhi dei triangoli;
c) le coppie degli angoli omologhi dei triangoli ABC e A'B'C'
sono …… e …… , …… e ……, …… e …… .
27) Riferendoti alla precedente figura, quale delle seguenti proposizioni è vera?
a) AB e A'B' sono lati omologhi, ma non lo sono la coppia di lati AC e A'C'.
b) I triangoli ABC e A'B'C' sono congruenti e quindi non sono simili.
c) Gli angoli ABC e A'B'C' non sono angoli omologhi.
d) I triangoli ABC e A'B'C' sono congruenti e quindi sono simili.
e) Gli angoli ACB e A'B'C' sono angoli omologhi.
f) I triangoli ABC e A'B'C' sono simili e quindi sono congruenti.
28) Utilizzando la similitudine, dimostra il teorema della bisettrice dell’angolo interno di un triangolo.
29) E' vero che se i perimetri di due triangoli simili sono l’uno il doppio dell’altro, ciascun lato del triangolo di perimetro
maggiore è doppio del corrispondente lato dell’altro triangolo? Perché?
30) Cosa si intende per sezione aurea di un segmento?
31) Riferendoti alla figura a lato, sapendo che la retta r è parallela al lato AB, dimostra che i due triangoli ABC e A'B'C sono
simili completando le scritture seguenti:
Poiché AB e A'B' sono segmenti paralleli, per il teorema inverso del ...………………………..…………………………
…………………………. gli angoli BAC e …….., angoli ……………………………………. formati dalle rette parallele
…… e …… tagliate dalla trasversale ……, sono ……………………………….. .
Analogamente gli angoli …… e A'B'C sono ……………………………. perché angoli corrispondenti…………………
…………………………………………………………………………………………… .
Quindi per ………………………………………………………………………………………. i due triangoli sono ………
……………………………………………………………………………………
C.V.D.
32) Due poligoni regolari che hanno un angolo congruente sono simili? Perché?
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
33) Una sola delle seguenti proposizioni è vera. Quale?
a) Due triangoli rettangoli sono simili solo se hanno un angolo congruente.
b) Due triangoli rettangoli sono sempre simili.
c) Se il rapporto tra le ipotenuse di due triangoli rettangoli è k, allora i due triangoli rettangoli sono simili.
d) Un triangolo equilatero può essere simile ad un particolare triangolo equilatero.
e) Solo se il rapporto tra i cateti di due triangoli rettangoli è k, allora i due triangoli rettangoli sono simili.
f) Due triangoli rettangoli sono simili se hanno un angolo acuto congruente.
143
Geometria - secondo anno
34) Se due triangoli sono simili e la loro costante di proporzionalità è k, allora è k anche il rapporto tra le altezze relative a
due qualsiasi lati omologhi? Perché?
35) Se due triangoli sono simili e la loro costante di proporzionalità è k, allora è k anche il rapporto tra i loro perimetri?
Perché?
36) Se due poligoni regolari sono simili e la loro costante di proporzionalità è k, allora è k anche il rapporto tra i loro apotemi?
Perché?
37) Se due triangoli sono simili e la loro costante di proporzionalità è k, allora è k anche il rapporto tra le loro aree? Perché?
38) Completa:
Due triangoli si dicono simili se …………………………………………...............…………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
Il primo criterio di similitudine dice che due triangoli sono simili se …………….…………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
Il secondo criterio di similitudine dice che due triangoli sono simili se ...……………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
Il terzo criterio di similitudine dice che due triangoli sono simili se …………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………….......
Due poligoni si dicono simili se ..…………………………………………………..…………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
39) Che relazione c’è fra i perimetri di due triangoli simili? E fra i perimetri di due poligoni simili?
40) Che relazione c’è fra le aree di due triangoli simili? E fra le aree di due poligoni simili?
41) Se DE e D'E' sono i lati corrispondenti di due poligoni simili e k è il loro rapporto, quanto vale il rapporto tra i loro
perimetri?
42) Se due poligoni sono simili e k e il rapporto dei loro perimetri, quanto vale il rapporto fra le loro aree?
Problemi su triangoli e poligoni
43) Siano dati due triangoli rettangoli ABC (rappresentato
in figura) e A'B'C' tali che AB = 2AC ed A'B'= 2A'C'.
Disegna, accanto al triangolo ABC, il triangolo A'B'C'
e, motivando in modo esauriente, rispondi alla
seguente domanda: i due triangoli rettangoli sono
simili?
SI
NO
Eventuale criterio di similitudine: ………………………………………….
- perché hanno i cateti………………………………………………………e l'angolo fra essi compreso ....………..................
- perché ………………………………………………………………………………………………………………………..…...
44) Due triangoli ABC e A'B'C', con le seguenti coppie di lati corrispondenti:
AB = 3 e A'B' = 9; BC = 8 e B'C' = 24; AC = 6 e A'C' = 18, sono simili? Perché?
45) Due triangoli hanno i lati lunghi rispettivamente 3m, 8m, 6m e 24m, 9m, 18m. È vero che i due triangoli non sempre
sono simili? Motiva in modo esauriente la risposta.
46) Sotto quale ipotesi un triangolo isoscele può essere simile a un triangolo scaleno? Perché?
47) Disegna due triangoli ABC e A'B'C' con un angolo congruente e per i quali valga la seguente proporzione:
AB : A'B' = BC : B'C'. I due triangoli sono sempre simili? Perché?
48) Due rombi che hanno un angolo interno congruente sono sempre simili? Dimostralo.
49) Disegna il parallelogramma ABCD e prolunga il lato CD, dalla parte di C, di un segmento CE, scelto a piacere. Congiungi
il vertice A con l’estremo E ed indica con O il punto di intersezione fra il segmento AE e il lato BC. Dimostra che i
triangoli ABO e CEO sono simili tra loro.
144
Book in
progress
10. La similitudine tra figure piane
50) Disegna il trapezio isoscele ABCD, traccia le sue diagonali AC e BD ed indica con O il loro punto di intersezione.
Dimostra che il trapezio viene diviso in quattro triangoli, due dei quali sono congruenti tra loro e gli altri due simili.
51) Sia dato un triangolo ABC retto in A. Da un punto qualsiasi P dell’ipotenusa BC, manda le perpendicolari ai cateti AB
e AC ed indica rispettivamente con H e K i piedi di tali perpendicolari. Motivando in modo esauriente, individua, nella
figura che hai ottenuto, quanti e quali triangoli sono simili tra loro.
52) Considera un triangolo ABC e conduci da un punto qualsiasi D del lato AC una retta r che incontri il lato BC nel punto
E tale che DEC ≅ CAB. Dimostra che i triangoli ABC e DEC sono simili.
53) Dato il triangolo ABC, conduci da un punto D qualsiasi del lato AC la retta r parallela al lato AB fino ad incontrare in E
il lato BC. Dimostra che il triangolo DEC è simile al triangolo ABC.
54) Dato il triangolo qualsiasi ABC, conduci:
- da un punto D del lato AC la retta r parallela al lato AB e sia r ∩ BC = {E};
- da un punto F del lato AB la retta s parallela al lato AC e sia s ∩ BC = {G}.
Dimostra che si vengono a formare quattro triangoli simili tra loro.
55) Disegna un triangolo ABC acutangolo e conduci le altezze relative a due suoi lati. Dimostra che si ottengono due
triangoli simili.
56) Dimostra che in due triangoli simili le altezze relative a due lati omologhi sono direttamente proporzionali:
a) alle rispettive basi;
b) a due qualsiasi lati omologhi;
c) ai perimetri dei due rispettivi triangoli.
57) Dimostra che in due triangoli simili le bisettrici di due angoli omologhi sono direttamente proporzionali:
a) a due qualsiasi lati omologhi;
b) alle altezze relative a due lati omologhi;
c) ai perimetri dei due rispettivi triangoli.
58) Dimostra che in due triangoli simili le mediane relative a due lati omologhi sono direttamente proporzionali:
a) a due qualsiasi lati omologhi;
b) alle altezze relative a due lati omologhi;
c) alle bisettrici relative a due angoli omologhi;
d) ai perimetri dei due rispettivi triangoli.
59) Disegna un angolo acuto e da due punti qualsiasi di un suo lato manda le perpendicolari all’altro.
Ottieni due triangoli simili? Disegna e motiva in modo esauriente la risposta.
60) Dati due triangoli simili, traccia le mediane relative a due lati omologhi. Quante coppie di triangoli simili si vengono a
formare? Per quale criterio di similitudine?
61) Dati due triangoli simili, traccia le altezze relative a due lati omologhi. Quante coppie di triangoli simili si vengono a
formare? Per quale criterio di similitudine?
62) Dati due triangoli simili, traccia le bisettrici relative a due angoli omologhi. Quante coppie di triangoli simili si vengono a
formare? Per quale criterio di similitudine le coppie di triangoli risultano simili?
63) Dato un triangolo rettangolo ABC, di ipotenusa AB, conduci dal vertice dell’angolo retto una retta r che interseca AB
in un suo punto interno P. Dette A' e B' le proiezioni ortogonali di A e B su r, individua, nella figura ottenuta, una coppia
di triangoli simili, specificando il criterio di similitudine usato.
64) Disegna un angolo acuto AOB. Da un punto qualsiasi A di un suo lato manda la perpendicolare all’altro e dal piede B
di tale perpendicolare conduci la perpendicolare al primo lato e vai avanti con la costruzione così, passo dopo passo.
Trovi dei triangoli simili? Quanti triangoli simili trovi dopo due passi?
65) Se in un triangolo ABC si traccia il segmento di estremi M e N, punti medi di due suoi lati, allora la mediana al terzo lato
interseca il segmento MN nel suo punto medio.
66) Dimostra che in un trapezio rettangolo, se le diagonali sono perpendicolari fra loro, vengono a formarsi due triangoli
simili.
145
Geometria - secondo anno
67) Un trapezio rettangolo ABCD ha la diagonale AC perpendicolare al lato obliquo BC. Dimostra che l’altezza del trapezio
è media proporzionale tra la base minore e la differenza delle basi.
68) Dimostra che, unendo tra loro i punti medi dei lati di un triangolo equilatero, si ottengono triangoli simili tra loro e simili
al triangolo dato.
69) Prolunga i lati non paralleli di un trapezio fino al loro punto di incontro. Dimostra che si ottengono due triangoli simili.
70) Dato un triangolo ABC, se si conducano tre rette, perpendicolari rispettivamente ai tre lati, si viene a formare un triangolo
simile al triangolo dato.
71) Sia ABCD un trapezio rettangolo di base maggiore AB e base minore DC. Congiungi il punto medio M del lato AD con
i vertici B e C. Dimostra che se l’angolo CMB è retto, i due triangoli ABM e DCM sono simili.
72) Disegna il rettangolo ABCD e prolunga i lati AB e BC rispettivamente di un segmento AE e CF, in modo tale che il
segmento FE intersechi i lati AD e DC rispettivamente nei punti G ed L.
Dimostra che i triangoli EAG, GDL, LFC e EBF sono tutti simili tra loro.
73) Disegna il parallelogramma ABCD e prolunga i lati AD e BC rispettivamente dei segmenti AF e CE non necessariamente
congruenti. Congiungi F con E e conduci la diagonale DB. Utilizzando i criteri di similitudine dei triangoli, individua nella
figura tutti i triangoli simili.
74) Due poligoni regolari con lo stesso numero di lati sono simili.
75) Tracciando da due vertici corrispondenti di due poligoni simili tutte le possibili diagonali, i poligoni vengono divisi nello
stesso numero di triangoli rispettivamente simili tra loro.
similitudine e i teoremi di Euclide
conoscenza e comprensione
76) Utilizzando i criteri di similitudine fra triangoli, enuncia e dimostra il primo Teorema di Euclide.
77) Utilizzando i criteri di similitudine fra triangoli, enuncia e dimostra il secondo Teorema di Euclide.
78) Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:
a) Ogni triangolo rettangolo è diviso dall’altezza relativa all’ipotenusa in due triangoli simili.
b) Ogni triangolo rettangolo ABC è diviso dall’altezza relativa all’ipotenusa
in due triangoli simili entrambi al triangolo ABC stesso.
c) In ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa
e la proiezione dell’altro cateto sull’ipotenusa stessa.
d) In ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media
proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa stessa.
e) In ogni triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra l’ipotenusa
e l’altezza relativa all’ipotenusa stessa.
f) In ogni triangolo rettangolo l’ipotenusa è media proporzionale tra le
proiezioni dei cateti sull’ipotenusa stessa.
g) In un triangolo rettangolo il prodotto delle lunghezze delle proiezioni dei
due cateti sull’ipotenusa è uguale al quadrato della misura dell’altezza
relativa all’ipotenusa.
h) In un triangolo rettangolo il prodotto tra la lunghezza dell’ipotenusa e la
proiezione di un cateto su di essa è uguale al quadrato della misura del cateto stesso.
i) In un triangolo isoscele ciascun lato obliquo è medio proporzionale tra
l’altezza relativa alla base e il diametro della circonferenza circoscritta
al triangolo isoscele dato.
l) In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è media proporzionale
tra la sua proiezione sul lato obliquo e il lato obliquo stesso.
146
q V
q F
q V
q F
q V
q F
q V
q F
q V
q F
q V
q F
q V
q F
q V
q F
q V
q F
q V
q F
Book in
progress
10. La similitudine tra figure piane
79) Rispondi alle seguenti domande motivando in modo esauriente:
a) Perché un triangolo rettangolo è suddiviso, dall’altezza relativa all’ipotenusa, in due triangoli rettangoli simili al
triangolo dato?
b) Perché in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la sua proiezione sull’ipotenusa e l’ipotenusa
stessa?
c) Perché il segmento di perpendicolare condotto da un punto generico di una circonferenza ad un qualsiasi diametro
è medio proporzionale tra i due segmenti in cui il diametro considerato rimane diviso dal piede della perpendicolare?
d) Perché in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei due cateti
sull’ipotenusa stessa?
e) Perché in un triangolo rettangolo il prodotto tra la lunghezza dell’ipotenusa e la proiezione di un cateto su di essa
è uguale al quadrato della misura del cateto stesso?
f) Perché in un triangolo isoscele ciascun lato obliquo è medio proporzionale tra l’altezza relativa alla base e il diametro
della circonferenza circoscritta al triangolo isoscele dato?
Problemi
80) Dimostra che ogni corda di un cerchio è media proporzionale fra il diametro condotto da un suo estremo e la sua
proiezione sul diametro stesso.
81) Dimostra che il rapporto tra due lati di un triangolo è uguale al reciproco del rapporto tra le proiezioni dell'altezza relativa
al terzo lato sui primi due lati.
82) Dimostra che se da un punto di una circonferenza conduci la perpendicolare ad un diametro qualsiasi della
circonferenza, questo rimane diviso in due parti tali che la perpendicolare è media proporzionale tra queste due parti.
83) Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB e CH ne sia l’altezza relativa. Prolunga AB di un segmento BD in modo
che CDB = CBD − 90°. Dimostra che l’altezza è media proporzionale tra i segmenti AH e HD.
84) Disegna una circonferenza di diametro AB. Dimostra che una qualsiasi corda ad esso perpendicolare lo divide in due
parti tali che il quadruplo del loro prodotto è uguale al quadrato della corda stessa.
85) Dato un triangolo ABC, sia AM la mediana relativa al lato BC. Prendi un punto D su BC, distinto da M, e conduci da D
la parallela alla mediana AM. Indicati rispettivamente con E ed F i punti d’intersezione di tale parallela con le rette dei
lati AB e AC, dimostra che: AE : AB = AF : AC .
86) Dato un triangolo acutangolo ABC, considera:
- la proiezione di AB su BC;
- la proiezione di BC su AB.
Dimostra che i lati AB e BC stanno tra di loro come le rispettive proiezioni.
[suggerimento: considera due triangoli rettangoli di ipotenuse AB e BC e di cateti ………….. ]
similitudine e circonferenza
conoscenza e comprensione
Completa le seguenti frasi:
87) Il Teorema della corda dice che: in una circonferenza due …………… incidenti si tagliano in modo che le parti dell’una
formano i …………. e le parti dell’altra formano gli …………… di una ……………………………. .
88) Il Teorema delle due secanti dice che: se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due ………….......
alla circonferenza stessa, allora un segmento secante e la sua parte esterna sono i …………. e l’altro segmento secante
e la sua parte ……………. formano gli …………………….. di una proporzione.
89) Il Teorema della secante e della tangente dice che: se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono una
secante e una tangente alla ……….................... stessa, allora il segmento tangente è medio …………………………
tra il segmento ………...………... e la sua parte esterna.
90) Stabilisci quali tra le seguenti affermazioni sono vere e quali false:
a) In una circonferenza due corde incidenti si tagliano in parti congruenti.
q V
q F
b) In una circonferenza due corde si tagliano in modo che le parti dell’una
formano i medi e le parti dell’altra formano gli estremi di una proporzione.
q V
q F
147
Geometria - secondo anno
c) In una circonferenza due corde incidenti danno origine a due triangoli simili.
d) Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti
ad essa, si ha che un segmento secante e la sua parte esterna sono i medi
mentre l’altro segmento secante e la sua parte esterna sono gli estremi
di una proporzione.
e) Se da un punto esterno ad una circonferenza si conducono due secanti ad
essa allora i segmenti secanti sono i medi e le loro rispettive parti esterne
formano gli estremi di una proporzione.
f) Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano una tangente e una
secante, il segmento secante è medio proporzionale tra la sua parte esterna e
il segmento tangente.
g) Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano una tangente e una
secante, la parte esterna della secante è media proporzionale tra il segmento
secante e il segmento tangente.
h) Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano una tangente e una
secante, il segmento tangente è medio proporzionale tra il segmento secante
e la sua parte esterna.
i) Il teorema della secante e della tangente può essere considerato come un caso
particolare del teorema delle due secanti.
q V
q
F
q V
q
F
q V
q
F
q V
q
F
q V
q
F
q V
q
F
q V
q
F
91) Enuncia e dimostra il Teorema delle due corde.
92) Enuncia e dimostra il Teorema delle due secanti.
93) Enuncia e dimostra il Teorema della tangente e della secante.
Problemi
94) Disegna il triangolo ABC e la circonferenza circoscritta ad esso; prolunga la bisettrice CD, dell’angolo in C, fino ad
incontrare in E la circonferenza. Dimostra che i triangoli ACD, EBD, ECB sono simili.
95) Dimostra che il raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo è dato dal rapporto tra il prodotto delle misure di
due lati del triangolo e il doppio dell’altezza relativa al terzo lato.
96) Dimostra che il raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo è dato dal rapporto tra il prodotto delle misure dei
lati del triangolo e il quadruplo della sua area.
97) Disegna una circonferenza γ di centro O e conduci due tangenti ad essa, a e b, parallele tra loro e un’ulteriore retta t
tangente a γ nel punto T. Indicati con A e B i punti di intersezione di t rispettivamente con le rette a e b, dimostra che
il segmento OT è medio proporzionale tra i segmenti AT e BT.
98) Siano date due circonferenze γ1 e γ2 secanti nei punti A e B. Da un punto P, esterno alle circonferenze e appartenente
alla retta AB, conduci la retta s tangente a γ1 nel punto S e la tangente t tangente a γ2 nel punto T.
Dimostra che PT ≅ PS.
99) Traccia due circonferenze tangenti esternamente nel punto T e da un punto P, esterno ad esse e appartenente alla
tangente comune in T, conduci la retta a, secante una circonferenza nei punti A e B, e la retta b, secante l’altra
circonferenza nei punti C e D. Dimostra che il prodotto del segmento secante e la parte esterna della retta a è uguale
al prodotto del segmento secante e la parte esterna della retta b.
Problemi sulla similitudine da risolvere algebricamente
100) Le dimensioni di un rettangolo misurano 30 cm e 40 cm. Calcola la misura della diagonale di un rettangolo simile, la
cui dimensione minore misura 15 cm.
101) Due triangoli isosceli sono simili e il rapporto tra le loro aree è
10 cm, quanto misura la base del secondo triangolo?
148
sapendo che la base del primo triangolo è lunga
Book in
progress
10. La similitudine tra figure piane
102) Per disegnare su un foglio A4 un campo da calcio lungo 97 m e largo 50 m, quale scala ti conviene usare perché il
modellino del campo abbia dimensioni massime?
103) I triangoli ABC e A'B'C' sono tra loro simili; se il rapporto di similitudine è
e l’area del triangolo ABC è 15 m2, qual
è l’area del triangolo A'B'C'? Qual è il rapporto dei perimetri dei due triangoli?
104) Quanto è alto un campanile, se nel momento in cui la sua ombra è lunga 10 m il mio ombrello, lungo 90 cm, in
posizione verticale rispetto al suolo, proietta sul suolo un’ombra lunga 1,2 m?
[7,5 m]
105) Nel modellino 1:50 della tua camera, i vetri della finestra hanno dimensioni rispettivamente 4 cm e 2,10 cm. Quali
sono le dimensioni dei vetri che devi comprare per la tua camera reale?
[2 m ; 1,05 m]
106) Il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo ABC è 5 cm. Determina il raggio della circonferenza circoscritta
al triangolo A'B'C', simile al triangolo ABC, sapendo che il rapporto fra il perimetro del triangolo A'B'C' e quello del
triangolo ABC è
(approssima, per eccesso, il risultato alla 2^ cifra decimale).
[2,15 cm]
107) Determina l’altezza relativa all’ipotenusa, il perimetro e l’area di un triangolo rettangolo ABC sapendo che un cateto
[7,2 cm; 36 cm; 54 cm2]
misura 9 cm e che lo stesso cateto è 3/5 dell’ipotenusa.
108) In un parallelogramma ABCD è AB = 24 cm e BC = 12 cm. Conduci dal vertice A una retta r che incontri in F e in E
rispettivamente il lato CD e il prolungamento del lato BC. Sapendo che la lunghezza del segmento FC è 8 cm,
[6 cm]
determina la misura del segmento CE.
109) In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa divide l’ipotenusa in due parti, una lunga 63 cm, l’altra lunga
[12495 cm2]
175 cm. Determina l’area del triangolo.
110) Sia dato un trapezio isoscele ABCD con la base maggiore AB lunga 75 cm, la base minore CD lunga 39 cm e i lati
obliqui lunghi 30 cm. Prolunga i lati obliqui ed indica con E il punto di intersezione di tali prolungamenti. Calcola l’area
[1875 cm2]
del triangolo ABE.
111) Determina perimetro e area di un triangolo rettangolo ABC, sapendo che un cateto misura 60 cm e la sua proiezione
[240 cm; 2400 cm2]
sull’ipotenusa 36 cm.
112) Sia dato un triangolo ABC, di base AB = 20 cm e altezza CH = 16 cm. Traccia da un punto P del lato AC la parallela
alla base fino ad incontrare in Q il lato BC, in modo che l’area del triangolo PQC sia 57,6 cm2 . Determina la lunghezza
[12 m]
della corda PQ.
113) Il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo ABC misura 7 cm. Determina il raggio della circonferenza inscritta
nel triangolo A'B'C', simile al triangolo ABC, sapendo che il perimetro del triangolo A'B'C' è il quadruplo di quello del
[28 cm]
triangolo ABC.
114) Dato un punto P esterno ad una circonferenza di centro O, conduci la secante PA, la cui parte esterna PB misura 12
cm. La retta passante per P ed O interseca la circonferenza nei punti C e D, con PC > PD. Sapendo che il raggio
[6 cm]
della circonferenza misura 15 cm e che AB ≅ PD, calcola la misura della corda AB.
115) Per un punto P, esterno ad una circonferenza di centro O, conduci la tangente PA e la secante PC. Sapendo che
PC = 18 cm e che la parte interna della secante è uguale alla sua parte esterna, calcola la lunghezza del segmento
[9 √2 cm]
di tangente PA.
116) Disegna una circonferenza di centro O e raggio 10 m, conduci da un punto P, esterno alla circonferenza, la retta
tangente in A alla circonferenza e la retta secante PO. Sapendo che il segmento di tangente misura 24 m, calcola la
[16 m]
parte esterna della secante.
117) Siano AB e CD due corde di una circonferenza che si intersecano nel punto E. Sapendo che AE = 10 cm e che
EB = 25 cm, trova la misura delle due parti in cui la corda CD è divisa dal punto E, sapendo che una è
dell’altra.
[5 cm, 50 cm]
118) Sia dato un cerchio di centro O e raggio 15 cm. Consideriamo due corde AB e CD che si intersecano nel punto P.
[5 m]
Sapendo che: AP ⋅ PB = 200 m2, calcola la distanza di P da O.
149
Geometria - secondo anno
OLImPIADI
1) Individuare quali delle seguenti affermazioni è errata. Condizione sufficiente affinché due triangoli siano simili è che:
A. abbiano i lati in proporzione
B. abbiano gli angoli uguali
C. abbiano gli angoli uguali e i lati in proporzione
D. siano uguali
E. siano entrambi isosceli
[Olimpiadi della Matematica, Giochi di Archimede 1994]
2) Nella figura i due esagoni sono regolari e i vertici dell’esagono interno sono i punti medi dei lati dell’esagono esterno.
L’area della figura tra essi compresa (non colorata) è 1. Qual è l’area dell’esagono interno?
E.
3
3
A. ;
B. 2 ;
C. 3 ;
D. 3 ;
E. 2 3
D. 3
E.
3
C. 3 ;
D. B.
E. C. 33 ;
32;
2
B. 2 ;
C. 3 ;
D. 3
[Olimpiadi della Matematica, Giochi di Archimede 1995]
3) Nel triangolo ABC, rettangolo in C, dati OA = 15 e OB = 20, trovare il raggio della circonferenza di centro O tangente a
entrambi i cateti.
C
A
A. 12
B. 4 5
C. 5 3
A
D. 10
.
O
B
E. nessuna delle precedenti
[Olimpiadi della Matematica, Gara provinciale 1996]
4) Nel rettangolo ABCD (vertici in senso antiorario), E e F sono rispettivamente i punti medi dei lati maggiori AD e BC.
AD
?
Sapendo che ABFE è simile ad ABCD, quanto vale
AB
[Olimpiadi della Matematica, Giochi di Archimede 1996]
5) Sia ABCD un trapezio con base maggiore AB tale che le diagonali AC e BD siano perpendicolari. Sia O il centro della
circonferenza circoscritta al triangolo ABC e sia E il punto d’intersezione tra la retta OB e la retta CD. Dimostrare che
BC2 = CD ⋅ CE.
[Olimpiadi della Matematica, Gara nazionale 1998]
6) Sui tre lati AB, BC,CA di un triangolo ABC si considerino rispettivamente tre punti L, M, N tali che
Qual è il rapporto tra l’area del triangolo LMN e l’area del triangolo ABC?
E. dipende dal tipo di triangolo considerato.
[Olimpiadi della Matematica, Giochi di Archimede 1996]
7) Si scelgano i punti H, K, M sui lati del triangolo ABC in modo che AH sia un’altezza, BK una bisettrice, CM una mediana.
Si indichi con D l’intersezione tra AH e BK e con E l’intersezione tra HM e BK. Sapendo che KD = 2, DE = 1, EB = 3:
a) si dimostri che HM è parallelo ad AC;
b) si dimostri che AB = AC;
c) si dimostri che AB = BC.
[Olimpiadi della Matematica, Gara provinciale 2000]
150
Book in
progress
10. La similitudine tra figure piane
8) Nella figura a fianco, il segmento DE è parallelo ad AB. Sapendo che l’area di DEC è uguale ai
AC misura 1 m, quanto misura DC?
di quella di ABC e che
[Olimpiadi della Matematica, novembre 2006]
9) Su un foglio è disegnato il quadrato ABCD. Il foglio viene piegato (lungo una linea retta) in modo che B vada a coincidere
con il punto medio di DC. Il lato BC viene diviso dalla piegatura in due segmenti di lunghezze a e b, con a ≤ b. Quanto
vale b/a?
[suggerimento: supponi che il quadrato abbia lato 1, in qualche unità di misura, P punto medio di DC;
( I giochi di Archimede, triennio, novembre 2011)
10) ABC è un triangolo isoscele, con AB = AC = 10 cm. D ed E sono due punti su AB e AC rispettivamente, entrambi
distanti 6 cm da A, e H `e il piede dell’altezza di ABC relativa a BC. Calcolare il rapporto tra le aree di ABC e di DHE.
[suggerimento: ABC ~ ADE ; S piede dell’altezza di ADE relativa a DE; DE : BC = 6 : 10 DE = …..;
AS : AH = 6 : 10 ….. HS = AH – AS = ……..]
(I giochi di Archimede, triennio, novembre 2011)
INVALSI (esercizi sulla similitudine)
1) Che cosa succede alla lunghezza della circonferenza e all'area del cerchio se si raddoppia il raggio?
A. La prima rimane uguale e la seconda raddoppia.
B. Sia la prima che la seconda raddoppiano.
C. La prima raddoppia e la seconda quadruplica.
D. Sia la prima che la seconda quadruplicano.
2) Che cosa succede all'area di un quadrato se si raddoppia il suo lato?
A. Raddoppia.
B. Rimane uguale.
C. Quadruplica.
D. Dipende dalla lunghezza del lato.
3) Due trapezi isosceli sono simili. Quello più piccolo ha area 400 cm2 e base 30 cm, mentre quello grande ha base
60 cm; qual è l'area del trapezio più grande?
B. 1200 cm2
C. 1600 cm2
D. 2000 cm2
A. 800 cm2
4) Su una carta stradale due località sono distanti 3 cm. Sapendo che la scala della carta è di 1:1500000, a quale distanza
si trovano le due località?
A. 4,5 km
B. 15 km
C. 45 km
D. 450 km
5) Per pavimentare una stanza quadrata occorrono 8 scatole di piastrelle. Quante scatole occorrono per pavimentare una
stanza quadrata con il lato doppio della precedente?
A. 16
B. 32
C. 64
D. Non si può rispondere se non si conosce il lato della stanza.
151
Geometria - secondo anno
6) Due poligoni simili hanno il rapporto fra i lati di 2/5. Il rapporto fra le loro aree è allora di
A. 2/5
B. 4/25
C. 5/2
D. 25/4
7) Dato il triangolo ABC, vengono presi due punti D ed E sui lati rispettivamente AD e AE in modo tale che BC sia parallelo
a DE. Se AB = 6 cm, BD = 3 cm e AC = 7 cm, la misura di CE è
A. 2,5
B. 3
C. 3,5
D. 2
8) Due triangoli equilateri sono fra loro...
A. sempre simili.
B. simili solo se i lati dei triangoli sono uguali.
C. mai simili.
D. simili solo se i lati dei triangoli sono a due a due paralleli.
9) Due triangoli scaleni sono simili. Il primo ha base 20 cm e altezza 16 cm; il secondo ha base 25 cm e altezza x.
Con quale proporzione puoi trovare x?
A. 20 : 25 = 16 : x
B. 20 : 25 = x : 16
C. 25 : x = 16 : 20
D. 25 : 20 = 16 : x
10) Due triangoli isosceli ABC e A'B'C', con basi AB e A'B', sono simili. Sapendo che A = 72°, quanto misura B' ?
A. 72°.
B. 36°.
C. 58°.
D. 39°.
152
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
UNITÀ 11. LA GEOmETRIA DELLO sPAZIO
11.1 GENERALITÀ
Finora ci siamo occupati di figure i cui punti appartengono tutti ad uno stesso piano: le figure piane, oggetto di studio della
geometria del piano (o della geometria piana). Abbiamo, quindi, studiato figure bidimensionali, facilmente rappresentabili
su un foglio di carta o su una lavagna: il nostro ambiente è stato il piano.
Se riflettiamo un po’, osserviamo, però, che ogni volta che abbiamo costruito una figura piana su un cartoncino questo,
per quanto sottile, ha avuto sempre uno spessore; in altre parole, nella realtà, ci siamo trovati (e ci troviamo!) di fronte a
figure che occupano uno spazio.
Andiamo, allora, ….. nello spazio ed occupiamoci di figure i cui punti non appartengono tutti ad uno stesso piano: le figure
solide o solidi, oggetto di studio della geometria dello spazio (o della geometria solida): studieremo, qui, figure
tridimensionali, non sempre facilmente riproducibili su un foglio di carta o su una lavagna. È, infatti, sicuramente più difficile
rappresentare una figura tridimensionale su di un piano e, se la prospettiva da un lato ci aiuta a rendere l’idea della terza
dimensione, la stessa, talvolta, non ci permette di vedere facilmente le proprietà delle figure oggetto del nostro studio.
Ricorreremo, allora, ….. agli occhi della mente e, spesso, allo studio di opportune sezioni piane delle nostre figure.
11.2 ELEmENTI DI GEOmETRIA DELLO sPAZIO
Lo spazio (euclideo) è un insieme infinito di elementi detti punti e contiene sottoinsiemi propri ed infiniti detti piani.
Ad ogni piano appartengono infiniti sottoinsiemi propri detti rette.
In ogni piano dello spazio valgono i postulati, le definizioni e i teoremi del piano euclideo. Riportiamo alcuni postulati
fondamentali:
Per tre punti distinti A, B, C, non allineati, esiste uno ed un solo piano che li contiene tutti (fig. 1):
Fig. 1
Questo postulato afferma che per tre punti distinti e non allineati, passa uno ed un solo piano.
Più punti, e in generale due o più figure, appartenenti ad uno stesso piano si dicono complanari.
Se una retta r ha in comune con un piano α due punti distinti A e B, allora ogni punto di r appartiene ad α (fig. 2):
Fig. 2
In questo caso si dice che la retta r giace tutta nel piano α o che α passa per la retta r.
OSSERVAZIONE
I due postulati precedenti permettono di concludere che tre punti sono sempre complanari.
Sempre dai due postulati discende che:
Esiste uno ed un solo piano passante:
a. per una retta AB e per un punto C esterno ad essa [fig. 3a];
b. per due rette incidenti AB e CD [fig. 3b].
Fig. 3a
Fig. 3b
153
Geometria - secondo anno
Ogni punto appartiene ad infinite rette dello spazio:
il loro insieme è detto stella di rette e il punto centro della stella
(si ottiene proiettando i punti appartenenti ad un piano) [fig. 4]:
stella di rette: si ottiene una specie di riccio
Fig. 4
Un fascio di rette è, invece, il sottoinsieme delle rette di un piano α,
passanti per uno stesso punto O (si ottiene proiettando da O
gli infiniti punti di una retta r. Il punto O è il centro del fascio) [fig. 5]:
fascio di rette
Fig. 5
Ogni punto appartiene ad infiniti piani: il loro insieme è detto stella
di piani e il punto centro della stella (si ottiene proiettando da un
punto O le rette appartenenti ad un piano) [fig. 6]:
stella di piani
Fig. 6
Ogni retta appartiene ad infiniti piani: il loro insieme è detto fascio
proprio di piani e la retta asse (o sostegno) del fascio [fig. 7]:
fascio proprio di piani
(si può pensare alle diverse posizioni di una porta
quando viene aperta/chiusa)
Fig. 7
Se due piani distinti α e b hanno un punto in comune, essi hanno
in comune una retta passante per quel punto [fig. 8]:
Fig. 8
154
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
Ogni piano α divide lo spazio in due insiemi infiniti e disgiunti, detti semispazi aperti tali che per ogni coppia di punti P e Q
non appartenenti ad α si ha uno solo dei due seguenti casi:
- se P e Q appartengono allo stesso semispazio allora il segmento PQ non interseca il piano α (ciò significa che ogni
semispazio è una figura convessa). PROVA TU a dimostrare questa proprietà [ricorda che una figura F si dice convessa
se per ogni coppia di punti P e Q, appartenenti ad F, anche il segmento PQ appartiene ad F ].
- se P e Q appartengono a semispazi opposti allora il segmento PQ interseca il piano.
Il piano α viene detto origine (o contorno o frontiera) dei due semispazi ciascuno dei quali è opposto all’altro.
11.3 POsIZIONI REcIPROchE NELLO sPAZIO
retta – retta
Due rette distinte r ed s nello spazio possono essere :
- complanari: esiste un piano α che le contiene e in tal caso possono essere incidenti (fig. 9) o parallele (fig. 10);
- sghembe: non esiste un piano che le contenga entrambe, cioè se nessuno degli infiniti piani su cui giace una retta
contiene anche l’altra (fig. 11).
rette incidenti
r ∩ s = P
rette parallele
r∩s=∅
Fig. 9
Fig. 10
rette sghembe (rette non complanari)
Fig. 11
Per avere due rette sghembe si procede nel seguente modo (in riferimento sempre alla fig. 11):
- si considerano tre punti A, B, C non allineati e il piano α da essi individuato;
- si prende un punto P ∉ α;
- le rette AB e CP, cioè r ed s, risultano sghembe (PERCHÉ?).
LE RETTE PARALLELE NEL PIANO E NELLO SPAZIO
Dati nello spazio una retta r ed un punto P, esiste ed è unica la retta passante per P e parallela alla retta r.
Distinguiamo due casi:
- P∈r : in tal caso la parallela per P ad r è la retta r stessa;
- P∉r : in tal caso si considera il piano individuato da P e da r e si osserva che su tale piano vale il 5° postulato di Euclide,
per cui esiste ed è unica la retta passante per P e parallela alla retta r.
Si riconosce, quindi, l’analogia con quanto abbiamo visto nel piano.
155
Geometria - secondo anno
Nello spazio vale il seguente
TEOREMA
Se due rette sono parallele, ogni piano che interseca una delle due rette interseca anche l’altra.
Dimostrazione
Indichiamo con b il piano individuato dalle rette r ed s (fig. 12):
Fig. 12
Osserviamo che il punto P appartiene sia al piano α (per ipotesi)
che al piano b per cui i due piani, avendo un punto in comune,
avranno in comune una retta t passante per P
[fig. 13]:
Fig. 13
Ora, la retta t , incidente r e complanare alla retta s, non è parallela
ad s perché, altrimenti, sarebbe parallela anche ad r.
Discende che la retta t è incidente la retta s e, quindi,
anche il piano α interseca s in un punto Q (fig. 14):
C.V.D.
Fig. 14
156
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
LE RETTE PERPENDICOLARI NEL PIANO E NELLO SPAZIO
Ricerchiamo ora le analogie e le differenze tra rette perpendicolari nel piano e nello spazio.
Ricordiamo che, nel piano, due rette incidenti si dicono perpendicolari se dividono il piano in quattro angoli congruenti.
Abbiamo visto (pag. 71) che nello spazio due rette incidenti individuano un piano. Pertanto, nello spazio, due rette sono
perpendicolari se tali risultano come rette del piano da esse individuato (fig. 15):
Fig. 15
Inoltre, sia nel piano che nello spazio, data una retta r, esiste ed è unica la retta perpendicolare ad r, passante per un punto
che non appartiene ad r (PERCHÉ tale proprietà vale anche nello spazio?)
L’esistenza e l’unicità di una retta perpendicolare ad r vale, nel piano, anche se il punto appartiene ad r.
Ma, nello spazio, se il punto appartiene ad r,….. le cose vanno diversamente.
Precisamente, data una retta r, esistono, infatti, infinite rette perpendicolari ad r, passanti per un punto P di r.
Questa “proprietà” è dovuta al fatto che esistono infiniti piani α, b, γ, δ, ….. che passano per r e su ognuno di questi piani
vi è una retta che è perpendicolare ad r nel suo punto P (fig. 16):
Fig. 16
piano – piano
Due piani distinti nello spazio possono essere:
- incidenti se hanno una retta in comune (fig. 17):
α ∩ b = r
[Il caso particolare di due piani perpendicolari
verrà analizzato in seguito].
- paralleli se non hanno punti in comune (fig. 18)
o se coincidono.
α // b
Fig. 18
Fig. 17
La relazione di parallelismo tra piani, così come
quella tra rette, gode della proprietà riflessiva, di
quella simmetrica e di quella transitiva; si tratta
perciò di una relazione di equivalenza.
157
Geometria - secondo anno
L’insieme di tutti i piani paralleli ad un piano dato si dice fascio improprio di piani ed individua una giacitura nello spazio,
così come un fascio di rette parallele individua una direzione nel piano (pag. 73, primo anno).
- Le intersezioni di piani paralleli con un piano incidente sono rette parallele.
- Per un punto esterno ad un piano si può condurre uno ed un solo piano parallelo al piano dato.
- La parte di spazio compresa tra due piani paralleli si dice strato.
OSSERVAZIONE
Se due piani α e b sono paralleli tra loro, la loro distanza è costante
ed è data dalla distanza di un punto qualsiasi di uno di essi dall’altro
(fig. 19):
AB ≅ CD ≅ EF
Fig. 19
TEOREMA DI TALETE NELLO SPAZIO
Un fascio di piani paralleli determina su due rette trasversali segmenti corrispondenti direttamente proporzionali
(fig.20):
Dimostrazione
Supponiamo che le rette t1 e t2 siano sghembe
altrimenti, nel caso della loro complanarità, il
teorema si riduce al teorema di Talete nel piano
(pag. 119).
Per il punto A' conduciamo la retta r parallela a t1 e
sia: r ∩ b = {B''} e r ∩ γ = {C''}.
Il piano individuato dalle rette t2 ed r determina, sui
piani paralleli b e γ, i segmenti paralleli B''B'
e C''C', per cui in tale piano si ha:
A'B'' : B''C'' = A'B' : B'C'
Osserviamo inoltre che: A'B'' ≅ AB e B''C'' ≅ BC
perché segmenti di rette parallele compresi tra piani
paralleli.
Fig. 20
Pertanto la relazione precedente diventa:
AB : BC = A'B' : B'C'
retta – piano
Se una retta non giace su un piano, essa può avere in comune con quel piano al massimo un punto (PERCHÉ?); in tal
caso, una retta e un piano nello spazio possono essere:
- paralleli: se non hanno punti in comune (fig. 22):
- incidenti: se hanno un solo punto in comune (fig. 21):
r ∩ b = P
Fig. 21
r∩α=∅
Fig. 22
[Se una retta giace su un piano, la retta è parallela al piano]
Se una retta r è parallela ad una retta s di un piano α , allora r è parallela ad α .
Pertanto, per condurre da un punto una parallela ad un piano, basta condurre da quel punto la parallela ad una qualsiasi
retta del piano.
158
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
Retta e piano perpendicolari
La definizione di perpendicolarità tra retta e piano necessita di due teoremi che ci riportano alla perpendicolarità di due
rette.
TEOREMA
Se una retta r è perpendicolare a due rette s e t che passano per un suo punto P, r è perpendicolare a tutte le rette
passanti per P e giacenti nel piano individuato da s e t (fig. 23):
SCRIVI TU l’ipotesi e la tesi
DIMOSTRAZIONE
In figura le rette s e t, perpendicolari alla retta r
nel suo punto P, individuano il piano α.
Sia u una qualunque altra retta appartenente
al piano α e passante per P (fig. 24):
Fig. 23
Consideriamo:
- su r due punti H e K, appartenenti a
semispazi opposti rispetto ad α, tali che
risulti PH≅ PK (“segnare PH e PK con il
simbolo ∗ ”);
- su s un punto A distinto da P;
- su t un punto B distinto da P.
Fig. 24
Congiungiamo A con B (fig. 25):
Fig. 25
Poiché:
- s è l’asse del segmento HK si ha che
AH ≅ AK (“segnare AH e AK con il simbolo / ”);
- t è l’asse del segmento HK si ha che BH ≅ BK
(“segnare BH e BK con il simbolo // ”). [fig. 26]:
Fig. 26
159
Geometria - secondo anno
Consideriamo i triangoli HAB e KAB; essi hanno:
AH ≅ AK
per precedente osservazione;
BH ≅ BK
per precedente osservazione;
AB
in comune (o AB ≅ AB per la proprietà
riflessiva della congruenza).
I due triangoli, avendo i tre lati ordinatamente
congruenti, sono congruenti per il 3° criterio di
congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli altri
elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
Indichiamo con Q il punto di intersezione della retta AB
con la retta u e consideriamo i triangoli HAQ e KAQ
[fig. 27]:
Fig. 27
Essi hanno:
per precedente osservazione;
in comune (o AQ AQ per la proprietà riflessiva della congruenza);
per precedente dimostrazione.
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo tra essi compreso ordinatamente congruenti, sono congruenti per il 2° criterio di
congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli altri elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
HQ ≅ KQ .
(COMPLETA TU la figura)
Il triangolo HQK è perciò isoscele sulla base HK e il segmento QP, che è la mediana relativa alla base, sarà anche altezza;
quindi, r è perpendicolare ad u.
Come conseguenza del teorema precedente si ha che:
C.V.D.
Tutte le rette perpendicolari ad una data retta in un suo punto giacciono sullo stesso piano.
Finalmente …… la definizione attesa:
Una retta r ed un piano α si dicono perpendicolari se la retta interseca il
piano ed è perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per il punto
di intersezione, detto piede della perpendicolare [fig. 28]:
H piede della perpendicolare
Fig. 28
In altre parole: una retta r ed un piano α si dicono perpendicolari se la retta
interseca il piano in un punto H ed è perpendicolare a due distinte rette del
piano passanti per H (per il teorema precedente, infatti, la retta r è
perpendicolare a tutte le rette del piano α passanti per H).
Il concetto di retta perpendicolare ad un piano può essere reso concreto
poggiando, sul piano orizzontale α di un tavolo, una squadretta ABC, in
modo che uno dei due cateti, per esempio AC, sia a contatto con il piano
e l’altro, AB, sia “verticale” [fig. 29].
160
Fig. 29
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
Se facciamo ruotare la squadretta intorno al cateto AB, il cateto AC
assumerà, in α, le infinite posizioni AC', AC'', AC''', … .
E' facile osservare che il cateto AB (la retta AB) è perpendicolare ai
cateti AC', AC'', AC''', … (alle rette AC', AC'', AC''', … ).
TEOREMA DELLE TRE PERPENDICOLARI
Se dal piede P di una retta r perpendicolare ad un piano α si
conduce la perpendicolare t ad una retta qualunque s del piano,
allora s è perpendicolare al piano individuato dalle rette r e t
[fig. 30]:
SCRIVI TU l’ipotesi e la tesi
Fig. 30
DIMOSTRAZIONE
Basterà dimostrare che la retta s, perpendicolare per ipotesi alla retta
t, è perpendicolare ad un’altra retta del piano rt.
Detto H il piede della perpendicolare t condotta da P alla retta s,
prendiamo su s due punti A e B, situati da parti opposte rispetto ad
H, tali che AH ≅ BH. Uniamo A e B con P e con un generico punto
C di r [fig. 31]:
Fig. 31
Osserviamo che la retta PH è l’asse del segmento AB, per cui:
PA ≅ PB (“segnare PA e PB con il simbolo / ”)
Inoltre i triangoli CPA e CPB sono retti in P (perché r è perpendicolare
ad α) e congruenti (perché hanno congruenti i cateti).
Segue che:
AC ≅ BC
(“segnare AC e BC con il simbolo // ”)
[fig. 32]:
Fig. 32
Quindi il triangolo CAB è isoscele sulla base AB per cui la mediana
CH, relativa alla base AB, è anche altezza (sempre relativa ad AB).
La retta s è, pertanto, perpendicolare sia alla retta CH (per quanto
appena detto) sia alla retta t (per ipotesi); si può, perciò, concludere
che la retta s è perpendicolare al piano individuato da r e da t
(PERCHÉ?)
Al termine della dimostrazione la figura si presenta come segue
[fig. 33]:
Fig. 33
C.V.D.
161
Geometria - secondo anno
Si hanno i seguenti teoremi che ci limitiamo ad enunciare:
• Dati un punto e un piano, esiste una sola retta passante per il punto e perpendicolare al piano.
• Dati un punto e una retta, esiste un solo piano passante per il punto e perpendicolare alla retta.
• Due piani α e β, perpendicolari alla stessa retta r, sono paralleli tra loro.
(Se, per assurdo, i piani α e β avessero un punto in comune, per tale punto passerebbero due piani perpendicolari alla
stessa retta r e questo in contraddizione con la proprietà precedente).
• Rette perpendicolari allo stesso piano sono parallele tra loro.
• Se due piani sono paralleli, ogni retta parallela ad un piano è parallela anche all’altro.
• Se due piani α e β sono paralleli, ogni retta che taglia il piano α taglia anche il piano β.
Da quest’ultimo teorema discende in particolare che:
• Se due piani α e β sono paralleli, ogni retta perpendicolare al
piano α è perpendicolare anche al piano β [fig. 34]:
Fig. 34
11.4 PROIEZIONI
Proiezione di un punto su un piano
La proiezione di un punto A su un piano α è il piede A' della
perpendicolare condotta da A al piano α [fig. 35]:
A' proiezione di A su α
(qui e nel seguito parliamo di proiezione
sottintendendo l’aggettivo ortogonale)
Fig. 35
Cosa “accade” se il punto A appartiene ad α?
Si dice distanza di un punto dal piano la lunghezza del segmento che ha per estremi il punto e la sua proiezione sul
piano.
Proiezione di un segmento su un piano
Dati un piano α ed un segmento AB, non appartenente ad α, la
proiezione del segmento AB sul piano è il segmento avente per
estremi le proiezioni A' e B' sul piano degli estremi A e B
rispettivamente [fig. 36]:
162
Fig. 36
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
Se il segmento AB ha un estremo, per esempio A, che appartiene al
piano, si trova la proiezione dell’altro estremo sul piano [fig. 37]:
Il segmento AB si dice obliquo al piano α
Cosa “accade” se il segmento AB è perpendicolare ad α?
Fig. 37
Proiezione di una retta su un piano
Siano dati un piano α ed una retta r, non appartenente ad α.
Diamo la seguente definizione:
Si dice proiezione della retta r sul piano α la retta passante per A'
e B', proiezioni rispettivamente di due punti A e B di r sul piano α
[fig. 38]:
Fig. 38
In altre parole, si dice proiezione di una retta su un piano la retta luogo delle proiezioni sul piano della retta data.
Dato un piano α, una retta che interseca il piano senza essere ad
esso perpendicolare viene detta obliqua.
Grazie alla proiezione di una retta su un piano, si può dare la
seguente definizione:
Dati un piano α e una retta r ad esso obliqua, si dice angolo della
retta obliqua rispetto al piano l’angolo acuto formato dalla retta e
dalla sua proiezione sullo stesso piano [fig. 39]:
Fig. 39
Risulta che:
• Se una retta è parallela ad un piano, tutti i suoi punti sono equidistanti dal piano e la distanza (costante) si dice distanza
della retta dal piano.
In generale, si ha la seguente definizione:
si dice proiezione di una figura su un piano la figura costituita dalle proiezioni sul piano di tutti i punti della figura data.
Ovviamente la proiezione di una figura su un piano è una figura piana.
Valgono i seguenti teoremi:
TEOREMA
La proiezione di una retta su un piano non perpendicolare ad essa è una retta.
Cosa “accade” se retta e piano sono perpendicolari?
TEOREMA
Se da un punto esterno a un piano si conducono il segmento perpendicolare e segmenti obliqui, si ha che:
• il segmento perpendicolare è minore di qualunque segmento obliquo;
• due segmenti obliqui aventi proiezioni congruenti sono congruenti e
viceversa;
• due segmenti obliqui aventi proiezioni disuguali sono disuguali e,
precisamente, a proiezione maggiore corrisponde segmento obliquo
maggiore. [fig. 40]
Fig. 40
163
Geometria - secondo anno
11.5 DIEDRI
Si definisce diedro ciascuna delle due parti di spazio delimitate da due
semipiani α e β aventi la stessa origine, compresi i semipiani stessi.
I due semipiani prendono il nome di facce del diedro e la loro origine comune
viene detta spigolo o costola del diedro
[fig. 41]:
α, β, semipiani di origine r, non giacenti su uno stesso piano → dividono lo
spazio in due parti, una convessa (non contiene i prolungamenti delle facce)
e una concava (contiene i prolungamenti delle facce).
Alcuni autori definiscono diedro solo la parte convessa.
Fig. 41
Noi faremo la distinzione tra diedro convesso e diedro concavo e, analogamente a quanto fatto in geometria piana dove ci
siamo riferiti sempre ad angoli convessi, nella geometria solida considereremo solo diedri convessi.
Il simbolo
indica il diedro convesso individuato dai due semipiani α e β.
Si riconosce facilmente la corrispondenza tra il diedro nello
spazio e l’angolo nel piano.
Si dice sezione normale di un diedro l’angolo che si ottiene
intersecando il diedro con un piano perpendicolare al suo
spigolo [fig. 42]:
l’angolo
è la sezione normale del diedro
Fig. 42
Per le sezioni normali dei diedri vale il seguente:
TEOREMA
Le sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti.
[fig. 43]:
Fig. 43
Dimostrazione
Osserviamo che i piani γ e γ' intersecano le facce del diedro secondo rette fra loro parallele (due piani, perpendicolari alla
stessa retta r, sono paralleli tra loro - teorema pag. 10).
Si ha quindi:
AC // A'C'
e
BC // B'C'
da cui segue:
ACB A'C'B' in quanto angoli con i lati paralleli e concordi.
Dal momento che tali angoli rappresentano le sezioni normali del diedro (definizione pag. 51), si ha che le sezioni normali
del diedro sono congruenti.
C.V.D.
164
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
In generale, si ha il seguente:
TEOREMA
Condizione necessaria e sufficiente affinché due diedri siano congruenti è che abbiano sezioni normali congruenti.
PROVA TU a dimostrarlo.
Discende la seguente definizione:
Si dice ampiezza di un diedro l’ampiezza della sua sezione normale.
In particolare un diedro la cui ampiezza è un angolo retto si dice
diedro retto.
A questo punto, si può dare una definizione più precisa di piani
perpendicolari; precisamente:
due piani incidenti si dicono perpendicolari se formano quattro diedri
retti [fig. 44]:
Fig. 44
Associando a un diedro la sua sezione normale e viceversa, si ottiene una corrispondenza biunivoca che permette di
associare ai diedri la terminologia degli angoli.
PROVA TU a definire il diedro acuto [fig. 45], il diedro ottuso [fig. 46], il diedro piatto [fig. 47]:
Fig. 45
Fig. 46
diedro acuto
diedro ottuso
Fig. 47
diedro piatto
Possiamo dare ancora le seguenti definizioni:
• Un diedro giro è un diedro in cui le facce sono semipiani coincidenti e contiene tutti i punti dello spazio.
• Un diedro nullo è un diedro in cui le facce sono semipiani coincidenti e contiene solo i punti delle facce stesse.
• Due diedri si dicono consecutivi se hanno in comune lo spigolo ed una faccia e le altre due facce si trovano da parti
opposte rispetto a quella comune.
• Due diedri si dicono adiacenti se sono consecutivi e se le due facce non comuni sono una il prolungamento dell’altra.
• Due diedri si dicono opposti allo spigolo se hanno lo stesso spigolo e se le facce dell’uno sono i prolungamenti di
quelle dell’altro.
165
Geometria - secondo anno
Basta considerare due piani che, se si intersecano, determinano quattro
angoli diedri, a due a due opposti allo spigolo [fig. 48]:
PROVA TU a dimostrare che diedri opposti allo spigolo sono congruenti.
• Due diedri si dicono complementari se la loro somma è un diedro retto.
• Due diedri si dicono supplementari se la loro somma è un diedro piatto.
• Due diedri si dicono esplementari se la loro somma è un diedro giro.
Fig. 48
11.6 ANGOLOIDI
Dato un poligono P e un punto V non appartenente al piano α del poligono,
si dice angoloide la parte illimitata di spazio costituita da tutte le semirette
aventi origine in V e passanti per i punti del poligono (interni o sul contorno)
[fig. 49]:
• il punto V si dice vertice dell’angoloide;
• le semirette passanti per i vertici del poligono si dicono spigoli
dell’angoloide;
• gli angoli di vertice V e aventi per lati due spigoli che passano per due
vertici consecutivi si dicono facce dell’angoloide;
• l’insieme di tutte le facce dell’angoloide si dice superficie o contorno
dell’angoloide.
Fig. 49
L’angoloide di vertice V e spigoli a, b, c, d (fig. 49) si indica con la scrittura V (a, b, c, d).
Un angoloide si dice regolare se le sue facce sono angoli tutti congruenti fra loro.
Un angoloide è convesso o concavo se il poligono P è rispettivamente convesso o concavo.
Inoltre, poiché due facce consecutive di un angoloide determinano un diedro, un angoloide ha n facce e n diedri.
Un angoloide viene classificato in base al numero delle sue facce; in
particolare si dice:
• triedro un angoloide che ha tre facce [fig. 50];
• tetraedro un angoloide che ha quattro facce;
• pentaedro un angoloide che ha cinque facce,
nomenclatura che si mantiene, come vedremo, anche per i poliedri.
TEOREMA
In ogni triedro ciascuna faccia è minore della somma delle altre due e maggiore della loro differenza.
166
Fig. 50
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
Dimostrazione
Cominciamo con il dimostrare il punto 1).
In figura abbiamo supposto che la faccia ac sia la maggiore delle tre facce
del triedro.
Essendo
esiste una semiretta Vd tale che [fig. 51]:
Fig. 51
Consideriamo, poi, un punto
Sia:
e un punto
e congiungiamo A con C.
Sulla semiretta b prendiamo il punto B tale che VB ≅ VD
(“segnare VB e VD con il simbolo / ”);
congiungiamo i punti A e C con B [fig. 52]:
Fig. 52
Consideriamo i triangoli VBC e VDC; essi hanno:
VB ≅ VD
VC
BVC ≅ DVC
per costruzione;
in comune (o VC ≅ VC per la proprietà riflessiva della congruenza);
per costruzione.
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo tra essi compreso ordinatamente congruenti, sono congruenti per il primo criterio
di congruenza dei triangoli; avranno, pertanto tutti gli altri elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
BC ≅ DC.
Poiché in ogni triangolo ciascun lato è minore della somma degli altri due,
nel triangolo ABC si ha:
AC < AB + BC,
il che è lo stesso dire:
AD + DC < AB + BC,
ed essendo BC ≅ DC, si ha:
AD < AB.
Consideriamo ora i triangoli ADV e ABV; essi hanno:
VD ≅ VB
per costruzione;
VA
in comune (o VA ≅ VA per la proprietà riflessiva della congruenza);
AD < AB
per precedente dimostrazione.
Segue (teorema pag. 43, TOMO 1, primo anno) che gli angoli opposti ai due lati non congruenti sono non congruenti e con
lo stesso senso di disuguaglianza, cioè:
AVD < AVB
→
ad < ab
Addizionando al primo membro dell’ultima disuguaglianza il termine dc e al secondo membro quello congruente bc, si ha:
ad + dc < ab + bc
→
ac < ab + bc che è una delle relazioni del punto 1).
Per dimostrare le altre due relazioni [sempre del punto 1)], osserviamo che:
ab < ac (per quanto inizialmente supposto) e 0 < ab
→
ab + 0 < ac + ab
→
ab < ac + ab .
167
Geometria - secondo anno
PROVA TU a dimostrare l’ultima relazione del punto 1).
Cosa “accade” se ab ≅ bc ≅ ac ?
Dimostriamo il punto 2).
Facciamo vedere che la faccia meno estesa, per esempio bc , è maggiore della differenza delle altre due facce; cioè:
bc > ac − ab
Partiamo dalla relazione:
ac < ab + bc
(*)
e sottraiamo ad ambo i membri ab , così da avere:
ac − ab < ab + bc − ab
da cui:
ac − ab < bc
cioè:
bc > ac − ab
[Operativamente, dalla (*), potevi ottenere facilmente la relazione richiesta. COME?]
PROVA TU a dimostrare le altre relazioni del punto 2).
C.V.D.
Per un generico angoloide valgono i seguenti teoremi di cui diamo solo gli enunciati:
TEOREMA
Ogni faccia di un angoloide è minore della somma di tutte le altre.
TEOREMA
La somma delle facce di un angoloide è minore di un angolo giro.
11.7 LE TRAsFORmAZIONI GEOmETRIchE NELLO sPAZIO
Nell’unità 4 abbiamo introdotto il concetto di trasformazione geometrica del piano e abbiamo studiato le principali
trasformazioni geometriche, in particolare le isometrie (la simmetria assiale, la simmetria centrale, la traslazione, la rotazione).
Vogliamo ora estendere il concetto di trasformazione geometrica dal piano allo spazio.
Una trasformazione geometrica dello spazio è una qualsiasi corrispondenza biunivoca (funzione biiettiva) tra punti dello
spazio, nel senso che associa ad ogni punto P dello spazio uno ed un solo punto P' (trasformato di P) appartenente ancora
allo spazio.
LE ISOMETRIE NELLO SPAZIO
Una isometria nello spazio è quella trasformazione che conserva la distanza tra i punti: ad ogni coppia di punti A e B dello
spazio associa, cioè, i punti A' e B' tali che il segmento AB sia congruente al segmento A'B'.
Si riconosce l’analogia con il concetto di isometria visto nel piano e si estendono allo spazio tutte le proprietà delle isometrie
studiate nel piano (“trasforma rette in rette”, “trasforma rette parallele in rette parallele”, “trasforma rette incidenti in rette
incidenti”, “trasforma un angolo in un angolo congruente”, …) e le considerazioni sugli invarianti (caratteristiche dello spazio
che rimangono inalterate nella trasformazione), sui punti uniti (punti che hanno per trasformati se stessi), sulle rette unite …
Nello spazio, inoltre, ogni isometria trasforma:
• un piano in un piano;
• piani paralleli in piani paralleli;
• piani incidenti in piani incidenti;
• piani perpendicolari in piani perpendicolari;
• un semipiano in un semipiano tale che le rispettive frontiere si corrispondono;
• un semispazio in un semispazio tale che le rispettive origini si corrispondono;
• un diedro in un diedro avente sezione normale congruente.
168
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
Diamo le seguenti definizioni:
Due figure nello spazio si dicono:
direttamente congruenti se si corrispondono in una isometria e sono sovrapponibili;
inversamente congruenti se si corrispondono in una isometria e non sono sovrapponibili.
Come nel piano, anche nello spazio esiste la trasformazione identica o identità cioè quella trasformazione che “muta”
ogni punto in se stesso e quindi ….. lascia immutato lo spazio.
Le simmetrie
Nello spazio, oltre alle simmetrie rispetto a un punto e a una retta (viste nel piano), è possibile considerare la simmetria
rispetto a un piano.
v Simmetria rispetto a un punto
Fissato nello spazio un punto O, si chiama simmetria centrale di centro O la trasformazione che ad ogni punto P, diverso
da O, associa il punto P' tale che O sia il punto medio del segmento PP' [fig. 53]:
Fig. 53
Si ha il seguente
TEOREMA
La simmetria centrale è una isometria.
PROVA TU a dimostrare tale teorema.
Fai vedere che, fissato nello spazio un punto O e presi due generici punti P e
Q, i loro simmetrici P' e Q' rispetto al centro O sono tali che risulta PQ ≅ P'Q'
[fig. 54]:
Fig. 54
Nello spazio, in una simmetria di centro O sono uniti i seguenti elementi:
• il punto O, che è l’unico punto unito in questa trasformazione;
• tutte le rette passanti per O;
• tutti i piani passanti per O.
La simmetria di centro O è involutoria (cioè applicata due volte coincide con la trasformazione identica) e trasforma:
• una retta in una retta ad essa parallela;
• un piano in un piano ad esso parallelo.
Si ha la seguente definizione:
Due figure F e F' si dicono simmetriche rispetto a un punto O se i punti dell’una sono i simmetrici rispetto ad O dei punti
dell’altra.
Abbiamo già visto che nel piano due figure che si corrispondono in una
simmetria di centro O sono direttamente congruenti, cioè sono
sovrapponibili.
Tale caratteristica è evidenziata nella fig. 55 in cui sono rappresentati due
triangoli ABC e A'B'C', simmetrici rispetto al punto O: tali triangoli possono
essere, infatti, sovrapposti mediante un’opportuna rotazione intorno ad O.
Fig. 55
169
Geometria - secondo anno
Questa caratteristica non si conserva, invece, nello spazio. Si può, infatti, verificare che:
Due figure dello spazio che si corrispondono in una simmetria centrale sono inversamente congruenti.
v Simmetria rispetto ad una retta
Fissata nello spazio una retta r, si chiama simmetria assiale di asse r la corrispondenza biunivoca tra i punti dello spazio
tale che:
I. ad ogni punto dell’asse r associa se stesso;
II. ad ogni punto P, non appartenente all’asse r, associa il punto P' tale che la retta r sia asse del segmento PP'.
Sia α il piano individuato dalla retta r e da un punto P non appartenente
ad essa. Detto P' il punto simmetrico di P rispetto ad r, si ha che il punto
P', giacendo sulla perpendicolare condotta da P alla retta r, appartiene
ad α.
Dal momento che ciò si verifica per ogni altro punto Q di α, possiamo
dire che la simmetria assiale nello spazio coincide con la simmetria
assiale effettuata sul piano α.
r asse di simmetria
In simboli: σr : P → P' .
Nella simmetria assiale di asse r sono uniti:
• tutti e soli i punti dell’asse r;
• tutte le rette perpendicolari all’asse r;
• tutti i piani passanti per l’asse r;
• tutti i piani perpendicolari all’asse r.
Anche nello spazio la simmetria assiale di asse r è involutoria.
In generale:
Nello spazio due figure F e F' si dicono simmetriche rispetto all’asse r se i punti dell’una sono i simmetrici, rispetto ad r,
dei punti dell’altra.
Si può verificare che:
Due figure dello spazio che si corrispondono in una simmetria assiale sono direttamente congruenti.
v Simmetria rispetto ad un piano
Fissata nello spazio una retta r, si chiama simmetria assiale di asse r la corrispondenza biunivoca tra i punti dello spazio
tale che:
Fissato nello spazio un piano π, si chiama simmetria rispetto al piano π (o simmetria ortogonale) la trasformazione
geometrica tra i punti dello spazio tale che:
I. ad ogni punto Q del piano π associa Q stesso;
II. ad ogni punto P, non appartenente al piano π, associa il punto P' in
modo che la retta PP' sia perpendicolare a π e lo intersechi nel
punto medio O del segmento PP'.
[fig. 56]:
Fig. 56
π piano di simmetria
In simboli: σπ : P → P'
Nella simmetria rispetto a un piano π sono uniti i seguenti elementi:
• tutti e soli i punti di π;
• ogni retta di π;
• ogni retta perpendicolare a π;
• ogni piano perpendicolare a π.
170
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
La simmetria rispetto a un piano π è involutoria e trasforma:
• una retta r, che forma un angolo α con π, in una retta r' che
forma, sempre con π, un angolo α' congruente ad α;
• una retta r parallela a π, in una retta r' parallela ad r e a π
[fig. 57];
• un piano incidente π secondo una retta r, in un piano incidente
π secondo la stessa retta r;
• un piano parallelo a π in un piano ad esso parallelo.
Fig. 57
In generale:
Nello spazio, due figure F e F' si dicono simmetriche rispetto ad un piano π se i punti dell’una sono i simmetrici rispetto
a π dei punti dell’altra.
Si può verificare che:
Due figure dello spazio che si corrispondono in una simmetria rispetto a un piano sono inversamente congruenti.
OSSERVAZIONE
➢ Due figure piane, simmetriche rispetto ad un piano, sono sovrapponibili, o, come si è soliti dire, sono direttamente
congruenti.
➢ Due figure spaziali, cioè non piane, simmetriche rispetto ad un piano, in generale non sono sovrapponibili anche se
hanno i lati e gli angoli ordinatamente congruenti. In tal caso si dice, e l’abbiamo già detto, che le due figure sono
inversamente congruenti.
Un esempio di simmetria rispetto a un piano è dato dalle nostre mani, disposte parallelamente rispetto a un piano
immaginario situato a uguale distanza tra di esse: anche se le poniamo a contatto, palmo - palmo, non sono sovrapponibili
punto per punto.
v La rotazione
Assegnati nello spazio una retta r e un angolo orientato α, si dice rotazione di asse r e ampiezza α la trasformazione che
ad ogni punto P dello spazio associa il punto P' corrispondente di P nella rotazione piana di ampiezza α su un piano π,
passante per P e perpendicolare alla retta r, e avente come centro il punto O di intersezione di r con π [fig. 58]:
Fig. 58
In simboli si ha:
In particolare se α = 0, si ottiene la trasformazione identica.
171
Geometria - secondo anno
RIFLETTI:
Nel piano abbiamo parlato di rotazione intorno ad un punto; nello spazio possiamo parlare di rotazione intorno ad una retta.
Basta pensare a quando apriamo o chiudiamo una porta: è un esempio di figura solida (la porta) che ruota attorno ad una
retta (la retta passante per i cardini).
Si può verificare che:
Due figure dello spazio che si corrispondono in una rotazione sono direttamente congruenti.
In una rotazione di asse r ed angolo orientato α sono uniti i seguenti elementi:
• i punti dell’asse;
• l’asse r ;
• ogni piano perpendicolare ad r.
v La traslazione
Fissato nello spazio un vettore , si chiama traslazione di vettore
ogni punto P dello spazio il punto P' tale che il segmento orientato
[fig. 59]:
la trasformazione dello spazio in sé che associa ad
risulti equipollente al vettore
Fig. 59
In simboli:
Nella traslazione di vettore
sono uniti i seguenti elementi:
• ogni retta parallela al vettore
• ogni piano parallelo al vettore
;
.
Si può verificare che:
Due figure dello spazio che si corrispondono in una traslazione sono direttamente congruenti.
La traslazione nello spazio trasforma:
• una retta in una retta ad essa parallela;
• un piano in un piano ad esso parallelo.
Applicando la traslazione di vettore
a ogni punto di una
figura F, si ottiene una figura F' che è la traslata della
precedente.
Nella fig. 60, la traslazione di vettore
trasforma la figura F
nella figura F':
ogni punto
ha per immagine il punto
, tale che
Fig. 60
172
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
TRASFORMAZIONI NON ISOMETRICHE NELLO SPAZIO
v L’omotetia
Fissato un punto O nello spazio e un numero reale k non nullo, si chiama omotetia di centro O e rapporto (di omotetia)
k la trasformazione ω che a ogni punto P dello spazio associa il punto P', allineato con P e con O, tale che
Il punto P', corrispondente di P nell’omotetia ω, si dice immagine o omotetico di P. In simboli si scrive:
Se:
➢ k > 0, il punto P' appartiene alla semiretta OP (fig. 61 dove k =
);
➢ k < 0, il punto P' appartiene alla semiretta opposta alla semiretta OP (fig. 62 dove k = −
).
Fig. 61
Fig. 62
Si ha inoltre che:
l’omotetia è diretta,
l’omotetia è inversa.
In fig. 63, la figura F ha per immagine la figura F' secondo un’omotetia diretta di centro O e rapporto k = 2.
Fig. 63
In fig. 64, la figura G' è l’immagine della figura G
secondo un’omotetia inversa di centro O e rapporto
k=– .
Fig. 64
173
Geometria - secondo anno
Nello spazio, data una omotetia di centro O e rapporto k si ha che:
• il centro O è l’unico punto unito;
• ogni retta passante per O è una retta unita;
• ogni piano passante per O è un piano unito.
Inoltre, ogni omotetia trasforma:
• una retta in una retta ad essa parallela;
• un piano in un piano ad esso parallelo;
• un angolo in un angolo ad esso congruente e con i lati paralleli a quelli che formano l’angolo dato;
• un segmento AB in un segmento A'B', a esso parallelo, tale che
E ancora:
➢ l’omotetia di rapporto 1 coincide con la trasformazione identica;
➢ l’omotetia di rapporto – 1 coincide con la simmetria centrale.
v La similitudine
Assegnato il numero positivo k, si definisce similitudine dello spazio di rapporto k ogni trasformazione che associa a
due punti P e Q i punti P' e Q' in modo che sia:
.
Il numero k si chiama rapporto di similitudine.
La similitudine è, quindi, una particolare trasformazione geometrica, che conserva i rapporti tra le distanze.
Questo vuol dire che, per ogni similitudine f, esiste un numero reale positivo k tale che:
d(f(P), f(Q)) = k·d(P,Q)
per ogni coppia di punti (P,Q).
Queste trasformazioni mantengono la "forma" (non vengono, cioè, modificati gli angoli) dell'oggetto, anche se cambia, in
genere, la posizione, l'orientamento e la grandezza dell’oggetto stesso.
Due figure simili hanno, quindi, la stessa forma.
Ogni similitudine si può ottenere dalla composizione di una omotetia ed una isometria, o viceversa.
La similitudine nello spazio gode di proprietà analoghe a quelle della similitudine nel piano.
Date, pertanto, due figure simili F e F’, se è, per esempio,
, allora la lunghezza di ogni lato di F’ è
di quella del corrispondente lato di F, mentre l’area di ogni faccia di F’ è
[fig. 65]:
Fig. 65
174
di quella della corrispondente faccia di F
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
11.8 I POLIEDRI
Finora abbiamo considerato i diedri che sono figure spaziali illimitate; ora vogliamo considerare figure spaziali limitate.
Si ha la seguente definizione:
Un poliedro convesso è un solido delimitato da almeno quattro poligoni, posti in piani diversi e tali che ogni lato sia comune
a due soli di essi.
➢ I poligoni si dicono facce del poliedro;
➢ i vertici dei poligoni si dicono vertici del poliedro;
➢ i l lati dei poligoni si dicono spigoli del poliedro;
➢ i segmenti aventi per estremi due vertici non appartenenti alla stessa faccia si dicono diagonali del poliedro;
➢ i diedri individuati da due facce aventi uno spigolo in comune si dicono diedri del poliedro;
➢ gli angoloidi convessi individuati dalle facce aventi un vertice in comune si dicono angoloidi del poliedro.
[fig. 66]:
Fig. 66
Un poliedro prende il nome dal numero delle sue facce. Il numero minimo di facce necessarie per formare un poliedro è
quattro: in tal caso si chiama tetraedro (dal greco tetra che significa quattro)
[fig. 67]:
Fig. 67
• Un poliedro di cinque facce si dice pentaedro;
• un poliedro di sei facce si dice esaedro,
• …..
(nomenclatura che era stata già introdotta parlando degli angoloidi).
L’insieme delle facce di un poliedro costituisce il contorno del poliedro.
11.9 I PRIsmI
Si chiama prisma indefinito il solido costituito da tutte le rette parallele
tra loro, passanti per i punti di un poligono convesso.
Per la sua rappresentazione consideriamo un poligono convesso su un
piano α e tracciamo tutte le rette passanti per i punti del poligono e
parallele ad una retta r, non appartenente ad α,
[fig. 68]:
Fig. 68
Le rette che passano per i vertici del poligono sono gli spigoli del prisma.
L’insieme di tutte le rette parallele che passano per un lato del poligono formano una striscia di piano che si dice faccia del
prisma indefinito. L’unione di tutte le facce viene detta superficie prismatica indefinita.
Se il poligono che genera il prisma ha n lati e quindi n vertici, il prisma risulta delimitato da n diedri.
175
Geometria - secondo anno
Le sezioni di un prisma indefinito con piani paralleli tra loro sono
poligoni congruenti.
Si dice prisma finito, o semplicemente prisma, la parte di
prisma indefinito compresa tra due piani distinti, α e α ', paralleli
tra loro e non paralleli agli spigoli del prisma indefinito [fig. 69]:
➢ I due piani α e α ', detti piani delle basi, dividono il prisma
indefinito in tre parti.
➢ Le sezioni poligonali, in figura i poligoni congruenti ABCDE
e A'B'C'D'E', si dicono basi del prisma e caratterizzano il
prisma stesso, nel senso che se il poligono di base ha 3,
4, 5, ….. lati si parla, rispettivamente, di prisma triangolare,
quadrangolare, pentagonale, ….. .
Fig. 69
➢ I lati dei due poligoni di base sono detti spigoli di base.
➢ I quadrilateri ABB'A', BCC'B', CDD'C, ……… sono parallelogrammi e costituiscono le facce laterali del prisma.
➢ I segmenti AA', BB', CC', ….. sono detti spigoli laterali e sono congruenti (PERCHÉ?).
➢ La distanza tra le due basi si dice altezza del prisma.
➢ L’unione delle facce laterali si dice superficie laterale del prisma.
➢ L’unione delle facce laterali e delle basi si dice superficie totale del prisma.
Si dice prisma retto un prisma in cui gli spigoli laterali sono perpendicolari ai piani delle basi
[fig. 70]:
Fig. 70
Le facce laterali di un prisma retto sono rettangoli e l’altezza è congruente a ciascuno degli spigoli laterali. In questo caso
si possono determinare facilmente l’area della superficie laterale e quella della superficie totale del prisma; infatti, se
indichiamo con:
➢
la misura dell’altezza del prisma;
➢
la misura del perimetro di base del prisma;
➢
l’area della superficie di base del prisma;
➢
l’area della superficie laterale del prisma;
➢
si ha:
l’area della superficie totale del prisma,
(PERCHÉ?)
e
(PERCHÉ?)
[Devi sapere che la superficie di un solido si dice sviluppabile se, mediante un numero finito di tagli, si può distendere
completamente su un piano senza deformarla.
I poliedri, i cilindri, i coni e le loro parti hanno superfici sviluppabili.
La sfera e le sue parti hanno superfici che non sono sviluppabili, quindi non si può fare riferimento a figure piane per misurarne
la superficie. La misura della superficie sferica si può calcolare come limite della superficie di un poliedro inscritto (o
circoscritto) nella sfera quando il numero delle facce tende all’infinito (quale procedimento ti ricorda?)].
176
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
Se gli spigoli laterali non sono perpendicolari ai piani delle basi si parla di prisma obliquo.
Un prisma si dice regolare se è retto e se le basi sono poligoni regolari
[fig. 71]:
Fig. 71
Diamo ora la seguente definizione:
Si dice parallelepipedo un prisma che ha per basi due parallelogrammi
[fig. 72]:
Fig. 72
Un parallelepipedo è limitato da sei parallelogrammi.
Si dimostrano i seguenti teoremi che ci limitiamo ad enunciare:
TEOREMA
Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e congruenti.
(ad esempio AA'D'D e BB'C'C e possono essere assunte come basi).
TEOREMA
Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in uno stesso punto che
è centro di simmetria del parallelepipedo (centro del parallelepipedo).
Un parallelepipedo è rettangolo se è retto e ha per base un rettangolo
(quindi tutte le facce sono rettangoli)
[fig. 73]:
Fig. 73
Le lunghezze dei tre spigoli uscenti da un vertice di un parallelepipedo rettangolo si dicono dimensioni del parallelepipedo
e le loro misure vengono in genere indicate con a, b, c (in fig. … le tre dimensioni escono dal vertice A).
Si ha che:
Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono congruenti (PERCHÉ?).
Indicando, poi, con d la misura della diagonale del parallelepipedo si ha:
(PERCHÉ?)
e, mantenendo lo stesso simbolismo introdotto per il prisma:
(PERCHÉ?)
e
(PERCHÉ?).
177
Geometria - secondo anno
Ancora ….. una definizione:
Un parallelepipedo rettangolo con gli spigoli congruenti si dice cubo o esaedro regolare
[fig. 74]:
In questo caso si ha che:
Fig. 74
per cui risulta:
[PROVA TU a ricavare tali formule].
Formula di Eulero
Dato un generico poliedro convesso, indichiamo con:
➢ f il numero delle facce;
➢ v il numero dei vertici;
➢ s il numero degli spigoli.
Tra tali numeri vale la seguente relazione:
che viene detta formula di Eulero [Leonhard Euler, noto in Italia come Eulero, (Basilea, 1707 - San Pietroburgo, 1783), è
stato un grande matematico e fisico svizzero]. (In realtà la formula fu scoperta da Cartesio).
Esempi:
• Se consideriamo un tetraedro, si ha:
f = 4; v = 4; s = 6
e quindi l’identità:
4 + 4 = 6 + 2.
• Se consideriamo un pentaedro [fig. 75]:
si ha:
f = 5; v = 5; s = 8
e quindi l’identità:
5 + 5 = 8 + 2.
Fig. 75
• Nel caso dell’ettaedro rappresentato in fig. 76,
PROVA TU a verificare la formula di Eulero.
Fig. 76
Diamo ora la seguente definizione:
Un poliedro (convesso) si dice regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari congruenti e se tutti gli angoloidi sono
congruenti tra loro.
I SOLIDI PLATONICI
Mentre nel piano possiamo avere poligoni regolari con un numero qualsiasi di lati, nello spazio possiamo avere solo cinque
poliedri regolari, chiamati anche solidi platonici (ricerca il perché di tale nome).
Il fatto che esistono solo cinque poliedri regolari dipende dal fatto che la somma delle facce di un angoloide deve essere
minore di un angolo giro.
178
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
Se le facce sono triangoli equilateri, ogni faccia dell’angoloide è uguale a 60°, per cui si possono avere tre tipi di poliedri
regolari:
• uno con angoloidi a tre facce (angoloidi triedri) [3·60° = 180° < 360°];
• uno con angoloidi a quattro facce (angoloidi tetraedri) [4·60° = 240° < 360°];
• uno con angoloidi a cinque facce (angoloidi pentaedri) [5·60° = 300° < 360°].
In questo caso non si possono avere poliedri regolari con angoloidi a sei facce (angoloidi esaedri) [6·60° = 360°] o, ancor
più, maggiori di sei.
Se le facce sono quadrati, ogni faccia dell’angoloide è uguale a 90°, per cui si può avere un solo tipo di poliedro regolare:
• quello con angoloidi a tre facce (angoloidi triedri) [3·90° = 270° < 360°].
In questo caso non si possono avere poliedri regolari con angoloidi a quattro facce (angoloidi tetraedri) [4·90° = 360°] o,
ancor più, maggiori di quattro.
Se le facce sono pentagoni, ogni faccia dell’angoloide è uguale a 108° (540° : 5 = 108°), per cui si può avere un solo tipo
di poliedro regolare:
• quello con angoloidi a tre facce (angoloidi triedri) [3·108° = 324° < 360°].
In questo caso non si possono avere poliedri regolari con angoloidi a quattro facce (angoloidi tetraedri) [4·108° = 432° >
360°] o, ancor più, maggiori di quattro.
Non può esistere un poliedro regolare con le facce a forma di esagono regolare perché, come abbiamo già detto, in ogni
vertice di un poliedro convergono come minimo tre facce e la somma degli angoli deve essere minore di un angolo giro.
In questo caso ogni angolo dell’esagono è uguale a 120° (720° : 6 = 120°), per cui la somma
degli angoli tra gli spigoli concorrenti in un qualsiasi vertice è 3·120° = 360° e, quindi, gli
spigoli apparterrebbero ad uno stesso piano.
Nella tabella che segue sono rappresentati i cinque solidi platonici:
f
(facce)
v
(vertici)
s
(spigoli)
formula di
Eulero:
f+v=s+2
Tetraedro regolare:
- poliedro regolare le cui
4 facce sono triangoli
equilateri congruenti;
- in ogni vertice concorrono
tre triangoli equilateri.
4
4
6
4+4=6+2
Cubo o Esaedro regolare:
- poliedro regolare le cui 6
facce sono quadrati
congruenti;
- in ogni vertice concorrono
tre quadrati.
6
8
12
6 + 8 = 12 + 2
Ottaedro regolare:
- poliedro regolare le cui 8
facce sono triangoli
equilateri congruenti;
- in ogni vertice concorrono
quattro triangoli equilateri.
8
6
12
8 + 6 = 12 + 2
Solido
Rappresentazione
179
Geometria - secondo anno
Dodecaedro regolare:
- poliedro regolare le cui 12
facce sono pentagoni
regolari congruenti;
- in ogni vertice concorrono
tre pentagoni regolari.
12
20
30
12 + 20 = 30 + 2
Icosaedro regolare:
- le 20 facce sono
triangoli equilateri;
- in ogni vertice concorrono
cinque triangoli equilateri.
20
12
30
20 + 12 = 30 + 2
11.10 cRITERI DI cONGRUENZA DEI TRIEDRI
Sappiamo che un triedro ha 6 elementi: 3 facce e 3 diedri [fig. 77]:
Nel caso della fig. …, abbiamo le facce:
aVb, bVc, aVc indicate, come già visto, rispettivamente con:
ab, bc, ac
e, se poniamo in corrispondenza:
ab → c,
bc → a,
ac → b,
Fig. 77
cioè ogni faccia con il diedro di spigolo opposto, abbiamo i diedri:
c, a, b.
Anche per i triedri vi sono teoremi, detti criteri di congruenza, che permettono di affermare che due triedri sono congruenti
se hanno ordinatamente congruenti certi loro elementi.
PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIEDRI
Due triedri sono congruenti se hanno due facce e il diedro compreso ordinatamente congruenti.
SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIEDRI
Due triedri sono congruenti se hanno due diedri e la faccia compresa ordinatamente congruenti.
TERZO CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIEDRI
Due triedri sono congruenti se hanno le tre facce ordinatamente congruenti.
QUARTO CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIEDRI
Due triedri che hanno i tre diedri ordinatamente congruenti sono congruenti.
11.11 LA PIRAmIDE
Si dice piramide la parte di angoloide convesso compresa tra il
vertice V ed un piano α, non passante per il vertice, che incontra
tutti gli spigoli dell’angoloide [fig. 78]:
Fig. 78
180
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
•
•
•
•
•
•
•
•
Il punto V si dice vertice della piramide;
il poligono ABCD, intersezione tra l’angoloide e il piano α, si dice base della piramide;
la distanza del vertice V dal piano α, contenente la base, si dice altezza della piramide;
i lati del poligono di base si dicono spigoli di base della piramide;
i triangoli VAB, VBC, VCD, VDA si dicono facce laterali della piramide;
i lati VA, VB, VC, VD si dicono spigoli laterali;
l’unione delle facce laterali si dice superficie laterale della piramide;
l’unione delle facce laterali e della base si dice superficie totale della piramide.
A seconda del numero delle facce, la piramide si dice triangolare [fig. 79a], quadrangolare [fig. 79b] , ecc...
Fig. 79a
Fig. 79b
Riferendoti alla piramide di fig. 80
COMPLETA le seguenti affermazioni:
- il vertice della piramide è il punto ….......;
- la base della piramide è il poligono ………….;
- l’altezza della piramide è il segmento …….....;
- gli spigoli di base della piramide sono i segmenti …………………………………;
- le facce laterali della piramide sono i ………………………………………...........;
- gli spigoli laterali della piramide sono i segmenti …………………………………;
- in fig. 80 è rappresentata una piramide ……………………………......................
Fig. 80
Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile ad una circonferenza il cui centro coincide con il piede
dell’altezza [fig. 81]:
O centro della circonferenza;
VO altezza della piramide.
Fig. 81
181
Geometria - secondo anno
Vale il seguente
TEOREMA
In una piramide retta i segmenti che congiungono il vertice con i punti di tangenza del poligono di base con la
circonferenza inscritta sono tutti congruenti e sono le altezze delle facce laterali.
[riferiamo, senza perdere in generalità, la dimostrazione al caso di una piramide quadrangolare]
DIMOSTRAZIONE
Sia VABCD una piramide retta e siano H e K due punti di tangenza del poligono di base con la circonferenza inscritta di
centro O.
Consideriamo i triangoli VOH e VOK; essi hanno:
VO in comune
(o VO ≅ VO per la proprietà riflessiva della congruenza);
OH ≅ OK
perché raggi della stessa circonferenza;
VOH ≅ VOK
perché retti.
I due triangoli, avendo due lati e l’angolo tra essi compreso ordinatamente congruenti, sono congruenti per il primo criterio
di congruenza dei triangoli. Avranno, pertanto, tutti gli altri elementi corrispondenti congruenti, in particolare:
VH ≅ VK.
Inoltre, essendo VO perpendicolare alla base (perché altezza della piramide) e OH perpendicolare ad AB (perché raggio
condotto nel punto di tangenza), per il teorema delle tre perpendicolari, sarà AB perpendicolare a VH e, quindi, VH è altezza
della faccia VAB.
Procedendo analogamente per le altre facce della piramide retta si ha che i segmenti che congiungono il vertice della
piramide con i punti di tangenza (del poligono di base con la circonferenza inscritta) sono tutti congruenti tra loro; risulta
cioè:
VH ≅ VK ≅ VS ≅ VT
In virtù di questo teorema si può definire l’apotema di una piramide retta come l’altezza delle facce laterali.
Data una piramide retta, mantenendo la simbologia utilizzata per il prisma retto, ed indicando con a la misura dell’apotema
della piramide, si ha:
Una piramide si dice regolare se è retta ed ha per base un poligono regolare.
Sezionando una piramide con un piano
parallelo alla base, nel semispazio non
contenente il vertice, si ottiene un tronco
di piramide [fig. 82]:
Fig. 82
182
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
Enunciamo alcune proprietà (teorema delle sezioni parallele di una piramide):
• il poligono sezione è simile al poligono di base;
• i perimetri del poligono di base e del poligono sezione sono proporzionali alle rispettive distanze del vertice dai loro
piani;
• le aree del poligono di base e del poligono sezione sono proporzionali ai quadrati delle rispettive distanze del vertice
dai loro piani.
Nel caso della fig. 82 si definisce:
• base maggiore del tronco la base ABCDE della piramide data;
• base minore del tronco la base sezione A'B'C'D'E';
• altezza del tronco la distanza tra i piani delle due basi.
Osserviamo, inoltre, che le facce laterali del tronco sono trapezi.
Se la piramide è retta o regolare, il tronco di piramide si dice rispettivamente retto o regolare.
Se il tronco di piramide è regolare, le sue facce laterali sono trapezi isosceli tutti congruenti tra loro e la loro altezza si dice
apotema del tronco.
PROVA TU a dimostrare che l’area della superficie laterale di un tronco di piramide regolare è il semiprodotto della somma
delle misure dei perimetri delle basi per la misura dell’apotema.
11.12 I sOLIDI DI ROTAZIONE
Siano dati un semipiano α, avente come origine (o frontiera) la retta r, e una
linea l appartenente ad α. Se facciamo ruotare il semipiano α di un angolo
giro attorno alla retta r, la linea l genera una superficie che viene detta
superficie di rotazione (o superficie di rivoluzione o, ancora, superficie
rotonda di asse r) [fig. 83]:
Fig. 83
La retta r si chiama asse di rotazione, la linea l generatrice della superficie di rotazione.
Ogni punto P di l, durante la rotazione, mantiene costante la sua distanza dalla retta r e, quindi, descrive una circonferenza,
con centro su r, che viene detta parallelo della superficie o anche sezione normale in quanto si può ottenere come sezione
della superficie di rotazione con un piano perpendicolare all’asse di rotazione.
Ogni semipiano di origine r interseca la superficie di rotazione secondo una curva detta meridiano della superficie di
rotazione. [Si può anche dire che ogni piano passante per r interseca la superficie secondo due generatrici, dette meridiani,
simmetriche rispetto all’asse di rotazione].
Se consideriamo ora una superficie qualsiasi F sul semipiano α, la rotazione
di α attorno ad r di un angolo giro genera un solido che si dice solido di
rotazione (o solido di rivoluzione o, ancora, solido rotondo di asse r) [fig. 84]:
Fig. 84
183
Geometria - secondo anno
11.13 IL cILINDRO
Consideriamo un semipiano α di origine a e fissiamo su di esso una retta s,
parallela ad a. Se facciamo ruotare il semipiano di un giro completo intorno
ad a, otteniamo la superficie cilindrica indefinita [fig. 85]:
Fig. 85
In generale, una superficie cilindrica indefinita si rappresenta come in fig.86:
Si ha che:
➢
➢
➢
➢
➢
➢
la retta a si dice asse di rotazione;
Fig. 86
la retta s si dice generatrice della superficie cilindrica indefinita;
la distanza d di s da a si dice raggio della superficie cilindrica indefinita;
i punti dello spazio che hanno distanza dall’asse minore di d si dicono punti interni alla superficie cilindrica indefinita;
i punti dello spazio che hanno distanza dall’asse congruente a d si dicono punti della superficie cilindrica indefinita;
i punti dello spazio che hanno distanza dall’asse maggiore di d si dicono punti esterni alla superficie cilindrica indefinita.
La sezione di una superficie cilindrica indefinita con un piano perpendicolare all’asse di rotazione è una circonferenza.
La figura costituita da una superficie cilindrica indefinita e da tutti i suoi punti interni si dice cilindro indefinito.
La sezione di un cilindro indefinito con un piano perpendicolare all’asse di rotazione è un cerchio che viene detto sezione
normale del cilindro indefinito.
A questo punto diamo la seguente definizione:
Si definisce cilindro circolare la parte di cilindro indefinito compresa
tra due piani paralleli che lo intersecano.
Si definisce cilindro circolare retto, o cilindro retto, o semplicemente
cilindro, la parte di cilindro indefinito compresa tra due piani
perpendicolari all’asse di rotazione, cioè tra due sue sezioni normali
[fig. 87]:
Fig. 87
Il cilindro si può pensare ottenuto dalla rotazione completa di
un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati.
In fig. 88 il rettangolo ABCD ruota di un giro completo attorno
al lato BC.
Un cilindro si dice equilatero se l’altezza è congruente al
diametro di base.
Fig. 88
184
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
Nel caso di un cilindro equilatero, riferendoti alla fig. 88, quale relazione lega le dimensioni del rettangolo ABCD?
COMPLETA:
AB ≅ ……….
Indicando con:
➢
la misura della lunghezza della circonferenza;
➢
la misura del raggio del cerchio di base;
➢
la misura dell’altezza del cilindro;
➢
l’area della superficie di base del cilindro;
➢
l’area della superficie laterale del cilindro;
➢
l’area della superficie totale del cilindro;
si ha:
(basta osservare che lo sviluppo sul piano di un cilindro è dato da un rettangolo di cui un lato è
l’altezza del cilindro e l’altro la circonferenza di base);
PROVA TU
a. Calcola l’area della superficie totale di un cilindro retto che ha il raggio di base di 6 cm e l’altezza congruente ai
del raggio stesso.
b. Il raggio di base di un cilindro retto è i
dell’altezza del cilindro. Sapendo che la somma dei
del raggio con i
dell’altezza è di 25 cm, calcola l’area della superficie totale del solido.
c. La sezione di un cilindro retto con un piano passante per il suo asse ha l’area di 180 cm2. Sapendo che il rapporto tra
il diametro di base e l’altezza del cilindro è
, determina l’area della superficie totale del solido.
11.14 IL cONO
Consideriamo un semipiano π di origine a e una semiretta s che ha origine in
un punto V di a. Indicato con α l’angolo acuto formato da s e da a, se facciamo
ruotare il semipiano π di un giro completo intorno ad a, la semiretta s genera
una superficie detta superficie conica indefinita
[fig. 89]:
Si ha che:
➢ la retta a si dice asse di rotazione;
➢ la semiretta s è la generatrice della superficie conica indefinita;
➢ l’angolo α è l’angolo di semiapertura della superficie conica indefinita;
➢ il punto V è il vertice della superficie conica indefinita.
Fig. 89
I punti dello spazio che non appartengono alla superficie e che sono interni agli angoli
che, nella rotazione, hanno come lati la generatrice e l’asse di rotazione si dicono punti
interni.
La figura costituita da una superficie conica e dai suoi punti interni si dice cono
indefinito [fig. 90]:
Fig. 90
185
Geometria - secondo anno
Se la generatrice è una retta incidente, e non perpendicolare, all’asse di rotazione, si ottiene la superficie conica a due
falde (PROVA TU a disegnarla).
Tagliando una superficie conica a due falde con un piano non passante per il suo vertice, si ottengono curve piane dette
sezioni coniche o semplicemente coniche (parabola, ellisse, iperbole, circonferenza).
Se intersechiamo un cono indefinito con un piano ω, la parte di
spazio che contiene il vertice e che è delimitata dal cono
indefinito e dal piano si chiama cono circolare. Se il piano ω è
perpendicolare all’asse di rotazione, il cono si dice retto [fig. 91]:
Quando parliamo di cono intendiamo riferirci ad un cono
circolare retto.
Fig. 91
Il cono si può pensare ottenuto dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti.
In fig. 92a il triangolo rettangolo ABC ruota di un giro completo attorno al cateto AC.
In fig. 92b il triangolo rettangolo ABC ruota di un giro completo attorno al cateto AB.
Fig. 92a
Fig. 92b
Distingui nelle due figure i seguenti elementi:
➢ l’area di base;
➢ il raggio del cerchio di base;
➢ l’altezza del cono;
➢ l’apotema del cono.
Un cono si dice equilatero se l’apotema è congruente al diametro di base [fig. 93]:
Fig. 93
Nel caso di un cono equilatero, riferendoti alla fig. 92a, quale relazione lega i cateti del triangolo rettangolo
ABC?
COMPLETA:
AB ≅ ……….
OSSERVAZIONE
• Se intersechiamo un cono con un piano perpendicolare all’asse di rotazione (fig. a lato), si
ottengono triangoli AOV e BO'V che sono simili, per cui si possono scrivere le seguenti
proporzioni:
OA : O'B = VO : VO'
OA : O'B = VA : VB
(ESPLICITA TU il significato di tali proporzioni).
186
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
• L’asse di rotazione è asse di simmetria per il cono.
• Ogni piano passante per l’asse di rotazione è un piano di simmetria per il cono: la relativa sezione è un triangolo isoscele
che “diventa” equilatero nel caso di un cono equilatero.
Indicando con:
➢
la misura della lunghezza della circonferenza;
➢
la misura dell’apotema;
➢
la misura del raggio del cerchio di base;
➢
la misura dell’altezza del cono;
➢
l’area della superficie di base del cono;
➢
l’area della superficie laterale del cono;
➢
l’area della superficie totale del cono;
si ha:
(basta osservare che lo sviluppo sul piano di un cono è dato da un settore circolare
con raggio congruente all’apotema e con l’arco che ha la lunghezza della
circonferenza di base) [un settore circolare è, poi, equivalente ad un triangolo
avente per base l’arco rettificato e per altezza il raggio del settore].
Sezionando un cono con un piano α parallelo alla base, si ottiene un tronco di cono [fig. 94]:
Fig. 94
Nel caso della fig. 94 si definisce:
• base maggiore del tronco il cerchio di base del cono dato;
• base minore del tronco il cerchio sezione;
• altezza del tronco la distanza tra i piani delle due basi;
• apotema del tronco la parte di apotema del cono compresa tra le basi del tronco di cono.
Relativamente al tronco di cono di fig. 95, COMPLETA con la nomenclatura corretta:
Fig. 95
187
Geometria - secondo anno
OSSERVAZIONE
Il tronco di cono si può pensare ottenuto dalla rotazione di un trapezio rettangolo attorno alla retta passante per il lato
perpendicolare alle due basi [fig. 96]:
Fig. 96
Dato il tronco di cono di fig. 97:
Fig. 97
PROVA TU a calcolare l’area della superficie laterale e quella della superficie totale del solido.
[suggerimento: puoi determinare l’area della superficie laterale del tronco di cono come differenza tra l’area della superficie
laterale ……………........., triangoli simili, …………….........]
Troverai che:
e
PROVA TU
• Un tronco di cono ha i raggi lunghi rispettivamente 10 cm e 5 cm. Sapendo che l’altezza è di 12 cm, calcola l’area
della superficie laterale del solido.
• Un tronco di cono ha le aree delle basi di 36π cm2 e 64π cm2. Sapendo che il suo apotema misura 14 cm, calcola
l’area della superficie totale del solido.
11.15 LA sFERA E LE sUE PARTI
Si dice superficie sferica la figura generata dalla rotazione completa di una semicirconferenza attorno alla retta del suo
diametro.
Si dice sfera il solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno alla retta del suo diametro [fig. 98]:
Fig. 98
La superficie sferica è, quindi, il contorno della sfera.
Il centro O e il raggio r del semicerchio sono rispettivamente il centro e il raggio della sfera.
Un diametro della sfera è un segmento che passa per il centro e che ha per estremi due punti della superficie sferica.
188
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
L’intersezione di una superficie sferica con un piano α passante per il centro della sfera (piano diametrale) è una circonferenza
massima che ha lo stesso centro e lo stesso raggio della superficie sferica [fig. 99]:
Fig. 99
OSSERVAZIONE
• Il centro della sfera è centro di simmetria.
• Ogni piano diametrale è piano di simmetria per la sfera.
• Ogni piano non diametrale individua circonferenze che hanno raggi minori di quello della circonferenza massima.
Posizioni reciproche sfera - piano e sfera - retta
Un piano è secante ad una superficie sferica se ha in comune con essa una
circonferenza [fig. 100]:
Fig. 100
Un piano è tangente ad una superficie sferica se ha in comune con essa un solo
punto [fig. 101]:
Fig. 101
Un piano è esterno ad una superficie sferica se non ha in comune con essa
alcun punto [fig. 102]:
Fig. 102
In fig. 103:
• la retta r ha distanza dal centro della superficie sferica maggiore del
raggio: r retta esterna;
• la retta t ha distanza dal centro della superficie sferica uguale al raggio:
t retta tangente;
• la retta s ha distanza dal centro della superficie sferica minore del raggio:
r retta secante.
Fig. 103
Parti della superficie sferica e della sfera
Si chiama:
• calotta sferica ciascuna delle due parti in cui una superficie sferica è divisa
da un piano secante [fig. 104]:
Fig. 104
189
Geometria - secondo anno
• segmento sferico a una base ciascuna delle due parti in cui una sfera è divisa
da un piano secante [fig. 105]:
Fig. 105
Il cerchio sezione del piano con la sfera è la base del segmento sferico a una base.
La distanza AH del centro H della base dal punto A estremo del diametro perpendicolare al piano secante è detta altezza
sia del segmento sferico che della calotta sferica; in altre parole, l’altezza di un segmento sferico ad una base o di una
calotta sferica è la parte del diametro perpendicolare al piano secante, compresa tra tale piano e la calotta.
• zona sferica la parte di superficie sferica compresa tra due piani tra loro
paralleli e secanti entrambi la sfera [fig. 106]:
Fig. 106
• segmento sferico a due basi la parte di sfera compresa tra due piani tra
loro paralleli e secanti entrambi la sfera [fig. 107]:
Fig. 107
I cerchi sezioni dei due piani con la sfera sono le basi del segmento sferico a due basi.
La distanza tra i piani delle due basi è detta altezza sia del segmento sferico a due basi che della zona sferica.
• fuso sferico la parte di superficie sferica compresa tra due semipiani aventi come
origine una retta diametrale [fig. 108]:
Fig. 108
• spicchio sferico la parte di sfera compresa tra due semipiani aventi come origine
una retta diametrale [fig. 109]:
Fig. 109
➢ Si può dimostrare che ogni superficie sferica è equivalente al quadruplo di un suo cerchio massimo.
Indicati, cioè, con:
• S l’area della superficie della sfera;
• r la misura del raggio della sfera,
si ha:
S = 4π r2.
Diamo ora le seguenti definizioni:
Un poliedro si dice inscritto in una sfera quando tutti i suoi vertici appartengono alla
superficie sferica [fig. 110]:
Fig. 110
Un poliedro si dice circoscritto ad una sfera quando tutte le sue facce sono tangenti
alla superficie sferica [fig. 111]:
Fig. 111
190
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
OSSERVAZIONE
Tutti i poliedri regolari si possono inscrivere e circoscrivere ad una sfera.
Il centro della sfera inscritta coincide sempre con quello della sfera circoscritta. Tale punto è centro di simmetria per ciascuno
dei poliedri e si dice centro del poliedro.
Possiamo anche avere cilindri e coni inscritti e circoscritti ad una sfera.
La fig. 112 illustra un cilindro e un cono inscritti in una sfera:
Fig. 112
La fig. 113 illustra un cilindro e un cono circoscritti ad una sfera:
Fig. 113
11.16 L’EqUIvALENZA NELLO sPAZIO
Ogni solido occupa una certa parte dello spazio cioè ha una estensione solida.
Due solidi si dicono equivalenti quando hanno la stessa estensione solida.
L’equivalenza tra solidi gode delle seguenti proprietà:
• proprietà riflessiva: ogni solido è equivalente a se stesso;
• proprietà simmetrica: se un solido S1 è equivalente a un solido S2, allora il solido S2 è equivalente al solido S1.
• proprietà transitiva: se un solido S1 è equivalente a un solido S2 e il solido S2 è equivalente al solido S3, allora il solido
S1 è equivalente al solido S3 (in altre parole, due solidi equivalenti a un terzo solido sono equivalenti tra di loro).
Nello spazio, la relazione “avere la stessa estensione” è una relazione di equivalenza e si chiama volume la classe di
equivalenza costituita da tutte le figure solide che hanno la stessa estensione.
Concretamente il volume esprime la misura di un solido: è un numero reale.
Nello spazio, per l’equivalenza, valgono i seguenti assiomi:
• Due solidi congruenti sono equivalenti.
• Somme e differenze di solidi equivalenti sono equivalenti.
• Se due solidi si possono disporre in modo che siano equivalenti le sezioni con ogni piano parallelo ad un piano α
fissato, essi sono equivalenti [Principio di Cavalieri].
Una giustificazione intuitiva di tale importante principio può essere la seguente:
Consideriamo due mazzi di carte uguali, poggiati su uno stesso piano. Disponiamo il primo mazzo in modo da formare
un parallelepipedo rettangolo e il secondo un parallelepipedo obliquo. Il fatto che i due solidi siano formati dallo stesso
numero di carte uguali ci permette di affermare che hanno lo stesso volume: se li sezioniamo con un piano, parallelo
alla base d’appoggio, otteniamo sempre due rettangoli congruenti e quindi equivalenti.
Nel piano, per la misura delle superfici abbiamo assunto, come unità di misura, un quadrato di lato u (1 cm); nello spazio,
per la misura dei volumi si assume, come unità di misura, un cubo di spigolo u (1 cm):
191
Geometria - secondo anno
Il parallelepipedo di fig. 114 contiene 12 volte l’unità di misura: il suo volume è di 12 cm3 .
Fig. 114
Il principio di Cavalieri permette di dimostrare molti teoremi relativi al calcolo dei volumi dei solidi più comuni. Nello schema
che segue sono riportate le formule di tali volumi (e superfici):
SOLIDO
Parallelepipedo
rettangolo
Cubo
Prisma
Piramide
Cilindro
Cono
Sfera (*)
192
VOLUME
SUPERFICIE
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
Volume della sfera (*)
Data una sfera di centro O e raggio r, consideriamo il cilindro equilatero ad essa
circoscritto ed i due coni aventi vertice in O e le basi coincidenti con quelle del
cilindro. Il solido che si ottiene dal cilindro togliendo i due coni è detto
anticlessidra [fig. 115]:
Fig. 115
Enunciamo, senza dimostrarlo il seguente:
TEOREMA
La sfera è equivalente all’anticlessidra corrispondente.
Le conclusioni del precedente teorema ci permettono di calcolare il volume della sfera.
Si ha, infatti:
e poiché:
si ha:
193
Geometria - secondo anno
ESERCIZI GEOMETRIA DELLO SPAZIO
conoscenza e comprensione
1) Cosa vuol dire che due rette sono complanari?
2) Cosa vuol dire che due rette sono sghembe?
3) Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false:
a) È unico il piano passante per tre punti dello spazio.
b) Data una retta r ed un piano α, se r ∩ α = {A, B} allora tutti i punti
di r sono punti di α.
c) Due rette incidenti sono sempre complanari.
d) Il piano passante per una retta e per un punto esterno ad essa è unico.
e) Per una retta passano infiniti piani.
f) La relazione “essere complanari”, definita nell’insieme delle rette
dello spazio, è una relazione d’equivalenza.
g) La relazione “essere sghembe”, definita nell’insieme delle rette
dello spazio è una relazione d’equivalenza.
q
q
V
V
q
q
F
F
q
q
q
q
V
V
V
V
q
q
q
q
F
F
F
F
q
V
q
F
4) Che cosa si intende per stella di rette? E per stella di piani?
5) Che cosa si intende per fascio di rette nello spazio?
6) Sia r una retta dello spazio e P un punto non appartenente ad r; quante sono le perpendicolari ad r passanti per P?
Spiegane il motivo.
7) Sia r una retta dello spazio e P un punto di r; spiega perché esistono infinte rette passanti per P e perpendicolari ad r.
8) Cosa afferma il teorema di Talete nello spazio?
9) Dai la definizione di retta parallela ad un piano.
10) Dai la definizione di retta perpendicolare ad un piano.
11) Una sola delle seguenti affermazioni è falsa; quale?
a) Due piani perpendicolari alla stessa retta sono paralleli.
b) Se una retta r è perpendicolare ad un piano α, esiste una sola retta appartenente al piano α e perpendicolare alla
retta r.
c) Dati un punto ed un piano esiste una sola retta passante per quel punto e perpendicolare al piano.
d) Due rette perpendicolari allo stesso piano sono parallele.
12) Cosa afferma il teorema delle tre perpendicolari?
13) Come procedi per costruire la proiezione di una retta su un piano?
14) Che cosa si intende per angolo fra una retta ed un piano?
15) Considerato un piano α ed un punto P esterno ad esso, una sola delle seguenti affermazioni è vera; quale?
a) Il segmento condotto da P perpendicolare al piano α è maggiore di qualsiasi altro segmento condotto da P al piano α.
b) Il segmento condotto da P al piano α è sempre maggiore della sua proiezione sul piano α.
c) Esiste un solo segmento condotto da P al piano α che è congruente alla proiezione di P sul piano α.
d) Nessuna delle precedenti affermazioni è corretta.
16) Definisci il diedro.
17) Cosa si intende per ampiezza di un diedro?
18) Definisci il diedro retto, il diedro acuto, il diedro ottuso, il diedro piatto.
19) Quando due diedri si dicono opposti allo spigolo?
194
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
20) Vero o Falso?
a) Due diedri si dicono opposti allo spigolo se le facce di uno sono i
prolungamenti delle facce dell’altro.
b) Se due diedri sono opposti allo spigolo, allora sono complementari.
c) Due diedri adiacenti sono supplementari.
d) Due diedri aventi in comune lo spigolo sono consecutivi.
e) Se due diedri sono congruenti lo sono anche le loro sezioni normali.
q
V
q
F
q
q
q
q
V
V
V
V
q
q
q
q
F
F
F
F
21) Individua quale diedro si ottiene dalla somma tra:
a) Un diedro acuto e un diedro retto;
b) Un diedro ottuso e un diedro retto;
c) Due diedri ottusi.
22) Individua quale diedro si ottiene dalla differenza tra:
a) Un diedro ottuso e un diedro retto;
b) Un diedro giro e un diedro piatto;
c) Un diedro giro e un diedro convesso.
23) Completa la seguente proposizione:
“due diedri si dicono consecutivi quando hanno solo lo ……………….. e una ……………. in comune”; si dicono adiacenti
se sono …………………... e le facce non in comune sono …………………………………………... .
24) Una sola delle seguenti affermazioni è vera; quale?
a) Due diedri opposti allo spigolo sono supplementari;
b) Due diedri opposti allo spigolo sono consecutivi;
c) Due diedri opposti allo spigolo sono congruenti;
d) Due diedri opposti allo spigolo sono adiacenti.
25) Qual è il numero minimo di diedri acuti da sommare per avere un diedro giro?
26) Qual è il numero massimo di diedri ottusi da sommare per avere un diedro giro?
27) Che cosa si intende per sezione normale di un diedro?
28) Che cos’è un angoloide?
29) Quando un angoloide prende il nome di triedro?
30) Quali caratteristiche devono avere due triedri per essere congruenti?
31) Che cosa si intende per trasformazione dello spazio?
32) Enuncia le proprietà di una isometria nello spazio.
33) Quando due figure nello spazio si dicono direttamente congruenti? E quando inversamente congruenti?
34) In una data simmetria rispetto ad un piano α, quando una retta r è unita?
a) Se r è parallela al piano α;
b) Se r è perpendicolare al piano α;
c) Se r interseca il piano α;
d) Se r appartiene al piano α.
35) Completa le seguenti affermazioni:
a) In una simmetria centrale il centro è l’unico ………………………. ;
b) Due piani che si corrispondono in una simmetria centrale sono ……………………….;
c) La rotazione di asse r e ampiezza α = 0 è la ……………………………………………;
d) In una rotazione di asse r ed angolo orientato α è unito ogni piano ………..…………….. ad r ;
e) Nella traslazione di vettore , ogni retta ……………………… al vettore
è unita.
195
Geometria - secondo anno
36) Siano dati due punti A e B. Quale simmetria centrale dello spazio trasforma A in B?
37) Verifica, con un esempio concreto, che la traslazione è il prodotto di due simmetrie ortogonali con i piani di simmetria
paralleli.
38) Quali trasformazioni geometriche dello spazio sono isometriche? E quali non sono isometriche?
39) Completa le seguenti affermazioni:
Data una omotetia di centro O e rapporto k:
a) il ………….. è l’unico punto unito;
b) ogni piano e ogni retta che passano per il centro O sono ………………......;
c) l’immagine di un ……...è un piano ad esso ………………………………..;
d) l’immagine di una retta è una retta ad essa …………………………...........;
e) se k = −1, l’omotetia coincide con la …………………………...…………..;
f) se k = 1, l’omotetia coincide con la ……………………………….......…... .
40) Definisci nello spazio la similitudine di rapporto k.
41) Nello spazio, quali trasformazioni geometriche bisogna “comporre” per ottenere una similitudine?
42) Come sono, fra loro, i poligoni ottenuti dall’intersezione di un angoloide con piani paralleli fra di loro? Quale relazione
esiste fra i lati di questi poligoni e la loro distanza dal vertice dell’angoloide?
43) Una sola delle seguenti affermazioni è vera; quale?
a) L’intersezione di un angoloide di vertice V con un qualsiasi piano è una piramide.
b) Una piramide è retta se la sezione dell’angoloide con un piano è un poligono regolare.
c) L’apotema di una piramide retta è l’altezza di una delle sue facce
d) Una piramide è retta se il piede della sua altezza è il centro della circonferenza circoscritta alla base della piramide.
44) Stabilisci se le seguenti proposizioni sono vere o false.
a) In un prisma tutti gli spigoli sono congruenti.
b) Le facce laterali di un parallelepipedo sono sempre rettangoli.
c) Le facce laterali di un prisma retto sono dei rettangoli.
d) Un parallelepipedo è un prisma avente come basi due quadrilateri.
e) In un parallelepipedo le diagonali sono congruenti.
f) Le facce laterali di un prisma sono sempre dei parallelogrammi.
q
q
q
q
q
q
V
V
V
V
V
V
q
q
q
q
q
q
45) Spiega che cosa si intende per poliedro.
46) Che cos’è un tetraedro?
47) Quale relazione esiste fra il numero di facce, il numero di spigoli ed il numero di vertici di un poliedro?
48) Quando un poliedro è detto regolare? Come vengono chiamati i poliedri regolari?
49) Quanti e quali sono i poliedri regolari?
50) Perché il numero dei poliedri regolari è limitato?
51) Come si ottiene una superficie di rotazione?
52) Qual è la differenza fra superficie di rotazione e solido di rotazione?
53) Come si ottiene una superficie cilindrica indefinita? E un cilindro?
54) Quando un cilindro si dice equilatero?
55) Come si ottiene una superficie conica indefinita? E un cono?
56) Qual è la differenza fra una superficie conica ed una superficie conica a due falde?
196
F
F
F
F
F
F
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
57) Quando un cono si dice equilatero?
58) Come si ottiene una sfera?
59) Una sola delle seguenti affermazioni è vera; quale?
a) Un cilindro equilatero è ottenuto dalla rotazione di un quadrato, con un lato sull’asse di rotazione, attorno all’asse di
rotazione.
b) Un cono è equilatero se la sua altezza è congruente al diametro della base.
c) La sezione di una superficie cilindrica con un piano, non passante per l’asse di rotazione, è sempre una circonferenza.
d) La sezione di una superficie conica con un piano perpendicolare all’asse di rotazione, è una circonferenza.
60) Qual è la differenza fra calotta sferica e segmento sferico ad una base?
61) Qual è la differenza fra zona sferica e segmento sferico a due basi?
62) Che cos’è un fuso sferico? E uno spicchio sferico?
63) Quando un poliedro si dice inscritto in una sfera?
64) Quando un poliedro si dice circoscritto ad una sfera?
65) Cosa vuol dire che due solidi sono equivalenti?
66) Nello spazio, la relazione “avere la stessa estensione” di quali proprietà gode?
67) Cosa afferma il principio di Cavalieri?
68) A quale solido è equivalente la sfera?
Applicazioni e problemi
69) Sia dato un piano α ed un punto P non appartenente ad esso. Da P conduci due rette a e b incidenti α rispettivamente
in A e B.
Sapendo che:
(fig. a lato);
PB = 35 cm;
AB = 21 cm,
calcola la distanza del punto P dal piano α.
[28 cm]
70) Siano dati un piano α e un generico punto
. Sapendo che un punto
dista dal piano 52 cm, e che il
segmento PB misura 65 cm, calcola la misura del segmento avente per estremi i punti B e il piede della perpendicolare
condotta da P al piano α (vedi figura a lato).
[39 cm]
197
Geometria - secondo anno
71) Dato un piano α, siano r una retta incidente α e P, Q due punti di r.
Sapendo che (figura a lato):
• PP' = 20 cm, con P' proiezione ortogonale di P su α;
• QQ' = 29 cm, con Q' proiezione ortogonale di P su α;
• P'Q' = 12 cm,
calcola la misura del segmento PQ.
[15 cm]
72) Dato un piano α, sia r una retta incidente α nel punto A.
Preso un punto B appartenente ad r, tale che AB = 32 cm,
indichiamo con B' la proiezione ortogonale di B su α (figura a lato).
Sapendo che l’angolo di incidenza BAB' = 30°,
determina:
• la distanza di B dal piano α;
• la misura della proiezione del segmento AB su α.
73) Dato un piano α, sia r una retta incidente α nel punto A.
Preso un punto B appartenente ad r, indichiamo con B'
la proiezione ortogonale di B su α (figura a lato).
Sapendo che l’angolo di incidenza BAB' = 45° e che
AB = 27 cm, determina:
• la distanza di B dal piano α;
• la misura della proiezione del segmento AB su α.
74) Dato un piano α, sia r una retta incidente α nel punto A.
Preso un punto B appartenente ad r, indichiamo con B'
la proiezione ortogonale di B su α (figura a lato).
Sapendo che l’angolo di incidenza BAB' = 45° e che la
proiezione del segmento AB misura 24 cm, determina:
• la distanza di B dal piano α;
• la misura del segmento AB.
198
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
75) Dato un piano α, sia r una retta incidente α nel punto Q.
Preso un punto P appartenente ad r, indichiamo con H la
proiezione ortogonale di P su α (figura a lato).
Sapendo che l’angolo di incidenza PQH = 60° e che PQ = 40 cm,
determina:
• la distanza di P dal piano α;
• la misura della proiezione del segmento PQ sul piano α.
76) Un segmento AB misura 20 cm mentre la sua proiezione ortogonale su un piano α misura 10 cm.
Quanto misura l'angolo tra AB e α ?
a. 30°
b. 45°
c. 60°
d. 90°
77) Siano date tre rette r, s, t non complanari e passanti per uno stesso punto O.
Quanti piani vengono individuati dalle tre rette?
[tre piani: …]
78) Siano dati quattro punti A, B, C, D non complanari. Dimostra che tre qualunque di essi non sono mai allineati.
79) Dimostra che due piani α e β, perpendicolari ad una stessa retta r sono paralleli tra loro.
[suggerimento: dimostrazione per assurdo …..]
80) Qual è il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti da due punti dati A e B?
[suggerimento: è il piano perpendicolare al segmento AB nel suo punto …..]
81) Dimostra che l’insieme dei punti dello spazio equidistanti da due rette parallele è un piano.
82) Perché un tavolo a quattro gambe, a volte, traballa mentre un tavolo a tre gambe è stabilmente fermo?
83) Dato un parallelepipedo rettangolo avente l’area della superficie totale di 262 dm2 e la sua altezza è di 5 dm.
Sapendo che le dimensioni del rettangolo di base differiscono di 1 dm, calcola il volume del solido.
84) Sia dato un cubo la cui area della superficie totale è 150 dm2.
Calcola la lunghezza della diagonale e il volume del cubo.
85) Un rettangolo ha il perimetro di 84 cm e il rapporto tra le sue dimensioni è
Determina l’area della superficie totale e il volume del solido generato dalla
rotazione completa del rettangolo intorno al lato maggiore.
.
86) Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 15 cm e 20 cm.
Sapendo che l’altezza del prisma è congruente all’ipotenusa del triangolo di base, calcola la misura della superficie
totale ed il volume del prisma.
87) Data una piramide retta, dimostra che il perimetro della base sta a quello di una sua sezione parallela come la misura
dell’altezza della piramide sta a quella della distanza dal vertice dalla sezione.
88) Le dimensioni di un parallelepipedo rettangolo sono proporzionali ai numeri 3, 4, 12 e la loro somma è di 57cm.
Determina le dimensioni, la misura della diagonale, l’area della superficie totale e il volume del parallelepipedo.
89) Il volume di un parallelepipedo rettangolo è 12960 dm3.
La somma di due dimensioni è 42 dm e sono una i
dell’altra.
Calcola la diagonale del parallelepipedo.
199
Geometria - secondo anno
90) Dimostra che la superficie totale di un cilindro equilatero circoscritto ad una sfera è doppia di quella del cilindro equilatero
inscritto.
91) Dimostra che la superficie di una sfera è equivalente alla superficie laterale del cilindro equilatero circoscritto.
92) Determina il volume di un parallelepipedo rettangolo sapendo che gli spigoli di base sono uno i
dell’altro, che l’area della superficie di base è di 960 cm2
e che l’area della superficie laterale è di 3584 cm2.
93) In un cilindro retto il raggio è i dell’altezza e la sua sezione
con un piano passante per l’asse ha la superficie di 600 cm2.
Determina l’area della superficie totale del cilindro.
94) In una piramide quadrangolare regolare la differenza fra l’area della superficie laterale
e l’area della superficie di base è 1944 cm2.
Sapendo che l’apotema è i
dell’altezza della piramide, calcola il volume della piramide.
95) Si considerino due sfere S1 e S2, la prima inscritta e la seconda circoscritta ad un medesimo cubo.
Quale relazione sussiste tra i volumi
e
delle due sfere?
96) Una sfera ed un cilindro circolare retto, entrambi di raggio 3 dm, hanno lo stesso volume.
Calcola l’altezza del cilindro.
97) La sezione di un cilindro con un piano passante per il suo asse ha area 378 cm2.
Sapendo che il rapporto tra l’altezza e il diametro del cilindro è ,
determina l’area della superficie totale ed il volume del cilindro.
98) Le misure del raggio di base e dell’altezza di un cilindro retto stanno come 4 sta a 5 e la loro somma è 72 cm.
Determina l’area della superficie totale e il volume del solido.
99) Un prisma retto ha come base un triangolo rettangolo di ipotenusa 50 cm.
Sapendo che la proiezione del cateto maggiore sull’ipotenusa è i
dell’altezza relativa all’ipotenusa e che l’area della superficie laterale del prisma è 720 cm2,
determina il volume del prisma.
100) Calcola l’area della superficie totale di un cono di apertura 60° e con apotema lungo 40 cm.
101) Calcola l’area della superficie laterale e totale di un cono sapendo che
il raggio di base misura 12 cm e l’altezza 16 cm.
102) Calcola l’area della superficie totale e il volume di un cono sapendo che
il raggio di base misura 10 cm e l’altezza 24 cm.
103) In un cono la somma delle lunghezze del raggio e dell’apotema misura 40 cm.
Sapendo che il raggio è i
dell’apotema, calcola l’area della superficie totale e il volume del cono.
104) Calcola il volume di un cono sapendo che l’area della superficie totale è di 628 cm2
e che il raggio di base è lungo 8 cm.
105) Sia dato un triangolo rettangolo di perimetro 108 cm.
Sapendo che il rapporto tra l’ipotenusa e un cateto è ,
determina il rapporto tra i volumi V1 e V2 dei due solidi ottenuti
facendo ruotare il triangolo prima rispetto al cateto maggiore e,
poi, rispetto a quello minore.
106) Un triangolo rettangolo ha l’area di 300 cm2. Facendo ruotare il triangolo attorno al cateto minore
si ottiene un cono di volume 2000π cm3. Calcola l’area della superficie laterale del cono.
200
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
107) Sia dato un trapezio isoscele di perimetro 34 cm. Sapendo che la misura della base maggiore è doppia di quella del
lato obliquo e che la base minore e il lato obliquo stanno tra loro come 16 sta a 13, determina l’area della superficie e
il volume del solido ottenuto dalla rotazione completa del trapezio intorno alla base maggiore.
108) Sia dato un trapezio rettangolo di perimetro 66 m. Sapendo che la base maggiore
e il lato obliquo sono lunghi rispettivamente 23 m e 13 m e che l’altezza è i
della base minore, calcola l’area della superficie del solido ottenuto facendo ruotare
il trapezio di un giro completo intorno alla base maggiore.
109) Un triangolo rettangolo ha i cateti che misurano 12 cm e 16 cm.
Calcola l’area della superficie e il volume del solido generato da una rotazione completa
del triangolo intorno alla sua ipotenusa.
110) Un triangolo isoscele ha la base di 20 cm e l’altezza relativa è i
Calcola l’area della superficie e il volume del solido ottenuto
dalla rotazione completa del triangolo attorno alla base.
della base.
111) Un rombo ha la somma delle diagonali che misura 294 cm e il loro rapporto è
Calcola l’area della superficie e il volume del solido ottenuto dalla rotazione
completa del rombo attorno alla diagonale minore.
.
112) Un trapezio isoscele ha la base maggiore che misura 102 cm, la base minore che è i
della base maggiore e l’altezza che è i della somma delle basi.
Calcola l’area della superficie e il volume del solido ottenuto dalla
rotazione completa del trapezio attorno alla base minore.
113) Un solido è formato da un cubo sormontato da un cilindro avente la base inscritta nella faccia superiore del cubo.
Sapendo che il volume del solido è 442,080 cm3 e che lo spigolo del cubo misura 6 cm, calcola l’area della superficie
del solido.
114) Sapendo che la lunghezza della circonferenza massima ottenuta dalla sezione di una
superficie sferica misura di 36π cm, calcola:
a. l’area della superficie sferica;
b. il volume della sfera.
115) Sapendo che la lunghezza della circonferenza massima ottenuta dalla sezione di una
superficie sferica misura di 150,72 cm, calcola:
a. l’area della superficie sferica;
b. il volume della sfera.
116) Il volume di una sfera è di 288π cm3. Calcola la misura del raggio di un’altra sfera
avente la superficie sferica equivalente ai
di quella della sfera data.
117) Dimostra che la superficie della sfera, la superficie totale del cilindro equilatero e la superficie totale del cono equilatero
circoscritti alla sfera sono direttamente proporzionali ai numeri 4 , 6 , 9.
201
Geometria - secondo anno
OLImPIADI
1) Da un vertice A di un cubo si tracciano degli archi di cerchio con centro in A e raggio pari al lato del cubo su ciascuna
delle tre facce aventi un vertice in A. Qual è la frazione della superficie del cubo ombreggiata?
a.
b.
c.
d.
e. dipende dal lato del cubo
(I giochi di Archimede, Gara del biennio, 20 dicembre 2002)
2) Nella tomba del faraone Tetrankamon è stato ritrovato uno smeraldo, lavorato a forma di tetraedro (piramide a base
triangolare) i cui spigoli misurano in millimetri 54, 34, 32, 29, 27, 20. Indicando con a, B, C, D i vertici del tetraedro
e sapendo che AB è lungo 54, quanti millimetri è lungo CD?
a. 32
b. 29
c. 27
d. 20
e. non si può determinare
(I giochi di Archimede, Gara del biennio, 5 dicembre 2000)
3) Sia Q un cubo e sia S una sfera che ha centro in uno dei vertici di Q e raggio uguale al lato di Q.
Il volume dell’intersezione tra Q e S è:
a. un ottavo del volume del cubo
b. un quarto del volume del cubo
c. un sesto del volume del cubo
d. un quarto del volume del cubo
e. metà del volume del cubo
(I giochi di Archimede, Gara del biennio, 22 novembre 2006)
4) In un cubo di legno di 4 decimetri di lato si taglia un cubo di due decimetri
di lato per fabbricare il solido raffigurato a destra della figura.
Rispetto alla superficie totale del cubo iniziale, di quanti decimetri quadrati è
maggiore la superficie totale esterna del solido?:
(Kangourou Italia - Cadet 5 maggio 2004)
5) C e T sono rispettivamente un cono e un cilindro circolari retti, che hanno lo stesso asse e hanno le basi nello stesso
piano (e sono rivolti dalla stessa parte rispetto a questo piano). L’area di base di C misura 400 π cm2 mentre il raggio
di base di T misura 10 cm. Inoltre le altezze di C e T misurano entrambe 20 cm. Quale percentuale del volume di C è
contenuta dall’intersezione tra C e T ?
[C]
(I giochi di Archimede, Gara del triennio,19 novembre 2008)
[suggerimento: disegna una sezione assiale del cono e del cilindro. L’intersezione dei due solidi è formata da un cilindro
circolare retto di raggio di base 10 cm e altezza 10 cm, e da un cono circolare retto di raggio di base 10 cm e altezza 10 cm.
Quindi il volume dell’intersezione è …. ]
202
Book in
progress
11. La geometria dello spazio
6) Sia Q un cubo e sia S una sfera che ha centro in uno dei vertici di Q e raggio uguale al lato di Q.
Il volume dell’intersezione tra Q e S è:
(A) un ottavo del volume della sfera,
(B) un quarto del volume della sfera,
(C) un sesto del volume del cubo,
(D) un quarto del volume del cubo,
(E) metà del volume del cubo.
(I giochi di Archimede - Gara Biennio, 22 novembre 2006)
[A]
[suggerimento: il cubo Q è individuato dagli spigoli OA, OB, OC uguali al raggio della sfera. O centro della sfera. Per
simmetria, il piano contenente i punti B, O, C divide la sfera in due parti di uguale volume. La calotta ottenuta è a sua
volta ………dal piano passante per A, O, B. Il piano ….. divide ........lo spicchio sferico ABCD. Il volume della parte di
sfera contenuta in Q è ………]
7) Un tetraedro regolare il cui spigolo misura
cm è appoggiato su di un piano p (cioè una faccia è contenuta in p);
indichiamo con V il vertice che non appartiene a p. Il tetraedro viene ruotato di 90° mediante una rotazione che ha per
asse la retta che contiene uno degli spigoli che poggiano su p. Calcolare a quale distanza dal piano p si trova il vertice
V dopo la rotazione.
[C]
(I giochi di Archimede - Gara Triennio, 3 novembre 2005)
[suggerimento: il piano per V e perpendicolare all’asse della rotazione, O punto di intersezione tra piano e asse di rotazione.
V’ posizione del vertice al termine della rotazione, H e H’ proiezioni ortogonali di V e V’ su p . …..;
triangoli rettangoli V HO e V’H’O congruenti, V’H’ = HO; la faccia del tetraedro contenuta in p triangolo equilatero di lato
6√3, H baricentro ………..]
8) Un parallelepipedo a base quadrata è inscritto in una sfera. Se il lato di base è
tra la superficie della sfera e la superficie totale del parallelepipedo?
dell'altezza, quanto vale il rapporto
(I giochi di Archimede - Gara Biennio, 19 novembre 2003)
9) A, B, C e D sono quattro vertici di un cubo, come in figura, e il punto P è il centro della faccia che ha come vertici A, B
e C. Il piano passante per A, P e D divide il cubo in due parti. Qual è il rapporto tra il volume della parte che contiene
B e quello della parte che contiene C?
a.
b.
c.
d.
e.
(I giochi di Archimede, Gara del biennio, 21 novembre 2007)
203
Geometria - secondo anno
10) In una piramide ABCDV la base ABCD è un quadrato e le facce laterali sono triangoli equilateri.
Il triangolo ACV è:
a. rettangolo
b. ottusangolo
c. equilatero
d. equivalente alla base ABCD
e. equivalente a una faccia laterale
(I giochi di Archimede. Gara per il biennio, 1997)
[a]
11) Un pallone di cuoio è ottenuto cucendo 20 pezzi di cuoio a forma esagonale e 12 pezzi di cuoio a forma pentagonale.
Una cucitura unisce i lati di due pezzi adiacenti. Allora il numero totale delle cuciture è:
a. 90 ;
b. 172 ;
c. 176 ;
d.180 ;
e. non si può determinare
(I giochi di Archimede. Gara per il biennio, 1996)
12) Considera un cubo di lato unitario. Determina:
a) il raggio della sfera tangente a tutti gli spigoli del cubo;
b) il raggio della sfera che passa per i quattro vertici di una faccia ed è tangente alla faccia opposta;
c) il raggio della sfera che passa per i quattro vertici di una faccia ed è tangente ai quattro lati della faccia opposta.
(Archimede Eureka Giovani, Archimede 2/2002)
204
[a]
Book in
progress
Geometria - secondo anno
205
Geometria - secondo anno
206
Book in
progress
Geometria - secondo anno
207
Geometria - secondo anno
208