Matematica e didattica della matematica
Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria
a.a. 2009-10
Docente: Ana Millán Gasca
LEZIONE 8
FUNZIONI. LA MATEMATICA PER CAPIRE IL MONDO CHE CI CIRCONDA
SOMMARIO: 8.1 Funzioni. 8.2 Alcuni tipi di funzioni elementari. 8.3 Composizione di funzioni,
corrispondenza biunivoca e funzione inversa. 8.4 L’idea di funzione a scuola
Bibliografia: All’inizio fu lo scriba, cap. 4, cap. 7 La matematica e le sue applicazioni, Che cos’è la
matematica, cap. 6. §1
8.1 Funzioni
Il concetto di funzione è una chiave di volta del pensiero matematico moderno e
dell’applicazione della matematica nella conoscenza della realtà. Le leggi quantitative, come ad
esempio la proporzionalità, sono pensate dalla matematica come funzioni.
Ad esempio, se consideriamo un moto rettilineo uniforme, vi è una regola di proporzionalità
fra lo spazio percorso e il tempo trascorso. Dato un tempo preciso, possiamo calcolare la distanza
percorsa se conosciamo la velocità. Un punto di vista più ampio sul fenomeno è quello di
considerare il tempo come una variabile, ed esaminare la regola che permette di ottenere il valore
della distanza per ogni valore del tempo. Il tempo è una variabile indipendente e lo spazio una
variabile dipendente; le variabili assumono valori all’interno di due insiemi numerici.
Una funzione f fra due insiemi A e B è una regola che ad ogni elemento di A fa corrispondere
uno e un solo elemento di B. Si usa la notazione
f :A"
"# B
! sta organizzando una corsa campestre per bambini aperta a tutti su un
ESEMPIO 8.1 Una associazione sportiva
percorso di 15 km. Si devono scegliere i punti di ristoro e controllo di alcune tappe. Per stabilire questi punti,
si calcola una velocità media dei partecipanti di 4 km/h. Quale è il tempo medio che si può prevedere per
l’intero percorso? Scegliere le variabili e stabilire la funzione che ci permette di decidere l’organizzazione
delle tappe. Discutere la semplificazione della situazione reale necessaria per stabilire tale funzione. Quale
tempo di arrivo possiamo prevedere per il traguardo della metà del percorso? A quale distanza dall’inizio
dobbiamo stabilire un punto di ristoro e controllo raggiungibile dopo un’ora e un quarto di cammino?
Esempio 8.2 Le regole di proporzionalità sono state usate nella matematica pratica fin dal mondo antico, in
problemi di ripartizione proporzionale, di costo e ricavo, di miscele e così via (cfr. Lezione 7). Provi a
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI
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identificare negli esempi di “problemi classici” della lezione 7 le variabili, il loro campo numerico di
variazione e le funzioni di proporzionalità.
Si usa la terminologia seguente: l’insieme A si chiama dominio, l’insieme B si chiama
codominio. Dato un elemento a di A, la funzione f gli associa un unico elemento di B che si chiama
immagine di a ( b = f (a) si legge “b è l’immagine di a in B) e a si dice controimmagine di b.
La condizione per avere una funzione è che ogni elemento di A abbia un’immagine e una
soltanto. Tuttavia, la regola può associare a elementi diversi di A un’immagine diversa in B. Inoltre,
!
non necessariamente ogni elemento di B è immagine di qualche elemento di A: l’insieme f (A) degli
elementi di B che sono immagine di elementi di A si dice insieme immagine.
Dominio e codominio possono essere lo stesso insieme.
ESEMPIO 8.3 Come si generano i multipli di 3? Possiamo immaginare un macinino, un !
dispositivo, che
moltiplica ogni numero naturale per 3
"
"#[$3] "
"#
Da una parte entra un numero naturale (input), dall’altra esce il suo triplo (output), che sarà quindi un
multiplo di tre.
!
k"
"#[$3] "
"# 3k
Questa regola determina una funzione f. Quale è il dominio, il condominio e l’insieme immagine?
Possiamo indicare la miriade di collegamenti che possiamo stabilire in questo modo:
(1,3)
(2,6)
(3,9)
(4,12)
!
...
Possiamo vedere queste “coppie” di numeri come punti del piano, se fissiamo due assi cartesiani. Provi a
rappresentare questi quattro punti e qualcun altro ottenuto con il macinino.
!
Figura 8.1 Rappresentazioni dei punti nel piano cartesiano
Come si generano i numeri naturali che danno resto 3 nella divisione per 4? Trovi un dispositivo
input-output e rappresenti graficamente sul piano la nuova collezione di punti ottenuta. Consideri la stessa
regola per definire una funzione con dominio R e rappresenti il grafico della funzione: che figura geometrica
ottiene?
ESEMPIO 8.4 Il taxi Supponiamo che la tariffa prevista per i taxi per percorsi extraurbani non oltre i 60 km
nella città di Rennes è di 6 euro e di 2 euro per ogni chilometro percorso. Il taxi ha installato un tassametro
2
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
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che legge il numero del contachilometri (arrotondando per eccesso) e produce un numero che indica la
somma dovuta. Vi è quindi una funzione
f :N "
"# N
l"
"# 2 $ l + 6
Rappresenti la funzioni graficamente.
Consideri ora questa funzione!
estesa al dominio R e rappresenti il grafico.
!
Rappresentazioni di una funzione
La funzione può essere rappresentata o “pensata” in diversi modi.
a) Diagramma di frecce
Possiamo rappresentare le funzioni degli esempi 8.3 e 8.4 che hanno dominio N attraverso un
diagramma di frecce: rappresentazione gli insiemi dominio e codominio con un diagramma di
Euler-Venn e rappresentiamo i collegamenti fra elementi del dominio e elementi del codominio con
delle frecce. Poiché si tratta di una funzione, a ogni elemento del dominio parte un’unica freccia con
la punta sull’elemento immagine del condominio.
b) Tabella a due colonne
Per rappresentare la funzione dell’esempio 8.3 possiamo usare una tabella
n
1
2
3
4
5
…
f (n)
3
6
9
12
15
…
c) Rappresentazione con un dispositivo input-output
Abbiamo introdotto in questa veste la funzione dell’esempio 8.3. Questo modo di pensare le
funzioni ci ricorda che, da una punto di vista moderno, la “regola” che definisce la funzione è non
deve essere una vera e propria formula numerica. Quando i bambini molto piccoli calcolano il
doppio e la metà, senza avere ancora un’idea della moltiplicazione e usando le parole numerali si
tratta di una procedura che non corrisponde a una formula
uno,due,tre,...dieci.... "
"#[ doppio] "
"# due,quattro,sei,...,venti,...
"
"#[ metà] "
"#
!
d) Rappresentazione con un grafico
!
È molto utile rappresentare le funzioni geometricamente. Ad esempio, possiamo rappresentare
la funzione dell’esempio 8.3 sugli assi cartesiani nel modo seguente. Rappresentiamo gli elementi
del dominio su una linea orizzontale (asse delle ascisse) e gli elementi del condominio su una linea
verticale (asse delle ordinate). Consideriamo tutte le coppie ordinate generate dalla funzione:
3
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI
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(1,3), (2,6), (3,9), (4,12), (5,15),...
Ognuna di esse può essere rappresentata come un punto del piano, con ascissa un numero
naturale e ordinata il triplo di quel numero. Si ottengono così una serie di punti allineati.
!
ESEMPIO 8.5 Considerare la funzione:
f3 : R "
"# R
k"
"# f 3 ( k ) = 3$ k
È una legge di proporzionalità con rapporto di proporzionalità 3. Ci serve, ad esempio, a calcolare il prezzo
che dovremmo pagare per cinque !porzioni di torta a ristorante se ogni torta costa 3 euro. L’insieme
immagine è l’insieme de multipli di 3. I!punti di coordinate k, f 3 ( k ) si trovano su una retta che passa per
l’origine (0,0).
Possiamo considerare anche le funzioni seguenti:
(
)
g3 !
:R"
"# R
k"
"# g3 ( k ) = 3$ k + 1
!
!
h3 : R "
"# R
k"
"# h3 ( k ) = 3$ k + 2
Se rappresentiamo queste due funzioni sugli assi cartesiani, otteniamo altre due rette parallele alla prima retta
!
ottenuta.
!
Si dice grafico della funzione f : A "
"# B il sottoinsieme G f del prodotto cartesiano A " B
seguente:
{(x, y) " A # B : y = f ( x )}
!
!
!
!
8.2 Alcuni tipi di funzioni elementari
Funzioni di proporzionalità
Le funzioni date da una regola del tipo x "
"# f ( x ) = a $ x , con a numero fissi (ad esempio, nella
funzione f 3 , a = 3) si chiamano funzioni di proporzionalità. Nella rappresentazione grafica, a è il
coefficiente angolare, che indica la pendenza della retta. In questo caso, se la variabile indipendente
aumenta, la variabile dipendente aumenta allo stesso modo, e se la variabile indipendente
! aumenta allo stesso modo:
diminuisce, la variabile dipendente
!
!
x f ( x)
=
=a
s f ( s)
!
4
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Funzioni lineari
Le funzioni date da una regola del tipo x "
"# f ( x ) = a $ x + b , con a, b numeri fissi (ad esempio,
nella funzione g3 , a = 3 e b = 1) si chiamano funzioni lineari. La loro rappresentazione grafica è una
retta di coefficiente angolare a e ordinata all'origine b: a rappresenta la pendenza della retta e (0,b)
rappresenta il punto di passaggio
della retta per l'asse delle ordinate, ossia l’“entità” della
!
traslazione
della
retta
dall’origine.
Per
trovare la controimmagine di un punto qualsivoglia y bisogna
! !
risolvere l’equazione
!
f ( x) = y
Il punto di intersezione della retta con l’asse delle ascisse si ottiene risolvendo l’equazione:
!
f ( x) = 0
In questo caso, il rapporto tra gli incrementi della variabile indipendente e gli incrementi della
variabile dipendente è costante:
!
f ( x ) " f ( s)
=a
x"s
ESEMPIO 8.6 La geometria analitica permette di descrivere le figure geometriche attraverso le loro equazioni:
essa nacque nel Seicento grazie all’applicazione dell’algebra alla geometria. A sua volta, la rappresentazione
grafica delle funzioni ci permette di!studiare la dipendenza funzionale da un punto di vista geometrico.
Provi a considerare degli esempi di funzioni rappresentate dalle rette rappresentate in questa figura.
Su questi temi della matematica si può consultare il libro Marina Cazzola (2001), Per non perdere la
bussola. Un’introduzione ai sistemi di rifermimento. Collana “Quaderni a quadretti”, mimesis, Milano.
ESEMPIO 8.7 Un treno parte da una città C che dista 1140 km da Roma e avanza a 120 km/h con movimento
uniforme. Esprimere attraverso una formula la lunghezza percorsa in km, dopo t ore dalla partenza.
Esprimere attraverso una formula la distanza d dalla nostra città alla quale si trova dopo t ore dalla partenza.
Rappresenti il grafico della funzione. Un secondo treno, un treno merci partito da Roma 4 ore fa, avanza
verso C a 60 km/h. Fra t ore saranno trascorse t + 4 ore dall sua partenza. Esprimere la formula che permette
di calcolare la distanza alla quale questo secondo treno si trova da Roma in funzione del tempo.
Rappresentare il grafico della funzione. Quando è dopo si incontreranno i due treni? Risolva
geometricamente e algebricamente.
Esempio 8.8 In economia, la funzione che fa corrispondere al prezzo di un prodotto la quantità di quel
prodotto che i consumatori sono disposti ad acquistare si chiama curva di domanda. Semplificando al
5
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI
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massimo il contesto economico reale, possiamo pensare che, più è conveniente un prodotto, più verrà
acquistato, e più esso è costoso, meno verrà acquistato.
La funzione che mette in relazione il prezzo di un prodotto con la quantità che i produttori sono disposti a
offrire sul mercato si chiama curva di offerta. Si chiama prezzo di equilibrio quello in cui l’offerta è uguale
alla domanda.
Supponiamo di poter rappresentare il caso semplificato relativo a un certo portafoglio di lusso prodotto da un
unico laboratorio artigianale, considerando funzioni lineari. Sappiamo che se il prezzo fosse 100 euro, 290
tra i clienti del laboratorio lo acquisterebbero, mentre se il prezzo arriva a 300 euro, il numero di potenziali
acquirenti si riduce a 190. Rappresenti graficamente e trovi la formula della funzione di domanda f. Il
proprietario del laboratorio sarebbe pronto a produrre 40 portafogli se il prezzo è 100 euro; mentre a un
prezzo di 300 ne produrrebbe ben 440. Rappresenti graficamente sugli stessi assi di coordinate e con un
colore diverso e trovi la formula della funzione di domanda g. Calcoli graficamente e algebricamente il punto
di equilibrio. Quale è il dominio delle funzioni f e g? (Ha senso avere p < 0 ? E p = 0 ?)
ESEMPIO 8.9 Per produrre succo d’ananas in un impianto, si mescola concentrato di succo importato con
acqua, nella proporzione 3 parti di concentrato per 5 di acqua. Costruire una tavola di valori, la formula e
! da aggiungere
!
rappresentare la funzione che calcola la quantità di acqua
in funzione della quantità di
concentrato.
IL METODO SCIENTIFICO E LA RICERCA DELLE LEGGI MATEMATICHE DEI FENOMENI
I matematici greci applicarono la geometria nelle loro ricerche di ottica e di statica, nelle loro
teorie astronomiche e nella tecnologia (pneumatica e meccanica), come si evince dai lavori di
Euclide, di Tolomeo, di Archimede e di Erone di Alessandria. La geometria forniva un linguaggio,
una forma di schematizzazione astratta dei problemi della natura e delle macchine e una serie di
teoremi su cui poggiare la ricerca di una descrizione compiuta.
All’inizio dell’età moderna, sulla scia di questi tentativi incompiuti, fu intrapreso in Europa
un ambizioso progetto di creazione di una scienza matematica che fosse in grado di fornire le leggi
che regolano i fenomeni naturali, leggi verificabili empiricamente e che rendessero possibile
ottenere delle previsioni sull’andamento futuro di tali fenomeni. A cavallo fra Cinquecento e
Seicento, Galileo (1564-1642) lavorò sulla scienza del moto andando oltre lo studio archimedeo
dell’equilibrio, ma applicando sempre la geometria (la teoria geometrica delle proporzioni, lo studio
delle coniche e così via).
Tuttavia, in quel periodo si approntarono nuovi strumenti matematici, come l’introduzione
delle coordinate nello studio delle curve e delle superfici. Le figure geometriche potevano, in tal
modo, essere descritte attraverso le loro equazioni, ed erano viste come immerse nel piano e nello
spazio geometrico descritto mediante gli assi cartesiani. Su queste basi – nel corso della cosiddetta
Rivoluzione scientifica – fu sviluppata una nuova branca della matematica, l’analisi matematica,
che forniva lo strumento per descrivere qualsiasi fenomeno individuando delle grandezze
dipendenti da una variabile. Ad esempio, nella meccanica, lo spazio dipende dal tempo, oppure,
detto in termini moderni, lo spazio è una funzione del tempo, e individuare il tipo di moto (rettilineo
uniforme, uniformemente accelerato, o circolare uniforme) basta conoscere la funzione che lo
descrive.
All’inizio dell’Ottocento, il matematico francese Jean Baptiste Fourier (1768-1830)
descriveva la metodologia classica dell’indagine scientifica: l’osservazione o la sperimentazione
portano a formulare delle ipotesi sulle regolarità del fenomeno; bisogna quindi formulare una legge
in termini matematici, attraverso un’equazione che lega le grandezze coinvolte alle variabili; quindi
l’analisi matematica permette di ottenere una soluzione di tale equazione; e infine si confronta tale
soluzione con il mondo reale, cercando una verifica empirica; ed eventualmente, se si trovano
discrepanze, si ritocca l’equazione e si ripete il processo. Questa metodologia, applicata con
successo alla meccanica, permise di sviluppare le teorie del calore, dell’elettromagnetismo, la teoria
6
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
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dell’elasticità e così via. D’altra parte, la matematica, spinta dai problemi della fisica, riuscì a
estendere i propri metodi, concetti e teorie.
Nel corso del Novecento la matematica ha allargato ancora oltre la sua area di applicazione,
all’economia, alla biologia e alle scienze sociali, e anche alle applicazioni tecnologiche
(dall’esplorazione spaziale all’organizzazione logistica e industriale) e alle scienze applicate (dalla
finanza all’ecologia). A questo scopo sono state sviluppate branche della matematica prima
marginali, come la probabilità, l’ottimizzazione o la matematica del finito. La matematica rinnova
così la sua presenza, che risale alle lontane origini nel mondo antico, accanto alle più varie imprese
umane.
Alcuni esempi di funzioni quadratiche
ESEMPIO 8.10 Si consideri la funzione che associa ad ogni numero naturale il suo quadrato. Gli antichi scribi
babilonesi avevano compilato, per facilitare i loro calcoli, delle tabelle di quadrati, che dal nostro odierno
punto di vista rappresentano la funzione
g:N "
"# N
"# n 2
n"
L’insieme immagine di g è formato dai numeri naturali che sono quadrati perfetti:
!
!
{1,4,9,25,...}
Si osservi che se consideriamo questa regola applicata a un insieme numerico più ampio, l’insieme Z
dei numeri interi (i numeri naturali, i negativi e lo zero), si tratta comunque di una funzione con lo stesso
insieme immagine, ma ogni numero e!il suo opposto hanno la stessa immagine:
g:Z "
"# Z
z"
"# z 2
1"
"#1
!
$1 "
"#1
2"
"# 4
$2 "
"# 4
...
Consideriamo ora la funzione definita sul campo numerico dei reali
g:R"
"# R
!
x a f ( x) = x 2
Il grafico di questa funzione è una curva, una parabola.
!
7
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI
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ESEMPIO 8.11 Nel movimento rettilineo uniformemente accelerato, la velocità dipende dal tempo secondo
una regola di dipendenza proporzionale (se la velocità iniziale è zero) oppure lineare. La regola che descrive
la dipendenza della distanza percorsa dal tempo trascorso, invece, non è lineare ma quadratica. Ad esempio,
consideriamo la caduta di un grave, ossia il moto di un corpo che cade perché attratto dalla forza
gravitazionale terrestre (all’istante iniziale è a una certa distanza da terra e fermo, e lo lasciamo cadere). La
tabella dei valori assunti dalle variabili nei primi cinque secondi del moto è
La formula che esprime la distanza s (in metri) in funzione del tempo (in secondi) è
s = 4,9t 2
e la sua rappresentazione è una parabola.
!
Si tratta di un grafico spazio-tempo, ossia di una rappresentazione della relazione tra queste due
variabili; non si tratta di una rappresentazione della traiettoria: si tratta di un moto rettilineo.
La funzione di proporzionalità inversa
ESEMPIO 8.12 Per eseguire un certo lavoro in una azienda agricola coinvolgendo 4 operai servono 3 ore di
lavoro? In quanto tempo si può eseguire il lavoro coinvolgendo 6 operai? (Rifletta: servirà più o meno
tempo?) Costruisca una tabella indicando il tempo necessario a seconda del numero degli operai. Rappresenti
i punti ottenuti sul piano cartesiano. Provi a ottenere una formula che permetta di calcolare il tempo in
funzione del numero degli operai. Quale è il dominio e il codominio della funzione così definita.
La funzione di proporzionalità inversa
f :R"
"# R
x a f ( x) =
ha come grafico una curva, l’iperbole.
!
8
a
x
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
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ESERCIZIO. Quali punti del grafico dell’iperbole dell’illustrazione hanno un senso nel contesto dell’esempio
8. 12? Ha senso considerare valori della variabile indipendente minori di 1? E valori maggiori di 12?
Le funzioni in matematica
Le funzioni hanno rilevanza centrale anche all’interno della matematica. Ad esempio, le
operazioni fra numeri naturali possono essere pensate come funzioni. Vediamo il caso
dell’addizione:
+:N "N #
#$ N
"# n + m
(n,m) "
(si osservi che in questo
! caso il dominio è un insieme prodotto cartesiano).
! che ad ogni numero naturale associa il numero naturale successivo, secondo
ESEMPIO 8.13 Consideri la legge
gli assiomi di Peano (funzione successore).
(i) Discuta se questa legge definisce una funzione, usando la definizione.
Indichi il dominio e il condominio. Scriva la funzione in notazione simbolica.
(ii) Rappresenti la funzione successore in vari modi.
(iii) Ottenga l’immagine dei numeri 8, 19, 193 e la controimmagine dei numeri 47, 8, 390.
(iv) Dato un numero naturale qualsivoglia n, esiste sempre una controimmagine? Quale è? Indichi l’insieme
immagine.
ESEMPIO 8.14 Considerare la regola seguente:
F : N " N* # N " N
(a,b) " (q,r)
che associa a ogni coppia di numeri naturali il quoziente e il resto della divisione del primo per il secondo
( a = b " q + r , con 0 " r < b ). !
!
!
9
!
!
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI
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(N* indica l’insieme dei numeri naturali diversi da zero)
F è una funzione? Giustifichi la risposta.
8.3 Composizione di funzioni, corrispondenze biunivoche e funzione inversa
Funzione composta
Date due funzioni f : A "
"# B e g : B "
"# C , si dice funzione composta la funzione con
dominio A e condominio C che associa a un elemento a di A l’immagine seguente:
!
a"
"# f ( a) "
"# g( f ( a))
!
La funzione composta si denota f o g : A "
"# C
La funzione composta si chiama anche prodotto operatore. Se consideriamo tutte le funzioni con
!
dominio e condominio un insieme A, la composizione di funzioni è un’“operazione” fra funzioni,
che gode della proprietà associativa, ma non della proprietà commutativa. La funzione identità, che
!
lascia invariato ogni elemento
di A, è l’elemento neutro della composizione di funzioni:
idA : A "
"# a
x a idA ( x ) = x
ESERCIZIO Quale è il grafico della funzione identità su R?
ESEMPIO 8.15 Consideriamo la
! funzione del taxi dell’esempio 8.4. Quale è il calcolo eseguito dal
tassametro?
n a [ doppio] a 2n a [ aggiungere 6] a 2n + 6
Quindi la funzione f è la composizione delle funzioni
!
h:N "
"# N
l"
"# 2 $ l
!
g:N "
"# N
l"
"# l + 6
!
g o h(n) = g(h(n)) = g(2n) = 2n + 6 = f (n)
!
! = h(g(n)) = h(n + 6) = 2( n + 6) = 2n + 12
Osservare che g o h " h o g ; infatti h o g(n)
Infatti
Funzione ineittiva e!suriettiva
! Vi sono diversi tipi
! di funzione, definiti inserendo condizioni più forti.
Una funzione f è iniettiva se elementi diversi del dominio hanno immagini diverse, e quindi se
due elementi hanno la stessa immagine, allora coincidono; in altre parole
"a,b # A f ( a) = f (b) " a = b
10
!
!
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
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Una funzione f è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un
elemento del dominio ( f ( A) = B ).
ESERCIZIO La funzione g : Z "
"# Z dell’esempio 8.8 non è iniettiva e non è nemmeno suriettiva. Esamini i
vari esempi di funzione introdotti nella lezione per capire se si tratta di una funzione iniettiva.
!
Per ogni funzione è stato ottenuto l’insieme immagine: concluda se si tratta di funzioni suriettive.
!
Corrispondenza biunivoca e funzione inversa
Una funzione f è biiettiva o biunivoca se è iniettiva e suriettiva. In questo caso si dice anche
corrispondenza biunivoca. La corrispondenza biunivoca, ossia la corrispondenza o funzione
“perfetta”, è un concetto matematico ispirato da una procedura, il contare
Data una corrispondenza biunivoca f : A "
"# B , si chiama funzione inversa alla funzione
con dominio B e condominio A che a un elemento b di B fa corrispondere l’elemento a di A tale che
b = f (a) . (La funzione inversa verifica la condizione di funzione proprio perché la funzione
originaria era suriettiva e iniettiva)
!
La funzione inversa di una funzione f si denota f "1 : B #
#$ A .
!
Data una funzione f : A "
"# A biunivoca, si ha
!
f o f "1 = f "1 o f = idA
!
8.4 L’idea di funzione a scuola
!
La consapevolezza del ruolo della matematica, sia nella conoscenza scientifica sia nella
conduzione di ogni genere di attività nel mondo attuale, ha portato a inserire questi aspetti nei
programmi scolastici. Anche nella scuola elementare, all’aritmetica, la misura e la geometria è stata
aggiunta una parte relativa all’interpretazione, rappresentazione ed elaborazione dell’informazione,
che include il concetto di funzione e le tecniche e concetti della statistica. L’avvicinamento a tali
questioni non deve però tralasciare il ruolo formativo dei concetti matematici basilari aritmetici e
geometrici, anche nei loro aspetti più astratti. D’altra parte, è importante che l’insegnante
approfondisca, anche dal punto di vista storico e filosofico, il ruolo della matematica – opera
dell’uomo – nella conoscenza e nel dominio della realtà. Come ha scritto Laurent Lafforgue nel suo
saggio Le calcul nell’école primaire, l’obiettivo del calcolo nella scuola primaria è fare acquisire
agli alunni la conoscenza dei numeri interi e frazionari, la loro scrittura decimale e le loro relazioni
elementari (ordine e operazioni)
allo stesso tempo in modo astratto e nei loro usi concreti legati al conteggio e alla misura:
lunghezze, aree, volumi, masse, tempi, angoli. Alla fine della scuola primari gli alunni devono
possedere un dominio agile, esatto e sicuro delle operazioni elementari sui numeri e le grandezze e
della manipolazione delle unità; debbono saper redigere in modo conciso e rigoroso la soluzione di
problem di calcolo formulate nella lingua corrente tratti dalla vita pratica, dalle scienze della natura o
dalla meccanica, e che necessitano di un ragionamento di natura discorsiva.
Gli esempi più semplici riguardanti le scienze della natura e la meccanica riguardano le
leggi di proporzionalità, come quelle riguardi i moti rettilinei uniformi e l’idea di velocità oppure il
rapporto di proporzionalità fra massa e volume dei corpi e l’idea di densità.
11
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI
Ana Millán Gasca
LE FUNZIONI A SCUOLA PER I PIÙ PICCOLI
In anni recenti si è tentato in diversi modi di introdurre nella scuola elementare l’idea di
funzione.
Tabelle a doppia entrata
Innanzitutto, fin dalla scuola dell’infanzia si parla di “relazioni” fra insieme di varia natura,
registrando i “collegamenti” fra elementi in tabelle a doppia entrata.
Le tabelle a doppia entrata che rappresentano visivamente una selezione di coppie del
prodotto cartesiano di due insiemi.
Operatori
Nella scuola primaria si parla alle volete di numeri come “operatori” per introdurre l’idea di
funzione fra insiemi numerici. Si adopera spesso questa visualizzazione
+2
""
#
%
"$2"
&3
""
#
Il terzo operatore, ad esempio, corrisponde alla funzione di proporzionalità f 3 prima
introdotta. Allo stesso modo, lavorare con i primi due operatori come “inversi” (come è indicato
! inversa.
dalle frecce) fa riferimento alla funzione
Possiamo anche rappresentare l’idea di funzione successore o di “aggiungere uno” scrivendo
!
+1
""
#
e quindi denotare il successore di un numero n (o il numero successivo) scrivendo n + 1. Questa
scrittura usa il simbolo del numero “privilegiato” della sequenza (1) e il simbolo dell’addizione (+)
!
Bisogna stare attenti, però, in quanto l’idea di operatore deve essere associata a un insieme
!
dominio (i numeri naturali) e non a un singolo numero o più numeri. A questo
scopo può essere
utile l’idea di dispositivo input-output, che conviene tuttavia distinguere concettualmente dal lavoro
sui numeri naturali e le loro proprietà.
Trasformazioni geometriche
Oltre lo studio tradizionale sulle figure (classificazione, aree e perimetri) si possono studiare i
movimenti rigidi delle figure oppure le trasformazioni quali la similitudine. Le trasformazioni
geometriche sono corrispondenze biunivoche del piano geometrico nel piano geometrico, come
vedremo più avanti.
Esercizi
1) Un organismo unicellulare si riproduce per scissione binaria, dando luogo in ogni scissione a due
cellule identiche. Quanti organismi saranno presenti dopo 6 scissioni. Provi a trovare una formula
che permetta di calcolare il numero di organismi in funzione del numero di scissioni.
12
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
2) (i) Ottenga i valori della formula seguente per i primi dieci numeri naturali
3n 2 " n + 41
Per il numero 15 si ottiene un numero primo? E per 41?
(ii) Considerare la regola
!
h:N "N
n " h(n) = 3n 2 # n + 41
h è una funzione?
Descriva a parole l’“azione” di h sul numero n.
!
!
3) Interpreti gli “operatori”
+2
""
#
%
"$2"
come funzioni con dominio e codominio l’insieme N dei numeri naturali e provi a rappresentarli
graficamente:
!
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
con i diagrammi di Venn
con una tabella a due colonne
con una tabella a doppia entrata
rappresentando le coppie ordinate scelte nel prodotto cartesiano N " N che
determinano la funzione usando gli assi cartesiani
4) Consideri l’“operatore” dell’esempio 3
"3
##
$
!
Di quale funzione si tratta? Esiste la funzione inversa? Se si, provi a rappresentarla in alcuno dei
modi illustrati nella lezione.
!
5) Consideri il calcolo del doppio e della metà. In che senso si tratta di due operatori inversi?
6) Si consideri la regola seguente che associa elementi di Z a elementi di Z:
:Z "
"# Z
z"
"# z
Si tratta di una funzione? Rappresentarla in uno dei quattro modi. Quale è l’immagine degli
!
elementi seguenti: 3, 0, 167, –14? Quale è l’insieme immagine? Indagare se la funzione valore
assoluto è iniettiva e/o suriettiva? !
13
LEZIONE 3 INSIEMI, RELAZIONI, FUNZIONI
Ana Millán Gasca
7) Dati l’insieme A delle vocali e l’insieme B dei numeri da 10 a 15
a)
b)
c)
d)
scrivere i due insiemi per estensione e rappresentarli per mezzo di due diagrammi di Venn.
costruire una funzione f : A "
"# B (ricordi prima la definizione)
la funzione f è iniettiva?
A e B hanno la stessa cardinalità? (ricordi le definizione riguardanti la cardinalità di insiemi
finiti e infiniti)
!
8) Siano A l’insieme di numeri interi compresi fra -5 e -1 e B l’insieme dei numeri naturali minori di
6. Considerare la regola f con dominio A e codominio B che associa a ogni elemento di A il suo
opposto: è una funzione? Rappresentarla usando un diagramma di Venn e scrivere il grafico della
corrispondenza e rappresentarlo sugli assi cartesiani. La funzione f è biunivoca?
9) Consideri il seguenti dispositivi input-output. Per ognuno di essi, costruisca una tabella a due
colonne per registrare le uscite quando in entrata si collocano i numeri naturali a partire da 1.
a)
"
n3 " n2
b)
!
!!
!
"
"
!
!
!!
1
n
"
!
10) Sia C l’insieme delle cifre che servono a scrivere il numero venti mila settecento trentasei e D
l’insieme dei quattro primi numeri naturali primi diversi da 1.
!
(a)
(b)
(c)
Determinare l’insieme intersezione di C e D, l’insieme unione di C e D e l’insieme
prodotto cartesiano di C e D.
L’insieme C " D è finito? Quanti elementi ha?
Costruire una funzione con dominio D e codominio C. E iniettiva? È suriettiva?
11) (i) Ottenga i valori della formula seguente per i numeri da 1 a 3
!
n
22 + 1
Per il numero 4 si ottiene un altro numero primo, 65537. Per il numero 5 invece si trova un
numero composto: ciò fu dimostrato da Eulero nel 1732.
!
(ii) Considerare la regola
f :N "N
n
n " f (n) = 2 2 + 1
f è una funzione?
!
Descriva a parole l’“azione” di f sul numero n.
!
14
MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA
Ana Millán Gasca
12) Consideri le funzioni L e A che permettono di calcolare rispettivamente la lunghezza della
circonferenza in funzione del raggio e l’area del cerchio in funzione del raggio. Costruisca una
tabella di valori e approssimi i valori in espressione decimale usando la calcolatrice. Di che tipo di
funzione si tratta?
Altri esercizi: In equilibrio sulla linea dei numeri, cap. 1, esercizi 1-4 e cap. 3 (tutti gli esercizi).
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