Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /2e
S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill
Soluzione degli esercizi del capitolo 13
Es.
.
13.1
a.
b.
c.
d.
e.
f.
13.2
a. Il parametro di interesse è θ : prezzo di mercato dell’immobile; H 0 : θ = 0,5 ; H 1 : θ ≠ 0,5 .
Semplice
Semplice
Semplice
Composta
Composta
Semplice
b. Il parametro di interesse è θ : percentuale di persone che praticano almeno una attività sportiva; H 0 : θ = 0,2 ;
H 1 : θ ≠ 0,2 .
c. Il parametro di interesse è θ : numero medio di ingressi giornalieri nelle sale cinematografiche;
H 0 : θ = 31500 ; H 1 : θ > 31500 .
d. Il parametro di interesse è θ : quantità di raccolto danneggiata; H 0 : θ = θ 0 ; H 1 : θ < θ 0 .
13.3 Deve essere sempre soddisfatta la condizione a; ciò non è vero invece per la condizione b.
13.4
a. Il sistema d’ipotesi è: H 0 : μ = μ 0 ; H1 : μ ≠ μ 0 .
b. La probabilità di commettere un errore del Iº tipo (che coincide con il livello di significatività del test) quando
si rifiuta H 0 se la statistica test supera il valore 1,6449 è data da:
P( ( X − μ 0 ) ( σ
n ) ≥ 1,6449 ) = P ( Z ≥ 1,6449 ) = 0 ,05 , quindi α = 5% .
c. La probabilità di commettere un errore del Iº tipo (che coincide con il livello di significatività del test) quando
si rifiuta H 0 se la statistica test supera il valore 2,5758 è data da:
P( ( X − μ 0 ) ( σ
n ) ≥ 2,5758 ) = P ( Z ≥ 2,5758 ) = 0,005 , quindi α = 0 ,5% .
13.5 Rifiutiamo l’ipotesi nulla se α > 0,09 . Il massimo valore di α affinché il test sia corretto è α = 0,05 .
13.6 Risposta esatta: c.
13.7 Risposta esatta: e. Infatti, possiamo solamente dire che si dovrebbe accettare H 0 se il livello di significatività α è
stato fissato ad un valore inferiore a 0,3.
13.8 Risposta esatta: d. Infatti, non è possibile stabilire un valore di β se non si è a conoscenza dell’ipotesi alternativa
formulata dal test d’ipotesi.
13.9 Risposta esatta: b. Infatti, l’intervallo di confidenza per μ , a un livello di confidenza 1 − α = 0 ,95 , costruito a partire
dagli stessi dati campionari non conterrà il valore μ 0 ipotizzato in H 0 .
13.10
a. Lo spazio parametrico è Θ = [0 , 1500]
(
b. Sotto l’ipotesi nulla, la statistica test Z = X − μ 0
) (σ
) (
)(
n = X − 1500 18
) (
)
9 = X − 1500 6 si distribuisce
come una Normale standardizzata.
c. Il valore critico per α = 0,01 è − zα = − z 0 ,01 = −2 ,33 , infatti P (Z ≤ −2 ,33) = 0 ,01 = α .
d. La regione critica per α = 0,05 è data da Z ≤ −1,65 (ossia per X ≤ 1490,1 ).
e. Dalla d. la regione di accettazione è data da tutti i valori della media campionaria tali che X > 1490,1 , pertanto:
X − 1498 1490 ,1 − 1498
>
)=
6
6
= P ( Z > −1,32 ) = 1 − P ( Z ≤ −1,32 ) = 1 − Φ( −1,32 ) = Φ( 1,32 ) = 0,9066
β = P ( X > 1490 ,1 H 0 falsa ) = P (
13.11
a. Il sistema d’ipotesi considerato è H 0 : μ = 5 ; H1 : μ < 5 .
b. Il valore della statistica test è –2,83. Il corrispondente p-value è
P ( Z ≤ −2,83 ) = Φ( −2,83 ) = 1 − Φ( 2,83 ) = 0,0023 .
c. Essendo il livello di significatività α = 0 ,025 > 0 ,0023 , si rifiuta l’ipotesi nulla.
d. Si mantiene la stessa decisione fino a che α ≥ 0,0023 .
13.12
a. Il p-value è 0,2006, mentre il livello di significatività è 0,05, infatti:
P (Z ≤ −1,28) + P (Z ≥ 1,28) = 0,1003 + 0 ,1003 = 0 ,2006 = p − value
P Z ≤ − zα 2 + P Z ≥ zα 2 = P (Z ≤ −1,96 ) + P (Z ≥ 1,96 ) = 0 ,025 + 0,025 = 0 ,05 = α
(
) (
)
b. Essendo il p-value maggiore del livello di significativà, si accetta l’ipotesi nulla.
c. Il p-value è 0,017, mentre il livello di significatività è 0,05. Infatti, supposto ad esempio che H o : μ = μ 0 e
H1 : μ > μ 0 , si ha:
P (Z ≥ 2 ,12 ) = 0 ,017 = p − value
P (Z ≥ zα ) = P (Z ≥ 1,645) = 0 ,05 = α
d. Essendo il p-value minore del livello di significativà, si rifiuta l’ipotesi nulla.
