trigonometria-e-esercizi-di-geometria

1 Funzioni trigonometriche
1
1
Funzioni trigonometriche
Definizione 1.1. Si definisce circonferenza goniometrica la circonferenza
centrata nell’origine di un piano cartesiano e raggio unitario.
L’equazione di tale circonferenza è x2 + y 2 = 1.
Una volta disegnata tale circonferenza, si prenda un punto P su di essa e si disegni
il segmento che va dall’origine
fino a P . Chiamiamo α l’angolo che tale segmento, ossia
il raggio della circonferenza,
forma con l’asse delle x. La
freccia che compare in figura
indica l’orientazione dell’angolo: in altre parole, per convenzione si considera positivo
l’angolo misurato in senso an-
y
P
α
−α
x
P0
tiorario, negativo quello misurato in senso orario.
L’unità di misura degli angoli è, in generale, il grado, ma spesso è più conveniente
usare il radiante.
Definizione 1.2. Il radiante è la misura corrispondente al rapporto tra la
lunghezza l dell’arco sotteso da un angolo α e il raggio r della circonferenza:
α = rl .
l
α
r
Definiamo ora le funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente e cotangente.
y
P
α
cos α
1
sin α
Consideriamo una circonferenza trigonometrica, un punto P su di essa e l’angolo α
individuato dall’asse x e dalla semiretta congiungente l’origine con P . Al variare dell’angolo α si vede che variano anche le coordinate di P ,
per cui sono funzioni dell’angolo.
x
1 Funzioni trigonometriche
2
Definizione 1.3. Definiamo coseno di un angolo α (cos α) l’ascissa del punto
P associato ad α, mentre definiamo seno di α (sin α) l’ordinata di P associato
ad α.
Siccome P appartiene alla circonferenza trigonometrica, le sue coordinate devono soddisfare l’equazione di questa circonferenza, ossia
sin2 α + cos2 α = 1 ,
da cui segue che seno e coseno sono funzioni limitate, ossia dato un angolo il
seno e il coseno di tale angolo sono numeri reali che appartengono a un certo
intervallo:
−1 ≤ sin α ≤ 1
− 1 ≤ cos α ≤ 1 .
Consideriamo le figure seguenti:
y
y
N
Q
Q
P
P
α
α
E
x
x
dove P è il punto individuato dall’intersezione tra la semiretta per l’origine e la
circonferenza goniometrica. Conduciamo dai punti E (1, 0) e N (0, 1) le tangenti
alla circonferenza (in arancio a sinistra e in celeste a destra) e indichiamo con
Q il punto di intersezione tra queste e la semiretta per O e P . Tralasciando le
costruzioni geometriche, diamo le seguenti definizioni:
Definizione 1.4. Si definisce tangente di α l’ordinata del punto Q, ossia
sin α
cos α
tan α = cos
α , mentre l’ascissa di Q è chiamata cotangente di α: cot α = sin α .
Valgono le seguenti relazioni per angoli associati:
π
sin
− α = cos α
2π
cos
− α = sin α
2
sin (π − α) = sin α
cos (π − α) = − cos α
sin (π + α) = − sin α
cos (π + α) = − cos α
sin (2π − α) = − sin α
cos (2π − α) = cos α
sin (−α) = − sin α
cos (−α) = cos α
2
1 Funzioni trigonometriche
3
y
Q
K
P
α
π −α
α 2
O
Figura 1: sin
H
x
π
π
− α = cos α e cos
− α = sin α.
2
2
y
Q
P
π−α
α
α
O
K
H
x
Figura 2: sin (π − α) = sin α e cos (π − α) = − cos α.
3
1 Funzioni trigonometriche
4
Siccome la trigonometria ha lo scopo di stabilire delle relazioni metriche tra
i lati e gli angoli di un triangolo, possiamo sfruttare le funzioni appena definite
per determinare, noti tre elementi del triangolo tra lati e angoli (di cui almeno
un lato), gli elementi rimanenti di tale triangolo.
Se AB = a, BC = b e CA = c, essendo l’angolo in C retto, si hanno le seguenti
B
β
γ
α
C
A
semplici relazioni:
b = a sin α = a cos β
c = a sin β = a cos α
b = c tan α
c = b cot β
Bisogna tenere sempre a mente che:
• la somma degli angoli interni di un triangolo è α + β + γ = 180◦ ;
• in un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore
della loro differenza;
• in un triangolo la stessa relazione, di uguaglianza e disuguaglianza, che
intercede fra due lati intercede pure fra gli angoli rispettivamente opposti.
4
2 Esercizi (non solo trigonometria)
2
5
Esercizi (non solo trigonometria)
ESERCIZIO 1. Considera gli angoli α e β
in figura, quale tra le seguenti relazioni è corretta?
y
A
α
1
2
O
x
B. sin β < cos α
β
−1
A. tan β < cos α
C. cos β > cos α
B
D. tan β > tan α
E. tan β < sin α
Si vede che la retta interseca l’asse x nel punto
x = 2 e l’asse y nel punto y = −1. Il coefficiente angolare della retta è dunque m = 12 . È evidente che si tratta di un
√
triangolo rettangolo: AB = 5, OA = 2 e OB = 1. Risolvendo il triangolo,
otteniamo che
√
√
2 5
5
=⇒ cos β =
OA = AB sin β =⇒ sin β =
5
√5
√
5
2 5
OB = AB sin α =⇒ sin α =
=⇒ cos α =
5
5
Inoltre
1
,
tan β = 2
2
Da qui segue che la risposta corretta è la D.
ESERCIZIO 2. Un rettangolo di perimetro 18 cm viene ottenuto piegando a
metà un quadrato. Calcolare l’area del quadrato iniziale.
Traccia: l’area di un quadrato di lato a è A = a2 , mentre il perimetro di un
rettangolo ottenuto piegando a metà il quadrato è P = 3a, per cui nello specifico
abbiamo a = 6. Si ottiene quindi che l’area richiesta è 36 cm2 .
ESERCIZIO 3. Dato il triangolo di vertici A (−3, 1), B (6, 7) e C (−3, 6), calcolarne l’area.
Traccia: sia a, b e c la misura di ciascun lato e 2p il perimetro del triangolo.
Vale la formula di Erone:
p
A = p (p − a) (p − b) (p − c)
tan α =
Nel nostro caso, A = 22.5.
ESERCIZIO 4. In un cerchio di raggio r, quanto è lunga una corda che dista
dal centro un terzo di r?
Traccia: per definizione, una corda di un cerchio è un segmento che congiunge
due punti qualunque della circonferenza. Unendo questi due punti con il centro,
si ottengono due segmenti di lunghezza pari a r. Nel complesso, si ottiene un
triangolo isoscele, la cui altezza (che divide
il triangolo in due triangoli rettan√
4 2
r
goli) misura 3 . La corda quindi misura 3 r.
5
2 Esercizi (non solo trigonometria)
6
ESERCIZIO 5. Qual è l’area di un quadrato che ha i vertici su una circonferenza di raggio 4 cm?
Traccia: si verifica immediatamente che la diagonale del quadrato misura 8
cm. Di conseguenza, l’area del quadrato vale 32 cm2 .
6