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1 Funzioni trigonometriche
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Funzioni trigonometriche
Definizione 1.1. Si definisce circonferenza goniometrica la circonferenza
centrata nell’origine di un piano cartesiano e raggio unitario.
L’equazione di tale circonferenza è x2 + y 2 = 1.
Una volta disegnata tale circonferenza, si prenda un punto P su di essa e si disegni
il segmento che va dall’origine
fino a P . Chiamiamo α l’angolo che tale segmento, ossia
il raggio della circonferenza,
forma con l’asse delle x. La
freccia che compare in figura
indica l’orientazione dell’angolo: in altre parole, per convenzione si considera positivo
l’angolo misurato in senso an-
y
P
α
−α
x
P0
tiorario, negativo quello misurato in senso orario.
L’unità di misura degli angoli è, in generale, il grado, ma spesso è più conveniente
usare il radiante.
Definizione 1.2. Il radiante è la misura corrispondente al rapporto tra la
lunghezza l dell’arco sotteso da un angolo α e il raggio r della circonferenza:
α = rl .
l
α
r
Definiamo ora le funzioni trigonometriche seno, coseno, tangente e cotangente.
y
P
α
cos α
1
sin α
Consideriamo una circonferenza trigonometrica, un punto P su di essa e l’angolo α
individuato dall’asse x e dalla semiretta congiungente l’origine con P . Al variare dell’angolo α si vede che variano anche le coordinate di P ,
per cui sono funzioni dell’angolo.
x
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Definizione 1.3. Definiamo coseno di un angolo α (cos α) l’ascissa del punto
P associato ad α, mentre definiamo seno di α (sin α) l’ordinata di P associato
ad α.
Siccome P appartiene alla circonferenza trigonometrica, le sue coordinate devono soddisfare l’equazione di questa circonferenza, ossia
sin2 α + cos2 α = 1 ,
da cui segue che seno e coseno sono funzioni limitate, ossia dato un angolo il
seno e il coseno di tale angolo sono numeri reali che appartengono a un certo
intervallo:
−1 ≤ sin α ≤ 1
− 1 ≤ cos α ≤ 1 .
Consideriamo le figure seguenti:
y
y
N
Q
Q
P
P
α
α
E
x
x
dove P è il punto individuato dall’intersezione tra la semiretta per l’origine e la
circonferenza goniometrica. Conduciamo dai punti E (1, 0) e N (0, 1) le tangenti
alla circonferenza (in arancio a sinistra e in celeste a destra) e indichiamo con
Q il punto di intersezione tra queste e la semiretta per O e P . Tralasciando le
costruzioni geometriche, diamo le seguenti definizioni:
Definizione 1.4. Si definisce tangente di α l’ordinata del punto Q, ossia
sin α
cos α
tan α = cos
α , mentre l’ascissa di Q è chiamata cotangente di α: cot α = sin α .
Valgono le seguenti relazioni per angoli associati:
π
sin
− α = cos α
2π
cos
− α = sin α
2
sin (π − α) = sin α
cos (π − α) = − cos α
sin (π + α) = − sin α
cos (π + α) = − cos α
sin (2π − α) = − sin α
cos (2π − α) = cos α
sin (−α) = − sin α
cos (−α) = cos α
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y
Q
K
P
α
π −α
α 2
O
Figura 1: sin
H
x
π
π
− α = cos α e cos
− α = sin α.
2
2
y
Q
P
π−α
α
α
O
K
H
x
Figura 2: sin (π − α) = sin α e cos (π − α) = − cos α.
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1 Funzioni trigonometriche
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Siccome la trigonometria ha lo scopo di stabilire delle relazioni metriche tra
i lati e gli angoli di un triangolo, possiamo sfruttare le funzioni appena definite
per determinare, noti tre elementi del triangolo tra lati e angoli (di cui almeno
un lato), gli elementi rimanenti di tale triangolo.
Se AB = a, BC = b e CA = c, essendo l’angolo in C retto, si hanno le seguenti
B
β
γ
α
C
A
semplici relazioni:
b = a sin α = a cos β
c = a sin β = a cos α
b = c tan α
c = b cot β
Bisogna tenere sempre a mente che:
• la somma degli angoli interni di un triangolo è α + β + γ = 180◦ ;
• in un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due e maggiore
della loro differenza;
• in un triangolo la stessa relazione, di uguaglianza e disuguaglianza, che
intercede fra due lati intercede pure fra gli angoli rispettivamente opposti.
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2 Esercizi (non solo trigonometria)
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Esercizi (non solo trigonometria)
ESERCIZIO 1. Considera gli angoli α e β
in figura, quale tra le seguenti relazioni è corretta?
y
A
α
1
2
O
x
B. sin β < cos α
β
−1
A. tan β < cos α
C. cos β > cos α
B
D. tan β > tan α
E. tan β < sin α
Si vede che la retta interseca l’asse x nel punto
x = 2 e l’asse y nel punto y = −1. Il coefficiente angolare della retta è dunque m = 12 . È evidente che si tratta di un
√
triangolo rettangolo: AB = 5, OA = 2 e OB = 1. Risolvendo il triangolo,
otteniamo che
√
√
2 5
5
=⇒ cos β =
OA = AB sin β =⇒ sin β =
5
√5
√
5
2 5
OB = AB sin α =⇒ sin α =
=⇒ cos α =
5
5
Inoltre
1
,
tan β = 2
2
Da qui segue che la risposta corretta è la D.
ESERCIZIO 2. Un rettangolo di perimetro 18 cm viene ottenuto piegando a
metà un quadrato. Calcolare l’area del quadrato iniziale.
Traccia: l’area di un quadrato di lato a è A = a2 , mentre il perimetro di un
rettangolo ottenuto piegando a metà il quadrato è P = 3a, per cui nello specifico
abbiamo a = 6. Si ottiene quindi che l’area richiesta è 36 cm2 .
ESERCIZIO 3. Dato il triangolo di vertici A (−3, 1), B (6, 7) e C (−3, 6), calcolarne l’area.
Traccia: sia a, b e c la misura di ciascun lato e 2p il perimetro del triangolo.
Vale la formula di Erone:
p
A = p (p − a) (p − b) (p − c)
tan α =
Nel nostro caso, A = 22.5.
ESERCIZIO 4. In un cerchio di raggio r, quanto è lunga una corda che dista
dal centro un terzo di r?
Traccia: per definizione, una corda di un cerchio è un segmento che congiunge
due punti qualunque della circonferenza. Unendo questi due punti con il centro,
si ottengono due segmenti di lunghezza pari a r. Nel complesso, si ottiene un
triangolo isoscele, la cui altezza (che divide
il triangolo in due triangoli rettan√
4 2
r
goli) misura 3 . La corda quindi misura 3 r.
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2 Esercizi (non solo trigonometria)
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ESERCIZIO 5. Qual è l’area di un quadrato che ha i vertici su una circonferenza di raggio 4 cm?
Traccia: si verifica immediatamente che la diagonale del quadrato misura 8
cm. Di conseguenza, l’area del quadrato vale 32 cm2 .
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