3 analisi di circuiti nel dominio del tempo

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ANALISI DI CIRCUITI NEL DOMINIO DEL TEMPO
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Analisi di circuiti nel dominio del tempo
(ultimo aggiornamento: 9 Marzo 2001)
In questo capitolo si considerano circuiti in cui le grandezze elettriche variano nel tempo. Quando
una grandezza varia nel tempo, la scriviamo in carattere minuscolo ed esplicitiamo la sua dipendenza dal tempo: per fare un esempio, una tensione, una corrente ed una carica variabli nel
tempo sono denotate rispettivamente con v(t), i(t) e q(t).
La legge di Ohm per grandezze variabili nel tempo e:
( ) = Ri(t)
(3.1)
mentre la (2.25) viene scritta piu correttamente come:
dq (t)
i(t) =
(3.2)
v t
dt
Quando consideriamo la dipendenza dal tempo, dobbiamo tenere presente che esistono elementi circuitali il cui comportamento non dipende solo dal valore istantaneo delle grandezze
elettriche, ma anche dai valori assunti in precedenza.
3.1 Potenza istantanea
L'espressione della potenza dissipata da un elemento circuitale qualsiasi e data dalla (2.46), che
si puo esprimere esplicitando la dipendenza dal tempo:
( ) = v(t)i(t)
p t
(3.3)
Quando la potenza varia nel tempo, la (3.3) prende il nome di potenza istantanea . Per i bipoli
in cui tensioni e correnti dipendono dal tempo, la potenza istantanea p(t) puo essere positiva
o negativa: e positiva quando aumenta l'energia immagazzinata nel bipolo, mentre e negativa
quando l'energia immagazzinata diminuisce.
Si veda anche [1, pagine 39{40].
3.2 Capacita
Consideriamo due superci metalliche piane e parallele, aventi area S e distanza l, fra le quali
e interposto un materiale isolante la cui costante dielettrica e , come illustrato nella Fig. 3.1.
+
V
l
E
Figura 3.1: Struttura di un condensatore a facce piane parallele.
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i(t)
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+
v(t)
C
Figura 3.2: Simbolo elettrico del condensatore.
Questa struttura costituisce un condensatore a facce piane parallele. Applicando una dierenza
di potenziale V tra le due superci metalliche, il campo elettrico nell'isolante e:
E = Vl
(3.4)
con direzione perpendicolare alle superci metalliche. L'induzione dielettrica (o spostamento
elettrico) D e:
D~ = E~
(3.5)
L'induzione dielettrica si misura in C/m2 .
La carica Q accumulata all'interfaccia tra metallo e isolante e data dal usso dell'induzione
dielettrica attraverso la supercie di interfaccia:
Q
=
Z
Dd =
~
S
Z
~
S
S
D~ ~uS dS
(3.6)
Poiche nella struttura considerata i vettori D~ e ~uS sono paralleli, la (3.6) diventa:
Q
=
V
l
(3.7)
S
Come si vede dalla (3.7), la carica accumulata e proporzionale alla dierenza di potenziale
applicata. La costante di proporzionalita e la capacita C del condensatore:
C
Combinando le (3.7) e (3.8), si ha:
= Sl
(3.8)
= CV
(3.9)
La capacita si misura in farad (F) : un farad equivale ad un coulomb diviso un volt.
La Fig. 3.2 illustra il simbolo del condensatore.
Se varia la tensione ai capi del condensatore, varia anche la carica immagazzinata:
q (t) = Cv (t)
(3.10)
L'espressione della corrente elettrica nel condensatore si ricava derivando la (3.10):
dq (t)
i(t) =
= C dv(t)
(3.11)
Q
1
dt
dt
Ovviamente, se v(t) = V (costante), allora i(t) = 0: in continua, il condensatore si comporta
come un circuito aperto.
1
Michael Faraday, 1791{1867. Fisico e chimico britannico, si dedico a ricerche sui gas e studio l'azione a
distanza delle forze elettriche e magnetiche nello spazio.
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3.3 Energia immagazzinata in un condensatore
Combinando la (3.3) e la (3.11), si ottiene la seguente espressione della potenza istantanea in
un condensatore:
dv (t)
(3.12)
p(t) = v (t) C
dt
che, integrata nel tempo, fornisce l'energia immagazzinata all'interno del condensatore:
Z
dv (t)
1
2
W (t) =
Cv (t)
dt = C (v (t))
(3.13)
dt
2
Si veda anche [1, pagina 117].
Un generatore di tensione sinusoidale di ampiezza V0 = 1 V e frequenza f = 1 kHz e
collegato ad un condensatore di capacita C = 1 nF. Calcolare l'intensita della corrente nel condensatore.
Esercizio 3.1.
L'espressione della tensione del generatore e:
v (t) = V0 sin(2f t)
La stessa tensione e applicata ai capi del consensatore. Usando la (3.11), otteniamo:
dv (t)
i(t) = C
= 2f CV cos(2f t)
Soluzione.
0
dt
Quindi, la corrente ha un andamento cosinusoidale, con ampiezza
I0 = 2f CV0 = 6:28 A
e frequenza f = 1 kHz.
3.4 Induzione magnetica (*)
Consideriamo un avvolgimento solenoidale, illustrato nella Fig. 3.3, costituito da N spire di sezione S
percorse da una corrente variabile i(t), ed avente lunghezza totale l. L'induzione magnetica all'interno
del solenoide e:
= Nl i
(3.14)
dove e la permeabilita magnetica del materiale contenuto all'interno dell'avvolgimento solenoidale.
L'induzione magnetica si misura in Wb/m2 , mentre la permeabilita magnetica si misura in H/m.
Come la costante dielettrica (2.3), anche la permeabilita magnetica viene espressa come il prodotto
della permeabilita magnetica del vuoto 0 e della permeabilita magnetica relativa r (adimensionale):
= 0 r
(3.15)
La permeabilita magnetica del vuoto e 0 = 1:2566 10 6 H/m.
B
B
3.5 Flusso magnetico (*)
Il usso magnetico concatenato con una spira e:
= Nl iS
(3.16)
Il usso magnetico si misura in weber (Wb) 2 .
2
Wilhelm Eduard Weber, 1804{1891. Fisico tedesco, collaboratore di Karl Friedrich Gauss nelle ricerche sul
magnetismo, si dedico ad una sistemazione delle unita elettriche, unicando elettrostatica ed elettromagnetismo.
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i(t)
B
+
v(t)
Figura 3.3: Struttura di un'induttore realizzato con un avvolgimento solenoidale.
3.6 Induttanza
Una variazione nel tempo del usso concatenato con una spira produce una dierenza di potenziale ai capi della spira stessa (legge di Faraday-Henry ):
d(t)
(3.17)
v (t) =
dt
Combinando la (3.17) con la (3.16), e considerando che se la spira non si muove la variazione
del usso concatenato puo essere solo causata da una variazione della corrente i(t), si ottiene:
N S di(t)
v (t) =
= L di(t)
(3.18)
l
dt
dt
dove L e l'induttanza della spira.
Se consideriamo le N spire, il usso totale concatenato e:
2
= Nl iS
e l'induttanza totale e:
L
= Nl
2
S
(3.19)
(3.20)
L'induttanza si misura in henry (H) 3 .
La Fig. 3.4 illustra il simbolo dell'induttanza.
Quando i(t) = I (costante), allora v(t) = 0: in continua, un'induttanza si comporta come
un cortocircuito.
3
Joseph Henry, 1797{1878. Fisico statunitense, scopr il fenomeno dell'autoinduzione contemporaneamente a
Michael Faraday e costru degli elettromagneti che permisero lo sviluppo del telegrafo Morse.
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i(t)
+
v(t)
L
Figura 3.4: Simbolo elettrico dell'induttanza.
S
+
+
R
V0
v(t)
C
Figura 3.5: Circuito RC .
3.7 Energia immagazzinata in un'induttanza
Combinando la (3.3) e la (3.18), si ottiene l'espressione della potenza istantanea in un'induttanza:
di(t)
p(t) = L
i(t)
(3.21)
dt
che, integrata nel tempo, fornisce l'energia immagazzinata all'interno dell'induttanza:
Z
1
di(t)
2
dt = L (i(t))
W (t) =
Li(t)
dt
2
Si veda anche [1, pagine 113{115].
3.8 Risposta libera di un circuito
(3.22)
RC
In questo paragrafo analizziamo l'andamento della tensione ai capi di un circuito costituito dal
parallelo di una resistenza e una capacita, che inizialmente si trova ad un valore V0 e poi viene
lasciata libera di evolversi secondo le leggi caratteristiche dei bipoli. Il circuito e rappresentato
nella Fig. 3.5.
Il bipolo S e un interruttore ideale, che puo comportarsi da cortocircuito quando e acceso
(\on" ) oppure da circuito aperto quando e spento (\o" ). Nel nostro caso, l'interruttore S e
acceso per t < 0, e viene spento all'istante t = 0. La tensione di uscita v(t) e pari a V0 no a
che l'interruttore e acceso, cioe per t < 0. Per ricavare l'andamento della tensione v(t) quando
S viene spento, si applica la KCL al nodo di uscita contrassegnato con il segno (+). Poich
e
l'interruttore spento si comporta come un circuito aperto, dalla KCL si ottiene:
( ) + iC (t) = 0
iR t
(3.23)
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dove iR (t) e la corrente nel resistore R e iC (t) e la corrente nel condensatore C . Usando le (2.33)
e (3.11), si ricava l'equazione dierenziale:
v (t)
+ C dv(t) = 0
(3.24)
R
dt
Riscrivendo la (3.24), e imponendo la condizione iniziale v(0) = V0 , ci si riconduce al problema
di Cauchy:
dv(t)
1
dt =
RC v (t)
(3.25)
v (t = 0) = V0
Per risolvere il problema (3.25), si puo applicare il metodo della separazione delle variabili.
Portando a sinistra del segno di uguaglianza tutti i termini contenenti la tensione v e a destra
tutti i termini contenenti il tempo t, si ricava:
dv (t)
dt
=
(3.26)
v (t)
RC
da cui, integrando a partire dalla condizione iniziale, si ha:
Z t
Z v (t)
dt
dv (t)
=
(3.27)
v (t)
0 RC
V0
R
Poiche dvv = ln v, si ottiene:
t
t ln vjvV(0t) = RC
(3.28)
0
cioe
t
(3.29)
ln vV(t) = RC
0
Calcolando l'esponenziale di entrambi i membri della (3.29), si arriva alla soluzione:
t=RC
v (t) = V0 e
(3.30)
Il graco della (3.30) e illustrato nella Fig. 3.6. Si noti che la tensione in uscita tende al
valore asintotico 0 per t ! 1, senza tuttavia raggiungere il valore nale in un tempo nito.
Si veda anche [1, pagine 130{136].
3.9 Costante di tempo
Nella soluzione del circuito RC , il prodotto RC prende il nome di costante di tempo e si indica
con :
= RC
(3.31)
La costante di tempo e un parametro intrinseco del circuito; in altre parole, essa dipende solo
dai parametri del circuito, e non dai valori assunti dal segnale di ingresso. Geometricamente, la
costante di tempo rappresenta l'intersezione con l'asse dei tempi t della tangente alla curva v(t)
per t = 0, come si puo notare dalla Fig. 3.6 [1, pagina 132]. Per t = , la tensione v si e ridotta
alla frazione 1=e del valore iniziale:
1
v ( ) = v (0)
(3.32)
e
Per un circuito RL (contenente una resistenza e un'induttanza) [1, pagine 136{138], la
costante di tempo e:
L
(3.33)
= LG =
R
Si veda anche [1, pagina 134].
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ANALISI DI CIRCUITI NEL DOMINIO DEL TEMPO
tensione
3
V0
V0
2
0
0
τ
2τ
3τ
4τ
5τ
tempo
Figura 3.6: Andamento nel tempo della tensione in uscita al circuito RC .
3.10 Circuiti con pi
u capacita e induttanze
Poiche tutte le capacita e tutte le induttanze hanno una relazione tensione-corrente espressa
mediante un'operazione di derivazione (o di integrazione) nel tempo, la soluzione di un circuito
contenente n elementi circuitali di questi due tipi richiede, nel caso piu generale, di risolvere una
equazione dierenziale di grado n. Come esempio, si veda (senza entare nei dettagli matematici)
l'analisi del circuito RLC del secondo ordine [1, pagine 150{164].
Per evitare le complessita del calcolo integrale e dierenziale, e stato messo a punto un
metodo piu semplice per l'analisi dei circuiti nel dominio della frequenza. Questo metodo e
basato sull'analisi di Fourier ed e descritto nel capitolo 5.
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3.11 Problemi
Calcolare la capacita di un condensatore a facce piane parallele le cui armature hanno
supercie S = 1 cm2 , si trovano ad una distanza distanza l = 0:5 mm, e sono separate da aria (la cui
costante dielettrica e pari a 0 ).
Problema 3.1.
Calcolare il campo elettrico all'interno del condensatore del problema precedente e la
carica immagazzinata, quando ai capi del condensatore viene applicata una tensione V = 1 V.
Problema 3.2.
Calcolare l'andamento nel tempo dell'energia immagazzinata all'interno del condensatore
dell'esercizio 3.1 a pag. 34.
Problema 3.3.
Un circuito integrato e alimentato da una batteria che fornisce una tensione V0 = 5 V,
tramite una resistenza R = 10 e un'induttanza L = 20 nH. Il circuito assorbe una corrente i(t) che
varia nel tempo tra 1 mA e 100 mA con periodo T = 100 ns, nel modo indicato in gura 3.7. Determinare
l'andamento nel tempo della tensione al nodo A.
Problema 3.4.
i
(mA)
100
R
L
+
A
V0
circuito
integrato
i(t)
10
1
0 5
15 20
Figura 3.7: Problema 3.4
50 55
100
t (ns)