Integrali di campi vettoriali su linee, superfici e volumi

Campi scalari e vettoriali (1)
3
Se ad ogni punto P = (x, y, z) di una regione di spazio Ω ∈ R è associato uno ed uno
p scalare è stato definito in Ω. In altri termini:
solo scalare φ diremo che un campo
φ: P ∈ R 3 → φ (P) ∈ R (o C)
Indicheremo il campo scalare con la notazione φ (x, y, z, t), oppure φ (P, t). Qualora φ non
dipenda dal tempo, e cioè φ = φ(x, y, z) = φ(P), il campo scalare si dirà stazionario
p
di livello il luogo
g di tutti i p
punti nei q
quali φ assume il medesimo
Chiameremo superficie
valore φ0 . In formule:
φ (x,y,z) = φ0
Se il campo scalare soddisfa opportune condizioni di regolarità (derivabile almeno 2
volte e gradiente di φ non nullo in ogni punto) per ogni punto passa una ed una sola
superficie di livello
La conoscenza delle superfici di livello consente di descrivere completamente il campo
Se la regione Ω è bidimensionale, si parla di linee di livello
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1
Campi scalari e vettoriali (2)
Se ad ogni punto P = (x, y, z) di una regione Ω dello spazio vettoriale R3 è associato uno
ed un solo vettore A, diremo che un campo vettoriale A è stato definito in Ω.
A può essere un vettore dello spazio Rn oppure dello spazio Cn. In simboli:
A:
P ∈ Ω ⊆ R 3 → A (P)
( ) ∈ R n (o C n )
Indicheremo il campo
p vettoriale A con la notazione A(x,
( y
y, z, t),
) oppure
pp
A(P,
( t).
) Qualora A
non dipenda dal tempo, e cioè A = A(x, y, z) = A(P), il campo vettoriale si dirà stazionario.
¾ A seconda della grandezza fisica (vettoriale) rappresentata da A, il campo vettoriale potrà assumere
denominazioni
d
i
i i diverse.
di
Ad esempio,
i se A ha
h le
l dimensioni
di
i i di una velocità
l ità parleremo
l
di “campo
“
di velocità”,
l ità” se A
ha le dimensioni di una forza, parleremo di “campo di forze”, se V ha le dimensioni di una forza per unità di
carica si parlerà di “campo elettrico”, e via dicendo …
Si chiamano linee di campo le linee dello spazio R3 parallele in ogni punto P al vettore A.
Per i punti di tali linee risulta:
A × d =0
(i)
dove d
è il vettore di lunghezza infinitesima tangente alla linea nel punto P. Tale
uguaglianza, difatti, è soddisfatta se e solo se A e d sono paralleli.
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Campi scalari e vettoriali (3)
Se A è un campo di velocità, le linee di campo si diranno “linee di flusso” (o “linee di corrente”,
se A è stazionario). Se A è un campo di forze, si parla di “linee di forza”. Anche nel caso dei
campi E.M. si usa la dizione linee di flusso, o talvolta, impropriamente, di linee di forza.
Esprimendo il vettore infinitesimo tangente alla linea in componenti cartesiane:
d = dx ˆi x + dy ˆi y + dz ˆi z
l’equazione vettoriale (i) si può riscrivere nel modo seguente:
⎧ Ay dz − Az dy = 0
⎪
⎨ Az dx − Ax dz = 0
⎪ A dy − A dx = 0
y
⎩ x
da queste 3 equazioni scalari si ricava infine:
dx dy dz
= =
Ax Ay Az
(ii)
In modo del tutto analogo, si dimostra che le linee di campo soddisfano l’equazione:
dsu1 dsu 2 dsu 3
=
=
Au1
Au 2
Au 3
dove ((dsu1,,dsu2,,dsu3 sono ggli archi elementari e
(Au1,Au2,Au3) le componenti di A rispetto a un
generico sistema di riferimento curvilineo (u1,u2,u3).
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Campi scalari e vettoriali (4)
Integrando l’equazione differenziale (ii) si può quindi ottenere l’espressione
analitica delle linee di forza del campo vettoriale. L’integrazione di tale
equazione può risultare nella pratica molto difficile! Per questo motivo spesso
si utilizzano criteri qualitativi per il tracciamento delle linee di flusso.
ƒ
Esercizio Determinare sul piano xy ll’espressione
espressione analitica delle linee di flusso del campo
elettrostatico generato da una carica puntiforme q0 posta nell’origine del sistema di riferimento
cartesiano
Le linee di flusso hanno il limite di fornire una rappresentazione completa solo di direzione e
verso della grandezza vettoriale rappresentata, ma non danno informazioni rigorose sulla sua
intensità. Per ovviare a ciò, si utilizza il criterio di Faraday: le linee di forza vengono disegnate più
ravvicinate nelle zone dello spazio in cui l’intensità del campo è maggiore. Perché tale criterio dia
informazioni precise, è quindi necessario che si abbia una relazione di diretta proporzionalità fra
la densità di linee di forza disegnate e il modulo del vettore. Si tratta, comunque, di un criterio
qualitativo.
-
Un campo le cui linee di flusso sono ovunque // ed equidistanziate si dirà uniforme
Un punto del campo vettoriale dal quale si dipartono tutte le linee vettoriali si dirà una
“sorgente” del campo
Un punto nel quale si chiudono tutte le linee vettoriali si dirà un “pozzo”.
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Campi scalari e vettoriali (5)
Esempio : nel caso del campo elettrostatico, le cariche positive sono le sorgenti, le cariche
negative i pozzi.
+
-
SORGENTE
POZZO
Data una linea chiusa , si definisce tubo di flusso la superficie tubolare formata
da tutte le linee vettoriali che passano per i punti di .
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Integrali su linee, superfici e volumi
INTEGRALI DI LINEA
Sia C una curva orientata di R3, di estremi P1 e P2. C sia descritta in forma parametrica
p
dalla funzione , dipendente dal parametro scalare u:
:
(u)
u =u
P1
1
P
u =u
P2
u ∈ [a , b ] ⊆ R → [C ] ⊆ R 3
P 1 = (a)
2
P 2 = (b)
C
(u ) = x(u )ˆi x + y(u )ˆi y + z(u )ˆi z
Sia f una funzione definita sull’insieme [[C]] dei punti
p
di C
Integrale curvilineo
C
∫
P2
P1
f d
Tale integrale non dipende dalla parametrizzazione
Si dimostra che risulta sempre: d = ′(u ) du
C
∫
P2
P1
b
f ( (u ) ) d =
∫
a
f ( ( u ))
scelta.
′( u ) d u
FORMULA RISOLUTIVA
DELL’INTEGRALE CURVILINEO
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Integrali su linee, superfici e volumi (2)
Sia A un campo vettoriale definito e continuo lungo C. La quantità:
∫
P2
P1
A⋅d
=
∫ A dx
x
+ Ay dy + Az dz
C
C
è detta integrale del campo vettoriale A lungo la linea C.
L’integrale suddetto è la somma lungo C delle componenti tangenziali di A rispetto alla
curva stessa.
C
d = dx ˆi x + dy ˆi y + dz ˆi z
d
è un vettore tangente a C e di
lunghezza infinitesima d
+d
Pertanto si può scrivere anche:
∫c A ⋅ d
=
∫c A ⋅ ˆi d
dove î è il versore tangente a C nel generico punto P, avente verso concorde con
ll’orientazione
orientazione della curva
curva.
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Integrali su linee, superfici e volumi (3)
Se C è una curva chiusa semplice (cioè non interseca se stessa in alcun punto)
allora l’integrale lungo tale curva:
∫ A⋅d
=
C
ˆi d
A
⋅
∫
C
è detto circuitazione di A lungo C.
OSSERVAZIONE:
L’integrale di linea di un campo vettoriale è un caso particolare di integrale curvilineo, con:
f ( (u )) = A ⋅ ˆi
Il contributo della parametrizzazione
è contenuto nel versore tangente. Si dimostra che:
ˆi =
Si ha quindi:
∫
P2
C P1
A ⋅d
∫
=
P2
P1
C
′(u )
′(u )
′(u )
A ⋅ ˆi d = ∫ A ⋅
′(u )
a
b
′(u ) du =
b
∫A⋅
′(u ) du
a
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Integrali su linee, superfici e volumi (4)
FORMULA RISOLUTIVA PER L’INTEGRALE DI LINEA DEL CAMPO
VETTORIALE:
∫
P2
P1
C
b
A⋅d =
∫ A⋅
′(u ) du
a
Esercizio Si calcoli la circuitazione di un vettore A(x,y,z)
lungo un cerchio di raggio R centrato nell’origine
nell origine
e giacente sul piano xy (vedi figura).
C
d
r=ρ
φ
INTEGRALI DI SUPERFICIE
Sia S una superficie orientata di R3 descritta in forma parametrica dalla funzione
ˆi
vettoriale r, dipendente dai parametri scalari u,v:
n
r:
(u , v) ∈ D = {[a, b]× [c, d ]} ⊆ R 2 → [S ] ⊆ R 3
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s
S
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Integrali su linee, superfici e volumi (5)
r è il vettore, funzione dei parametri u e v, che individua il generico punto della
superficie S:
r (u, v) = x(u , v) ˆi x + y(u, v) ˆi y + z(u, v) ˆi z
Sia ora f una funzione scalare o vettoriale definita sull’insieme [S] dei punti di S.
S
∫f
Integrale superficiale
dS
S
Tale integrale non dipende dalla parametrizzazione r scelta.
Si di
dimostra
t che
h risulta
i lt sempre:
d S = r u × r v d u d v , dove
∂r
⎧
r
=
⎪⎪ u
∂u
:⎨
⎪r = ∂r
⎪⎩ v
∂v
FORMULA RISOLUTIVA DELL’INTEGRALE DI SUPERFICIE
∫ f dS = ∫ f (r(u, v)) r
u
S
D
b d
× rv du dv = ∫ ∫ f (r (u, v)) ru × rv du dv
a c
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Integrali su linee, superfici e volumi (6)
Sia ora A(x,y,z) un campo vettoriale definito e continuo lungo S. Sia inoltre î n il
versore normale
l alla
ll superficie
fi i S nell generico
i punto
t P
P. L
La quantità:
tità
A ⋅ ˆi dS
∫∫
n
S
è detta flusso del campo vettoriale A attraverso la superficie S.
Nota Per quanto riguarda il verso di iî n , per convenzione viene considerato diretto
verso l’esterno nel caso di una superficie chiusa. Se S è una superficie aperta,
il versore î n è diretto dalla faccia positiva a quella negativa, avendo stabilito a priori
quale sia la faccia p
q
positiva della superficie.
p
Se S ha p
per contorno una linea chiusa
orientata C, si assume per î n il verso in cui avanza una vite che ruota nel verso
positivo fissato su C (regola della vite, o del cavatappi).
Se S è una superficie chiusa allora indicheremo con:
∫∫ A ⋅ ˆi dS
n
S
il flusso attraverso tale superficie.
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Integrali su linee, superfici e volumi (7)
OSSERVAZIONE:
Il flusso di un campo vettoriale è un caso particolare di integrale superficiale,
superficiale con:
f (r (u , v)) = A ⋅ ˆi n
Il contributo della parametrizzazione r è contenuto nel versore normale. Si dimostra che:
ˆi = ru × rv
n
ru × rv
da cui:
b d
ru × rv
ˆi dS =
A
⋅
A
⋅
∫∫S n
∫a ∫c ru × rv
b d
ru × rv du dv =
∫ ∫ A ⋅ [r
u
× rv ] du dv
a c
FORMULA RISOLUTIVA PER IL FLUSSO DI UN CAMPO
VETTORIALE:
ˆi dS =
A
⋅
∫∫ n
S
b d
⎡ ∂r ∂r ⎤
A
r
r
A
⋅
×
=
⋅
u
v
d
d
[
]
∫a ∫c u v
∫a ∫c ⎢⎣ ∂u × ∂v ⎥⎦ du dv
b d
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Integrali su linee, superfici e volumi (8)
ESERCIZIO Si calcoli il flusso del vettore A(x,y,z)
A(x y z) attraverso
una superficie sferica centrata nell’origine di raggio R (figura).
ˆi = ˆi
n r
θ
S
dS
R
φ
INTEGRALI DI VOLUME
Si consideri
id i una superficie
fi i chiusa
hi
S che
h racchiude
hi d una regione
i
A dello
d ll spazio
i
R3. Si possono allora avere i seguenti integrali di volume:
S
∫∫∫ φ dV
Integrale di un campo scalare
∫∫∫ A dV
Integrale di un campo vettoriale
V
ΩV
V
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Integrali su linee, superfici e volumi (9)
Se u è espresso, ad esempio, in forma cartesiana:
A = Ax ˆix + Ayˆi y + Azˆiz
∫∫∫ A dV
V
=
risulta:
∫∫∫ A dV ˆi + ∫∫∫ A dV ˆi + ∫∫∫ A dV ˆi
x
V
x
y
V
y
z
z
V
e ci si riconduce quindi all’integrale di 3 funzioni scalari.
Gli integrali di volume, come quelli curvilinei o di superficie, possono essere
effettuati, a scelta, in uno dei sistemi di riferimento disponibili. Nel caso di un
riferimento cartesiano risulta, banalmente:
dV = dx dy dz
Si ricordi che l’elemento infinitesimo di volume (parallelepipedo elementare) in
un generico sistema di coordinate curvilinee (u1,u2,u3) può essere espresso
g
nel modo seguente:
dV = ds1ds2 ds3 = h1h2 h3 du1du2 du3
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Integrali su linee, superfici e volumi (10)
Ad esempio, se si adotta un sistema di riferimento sferico (vedi figura):
θ
S
r dφ
dr
dV = h1 h 2 h 3 dr dθ dΦ = r 2 sinθ dr dθ dΦ
r
φ
rs
en
θ
r sen θ dφ
E In
I un sistema
i t
cilindrico
ili d i
dV = h1 h 2 h 3 ddr dΦ ddz = r ddr dΦ ddz
Per esprimere ll’elemento
elemento di volume esiste un approccio del tutto equivalente,
equivalente che sfrutta le
proprietà del prodotto vettoriale misto. Tale prodotto fornisce infatti il volume del
parallelepipedo obliquo avente come spigoli i 3 vettori operandi. Si consideri un sistema di
coordinate curvilinee (u1,
(u1 u2,
u2 u3),
u3) e sia
r = x (u1 , u2 , u3 )ˆi x + y (u1 , u2 , u3 )ˆi y + z (u1 , u2 , u3 )ˆi z
la relativa trasformazione da coordinate curvilinee a coordinate cartesiane.
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Integrali su linee, superfici e volumi (11)
Si dimostra che:
⎛ ∂r ∂r ∂r ⎞
dV = ⎜
⋅
×
⎟ du1du 2 du3 = (ru1 ⋅ ru 2 × ru 3 ) du1du 2 du3
⎝ ∂u1 ∂u 2 ∂u3 ⎠
inoltre, il prodotto misto coincide con il determinante Jacobiano della funzione r:
∂x ∂u1 ∂y ∂u1
∂z ∂u1
∂x ∂u2 ∂y ∂u2 ∂z ∂u2
= J(r )
∂x ∂u3 ∂y ∂u3 ∂z ∂u3
Si verifichi per esercizio che applicando la formula scritta sopra
sopra, si riottiene
riottiene,
rispettivamente per i sistemi cilindrico e sferico:
Cili d i
Cilindrico
dV = (rr ⋅ rΦ × rz ) dr dΦ dz = r dr dΦ dz
Sferico
dV = (rr ⋅ rθ × rΦ ) dr dθ dΦ = r 2 sinθ dr dθ dΦ
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