7 Esercitazione: soluzioni
A cura di Monica Bonacina∗
Corso di Microeconomia A-K, a.a. 2012-2013
Questo eserciziario sostituisce gli esercizi di fine capitolo del vostro libro di testo.
La struttura degli esercizi è analoga a quella che troverete all’esame.
Ciascun capitolo dell’eserciziario si compone di tre sezioni. Nella prima sezione,
chiamata "Definizioni", vi si chiede di definire sinteticamente alcuni termini. Qualora
fosse necessario potrete avvalervi dll’aiuto di formule o/o grafici. Nella seconda
sezione, chiamata "Vero/Falso", vi si chiede di dire se gli enunciati riportati sono
da considerarsi veri, falsi o incerti e di fornire una spiegazione della vostra risposta.
Mi raccomando, concentratevi sulla spiegazione perchè è la parte più importante. La
terza sezione, chiamata "Esercizi", contiene degli esercizi. Gli esercizi possono essere
sia numerici che di analisi grafica.
Per quanto concerne i modelli di oligopolio che studiamo durante il corso, assumeremo sempre che gli oligopolisti si caratterizzino per una funzione di costo totale
avente rendimenti costanti di scala ovvero con costi medi uguali ai costi marginali e
costanti.
Buon lavoro!!
La maggior parte dei quesiti riportati di seguito è tratta da temi
d’esame.
1
Definizioni.
Si definiscano sinteticamente i termini anche con l’ausilio, qualora necessario, di formule e grafici.
Def. 1. Strategia dominante (e strategia strettamente dominante).
Supponete che il giocatore 1 disponga di due strategie, la strategia "A" e la strategia "B". Allora diremo che la "A" è dominante per il giocatore 1 se gli assicura un
payoff almeno pari ( ≥) a quello che il giocatore 1 otterrebbe scegliendo la strategia
alternativa (nel nostro caso "B") per ogni possibile strategia adottata dagli altri giocatori. Diremo invece che la strategia "A" è strettamente dominante per il giocatore
1 se questa strategia assicura al giocatore 1 un payoff strettamente maggiore () d
quello che il giocatore 1 otterrebbe scegliendo la strategia alternativa (nel nostro caso
"B") per ogni possibile strategia adottata dagli altri giocatori.
∗ Ragazzi,
se avete bisogno di contattarmi, la mia mail è [email protected]!
1
Def. 2. Modello di Cournot.
Situazione in cui le imprese (oligopolisti) competono scegliendo simultaneamente
la quantità da produrre.
Def. 3. Equilibrio di Nash.
Considerate un gioco tra due giocatori. Una coppia di strategie rappresenta un
equilibrio di Nash del gioco considerato se la strategia scelta da ciascun giocatore rappresenta la risposta ottima per questo giocatore alla strategia del rivale.
Def. 4. Risposta ottima o best reply o funzione di reazione.
La risposta ottima di un giocatore è la strategia che gli fornisce il payoff più alto
possibile, dato il comportamento degli altri giocatori.
Def. 5. Strategia "colpo su colpo".
Strategia (implementata in una situazione di gioco ripetuto) in cui al primo stadio
si sceglie di cooperare e nei periodi successivi si adotta la medesima strategia adottatta
dal giocatore rivale allo stadio precedente.
Def. 6. Accordo tacito.
Si ha un accordo tacito quando le imprese di un’industria raggiungono un’intesa
comune su come devono comportarsi nel mercato, senza discuterne esplicitamente tra
di loro.
Def. 7. Collusione.
Situazione in cui le parti, data l’interazione ripetuta, riescono a raggiungere un
accordo reciprocamente vantaggioso.
2
Vero/Falso.
Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione
(anche grafica se opportuno) e si argomenti compiutamente la risposta.
2
Vero/Falso 8. Nel gioco seguente (Bianco, Carne) è il solo equilibrio di Nash1
A
Bianco
Rosso
B
Carne
3; 3
5; 2
Pesce
2; 5
0; 0
FALSO. Il gioco presenta due equilibri di Nash { } e { }.
{ } non è un equilibrio di Nash.
Vero/Falso 9. In un gioco possono esserci equilibri in strategie dominanti che non
sono equilibri di Nash.
FALSO. In corrispondenza di un equilibrio in strategie dominanti ciascun giocatore adotta la sua miglior strategia stanti le scelte dagli altri giocatori; quindi si
tratta di un equilibrio di Nash.
Vero/Falso 10. Considerate un gioco simultaneo nel quale entrambi i giocatori
presentano una strategia dominante. In questo caso l’equilibrio di Nash è sempre
Pareto-efficiente.
FALSO. Il fatto che ciascun giocatore scelga la sua miglior strategia date quelle
dei rivali non implica che l’esito così ottenuto sia Pareto-efficiente (vedi dilemma del
prigioniero).
Vero/Falso 11. Considerate un gioco simultaneo nel quale entrambi i giocatori
presentano una strategia dominante. In questo caso l’equilibrio di Nash è sempre
unico.
VERO. Dato che entrambi i giocatori dispongono di una strategia dominante,
ciascun giocatore sceglierà la propria strategia dominante ed essendo la stessa unica,
il gioco si caratterizzerà per un unico equilibrio di Nash (in questo caso un equilibrio
in strategie dominnati).
Vero/Falso 12. Due imprese che competono alla Cournot ed hanno costi marginali
uguali e costanti, in equilibrio, ottengono un profitto nullo.
FALSO. Nel caso di concorrenza simultanea nella quantità, le imprese sceglieranno di produrre meno di quanto verrebbe prodotto in concorrenza perfetta. Il prezzo
a cui il bene verrà venduto sarà dunque superiore al costo marginale (e medio) delle
due imprese e gli oligopolisti potrenno quindi ottenere un profitto positivo.
1 E’ convenzione riportando i payoff di un gioco nella forma di matrice (come quella qui sotto)
indicare per primo il payoff del giocatore riga e per secondo quello del giocatore colonna; quindi
considerando la cella contenente i payoff 2;5 (associata alle strategie bianco per il giocatore A e
pesce per il giocatore B), il payoff 2 è quello ottenuto da A mentre 5 è quello di B.
3
Vero/Falso 13. Le imprese Alfa e Beta competono simultaneamente in quantità.
I costi medi di produzione di entrambi i duopolisti sono costanti e pari a 2. La curva
di domanda di mercato è = 11 − . I profitti di ciascuna impresa sono pari a 9
ed il surplus dei consumatori è 18.
VERO. In duopolio la quantità complessivamente prodotta/domandata è pari
alla somma delle produzioni individuali (Q=q + ). Ciascun duopolista sceglie la
quantità che massimizza il suo profitto stante l’aspettativa di produzione dell’impresa
rivale. Le funzioni di risposta ottima dei duopolisti sono
=
11 − 2 − = 2
→
11 − 2 − = 2
=
risolvendo il sistma con le due funzioni di risposta ottima si ottiene la quantità che
∗
=
viene prodotta da ciascuna impresa in corrispondenza del’equilibrio di Cournot:
∗
= 3Complessivamente vengono quindi prodotte 6 unità di output che vengono vendute ad un prezzo pari a 5 (sostituendo nella curva di domanda). I profitti di ciascuna
impresa sono quindi ∗ = (5 − 2) × 3 = 9 e, analogamente, ∗ = (5 − 2) × 3 = 9.
La curva di domanda inversa è p =11-Q e stante il prezzo e la quantità complessivamente scambiata, il surplus dei consumatori è SC = (11 − 5 ) × 62 = 18.
Vero/Falso 14. Due imprese che competono alla Cournot e hanno costi marginali
costanti producono, in equilibrio, la stessa quantità.
FALSO/Incerto. In un duopolio alla Cournot le imprese producono la stessa
quantità in equilibrio se si caratterizzano per lo stesso costo marginale (e medio). Se
i costi sono diversi l’impresa più efficiente produrrà più di quella meno efficiente in
corrispondenza dell’equilibrio.
Vero/Falso 15. Due imprese che competono alla Cournot e hanno costi marginali
uguali e costanti producono, in equilibrio, la stessa quantità.
VERO. In un duopolio alla Cournot dove le imprese competono simultaneamente
nella quantità, gli oligopolisti producono la stessa quantità in equilibrio se si caratterizzano per lo stesso costo marginale (e medio).
Vero/Falso 16. L’equilibrio del modello di Cournot è anche un equilibrio nel senso
di Nash solo quando i costi marginali dei duopolisti sono uguali.
FALSO. L’equilibrio del modello di Cournot è sempre anche un equilibrio nel
senso di Nash in quanto in corrispondenza di tale equilibrio entrambi i giocatori scelgono la loro risposta ottima.
Vero/Falso 17. Nel modello di Cournot le imprese si caratterizzano per rendimenti
di scala costanti.
VERO. Le imprese si caratterizzano per costi medi costanti (il costo di produrre
ciascuna unità non cambia); quindi non siamo in presenza nè di economie nè di diseconomie di scala ma di rendimenti costanti di scala.
4
Vero/Falso 18. Un equilibrio di Nash è sempre efficiente nel senso di Pareto.
FALSO/Incerto. In corrispondenza di un equilibrio di Nash ciascun giocatore
sceglie la sua migliore strategie data al strategia del giocatore rivale. Non è detto
che tale interazione strategica porti ad un esito efficiente nel senso di Pareto (un
controesempio è rappresentato dal gioco del dilemma del prigioniero).
Vero/Falso 19. Si consideri il gioco simultaneo rappresentato nella matrice sottostante. Sinistra è una strategia strettamente dominante per il giocatore 2 se il
parametro k assume valori superiori a 6.
Giocatore 1
Alto
Basso
Giocatore 2
Sinistra Destra
1;k
5;9
2;6
4;3
FALSO. "Sinistra" è una strategia strettamente dominante per il giocatore 2 se
k9. Notate che la strategia "Sinistra" sarebbe dominante se k≥ 9.
Vero/Falso 20. Si consideri il gioco simultaneo rappresentato nella matrice sottostante. Il solo equilibrio di Nash di tale gioco è (Alto, Basso) in quanto assicura i
payoff più alti ai due giocatori.
Giocatore 1
Alto
Basso
Giocatore 2
Sinistra Destra
1;7
5;9
2;6
4;3
FALSO. Il gioco si caratterizza per due equilibri di Nash: (Alto; Destra) e (Basso;
Sinistra)
Giocatore 1
Alto
Basso
Giocatore 2
Sinistra Destra
1;7
5;9
2;6
4;3
Vero/Falso 21. Nel seguente gioco gli unici equilibri di Nash sono (T, R) e (B,
R).
Giocatore 1
T
B
Giocatore 2
L
R
1 ; 1 5; 1
1 ; 3 5; 5
FALSO. Il gioco si caratterizza per tre equilibri di Nash: (T; L), (T,R) e (B,R)
Giocatore 1
T
B
5
Giocatore 2
L
R
1 ; 1 5; 1
1 ; 3 5; 5
Vero/Falso 22. Si consideri il gioco simultaneo rappresentato nella matrice sottostante. L’equilibrio di Nash è (50; 50).
Giocatore 1
Alto
Basso
Giocatore 2
Sinistra Destra
1;1
51 ; 0
0 ; 51
50 ; 50
FALSO. Entrambi i giocatori dispongono di una strategia strettamente dominante
("Alto" per il giocatore 1 e "Sinistra" per il giocatore 2) ed il solo equilibrio di Nash
in strategie dominanti è (Alto; Sinistra)
Giocatore 1
Alto
Basso
Giocatore 2
Sinistra Destra
1;1
51 ; 0
0 ; 51
50 ; 50
Vero/Falso 23. Si consideri il gioco simultaneo rappresentato nella matrice sottostante. L’equilibrio di Nash è (Basso; Destra) in quanto assicura ai giocatori il
payoff più alto.
Giocatore 2
Sinistra Destra
Giocatore 1 Alto
1;1
51 ; 0
Basso 0 ; 51
50 ; 50
FALSO. Entrambi i giocatori dispongono di una strategia strettamente dominante
("Alto" per il giocatore 1 e "Sinistra" per il giocatore 2) ed il solo equilibrio di Nash
in strategie dominanti è (Alto; Sinistra)
Giocatore 1
Alto
Basso
Giocatore 2
Sinistra Destra
1;1
51 ; 0
0 ; 51
50 ; 50
Vero/Falso 24. Si consideri il gioco simultaneo rappresentato nella matrice sottostante. Se il parametro k assume valori superiori a 8 (k8), il gioco presenta un
solo equilibrio di Nash (Basso; Sinistra).
Giocatore 1
Alto
Basso
Giocatore 2
Sinistra Destra
1;k
5;9
2;6
4;3
FALSO. Se k assume valori superiori a 8 ma inferiori o uguali a 9 il gioco si
caratterizza per due equilibri di Nash (Alto; Destra) e (Basso; Sinistra). Solo se k9
allora l’equilibrio di Nash è unico ed è quello indicato nel testo.
Giocatore 1
Alto
Basso
6
Giocatore 2
Sinistra Destra
1;k
5;9
2;6
4;3
Vero/Falso 25. Nel dilemma del prigioniero entrambi i giocatori dispongono di
una strategia strattamente dominata.
VERO. Considerate il dilemma del prigioniero con due giocatori (giocatore 1 e
giocatore 2) e due strategie "confessa2 e "Non cnfessa". La strategia "Non confessa"
è una strategia strettamente dominata per ambedue i giocatori èperchè assicura ai
giocatori un payoff inferiore a quello che essi possono ottenere scelgiendo la strategia
"Confessa" per qualunque scelta del giocatore rivale.
Vero/Falso 27. Qualunque sia il valore del parametro k il seguente gioco simultaneo tra Giocatore 1 e Giocatore 2 si caratterizza per un solo equilibrio di Nash.
Giocatore 1
Alto
Medio
Basso
Giocatore 2
Sinistra Centro
24; 14
k; 22
8; 8
9; 9
16; 30
7; 26
Destra
4; 14
10; 8
26; 10
FALSO. Se k9 allora il gioco si caratterizza per un solo equilibrio di Nash
(Medio; Centro). Se k9 il gioco si caratterizza per un solo equilibrio di Nash (Alto;
Centro). Se k=9 il gioco presenta due equilibri di Nash (Alto; Centro) e (Medio;
Centro).
Giocatore 1
Alto
Medio
Basso
Giocatore 2
Sinistra Centro
24; 14
k; 22
8; 8
9; 9
16; 30
7; 26
Destra
4; 14
10; 8
26; 10
Vero/Falso 28. Qualunque sia il valore del parametro k, "Destra" è una strategia
dominata per il Giocatore 2.
Giocatore 1
Alto
Medio
Basso
Giocatore 2
Sinistra Centro
24; 14
k; 22
8; 8
9; 9
16; 30
7; 26
Destra
4; 14
10; 8
26; 10
FALSO. "Destra" non sarà mai una strategia dominnate per il giocatore 2 in
quanto è dominata dalle strategie alternative.
Vero/Falso 29. Si consideri il gioco simultaneo rappresentato nella matrice sottostante. Se k 1 entrambi i giocatori dispongono di una strategia dominante, la
strategia "C".
Giocatore 2
C
NC
Giocatore 1 C
2k ; 2k k ; 1+k
NC 1+k ; k 1/2 ; 1/2
FALSO. La strategia "C" è una strategia dominante per il giocatore 1 se entrmbe
le seguenti sono verificate ovvero se 2k ≥ 1+. e k ≥ 12. Dalla prima diseguaglianza
7
si ottiene k ≥ 1. "C" è una strategia dominante se k ≥ 1 Se k1 allora "C" è strattamente dominante.
Vero/Falso 30. Qualunque sia il valore del parametro k, il seguente gioco simultaneo tra Giocatore 1 e Giocatore 2 si caratterizza per due equilibri di Nash.
Giocatore 1
Alto
Medio
Basso
Giocatore 2
Sinistra Centro
10; 30
k; 11
20; 7
5; 20
10; 4
5; 11
Destra
5; 9
2; 7
1; 4
FALSO. Se il valore del parametro k è inferiore o pari a 5 allora il gioco presenta
due equilibri di Nash (Medio; Centro) e (Basso; Centro) ma se k5 allora il gioco
non ha equlibri di Nash.
Giocatore 1
Alto
Medio
Basso
Giocatore 2
Sinistra Centro
10; 30
k; 11
20; 7
5; 20
10; 4
5; 11
Destra
5; 9
2; 7
1; 4
Vero/Falso 31. Si consideri il gioco simultaneo rappresentato nella matrice sottostante. Se k 1 il solo equilibrio di Nash del gioco è "C; C".
Giocatore 1
Giocatore 2
C
NC
2k ; 2k k ; 1+k
1+k ; k 1/2 ; 1/2
C
NC
VERO. Se k1 allora "C" è una strategia strettamente dominante per entrambi
i giocatori; quindi l’equilibrio di Nash del gioco sarà (C; C).
Vero/Falso 32. In un gioco simultaneo in cui nessun giocatore dispone di una
strategia dominata, non possono esserci equilibri di Nash.
Falso/Incerto. Il fatto che i giocatori non dispongano di una strategia dominante non implica che il gioco non presenti equilibri di Nash.
Vero/Falso 33. Si consideri il gioco simultaneo rappresentato nella matrice sottostante. Adottando la strategia "colpo su colpo", i giocatori possono raggiungere
un esito migliore nel senso di Pareto rispetto all’equilibrio di Nash del gioco non
ripetuto.
Giocatore 2
Sinistra Destra
Giocatore 1 Alto
1;1
51 ; 0
Basso 0 ; 51
50 ; 50
VERO. L’equilibrio di Nash nel caso in cui il gioco non sia ripetuto è (Alto; Sinistra). Se i giocatori avessero la possibilità di interagire per più periodi, scegliendo la
8
strategia "colpo su colpo" potrebbero riuscire a coordinarsi e raggiungere lesito (Basso;
Destra) che rappresenta un miglioramento nel senso di Pareto rispetto all’equilibrio
del gioco simultaneo.
Vero/Falso 34. Maggiore è il numero di imprese operanti in un mercato, più sarà
facile (per le stesse) trovare e sostenere un accordo collusivo.
FALSO. Maggiore è il numero dei giocatore maggiore è la difficoltà di trovare un
accordo e maggiore è il beneficio che ciascun operatore può ottenere deviando unilateralmente dalla strategia pattuita; dunque minore sarà la probabilità di sostenere un
accordo collusivo.
3
Esercizi.
Si risolvano i seguenti esercizi.
Esercizio 1. Nel comune di Paderno Dugnano ci sono due sole pizzerie, la pizzeria
da Salvatore e la pizzeria da Matteo. Per fronteggiare la crisi di vendite i due proprietari stanno pensando di introdurre un servizio di consegna a domicilio. Se una sola
delle due pizzerie introduce il servizio, la pizzeria che lo introduce ottiene un profitto
pari a 10, mentre l’altra pizzeria subisce una perdita pari a -1. Se entrambe introducono il servizio, la perdita per entrambe è pari a -5. Se nessuna delle due pizzerie
introduce il servizio, entrambe ottengono profitti nulli. Supponete che la pizzeria da
Matteo e la pizzeria da Salvatore debbano decidere se introdurre il servizio simultaneamente. (1) Si discutano le strategie a disposizione delle due pizzerie e si rappresenti
il gioco in forma di matrice. (2) Si determinino gli equilibri di Nash di questo gioco
e si discuta il risultato ottenuto. (3) Lo Stato introduce un sussidio in somma fissa
di 5 per incentivare l’introduzione di un servizio di consegna a domicilio. Si disciuta
l’efficacia di tale manovra.
Soluzioni. (1) Ciascuna pizzeria ha a disposizione due strategie: introdurre il
servizio a domicilio (I) o non introdurre il servizio di consegna a domicilio (NI). La
matrice dei payoff in questo caso è
Salvatore
Matteo
i
i
-5; -5
ni -1; 10
ni
10; -1
0; 0
(2) Nessun giocatore dispone di una strategia dominante e gli equilibri di Nash del
gioco sono {; } e { ; }. Dunque una sola delle pizzerie introdurrà un servizio
di consegna a domicilio.
(3) A seguito della politica Statale, la matrice dei payoff diventa
Salvatore
Matteo
i
i
-5+5; -5+5
ni -1; 10+5
ni
10+5; -1
0; 0
Dunque la strategia I diventa per entrambi i giocatori una strategia strettamente dominante (qualsiasi sia la scelta del rivale, I assicura al giocatore il massimo profitto) ed
9
il solo equilibrio di Nash del gioco è ora {; }. Il sussidio in somma fissa è efficace
per incentivare un servizio di consegna a domicilio.
Esercizio 2. Nel paese di Isolandia sono presenti due unici produttori (A e B).
Le imprese possono decidere di cooperare (C) o non cooperare (NC). Tale scelta è
effettuata simultaneamente e comporta i seguenti esiti. Se le due imprese cooperano,
ciascuna ottiene un profitto pari a 2k. Se entrambe non cooperano, ciascuna ottiene
un profitto pari ad 1/2. Se, infine, una sola coopera essa otterrà un profitto pari a k
(mentre l’impresa rivale che non coopera otterrà 1 + k). (1) Si rappresenti il gioco
in forma normale. (2) Si fornisca la definizione di strategia dominante e si individui
per quali valori del parametro k "cooperare" è strategia dominante per entrambi i
giocatori. (3) Sia k=1/3 (in questo caso quindi se le imprese cooperano ciascuna
otterrà un profitto pari a 2 = 2(13) = 23; se non cooperano ciascuna otterrà
1/2; se una sola coopera essa otterrà k=1/3, mentre la rivale 1+k=4/3). Si individui
l’equilibrio di Nash del gioco e si dica se si tratta di un equilibrio Pareto efficiente.
Soluzioni. (1) Le due imprese hanno a disposizione le medesime strategie: C
(cooperare) e NC (non cooperare). La rappresentazione del gioco in forma di matrice
è
Impresa b
C
NC
Impresa a C
2k; 2k
k; 1+k
NC 1+k; k
1/2; 1/2
(2) Una strategia è dominante se garantisce al giocatore un payoff almeno pari a
quello raggiunto con qualsiasi strategia alternativa, per qualunque strategia prescelta
dagli altri giocatori. Nel nostro caso C è una strategia dominante per l’impresa A
se il profitto che la stessa ottiene scegliendo C è superiore (o al più uguale) a quello
che otterrebbe scegliendo NC, qualsiasi sia la scelta della rivale. Analiticamente è
necessario che
2 ≥ 1 + e ≥ 12 ovvero se ≥ 1
(3) Sostituendo per k=1/3, otteniamo la seguente matrice dei payoff
Impresa a
C
NC
Impresa b
C
2/3; 2/3
4/3; 1/3
NC
1/3; 4/3
1/2; 1/2
L’equilibrio di Nash del gioco è (NC; NC) cui sono associati payoff (1/2; 1/2). Si
tratta di un esito che non è Pareto-efficiente in quanto se le due imprese si accordassero e decidessero di cooperare potrebbero ottenere entrambe dei profitti maggiori.
Tale equilibrio cooperativo non è però sostenibile in un gioco one-shot (ovvero in un
gioco che non viene ripetuto.
Esercizio 3. Si consideri un mercato nel quale operano due soli produttori (A e
B). Le due imprese possono decidere di cooperare (C) o di non cooperare (NC). Tale
scelta è effettuata simultaneamente e comporta i seguenti esiti. Se le due imprese
cooperano, ciascuna ottiene un profitto pari a 5k. Se entrambe non cooperano, ciascuna ottiene un profitto pari a 2. Se, infine, una sola coopera essa otterrà un profitto
pari a 2k (mentre l’impresa rivale che non coopera otterrà 2 + k). (1) Si rappresenti
10
il gioco in forma di matrice. (2) Si individui per quali valori del parametro k "non
cooperare" è strategia dominante per ciascuno dei giocatori. (3) Sia k=1 (in questo
caso quindi se le imprese cooperano ciascuna otterrà un profitto pari a 5 = 5; se
non cooperano ciascuna otterrà 2; se una sola coopera essa otterrà 2k=2, mentre la
rivale 2+k=3). Si individuino l’equilibrio o gli equilibri di Nash del gioco.
Soluzioni. (1) Le due imprese hanno a disposizione le medesime strategie: C
(cooperare) e NC (non cooperare). La rappresentazione del gioco in forma di matrice
è
Impresa b
C
NC
Impresa a C
5k; 5k
2k; 2+k
NC 2+k; 2k
2; 2
(2) Una strategia è dominante se garantisce al giocatore un payoff almeno pari a
quello raggiunto con qualsiasi strategia alternativa, per qualunque strategia prescelta
dagli altri giocatori. Nel nostro caso NC è una strategia dominante per l’impresa A se
il profitto che la stessa ottiene scegliendo NC è superiore (o al più uguale) a quello che
otterrebbe scegliendo la strategia C, qualsiasi sia la scelta della rivale. Analiticamente
è necessario che
5 ≤ 2 + e 2 ≤ 2 ovvero se ≤ 12
Dato che sia i payoff che le strategie dell’impresa B sono analoghi a quelli dell’impresa
A, la strategia NC sarà una strategia dominante per ambedue i giocatori se k ≤ 12
(3) Nel caso in cui k=1, la matrice del gioco diventa
Impresa a
Impresa b
C
5; 5
3; 2
C
NC
NC
2; 3
2; 2
Quindi avremo due possibili equilibri di Nash (C; C) e (NC;NC).
Esercizio 4. Topolino e Pippo questa volta hanno deciso di fare una gita in barca
a remi sul lago dove si affacciano i parchi dei Collegi. Le rive del lago sono piacevoli,
ma remare costa fatica e distrae dal godimento del paesaggio. Le preferenze dei due
sono uguali e sono fatte così: se entrambi remano il benessere proprio è 10; se solo
l’altro rema il benessere proprio è 15; se solo uno rema il suo benessere è 5; se nessuno dei due rema il benessere di uno è 7 (perché si vede sempre lo stesso posto).
(1) Si definisca cosa è un gioco, e cosa è un equilibrio di Nash. (2) Si rappresenti la
situazione descritta in forma di matrice e se ne individui l’equilibrio di Nash; si dica
di che tipo di gioco si tratta. (3) Supponendo ora che Topolino e Pippo vadano a
fare gite in barca tutti i giorni, e che ciascuno giochi la strategia “colpo su colpo”, vi
attendete che l’esito sia lo stesso? Discutete.
Soluzioni. (1) Un gioco è una situazione, o meglio la rappresentazione di una
situazione, di cosiddetta interazione strategica: i risultati di ciascuno dipendono anche dalle scelte degli altri, tutti ne sono consapevoli e tutti tengono conto delle possibili
scelte altrui per decidere cosa fare: ciascuno cerca di ottenere il miglior payoff per sé
cercando di prevedere le mosse degli altri. Un equilibrio di Nash è una combinazione
di strategie (una per ciascun giocatore) tale che nessuno possa far di meglio dato ciò
11
che fanno gli altri. In altri termini, in un equilibrio di Nash nessuno si deve “pentire”
di ciò che ha scelto.
(2) Ecco la rappresentazione in forma di matrice:
Pippo
Rema
Non rema
Topolino
Rema
10; 10
15; 5
Non rema
5; 15
7; 7
Questo gioco è chiaramente un “dilemma del prigioniero”: ciascun giocatore
dispone di una strategia (strettamente) dominante, che è quella di non remare. L’equilibrio
si Nash è (non rema; non rema) e tale esito non è chiaramente ottimo; se entrambi
remassero entrambi avrebbero un payoff maggiore ( 10 7) ma la situazione in cui
entrambi i giocatori decidono di remare non costituisce un equilibrio di Nash.
(3) Questa nuova situazione è un “gioco ripetuto”. In un gioco ripetuto l’interazione
fra i due si ripete un numero infinito (oppure imprecisato) di volte. In tal caso il payoff non è solo quello del primo periodo, ma è quello di tutto l’orizzonte temporale su
cui si estende il gioco: in altri termini, anche i payoff futuri contano. La strategia
“colpo su colpo” prevede che alla prima data si giochi la mossa di “cooperazione”, in
questo caso “remare”, e poi ad ogni data successiva si scelga la propria strategia in
base al comportamento adottto dal rivale nel periodo precedente. Se entrambi adottano questa strategia, allora i due continueranno a cooperare (remare) a tutte le date.
Il risultato diventa più probabile se (a) l’interazione dura a lungo, se (b) la risposta
‘minacciosa’, di non remare se l’altro non ha remato, viene data in fretta, e (c) se il
futuro conta molto per i partecipanti (il tasso a cui si sconta il futuro è basso).
Esercizio 5. Si consideri un mercato nel quale operano due soli produttori (1 e
2). Le due imprese possono decidere di adottare una strategia aggressiva (A) o di
adottare una strategia non aggressiva (NA). Tale scelta è effettuata simultaneamente
e comporta i seguenti esiti. Se le due imprese adottano la strategia non aggressiva,
ciascuna ottiene un profitto pari a 7. Se entrambe optano per una strategia aggressiva ciascuna ottiene un profitto pari a 1. Se, infine, una sola adotta una strategia
aggressiva allora essa otterrà un profitto pari a 4 (mentre l’impresa rivale che agisce
in modo non aggressivo otterrà un profitto nullo). (1) Si dica cos’è un gioco e si
discutano brevemente gli elementi di un gioco. (2) Si rappresenti il gioco di cui sopra
in forma di matrice e se ne individuino gli equilibri di Nash. (3) Se le due imprese
avessero modo di interagire per più periodi, adottando la strategia "colpo su colpo"
avrebbero modo di raggiungere un esito Pareto-efficiente? Perchè? Argomentate
specificando che tipo di strategia sarebbe adottata in questo caso.
Soluzioni. (1) Un gioco è una situazione, o meglio la rappresentazione di una
situazione, di cosiddetta interazione strategica. Un gioco si caratterizza per la presenza di 3 elementi: (1) i giocatori (coloro che prendono parte al gioco); (2) le
azioni/strategie (ovvero l’insieme delle possibili mosse che possono essere adottate
dai giocatori); (3) i payoff (ovvero l’insieme degli esiti che sono associati alle diverse strategie adottate dai giocatori). In un gioco l’esito ovvero il payoff ottenuto
di ciascun giocatore dipende non solo dalla scelta effettuata dal giocatore considerato
ma anche dalla scelta operata dagli altri giocatori. Tutti i giocatori sono consapevoli
di questo e individuano la loro scelta migliore tenendo in considerazione le possibili
strategie che possono essere adottate dagli altri partecipanti al gioco. In sostanza
12
ciascun giocatore cerca di ottenere il massimo payoff per sé cercando di prevedere le
mosse degli altri. Un equilibrio di Nash è una combinazione di strategie (una per
ciascun giocatore) tale che nessuno possa far di meglio dato ciò che fanno gli altri.
In altri termini, in un equilibrio di Nash nessuno si deve “pentire” di ciò che ha
scelto.
(2) Le due imprese hanno a disposizione le medesime strategie: A (adottare una
strategia aggressiva) e NA (non adottare una strategia aggrssiva). La rappresentazione del gioco in forma di matrice è
Impresa 1
A
NA
Impresa 2
A
NA
1; 1 4; 0
0; 4 7; 7
Nel gioco considerato nessun giocatore dispone di una strategia dominante e gli
equilibri di Nash sono (A;A) e (NA; NA).
(3) Nel caso in cui le due imprese possano interagire per più periodi, adottando la
strategia "colpo su colpo" potrebbero raggiungere sempre l’esito Pareto-efficiente del
gioco rappresentato dalla coppia di strategie (NA; NA). In questo caso nel primo periodo del gioco entrambe le imprese si impegnerebbero a scegliere la strategia "NA" e,
nel periodo successivo ad adottare la medesima strategia adottata dall’impresa rivale
il periodo precedente.
Esercizio 6. Le imprese Alfa e Beta producono il medesimo bene, e possono praticare solo due livelli di prezzo, alto o basso. Se entrambe praticano il prezzo basso,
ottengono un profitto pari a 2; se una pratica il prezzo alto e l’altra il prezzo basso,
chi pratica il prezzo alto ottiene un profitto pari a zero e chi pratica il prezzo basso ottiene un profitto pari a 10; se entrambe praticano il prezzo alto, ottengono un profitto
pari a 6. (1) Rappresentate la situazione tramite la “matrice del gioco”, mettendo in
alto l’impresa Beta. Definite la nozione di equilibrio di Nash. Individuate l’equilibrio
di Nash di questo gioco, dicendo di che tipo di gioco si tratta, e il senso di questa
terminologia. (2) Supponete che le due imprese possano sottoscrivere un accordo
vincolante tale per cui, se un’impresa pratica il prezzo basso e l’altra il prezzo alto, la
prima deve poi pagare la somma x alla seconda. Dite quanto deve valere x affinché la
situazione in cui entrambe praticano il prezzo alto sia equilibrio di Nash del gioco (3)
Tornate al caso del punto (1), in cui le due imprese non possono praticare un accordo
vincolante; supponete però che l’interazione tra le due imprese si ripeta tutti i giorni,
e che ciascuna adotti la strategia “colpo su colpo”. Vi aspettate che il risultato sia
lo stesso? Discutete
Soluzioni. (1) La rappresentazione del gioco in forma normale è la seguente2
Alfa
Alto
Basso
Beta
Alto
6; 6
10; 0
Basso
0; 10
2; 2
L’equilibrio di Nash di un gioco è una combinazione di scelte dei due giocatori
tali che nessuno si debba pentire di ciò che ha scelto, osservando ciò che l’altro ha
2 Il primo payoff si riferisce al giocatore riga (nel nostro caso Alfa), mentre il secondo al giocatore
colonna (nel nostro caso Beta)
13
scelto. In questo gioco l’equilibrio di Nash è la situazione in cui entrambe le imprese
praticano il prezzo basso, perché così facendo nessuna ha motivo di pentirsi: dato ciò
che fa l’altra, nessuna può ottenere un profitto maggiore modificando unilateralmente
la propria scelta (il suo profitto passerebbe da 2 a 0). Lo stesso non si può dire per
ognuna delle altre combinazioni; quindi quello individuato prima è l’unico equilibrio
di Nash del gioco.
Questo gioco è un “dilemma del prigioniero”: si tratta di un dilemma in quanto
entrambe le imprese capiscono che potrebbero stare meglio se potessero accordarsi per
praticare il prezzo alto (avrebbero infatti un profitto di 6 anziché di 2). Tale accordo,
però, non sarebbe sostenibile per via degli incentivi a deviare unilateralmente.
(2) L’accordo modifica la matrice del gioco nel modo seguente:
Alfa
Alto
Basso
Beta
Alto
6; 6
10-x; x
Basso
x; 10-x
2; 2
Per far sì che la scelta di praticare entrambe il prezzo alto sia un equilibrio
di Nash, occorre che il profitto che ciascuna può ottenere deviando unilateralmente
dall’accordo sia inferiore a quello che ottiene rispettando l’accordo. Occorre cioè:
6 10 − e 2
ovvero 4.
(3) Questa nuova situazione è un “gioco ripetuto”. In un gioco ripetuto l’interazione
fra le due imprese si ripete un numero infinito (oppure imprecisato) di volte. In tal
caso il profitto rilevante non è solo quello del primo periodo, ma è quello di tutto
l’orizzonte temporale su cui si estende il gioco: in altri termini, anche i profitti futuri contano. La strategia “colpo su colpo” prevede che alla prima data si giochi la
mossa di “cooperazione”, in questo caso la strategia “Alto”, e poi ad ogni data successiva si scelga di cooperare o non-cooperare sulla base del comportamento dell’impresa
rivale alla data precedente. Se entrambe adottano questa strategia, allora le due imprese continueranno a “cooperare” (colludere, praticare il prezzo alto) a tutte le date.
L’esito, dunque, è molto diverso da quello del gioco giocato una sola volta. Questo
risultato diventa più probabile se (a) l’interazione dura a lungo, se (b) la risposta
‘minacciosa’, di fare il prezzo basso se l’altro ha fatto il prezzo basso, viene data in
fretta, e (c) se il futuro conta molto per i partecipanti (il tasso a cui si sconta il futuro
è basso).
Esercizio 7. Considerate il mercato delle acque minerali nel quale la funzione di
domanda inversa sia = 250 − . Supponete che nel mercato operino solo due imprese, la Acque-A e la Bevi-B, ciascuna delle quali ha una funzione di costo totale pari
a C(q )=100q con i=A,B (quindi Q=q + ) (1) Supponete che le due imprese
interagiscono strategicamente secondo il modello di oligopolio di Cournot. Ricavate
e fornite una rappresentazione grafica delle curve di reazione delle due imprese. (2)
Trovate la produzione di equilibrio, i profitti di ciascuna impresa ed il surplus dei
consumatori. (3) Se le due imprese decidessero di colludere formando un cartello,
quanto sceglieranno di produrre? Qual è il surplus dei consumatori e quali sono i
profitti di ciascuna impresa in questo caso? Confrontate i valori qui ottenuti con
quelli al punto (2).
14
Soluzioni. (1) La funzione di reazione delle due imprese è ottenuta come
= e =
dove
=
= 250 − 2 −
=
= 250 − 2 −
=
= 100 e =
= 100
Sostituendo in
= → 250 − 2 − = 100
, da cui segue la funzione di reazione dell’impresa A: q = 75 — (1/2) q . La
funzione di reazione del secondo duopolista è ottenuta in maniera analoga, ed è pari
a q = 75 — (1/2) q . Graficamente
qB
Funzione di reazione
impresa A
150
Bisettrice
Equilibrio di Cournot
75
-2
-0.5
Funzione di reazione
impresa B
75
150
qA
(2) L’equilibrio di Cournot-Nash è ottenuto risolvendo il sistema delle due funzioni
di reazione
½
=
=
∗
∗
da cui, dopo qualche passaggio, otteniamo
= 50 =
, con una quantità totale
prodotta pari a ∗ = 100 ed un prezzo di equilibrio ∗ = 150. Il profitto di ciascuno
dei duopolisti è
∗ = ∗ = − = 150 × 50 − 100 × 50 = 2500
ed il surplus dei consumatori è
= (250 − ∗ ) × ∗ × (12) = 5000
(3) Se le imprese si uniscono in un cartello, stabiliscono il livello di produzione
che massimizza i profitti congiunti. I profitti totali sono
( + ) = ( ) + ( ) = − 100 + − 100
15
sostituendo dalla funzione di domanda inversa otteniamo
( + ) = (250 − − ) − 100 + (250 − − ) − 100
La quantità ottimale in caso di cartello prodotta dall’impresa A sarà quindi
( + )
= 0 → 250 − 2 − − 100 − = 0 → = 75 −
e analogamente la quantità ottima per l’impresa B in questo caso sarà
( + )
= 0 → 250 − − 2 − 100 − = 0 → = 75 −
da cui, per sostituzione
∗∗
=
75
2
∗∗
e
=
75
2
La produzione complessiva in questo caso è Q ∗∗ = 75 ed il prezzo di equilibrio è
p ∗∗ = 175. Ciascun duopolista otterrà un profitto di
∗∗
∗∗
= = 175 ×
75
2
− 100 ×
75
2
=
752
2
ed il surplus dei consumatori sarà
∗∗ = (250 − 175) 75
2 =
752
2
Confrontando l’esito collusivo con quello non collusivo si evidenzia una riduzione
della quantità complessivamente (ed individualmente) prodotta con conseguente aumento del prezzo praticato. I profitti aumentano mentre il surplus dei consumatori
si riduce. Dato che l’aumento dei profitti è inferiore alla contrazione del surplus dei
consumatori il benessere complessivo si contrae per effetto del cartello.
Esercizio 8. Nel mercato italiano delle ciambelle sono presenti due grandi imprese
- Krapfen (K) e Doughnut (D) - che competono scegliendo simultaneamente la quantità da produrre. Supponete che i duopolisti si caratterizziano per una simmetrica
struttura di costo totale di produzione: TC (q ) = 50q e TC (q ) = 50q dove
q indica la quantità di ciambelle prodotta da Krapfen mentre q quella prodotta
da Doughnut. La domanda (inversa) di mercato è P = 110 — 2Q, dove Q= q +
q . (1) Calcolate e rappresentate graficamente (specificando pendenza ed intercette)
l’espressione delle funzioni di reazione delle due imprese. (2) Calcolate l’equilibrio sul
mercato delle ciambelle specificando quantità totale offerta dai duopolisti, prezzo di
vendita, profitti, e surplus dei consumatori. (3) Supponete che il Governo introduca
una tassa su ogni unità prodotta e venduta da Krapfen. Doughnut è esente dalla
tassa. Discutete graficamente gli effetti di tale politica sulle funzioni di reazione dei
duopolisti e sulla quota di mercato da ciascuno servita.
Soluzioni. (1) La funzione di reazione delle due imprese è ottenuta come
= e =
dove
=
= 110 − 4 − 2
=
= 110 − 4 − 2
16
=
= 50 e =
= 50
Sostituendo in
= → 110 − 4 − 2 = 50
, da cui segue la funzione di reazione di Krapfen: q = 15 — (1/2) q . La funzione
di reazione del secondo duopolista è valutata in maniera simmetrica, e si ottiene q
= 15 — (1/2) q . Graficamente
qk
Funzione di reazione
impresa D
30
Bisettrice
Equilibrio di Cournot
15
-2
-0.5
Funzione di reazione
impresa K
15
30
qD
(2) L’equilibrio di Cournot-Nash è ottenuto risolvendo il sistema delle due funzioni di reazione
½
=
=
∗
∗
da cui, dopo qualche passaggio, otteniamo
= 10 =
, con una quantità totale
prodotta pari a ∗ = 20 ed un prezzo di equilibrio ∗ = 70. Il profitto di ciascuno
dei duopolisti è
∗ = ∗ = − = 70 × 10 − 50 × 10 = 200
ed il surplus dei consumatori è
= (110 − ∗ ) × ∗ × (12) = 400
(3) La tassa comporterebbe un aumento del costo marginale della Krapfen (in
misura pari alla tassa stessa). La funzione di reazione della Krapfen si sposta verso
l’interno mentre quella della concorrente rimane invariata. La tassa rende Doughnut relativamente più efficiente della rivale. Il nuovo equilibrio si caratterizza per
un livello di produzione asimmetrica con una quota di mercato maggiore servita
dall’impresa più efficiente (la Doughnut). Analiticamente. I ricavi ed i costi totali di
Doughnut non cambiano quind la sua funzione di reazione è ancora quella che abbiamo trovato al punto (1). Per quanto concerne Krapfen, la tassa aumenta i suoi costi
totali TC () = + da cui otteniamo un costo mrginale per questa imprese
in presenza della tassa (t indica l’aliquota della tassa) (t)= + = 50 + .
La funzione di reazione di Krapfen si ottiene risolvendo l’equazione
= () → 110 − 4 − 2 = 50 +
17
da cui si ottiene: q = 15-(t/2)— (1/2) q . La funzione di reazione di questa impresa ha la stessa pendenza iniziale ma si caratterizza per intercette (sia verticale che
orizzontale) più vicine all’origine degli assi e pari, rispettivamente a (30-t; 0) e (0;
15-t/2). Lascio a voi il grafico.
Esercizio 9. Si consideri un mercato oligopolistico in cui sono presenti due imprese.
Le imprese si caratterizzano per rendimenti costanti di scala ed il costo di produrre
una unità di output è pari a 3 per la prima impresa (impresa 1) ed è pari a 2 per la
seconda impresa (mpresa 2). La domanda (inversa) di mercato è p = 16 — Y, dove
Y è la quantità di bene complessivamente domandata mentre y1 e y2 individuano
gli output delle due imprese. (1) Calcolate e rappresentate in un opportuno grafico
l’espressione delle funzioni di reazione delle due imprese nell’ipotesi di concorrenza simultanea nelle quantità. (2) Calcolate ed indicate nel grafico precedente l’equilibrio
di mercato in termini di quantità prodotta da ciascuna impresa. L’equilibrio raggiunto è un equilibrio di Nash? Perchè? (3) Supponete ora che il Governo introduca
un sussidio, s=1, su ogni unità prodotta e venduta dall’impresa 1. L’impresa 2 non
beneficia del sussidio. Discutete graficamente gli effetti di tale politica sulle funzioni
di reazione dei duopolisti, sulla quota di mercato di ciascuna impresa e sul surplus
dei consumatori di quel mercato.
Soluzioni. (1) I costi medi e marginali delle due imprese sono uguali e costanti
(e pari a 3). Dalla funzione di domana inversa, ricordando che Y=y1 +y2 , otteniamo
p=16-y1 -y2 . Ciascun duopolista sceglie la quantità che gli consente di massimizzare
il proprio profitto stante la scelta di produzione dell’impresa rivale. Le funzioni di
reazione si ottengono quindi risolvendo le due seguenti equazioni
1 = 1 e 2 = 2
dove MR è il ricavo marginale dell’i-esima impresa (ottenuto come derivata del
ricavo totale rispetto all’output dell’impresa considerata) ed MC è il costo marginale dell’i-esima impresa (ottenuto come derivata del costo totale rispetto all’output
dell’impresa considerata). Dato che
1 =
1
1
= 16 − 21 − 2
2 =
2
2
= 16 − 1 − 22
e
le funzioni di reazione dei due duopolisti sono 1 = (13 − 2 )2 e 2 = (13 − 1 )2.
y2
13 Funzione di reazione impresa 1, y1(y2)
13/2
Equilibrio di Cournot-Nash
y*2
Funzione di reazione
impresa 2, y2(y1)
y*1
13/2
18
13 y1
(2) L’equilibrio di Cournot è ottenuto risolvendo il sistema costituito dalle funzioni di reazione trovate al punto precedente da cui si ottengono: 1∗ = 133 = 2∗ .
Dal momento che in corrispondenza dell’equilibrio di Cournot e quini della coppia
di strategie ( 1∗ 2∗ ) ciascun giocatore adotta la sua risposta ottima (migliore strategia) stante l’aspettativa circa il comportamento dell’impresa rivale, tale situazione
rappresenta un equilibrio di Nash.
(3) Il sussidio riduce i costi marginali di produzione dell’impresa 1. Il nuovo
costo marginale di questa imptresa è pari a 3-s=23. Dal momento che l’impresa
2 non beneficia del sussidio il suo costo marginale non cambia. Dal momento che i
costi ed i ricavi totali dell’impresa 2 non vengono alterati dalla presenza del sussidio
l’impresa 2 si caratterizza per la stessa funzione di reazione che abbiamo individuato al punto (1). L’impresa 1 invece per effetto del sussidio vede ridursi il proprio
costo marginale. La sua nuova funzione di reazione, orrenuta risolvendo l’equazione
1 = 1 () è 1 = (14−2 )2. Si caratterizza quindi per la stessa pendenza della
funzione di reazione iniziale ma per delle intercette (sia verticale che orizzontale) più
lontane dall’origine degli assi. Dal momento che il sussidio rende l’impresa 1 relativamente più efficiente dell’impresa rivale, l’impresa 1 potrà comportarsi in maniera
più aggressiva dell’impresa 2 e, così facendo, potrà produrre più dell’impresa rivale
in equilibrio. a difefrenza di quanto ottenuto al punto (1), la quota di mercato servita
dall’impresa 1 sarà maggiore di quella dell’impresa 2: l’impresa 1 serve più del 50%
dei clinti mentre l’impresa 2 serve meno del 50% dei clienti.
y2
13
Nuova funzione di reazione impresa 1, y1(y2)
Nuovo equilibrio di Cournot-Nash
13/2
y*2
Funzione di reazione
impresa 2, y2(y1)
y*1
13/2
13 y1
L’aumento nella quantità prodotta dall’impresa 1 è maggiore della contrazione
nella quantità prodotta dall’impresa 2; quindi complessivamente grazie al sussidio si
venderanno più unità di output di quante individuate al punto (2). Il prezzo di mercato sarà quindi inferiore a quello che si aveva con il livello di output del punto (2).
Potendo acquistare più unità del bene ad un prezzo inferiore, i consumatori "staranno
meglio" ovvero avranno un surplus maggiore di quanto individuato in corrispondenza
dell’equilibrio al punto (2).
Esercizio 10. I ciclisti rivali Astrix e Obix, in preparazione della gara che li vede
grandi favoriti, devono decidere se assumere EPO o no. I controlli antidoping sono
pochi e poco efficaci e la probabilità di essere colti in fallo è nulla. Nel caso usino
entrambi la sostanza moltiplicatrice di globuli rossi, il payoff di ciascuno è 50. Se uno
19
solo si droga, egli otterrà un payoff di 100 mentre l’avversario “pulito” un payoff nullo.
Infine se nessuno dei due si droga, ciascuno otterrà un payoff di 10. (1) Rappresentate
il gioco in forma normale ed individuate l’equilibrio di Nash del gioco. I giocatori
dispongono di strategie dominanti? (2) Se alla gara successiva i controlli antidoping
fossero più stringenti e se Astrix e Obix tenessero conto dei danni dell’EPO per la
loro salute, i payoff si modificherebbero ed il gioco simultaneo diventerebbe:
Astrix
E
NE
Obix
E
10; 10
5; 20
NE
20; 5
30; 30
Individuate gli equilibri di Nash di questo gioco. Commentate. (3) In realtà esistono
anche danni sociali causati dall’uso di EPO: perdita d’interesse per lo sport, perdita
di reputazione e quindi di guadagni futuri per sponsor e associazioni sportive. Tali
danni, se presi in considerazione dai ciclisti, ridurrebbero di ulteriori 6 punti il payoff
del ciclista che fa’ uso di EPO (il gioco di riferimento è quello rappresentato al punto
(2)). Dopo aver calcolato i payoff del gioco modificati per tener conto di questo costo
ulteriore dell’EPO, rappresentate il gioco in forma normale. Individuate l’equilibrio
o gli equilibri di Nash di questo gioco.
Soluzioni. (1) La rappresentazione del gioco in forma normale è la seguente
Astrix
E
NE
Obix
E
50; 50
0; 100
NE
100; 0
10; 10
Entrambi i ciclisti dispongono di una strategia (strattamnte) dominante: fare uso
di EPO. L’equilibrio di Nash del gioco è quindi unico ed è un equilibrio in strategie
dominanti: (E; E).
(2) Nel caso in cui i controlli risultassero maggiormente stringenti e questo modificasse i payoff associati alle diverse strategie dei giocatori nel modo indicato, verrebbe
meno l’esistenza di una strategia dominante ("E" nel nuovo gioco non è più strategia
dominante) ma non si potrebbe escludere l’impiego della sostanza dopante da parte
dei ciclisti; il nuovo gioco si caratterizzerebbe per due equilibri di Nash: (E; E) e
(NE; NE)
Obix
E
NE
Astrix E
10; 10 20; 5
NE 5; 20
30; 30
(3) Tenuto conto degli ulteriori effetti negativi dell’EPO si avrebbe la seguente
rappresentazione in forma di matrice
Astrix
E
NE
Obix
E
4; 4
5; 14
NE
14; 5
30; 30
Nel nuovo gioco la strategia NE è una strategia (strettamente) dominante per
ambedue i ciclisti. In questo caso il solo equilibrio di Nash è (NE; NE).
20
Esercizio 11. Si consideri un monopolista che serve due mercati - mercato 1 e
mercato 2 - caratterizzati da due diverse curve di domanda. Sia 1 = 90 − 21 la
domanda inversa nel mercato 1, e 2 = 80 − 2 quella sul mercato 2. I costi marginali
(e medi) di produzione sono pari a 10. (1) Calcolate e fornite una rappresentazione
grafica dell’equilibrio in ciascun mercato ipotizzando che il monopolista possa discriminare tra i due mercati (discriminazione del terzo tipo). Cosa potete concludere
sull’elasticità della domanda nei due mercati? (2) Supponete che il Governo vieti
qualsiasi forma di discriminazione. Calcolate il prezzo praticato dal monopolista ed i
profitti ottenuti. (3) Da chi verrà appoggiata la strategia governativa? Argomentate.
Soluzioni. (1) L’equilibrio sui due mercati in presenza di discriminazione del
terzo tipo è
mercato A 1 =
→ 1 = 20; 2 = 35
mercato B 1 =
essendo MR 1 = 90 − 41 e MR 2 = 80 − 22 . Sul primo mercato il monopolista
praticherà un prezzo pari a 50, sul secondo il prezzo sarà pari a 45.
(2) Nel caso in cui non sia possibile la discriminazione di prezzo al punto (1), il
monopolista servirà al medesimo prezzo i due mercati. La domanda complessiva in
questo caso è
= 1 + 2 = 125 − 32
con conseguente ricavo marginale pari a
= 2503 − 43
Il volume complessivo di vendite sarà Q*=55 (da ripartirsi sui due mercati) ed il
prezzo a cui l’output è venduto sui due mercati è p*=46,67. I profitti complessivi del
monopolista in questo caso sono
= 2016 67
mentre in presenza di discriminazione di prezzo del terzo tipo il monopolista otteneva
un profitto pari a
1 + 2 = 800 + 1225 = 2025
(3) La strategia governativa sarà sicuramente appoggiata dai consumatori sul mercato 1 (la cui domanda è relativamente meno elastica di quella sul mercato 2) in
quanto in presenza di un prezzo unico sui due mercati possono acquistare il bene ad
un prezzo minore (46,6750). I consumatori sul mercato 2, invece, che in caso di
discriminazione tra i due mercati potevano acquistare il bene ad un prezzo di 45,
osteggeranno la proposta in quanto il prezzo unico, 46,67, è superiore a quello che
sarebbe loro praticato con discriminazione. In questo caso (ma non si può generalizzare) anche il monopolista ostacolerà la strategia governativa in quanto la possibilità
di discriminare tra i due mercati gli garantisce un maggior profitto.
21
