Soluzione compito BBBBB Matematica Discreta 21 Gennaio 2016

Matematica Discreta (6 crediti) BBBBB
21 Gennaio 2016
Cognome e nome:
Matricola:
1. Dimostrare per induzione che 2n > n2 per ogni intero n ≥ 5.
Soluzione: Base Induzione: 25 = 32 > 25 = 52 . OK
Supponiamo per ipotesi d’induzione che 2n > n2 . Proviamo che 2n+1 > (n+1)2 = n2 +2n+1.
2n+1 = 2n ∗ 2 = 2n + 2n >Ip.Ind. n2 + 2n >Ip.Ind. n2 + n2 =
= n2 + 2n + (n − 2)n >(n≥5) n2 + 2n + 3 ∗ 5 > n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 .
Il principio di induzione ci permette di concludere che 2n > n2 per ogni intero n ≥ 5.
2. In una società vi sono 50 soci tra i quali bisogna scegliere il segretario, il presidente e il
vice-presidente. Presidente e segretario possono essere la stessa persona. Quante possibilità
di scelta abbiamo? Non appena eletto presidente il Signor Pinco elargisce 500 biglietti da 10
euro tra i rimanenti soci. In quanti possibili modi può distribuire i biglietti?
Soluzione: Abbiamo tre posti distinti. Il primo etichettato “vice-presidente”, il secondo
etichettato “presidente” ed il terzo etichettato “segretario”. Applichiamo il principio moltiplicativo. Iniziamo con la scelta del vice-presidente. Abbiamo 50 possibilità. Non appena
scelto il vice-presidente, scegliamo il presidente. Rimangono, per ciascuna delle scelte del
vice-presidente, 49 possibilità. In totale 50 ∗ 49. Infine scegliamo il segretario. Anche per
il segretario abbiamo 49 possibilità perché il segretario può coincidere con il presidente. In
totale 50 ∗ 49 ∗ 49.
I 500 biglietti sono indistinguibili. Pinco li deve elargire tra 49 soci, tutti i soci escluso il
presidente Pinco stesso. Sia A = {s1 , . . . , s49 } l’insieme dei 49 soci. Una suddivisione delle
banconote corrisponde ad una funzione f : A → N tale che f (s1 ) + · · · + f (s49 ) = 500. In
altre parolef è un multinsieme di un insieme di 49 elementi di ordine 500. Il numero totale
è: 49+500−1
= 548
.
500−1
499
3. Sia Z l’insieme dei numeri interi e sia g : Z → Z una funzione definita come segue:
g(x) = (x + 5)(x2 − 1).
Si determini se la funzione g è iniettiva, surgettiva oppure bigettiva.
1
Soluzione: La funzione g è iniettiva se ∀x∀y(x 6= y → g(x) 6= g(y)). Per falsificare l’enunciato
precedente è sufficiente trovare un controesempio:
g(1) = (1 + 5)(12 − 1) = 0;
g(−1) = (−1 + 5)((−1)2 − 1) = 0.
La funzione g non essendo iniettiva non è neanche bigettiva.
La funzione g è surgettiva se ∀y∃x(y = g(x)). g non è surgettiva perché, per esempio, il
numero 1 6= g(x) per ogni intero x. Ricordiamo che il prodotto di due interi a e b è uguale
ad 1 sse a = b = 1 oppure a = b = −1. Se per assurdo 1 = g(x) = (x + 5)(x2 − 1), allora
abbiamo due casi:
(a) x + 5 = 1 e x2 − 1 = 1, che non ammette soluzione nei numeri interi.
(b) x + 5 = −1 e x2 − 1 = −1, che non ammette soluzione nei numeri interi.
4. Si provi che esistono infiniti numeri primi.
Soluzione: Supponiamo per assurdo che esistano un numero finito di numeri primi, e siano
p1 , p2 , . . . , pk . Allora si consideri il numero (p1 ∗p2 ∗· · ·∗pk )+1. Questo numero è relativamente
primo con ciascuno dei numeri primi pi (1 ≤ i ≤ k), perché altrimenti pi dividerebbe 1. Dal
teorema fondamentale dell’aritmetica ogni numero naturale maggiore di 1 è scomponibile in
fattori primi. Quindi si ottiene una contraddizione.