LA CONVERSIONE STATICA ELETTRICA/ELETTRICA
convertitori statici a semiconduttori
La conversione statica elettrica/elettrica
può avvenire in due modi:
dispositivi elettromagnetici
(trasformatori)
I
La conversione statica elettrica/elettrica
EQUAZIONE ELETTRICA di n avvolgimenti (trasformatori):
d [L ][i ]
[v ] = [R ][i ] +
dt
II
IL TRASFORMATORE
PRINCIPIO ELEMENTARE DI FUNZIONAMENTO
Φ (variabile nel tempo)
i1
i2
c
v1
d
v2
Nell’ipotesi di trascurare le resistenze degli avvolgimenti e le perdite nei circuiti
magnetici, risulta:
v i = v i
11
2 2
v1
i
= 2
v2
i1
TRASFORMAZIONE DI
ENERGIA ELETTRICA IN
ENERGIA ELETTRICA
1
Il trasformatore
Il TRASFORMATORE è una macchina elettrica statica che realizza una
trasformazione di energia elettrica in elettrica in modo reversibile cambiando i
valori della tensione e della corrente.
MOTIVAZIONI PER L’IMPIEGO DEI TRASFORMATORI
IN LINEE DI POTENZA:
• la tensione nominale dei generatori di energia elettrica è limitata, per ragioni
costruttive, a 20-30 kV;
• il trasporto dell’energia elettrica deve avvenire ad elevate tensioni (sino anche a
1000 kV) per motivi di economia;
• la tensione degli impianti utilizzatori deve essere contenuta in poche centinaia
di Volt per motivi di sicurezza;
• può essere necessario isolare elettricamente due circuiti.
IN CIRCUITI ELETTRONICI:
• per modificare le impedenze dei circuiti;
• per isolare elettricamente due circuiti;
• altri impieghi.
2
Il trasformatore
CARATTERISTICHE COSTRUTTIVE
Il circuito magnetico è costituito da lamierini magnetici.
Nel caso MONOFASE si distingue:
TRASFORMATORE
A COLONNA
VERTICALE
TRASFORMATORE
A MANTELLO
ORIZZONTALE
3
Il trasformatore
Nel caso TRIFASE:
TRASFORMATORE
TRIFASE
A 3 COLONNE
TRASFORMATORE
TRIFASE
A 5 COLONNE
B
A
A
B
C
C
4
Il trasformatore
EQUAZIONI DI FUNZIONAMENTO DI UN
TRASFORMATORE MONOFASE A 2 AVVOLGIMENTI
Φ
i1
v1
N1
i2
v2
N2
N.B.: Con c e d si indicano genericamente i due avvolgimenti, uno di bassa
tensione (b.t.) e l’altro di alta tensione (A.T.).
In generale si preferisce non parlare di avvolgimento primario e secondario in
quanto il trasformatore è una macchina perfettamente reversibile.
5
Il trasformatore
Le equazioni di funzionamento si deducono da quelle generali di un sistema di n
avvolgimenti:
[Ψ ] = [L ][i ]
[v ] = [R ][i ] + d [Ψ ]
dt
M 12 i1
= [L ][i ]
L 2 i 2
Ψ 1 = L 1i1 + M 1 2 i 2
Ψ 2 = L 2 i 2 + M 2 1i1
ove:
L 1 = L l1 + L m 1
L l1 =
Ψ1 L 1
Ψ = M
2 21
N 1 Φ l1
Ψ
= l1
i1
i1
Ψ m1
N 1Φ m 1
=
L m1 =
i1
i1
L 2 = L l2 + L m 2
L l2 =
N 2Φ l2
Ψ
= l2
i2
i2
Ψm 2
N 2Φ m 2
=
Lm2 =
i2
i2
6
Il trasformatore
Ricordiamo la relazione che lega il flusso magnetico Φ alla forza
magnetomotrice Ni e alla permeanza Λ:
Φ
i
v
N
Φ = ΛNi
Φ 12 = Λ m N 2 i 2
flusso magnetico dovuto al 2° circuito che si concatena col 1°
Φ 2 1 = Λ m N 1i1
flusso magnetico dovuto al 1° circuito che si concatena col 2°
Ψ 1 2 = N 1Φ 1 2 = N 1 ( Λ m N 2 i 2 ) = N 1 N 2 Λ m i 2
M 12
Ψ 2 1 = N 2 Φ 2 1 = N 2 ( Λ m N 1i1 ) = N 1 N 2 Λ m i1
M 21
7
Il trasformatore
M 12
N 1 (Λ m N 2i 2 )
Ψ 12
N 1Φ 12
=
=
=
= N 1N 2Λ m
i2
i2
i2
M 21
N 2 ( Λ m N 1i1 )
N 2 Φ 21
Ψ 21
=
=
=
= N1N 2Λ m
i1
i1
i1
M12 = M 21 = M
Φm1 = flusso sostenuto da c che si concatena con gli altri avvolgimenti
e cioè con d
Φ m 1 = Φ 21 =
M i1
Ψ 21
=
N2
N2
Φm2 = flusso sostenuto da d che si concatena con gli altri avvolgimenti
e cioè con c
Φ m 2 = Φ 12
L m1 =
Ψ 12
M i2
=
=
N1
N1
N 1 Φ 21
i1
Lm2 =
N 2 Φ 12
i2
8
Il trasformatore
Dall’equazione di OHM in regime comunque variabile risulta:
v1 R 1
v = 0
2
0
R 2
i1 L 1
i + M
2
M d i1
L 2 dt i 2
e quindi:
di
di 1
+M 2
dt
dt
di
di
v 2 = R 2i2 + L 2 2 + M 1
dt
dt
v 1 = R 1 i1 + L 1
N.B.:
[L] = costante
[M] = costante
• per effetto della LINEARITÀ DEI CIRCUITI MAGNETICI
• per effetto di assenza di moto relativo tra gli avvolgimenti
9
Il trasformatore
CIRCUITI EQUIVALENTI
Il circuito equivalente corrispondente è il seguente:
R1
i1
v1
R2
M
L1
i2
v2
L2
Questo circuito equivalente può essere modificato cambiando la struttura delle
equazioni di funzionamento.
N.B.:
Ad ogni equazione è sempre possibile fare corrispondere un circuito equivalente:
v=Ri
i
R
v
10
Il trasformatore
di
di 1
+M 2
dt
dt
di
di
v 2 = R 2i2 + L 2 2 + M 1
dt
dt
v 1 = R 1 i1 + L 1
aggiungendo e togliendo alcuni termini:
di
di
di
di 1
+ M 2 + M 1 − M 1
dt
dt
dt
dt
di
di
di
di
v 2 = R 2i2 + L 2 2 + M 1 + M 2 − M 2
dt
dt
dt
dt
v 1 = R 1 i1 + L 1
ordinando:
d (i 2 + i1 )
di 1
v 1 = R 1i1 + (L 1 − M )
+M
dt
dt
d (i 2 + i1 )
di
v 2 = R 2 i 2 + (L 2 − M ) 2 + M
dt
dt
11
Il trasformatore
Il circuito equivalente corrispondente è il seguente:
i1
R1
L1 - M
L2 - M
R2
i2
(i1 + i2)
v1
M
v2
È possibile arrivare ad un altro circuito equivalente più semplice introducendo il
flusso totale che si concatena con gli avvolgimenti c e d ed associando a tale
flusso una corrente (Φ0 → i0):
Φ 0 = Φ 12 + Φ 21 =
M i 2 M i1
N i + N 1 i1
Ψ12
Ψ
+ 21 =
+
= M 2 2
N1
N2
N1
N2
N1N 2
12
Il trasformatore
Si introducono i flussi concatenati con i due avvolgimenti (Ψ1 e Ψ2):
Ψ1 = L 1i1 + Mi 2 = (L l1 + L m 1 )i1 + Mi 2
Ψ 2 = L 2 i 2 + Mi 1 = (L l 2 + L m 2 )i 2 + Mi 1
Sostituendo le espressioni di Lm1, Lm2 e M (vedi pag. 8) risulta:
N 1 Φ 21
N Φ
i1 + 1 12 i 2
i1
i2
= L l1 i1 + N 1 (Φ 21 + Φ 12 ) = L l1 i1 + N 1 Φ 0 = Ψ1
Ψ1 = L l 1 i1 +
N Φ
N 2 Φ 12
i 2 + 2 21 i1
i1
i2
= L l 2 i 2 + N 2 (Φ 12 + Φ 21 ) = L l 2 i 2 + N 2 Φ 0 = Ψ 2
Ψ2 = L l2 i2 +
Il totale flusso Φ0 si può pensare associato ad una corrente i0 che percorre
uno solo dei due avvolgimenti (avvolgimento 1 oppure avvolgimento 2).
13
Il trasformatore
Supponendo che la corrente i0 percorra l’avvolgimento c e imponendo
l’uguaglianza delle f.m.m. prodotte dai due avvolgimenti con N1i0 risulta:
N 1 i 0 = N 1 i1 + N 2 i 2
N.B.: La f.m.m. N 1i1 + N 2 i 2 sostiene anche i flussi L l1i1 e L l 2 i 2
che sono flussi DISPERSI ai fini della trasformazione dell’energia in
quanto si concatenano solo con uno solo dei due avvolgimenti.
Analogamente N1i0 sostiene tutti i flussi presenti, tra i quali anche Φ0.
i 0 = i1 +
ove
i '2 =
N2
i 2 = i1 + i ' 2
N1
N2
i 2 = corrente che deve circolare nell’avvolgimento c
N1
per creare una f.m.m. uguale a quella creata dalla
corrente i2 quando percorre l’avvolgimento d.
Dall’espressione di Φ0 risulta:
Φ0 = M
M N1 i0
M i0
N 2 i 2 + N 1 i1
=
=
N1N 2
N1N 2
N2
Legame tra Φ0 e i0
14
Il trasformatore
I totali flussi concatenati Ψ1 e Ψ2:
Mi 0
Ψ1 = L l 1 i1 + N 1 Φ 0 = L l 1 i1 + N 1
N2
Mi 0
Mi 0
N2
N1
Ψ2 = L l 2i2 + N 2Φ 0 = L l 2i2 + N 2
= L l 2i2 +
N2
N1
N2
Ricordando le espressioni di Lm1 e Φ21 (vedi pag. 8) risulta:
L m1 =
N 1 Φ 21
N M i1
N
= 1
= 1 M
i1
i1 N 2
N2
Ψ1 = L l 1 i1 + L m 1 i 0
Ψ2 = L l 2i2 +
N2
L m 1i 0
N1
15
Il trasformatore
Dal sistema di equazioni generali di funzionamento:
d Ψ1
dt
dΨ2
v 2 = R 2i2 +
dt
v 1 = R 1 i1 +
e1
di
di
di 1
+ L m 1 0 = R 1 i1 + L l 1 1 + e 1
dt
dt
dt
di
di
N
di
N
v 2 = R 2 i 2 + L l 2 2 + 2 L m 1 0 = R 2 i 2 + L l 2 2 + 2 e1
dt
N1
dt
dt
N1
v 1 = R 1 i1 + L l1
e1
e2
Sulla base di queste due equazioni è possibile costruire un circuito equivalente
(sempre equivalente agli effetti esterni):
16
Il trasformatore
e 1i ' 2 = e 2 i 2
i1
R1
L l1
i’2
N1
N2
L l2
R2
i2
i0
v1
Lm1
e1
e2
v2
TRASFORMATORE
IDEALE
Si noti che:
• l’effetto dei flussi dispersi è ricondotto a quello di una caduta di tensione
induttiva;
• la tensione ai capi di Lm1 si indica con e1 e rappresenta una f.e.m. indotta
nell’avvolgimento secondo la legge generale dell’induzione:
di 0
e1 = L m 1
dt
17
Il trasformatore
• Si introduce un TRASFORMATORE IDEALE che realizza una trasformazione
senza perdite da e1 → e2:
di
e1 = L m 1 0
dt
→
di 0
N2
N2
L m1
e1
e2 =
=
N1
dt
N1
e2
N2
=
e1
N1
e poiché: e 1i ' 2 = e 2 i 2
i '2
N2
=
i2
N1
• Il circuito equivalente (agli effetti esterni) è quindi costituito da un trasformatore
ideale e da più elementi concentrati ideali (R, L) al di fuori del trasformatore
ideale.
e 1i ' 2 = e 2 i 2
• Il bilancio del trasformatore ideale è:
i’2
e1
i2
e2
e2
N2
=
e1
N1
i '2
N2
=
i2
N1
18
Il trasformatore
18
Il trasformatore funziona se la tensione di alimentazione varia nel tempo
(NON FUNZIONA IN CORRENTE CONTINUA).
Per evitare la saturazione del nucleo, la tensione di alimentazione deve
essere alternata a valor medio nullo.
La corrente i0 si definisce CORRENTE MAGNETIZZANTE in quanto ad
essa è associato il flusso che si concatena con tutti e due gli avvolgimenti.
Il valore di questa corrente dipende dalla tensione v1 depurata dalle cadute di
tensione su R1 e L l1
(con corrente nominale, le cadute di tensione sono qualche % della tensione
nominale).
La corrente i0 è qualche % della corrente nominale.
19
Il trasformatore
COME FUNZIONA IL TRASFORMATORE A REGIME
Utilizzando il circuito equivalente, è possibile chiarire alcuni aspetti del
funzionamento del trasformatore a regime.
A VUOTO:
i1
R1
L l1
L l2
i’2 = 0
R2
i2= 0
i0= i1
v1
e1
e2
v2
Si alimenta l’avvolgimento c, mentre l’avvolgimento d ha i morsetti aperti.
La corrente i1 coincide con i0 (la corrente è tutta magnetizzante) ed ha quindi un
valore molto piccolo (qualche % della corrente nominale).
Le cadute di tensione su R1 e L l1 sono quindi trascurabili: v 1 ≅ e 1
A VUOTO:
e1
v
N
≅ 1 = 1
e2
v2
N2
20
Il trasformatore
A CARICO: i2 = i2n (nominale)
i1
R1
L l1
i’2
i2
L l2
R2
i0
v1
Lm1
e1
e2
Z
v2
Con corrente nominale si hanno delle cadute di tensione su R1 e L l1 per effetto
di una corrente:
i1 = i 0 − i ' 2 = i 0 −
N2
i2
N1
Queste cadute (pari a qualche % della tensione nominale) non portano a grandi
variazioni di i0 rispetto al funzionamento a vuoto.
21
Il trasformatore
A CARICO:
• all’aumentare di i2 aumenta la corrente i1 assorbita dall’avvolgimento c e
aumentano le cadute di tensione e quindi i0 tende a diminuire:
→
Φ0
→
e1
→
e2
diminuiscono
i0
• v 1 ≠ e1
v1
e
N
≠ 1 = 1
v2
e2
N2
i1
i'
N2
≠ 2 =
i2
i2
N1
22
Il trasformatore
IN CORTO CIRCUITO:
i1
R1
v2 = 0
L l1
i’2
i2
L l2
R2
i0
v1
Lm1
e1
e2
v2=0
Con tensione nominale applicata, la corrente di corto circuito è i2>>i2n
e quindi anche i’2>>i0.
Risulta quindi: i1 ≅ i’2
i1
i'
N2
≅ 2 =
i2
i2
N1
come per il trasformatore ideale
23
