EQUILIBRIO DI UN PUNTO MATERIALE, DI UN SITEMA DI PUNTI E

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EQUILIBRIO DI UN PUNTO
MATERIALE, DI UN SITEMA DI PUNTI
E DI UN CORPO RIGIDO
Equilibrio di un Punto Materiale
Definizione 1 Un punto materiale è in una posizione di equilibrio quando posto
in quella posizione con velocità nulla, vi rimane in quiete.
Condizione Necessaria e Sufficiente 1 per l’equilibrio di un punto materiale
libero (da vincoli) è che il risultante delle forze applicate ad esso sia nullo
R=0
(1)
Supponiamo che il punto sia vincolato. Esempio: un oggetto appoggiato ad
un tavolo. Cosa impedisce all’oggetto di cadere, nonstante la presenza della forza
peso? Se la presenza del vincolo ha l’effetto di modificare il comportamento che
l’oggetto P avrebbe se fosse libero è naturale ammettere che l’azione del vincolo si
manifesti con una forza su P . A tale forza si dà il nome di Reazione Vincolare.
Postulato 1 (delle Reazioni Vincolari) Un punto vincolato si può considerare
libero, pur di aggiungere alle eventuali forze attive, la Reazione Vincolare che traduce l’azione del vincolo sul punto.
Condizione Necessaria e Sufficiente 2 per l’equilibrio di un punto materiale è
che sia nullo il risultante di tutte le forze attive e reattive sul punto. In formule:
R = F + Φ = 0.
(2)
1. Ammettiamo l’esistenza di vincoli incapaci di contrastare spostamenti di P
tangenti al vincolo stesso. In questo caso si parla di vincolo liscio. La
reazione vincolare Φ ha direzione normale al vincolo.
2. Se il punto è appoggiato ad una superficie allora il vincolo impedisce spostamenti in cui c’è penetrazione al di sotto della superficie. La reazione vincolare
è diretta dalla superficie verso il corpo. Se il punto è appoggiato ad una superficie liscia è quindi fissata la direzione di Φ e il suo verso.
3. Un vincolo è scabro quando è in grado di contrastare, entro certi limiti, una
forza tendente a far compiere al punto spostamenti tangenti al vincolo. In
questo caso siamo in presenza di attrito. La rezione vincolare corrispondente
non è più necessariamente normale al vincolo. L’esperienza ci porta ad ammettere il seguente
Postulato 2 C.N.S. per l’equilibrio di un punto vincolato con attrito è che
F +Φ=0
(3)
6
con Φ che soddisfa alla disequazione
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯ΦT ¯ ≤ µ ¯ΦN ¯
Relazione di Coulomb
(4)
(5)
Φ = ΦT + ΦN ,
dove ΦN è il vettore normale al vincolo e ΦT è il vettore tangente al vincolo.
Principio di Azione e Reazione (III Legge di Newton) Consideriamo due punti
materiali P e Q. Supponiamo che su P agisca una forza F dovuta a Q (nel
senso che se Q viene rimosso, F sparisce). L’esperienza ci dice che all’azione
F esercitata da Q su P corrisponde una forza opposta esercitata da P su Q.
Più precisamente: dati due punti P e Q, se F è la forza che si esercita su P
per azione di Q, −F è la forza che si esercita su Q per azione di P . Inoltre
le due forze hanno come retta di applicazione la retta P Q.
Osservazione 1 IL principio di azione e reazione è valido sia in condizioni di
equilibrio, sia in condizioni di moto.
Equilibrio di un Sistema di punti
Definizione 2 Un sistema materiale è in equilibrio in una configurazione se ogni
suo punto è in equilibrio.
Per ogni punto del sistema abbiamo N equazioni vettoriali
Fi + fi + Φi + φi = 0
(6)
i = 1, . . . , N.,
corrispondenti a 3 × N equazioni scalari, dove
Fi è il risultante delle forze esterne,
fi è il risultante delle forze interne,
Φi è il risultante delle reazioni vincolari esterne,
φi è il risultante delle reazioni vincolari interne.
N
X
i=1
Fi +
N
X
i=1
fi +
N
X
i=1
Φi +
N
X
i=1
φi =
N
X
i=1
Fi +
N
X
Φi = 0.
(7)
i=1
L’ultima espressione può essere riscritta come
½
P
Rest = N
0
i=1 Fi .
PN
Rest + Rest = 0
dove
0
Rest = i=1 Φi
Calcoliamo il momento rispetto ad un polo O delle forze agenti sui punti Pi
³−−−−→´ ³
´
Pi − O ∧ Fi + fi + Φi + φi = 0.
(8)
(9)
7
Sommando sugli N punti
N ³
´
X
−−−−→´ ³
Pi − O ∧ Fi + Φi = 0
ovvero
0
M(O),est + M(O),est
= 0.
(10)
i=1
Ciò implica che Condizione Necessaria per l’equilibrio è che (Equazioni Cardinali
della Statica)
(
0
=0
Rest + Rest
.
(11)
0
M(O),est + M(O),est = 0
Equilibrio di un Corpo Rigido
Consideriamo un Corpo Rigido. Le equazioni (11) sono, non solo necessarie, ma
anche sufficienti per l’equilibrio. Infatti se il sistema di forze esterne soddisfa
il sistema (11) è equipollente al sistema nullo, pertanto non può produrre alcun
effetto meccanico sul corpo rigido. Quindi se il corpo è in quiete, permane nello
stato di quiete.
Condizione Necessaria e Sufficiente 3 per l’equilibrio di un Corpo Rigido
(
0
Rest + Rest
=0
.
(12)
0
M(O),est + M(O),est = 0
Queste sono due equazioni vettoriale equivalenti a 6 equazioni scalari ottenibili
proiettando il sistema (11) sugli assi di una terna di assi cartesiani.
Un corpo rigido libero nello spazio possiede 6 gradi di libertà. Supponendo che
le forze esterne siano posizionali
½
Rest = 0
.
M(O),est = 0
(13)
Il sistema di equazioni (13) è formato da 6equazioni in 6 incognite =⇒ possiamo
determinare le configurazioni di equilibrio. Se il corpo è vincolato e non vi sono
vincoli superflui, le equazioni (11) consentono di determinare le configurazioni di
equilibrio e le reazioni vincolari in condizioni di equilibrio. (in questo caso il problema è staticamente determinato).
Osservazione 2
(
0
Rest + Rest
=0
.
0
M(O),est + M(O),est = 0
(14)
Se scriviamo anche l’equazione
0
= 0,
M(B),est + M(B),est
questa è linearmente dipendente dalle precedenti. Infatti
³−−−−→´
MB = MO + O − B ∧ R.
(15)
(16)
8
Esaminiamo un C.R. libero nel caso piano
⎧
⎨
Rx + Rx0 = 0
Ry + Ry0 = 0
.
⎩
0
M(O),est + M(O),est = 0
(17)
Queste sono 3 equazioni indipendenti. Ogni altra equazione ottenibile, ad esempio, annullando il momento rispetto ad un altro polo è combinazione lineare delle
precedenti. Infatti
³−−−−→´
MB = MO + O − B ∧ R.
(18)
Nelle applicazioni al posto del sistema (17), può essere considerato il sistema
⎧
⎨ MC + MC0 = 0
MB + MB0 = 0 ,
⎩
MA + MA0 = 0
(19)
dove A, B e C non sono allineati. Oppure può essere considerato il sistema
⎧
⎨ Rx + Rx0 = 0
MB + MB0 = 0 ,
⎩
MA + MA0 = 0
(20)
purchè l’asse x non sia ortogonale alla retta AB. Questa equivalenza dipende
dall’identità
³−−−−→´
MA = MB + B − A ∧ R,
(21)
la quale
la legge di cambiamento del polo. In sostanza se ho due momenti
³−−esprime
−−→´
nulli B − A ∧ R = 0.
Dimostrazione. Se
MA = 0 e MB = 0
³−−−−→´
=⇒ B − A ∧ R = 0
(22)
=⇒ R = Rx i + Ry j.
¯−−−−→¯
¯
¯
Se poniamo ¯B − A¯ = l con l k x si ottiene che da
³−−−−→´
B − A ∧ R = 0 =⇒ lRy = 0
=⇒ Ry = 0.
(23)
Se l’asse x fosse ortogonale alla retta AB, nella precedente equazione avremmo
Rx = 0 =⇒ Rx0 = 0 e quindi una equazione in meno.
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Reazioni Vincolari
Esempio 1 Cerniera. Toglie 1 grado di libertà. Componenti incognite: 2
(24)
Esempio 2 Carrello. Vincolo bilatero. Componenti incognite: 1
(25)
Esempio 3 Appoggio. Toglie 1 grado di libertà. Componenti incognite: 1 con
direzione e verso noti
(26)
10
Esempio 4 Pattino. Toglie 2 gradi di libertà. Componenti incognite: 2
(27)
Esempio 5 Incastro. Toglie 3 gradi di libertà. Si oppone alle rotazioni e alle
traslazioni. Componenti incognite: 3 ( 2 componenti della reazione più una coppia
di momento Γ
(28)
.