Indice
Prefazione
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Capitolo 0. Preliminari
1. Insiemistica e logica
1.1. Insiemi
1.2. Insiemi numerici
1.3. Logica matematica elementare
1.4. Ancora sugli insiemi
1.5. Funzioni
1.6. Composizione di funzioni
2. Insiemi numerici e operazioni interne
3. Strutture algebriche
4. Anello dei polinomi
5. Numeri complessi
5.1. Piano di Gauss-Argand
5.2. Modulo e coniugio
5.3. Rappresentazione trigonometrica
5.4. Formula di Eulero
5.5. Formula di De Moivre
6. Teorema Fondamentale dell’Algebra
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Capitolo 1. Vettori applicati e geometria dello spazio
1. Vettori applicati
2. Sistemi di riferimento cartesiani
3. Rappresentazioni parametriche di rette e piani
4. Prodotto scalare in E3O
5. Equazioni cartesiane di rette e piani
5.1. Rappresentazione cartesiana di un piano
5.2. Rappresentazione cartesiana di una retta
6. Posizioni reciproche tra rette e piani
7. Fasci di piani
8. Distanza punto-retta, punto-piano
9. Superficie sferica
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Capitolo 2. Spazi vettoriali
1. Introduzione
2. La nozione di spazio vettoriale
2.1. Gli spazi Rn
3. Spazi vettoriali astratti
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INDICE
4. Sottospazi vettoriali
4.1. Piani e rette in E3O
4.2. Nozione di sottospazio
4.3. Operazioni su sottospazi
5. Il sottospazio generato da un insieme di vettori
5.1. Generatori e spazi finitamente generati
6. Vettori linearmente indipendenti
7. Basi e coordinate
7.1. Esistenza e costruzioni di basi
7.2. Teorema della base
8. Dimensione e sottospazi
8.1. Sottospazi di spazi finitamente generati
8.2. Ricerca di una base del sottospazio somma
8.3. Ricerca di una base del sottospazio intersezione
8.4. La formula di Grassmann
9. Somma diretta di sottospazi
10. Spazi vettoriali complessi
10.1. Teoria generale
10.2. Struttura reale soggiacente ad uno spazio vettoriale complesso
10.3. Il coniugio in Cn
Capitolo 3. Matrici
1. Lo spazio delle matrici k × n
1.1. Righe e colonne di una matrice
1.2. Struttura di spazio vettoriale sullo spazio delle matrici k × n
2. Moltiplicazione tra matrici
2.1. Moltiplicazione matrice-vettore
2.2. Prodotto tra matrici
2.3. Proprietà del prodotto tra matrici
2.4. Matrice identità
2.5. Matrici a blocchi
3. Il prodotto tra matrici quadrate e l’invertibilità
3.1. Prodotto tra matrici quadrate
3.2. Potenze di una matrice quadrata
3.3. Invertibilità di una matrice quadrata
4. Cambiamenti di base
4.1. Calcolo delle coordinate di un vettore di Rn rispetto ad una base qualsiasi
4.2. Cambiamento di base nel caso generico
5. L’operazione di trasposizione
5.1. Trasposta di una matrice
5.2. Matrici reali simmetriche
6. Il determinante
6.1. Determinante di matrici triangolari
6.2. Proprietà del determinante
6.3. La formula di Binet
6.4. Calcolo dell’inversa con la formula di Cramer
6.5. Utilizzo delle proprietà del determinante per il suo calcolo
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INDICE
7. Il rango di una matrice
7.1. Rango e minori di una matrice
7.2. Rango di matrici con parametri
8. Applicazioni del determinante
8.1. Basi positive in E2O e E3O
8.2. Prodotto vettoriale in E3O
8.3. Prodotto misto in E3O
8.4. Interpretazione geometrica della funzione determinante
9. Matrici complesse
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Capitolo 4. Sistemi lineari
1. Definizioni ed esempi
2. Teorema di Rouché-Capelli
3. Sistemi quadrati non singolari
4. Sistemi equivalenti
5. Descrizione dell’insieme delle soluzioni di un sistema lineare
5.1. Caso omogeneo
5.2. Il caso non omogeneo
6. Il metodo di riduzione di Gauss
6.1. Sistemi triangolari non singolari
6.2. Matrici e sistemi “a scala”
6.3. Riduzione di una matrice a scala
7. Discussione di sistemi lineari parametrici
8. Applicazione: equazioni di sottospazi
8.1. Determinazione delle equazioni cartesiane di sottospazi vettoriali
9. Sistemi lineari a coefficienti complessi
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Capitolo 5. Applicazioni lineari
1. La nozione di applicazione lineare
1.1. Funzioni e applicazioni definite su Rn
1.2. Applicazioni lineari tra Rn e Rk
1.3. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali
2. Studio di un’applicazione lineare
2.1. Nucleo e immagine
2.2. Teorema delle dimensioni
2.3. Iniettività e suriettività di applicazioni lineari
3. Spazi vettoriali isomorfi
3.1. Isomorfismo di rappresentazione
3.2. Caratterizzazione di un isomorfismo
4. Applicazioni lineari e matrici
5. Matrici associate alla stessa applicazione lineare
5.1. Matrici equivalenti
5.2. Matrici simili
6. Composizione di applicazioni lineari
7. Applicazioni lineari tra spazi vettoriali complessi
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Capitolo 6.
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Autovalori e diagonalizzazione
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INDICE
1. Introduzione ed esempi
2. Autovalori ed autovettori: definizioni
3. Ricerca di autovalori e autovettori di una matrice
3.1. Polinomio caratteristico
3.2. Autospazi e loro equazioni
4. Diagonalizzazione
4.1. Diagonalizzazione di una matrice
4.2. Diagonalizzazione di un operatore lineare
5. Criteri di diagonalizzazione
5.1. Somma di autospazi
5.2. Condizioni necessarie e sufficienti
6. Approfondimenti e applicazioni
6.1. Autovalori e diagonalizzazione delle potenze di una matrice
6.2. Il Teorema di Cayley-Hamilton
7. Autovalori in campo complesso
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Capitolo 7. Struttura metrica in Rn
1. Prodotto scalare
2. Norma, distanza e angoli
3. Basi e sistemi ortogonali
3.1. Sistemi ortogonali
3.2. Basi ortogonali
4. Algoritmo di ortogonalizzazione
5. Matrici ortogonali.
5.1. Definizione e proprietà
5.2. Cambi di base ortogonali
5.3. Matrici ortogonali di ordine 2
5.4. Matrici ortogonali di ordine 3
6. Complemento ortogonale di un sottospazio
6.1. Definizione e prime proprietà
6.2. Proiezioni ortogonali
6.3. Ulteriori proprietà del complemento ortogonale
6.4. Equazioni cartesiane di un sottospazio e basi del complemento ortogonale
7. Il Teorema spettrale
7.1. Diagonalizzazione con matrici ortogonali
7.2. Teorema spettrale
8. Prodotto hermitiano e dimostrazione del teorema spettrale
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Capitolo 8. Forme quadratiche e loro applicazioni
1. Forme quadratiche
1.1. Definizioni ed esempi
1.2. Rappresentazione matriciale di una forma quadratica
1.3. Segno di una forma quadratica
1.4. Forma canonica di una forma quadratica
2. Coniche
2.1. Coniche come luoghi geometrici
2.2. Coniche come curve di grado 2.
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INDICE
2.3. Classificazione euclidea delle coniche
3. Superfici quadriche
3.1. Quadriche di rotazione
3.2. Quadriche come superfici di grado 2
3.3. Classificazione euclidea delle superfici quadriche
3.4. Quadriche rigate
Indice analitico
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