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XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers “The story of Olbers’ Paradox is the story of our evolving view of the Universe”: • • • • • 4 secoli di storia della scienza…da Copernico al Big Bang Cosmologia Relatività Termodinamica Non solo scienziati, anche…Edgar Allan Poe D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers “Were the succession of stars endless, then the background of the sky would present us a uniform luminosity…since there could be absolutely no point, in all that background, at which would not exist a star” Edgar Allan Poe, “Eureka”, 1848 “Se le stelle fossero in numero infinito, allora lo sfondo del cielo ci presenterebbe una luminosità uniforme…in quanto non potrebbe assolutamente esistere alcun punto, in tutto lo sfondo, in cui non sia presente una stella” D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Il paradosso si basa su un modello di Universo: • Infinito (non ha confini) • Uniforme (densità di materia costante) • Statico (non c’è espansione né contrazione) • Eterno (esiste da sempre) …anche molti nostri ragazzi hanno in testa questo modello! D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Un po’ di storia… Prima della rivoluzione copernicana, si pensava che le stelle fossero disposte in una sfera che ruotava ogni giorno, con la Terra immobile al centro. Quindi si riteneva che le stelle fossero in numero finito, distribuite in modo più o meno uniforme sulla superficie della “sfera celeste”. Non c’era alcun paradosso! Thomas Digges nel 1576, nel suo lavoro ‘Perfect Description of the Celestial Spheres’ , ipotizzò l’infinità dell’universo; fu anche il primo ad accennare al paradosso che nasceva da questa concezione. Digges, che tra l’altro aveva osservato la SN 1572, la penultima osservata nella Via Lattea, fu divulgatore dell’ipotesi eliocentrica. D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Un po’ di storia… Keplero nel “De Stella Nova” del 1606 (in cui descriveva la supernova del 1604, ultima osservata nella Via Lattea) sosteneva che un corpo infinito non può essere capito dal pensiero, e si rifaceva alla visione aristotelica per cui un infinito non può essere “in atto” ma solo “in potenza”. Per sostenere la sua argomentazione, usò il fatto che il cielo notturno è nero! Nella sua «Disseratio cum Nuncio Sidereo», risposta al «Sidereus Nuncius», Keplero scrive che in un universo infinito «l’intera volta celeste sarebbe luminosa come il sole» Successivamente, lo sbalorditivo successo della Legge di Gravitazione di Newton rese più plausibile l’idea di un universo infinito e omogeneo, per giustificarne il mancato collasso gravitazionale… D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Un po’ di storia… Halley (1705) e soprattutto de Cheseaux (1744) furono i primi a tentare una soluzione matematica rigorosa del paradosso… D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers m m 3 n 4R 2 dx 3 J s L Densità stellare (costante) Volume calotta sferica Luminosità stella Sulla Terra arriverà dalla calotta sferica una densità di energia pari a: Indipendente da R. Integrando da 0 a ∞, L nL du n 4R dx dx l’energia che arriva sulla Terra dovrebbe 2 4R c c essere infinita…. 2 Se intorno a noi ci fosse un bosco infinito, vedremmo alberi in ogni direzione D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Un po’ di storia… de Cheseaux ipotizzò (molto timidamente, in verità…) che l’oscurità fosse dovuta alla riflessione della luce da parte di materia interstellare. Olbers (1826) non fece altro che riprendere i lavori di Halley e de Cheseaux, giungendo alle stesse conclusioni. Il suo reale contributo fu una nuova formulazione del paradosso, che risultò particolarmente efficace. La spiegazione più accreditata del paradosso continuava ad essere la presenza di «pulviscolo» interstellare che assorbiva la luce. D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Un po’ di storia… Herschel (1831) obiettò che in tal caso il pulviscolo si sarebbe riscaldato fino ad emettere la stessa luce delle stelle. E’ interessante sottolineare che l’argomento di Herschel comportava il fatto che la condizione di equilibrio verso cui l’universo tende è quella di INFINITA luminosità, il che deriva dal convincimento dell’epoca che le stelle fossero sorgenti NETTE di energia, di età INFINITA. Il principio di conservazione dell’energia fu formulato a partire dalla metà del XIX secolo! Gli astronomi del XX secolo, nel riferirsi al problema della luminosità del cielo, partirono comunque dalla discussione di Olbers, da cui il paradosso prende il nome da allora. D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Un po’ di storia… Edgar A. Poe (!) nel 1848, nel suo saggio “Eureka: A prose poem” propose una sua teoria cosmologica, che si basava su un universo newtoniano, ma in evoluzione, che aveva avuto origine dalla frammentazione di una particella primitiva e che da allora è in espansione. Gli astronomi professionisti lo ignorarono, ma come spesso accade la sua intuizione riguardo al paradosso di Olbers si è rivelata sostanzialmente giusta: essa si basava sull’idea che la dimensione dell’universo è grande rispetto alla velocità della luce, per cui gran parte della luce che servirebbe per rendere il cielo luminoso non è ancora arrivata a noi. D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Un po’ di storia… Un altro importante contributo, caduto nel dimenticatoio fino al 1985, fu quello di Lord Kelvin, che nel 1901 pubblicò l’articolo “On Ether and Gravitational Matter through Infinite Space”, in cui dimostrava che secondo il modello di universo infinito, uniforme, statico, di età infinita, non c’erano abbastanza stelle per coprire tutto il cielo. Kelvin fece uso di due concetti fondamentali: le stelle non possono emettere luce per sempre, e la velocità della luce è finita, per cui discusse le distanza tra le stelle in termini di tempo-luce. In effetti, Ole Roemer aveva mostrato già nel 1676 la finitezza della velocità della luce ed è quindi davvero sorprendente che nessuno avesse fatto uso di questo risultato prima. D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Un po’ di storia… Pur basandosi su assunti completamente sbagliati dal punto di vista quantitativo, Lord Kelvin individuò correttamente i concetti fondamentali che sono alla base della soluzione del paradosso: 1) La velocità della luce è finita: quando osserviamo il cielo, guardiamo nel passato 2) La vita media delle stelle è molto minore del “tempo-luce” necessario per attraversare l’universo D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Un po’ di storia… XX secolo: Progresso Tecnologico Relatività Generale Legge di Hubble Soluzione di Friedmann Universo in espansione Modelli cosmologici D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Un po’ di storia… XX secolo: Friedmann Lemaitre Bondi Gold Hoyle «BIG BANG» Età finita, discontinuità iniziale «STEADY STATE» Età infinita, stabile, no conservazione materia D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Un po’ di storia… Nell’ambito del modello «Steady State» Bondi (1957) sostiene che il paradosso di Olbers può essere spiegato dalla sola espansione dell’universo, che causa due effetti che concorrono a rendere il cielo oscuro: 1) Aumento dello spazio intergalattico 2) Redshift cosmologico La soluzione di Bondi ha conosciuto un duraturo successo, anche dopo che il modello «Big Bang» si è progressivamente affermato, soprattutto con la scoperta della CBR D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Un po’ di storia… E’ solo negli anni ’70 e ’80, grazie ai lavori di Harrison, Wesson, Gribbin e altri, che si ottiene una corretta spiegazione del paradosso, in base a considerazioni prevalentemente termodinamiche: l’Universo è troppo giovane, le stelle sono state luminose per un tempo troppo breve e non è stata emessa abbastanza luce per rendere il cielo chiaro. In altre parole: “the luminous emissions from stars are much too feeble to fill in their lifetime the vast empty spaces between stars with radiation of any significant amount.” Insomma, quando gli uomini sono sbarcati sulla Luna, ancora non erano certi del perché si muovevano in uno spazio scuro! D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri 1 𝑚3 𝐽 𝑠𝑒𝑐 𝐽 𝑚3 𝑛 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡à 𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑎𝑟𝑒 𝐿 𝐿𝑢𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠𝑖𝑡à 𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑎𝑟𝑒 𝑢 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡à 𝑑𝑖 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝜎 𝑆𝑒𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑢𝑛𝑎 𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑚2 𝑐 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑡à 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑙𝑢𝑐𝑒 𝑛𝑒𝑙 𝑣𝑢𝑜𝑡𝑜 𝑚 𝑠𝑒𝑐 𝜆 𝐶𝑎𝑚𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 (𝑚𝑒𝑎𝑛 𝑓𝑟𝑒𝑒 𝑝𝑎𝑡ℎ) 𝜌 𝐷𝑒𝑛𝑠𝑖𝑡à 𝑑𝑖 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑚 𝑘𝑔 𝑚3 D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri du n 4R 2 dx L nL Integrando da 0 a ∞, l’energia che arriva dx sulla Terra dovrebbe essere infinita…. 4R 2 c c Halley e altri sostenevano che il modello deve tener conto del fatto che le stelle non sono puntiformi, per cui parte della radiazione in arrivo viene intercettata… Le stelle presenti in un volume 𝐿2 𝑑𝑥 sono 𝑛𝐿2 𝑑𝑥, e complessivamente costituiscono un “ostacolo” di area pari a 𝑛𝜎𝐿2 𝑑𝑥. La probabilità che un fotone sia quindi “intercettato” è: 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑠𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑛𝜎𝐿2 𝑑𝑥 = = 𝑛𝜎𝑑𝑥 𝐴𝑟𝑒𝑎𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 𝐿2 D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri Il fascio di fotoni di intensità I perderà una quota di energia proporzionale alla probabilità di essere intercettato: 𝑑𝐼 = −𝐼𝑛𝜎𝑑𝑥 𝑑𝐼 𝑑𝑥 = −𝐼𝑛𝜎 → 𝐼 = 𝐼0 𝑒 −𝑥𝑛𝜎 𝑥 𝜆 − = 𝐼0 𝑒 ; la costante di decadimento dell’intensità del 𝟏 fascio è quindi 𝝀 = 𝒏𝝈 , che ha le dimensioni di una lunghezza e che rappresenta il percorso medio libero compiuto da un fotone prima di incontrare un ostacolo, 1 “mean free path” 𝜆 = 𝑛𝜎. Infatti, la probabilità che in un tratto dx un fotone venga intercettato è pari a: 𝐼 𝑥 − 𝐼(𝑥 + 𝑑𝑥) 1 −𝑥 𝑑𝑃 𝑥 = = 𝑒 𝜆 𝑑𝑥 𝐼0 𝜆 D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri In media, la lunghezza del percorso che compie un fotone prima di essere intercettato («mean free path») è dunque: ∞ 𝑥 = ∞ 𝑥𝑑𝑃 𝑥 = 0 0 𝑥 −𝑥 𝑒 𝜆 𝑑𝑥 = 𝜆 𝜆 Il contributo di densità di energia dovuto alla calotta sferica di spessore dx sarà quindi: nL - du e dx c x La densità di energia totale: nL L nL - u e dx c c c 0 x D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri Per definizione la luminosità di una stella è data da: L u * c dove u* è la densità di energia sulla superficie della stella. Risulta quindi: u u* dunque la densità di energia in un punto qualunque O dovrebbe essere uguale a quella presente alla superficie di una stella, quindi il cielo dovrebbe essere chiaro e caldissimo (“bright sky paradox”). Dunque l’assorbimento della luce da parte dei corpi celesti che ne “ostacolano” il percorso verso di noi non risolve il paradosso. D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri Per risolvere il paradosso i parametri chiave sono quelli legati al tempo: Età dell’universo Vita media delle stelle Tempo luce D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri Età dell’universo Una stima si può ottenere a partire dalla Legge di Hubble: 𝑲𝒎 𝒔𝒆𝒄 𝒗 = 𝑯𝟎 ∙ 𝑫, dove 𝑯𝟎 = 𝟔𝟕, 𝟖 (costante di Hubble) 𝑴𝑷𝒂𝒓𝒔𝒆𝒄 Il reciproco della costante di Hubble dà l’ordine di grandezza dell’età dell’universo, con approssimazione per eccesso, perché ipotizza un’espansione lineare, mentre c’è stata un’iperinflazione iniziale. 𝟏 𝒕= ≅ 𝟏𝟎𝟏𝟎 𝒂𝒏𝒏𝒊 ≅ 𝟏𝟎𝟏𝟕 𝒔𝒆𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊 𝑯𝟎 D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri Vita media delle stelle una stella media irradia 𝝐 ≅ 𝟏𝟎−𝟑 𝑱 𝑲𝒈∙𝒔𝒆𝒄 considerando che nel ciclo di reazioni termonucleari dall’idrogeno al ferro viene convertito in energia circa l’1% della massa, l’ordine di grandezza della durata di vita di una stella media è: 𝟐 ∗ −𝟐 𝒄 𝒕 = 𝟏𝟎 ∙ ≅ 𝟏𝟎𝟏𝟎 𝒂𝒏𝒏𝒊 ≅ 𝟏𝟎𝟏𝟕 𝒔𝒆𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊 𝝐 D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri Tempo luce nL L nL - u e dx c c c 0 x Gran parte della densità di energia che si accumula in O deve provenire da distanze dell’ordine di grandezza del mean free path λ. Quanto tempo impiega un fotone a percorrere il mean free path? 𝝀 𝟏 𝑴 𝒖∗ 𝑴 𝒖∗ 𝝉= = = = = 𝒄 𝒏𝝈𝒄 𝝆𝝈𝒄 𝝆𝑳 𝒏𝑳 D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri Tempo luce 𝝀 𝟏 𝑴 𝒖∗ 𝑴 𝒖∗ 𝝉= = = = = 𝒄 𝒏𝝈𝒄 𝝆𝝈𝒄 𝝆𝑳 𝒏𝑳 dove M è la massa media di una stella e ρ la densità media di materia 𝑲𝒈 presente nell’universo (circa 𝟏𝟎−𝟐𝟕 𝒎𝟑 ). Considerando ad esempio il nostro Sole, 𝑴 ≅ 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟑𝟎 𝑲𝒈, 𝝈 ≅ 𝟏, 𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟏𝟖 𝒎𝟐 , si ottiene 𝝉 ≅ 𝟏𝟎𝟐𝟒 𝒂𝒏𝒏𝒊. Tra poco vedremo che in pratica τ è la costante di tempo termodinamica dell’universo. D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri 1) L’età dell’universo t dovrebbe essere tempo di raggiungerci ≥ 𝝉, perché i fotoni abbiano avuto il 2) La durata della vita media di una stella 𝒕∗ dovrebbe essere ≈ stelle possano contribuire alla densità di energia u 𝝉, perché tutte le Questi due presupposti NON si verificano: 1) L’universo è troppo giovane rispetto alla costante di tempo 𝝉 2) La vita media delle stelle è troppo breve rispetto alla costante di tempo 𝝉 D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri Adoperando un modello semplicissimo, cerchiamo di capire come «giocano» i 3 parametri temporali t, 𝒕∗ e 𝝉 Supponiamo che l’osservatore nel punto O sia circondato di stelle tutte uguali, uniformemente distribuite, che si “accendono” tutte all’istante t=0. Essendo c la velocità della luce, il nostro osservatore vedrà una sfera luminosa che si allarga con velocità c. Integrando: nL - du e dx c x da 𝒙 = 𝟎 a all’istante t. 𝒙 = 𝒄𝒕 otteniamo la densità totale di energia nel punto O D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri t u u * 1 e 𝝉 è dunque la costante di tempo termodinamica del fenomeno di riempimento di energia radiante per un universo statico. Essendo, come abbiamo visto, 𝒕 ≪ 𝝉, l’equazione può essere scritta: u u * t la densità totale di energia nel punto O cresce quindi al crescere di quando... D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione t fino a XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri all’istante 𝒕∗ , le stelle si spengono, e a causa della finitezza di c, l’osservatore in O si vedrà circondato da una sfera di stelle morte di raggio * c t t che si espande con velocità c, seguita da una calotta di stelle luminose, di raggio ct * La densità di energia in O, da questo istante in poi, sarà costante e pari al valore massimo raggiunto: u u * t * u * D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri Dati gli ordini di grandezza dei tempi, la luce che ci arriva dall’universo è circa 1 13 10 di quella che servirebbe a rendere il cielo luminoso! (in un modello statico…) Analizziamo ora la situazione dal punto di vista termodinamico D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri Immaginiamo che tutta la materia presente nell’universo sia convertita in radiazione di corpo nero. Quanta densità di energia otterremmo? La densità spettrale di energia di Planck: 4 8h 3 u , T I , T c c3 1 e h kT 1 u , T è la densità spettrale di energia: energia per unità di volume per unità di frequenza. Integrando sulla frequenza, otteniamo la densità di energia… Ma la densità di energia, secondo la relatività ristretta, non può essere che: c2 D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri Dunque: 8h 3 0 c3 Effettuando la sostituzione x 1 e h kT d c 2 1 h kT 8 kT x3 2 x dx c 3 hc 0 e 1 4 D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri Ma dal momento che: x3 4 0 e x 1 15 Troviamo: 8 5 kT 2 c 3 15hc 4 Stefan-Boltzmann: 7,56 1016 T 4 c 2 D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri Poiché : 10 27 kg m3 m c 310 s 8 Troviamo: T 4 1,19 105 kelvin4 T 20K D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri Quindi, se tutta la materia fosse convertita in energia, la temperatura di equilibrio sarebbe molto bassa, molto inferiore alla temperatura superficiale di una stella. Risulta chiaro che, in definitiva, non c’è nell’universo abbastanza energia da rendere il cielo luminoso! Un’altra considerazione da fare è che il grande squilibrio termico esistente tra le stelle e lo spazio interstellare ci parla di un universo molto lontano dall’equilibrio termodinamico, e quindi molto giovane. D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri Il modello che ci ha portato all’equazione: u u * t* u * è statico… L’espansione dell’universo concorre a spiegare il paradosso di Olbers? In effetti è l’argomento più usato per spiegarlo, ma… D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Consideriamo un elemento di volume V in espansione cosmologica (“comoving volume”), delimitato da pareti perfettamente riflettenti verso l’interno e verso l’esterno, immerso in una radiazione uniforme e isotropica. In queste condizioni, un osservatore interno a V e uno esterno misureranno la stessa densità di radiazione e lo stesso spettro: quello esterno attribuirà il redshift al progressivo allontanamento delle stelle, e cercherà di valutare la radiazione totale integrando tutti i contributi che arrivano, quello interno attribuirà il redshift alle successive riflessioni della radiazione proveniente dalle sorgenti vicine, e potrà valutare la densità di radiazione in base a considerazioni termodinamiche. D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri d (uV ) pdV dQ Dove p è la pressione di radiazione sulle pareti della scatola V, dQ è la variazione di energia, che contiene un termine positivo (energia fornita dalle stelle in V), e uno negativo (perdita dovuta alla radiazione intercettata dalle stelle stesse). Determiniamo la pressione di radiazione… La pressione è forza su area, cioè trasferimento di quantità di moto nell’unità di tempo su area… D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri Nello spazio compreso tra 2 pareti riflettenti di area A a distanza L, la densità di energia è: E u A L Ogni fotone, rimbalzando sulla parete,trasferisce una quantità di moto pari a: 2 p cos Il tempo tra due rimbalzi successivi è 2L c cos D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri quindi il contributo di un singolo fotone alla pressione è: 2 p cos pc cos2 dE cos2 dP du cos2 A2 L c cos A L A L Per ottenere la pressione totale, dobbiamo integrare questi contributi su tutti gli angoli θ, da 0 a π: D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri P u cos2 u d (uV ) pdV dQ 2 cos d sind d sind 2 cos2 sin d 0 2 sin d 0 Con la sostituzione: cos 1 2 d P u 1 1 d 1 u 3 1 D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri d (uV ) pdV dQ 1 4 udV Vdu udV dQ udV Vdu dQ 3 3 Determiniamo dQ: l’energia fornita dalle stelle in V nel tempo dt è nVLdt * u ma essendo: nL l’energia fornita è: u * V dt D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri 1 4 udV Vdu udV dQ udV Vdu dQ 3 3 L’energia persa per assorbimento nel volume V nel tempo dt è invece: u V dt dunque: 4 V udV Vdu u * u dt 3 D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri 4 V * udV Vdu u u dt 3 Moltiplicando primo e secondo membro per 1 V 1 3 4 3 4 4 3 V V udV V 3 du u * u dt 3 d uV dt 4 3 4 3 V * u u D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri 4 3 4 d 3 V * uV u u dt Questa equazione per dV=0 (modello statico) ci riporta a: t u u * 1 e Per rappresentare l’evoluzione di V, trascurando l’iperinflazione, adottiamo un semplice modello del tipo V t 3 D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri 4 3 4 d 3 V * uV u u dt V t 3 In genere, α viene assunto dell’ordine dell’unità: 1 3 Modello di Dirac 2 3 Modello di Einstein – De Vitte 1 Modello di Milne D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers …e un po’ di numeri 4 3 4 d 3 V * uV u u dt V t 3 Risolviamo per via numerica, al variare di α e a confronto con il modello statico, e vediamo l’andamento di u in funzione di t, con t che va da 0 fino a t*, quando le stelle cominciano a “spegnersi”, cioè fino al momento in cui u raggiunge il valore massimo: D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers u u* t (sec) D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Si vede che la previsione di densità di energia è minore per i modelli espansivi, come era immaginabile, e dopo il tempo t* la densità nel modello statico resta costante, in quelli dinamici diminuisce con 4 V3 …ma l’ordine di grandezza è lo stesso. In altri termini, dal punto di vista quantitativo L’ESPANSIONE DELL’UNIVERSO HA IMPORTANZA SECONDARIA AI FINI DELLA SOLUZIONE DEL PARADOSSO DI OLBERS D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Quanto al redshift cosmologico… H0 D c La perdita di energia della radiazione che riceviamo è proporzionale a ∆λ/λ; per il più grande redshift che conosciamo, quello subito dalla radiazione di fondo, 103 Si tratta comunque di un effetto quantitativamente meno significativo rispetto a quello “termodinamico” D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione XX Scuola Estiva di Astronomia – STILO (RC) 20-25 luglio 2015 Il paradosso di Olbers Starlight is too feeble to fill the entire Universe; the fireball of creation did the job more than adequately, but faded long ago… The resolution of Olbers’ Paradox tells us that the Universe may well be infinite and uniform, but it cannot be eternal… That is a powerful thing indeed to deduce from a glance to the sky. J. Gribbin, “The mystery of the shining” GRAZIE! D.T. Massimo Esposito Direzione Generale per gli Ordinamenti Scolastici e la Valutazione del Sistema Nazionale di Istruzione
