Multipli, divisori e numeri primi

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Proposte didattiche (lezione 1)
1)
Multipli e divisori
Introduzione al capitolo 19 – Prodi vol.2
Richiamo sui concetti già appresi alla scuola media
2)
a)
Insieme dei divisori di un numero naturale
Attività di esplorazione: ricerca dei divisori di alcuni numeri naturali scelti opportunamente
(esempio: 10, 7, 49, 81) , osservazione dei risultati, elaborazione di eventuali congetture
b)
1)
2)
a)
b)
c)
d)
Studio teorico della funzione d(n) (numero dei divisori di un generico numero naturale n)
Sia n   , con d (n ) si indica il numero dei divisori di n . Considerare l’equazione d (n)  k ,
caratterizzare gli n per cui:
a) d (n)  2 b) d (n)  3 c) d (n)  4 d) d (n)  5 .
Dimostrare che:
se n  p  , con p primo, d (n)    1 ;
( Sugg.: i divisori di n sono 1= p 0 , p,... , dunque d (n ) =…)
se n  p11 p 2 2 ... p s s , con pi primi distinti, d (n)  (1  1)( 2  1)...( s  1) ;
se n  ab , con a e b coprimi, d (n)  d (a)d (b) ;
n è un quadrato se e solo se d (n ) è dispari.
3)
Se a e b non sono coprimi vale ancora l’uguaglianza d (ab)  d (a)d (b) ? Mostrare qualche
esempio.
3)
Infinità dell’insieme dei numeri primi
Euclide, nel Libro IX-Prop.20, dimostra che i numeri primi sono infiniti. La dimostrazione,
semplice ed elegante, è la seguente:
Teorema
I numeri primi sono infiniti.
Dimostrazione
Supponiamo, per assurdo, che essi siano in numero finito. Siano p1 , p 2 ,..., p n gli unici numeri primi.
Consideriamo il numero p  p1  p 2  ...  p n  1 , p allora non è primo perché non coincide con
nessuno dei p i e quindi è divisibile per qualcuno di essi, per esempio, per p1 . Il primo p1 divide p ,
divide il numero p1  p 2  ...  p n , quindi divide la differenza p  p1  p 2  ...  p n e ciò è assurdo
poiché questa differenza è uguale a 1.
4)
Funzione (n) di Eulero
Per introdurre la funzione n) di Eulero (che fornisce il numero dei numeri coprimi con n e minori
di esso) si può proporre il calcolo esplicito di tale funzione in alcuni casi particolari:
n primo;
n potenza di primo;
n prodotto di primi.
Applicazione: esercizio pag. 132 (Libro dei numeri)
Sistemazione dei risultati in una forma generale (invito alla dimostrazione):
a)
se n è primo  ( n)  n  1;
b)
c)
 1
se n  p , con p primo,  (n)  p 1   ;
p

( Sugg.: i numeri compresi tra 1 e n e non primi con esso sono 1 p , 2 p , 3 p …, fino a ….,
pertanto…)
(*) (Questo risultato richiede la conoscenza delle classi resto)
se n  ab , con a e b primi tra loro, allora  (n)   (a) (b) ;
( Sugg.: sia m  1,..., n  1 , poiché a e b sono coprimi, se m è primo con n , lo è ….., inoltre,
posto r  MODn, a e t  MODn, b , n è invertibile in  m se e solo se r è invertibile in… e t in
…., dunque….)
d)

1 
1  
1
in generale, se n  p11 p 2 2 ... p s s , con pi primi distinti,  (n)  n1  1  ...1   ;
p1 
p2  
ps 

( Sugg.: n  p11 ( p2 2 ... ps s ) e p11 e p2 2 ... ps s sono…..e, per quello dimostrato prima…..,
inoltre, p2 2 e p3.3 ... ps s sono…..)
4)
5)
(*) (Studio dell’eventuale generalizzazione del risultato della parte (c))
Se a e b non sono coprimi vale ancora l’uguaglianza  (ab)   (a) (b) ?
esempio.
Mostrare qualche
Esercizi
Creazione di ambiti di esplorazione (schede di lavoro LiveMath)
1) Dimostrare che, se n è multiplo di 3, il numero (n+1)3 – 1 è divisibile per 9.
2) Si consideri un numero di due cifre (scritto nella numerazione decimale) ed il numero che si ottiene
scambiando tra loro le due cifre. Dimostrare che la differenza tra i quadrati di questi due numeri è
divisibile per 9, per 11, per la somma delle cifre, per la differenza delle cifre.
3) Per quali valori interi di a il numero 5a3 + a2 + a + 6 è divisibile per a ?
4) La differenza delle quarte potenze di due interi naturali può essere un numero primo ?
5) Per quali valori dell’intero naturale n il numero n2 – 4n + 3 è divisibile per 7 ?
6) Dimostrare che se un intero a non è divisibile né per 2, né per 3, allora il numero a2 – 1 è divisibile
per 24.
7) Dimostrare: se l’equazione di secondo grado, a coefficienti interi relativi, ax2 + bx + c = 0 ha una
soluzione intera x, allora |x| divide |c|.
8) Vi sono coppie di numeri primi che differiscono per un numero dispari ?
9) Nella dimostrazione di Euclide si fanno intervenire numeri di questo tipo: 2 + 1, 2 · 3 + 1,
2 · 3 · 5 + 1, 2 · 3 · 5 · 7 + 1, 2 · 3 · 5 · 7 · 11 + 1, 2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 + 1. Verificare che i primi
cinque numeri sono primi mentre l’ultimo è composto.
10) Considerare i numeri 2 · 3 · 5 · 7 + 2, 2 · 3 · 5 · 7 + 3, 2 · 3 · 5 · 7 + 4. Verificare che essi sono tutti
numeri composti. Fino a quale valore di m il numero 2 · 3 · 5 · 7 + m risulta certamente composto ?
In generale, preso l’insieme di tutti i numeri primi compresi tra 2 ed un certo numero primo p:
{ 2, 3, 5 , … , p } , fino a quale valore di m 2 si può affermare che risulta composto il numero
2 · 3 · 5 · 7 · …. · p + m ?
(Possiamo così constatare che nella successione degli interi naturali si trovano delle file di numeri
composti consecutivi lunghe quanto si vuole) .
(Esercizio più complesso) Trovare cinque numeri composti consecutivi. Trovarne tredici. Trovarne
novantanove. [D], es.1.04 pag.178
11) Ricordiamo che abbiamo posto: m! = 1 · 2 · 3 · … · m. Con quante cifre decimali 0 termina la
rappresentazione decimale di m! ?
(Esercizio più complesso) Con quanti zeri termina il numero 100!, prodotto dei numeri interi da 1 a
100, estremi compresi ? [SCY], es.48 pag.15
12) Dimostrare che ogni numero primo maggiore di 2 può essere rappresentato (e in un unico modo)
come differenza di due interi.
13) Due numeri consecutivi sono sempre primi fra loro; perché ?
14) Se a è un numero dispari, i numeri a e a+2 sono primi fra loro; perché ? Analogamente: se a non è
divisibile per 3, i numeri a e a+3 sono primi fra loro.
(Proposta di generalizzazione) Se a è un numero qualsiasi e p è un numero primo, i numeri a e a+p
sono primi fra loro; perché ?
Se a è un numero qualsiasi e p è un numero primo con a, i numeri a e a+p sono primi fra loro;
perché ?
15) Dati due interi a, b positivi e detto d il loro massimo comune divisore, dimostrare che i numeri
b
sono primi tra loro.
d
a
e
d
16) Dimostrare che, per ogni intero naturale n, i due numeri 21n + 4 e 14n + 3 sono primi fra loro.
17) Si consideri la successione di Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …. che è così definita: i primi due
termini sono 0 e 1; degli altri termini ciascuno è somma dei due che lo precedono. Dimostrare che
due termini consecutivi sono primi fra loro.
18)
Dimostrare che:
a) 36n 26n è divisibile per 35, per ogni intero positivo n;
b) n5 5n3 + 4n è divisibile per 120, per ogni intero
[SCY], es.28(a),(b) pag.13
1000 
 (combinazioni di 1000 elementi presi 500 alla volta)
19) E’ il numero 
 500 
[SCY], es.50 pag.16
divisibile per 7 ?
20) Dimostrare che tutti i numeri della forma
10001, 100010001, 1000100010001, ….
aventi tre zeri interposti tra le cifre uguali ad 1, sono numeri composti.
[SCY], es.63 pag.18
21) Esprimere ciascuno dei numeri seguenti come prodotto di fattori primi:
65536, 6469693230.
[D], es.1.03 pag.178
999, 1001, 1729, 11111,
22) n fattoriale, indicato con n!, è il prodotto 1· 2 · 3 ·…· n dei primi n numeri naturali. Esprimere 22!
come prodotto di fattori primi.
[D], es.1.06 pag.179
23) Dimostrare che 1110 1 è divisibile per 100.
[SCY], es.40 pag.14
24) Dimostrare che un numero formato da 3n cifre identiche è divisibile per 3n. (Ad esempio, 222 è
divisibile per 3, 777777777 è divisibile per 9 e così via).
[SCY], es.42 pag.15
25) Dimostrare che se a e b sono interi coprimi, ed anche a e c sono coprimi, allora a e bc sono coprimi.
[C] , es. E2 pag. 99
26) Dimostrare che se p è primo, allora p è primo con (p1)!.
[C] , es. E3 pag. 99
27) Determinare il più piccolo n   le cui cifre siano solo “0” e “1” (es.110011010) divisibile per 225.
( Risultato: 11111111100, infatti 225=9x25 e, posto n  a r 10 r  a r 110 r 1  ...  a110  a0 , n è
divisibile per 9 se ar  ar 1  ...  a1  a0 è divisibile per 9 e n è divisibile per 25 se lo è a110  a0 )
28) Dimostrare che, dato un qualsiasi numero di tre cifre, il numero che si ottiene duplicandolo ( es. da
126 si ottiene 126126) è divisibile per 7,11 e 13. Dimostrare, inoltre, che dividendo il numero ottenuto
per 7, il quoziente ottenuto per 11 e quest’ultimo quoziente per 13, si ottiene il numero di partenza.
( Risoluzione: posto n  a10 2  b10  c , si ottiene m  a10 5  b10 4  c10 3  a10 2  b10  c , inoltre
7·11· 13=1001= 1  10 3  1 e (a10 2  b10  c) ( 1  10 3  1 )= a10 5  b10 4  c10 3  a10 2  b10  c )
29) Determinare a, con 0  a  9 , tale n  1  10 3  a  10  1 sia primo con 270000000000.
( Risultato: 270000000000= 210 33 510 , quindi a  2 non deve essere divisibile per 3, pertanto
a  0,2,3,5,6,8,9 )
30) Consideriamo il seguente gioco: Dato un numero naturale n  1, se n è primo associamo ad n se
stesso, se non è primo gli associamo il numero m  n 2  1 ; considerato m , se è primo
associamo se stesso, altrimenti m 2  1 e così via. Il gioco ha termine quando si arriva ad un
numero primo. Possiamo affermare che qualunque sia n dopo un certo numero di passi il
gioco ha termine?
( Risultato: No, anzi se n è primo il gioco termina subito, mentre se non è primo allora non
termina mai, infatti condizione necessaria affinché n 2  1 sia primo è che n  1  1 cioè
n  2)
31) Consideriamo il seguente gioco: Dato n  1, consideriamo il numero che si ottiene dalla
somma dei quadrati delle cifre di n ( es. n  12  110  2 , si ottiene m  12  2 2  5 ) e così
continuando. Il gioco termina quando la sequenza contiene due numeri uguali ( es.1111 
4  16  37  58  89  145  42  20  4) . Dimostrare che il gioco, qualunque sia
n  1, ha termine dimostrando che se n ha un numero di cifre maggiore o uguale a 3 allora m
è minore di n , dunque dopo un numero finito di passi si arriverà ad un numero di al più
2 cifre. A questo punto la dimostrazione è finita. Verificare, tuttavia, direttamente che per i
numeri di due cifre il gioco ha termine ( non è necessario verificarlo per tutti perché, per
esempio, 24 e 42 portano allo stesso numero).
32) Siano n, m   , diversi da 1 e coprimi. Dimostrare che da n m   n1 m 1 (dove gli
esponenti sono interi positivi) segue che   1 e   1 . E’ necessario che m e n siano
coprimi?
( Sugg.: per la seconda parte analizzare, per esempio, il caso n  6 e m  10 ).
33) Siano a1 , a 2 ,..., a n   , se i, j MCDai , a j   d i , j  1 , possiamo affermare che
MCDa1 , a2 ,..., an   d  1?
( Risultato: No, es. (6,10,15))
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