Verifica Trasfoirmnazione triangolo-stella

VERIFICA TRASFORMAZIONE STELLA-TRIANGOLO E TRIANGOLO-STELLA
La verifica consiste, essenzialmente, nel confrontare la resistenza equivalente, vista dal generatore,
calcolata con la trasformazione con quella che si misura direttamente dal circuito. Si completa
l’esperienza confrontando tensioni e correnti misurate sul circuito con quelle preventivamente
calcolate tramite il circuito trasformato.
Circuiti da verificare
Trasformazione triangolo-stella
Trasformazione stella-triangolo
Valori dei componenti
Primo circuito: trasformazione triangolo-stella
E = 12V ; R1 = R3 = 2,2kΩ ; R2 = R4 = 4,7kΩ ; R5 = 3,3kΩ
Secondo circuito: trasformazione stella triangolo
E = 12V ; R1 = R3 = 2,2kΩ ; R2 = R4 = 1kΩ ; R5 = R6 = 3,3kΩ
Apparecchiature e strumenti
Basetta sperimentale (bread-board); multimetro digitale 4½ digit: alimentatore stabilizzato 12V.
1
Calcolo dei valori teorici
Primo circuito: trasformazione triangolo-stella
Si trasforma il triangolo ABC in una stella.
⎧
R ab R ca
R 2R1
4,7 ⋅ 10 3 ⋅ 2,2 ⋅ 10 3
=
=
=
= 1,14KΩ
R
⎪ a
3
3
3
+
+
+
+
R
R
R
R
R
R
⋅
+
⋅
+
⋅
4
,
7
10
2
,
2
10
2
,
2
10
ab
bc
ca
2
3
1
⎪
⎪
⎪
R ab R bc
R 2R 3
4,7 ⋅ 10 3 ⋅ 2,2 ⋅ 10 3
⎪
=
=
=
= 1,14KΩ
R
⎨ b
R ab + R bc + R ca R 2 + R 3 + R 1 4,7 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3
⎪
⎪
⎪
R bc R ca
R 3R1
2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 2,2 ⋅ 10 3
⎪
⎪R c = R + R + R = R + R + R = 4,7 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3 = 0,53KΩ
ab
bc
ca
2
3
1
⎩
Calcolo della resistenza equivalente e risoluzione del circuito.
R eq = R a +
I=
(R c + R 4 )(R b + R 5 )
Rc + R4 + Rb + R5
= 1,14 ⋅ 10 3 +
(0,53 ⋅10
E
12
=
= 3,39mA
R eq 3,54 ⋅ 10 3
I4 =
VED
8,14
=
= 1,83mA
R b + R 5 1,14 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3
VCB
1,27
=
= 0,58mA
R3
2,2 ⋅ 10 3
VED
8,14
=
= 1,556mA
R c + R 4 0,53 ⋅ 10 3 + 4,7 ⋅ 10 3
VCD = V4 = R 4 I 4 = 4,7 ⋅ 10 3 ⋅ 1,556 ⋅ 10 −3 = 7,31V
VBD = V5 = R 5 I 5 = 3,3 ⋅ 10 3 ⋅ 1,83 ⋅ 10 −3 = 6,04V
I3 =
)
VAE = R a I = 1,14 ⋅ 10 3 ⋅ 3,39 ⋅ 10 −3 = 3,86V
VED = E − VAE = 12 − 3,86 = 8,14V
I5 =
)(
+ 4,7 ⋅ 10 3 1,14 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3
= 3,54KΩ
0,53 ⋅ 10 3 + 4,7 ⋅ 10 3 + 1,14 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3
3
VCB = V3 = VCD − VBD = 7,31 − 6,04 = 1,27 V
VAB = V2 = VAD − VBD = E − VBD = 12 − 6,04 = 5,96V
2
VAC = V1 = VAD − VCD = E − VCD = 12 − 7,31 = 4,69V
I1 =
VAC
4,69
=
= 2,13mA
R1
2,2 ⋅ 10 3
I2 =
VAB
5,96
=
= 1,268mA
R2
4,7 ⋅ 10 3
Secondo circuito: trasformazione stella triangolo
Si trasforma la stella ABC in un triangolo e si risolve.
⎧
⎪R ab
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨R bc
⎪
⎪
⎪
⎪R
⎪ ca
⎩
⎧
⎪R ab
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨R bc
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪R ca
⎩
=
R aR b + R aR c + R bR c
Rc
=
R aR b + R aR c + R bR c
Ra
=
R a R b + R aR c + R bR c
Rb
⇒
R 3 R 4 + R 3 R 5 + R 4 R 5 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 1 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 3,3 ⋅ 10 3 + 1 ⋅ 10 3 ⋅ 3,3 ⋅ 10 3
= 3,87 kΩ
=
=
R5
3,3 ⋅ 10 3
=
R 3 R 4 + R 3 R 5 + R 4 R 5 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 1 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 3,3 ⋅ 10 3 + 1 ⋅ 10 3 ⋅ 3,3 ⋅ 10 3
= 5,8kΩ
=
R3
2,2 ⋅ 10 3
=
R 3 R 4 + R 3 R 5 + R 4 R 5 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 1 ⋅ 10 3 + 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 3,3 ⋅ 10 3 + 1 ⋅ 10 3 ⋅ 3,3 ⋅ 10 3
=
= 12,76kΩ
R4
1 ⋅ 10 3
3
Calcolo della resistenza equivalente e risoluzione del circuito.
R 2b =
R 2 R ab
1 ⋅ 10 3 ⋅ 3,87 ⋅ 10 3
= 0,79kΩ
=
R 2 + R ab 1 ⋅ 10 3 + 3,87 ⋅ 10 3
R 6c =
R bc R 6
5,8 ⋅ 10 3 ⋅ 3,3 ⋅ 10 3
= 2,1kΩ
=
R bc + R 6 5,8 ⋅ 10 3 + 3,3 ⋅ 10 3
R 26 = R 2 b + R 6 c = 0,79 ⋅ 10 3 + 2,1 ⋅ 10 3 = 2,89kΩ
R c6 =
R ca R 26
12,76 ⋅ 10 3 ⋅ 2,89 ⋅ 10 3
= 2,35kΩ
=
R ca + R 26 12,76 ⋅ 10 3 + 2,89 ⋅ 10 3
R eq = R 1 + R c 6 = 2,2 ⋅ 10 3 + 2,35 ⋅ 10 3 = 4,86kΩ
I1 =
E
12
=
= 2,64mA
R eq 4,86 ⋅ 10 3
V1 = R 1 I1 = 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 2,64 ⋅ 10 −3 = 5,8V
VAC = V26 = R c 6 I1 = 2,35 ⋅ 10 3 ⋅ 2,64 ⋅ 10 −3 = 6,2V
I 2b =
V26
6,2
=
= 2,145mA
R 26 2,89 ⋅ 10 3
I ca =
VAB = V2 = R 2 b I 2 b = 0,79 ⋅ 10 3 ⋅ 2,145 ⋅ 10 −3 = 1,69V
VBC = V6 = R 6 c I 2 b = 2,1 ⋅ 10 3 ⋅ 2,145 ⋅ 10 −3 = 4,5V
I ab =
I6 =
VAC
6,2
=
= 0,486mA
R ca 12,76 ⋅ 10 3
VAB
1,69
=
= 0,44mA
R ab 3,87 ⋅ 10 3
V6
4,5
=
= 1,36mA
R 6 3,3 ⋅ 10 3
I2 =
I bc =
V2
1,69
=
= 1,69mA
R 2 1 ⋅ 10 3
VBC
4,5
=
= 0,77 mA
R bc 5,8 ⋅ 10 3
I 3 = I ab + I ca = 0,44 ⋅ 10 −3 + 0,486 = 0,926mA
I 4 = I bc − I ab = 0,77 ⋅ 10 −3 − 0,44 = 0,33mA
I 5 = I ca + I bc = 0,486 ⋅ 10 −3 + 0,77 = 1,256mA
V4 = R 4 I 4 = 1 ⋅ 10 3 ⋅ 0,33 ⋅ 10 −3 = 0,33V
V3 = R 3 I 3 = 2,2 ⋅ 10 3 ⋅ 0,926 ⋅ 10 −3 = 2,04V
V5 = R 5 I 5 = 3,3 ⋅ 10 3 ⋅ 1,256 ⋅ 10 −3 = 4,14V
Procedimento
1. Si monta il primo circuito senza collegare il generatore.
2. Si misura, col multimetro usato come ohmetro, la resistenza equivalente vista tra i morsetti cui
verrà collegato il generatore.
3. si collega il generatore e si misurano le differenze di potenziale ai capi di ogni resistenza: V1,
V2, V3, V4, V5.
4
4. Si calcolano le correnti con i valori di tensione misurati, applicando la legge di Ohm ai capi di
V
V
V
V
V
ogni resistenza: I1 = 1 , I 2 = 2 , I 3 = 3 , I 4 = 4 , I 5 = 5 .
R1
R2
R3
R4
R5
5. Si monta il secondo circuito senza collegare il generatore.
6. Si misura, col multimetro usato come ohmetro, la resistenza equivalente vista tra i morsetti cui
verrà collegato il generatore.
7. si collega il generatore e si misurano le differenze di potenziale ai capi di ogni resistenza: V1,
V2, V3, V4, V5, V6.
8. Si calcolano le correnti con i valori di tensione misurati, applicando la legge di Ohm ai capi di
V
V
V
V
V
V
ogni resistenza: I1 = 1 , I 2 = 2 , I 3 = 3 , I 4 = 4 , I 5 = 5 , I 6 = 6 .
R1
R2
R3
R4
R5
R6
9. Si riportano nelle tabelle i dati sperimentali. In tali tabelle vengono riportati anche i valori
calcolati, per un immediato confronto.
Valori misurati
Valori calcolati
Valori misurati
Valori calcolati
kΩ
Req
3,57
3,54
kΩ
Req
4,60
4,55
E
12,05
12
E
12
12
V1
5,79
5,80
V1
4,66
4,69
V2
1,73
1,69
Primo circuito
Volt
V2
V3
V4
5,92
1,28
7,39
5,96
1,27
7,31
V5
6,13
6,04
Secondo circuito
Volt
V3
V4
V5
V6
2,06 0,36 4,23 4,55
2,04 0,33 4,14 4,50
I1
2,12
2,13
I1
2,63
2,64
I2
1,26
1,268
I2
1,73
1,69
mA
I3
0,582
0,58
mA
I3
I4
0,936 0,36
0,926 0,33
I4
1,57
1,556
I5
1,282
1,256
I5
1,86
1,83
I6
1,38
1,36
Dall’esame delle tabelle risulta che la resistenza equivalente misurata è praticamente uguale a
quella calcolata applicando le trasformazioni, cosa che conferma la validità delle trasformazioni
stesse. Analogamente per le tensioni e le correnti.
5