Università degli Studi di Trieste Facoltà di Scienze MFN Corso di Laurea in Matematica Sergio Invernizzi [email protected] Le costruzioni classiche dei numeri reali Appunti per esclusivo uso interno del corso di laurea Riproduzione e diffusione vietata (L. 248/2000) c S. Invernizzi, 2006. vi Mi sembra importante che gli insegnanti siano consapevoli dell’esistenza di una pluralità di approcci diversi [alla costruzione dei numeri reali] e dei loro mutui legami. (Vinicio Villani, Cominciamo da Zero, 2003) Indice 1 La costruzione di Méray–Cantor 1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . 1.2 La costruzione di Méray–Cantor . . . 1.2.1 Definizione dei numeri reali . 1.2.2 Immersione dei razionali . . . 1.2.3 La struttura d’ordine . . . . . 1.2.4 Il teorema di completezza à la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Méray–Cantor 2 La costruzione di Dedekind 2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Le sezioni di Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Definizione dei numeri reali . . . . . . . . 2.2.2 Immersione dei razionali . . . . . . . . . . 2.2.3 La struttura d’ordine . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Il teorema fondamentale della costruzione 2.2.5 Il teorema di completezza à la Dedekind . 2.2.6 La struttura algebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 4 6 7 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9 10 10 10 11 13 14 14 3 La completezza 17 3.1 Il circolo della completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 Teorema di Hilbert 19 4.1 Campi ordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1.1 Campi archimedei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.2 Definizione assiomatica di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5 Attività seminariale proposta 25 5.1 Aspetti storici ed informatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.2 Aspetti psicologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 vii Capitolo 1 La costruzione di Méray–Cantor Figura 1.1: Hugues Méray (1835–1911) e Georg Cantor (1845–1918). 1.1 Introduzione Nel 1869 Hugues (Charles) Méray pubblica sulla Revue des Sociétés Savantes una memoria intitolata Remarques sur la nature des quantités définies par la condition de servir de limites à des variables données contenente una teoria aritmetica dei numeri reali. Ovviamente, data l’epoca, il lavoro di Méray non soddisfa gli attuali standard di “rigore” matematico, ma è sufficientemente preciso da poter essere considerato una delle prime se non la prima costruzione pubblicata di R. Méray utilizza nella sua costruzione di R certi oggetti detti varianti, che giocano un ruolo analogo alle successioni di Cauchy di razionali. Successivamente, nel 1872, Méray ripropone la sua costruzione di R nel trattato Nouveau précis d’analyse infinitésimale (Paris, F. Savy libraire–éditeur, 1872), ma tale contributo fondamentale viene in seguito quasi “dimenticato”, forse 1 2 CAPITOLO 1. LA COSTRUZIONE DI MÉRAY–CANTOR perché il recensore del trattato, Hermann Laurent,1 lo trascura completamente, ritenendolo eccessivamente pedante per un libro ritenuto di testo. Fatto è che sempre nello stesso anno, il 1872, Georg Cantor pubblica l’articolo Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen, ossia “sull’estensione di un teorema della teoria delle serie trigonometriche” (Math. Annalen 5(1872), 123–132), nel quale si trova a considerare insiemi infiniti di punti in relazione al problema della convergenza delle serie trigonometriche; per poter operare rigorosamente premette una teoria aritmetica dei numeri reali in cui ogni numero reale è rappresentato da una successione di Cauchy (che lui chiama successione fondamentale) di numeri razionali. Come vedremo, due successioni di Cauchy di numeri razionali rappresentano lo stesso numero reale se la differenza delle due successioni tende a zero. Sostanzialmente la costruzione di Cantor è la stessa costruzione di Méray.2 David R. Wilkins ha riscritto in LATEX questo famoso articolo di Cantor, e lo ha pubblicato nel web all’url: http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Cantor/Ausdehnung/. Chi legge e capisce il tedesco può darci utilmente un’occhiata. La costruzione di Méray–Cantor privilegia la struttura algebrica rispetto a quella d’ordine, ed è più vicino ad una visione di “approssimazione” dei reali coi razionali di quanto lo sia la costruzione di Dedekind che vedremo nel prossimo capitolo. Presenteremo qui una rivisitazione della costruzione di Méray–Cantor che utilizza qualche conoscenza di base dei corsi universitari di Algebra, in particolare sugli anelli quoziente.3 1 Un altro Laurent, non quello delle serie. Questo caso storico ha una sua morale di un certo interesse per la didattica: molti importanti risultati di matematica sono stati storicamente conseguiti – e quindi possono essere insegnati ed appresi – anche senza “fondazioni solide”. Il progetto bourbakista (1939), talvolta assunto come paradigma anche per la didattica, intese “donner des fondations solides à tout l’ensemble de mathématiques modernes”, ma non si prefisse finalità né didattiche né applicative. Infatti il trattato si rivolge esplicitamente “à des lecteurs possédant au moins une bonne connessaince des matières enseignées dans la premiére ou les deux premières années de l’Université” ed esplicitamente riconosce che “L’utilité de certaines considérations n’apparaı̂tra donc au lecteur que s’il posséde déjà des connaissances assez étendues” (N. Bourbaki, Mode d’emploi de ce trait, Éléments de mathématiques, Hermann, Paris, 1939. Cf. pure N. Bourbaki, The Architecture of Mathematics, in American Mathematical Monthly 57, 1950, pp. 221-232). Mi sembra quindi utile e corretto collocare queste lezioni sulla costruzione di R in un punto del curriculum universitario al secondo o al terzo anno, quando appunto gli studenti possiedono una “sufficientemente buona” conoscenza dell’analisi, ottenuta anche con una introduzione assiomatica dei reali, come vedremo nel Capitolo 3. 3 Tale background, per gli studenti della laurea in matematica di Trieste, può essere quello del corso di Algebra 2 – Anelli e campi. 2 1.2. LA COSTRUZIONE DI MÉRAY–CANTOR 1.2 3 La costruzione di Méray–Cantor Sia QN l’insieme delle successioni p = (p0 , p1 , p2 , . . .) = (pk )k∈N di numeri razionali. In QN si definiscono l’addizione e la moltiplicazione (per componenti): dato p = (p0 , p1 , p2 , . . .) = (pk )k∈N e dato q = (q0 , q1 , q2 , . . .) = (qk )k∈N in QN poniamo p + q = (p0 + q0 , p1 + q1 , p2 + q2 , . . .) = (pk + qk )k∈N p · q = (p0 · q0 , p1 · q1 , p2 · q2 , . . .) = (pk qk )k∈N Per ogni r ∈ Q indichiamo con (r) la successione costante p = (pk )k∈N (dove per ogni k ∈ N si ha pk = r). È facilissimo verificare che la struttura algebrica (QN , +, ·) è un anello commutativo unitario, con elemento neutro per la addizione la successione (0), ed elemento neutro per la moltiplicazione la successione (1). Definizione 1.2.1 Una successione p ∈ QN si dice di Cauchy se (∀ ∈ Q, > 0) (∃N ∈ N) (∀h, k ≥ N ) (|ph − pk | ≤ ) Si noti che tratta dell’ordinaria definizione di successione di Cauchy dell’Analisi matematica riportata all’universo dei soli numeri razionali. Indichiamo con C il sottoinsieme di QN costituito dalle succcessioni di Cauchy. Conviene subito osservare che Osservazione 1.2.2 Una successione di Cauchy (pk )k∈N è limitata, ossia esiste L tale che (∀k) |pk | ≤ L. Infatti, usando la definizione di successione di Cauchy, tutti gli elementi dall’indice N in poi distano da pN al massimo di = 1. Gli altri sono in numero finito e quindi posso prendere L = max{|p0 |, |p1 |, . . . , |pN −1 |, |pN | + 1} Definizione 1.2.3 Una successione p ∈ QN si dice convergente a zero se (∀ ∈ Q, > 0) (∃n ∈ N) (∀k ≥ n) (|pk | ≤ ) Chi studia noti che tratta dell’ordinaria definizione di successione convergente a 0 dell’Analisi matematica riportata all’universo dei soli numeri razionali. Indichiamo con C0 il sottoinsieme di QN costituito dalle succcessioni convergenti a zero. Osservazione 1.2.4 Una successione di Cauchy p ∈ QN si dice convergente, con limite r ∈ Q, se la successione p−(r) converge a zero, essendo (r) la successione costante uguale a r. Vedremo in seguito che l’insieme delle successioni di Cauchy convergenti con lo stesso limite r ∈ Q “é” il numero r “pensato come 4 CAPITOLO 1. LA COSTRUZIONE DI MÉRAY–CANTOR reale”. Vi sono naturalmente successione di Cauchy p ∈ QN non convergenti ad alcun limite r ∈ Q, ad esempio quella definita dallo schema iterativo p0 = 2 pn+1 = pn /2 + 1/pn La successione è quella delle iterate della funzione f (p) = p/2 + 1/p, definita ad esempio da E = {p ∈ Q|1 ≤ p ≤ 2} in sé (se abbiamo 1 ≤ p ≤ 2, si ha p/2 + 1/p ≤ 2/2 + 1/1 = 2, p/2 + 1/p ≥ 1/2 + 1/2 = 1. Verifichiamo che f : E → E è una contrazione: |f (p) − f (q)| = |(p − q)/2 + (q − p)/(pq)| = |1/(pq) − 1/2| · |p − q| ≤ (1/2)|p − q| essendo che 1/4 ≤ 1/(pq) ≤ 1 e quindi 1/4 ≤ |1/(pq) − 1/2| ≤ 1/2. Quindi (cf. la dimostrazione del Principio delle Contrazioni, o Teorema di Banach– Caccioppoli) la successione in questione è di Cauchy. Peraltro pn non converge (in Q) perché, se lo facesse ed avesse limite p∗ ∈ Q avremmo (da pn+1 = pn /2 + 1/pn ) che p∗ = p∗ /2 + 1/p∗ , quindi p∗ 2 = 2, impossibile per un numero razionale.4 1.2.1 Definizione dei numeri reali Il teorema seguente genera R come anello quoziente. Teorema 1.2.5 Si ha: (i) C è un sottoanello di QN ; (ii) C0 è un ideale massimale di C, conseguentemente: il quoziente R = C/C0 è un corpo commutativo, detto il campo dei numeri reali. Dimostrazione. (i) basta verificare che la somma ed il prodotto per componenti di successioni di Cauchy sono successioni di Cauchy. Per la somma basta usare la rappresentazione |(ph + qh ) − (pk + qk )| = |ph − pk + qh − qh | ≤ |ph − pk | + |qh − qh | usando il solito argomento del tipo “/2” usato nel teorema di Analisi sul limite della somma di due successioni (o funzioni). Per il prodotto, usiamo la 4 Si suppone per assurdo che esistano interi positivi m, n primi fra loro tali che (m/n)2 = 2, ossia m2 = 2n2 . Ora m è pari, avendo quadrato pari, quindi n è dispari. Quindi 2n2 è divisibile per 2 ma non per 4, mentre m2 è divisibile per 4, assurdo. 1.2. LA COSTRUZIONE DI MÉRAY–CANTOR 5 limitatezza |(ph · qh ) − (pk · qk )| = |(ph · qh ) − (pk · qk ) ± ph · qk | = |ph · (qh − qk ) + (ph − pk ) · qk | = L · |qh − qk | + L · |ph − pk | ed il solito argomento del tipo “/(2L)” usato nel teorema di Analisi sul limite del prodotto. (ii) Ricordiamo che un sottoinsieme I dell’anello commutativo unitario A è un ideale se: (I, +) è un sottogruppo del gruppo abeliano (A, +) e se per ogni x in I ed ogni a in A il prodotto x · a è sempre in I. Un ideale I è un ideale proprio se è un sottoinsieme proprio di A, cioè non coincide con A. Un ideale proprio è un ideale massimale se non è contenuto strettamente in nessun altro ideale proprio. Nel caso A = C, I = C0 , le verifiche da fare sono: che la somma di due successioni convergenti a zero è una successione convergente a zero (si prova come nel caso delle successioni dell’Analisi matematica) e che il prodotto di una successione convergente a zero per una di Cauchy è una successione convergente a zero (si prova come si prova in Analisi che il prodotto di una successione convergente a zero per una limitata è convergente a zero). Quindi C0 è un ideale, evidentemente proprio (non tutte le successioni di Cauchy convergono a zero). La massimalità è tricky. Sia J un ideale (non necessariamente proprio) di A = C che contiene l’ideale I = C0 delle successioni convergenti a zero. Se J 6= I, in J esiste almeno una successione di Cauchy, diciamola (w)k , che non converge a zero. Pertanto, quando si eccettui al più un numero finito di suoi termini, (w)k è contenuta in un intervallo che non include lo zero di Q; si veda in proposito la dimostrazione del lemma qui sotto; ciò significa che, a partire da un certo indice N in poi, sarà wk 6= 0. Detta allora (w0 )k una successione i cui termini siano tutti nulli ad eccezione dei primi N − 1 (quindi convergente a zero, quindi in J) si noti che a J appartiene anche la successione somma w00 = w + w0 . Ora possiamo scegliere i primi N − 1 termini di (w0 )k in modo che w00 = w + w0 non abbia elementi nulli (e ovviamente non è convergente a zero perchè allora lo sarebbe la differenza w = w00 − w0 ). Allora usiamo il seguente lemma applicandolo a x = w00 Se una successione x di Cauchy non ha termini nulli, la successione di suoi inversi è di Cauchy se e solo se x non è convergente a zero. Ne segue che, essendo J un ideale di A = C, il prodotto di w00 (un elemento di J) per 1/w00 (un elemento di A) appartiene a J. Ma tale prodotto non è altro 6 CAPITOLO 1. LA COSTRUZIONE DI MÉRAY–CANTOR che l’unità di A; e pertanto J, come ogni ideale in cui sia presente l’unità di A, coincide con A e quindi non ci sono ideali propri che contengono l’ideale I = C0 delle successioni convergenti a zero. Dimostriamo il lemma. Supponiamo 1/x di Cauchy. Se per assurdo x fosse una successione di razionali che converge a zero, la 1/x sarebbe illimitata e quindi non potrebbe essere di Cauchy. Supponiamo che x sia una successione di Cauchy che non converge a zero. Ossia (∃¯ ∈ Q, ¯ > 0) (∀n ∈ N) (∃k ≥ n) (|xk | > ¯) Per la definizione di Cauchy con ¯/2: (∃N ∈ N) (∀h, k ≥ N ) (|xh − xk | ≤ ¯/2) Quindi esiste k ≥ N per cui |xk | > ¯; per un qualunque indice h ≥ N ho |xh | = |(xh − xk ) + xk | ≥ |xk | − |xh − xk | > ¯ − ¯/2 = ¯/2. Valutiamo ora per h, k ≥ N 1 − 1 = xk − xh ≤ 4 · |xh − xk | xk xh xh xk ¯2 dal che segue subito che 1/x è di Cauchy. Osservazione 1.2.6 Nella costruzione di Cantor il problema algebrico più grosso è evidentemente l’invertibilità (rispetto alla moltiplicazione). Infatti, per definire 1/x, non basta eliminare eventuali componenti nulle nella successione x = (x0 , x1 , x2 , . . .) (di Cauchy, di razionali). A parte che non si possono eliminare brutalmente tali componenti, si pensi alla successione di Cauchy x = (1, 12 , 13 , 14 , 51 , . . . 1 , k . . .) la cui inversa non è certo di Cauchy. . . (si pensi al lemma precedente). 1.2.2 Immersione dei razionali Per ogni numero razionale r ∈ Q possiamo costruire una successione costante (r) con ogni termine uguale ad r, e quindi definire un numero reale φ(r) = (r) + C0 Viene cosı̀ definita una applicazione φ : Q → R iniettiva (perchè la differenza r − s fra due successioni costanti diverse non converge a zero); possiamo quindi immergere Q in R identificando Q con il sottoinsieme φ(Q) di R. In modo evidente φ è un omomorfismo (di anello), per cui φ : Q → φ(Q) è un isomorfismo (di anello). 1.2. LA COSTRUZIONE DI MÉRAY–CANTOR 1.2.3 7 La struttura d’ordine La struttura d’ordine è piuttosto laboriosa. Siano (si )i≥1 , (vi )i≥1 due successioni di Cauchy di numeri razionali, e siano s = (si ) + C0 , v = (vi ) + C0 i due numeri reali da esse rappresentati. Diciamo s < v ⇐⇒ (∃¯ ∈ Q, ¯ > 0) (∃M ≥ 1) (∀n ≥ M ) sn ≤ vn − ¯ e ovviamente s ≤ v ⇐⇒ (s < v oppure s = v). Si osservi che se si ha s > v come sopra scritto, prendendo altri due rappresentanti si ha (∀ ∈ Q, > 0) (∃N ≥ 1) (∀n ≥ N ) (|s0n − sn | ≤ e |vn0 − vn | ≤ ) Per indici n ≥ max{N, M } abbiamo s0n ≤ sn + (s0n − sn ) ≤ (vn − ¯) + = vn − vn0 + vn0 − ¯ + ≤ vn0 − ¯ + 2 = vn0 − (¯ − 2) per cui basta prendere = ¯/4 per ottenere che la definizione di s < v non dipende dai rappresentanti scelti. Nello stesso spirito si dimostra che Teorema 1.2.7 La relazione ≤ fra numeri reali è un ordine totale, che subordina su Q l’ordine solito. Il valore assoluto |s| di un numero reale è definito al solito modo, |s| = s se s ≥ 0, mentre |s| = −s se s ≤ 0. Conviene osservare che se s = (si ) + C0 con (si )i≥1 una successione di Cauchy di numeri razionali, si ha |s| = (|si |) + C0 . 1.2.4 Il teorema di completezza à la Méray–Cantor Teorema 1.2.8 Ogni successione di Cauchy di numeri reali è convergente. Dimostrazione. Sia (si )i≥1 una successione di Cauchy di numeri reali, e per ogni i scegliamo una successione di Cauchy (sin )n≥1 di numeri razionali che rappresenta si (scelta nella classe di equivalenza modulo C0 che è si ). Sempre per ogni i applichiamo la definizione di successione di Cauchy con = 1/(2i): (∃Ni ≥ 1) (∀n ≥ Ni ) (∀k ≥ 1) |sin − si,n+k | < 1 2i Definiamo la successione di numeri razionali “diagonale” (vi )i≥1 , vi = si,Ni e procediamo in quattro passi 8 CAPITOLO 1. LA COSTRUZIONE DI MÉRAY–CANTOR (a) |φ(vi ) − si | < φ(1/i). Fissiamo ε ∈ Q, ε > 0. Il numero reale |φ(vi ) − si | è rappresentato dalla successione di Cauchy razionale (|si,Ni − sim |)m≥1 . Per m ≥ Ni si ha in Q: 1 1 1 |si,Ni − sim | < = − 2i i 2i 1 ∈ Q ed esiste M = Ni ≥ 1 tale che per ogni m ≥ M Esiste quindi ¯ = 2i |si,Ni − sim | ≤ 1 − ¯ i Per definzione di ordine, la tesi. (b) (vi )i≥1 è una successione di Cauchy di numeri razionali. Si ha |φ(vi ) − φ(vi+k )|R = |φ(vi ) − φ(vi+k ) − si + si − si+k + si+k | ≤ |φ(vi ) − si | + |φ(vi+k ) − si+k | + |si − si+k | 1 1 ) + φ(ε) ≤ φ( ) + φ( i i+k ≤ φ(2 ε) per i da un certo indice in poi, e per ogni k ≥ 1. Quindi per i da un certo indice in poi, e per ogni k ≥ 1: |vi − vi+k |Q ≤ 2 ε (c) Poniamo s = (vi )i≥1 + C0 (un numero reale). (d) (si )i≥1 converge ad s. |si − s| ≤ |si − φ(vi )| + |φ(vi ) − s| → 0 essendo |φ(vi )−si | < φ(1/i) per la (a), ed essendo φ(vi )−s rappresentato da una successione di C0 . Capitolo 2 La costruzione di Dedekind Figura 2.1: Richard Dedekind (1831–1916). 2.1 Introduzione La seconda costruzione dei numeri reali a partire dai razionali che qui presentiamo è dovuta al matematico tedesco Richard Dedekind (1831 - 1916). Egli sviluppò il suo modello nel 1858, ma lo pubblicò solo nel 1872, nel famoso libretto Stetigkeit und Irrationale Zahlen. Pare che Dedekind pubblicò il suo lavoro avendo visto uscire in stampa quello di Cantor. La quarta edizione di Stetigkeit und Irrationale Zahlen (Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1912; 24 pp.) è resa disponibile nel web dalla Radboud University Nijmegen (Olanda) all’url: http://www.ru.nl/w-en-s/gmfw/bronnen/dedekind2.html. 9 10 CAPITOLO 2. LA COSTRUZIONE DI DEDEKIND 2.2 Le sezioni di Dedekind La costruzione di Dedekind privilegia la relazione d’ordine (rispetto alla struttura algebrica), e culmina con il teorema di completezza. Le verifiche algebriche diventano poi una noiosa routine. 2.2.1 Definizione dei numeri reali Definizione 2.2.1 Una sezione ( Schnitt in tedesco, cut in inglese) di Q è una coppia (A, B) di sottoinsiemi di Q tali che (S0) {A, B} è una partizione di Q (ossia A 6= ∅, B 6= ∅, A ∩ B = ∅, A ∪ B = Q); (S1) ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B; (S2) A non ha massimo. Una sezione x = (A, B) di Q è detta numero reale, e l’insieme di tutte le sezioni x = (A, B) di Q (ossia l’insieme di tutti i numeri reali) è indicato con R.1 Se x = (A, B) è una sezione di Q, può essere utile discorsivamente chiamare A la classe inferiore e B la classe superiore della sezione. 2.2.2 Immersione dei razionali Ad ogni numero razionale r ∈ Q posiamo associare una sezione φ(r) = (A, B) di Q, definita da A = {q ∈ Q | q < r}, B = {q ∈ Q | q ≥ r}. Viene cosı̀ definita una applicazione φ : Q → R iniettiva; possiamo quindi immergere Q in R identificando Q con il sottoinsieme φ(Q) di R. Il teorema seguente ci spiega il ruolo della classe superiore. Teorema 2.2.2 Sia (A, B) una sezione di Q. Se B ha minimo r, allora (A, B) = φ(r). Dimostrazione. Per definizione di minimo r ∈ B. Proviamo per prima cosa che A = {q ∈ Q | q < r}. Se q ∈ A allora per la (S1) deve essere q < r ∈ B; viceversa, se q < r, q non può stare in B (essendone r il minimo), quindi deve 1 La definizione classica di sezione di Dedekind x = (A, B) consiste soltanto nelle (S0) ed (S1), cosicché ci sono tre casi: A non ha massimo e B ha minimo r (x razionale identificabile con r); A ha massimo r e B ha non ha minimo (x razionale identificabile con r); A non ha massimo e B non ha minimo (x irrazionale); resta escluso, per la densità di Q in sé, che A abbia massimo e B abbia minimo. Nella presente presentazione in sostanza, introduciamo (S2) per evitare fastidiose duplicazioni nelle dimostrazioni. 2.2. LE SEZIONI DI DEDEKIND 11 stare in A. Proviamo poi che B = {q ∈ Q | q ≥ r}. Se q ∈ B, si ha q ≥ r (per definizione di minimo); viceversa, se q ≥ r, q non può stare in A, per la (S1), e quindi deve stare in B. Le sezioni di Q del tipo φ(r) sono dette sezioni di prima specie. Le altre sono dette sezioni di seconda specie, o numeri irrazionali. Ad esempio: A = {q ∈ Q | q ≤ 0} ∪ {q ∈ Q | q > 0 , q 2 < 2}, B = {p ∈ Q | p > 0 , p2 > 2} definisce una sezione (A, B) di seconda specie. Verifichiamo per prima cosa che (A, B) è una sezione. Per la (S0) basta ricordare che l’equazione x2 = 2 nell’incognita x non ha soluzioni x razionali.2 Per provare la (S1), è ovvio che gli elementi q ≤ 0 di A sono minori degli elementi p ∈ B che sono tutti positivi; scegliamo allora q ∈ A e p ∈ B entrambi positivi: allora q 2 < 2 < p2 . da cui segue q < p (altrimenti, se fosse q ≥ p, avremmo q 2 ≥ pq ≥ p2 ). Per la (S2), per assurdo, sia q = max(A): allora q 2 < 2, e mettiamo che sia q 2 + d = 2 (con d necessariamente razionale positivo). Calcoliamo (q + r)2 = q 2 + 2qr + r2 con 1 > r > 0, r razionale. Se trovassimo r tale che 2qr + r2 < d, avremmo (q + r)2 = q 2 + (2qr + r2 ) < q2 + d = 2 ossia un assurdo, cioè che q + r è un elememto di A. Ora la disequazione 2qr + r2 < d si riscrive r(2q + r) < d: se scegliamo r = d/(4q + 2) abbiamo r = (1/2) d/(2q + 1) < d/(2q + 1) quindi d > r(2q + 1) > r(2q + r). Se ad esempio q = 1.41 = 141/100, si ha q 2 = 1.9881 < 2, quindi q ∈ A. Abbiamo d = 2 − 1.9881 = 0.0119, r= q+r = 119/10000 119 = , 564/100 + 2 76400 141 119 141 × 764 119 107843 + = + = = 1.41155 . . . 100 76400 76400 76400 76400 e si ha 1078432 = 11630112649 < 2×764002 = 2×5836960000 = 11673920000, ossia (q + r)2 < 2. 2.2.3 La struttura d’ordine Nella costruzione di Dedekind la relazione d’ordine è centrale. Introduciamola e vediamone le proprietà. 2 Vedi Capitolo precedente. 12 CAPITOLO 2. LA COSTRUZIONE DI DEDEKIND Definizione 2.2.3 Siano x = (A, B), y = (C, D) due numeri reali. Ponendo x ≤ y ⇐⇒ A ⊆ C si ha una relazione di ordine totale. Dimostrazione. La proprietà riflessiva è ovvia; anche l’antisimmetrica è ovvia, in quanto se A = C si ha (per definizione di partizione) anche B = D; la proprietà transitiva è ovvia. Mostriamo che l’ordine è totale; siano x = (A, B), y = (C, D) due numeri reali qualsiasi. Se A ⊆ C si ha x ≤ y; altrimenti è A 6⊂ C. Proviamo che allora C ⊂ A (e quindi y ≤ x). Esiste q ∈ A, q 6∈ C. Quindi q ∈ D ed ogni elemento p di C è minore di q, e allora tale generico elemento p di C deve stare in A (se p stesse in B, dovrebbe essere q < p, mentre è p > q). Al solito, anche per i reali, x < y equivale a x ≤ y con x 6= y. Osservazione 2.2.4 (Conservazione dell’ordine) Se r, s sono razionali: r < s ⇐⇒ φ(r) < φ(s) Si noti che per definizione delle sezioni di prima specie la disuguaglianza φ(r) < φ(s) significa che {q ∈ Q | q < r} ⊆ {q ∈ Q | q < s} ovvero che (∀q ∈ Q) (q < r =⇒ q < s). Teorema 2.2.5 (Densità dei razionali) Siano x = (A, B) < y = (C, D) due numeri reali. Esiste q ∈ Q tale che x < φ(q) < y Dimostrazione. Si ha A ⊆ C, ma A 6= C. Trovo quindi q 6∈ A, q ∈ C. Considero la prima classe L della sezione φ(q) = (L, R), che è data da L = {r ∈ Q | r < q} Essendo q ∈ B, ogni razionale di A è minore di q, e quindi appartiene ad L, ossia A ⊆ L, con A 6= L (per via di q), ossia ancora x < φ(q). Da q ∈ C segue poi L ⊆ C, ossia φ(q) ≤ y. Otteniamo infine φ(q) < y osservando che L 6= C, per via di q che appartiene a C ma non ad L. 2.2. LE SEZIONI DI DEDEKIND 2.2.4 13 Il teorema fondamentale della costruzione Definizione 2.2.6 Una sezione di R è una coppia (A, B) di sottoinsiemi di R tali che (S0b) {A, B} è una partizione di R; (S1b) ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B; (S2b) A non ha massimo. Come nel caso delle sezioni di Q possiamo dare come primo esempio le sezioni di R di prima specie: per ogni numero reale a, ponendo A = {x ∈ R | x < a}, B = {x ∈ Q | x ≥ a} otteniamo una sezione (A, B) di R di prima specie. Sono gli unici esempi possibili, ossia: Teorema 2.2.7 Ogni sezione (A, B) di R è di prima specie. Dimostrazione. Sia (A, B) una sezione di R, e sia A = φ−1 (A ∩ φ(Q)), B = φ−1 (B ∩ φ(Q)) dove φ : Q → R è l’applicazione che associa ad ogni numero razionale r la sezione φ(r) di prima specie di Q. Proviamo che (A, B) è una sezione di Q. È innanzitutto evidente che A e B non sono vuote: ad esempio, presi x, y ∈ A, per la densità di Q troviamo r ∈ Q tale che x < φ(r) < y; si ha allora r ∈ A; analogamente si ragiona per B. Supponiamo ora r ∈ A ∩ B: ne verrebbe φ(r) ∈ A ∩ B; quindi A ∩ B = ∅. Immaginiamo un numero razionale r non appartenente a A ∪ B: allora φ(r) sarebbe escluso sia da A che da B. Cosı̀ (A, B) verifica la (S0). Siano ora p ∈ A, q ∈ B; se per assurdo fosse p ≥ q, avremmo {r ∈ Q | r < q} ⊆ {r ∈ Q | r < p}, quindi φ(p) ≥ φ(q), assurdo in quanto essendo φ(p) ∈ A, φ(q) ∈ B, si violerebbe la (S1b); cosı̀ (A, B) verifica la (S1). Infine, se fosse p = max(A), l’elemento φ(p), non potendo essere il massimo di A, sarebbe superato da un qualche x ∈ A; fra φ(p) ed x troviamo strettamente compreso un elemento φ(q) ∈ A, e allora q ∈ A supera p (che non può essere ila massimo di A); cosı̀ (A, B) verifica la (S2). Poniamo a = (A, B). Dimostriamo che a è il minimo di B, per cui, ripetendo il ragionamento delle sezioni di Q, la sezione (A, B) di R risulta essere di prima specie. Proviamo che per ogni x ∈ B si ha a ≤ x. Se x è il minimo di B il teorema è provato. Altrimenti esiste y ∈ B minore di x, e strettamente compreso fra questi esiste un φ(r) ∈ B, con r ∈ B. Basta provare che a ≤ φ(r). Le corrispondenti classi inferiori sono la A per a e C = {q ∈ Q | q < r}. Per (S1) 14 CAPITOLO 2. LA COSTRUZIONE DI DEDEKIND ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B ed in particolare di r, cioè A ⊆ C. Proviamo infine che a ∈ B. Per assurdo sia a ∈ A. Poiché per la (S2b) la classe A non ha massimo, esiste y ∈ A maggiore di a, e strettamente compreso fra questi esiste un φ(r) ∈ A, con φ(r) > a, r ∈ A. Ma se r ∈ A, deve essere φ(r) ≤ a. Il teorema è provato. 2.2.5 Il teorema di completezza à la Dedekind Definizione 2.2.8 Sia E ⊆ R: una maggiorazione di E è un numero y ∈ R tale che per ogni x ∈ E sia x ≤ y. E ⊆ R si dice superiormente limitato se esistono maggiorazioni di E. Teorema 2.2.9 (Completezza dei reali) Sia E ⊆ R non vuoto e superiormente limitato: allora l’insieme M delle maggiorazioni di E ha minimo m, che viene detto l’ estremo superiore di E, in simboli m = sup(E). Dimostrazione. Sia ¬M il complementare R \ M di M . Consideriamo la coppia (¬M, M ) e verifichiamo che è una sezione di R (per il teorema fondamentale questo ci basta). Ora M 6= ∅ poiché E è superiormente limitato. Poiché E non è vuoto, esiste x ∈ E, ed esiste u ∈ R, u < x: tale u non è una maggiorazione di E e quindi ¬M non è vuoto.3 Se z non è una maggiorazione di E, esiste x ∈ E tale che z < x. Se y è una maggiorazione di E, si ha y ≥ x > z. Verifichiamo infine che ¬M non ha massimo. Sia y ∈ ¬M , ossia y non è una maggiorazione di E. Esiste quindi x ∈ E tale che y < x. Fra y ed x esiste strettamente compreso un φ(r), ossia y < φ(r) < x. Quindi φ(r) non è una maggiorazione di E che supera y. 2.2.6 La struttura algebrica Per completare la costruzione di Dedekind dei numeri reali, dobbiamo definire le operazioni algebriche di addizione e moltiplicazione, provare che con tali operazioni abbiamo un campo (corpo commutativo), e provare alcune ulteriori risultati che legano ordine e operazioni algebriche (in breve, che abbiamo costruito un campo ordinato). Le verifiche sono estrememente noiose. Per brevità per definire un numero reale x assegneremo solo la classe inferiore A della sezione x = (A, B) (esssendo la superiore B il complementare di A in Q), scrivendo per brevità x := A. 3 La esistenza di u non è ovvia: occorre pensarci un attimo. 2.2. LE SEZIONI DI DEDEKIND 15 Definizione 2.2.10 Dati due numeri reali α e β, definiamo • Lo zero, elemento neutro dell’addizione, indicato con 0, è 0 := {x ∈ Q : x < 0} • L’ uno, elemento neutro della moltiplicazione, indicato con 1, è 1 := {x ∈ Q : x < 1} • La somma di α e β indicata con α + β è α + β := {x + y : x ∈ α, y ∈ β} • L’ opposto di α, indicato con −α, è −α := {x ∈ Q : −x 6∈ α, ma − x non è il minimo di Q \ α} • Il valore assoluto di α, indicato con |α|, è ( α, se α ≥ 0 |α| := −α, se α ≤ 0 • Se α, β > 0, allora il prodotto di α e β, indicato con α · β, è α · β := {z ∈ Q : z ≤ 0 oppure z = xy per qualche x ∈ α, y ∈ β con x, y > 0} In generale, se α = 0 oppure β = 0 0, α · β := |α| · |β| se α > 0, β > 0 oppure α < 0, β < 0 −(|α| · |β|) se α > 0, β < 0 oppure α > 0, β < 0 • L’ inverso di α > 0, indicato con α−1 , è α−1 := {x ∈ Q : x ≤ 0 oppure x > 0 e (1/x) 6∈ α, ma 1/x non è il minimo di Q \ α} Se α < 0, α−1 := −(|α|)−1 Le proprietà di R come campo ordinato seguono da tali definizioni e dalle proprietà di Q come campo ordinato. È importante enfatizzare che in due punti, per mostrare che l’opposto e l’inverso sono ben definiti, dobbiamo usare una proprietà ulteriore di Q, non solo quelle di campo ordinato: tale proprietà ulteriore è la Proprietà di Archimede di Q. Capitolo 3 La completezza 3.1 Il circolo della completezza Entrambe le costruzioni viste nei capitoli precedenti trovano in Q degli “spazi liberi” in corrispondenza degli irrazionali. In particolare, il modello di Méray– Cantor trova spazi liberi “seguendo” talune successioni di Cauchy di razionali; quello di Dedekind trova spazi liberi “fra” le classi di talune sezioni di Q, quelle di seconda specie. Nei due modelli visti si prova alla fine che se invece ci si pone in R, questi “spazi liberi” non si trovano: seguendo una successione di Cauchy di numeri reali si trova sempre un numero, il suo limite; ed ogni sezione reale è di prima specie. Il linguaggio naturale ci fornisce l’attributo: come un parcheggio, R è completo. Tecnicamente, il modello di Méray–Cantor fornisce la “completezza” di R nel senso tecnico della teoria degli spazi metrici: ogni successione di Cauchy è convergente. La costruzione di Dedekind fornisce la “completezza” di R nel senso tecnico della teoria degli insiemi totalmente ordinati: ogni sottoinsieme non–vuoto e superiormente limitato ha estremo superiore. Nel caso di un approccio assiomatico, è indifferente dare l’assioma di completezza in uno o nell’altro modo: infatti vediamo qui sotto un “circolo” di teoremi che mostra che i due sono equivalenti. Nel caso di approccio assiomatico, la prassi didattica più comune prende il Teorema 3.1.1 come assioma di completezza, e segue il circolo fino al Teorema 3.1.5. Sarebbe possibile prendere il Teorema 3.1.5 come assioma di completezza e poi percorrere il circolo fino all’importante Teorema 3.1.4.1 1 Non mi sono note realizzazioni in aula di questo secondo percorso, forse perché si ritiene più intuitiva, o comunque meno complessa da enunciare, la esistenza dell’estremo superiore di quanto lo sia la convergenza delle successioni di Cauchy. 17 18 CAPITOLO 3. LA COMPLETEZZA In entrambi i casi, il Teorema di Heine–Borel (in R i chiusi limitati sono compatti) segue dal Teorema 3.1.2. Teorema 3.1.1 (esistenza dell’estremo superiore) Sia X un sottoinsieme di R non–vuoto e superiormente limitato; allora esiste ξ = sup(X). implica Teorema 3.1.2 (intervalli incapsulati) Sia (I Tn )n∈N una successione di intervalli chiusi decrescenti per inclusione; allora n∈N In 6= ∅. T (posto In = [an , bn ], si ha ξ = sup{an | n ∈ N} ∈ n∈N In ) implica Teorema 3.1.3 (Bolzano–Weierstrass) Sia X un sottoinsieme di R infinito e limitato; allora X ha almeno un punto di accumulazione. (si procede per bisezione, scegliendo al passo n l’intervallo In = [an , bn ] che contiene infiniti punti di X) implica Teorema 3.1.4 (compattezza per successioni) Sia (xn )n∈N una successione limitata di numeri reali; allora (xn )n∈N ha una (almeno) una sottosuccessione convergente. (se {xn }n∈N èd infinito e a un suo punto di accumulazione, estraggo xnk dall’intorno (a − 1/k, a + 1/k), ed ho xnk → a) implica Teorema 3.1.5 (completezza metrica di R) Sia (xn )n∈N una successione di Cauchy di numeri reali; allora (xn )n∈N è una successione convergente. ((xn )n∈N è limitata ed ha un’estratta convergente, essendo di Cauchy converge, ed allo stesso limite) implica Teorema 3.1.6 (esistenza dell’estremo superiore) Sia X un sottoinsieme di R non–vuoto e superiormente limitato; allora esiste ξ = sup(X). (parto da un intervallo (α0 , β0 ) con α0 < x ∈ X e β0 una maggiorazione di X; si procede per bisezione, scegliendo al passo n i’intervallo (αn , βn ) con αn < x ∈ X e βn una maggiorazione di X; (αn ) e (βn ) sono di Cauchy ed hanno lo stesso limite ξ, ed è ξ = sup(X)) Capitolo 4 Teorema di Hilbert Un risultato dovuto a Hilbert afferma che tutti i modelli dei numeri reali sono in un certo senso equivalenti; questo risutato, di facile dimostrazione, è la base per la possibilità di introdurre assiomaticamente i numeri reali nell’insegnamento secondario o universitario (resta ovviamente aperto in tal caso il problema dell’esistenza di un modello). 4.1 Campi ordinati Definizione 4.1.1 Un campo ordinato è un campo K munito di una relazione d’ordine totale ≤ , compatibile con le operazioni di somma e prodotto nel senso seguente: (a) ∀a, b, c ∈ K, a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c; (b) ∀a, b, c ∈ K, c ≥ 0, a ≤ b ⇒ c · a ≤ c · b. Il campo Q dei numeri razionali è un campo ordinato. Dalla (b) segue che i quadrati sono positivi: ∀a = 0, b = c ∈ K, 0 ≤ b ⇒ 0 ≤ b · b. In particolare 1 > 0, e per la (a) 1 + 1 > 1, ed in generale per ogni n ∈ N, n > 0 si ha n · 1 > 0. Qui n · 1 indica la somma 1 + 1 + . . . + 1 con n addendi. Osservazione 4.1.2 Si verifica facilmente che esiste un’unica relazione d’ordine totale su Q che lo renda un campo ordinato. L’esempio seguente mostra che esistono moltissimi campi ordinati (in effetti, infiniti). Esempio di campo non–archimedeo. Se K è un campo ordinato, si consideri l’anello dei polinomi ( n ) X K[t] = ak tk | n ∈ N, a1 , . . . , an ∈ K k=0 19 20 CAPITOLO 4. TEOREMA DI HILBERT e il corrispondente campo delle frazioni F = {p/q | p, q ∈ K[t], q 6= 0} Si dimostra che F è un campo ordinato (si ponga t ≥ a per ogni a ∈ K). Definizione 4.1.3 Diciamo che il campo K ha caratteristica zero se per ogni n ∈ N, n > 0, si ha n · 1 6= 0. Abbiamo immediatamente che: Proposizione 4.1.4 Ogni campo ordinato ha caratteristica zero. Il campo Q dei numeri razionali ha quindi caratteristica zero. In effetti, Q è il “più piccolo” campo con caratteristica zero. Questo è il senso della seguente: Proposizione 4.1.5 Sia K un campo di caratteristica zero. Allora esiste un unico omomorfismo di campi Φ : Q → K, e tale omomorfismo risulta iniettivo. In altre parole, ogni campo con caratteristica zero contiene un unico sottocampo isomorfo a Q. In particolare, questo vale per i campi ordinati. Nel seguito, dato un campo ordinato K identificheremo il suo sottocampo isomorfo a Q con Q stesso. La definizione di Φ è ovvia: Φ: 4.1.1 p·1 p ∈ Q 7→ ∈K q q·1 Campi archimedei Definizione 4.1.6 Un campo ordinato K si dice archimedeo se per ogni a, b ∈ K, a > 0, b > 0, esiste n ∈ N tale che n · a > b. Il campo Q dei numeri razionali è archimedeo. Il campo F delle frazioni su K[t] non è archimedeo. Proposizione 4.1.7 Sia K un campo ordinato archimedeo. Ogni intervallo aperto ]a, b[ con a, b ∈ K, a < b, contiene almeno un numero razionale. Un sottoinsieme di un insieme ordinato che ha intersezione non vuota con ogni intervallo aperto si dice denso. Quindi la proposizione precedente afferma che Q è denso in ogni campo archimedeo. Iterando questa proposizione, si verifica facilmente che ogni intervallo aperto di un campo archimedeo contiene infiniti numeri razionali. 4.1. CAMPI ORDINATI 21 Dimostrazione. Supponiamo inizialmente b > a > 0. Dato che b − a > 0 la proprietà di Archimede implica che esiste n ∈ N, n > 0 tale che n · (b − a) > 1, ossia b − a > 1/n. L’insieme k A = k ∈ N | k > 0, >a n è non vuoto: questo segue dalla proprietà di Archimede applicata ai numeri positivi 1/n e a. Sia m = min A (ogni sottoinsieme non vuoto di N ha minimo). Dato che m ∈ A, m/n > a. Dato che m è il minimo di A, m−1 non appartiene ad A. Quindi (m − 1)/n ≤ a, da cui, usando anche il fatto che 1/n < b − a, m−1 1 1 m = + ≤ a + < a + (b − a) = b n n n n Quindi m/n ∈]a, b[, come richiesto. Possiamo ricondurre il caso di un intervallo qualsiasi ]a, b[ al caso a > 0 traslando l’intervallo di una traslazione intera: per la proprietà di Archimede possiamo trovare un intero n tale che a + n > 0, e si considera l’intervallo ]a + n, b + n[. Osservazione 4.1.8 E’ anche facile verificare che se K è archimedeo, a ∈ K e per ogni ∈ Q > 0, risulta | a | ≤ , allora a = 0. Definizione 4.1.9 Un campo ordinato K si dice completo se per ogni sottoinsieme A ⊆ K non vuoto e limitato superiormente esiste l’estremo superiore di A. Come conseguenza, per ogni sottoinsieme A ⊆ K non vuoto e limitato inferiormente esiste l’estremo inferiore di A: infatti −A = {a ∈ K | − a ∈ A} è limitato superiormente e si verifica facilmente che inf A = − sup(−A) . Proposizione 4.1.10 Ogni campo ordinato completo è archimedeo. Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esistano a, b ∈ K, a > 0, b > 0, tali che per ogni n ∈ N, n > 0 vale n · a ≤ b. Allora l’insieme A = {n · a | n ∈ N, n > 0} è limitato superiormente (b è un maggiorante). Sia s = sup A. Dato che s − a < s = sup A, esiste un n ∈ N, n > 0 tale che n · a > s − a, ossia (n+1)·a > s. Ma (n+1)·a è ancora un elemento di A, e l’ultima disuguaglinza contraddice il fatto che s sia un maggiorante di A. 22 4.2 CAPITOLO 4. TEOREMA DI HILBERT Definizione assiomatica di R Definizione 4.2.1 Definiamo assiomaticamente il campo R dei numeri reali come un campo ordinato completo. Il seguente risultato, noto come Teorema di Hilbert, mostra che queste proprietà caratterizzano R in modo univoco. Teorema 4.2.2 (Teorema di Hilbert) Siano K1 e K2 campi ordinati completi. Allora esiste un isomorfismo di campi Φ : K1 → K2 strettamente crescente. Premettiamo alla dimostrazione di questo teorema il seguente: Lemma 4.2.3 Sia K una campo archimedeo e sia Φ : K → K una funzione crescente la cui restrizione a Q sia l’identità (per ogni q ∈ Q, Φ(q) = q). Allora Φ è l’identità su K. Dimostrazione. Sia x ∈ K. Per la densità dei razionali nei campi archimedei, dato ∈ K, > 0, possiamo trovare due razionali p, q tali che x−<p<x<q <x+ Dalle proprietà di Φ deduciamo che p = Φ(p) ≤ Φ(x) ≤ Φ(q) = q e sfruttando la prima disuguaglianza troviamo x − < Φ(x) < x + ossia | Φ(x) − x | < . Dato che questa disuguaglinza vale per ogni > 0, concludiamo che Φ(x) = x. Dimostriamo ora il Teorema di Hilbert. Vogliamo costruire l’isomorfismo Φ : K1 → K2 . Dato x ∈ K1 , consideriamo il sottoinsieme di Q, A(x) = {q ∈ Q | q ≤ x} dove ≤ è la relazione d’ordine in K1 . L’insieme A(x) è limitato superiormente in K1 (x è un maggiorante). Per la proprietà di Archimede esistono razionali maggiori di x, dunque A(x) è limitato superiormente anche in Q. Vediamo adesso A(x) come sottoinsieme di K2 . Essendo A(x) limitato superiormente in Q, è a maggior ragione limitato superiormente in K2 . Per la completezza di K2 possiamo porre Φ(x) = sup A(x) ∈ K2 , dove sup indica l’estremo superiore 4.2. DEFINIZIONE ASSIOMATICA DI R 23 in K2 . Se x ∈ Q, l’insieme A(x) ha massimo x, dunque Φ(x) = x. Inoltre, se x, y ∈ K1 , x < y, si ha A(x) ⊆ A(y), da cui Φ(x) = sup A(x) ≤ sup A(y) = Φ(y) e quindi la funzione Φ è crescente. Scambiando i ruoli di K1 e K2 troviamo una funzione Ψ : K2 → K1 che vale l’identità su Q e che risulta crescente. Allora le funzioni Ψ ◦ Φ : K1 → K1 , Φ ◦ Ψ : K2 → K2 sono entrambe crescenti (composizioni di funzioni crescenti) e valgono l’identità su Q. Per il Lemma, Ψ ◦ Φ coincide con l’identità su K1 e Φ ◦ Ψ coincide con l’identità su K2 . Quindi Φ è biiettiva e Ψ è la sua inversa. In particolare, Φ è strettamente crescente (una funzione crescente ed iniettiva è strettamente crescente). Rimane da verificare che Φ è un isomorfismo di campi. Questo seguirà dal fatto che Φ è l’identità su Q ed è crescente, sfruttando la densità dei razionali. Iniziamo con il dimostrare che Φ conserva la somma. Siano x, y ∈ K1 . Dato ∈ Q, > 0, esistono p1 , p2 , q1 , q1 ∈ Q tali che x − < p1 < x < p2 < x + , y − < q1 < y < q2 < y + . Quindi p 1 + q1 < x + y < p 2 + q2 , p2 − < x < p1 + , q2 − < y < q1 + . Dato che Φ è crescente e vale l’identità su Q, troviamo le disuguaglianze p1 + q1 ≤ Φ(x + y) ≤ p2 + q2 , p2 − ≤ Φ(x) ≤ p1 + , q2 − ≤ Φ(y) ≤ q1 + , dove abbiamo sfruttato il fatto che anche è un razionale. Combinate assieme queste disuguaglianze implicano Φ(x) + Φ(y) − 2 ≤ Φ(x + y) ≤ Φ(x) + Φ(y) + 2 e dato che ciò vale per ogni razionale positivo concludiamo che Φ(x + y) = Φ(x) + Φ(y) (vedi Osservazione precedente). Verifichiamo ora che Φ(xy) = Φ(x)Φ(y). Possiamo ridurci facilmente al caso x > 0, y > 0. Siano , p1 , p2 , q1 , q2 come sopra, con cosı̀ piccolo che x − > 0 e y − > 0. Allora p1 q1 < xy < p2 q2 , p2 − < x < p1 + , q2 − < y < q1 + , 24 CAPITOLO 4. TEOREMA DI HILBERT e per le proprietà di Φ, p1 q1 ≤ Φ(xy) ≤ p2 q2 , p2 − ≤ Φ(x) ≤ p1 + , q2 − ≤ Φ(y) ≤ q1 + . Dato che p2 − > x− > 0 e q2 − > y − > 0, dalle ultime due disuguaglianze segue che (p2 − )(q2 − ) ≤ Φ(x)Φ(y) ≤ (p1 + )(q1 + ). Si ottiene quindi Φ(xy) − Φ(x)Φ(y) ≤ p2 q2 − (p2 − )(q2 − ) = (p2 + q2 − ) < (x + y + ), Φ(xy) − Φ(x)Φ(y) ≥ p1 q1 − (p1 + )(q1 + ) = −(p1 + q1 − ) < −(x + y + ), da cui | Φ(xy) − Φ(x)Φ(y) | < | x + y | + 2 . Per l’arbitrarietà del razionale positivo si deduce Φ(xy) = Φ(x)Φ(y). Osservazione 4.2.4 L’argomento sopra mostra anche che l’isomorfismo strettamente crescente Φ : K1 → K2 è unico. L’argomento sopra mostra anche che ogni campo archimedeo è un sottocampo di R: se K è un campo archimedeo, esiste (unico) un omomorfismo iniettivo strettamente crescente Φ : K → R. Capitolo 5 Attività seminariale proposta 5.1 Aspetti storici ed informatici L’archivio MacTutor History of Mathematics della Università di St. Andrews (Scozia) ha pubblicato recentemente (2005–2006) nella directory http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/ i tre documenti seguenti: 1. The real numbers: Pythagoras to Stevin Real_numbers_1.html 2. The real numbers: Stevin to Hilbert Real_numbers_2.html 3. The real numbers: Attempts to understand Real_numbers_3.html 5.2 Aspetti psicologici L’evento recente più importante nella “comprensione” dei numeri reali, grazie al rapido ed importante sviluppo delle discipline cognitive, è probabilmente la pubblicazione nel 2000 del libro Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, di George Lakoff e Rafael E. Núñez (493 pp., Basic Books, 2000), tradotto in italiano da O. Robutti, F. Ferrara, e C. Sabena, con il titolo Da dove viene la matematica. Come la mente embodied dà origine alla matematica (596 pp., Bollati Boringhieri, 2005). Questo libro ha provocato un ampiuo dibattito, anche a causa si alcune “sviste” matematiche: vedi http://www.maa.org/reviews/wheremath.html http://www.maa.org/reviews/wheremath_reply.html 25 5.2. ASPETTI PSICOLOGICI 27 riconoscimenti e ringraziamenti Hanno implicitamente collaborato alla stesura di queste note Gino Tironi e Massimo Borelli. Rigrazio anche la dott.ssa Anna Botteghelli, la cui tesi di laurea “La questione dei numeri reali” (Trieste, 1995) mi ha dato l’idea per il programma del corso.