Le costruzioni classiche dei numeri reali

Università degli Studi di Trieste
Facoltà di Scienze MFN
Corso di Laurea in Matematica
Sergio Invernizzi
[email protected]
Le costruzioni classiche dei numeri reali
Appunti per esclusivo uso interno del corso di laurea
Riproduzione e diffusione vietata (L. 248/2000)
c S. Invernizzi, 2006.
vi
Mi sembra importante che gli insegnanti siano consapevoli
dell’esistenza di una pluralità di approcci diversi [alla costruzione dei numeri reali] e dei loro mutui legami.
(Vinicio Villani, Cominciamo da Zero, 2003)
Indice
1 La costruzione di Méray–Cantor
1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . .
1.2 La costruzione di Méray–Cantor . . .
1.2.1 Definizione dei numeri reali .
1.2.2 Immersione dei razionali . . .
1.2.3 La struttura d’ordine . . . . .
1.2.4 Il teorema di completezza à la
. . . . . . . . .
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Méray–Cantor
2 La costruzione di Dedekind
2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Le sezioni di Dedekind . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Definizione dei numeri reali . . . . . . . .
2.2.2 Immersione dei razionali . . . . . . . . . .
2.2.3 La struttura d’ordine . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Il teorema fondamentale della costruzione
2.2.5 Il teorema di completezza à la Dedekind .
2.2.6 La struttura algebrica . . . . . . . . . . .
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14
3 La completezza
17
3.1 Il circolo della completezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Teorema di Hilbert
19
4.1 Campi ordinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1.1 Campi archimedei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Definizione assiomatica di R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Attività seminariale proposta
25
5.1 Aspetti storici ed informatici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2 Aspetti psicologici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
vii
Capitolo 1
La costruzione di Méray–Cantor
Figura 1.1: Hugues Méray (1835–1911) e Georg Cantor (1845–1918).
1.1
Introduzione
Nel 1869 Hugues (Charles) Méray pubblica sulla Revue des Sociétés Savantes
una memoria intitolata Remarques sur la nature des quantités définies par la
condition de servir de limites à des variables données contenente una teoria
aritmetica dei numeri reali. Ovviamente, data l’epoca, il lavoro di Méray non
soddisfa gli attuali standard di “rigore” matematico, ma è sufficientemente
preciso da poter essere considerato una delle prime se non la prima costruzione
pubblicata di R. Méray utilizza nella sua costruzione di R certi oggetti detti
varianti, che giocano un ruolo analogo alle successioni di Cauchy di razionali.
Successivamente, nel 1872, Méray ripropone la sua costruzione di R nel trattato
Nouveau précis d’analyse infinitésimale (Paris, F. Savy libraire–éditeur, 1872),
ma tale contributo fondamentale viene in seguito quasi “dimenticato”, forse
1
2
CAPITOLO 1. LA COSTRUZIONE DI MÉRAY–CANTOR
perché il recensore del trattato, Hermann Laurent,1 lo trascura completamente,
ritenendolo eccessivamente pedante per un libro ritenuto di testo.
Fatto è che sempre nello stesso anno, il 1872, Georg Cantor pubblica l’articolo Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen
Reihen, ossia “sull’estensione di un teorema della teoria delle serie trigonometriche” (Math. Annalen 5(1872), 123–132), nel quale si trova a considerare
insiemi infiniti di punti in relazione al problema della convergenza delle serie
trigonometriche; per poter operare rigorosamente premette una teoria aritmetica dei numeri reali in cui ogni numero reale è rappresentato da una successione di Cauchy (che lui chiama successione fondamentale) di numeri razionali.
Come vedremo, due successioni di Cauchy di numeri razionali rappresentano lo stesso numero reale se la differenza delle due successioni tende a zero.
Sostanzialmente la costruzione di Cantor è la stessa costruzione di Méray.2
David R. Wilkins ha riscritto in LATEX questo famoso articolo di Cantor, e
lo ha pubblicato nel web all’url:
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Cantor/Ausdehnung/.
Chi legge e capisce il tedesco può darci utilmente un’occhiata.
La costruzione di Méray–Cantor privilegia la struttura algebrica rispetto
a quella d’ordine, ed è più vicino ad una visione di “approssimazione” dei
reali coi razionali di quanto lo sia la costruzione di Dedekind che vedremo
nel prossimo capitolo. Presenteremo qui una rivisitazione della costruzione di
Méray–Cantor che utilizza qualche conoscenza di base dei corsi universitari di
Algebra, in particolare sugli anelli quoziente.3
1
Un altro Laurent, non quello delle serie.
Questo caso storico ha una sua morale di un certo interesse per la didattica: molti importanti risultati di matematica sono stati storicamente conseguiti – e quindi possono essere
insegnati ed appresi – anche senza “fondazioni solide”. Il progetto bourbakista (1939), talvolta assunto come paradigma anche per la didattica, intese “donner des fondations solides à
tout l’ensemble de mathématiques modernes”, ma non si prefisse finalità né didattiche né applicative. Infatti il trattato si rivolge esplicitamente “à des lecteurs possédant au moins une
bonne connessaince des matières enseignées dans la premiére ou les deux premières années de
l’Université” ed esplicitamente riconosce che “L’utilité de certaines considérations n’apparaı̂tra donc au lecteur que s’il posséde déjà des connaissances assez étendues” (N. Bourbaki,
Mode d’emploi de ce trait, Éléments de mathématiques, Hermann, Paris, 1939. Cf. pure N. Bourbaki, The Architecture of Mathematics, in American Mathematical Monthly 57,
1950, pp. 221-232). Mi sembra quindi utile e corretto collocare queste lezioni sulla costruzione di R in un punto del curriculum universitario al secondo o al terzo anno, quando appunto
gli studenti possiedono una “sufficientemente buona” conoscenza dell’analisi, ottenuta anche
con una introduzione assiomatica dei reali, come vedremo nel Capitolo 3.
3
Tale background, per gli studenti della laurea in matematica di Trieste, può essere quello
del corso di Algebra 2 – Anelli e campi.
2
1.2. LA COSTRUZIONE DI MÉRAY–CANTOR
1.2
3
La costruzione di Méray–Cantor
Sia QN l’insieme delle successioni p = (p0 , p1 , p2 , . . .) = (pk )k∈N di numeri razionali. In QN si definiscono l’addizione e la moltiplicazione (per componenti):
dato p = (p0 , p1 , p2 , . . .) = (pk )k∈N e dato q = (q0 , q1 , q2 , . . .) = (qk )k∈N in QN
poniamo
p + q = (p0 + q0 , p1 + q1 , p2 + q2 , . . .) = (pk + qk )k∈N
p · q = (p0 · q0 , p1 · q1 , p2 · q2 , . . .) = (pk qk )k∈N
Per ogni r ∈ Q indichiamo con (r) la successione costante p = (pk )k∈N
(dove per ogni k ∈ N si ha pk = r). È facilissimo verificare che la struttura
algebrica (QN , +, ·) è un anello commutativo unitario, con elemento neutro per
la addizione la successione (0), ed elemento neutro per la moltiplicazione la
successione (1).
Definizione 1.2.1 Una successione p ∈ QN si dice di Cauchy se
(∀ ∈ Q, > 0) (∃N ∈ N)
(∀h, k ≥ N )
(|ph − pk | ≤ )
Si noti che tratta dell’ordinaria definizione di successione di Cauchy dell’Analisi
matematica riportata all’universo dei soli numeri razionali. Indichiamo con C
il sottoinsieme di QN costituito dalle succcessioni di Cauchy. Conviene subito
osservare che
Osservazione 1.2.2 Una successione di Cauchy (pk )k∈N è limitata, ossia esiste L tale che (∀k) |pk | ≤ L.
Infatti, usando la definizione di successione di Cauchy, tutti gli elementi dall’indice N in poi distano da pN al massimo di = 1. Gli altri sono in numero
finito e quindi posso prendere L = max{|p0 |, |p1 |, . . . , |pN −1 |, |pN | + 1}
Definizione 1.2.3 Una successione p ∈ QN si dice convergente a zero se
(∀ ∈ Q, > 0) (∃n ∈ N) (∀k ≥ n) (|pk | ≤ )
Chi studia noti che tratta dell’ordinaria definizione di successione convergente
a 0 dell’Analisi matematica riportata all’universo dei soli numeri razionali.
Indichiamo con C0 il sottoinsieme di QN costituito dalle succcessioni convergenti
a zero.
Osservazione 1.2.4 Una successione di Cauchy p ∈ QN si dice convergente,
con limite r ∈ Q, se la successione p−(r) converge a zero, essendo (r) la successione costante uguale a r. Vedremo in seguito che l’insieme delle successioni di
Cauchy convergenti con lo stesso limite r ∈ Q “é” il numero r “pensato come
4
CAPITOLO 1. LA COSTRUZIONE DI MÉRAY–CANTOR
reale”. Vi sono naturalmente successione di Cauchy p ∈ QN non convergenti
ad alcun limite r ∈ Q, ad esempio quella definita dallo schema iterativo
p0 = 2
pn+1 = pn /2 + 1/pn
La successione è quella delle iterate della funzione f (p) = p/2 + 1/p, definita
ad esempio da E = {p ∈ Q|1 ≤ p ≤ 2} in sé (se abbiamo 1 ≤ p ≤ 2, si ha
p/2 + 1/p ≤ 2/2 + 1/1 = 2, p/2 + 1/p ≥ 1/2 + 1/2 = 1. Verifichiamo che
f : E → E è una contrazione:
|f (p) − f (q)| = |(p − q)/2 + (q − p)/(pq)| = |1/(pq) − 1/2| · |p − q| ≤ (1/2)|p − q|
essendo che 1/4 ≤ 1/(pq) ≤ 1 e quindi 1/4 ≤ |1/(pq) − 1/2| ≤ 1/2. Quindi
(cf. la dimostrazione del Principio delle Contrazioni, o Teorema di Banach–
Caccioppoli) la successione in questione è di Cauchy. Peraltro pn non converge
(in Q) perché, se lo facesse ed avesse limite p∗ ∈ Q avremmo (da pn+1 =
pn /2 + 1/pn ) che p∗ = p∗ /2 + 1/p∗ , quindi p∗ 2 = 2, impossibile per un numero
razionale.4
1.2.1
Definizione dei numeri reali
Il teorema seguente genera R come anello quoziente.
Teorema 1.2.5 Si ha:
(i) C è un sottoanello di QN ;
(ii) C0 è un ideale massimale di C, conseguentemente:
il quoziente R = C/C0 è un corpo commutativo, detto il campo dei numeri reali.
Dimostrazione. (i) basta verificare che la somma ed il prodotto per componenti di successioni di Cauchy sono successioni di Cauchy. Per la somma basta
usare la rappresentazione
|(ph + qh ) − (pk + qk )| = |ph − pk + qh − qh | ≤ |ph − pk | + |qh − qh |
usando il solito argomento del tipo “/2” usato nel teorema di Analisi sul
limite della somma di due successioni (o funzioni). Per il prodotto, usiamo la
4
Si suppone per assurdo che esistano interi positivi m, n primi fra loro tali che (m/n)2 = 2,
ossia m2 = 2n2 . Ora m è pari, avendo quadrato pari, quindi n è dispari. Quindi 2n2 è
divisibile per 2 ma non per 4, mentre m2 è divisibile per 4, assurdo.
1.2. LA COSTRUZIONE DI MÉRAY–CANTOR
5
limitatezza
|(ph · qh ) − (pk · qk )| = |(ph · qh ) − (pk · qk ) ± ph · qk |
= |ph · (qh − qk ) + (ph − pk ) · qk |
= L · |qh − qk | + L · |ph − pk |
ed il solito argomento del tipo “/(2L)” usato nel teorema di Analisi sul limite
del prodotto.
(ii) Ricordiamo che un sottoinsieme I dell’anello commutativo unitario A
è un ideale se: (I, +) è un sottogruppo del gruppo abeliano (A, +) e se per
ogni x in I ed ogni a in A il prodotto x · a è sempre in I. Un ideale I è un
ideale proprio se è un sottoinsieme proprio di A, cioè non coincide con A. Un
ideale proprio è un ideale massimale se non è contenuto strettamente in nessun
altro ideale proprio. Nel caso A = C, I = C0 , le verifiche da fare sono: che
la somma di due successioni convergenti a zero è una successione convergente
a zero (si prova come nel caso delle successioni dell’Analisi matematica) e
che il prodotto di una successione convergente a zero per una di Cauchy è
una successione convergente a zero (si prova come si prova in Analisi che il
prodotto di una successione convergente a zero per una limitata è convergente
a zero). Quindi C0 è un ideale, evidentemente proprio (non tutte le successioni
di Cauchy convergono a zero).
La massimalità è tricky. Sia J un ideale (non necessariamente proprio) di
A = C che contiene l’ideale I = C0 delle successioni convergenti a zero. Se
J 6= I, in J esiste almeno una successione di Cauchy, diciamola (w)k , che non
converge a zero. Pertanto, quando si eccettui al più un numero finito di suoi
termini, (w)k è contenuta in un intervallo che non include lo zero di Q; si veda
in proposito la dimostrazione del lemma qui sotto; ciò significa che, a partire
da un certo indice N in poi, sarà wk 6= 0. Detta allora (w0 )k una successione i
cui termini siano tutti nulli ad eccezione dei primi N − 1 (quindi convergente
a zero, quindi in J) si noti che a J appartiene anche la successione somma
w00 = w + w0 . Ora possiamo scegliere i primi N − 1 termini di (w0 )k in modo
che w00 = w + w0 non abbia elementi nulli (e ovviamente non è convergente
a zero perchè allora lo sarebbe la differenza w = w00 − w0 ). Allora usiamo il
seguente lemma applicandolo a x = w00
Se una successione x di Cauchy non ha termini nulli, la successione
di suoi inversi è di Cauchy se e solo se x non è convergente a zero.
Ne segue che, essendo J un ideale di A = C, il prodotto di w00 (un elemento di
J) per 1/w00 (un elemento di A) appartiene a J. Ma tale prodotto non è altro
6
CAPITOLO 1. LA COSTRUZIONE DI MÉRAY–CANTOR
che l’unità di A; e pertanto J, come ogni ideale in cui sia presente l’unità di
A, coincide con A e quindi non ci sono ideali propri che contengono l’ideale
I = C0 delle successioni convergenti a zero.
Dimostriamo il lemma. Supponiamo 1/x di Cauchy. Se per assurdo x fosse
una successione di razionali che converge a zero, la 1/x sarebbe illimitata e
quindi non potrebbe essere di Cauchy. Supponiamo che x sia una successione
di Cauchy che non converge a zero. Ossia
(∃¯ ∈ Q, ¯ > 0) (∀n ∈ N) (∃k ≥ n) (|xk | > ¯)
Per la definizione di Cauchy con ¯/2:
(∃N ∈ N) (∀h, k ≥ N ) (|xh − xk | ≤ ¯/2)
Quindi esiste k ≥ N per cui |xk | > ¯; per un qualunque indice h ≥ N ho
|xh | = |(xh − xk ) + xk | ≥ |xk | − |xh − xk | > ¯ − ¯/2 = ¯/2. Valutiamo ora per
h, k ≥ N
1
− 1 = xk − xh ≤ 4 · |xh − xk |
xk xh xh xk ¯2
dal che segue subito che 1/x è di Cauchy.
Osservazione 1.2.6 Nella costruzione di Cantor il problema algebrico più
grosso è evidentemente l’invertibilità (rispetto alla moltiplicazione). Infatti,
per definire 1/x, non basta eliminare eventuali componenti nulle nella successione x = (x0 , x1 , x2 , . . .) (di Cauchy, di razionali). A parte che non si possono
eliminare brutalmente tali componenti, si pensi alla successione di Cauchy
x = (1, 12 , 13 , 14 , 51 , . . .
1
,
k
. . .)
la cui inversa non è certo di Cauchy. . . (si pensi al lemma precedente).
1.2.2
Immersione dei razionali
Per ogni numero razionale r ∈ Q possiamo costruire una successione costante
(r) con ogni termine uguale ad r, e quindi definire un numero reale
φ(r) = (r) + C0
Viene cosı̀ definita una applicazione φ : Q → R iniettiva (perchè la differenza r − s fra due successioni costanti diverse non converge a zero); possiamo
quindi immergere Q in R identificando Q con il sottoinsieme φ(Q) di R. In
modo evidente φ è un omomorfismo (di anello), per cui φ : Q → φ(Q) è un
isomorfismo (di anello).
1.2. LA COSTRUZIONE DI MÉRAY–CANTOR
1.2.3
7
La struttura d’ordine
La struttura d’ordine è piuttosto laboriosa. Siano (si )i≥1 , (vi )i≥1 due successioni di Cauchy di numeri razionali, e siano s = (si ) + C0 , v = (vi ) + C0 i due
numeri reali da esse rappresentati. Diciamo
s < v ⇐⇒ (∃¯ ∈ Q, ¯ > 0) (∃M ≥ 1) (∀n ≥ M ) sn ≤ vn − ¯
e ovviamente s ≤ v ⇐⇒ (s < v oppure s = v). Si osservi che se si ha s > v
come sopra scritto, prendendo altri due rappresentanti si ha
(∀ ∈ Q, > 0) (∃N ≥ 1) (∀n ≥ N ) (|s0n − sn | ≤ e |vn0 − vn | ≤ )
Per indici n ≥ max{N, M } abbiamo
s0n ≤ sn + (s0n − sn ) ≤ (vn − ¯) + = vn − vn0 + vn0 − ¯ + ≤ vn0 − ¯ + 2 = vn0 − (¯ − 2)
per cui basta prendere = ¯/4 per ottenere che la definizione di s < v non
dipende dai rappresentanti scelti. Nello stesso spirito si dimostra che
Teorema 1.2.7 La relazione ≤ fra numeri reali è un ordine totale, che subordina su Q l’ordine solito.
Il valore assoluto |s| di un numero reale è definito al solito modo, |s| = s se
s ≥ 0, mentre |s| = −s se s ≤ 0. Conviene osservare che se s = (si ) + C0 con
(si )i≥1 una successione di Cauchy di numeri razionali, si ha |s| = (|si |) + C0 .
1.2.4
Il teorema di completezza à la Méray–Cantor
Teorema 1.2.8 Ogni successione di Cauchy di numeri reali è convergente.
Dimostrazione. Sia (si )i≥1 una successione di Cauchy di numeri reali, e per
ogni i scegliamo una successione di Cauchy (sin )n≥1 di numeri razionali che
rappresenta si (scelta nella classe di equivalenza modulo C0 che è si ). Sempre
per ogni i applichiamo la definizione di successione di Cauchy con = 1/(2i):
(∃Ni ≥ 1) (∀n ≥ Ni ) (∀k ≥ 1) |sin − si,n+k | <
1
2i
Definiamo la successione di numeri razionali “diagonale” (vi )i≥1 , vi = si,Ni e
procediamo in quattro passi
8
CAPITOLO 1. LA COSTRUZIONE DI MÉRAY–CANTOR
(a) |φ(vi ) − si | < φ(1/i).
Fissiamo ε ∈ Q, ε > 0. Il numero reale |φ(vi ) − si | è rappresentato dalla
successione di Cauchy razionale (|si,Ni − sim |)m≥1 . Per m ≥ Ni si ha in
Q:
1
1
1
|si,Ni − sim | <
= −
2i
i
2i
1
∈ Q ed esiste M = Ni ≥ 1 tale che per ogni m ≥ M
Esiste quindi ¯ =
2i
|si,Ni − sim | ≤
1
− ¯
i
Per definzione di ordine, la tesi.
(b) (vi )i≥1 è una successione di Cauchy di numeri razionali.
Si ha
|φ(vi ) − φ(vi+k )|R = |φ(vi ) − φ(vi+k ) − si + si − si+k + si+k |
≤ |φ(vi ) − si | + |φ(vi+k ) − si+k | + |si − si+k |
1
1
) + φ(ε)
≤ φ( ) + φ(
i
i+k
≤ φ(2 ε)
per i da un certo indice in poi, e per ogni k ≥ 1. Quindi per i da un
certo indice in poi, e per ogni k ≥ 1:
|vi − vi+k |Q ≤ 2 ε
(c) Poniamo s = (vi )i≥1 + C0 (un numero reale).
(d) (si )i≥1 converge ad s.
|si − s| ≤ |si − φ(vi )| + |φ(vi ) − s| → 0
essendo |φ(vi )−si | < φ(1/i) per la (a), ed essendo φ(vi )−s rappresentato
da una successione di C0 .
Capitolo 2
La costruzione di Dedekind
Figura 2.1: Richard Dedekind (1831–1916).
2.1
Introduzione
La seconda costruzione dei numeri reali a partire dai razionali che qui presentiamo è dovuta al matematico tedesco Richard Dedekind (1831 - 1916). Egli
sviluppò il suo modello nel 1858, ma lo pubblicò solo nel 1872, nel famoso
libretto Stetigkeit und Irrationale Zahlen. Pare che Dedekind pubblicò il suo
lavoro avendo visto uscire in stampa quello di Cantor.
La quarta edizione di Stetigkeit und Irrationale Zahlen (Friedr. Vieweg &
Sohn, Braunschweig, 1912; 24 pp.) è resa disponibile nel web dalla Radboud
University Nijmegen (Olanda) all’url:
http://www.ru.nl/w-en-s/gmfw/bronnen/dedekind2.html.
9
10
CAPITOLO 2. LA COSTRUZIONE DI DEDEKIND
2.2
Le sezioni di Dedekind
La costruzione di Dedekind privilegia la relazione d’ordine (rispetto alla struttura algebrica), e culmina con il teorema di completezza. Le verifiche algebriche
diventano poi una noiosa routine.
2.2.1
Definizione dei numeri reali
Definizione 2.2.1 Una sezione ( Schnitt in tedesco, cut in inglese) di Q è
una coppia (A, B) di sottoinsiemi di Q tali che
(S0) {A, B} è una partizione di Q
(ossia A 6= ∅, B 6= ∅, A ∩ B = ∅, A ∪ B = Q);
(S1) ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B;
(S2) A non ha massimo.
Una sezione x = (A, B) di Q è detta numero reale, e l’insieme di tutte le sezioni
x = (A, B) di Q (ossia l’insieme di tutti i numeri reali) è indicato con R.1
Se x = (A, B) è una sezione di Q, può essere utile discorsivamente chiamare
A la classe inferiore e B la classe superiore della sezione.
2.2.2
Immersione dei razionali
Ad ogni numero razionale r ∈ Q posiamo associare una sezione φ(r) = (A, B)
di Q, definita da A = {q ∈ Q | q < r}, B = {q ∈ Q | q ≥ r}. Viene cosı̀ definita
una applicazione φ : Q → R iniettiva; possiamo quindi immergere Q in R
identificando Q con il sottoinsieme φ(Q) di R. Il teorema seguente ci spiega il
ruolo della classe superiore.
Teorema 2.2.2 Sia (A, B) una sezione di Q. Se B ha minimo r, allora
(A, B) = φ(r).
Dimostrazione. Per definizione di minimo r ∈ B. Proviamo per prima cosa
che A = {q ∈ Q | q < r}. Se q ∈ A allora per la (S1) deve essere q < r ∈ B;
viceversa, se q < r, q non può stare in B (essendone r il minimo), quindi deve
1
La definizione classica di sezione di Dedekind x = (A, B) consiste soltanto nelle (S0) ed
(S1), cosicché ci sono tre casi: A non ha massimo e B ha minimo r (x razionale identificabile
con r); A ha massimo r e B ha non ha minimo (x razionale identificabile con r); A non ha
massimo e B non ha minimo (x irrazionale); resta escluso, per la densità di Q in sé, che A
abbia massimo e B abbia minimo. Nella presente presentazione in sostanza, introduciamo
(S2) per evitare fastidiose duplicazioni nelle dimostrazioni.
2.2. LE SEZIONI DI DEDEKIND
11
stare in A. Proviamo poi che B = {q ∈ Q | q ≥ r}. Se q ∈ B, si ha q ≥ r (per
definizione di minimo); viceversa, se q ≥ r, q non può stare in A, per la (S1),
e quindi deve stare in B.
Le sezioni di Q del tipo φ(r) sono dette sezioni di prima specie. Le altre
sono dette sezioni di seconda specie, o numeri irrazionali. Ad esempio:
A = {q ∈ Q | q ≤ 0} ∪ {q ∈ Q | q > 0 , q 2 < 2},
B = {p ∈ Q | p > 0 , p2 > 2}
definisce una sezione (A, B) di seconda specie. Verifichiamo per prima cosa
che (A, B) è una sezione. Per la (S0) basta ricordare che l’equazione x2 = 2
nell’incognita x non ha soluzioni x razionali.2 Per provare la (S1), è ovvio che
gli elementi q ≤ 0 di A sono minori degli elementi p ∈ B che sono tutti positivi;
scegliamo allora q ∈ A e p ∈ B entrambi positivi: allora q 2 < 2 < p2 . da cui
segue q < p (altrimenti, se fosse q ≥ p, avremmo q 2 ≥ pq ≥ p2 ). Per la (S2),
per assurdo, sia q = max(A): allora q 2 < 2, e mettiamo che sia q 2 + d = 2 (con
d necessariamente razionale positivo). Calcoliamo (q + r)2 = q 2 + 2qr + r2 con
1 > r > 0, r razionale. Se trovassimo r tale che 2qr + r2 < d, avremmo
(q + r)2 = q 2 + (2qr + r2 )
< q2 + d = 2
ossia un assurdo, cioè che q + r è un elememto di A. Ora la disequazione
2qr + r2 < d si riscrive r(2q + r) < d: se scegliamo r = d/(4q + 2) abbiamo
r = (1/2) d/(2q + 1) < d/(2q + 1) quindi d > r(2q + 1) > r(2q + r).
Se ad esempio q = 1.41 = 141/100, si ha q 2 = 1.9881 < 2, quindi q ∈ A.
Abbiamo d = 2 − 1.9881 = 0.0119,
r=
q+r =
119/10000
119
=
,
564/100 + 2
76400
141
119
141 × 764
119
107843
+
=
+
=
= 1.41155 . . .
100 76400
76400
76400
76400
e si ha 1078432 = 11630112649 < 2×764002 = 2×5836960000 = 11673920000,
ossia (q + r)2 < 2.
2.2.3
La struttura d’ordine
Nella costruzione di Dedekind la relazione d’ordine è centrale. Introduciamola
e vediamone le proprietà.
2
Vedi Capitolo precedente.
12
CAPITOLO 2. LA COSTRUZIONE DI DEDEKIND
Definizione 2.2.3 Siano x = (A, B), y = (C, D) due numeri reali. Ponendo
x ≤ y ⇐⇒ A ⊆ C
si ha una relazione di ordine totale.
Dimostrazione. La proprietà riflessiva è ovvia; anche l’antisimmetrica è ovvia, in quanto se A = C si ha (per definizione di partizione) anche B = D; la
proprietà transitiva è ovvia. Mostriamo che l’ordine è totale; siano x = (A, B),
y = (C, D) due numeri reali qualsiasi. Se A ⊆ C si ha x ≤ y; altrimenti è
A 6⊂ C. Proviamo che allora C ⊂ A (e quindi y ≤ x). Esiste q ∈ A, q 6∈ C.
Quindi q ∈ D ed ogni elemento p di C è minore di q, e allora tale generico
elemento p di C deve stare in A (se p stesse in B, dovrebbe essere q < p,
mentre è p > q).
Al solito, anche per i reali, x < y equivale a x ≤ y con x 6= y.
Osservazione 2.2.4 (Conservazione dell’ordine) Se r, s sono razionali:
r < s ⇐⇒ φ(r) < φ(s)
Si noti che per definizione delle sezioni di prima specie la disuguaglianza φ(r) <
φ(s) significa che
{q ∈ Q | q < r} ⊆ {q ∈ Q | q < s}
ovvero che (∀q ∈ Q) (q < r =⇒ q < s).
Teorema 2.2.5 (Densità dei razionali) Siano x = (A, B) < y = (C, D)
due numeri reali. Esiste q ∈ Q tale che
x < φ(q) < y
Dimostrazione. Si ha A ⊆ C, ma A 6= C. Trovo quindi q 6∈ A, q ∈ C.
Considero la prima classe L della sezione φ(q) = (L, R), che è data da
L = {r ∈ Q | r < q}
Essendo q ∈ B, ogni razionale di A è minore di q, e quindi appartiene ad L,
ossia A ⊆ L, con A 6= L (per via di q), ossia ancora x < φ(q). Da q ∈ C segue
poi L ⊆ C, ossia φ(q) ≤ y. Otteniamo infine φ(q) < y osservando che L 6= C,
per via di q che appartiene a C ma non ad L.
2.2. LE SEZIONI DI DEDEKIND
2.2.4
13
Il teorema fondamentale della costruzione
Definizione 2.2.6 Una sezione di R è una coppia (A, B) di sottoinsiemi di
R tali che
(S0b) {A, B} è una partizione di R;
(S1b) ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B;
(S2b) A non ha massimo.
Come nel caso delle sezioni di Q possiamo dare come primo esempio le sezioni
di R di prima specie: per ogni numero reale a, ponendo A = {x ∈ R | x < a},
B = {x ∈ Q | x ≥ a} otteniamo una sezione (A, B) di R di prima specie. Sono
gli unici esempi possibili, ossia:
Teorema 2.2.7 Ogni sezione (A, B) di R è di prima specie.
Dimostrazione. Sia (A, B) una sezione di R, e sia
A = φ−1 (A ∩ φ(Q)),
B = φ−1 (B ∩ φ(Q))
dove φ : Q → R è l’applicazione che associa ad ogni numero razionale r la
sezione φ(r) di prima specie di Q. Proviamo che (A, B) è una sezione di Q. È
innanzitutto evidente che A e B non sono vuote: ad esempio, presi x, y ∈ A,
per la densità di Q troviamo r ∈ Q tale che x < φ(r) < y; si ha allora r ∈ A;
analogamente si ragiona per B. Supponiamo ora r ∈ A ∩ B: ne verrebbe
φ(r) ∈ A ∩ B; quindi A ∩ B = ∅. Immaginiamo un numero razionale r non
appartenente a A ∪ B: allora φ(r) sarebbe escluso sia da A che da B. Cosı̀
(A, B) verifica la (S0). Siano ora p ∈ A, q ∈ B; se per assurdo fosse p ≥ q,
avremmo {r ∈ Q | r < q} ⊆ {r ∈ Q | r < p}, quindi φ(p) ≥ φ(q), assurdo in
quanto essendo φ(p) ∈ A, φ(q) ∈ B, si violerebbe la (S1b); cosı̀ (A, B) verifica
la (S1). Infine, se fosse p = max(A), l’elemento φ(p), non potendo essere il
massimo di A, sarebbe superato da un qualche x ∈ A; fra φ(p) ed x troviamo
strettamente compreso un elemento φ(q) ∈ A, e allora q ∈ A supera p (che
non può essere ila massimo di A); cosı̀ (A, B) verifica la (S2).
Poniamo a = (A, B). Dimostriamo che a è il minimo di B, per cui, ripetendo il ragionamento delle sezioni di Q, la sezione (A, B) di R risulta essere
di prima specie.
Proviamo che per ogni x ∈ B si ha a ≤ x. Se x è il minimo di B il teorema
è provato. Altrimenti esiste y ∈ B minore di x, e strettamente compreso fra
questi esiste un φ(r) ∈ B, con r ∈ B. Basta provare che a ≤ φ(r). Le
corrispondenti classi inferiori sono la A per a e C = {q ∈ Q | q < r}. Per (S1)
14
CAPITOLO 2. LA COSTRUZIONE DI DEDEKIND
ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B ed in particolare di r, cioè
A ⊆ C.
Proviamo infine che a ∈ B. Per assurdo sia a ∈ A. Poiché per la (S2b) la
classe A non ha massimo, esiste y ∈ A maggiore di a, e strettamente compreso
fra questi esiste un φ(r) ∈ A, con φ(r) > a, r ∈ A. Ma se r ∈ A, deve essere
φ(r) ≤ a. Il teorema è provato.
2.2.5
Il teorema di completezza à la Dedekind
Definizione 2.2.8 Sia E ⊆ R: una maggiorazione di E è un numero y ∈ R
tale che per ogni x ∈ E sia x ≤ y. E ⊆ R si dice superiormente limitato se
esistono maggiorazioni di E.
Teorema 2.2.9 (Completezza dei reali) Sia E ⊆ R non vuoto e superiormente limitato: allora l’insieme M delle maggiorazioni di E ha minimo m,
che viene detto l’ estremo superiore di E, in simboli m = sup(E).
Dimostrazione. Sia ¬M il complementare R \ M di M . Consideriamo la
coppia (¬M, M ) e verifichiamo che è una sezione di R (per il teorema fondamentale questo ci basta). Ora M 6= ∅ poiché E è superiormente limitato.
Poiché E non è vuoto, esiste x ∈ E, ed esiste u ∈ R, u < x: tale u non è una
maggiorazione di E e quindi ¬M non è vuoto.3
Se z non è una maggiorazione di E, esiste x ∈ E tale che z < x. Se y è
una maggiorazione di E, si ha y ≥ x > z.
Verifichiamo infine che ¬M non ha massimo. Sia y ∈ ¬M , ossia y non è
una maggiorazione di E. Esiste quindi x ∈ E tale che y < x. Fra y ed x esiste
strettamente compreso un φ(r), ossia y < φ(r) < x. Quindi φ(r) non è una
maggiorazione di E che supera y.
2.2.6
La struttura algebrica
Per completare la costruzione di Dedekind dei numeri reali, dobbiamo definire
le operazioni algebriche di addizione e moltiplicazione, provare che con tali
operazioni abbiamo un campo (corpo commutativo), e provare alcune ulteriori risultati che legano ordine e operazioni algebriche (in breve, che abbiamo
costruito un campo ordinato). Le verifiche sono estrememente noiose. Per
brevità per definire un numero reale x assegneremo solo la classe inferiore A
della sezione x = (A, B) (esssendo la superiore B il complementare di A in Q),
scrivendo per brevità x := A.
3
La esistenza di u non è ovvia: occorre pensarci un attimo.
2.2. LE SEZIONI DI DEDEKIND
15
Definizione 2.2.10 Dati due numeri reali α e β, definiamo
• Lo zero, elemento neutro dell’addizione, indicato con 0, è
0 := {x ∈ Q : x < 0}
• L’ uno, elemento neutro della moltiplicazione, indicato con 1, è
1 := {x ∈ Q : x < 1}
• La somma di α e β indicata con α + β è
α + β := {x + y : x ∈ α, y ∈ β}
• L’ opposto di α, indicato con −α, è
−α := {x ∈ Q : −x 6∈ α, ma − x non è il minimo di Q \ α}
• Il valore assoluto di α, indicato con |α|, è
(
α,
se α ≥ 0
|α| :=
−α, se α ≤ 0
• Se α, β > 0, allora il prodotto di α e β, indicato con α · β, è
α · β := {z ∈ Q : z ≤ 0 oppure z = xy
per qualche x ∈ α, y ∈ β con x, y > 0}
In generale,


se α = 0 oppure β = 0
0,
α · β := |α| · |β|
se α > 0, β > 0 oppure α < 0, β < 0


−(|α| · |β|) se α > 0, β < 0 oppure α > 0, β < 0
• L’ inverso di α > 0, indicato con α−1 , è
α−1 := {x ∈ Q : x ≤ 0 oppure x > 0 e (1/x) 6∈ α,
ma 1/x non è il minimo di Q \ α}
Se α < 0,
α−1 := −(|α|)−1
Le proprietà di R come campo ordinato seguono da tali definizioni e dalle
proprietà di Q come campo ordinato. È importante enfatizzare che in due
punti, per mostrare che l’opposto e l’inverso sono ben definiti, dobbiamo usare
una proprietà ulteriore di Q, non solo quelle di campo ordinato: tale proprietà
ulteriore è la Proprietà di Archimede di Q.
Capitolo 3
La completezza
3.1
Il circolo della completezza
Entrambe le costruzioni viste nei capitoli precedenti trovano in Q degli “spazi
liberi” in corrispondenza degli irrazionali. In particolare, il modello di Méray–
Cantor trova spazi liberi “seguendo” talune successioni di Cauchy di razionali;
quello di Dedekind trova spazi liberi “fra” le classi di talune sezioni di Q, quelle
di seconda specie. Nei due modelli visti si prova alla fine che se invece ci si
pone in R, questi “spazi liberi” non si trovano: seguendo una successione di
Cauchy di numeri reali si trova sempre un numero, il suo limite; ed ogni sezione
reale è di prima specie. Il linguaggio naturale ci fornisce l’attributo: come un
parcheggio, R è completo.
Tecnicamente, il modello di Méray–Cantor fornisce la “completezza” di R
nel senso tecnico della teoria degli spazi metrici: ogni successione di Cauchy è
convergente.
La costruzione di Dedekind fornisce la “completezza” di R nel senso tecnico
della teoria degli insiemi totalmente ordinati: ogni sottoinsieme non–vuoto e
superiormente limitato ha estremo superiore.
Nel caso di un approccio assiomatico, è indifferente dare l’assioma di completezza in uno o nell’altro modo: infatti vediamo qui sotto un “circolo” di
teoremi che mostra che i due sono equivalenti. Nel caso di approccio assiomatico, la prassi didattica più comune prende il Teorema 3.1.1 come assioma di
completezza, e segue il circolo fino al Teorema 3.1.5.
Sarebbe possibile prendere il Teorema 3.1.5 come assioma di completezza
e poi percorrere il circolo fino all’importante Teorema 3.1.4.1
1
Non mi sono note realizzazioni in aula di questo secondo percorso, forse perché si ritiene
più intuitiva, o comunque meno complessa da enunciare, la esistenza dell’estremo superiore
di quanto lo sia la convergenza delle successioni di Cauchy.
17
18
CAPITOLO 3. LA COMPLETEZZA
In entrambi i casi, il Teorema di Heine–Borel (in R i chiusi limitati sono
compatti) segue dal Teorema 3.1.2.
Teorema 3.1.1 (esistenza dell’estremo superiore) Sia X un sottoinsieme di R non–vuoto e superiormente limitato; allora esiste ξ = sup(X).
implica
Teorema 3.1.2 (intervalli incapsulati) Sia (I
Tn )n∈N una successione di intervalli chiusi decrescenti per inclusione; allora n∈N In 6= ∅.
T
(posto In = [an , bn ], si ha ξ = sup{an | n ∈ N} ∈ n∈N In )
implica
Teorema 3.1.3 (Bolzano–Weierstrass) Sia X un sottoinsieme di R infinito e limitato; allora X ha almeno un punto di accumulazione.
(si procede per bisezione, scegliendo al passo n l’intervallo In = [an , bn ] che
contiene infiniti punti di X)
implica
Teorema 3.1.4 (compattezza per successioni) Sia (xn )n∈N una successione limitata di numeri reali; allora (xn )n∈N ha una (almeno) una sottosuccessione convergente.
(se {xn }n∈N èd infinito e a un suo punto di accumulazione, estraggo xnk
dall’intorno (a − 1/k, a + 1/k), ed ho xnk → a)
implica
Teorema 3.1.5 (completezza metrica di R) Sia (xn )n∈N una successione
di Cauchy di numeri reali; allora (xn )n∈N è una successione convergente.
((xn )n∈N è limitata ed ha un’estratta convergente, essendo di Cauchy converge,
ed allo stesso limite)
implica
Teorema 3.1.6 (esistenza dell’estremo superiore) Sia X un sottoinsieme di R non–vuoto e superiormente limitato; allora esiste ξ = sup(X).
(parto da un intervallo (α0 , β0 ) con α0 < x ∈ X e β0 una maggiorazione
di X; si procede per bisezione, scegliendo al passo n i’intervallo (αn , βn ) con
αn < x ∈ X e βn una maggiorazione di X; (αn ) e (βn ) sono di Cauchy ed
hanno lo stesso limite ξ, ed è ξ = sup(X))
Capitolo 4
Teorema di Hilbert
Un risultato dovuto a Hilbert afferma che tutti i modelli dei numeri reali sono in
un certo senso equivalenti; questo risutato, di facile dimostrazione, è la base per
la possibilità di introdurre assiomaticamente i numeri reali nell’insegnamento
secondario o universitario (resta ovviamente aperto in tal caso il problema
dell’esistenza di un modello).
4.1
Campi ordinati
Definizione 4.1.1 Un campo ordinato è un campo K munito di una relazione
d’ordine totale ≤ , compatibile con le operazioni di somma e prodotto nel senso
seguente:
(a) ∀a, b, c ∈ K, a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c;
(b) ∀a, b, c ∈ K, c ≥ 0, a ≤ b ⇒ c · a ≤ c · b.
Il campo Q dei numeri razionali è un campo ordinato. Dalla (b) segue che i
quadrati sono positivi: ∀a = 0, b = c ∈ K, 0 ≤ b ⇒ 0 ≤ b · b. In particolare
1 > 0, e per la (a) 1 + 1 > 1, ed in generale per ogni n ∈ N, n > 0 si ha
n · 1 > 0. Qui n · 1 indica la somma 1 + 1 + . . . + 1 con n addendi.
Osservazione 4.1.2 Si verifica facilmente che esiste un’unica relazione d’ordine totale su Q che lo renda un campo ordinato. L’esempio seguente mostra
che esistono moltissimi campi ordinati (in effetti, infiniti).
Esempio di campo non–archimedeo. Se K è un campo ordinato, si
consideri l’anello dei polinomi
( n
)
X
K[t] =
ak tk | n ∈ N, a1 , . . . , an ∈ K
k=0
19
20
CAPITOLO 4. TEOREMA DI HILBERT
e il corrispondente campo delle frazioni
F = {p/q | p, q ∈ K[t], q 6= 0}
Si dimostra che F è un campo ordinato (si ponga t ≥ a per ogni a ∈ K).
Definizione 4.1.3 Diciamo che il campo K ha caratteristica zero se per ogni
n ∈ N, n > 0, si ha n · 1 6= 0.
Abbiamo immediatamente che:
Proposizione 4.1.4 Ogni campo ordinato ha caratteristica zero.
Il campo Q dei numeri razionali ha quindi caratteristica zero. In effetti, Q è il
“più piccolo” campo con caratteristica zero. Questo è il senso della seguente:
Proposizione 4.1.5 Sia K un campo di caratteristica zero. Allora esiste un
unico omomorfismo di campi Φ : Q → K, e tale omomorfismo risulta iniettivo.
In altre parole, ogni campo con caratteristica zero contiene un unico sottocampo isomorfo a Q. In particolare, questo vale per i campi ordinati. Nel seguito,
dato un campo ordinato K identificheremo il suo sottocampo isomorfo a Q con
Q stesso. La definizione di Φ è ovvia:
Φ:
4.1.1
p·1
p
∈ Q 7→
∈K
q
q·1
Campi archimedei
Definizione 4.1.6 Un campo ordinato K si dice archimedeo se per ogni a, b ∈
K, a > 0, b > 0, esiste n ∈ N tale che n · a > b.
Il campo Q dei numeri razionali è archimedeo. Il campo F delle frazioni su
K[t] non è archimedeo.
Proposizione 4.1.7 Sia K un campo ordinato archimedeo. Ogni intervallo
aperto ]a, b[ con a, b ∈ K, a < b, contiene almeno un numero razionale.
Un sottoinsieme di un insieme ordinato che ha intersezione non vuota con ogni
intervallo aperto si dice denso. Quindi la proposizione precedente afferma che
Q è denso in ogni campo archimedeo. Iterando questa proposizione, si verifica
facilmente che ogni intervallo aperto di un campo archimedeo contiene infiniti
numeri razionali.
4.1. CAMPI ORDINATI
21
Dimostrazione. Supponiamo inizialmente b > a > 0. Dato che b − a > 0 la
proprietà di Archimede implica che esiste n ∈ N, n > 0 tale che n · (b − a) > 1,
ossia b − a > 1/n. L’insieme
k
A = k ∈ N | k > 0,
>a
n
è non vuoto: questo segue dalla proprietà di Archimede applicata ai numeri
positivi 1/n e a. Sia m = min A (ogni sottoinsieme non vuoto di N ha minimo).
Dato che m ∈ A, m/n > a. Dato che m è il minimo di A, m−1 non appartiene
ad A. Quindi (m − 1)/n ≤ a, da cui, usando anche il fatto che 1/n < b − a,
m−1 1
1
m
=
+ ≤ a + < a + (b − a) = b
n
n
n
n
Quindi m/n ∈]a, b[, come richiesto. Possiamo ricondurre il caso di un intervallo
qualsiasi ]a, b[ al caso a > 0 traslando l’intervallo di una traslazione intera: per
la proprietà di Archimede possiamo trovare un intero n tale che a + n > 0, e
si considera l’intervallo ]a + n, b + n[.
Osservazione 4.1.8 E’ anche facile verificare che se K è archimedeo, a ∈ K
e per ogni ∈ Q > 0, risulta | a | ≤ , allora a = 0.
Definizione 4.1.9 Un campo ordinato K si dice completo se per ogni sottoinsieme A ⊆ K non vuoto e limitato superiormente esiste l’estremo superiore di
A.
Come conseguenza, per ogni sottoinsieme A ⊆ K non vuoto e limitato inferiormente esiste l’estremo inferiore di A: infatti −A = {a ∈ K | − a ∈ A} è
limitato superiormente e si verifica facilmente che
inf A = − sup(−A)
.
Proposizione 4.1.10 Ogni campo ordinato completo è archimedeo.
Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esistano a, b ∈ K, a > 0, b > 0,
tali che per ogni n ∈ N, n > 0 vale n · a ≤ b. Allora l’insieme
A = {n · a | n ∈ N, n > 0}
è limitato superiormente (b è un maggiorante). Sia s = sup A. Dato che
s − a < s = sup A, esiste un n ∈ N, n > 0 tale che n · a > s − a, ossia
(n+1)·a > s. Ma (n+1)·a è ancora un elemento di A, e l’ultima disuguaglinza
contraddice il fatto che s sia un maggiorante di A.
22
4.2
CAPITOLO 4. TEOREMA DI HILBERT
Definizione assiomatica di R
Definizione 4.2.1 Definiamo assiomaticamente il campo R dei numeri reali
come un campo ordinato completo.
Il seguente risultato, noto come Teorema di Hilbert, mostra che queste proprietà caratterizzano R in modo univoco.
Teorema 4.2.2 (Teorema di Hilbert) Siano K1 e K2 campi ordinati completi. Allora esiste un isomorfismo di campi Φ : K1 → K2 strettamente
crescente.
Premettiamo alla dimostrazione di questo teorema il seguente:
Lemma 4.2.3 Sia K una campo archimedeo e sia Φ : K → K una funzione
crescente la cui restrizione a Q sia l’identità (per ogni q ∈ Q, Φ(q) = q).
Allora Φ è l’identità su K.
Dimostrazione. Sia x ∈ K. Per la densità dei razionali nei campi archimedei,
dato ∈ K, > 0, possiamo trovare due razionali p, q tali che
x−<p<x<q <x+
Dalle proprietà di Φ deduciamo che
p = Φ(p) ≤ Φ(x) ≤ Φ(q) = q
e sfruttando la prima disuguaglianza troviamo
x − < Φ(x) < x + ossia | Φ(x) − x | < . Dato che questa disuguaglinza vale per ogni > 0,
concludiamo che Φ(x) = x.
Dimostriamo ora il Teorema di Hilbert. Vogliamo costruire l’isomorfismo
Φ : K1 → K2 . Dato x ∈ K1 , consideriamo il sottoinsieme di Q,
A(x) = {q ∈ Q | q ≤ x}
dove ≤ è la relazione d’ordine in K1 . L’insieme A(x) è limitato superiormente
in K1 (x è un maggiorante). Per la proprietà di Archimede esistono razionali
maggiori di x, dunque A(x) è limitato superiormente anche in Q. Vediamo
adesso A(x) come sottoinsieme di K2 . Essendo A(x) limitato superiormente
in Q, è a maggior ragione limitato superiormente in K2 . Per la completezza di
K2 possiamo porre Φ(x) = sup A(x) ∈ K2 , dove sup indica l’estremo superiore
4.2. DEFINIZIONE ASSIOMATICA DI R
23
in K2 . Se x ∈ Q, l’insieme A(x) ha massimo x, dunque Φ(x) = x. Inoltre, se
x, y ∈ K1 , x < y, si ha A(x) ⊆ A(y), da cui
Φ(x) = sup A(x) ≤ sup A(y) = Φ(y)
e quindi la funzione Φ è crescente.
Scambiando i ruoli di K1 e K2 troviamo una funzione Ψ : K2 → K1 che
vale l’identità su Q e che risulta crescente. Allora le funzioni
Ψ ◦ Φ : K1 → K1 ,
Φ ◦ Ψ : K2 → K2
sono entrambe crescenti (composizioni di funzioni crescenti) e valgono l’identità
su Q. Per il Lemma, Ψ ◦ Φ coincide con l’identità su K1 e Φ ◦ Ψ coincide con
l’identità su K2 . Quindi Φ è biiettiva e Ψ è la sua inversa. In particolare, Φ
è strettamente crescente (una funzione crescente ed iniettiva è strettamente
crescente). Rimane da verificare che Φ è un isomorfismo di campi. Questo
seguirà dal fatto che Φ è l’identità su Q ed è crescente, sfruttando la densità
dei razionali.
Iniziamo con il dimostrare che Φ conserva la somma. Siano x, y ∈ K1 . Dato
∈ Q, > 0, esistono p1 , p2 , q1 , q1 ∈ Q tali che
x − < p1 < x < p2 < x + ,
y − < q1 < y < q2 < y + .
Quindi
p 1 + q1 < x + y < p 2 + q2 ,
p2 − < x < p1 + ,
q2 − < y < q1 + .
Dato che Φ è crescente e vale l’identità su Q, troviamo le disuguaglianze
p1 + q1 ≤ Φ(x + y) ≤ p2 + q2 ,
p2 − ≤ Φ(x) ≤ p1 + ,
q2 − ≤ Φ(y) ≤ q1 + ,
dove abbiamo sfruttato il fatto che anche è un razionale. Combinate assieme
queste disuguaglianze implicano
Φ(x) + Φ(y) − 2 ≤ Φ(x + y) ≤ Φ(x) + Φ(y) + 2
e dato che ciò vale per ogni razionale positivo concludiamo che Φ(x + y) =
Φ(x) + Φ(y) (vedi Osservazione precedente).
Verifichiamo ora che Φ(xy) = Φ(x)Φ(y). Possiamo ridurci facilmente al
caso x > 0, y > 0. Siano , p1 , p2 , q1 , q2 come sopra, con cosı̀ piccolo che
x − > 0 e y − > 0. Allora
p1 q1 < xy < p2 q2 ,
p2 − < x < p1 + ,
q2 − < y < q1 + ,
24
CAPITOLO 4. TEOREMA DI HILBERT
e per le proprietà di Φ,
p1 q1 ≤ Φ(xy) ≤ p2 q2 ,
p2 − ≤ Φ(x) ≤ p1 + ,
q2 − ≤ Φ(y) ≤ q1 + .
Dato che p2 − > x− > 0 e q2 − > y − > 0, dalle ultime due disuguaglianze
segue che
(p2 − )(q2 − ) ≤ Φ(x)Φ(y) ≤ (p1 + )(q1 + ).
Si ottiene quindi
Φ(xy) − Φ(x)Φ(y) ≤ p2 q2 − (p2 − )(q2 − ) = (p2 + q2 − ) < (x + y + ),
Φ(xy) − Φ(x)Φ(y) ≥ p1 q1 − (p1 + )(q1 + ) = −(p1 + q1 − ) < −(x + y + ),
da cui
| Φ(xy) − Φ(x)Φ(y) | < | x + y | + 2 .
Per l’arbitrarietà del razionale positivo si deduce Φ(xy) = Φ(x)Φ(y).
Osservazione 4.2.4 L’argomento sopra mostra anche che l’isomorfismo strettamente crescente Φ : K1 → K2 è unico. L’argomento sopra mostra anche che
ogni campo archimedeo è un sottocampo di R: se K è un campo archimedeo,
esiste (unico) un omomorfismo iniettivo strettamente crescente Φ : K → R.
Capitolo 5
Attività seminariale proposta
5.1
Aspetti storici ed informatici
L’archivio MacTutor History of Mathematics della Università di St. Andrews
(Scozia) ha pubblicato recentemente (2005–2006) nella directory
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/
i tre documenti seguenti:
1. The real numbers: Pythagoras to Stevin
Real_numbers_1.html
2. The real numbers: Stevin to Hilbert
Real_numbers_2.html
3. The real numbers: Attempts to understand
Real_numbers_3.html
5.2
Aspetti psicologici
L’evento recente più importante nella “comprensione” dei numeri reali, grazie
al rapido ed importante sviluppo delle discipline cognitive, è probabilmente
la pubblicazione nel 2000 del libro Where Mathematics Comes From: How
the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, di George Lakoff e Rafael
E. Núñez (493 pp., Basic Books, 2000), tradotto in italiano da O. Robutti,
F. Ferrara, e C. Sabena, con il titolo Da dove viene la matematica. Come
la mente embodied dà origine alla matematica (596 pp., Bollati Boringhieri,
2005). Questo libro ha provocato un ampiuo dibattito, anche a causa si alcune
“sviste” matematiche: vedi
http://www.maa.org/reviews/wheremath.html
http://www.maa.org/reviews/wheremath_reply.html
25
5.2. ASPETTI PSICOLOGICI
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riconoscimenti e ringraziamenti
Hanno implicitamente collaborato alla stesura di queste note Gino Tironi e Massimo Borelli. Rigrazio anche la dott.ssa Anna Botteghelli, la cui tesi di laurea “La
questione dei numeri reali” (Trieste, 1995) mi ha dato l’idea per il programma del
corso.