Oscillazioni libere e risonanza di un circuito RLC

Gilberto Giugliarelli
Esperienze di Laboratorio di Fisica II
Esperimento A
Oscillazioni libere e risonanza di un circuito RLC-serie
Con questa breve nota si vuole fornire allo studente un ausilio alla preparazione ed alla effettuazione dell’esperienza
di laboratorio. Mentre nella sezione 1 sono introdotte le proprietà dei singoli elementi circuitali, nelle sezioni 2 e 3
è riportata una trattazione teorica del funzionamento dei circuiti tema di studio. Infine, nella sezione 4 è descritta
l’esperienza nel suo complesso della quale viene anche dato uno schema operativo di lavoro.
1
Introduzione
Lo scopo di questa esperienza è quello di studiare le oscillazioni libere e forzate di un circuito RLC–serie. Tale circuito
è composto da un resistore, un condensatore e una induttanza collegati in serie fra loro e connessi a loro volta ad un
generatore. I due tipi di funzionamento sopra citati si ottengono a seconda che si utilizzi un generatore di tensione
continua o alternata.
I singoli elementi circuitali hanno caratteristiche elettriche diverse.
Il Resistore
È un componente passivo, il che significa che dissipa potenza elettrica. Quando è sottoposto ad una d.d.p.
esso è percorso da una corrente data dalla seguente relazione
(1)
dove
corrisponde alla sua resistenza elettrica.
La potenza dissipata in esso è pari a
(2)
Tale potenza viene dissipata per effetto Joule e cioè sotto forma di calore. La resistenza elettrica si misura in Ohm
(indicata con la lettera greca ). 1 corrisponde alla resistenza di un elemento resistivo che quando è sottoposto alla
d.d.p. di 1 Volt è attraversato da una corrente di 1 Ampere.
Il Condensatore
Questo è l’elemento circuitale sede della capacità elettrica. Tale proprietà è associata alla possibilità che un
elemento ha di accumulare carica elettrica. In particolare, quando un condensatore viene sottoposto ad una d.d.p.
sulle sue armature vengono ad accumularsi uguali quantità di carica di segno opposto pari a
(3)
dove indica, appunto, la sua capacità elettrica. La capacità si misura in Farad ( ).
Un condensatore non dissipa energia, ma l’accumulo di carica sulle sue armature corrisponde ad un’accumulo
di energia elettrostatica. Tale energia è pari a
"
#
&
#
$
'
(
$
!
(4)
%
!
L’induttanza
Se nei condensatori vengono accumulate cariche elettriche e quindi energia elettrostatica, nelle induttanze
viene accumulata energia magnetica. Quando un’induttanza è percorsa da una corrente
essa è sede di un campo
magnetico. Il flusso di questo campo concatenato con le spire della induttanza (di solito costituita da una bobina o un
)
*
solenoide) può essere scritto come
+
,
-
.
/
0
(5)
.
dove
è il suo coefficiente di autoinduzione che viene misurato in Henry ( ).
L’energia magnetica accumulata nell’induttanza corrisponde a
1
2
3
4
5
(6)
3
6
7
8
9
Dalla legge di Faraday segue che ad ogni variazione di flusso di campo magnetico corrisponde una forza
elettromotrice (f.e.m.) indotta
. Nel nostro caso possiamo anche scrivere che la f.e.m. autoindotta in
una induttanza è pari a
:
;
<
=
>
?
@
A
B
C
D
E
F
G
H
D
E
I
F
J
B
F
2
(7)
K
B
F
Oscillazioni libere del circuito RLC–serie
Per studiare le oscillazioni libere del circuito consideriamo lo schema di Fig. 2. Negli istanti successivi a ogni spostamento dell’interruttore da una posizione all’altra la corrente nel circuito segue un’andamento temporale di tipo oscillatorio smorzato o esponenziale dipendente dai valori delle capacità, induttanza e resistenza degli elementi circuitali.
Per analizzare tale comportamento consideriamo in dettaglio il caso in cui l’interruttore passi dalla posizione 1 alla
posizione 2 (vedi Fig. 1). In questo caso supporremo che
sia la carica sulle armature del condensatore prima
del cambio di posizione dell’interruttore.
L
L
M
N
O
Q
C
1
I
P
2
E
L
R
Fig. 1 Schema del circuito per lo studio delle oscillazioni libere
Indicando con
che possiamo scrivere
e rispettivamente la carica sulle armature di
R
S
R
V
W
S
Y
S
T
U
W
Inoltre, dato che
\
X
e
_
i
g
j
h
(9)
`
_
f
d
(8)
[
]
l’equazione 8 può essere riscritta nella forma seguente
d
Z
U
^
c
e la corrente che fluisce nel circuito, si noti
T
a
b
k
j
k
l
m
n
o
(10)
h
Questa è un equazione differenziale del second’ordine le cui soluzioni sono del tipo
. Inserendo tale
soluzione nella (10) ed effettuando le ovvie semplificazioni otteniamo l’equazione di secondo grado che segue
p
y
z
{
|
}
z
~

£
¤
¥
¦
§

£
t
u
v
w
x

dove si è posto
e
quantità ci sarà utile successivamente.
I possibili casi sono tre:
r

che ha le soluzioni
q

. Per comodità definiamo anche
¨
¦
©
ª
«

®
¬

¯
¡
¢
°
±
²
³
´
µ
¶
·
¸
¹
º
»
¼
½
¾
¶
. Questa
a)
Smorzamento semplice
Si hanno due soluzioni reali esponenziali e la soluzione della omogenea è del tipo
¿
À
Á
Â
Ã
Ò
Ä
Si noti che
×
Ø
Ù
×
Ú
Ü
ß
à
ã
ä
å
æ
ä
ç
è
é
ê
ë
Ü
ì
Æ
Ç
È
É
Ê
Ë
Ì
Í
Î
Ï
Ð
Ñ
Ò
Ô
Õ
Ö
Ó
e che quindi entrambi gli esponenziali sono decrescenti. Imponendo che
(condizioni iniziali) si ottiene che
Û
â
Þ
Å
í
î
Ý
Þ
Ü
ß
à
Ý
e che
á
ï
ï
ì
ð
ë
ñ
ô
ò
õ
ö
÷
ø
ù
ö
ð
da cui
ñ
ñ
ò
ø
ó
ö
÷
û
ý
þ
û
ù
û
ü
ø
ö
ö
ö
ø
ú
ü
ÿ
e
ù
ú
ø
ý
ù
ú
ø
ÿ
ø
ö
ö
÷
ý
þ
û
ø
ü
ù
ö
b)
Smorzamento critico
La soluzione è del tipo
ø
ù
ö
ø
ÿ
ú
ú
ý
ÿ
ø
÷
ü
÷
Imponendo le condizioni iniziali si ha
û
ý
þ
õ
ÿ
da cui
e
!
"
c)
Oscillazioni smorzate
Si hanno due soluzioni complesse e coniugate
$
#
%
&
'
(
)
*
+,
dove è l’unità immaginaria. La soluzione della (10) assume ora la forma
-
.
/
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
:
;
<
=
>
?
@
A
B
C
D
E
F
G
C
H
I
K
J
=
>
Imponendo le condizioni iniziali si ha
L
L
M
N
O
Q
P
C
B
>
F
G
S
T
UV
W
X
Y
Z
[\
]
^
_
Y
a
b
c
de
f
g
Q
`
R
J
i
e
h
i
j
k
l
m
n
o
p
q
s
tu
r
k
q
v
w
x
x

(11)
z
y
x
y
{
|
}
~

z
Queste relazioni mostrano che sia la carica che la corrente presentano delle oscillazioni alla frequenza
.
Queste oscillazioni sono smorzate esponenzialmente dal fattore
.
In Fig. 2 è riportato l’andamento della corrente in funzione del tempo per un circuito RLC–serie come quello
di Fig. 1, con
e
. Si noti che sono stati considerati i tre casi esaminati sopra.

¡
¢
£
¤
¥
¦
§
¨
©

0.3
0.6
0.4
0.2
0.1
0
ω0τ<1
0
0.002
0.0
-0.2
-0.4
a)
-0.6
0.004
t [s]
ω0τ>1
0.2
i(t) [A]
i(t) [A]
ω0τ=1
b)
0
0.002
t [s]
0.004
Fig. 2
Infine, concentrando l’attenzione sull’ultimo caso esaminato, calcoliamo il cosiddetto decremento logaritmico pari a
ª
«
¬

®


®

¯
°
¯
dove e sono le ampiezze dei primi due picchi positivi presentati dalla corrente (vedi Fig. 2). Questo parametro
può essere utilizzato per quantificare la velocità con cui le oscillazioni si smorzano.
Utilizzando l’eq. (11), osserviamo che i due picchi sono posizionati a
e
, rispettivamente, quindi
®
²
±
À
Á
Â
Ã
Ä
À
Á
Â
Ã
Ä
È
É
Ä
Ê
À
Á
Â
Ë
Ì
Æ
Ç
Ã
Å
È
É
Å
Ê
Æ
che, una volta sostituiti i valori di
e
Ú
Û
Ü
Ý
Ò
Ó
Õ
á
²
¹
º
»
¼
½
¾¿
Ñ
Ò
Ó
Ô
Õ
×Ø
Ù
â
ã
à
äå
æ
ç
è
ß
é
Da questa possiamo vedere che per
Infatti, in queste condizioni potremmo scrivere
î
¯
±
Þ
Ý
í
·¸
, diventa
×Ø
Ö
¶
Ç
Ö
Ù
µ
Ï
Ð
Å
´
Í
Î
Ã
³
ï
ð
ñ
ñ
ò
õ
ë
ì
il decremento logaritmico è essenzialmente proporzionale a
ó
ô
ê
ö
÷
ø
÷
ý
ì
ù
ú
þ
û
ÿ
ü
í
.
3
Oscillazioni forzate del circuito RLC-serie e risonanza
Consideriamo ora il circuito di Fig. 3. A causa della presenza di un generatore di d.d.p. sinusoidale, dopo una fase
transitoria, la corrente nel circuito è obbligata a oscillare sinusoidalmente.
C
V
L
R
Fig. 3 Schema del circuito RLC–serie con generatore di tensione alternata
L’equazione che regola il comportamento del circuito è ora
(12)
dove
è la pulsazione della tensione applicata.
Superato il transitorio, a cui non siamo interessati in questo caso, la carica sulle armature del condensatore
avrà un andamento del tipo
(13)
dove la costante e la fase saranno funzione dei parametri del circuito (e cioè di , e ). Per valutarle si deve
sostituire la (13) nella (12) e verificare l’equazione che ne consegue. Dalla (13) abbiamo che
(14a)
(14b)
Sostituendo le (14a) e (14b) nella (13) otteniamo:
(15)
Facendo uso delle formule di somma per i seni e i coseni, e cioè
e raggruppando i termini nella, la (15) diventa
L’ugualianza fra primo e secondo membro deve valere ad ogni istante e perché ciò sia possibile debbono essere uguali
tutti i coefficienti delle funzioni sinusoidali oscillanti. Ponendo
possiamo scrivere che
(16)
!
%
0
!
%
&
,
'
(
-
)
*
&
)
+
*
,
+
-
&
&
'
(
)
.
)
.
!
"
#
$
/
1
(17)
2
da cui
+
,
-
&
)
&
'
(
)
3
4
5
6
7
8
:
9
che ci permette di ricavare .
Tramite quest’ultima la (17) diventa
7
O
:
?
@
A
:
C
A
D
:
?
@
A
:
G
H
I
J
[
O
K
T
;
<
=
>
;
7
B
5
6
7
6
7
E
8
<
=
S
U
F
7
B
Z
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V
W
X
Y
Z
W
O
X
Y
Y
\
]
P
Q
R
O
W
X
Y
Q
^
_
e quindi
`
a
b
c
d
a
k
l
m
n
o
a
b
c
d
m
g
e
f
g
h
i
j
h
e
n
r
o
e
i
j
f
i
p
q
j
Ora, per la corrennte , che, come in precedenza, risulta essere data dalla seguente
l
s
m
n
o
a
b
t
n
t
s
abbiamo
m
n
o
a
d
c
m
g
a
u
v
w
x
h
i
n
r
o
(18)
e
j
y
s
f
Scrivendo infine
g
h
i
j
, si vede facilmente che la corrente può essere scritta come
u
j
v
z
{
|
}
~

{

e notando che

u
|
(19)
}

v
~

otteniamo infine
v

v
z
{
|
}
~

{

|
(20)
}

Le quantità e
sono anche dette reattanza e impedenza del circuito.
Si noti che l’ampiezza massima della corrente segue la legge

(21)

riportata nel grafico di Fig. 4.
1.0
0.8
iM(ω0)/20.5
0.6
0.4
0.2
0.0
ω2
ω1
0
5000
10000
ω 20000
15000
ω0
Fig. 4

Come si può notare dall’eq. (21),
è massima quando
. La frequenza
è detta frequenza di risonanza del circuito. Si noti che a tale frequenza, o equivalentemente, per
sfasamento tra la corrente e la tensione applicata si annulla.
Viene definito fattore di merito o fattore di qualità del circuito,
, la quantità che segue

¡
¢
£
¤

¡
§
¨
anche lo

ª
«

¬
¡


(22)
¨

ª
«
®
¯
¬

dove il numeratore della frazione rappresenta la massima energia immagazzinata nell’induttanza e
dissipata nella resistenza in un ciclo, tutto calcolato alla frequenza di risonanza.
Si vede che
®
¯
è l’energia
¬

¢
¢

(23)

¡
§


§
e
À
®
¯

°
À
Õ
(24)
±
À
Â
Â
Â
É
Â
Ê
É
Ê
Ö
²
À
³
´
µ
¶
·
µ
¸
¹
º
À
»
¼
½
¾
¿
Á
Â
Ã
Ä
Å
Æ
Ä
Ç
È
À
¼
½
¾
¿
Ë
Ì
Í
Â
Î
Ä
Æ
Ä
Ç
È
Î
À
Õ
¼
Ë
Ì
Í
Â
Ï
Ð
Ï
Ñ
Ò
Ó
×
Ô
Sostituendo nella (22) abbiamo
Ø
Ù
Ú
Û
(25)
ß
Ü
Il fattore di merito
valutano i valori di in cui
â
à
á
ã
ä
å
â
Ý
Þ
può essere stimato anche direttamente dalla curva di risonanza di Fig. 3. Infatti, se si
è pari ad
, (vedi
e
in Fig. 3) allora
æ
ã
ä
å
â
ç
æ
è
é
ê
â
â
à
á
ë
â
ì
(26)
ç
í
â
ì
î
â
ë
Questa relazione è tanto più precisa quanto più la cirva di risonanza è stretta intorno ad
â
ç
e cioè quando
ï
è piccola.
4
Strumentazione, esecuzione dell’esperienza e stesura della relazione
Qui di seguito è riportato un elenco degli strumenti e relativi accessori messi a disposizione per l’esecuzione dell’esperienza.
Generatore di tensione
ð
Esso permette di generare tensioni periodiche di tipo sinusoidale, triangolare e tipo onda quadra. Per ognuna di
esse è possibile variare la frequenza, l’ampiezza e la linea di base.
Oscillografo
ð
Questo strumento è l’unico strumento di misura utilizzato nell’esperienza. Esso permette di misurare e visualizzare
contemporaneamente due tensioni su due canali distinti.
Elementi circuitali quali resistenza, capacità e induttanza
ð
Cavi di collegamento
ð
4.1
Motivazioni e scopi dell’esperienza
Valutazione delle varie condizioni di oscillazione e smorzamento del circuito
mento logaritmico e suo grafico in funzione di .
ð
ñ
ò
ó
–serie. Misura del decre-
ñ
ð
Determinazione, per via sperimentale, della frequenza e della curva di risonanza del circuito
Calcolo sperimentale del fattore di merito
.
ô
4.2
ñ
ò
ó
-serie.
õ
Esecuzione dell’esperienza
Sequenza logica delle operazioni
1.
Montare il circuito
2.
Alimentando il circuito con onde quadre, per mezzo dell’oscillografo rilevare le oscillazioni smorzate o il
semplice smorzamento della tensione ai capi della resistenza.
3.
Valutare il valore della resistenza corrispondente allo smorzamento critico.
4.
Per vari valori di (cinque o sei sono sufficienti), in condizione di oscillazioni smorzate, rilevare il decremento
logaritmico e farne il grafico in funzione di .
ñ
ò
:
ó
ñ
ñ
5.
Alimentare il circuito con tensione sinusoidale.
6.
Sempre per mezzo dell’oscillografo verificare le caratteristiche del circuito alle diverse frequenze cercando di
rendersi conto della risonanza.
7.
Rilevare tensione di alimentazione, , e tensione ai capi della resistenza,
dal display dell’oscillografo. Valutare (sempre dal display) il rapporto
frequenza (5 valori minori e 5 superiori alla frequenza di risonanza).
ö
ö
8.
Riportare in grafico sia
ö
÷
ø
ö
in funzione della frequenza.
ö
÷
÷
ø
ö
. Valutare la frequenza di risonanza
per almeno 10 valori della
9.
4.3
Dalla curva
in funzione della frequenza valutare la larghezza,
altezza massima. Calcolare quindi il fattore di merito del circuito.
ù
ú
û
ù
ü
ý
ad una altezza pari a
þ
û
ÿ
della sua
Indicazioni per la stesura della relazione
Premesso che ogni gruppo è libero di scegliere lo stile nel quale preparare la propria relazione scritta, si vogliono
ricordare qui gli elementi essenziali da tenere presenti per la sua stesura.
Sinteticamente descrivere le attrezzature utilizzate e gli scopi dell’esperienza;
Per ognuno dei circuiti riportare i valori nominali delle grandezze caratteristiche dei vari componenti utilizzati
(resistenza, capacità, induttanza);
Non riportare la trattazione teorica, ma solo, eventualmente, le formule da utilizzare per i calcoli;
Riportare in tabelle i valori delle grandezze misurate e gli eventuali errori da queste calcolate;
Allegare i grafici richiesti;
Commentare i risultati ottenuti e nel caso di discrepanze tra le valutazioni sperimentali e quelle teoriche proporre,
eventualmente, una interpretazione.
Si ricorda che la relazione deve essere consegnata all’assistente (dott. G. Giugliarelli) entro due settimane dall’effettuazione dell’esperienza.