La corrente elettrica
La corrente elettrica rappresenta carica in moto,
tipicamente attraverso un materiale conduttore,
sospinta da una forza elettromotrice detta
differenza di potenziale, o tensione. Oltre una soglia
critica di tensione, gli elettroni possono anche
essere emessi dalla materia e viaggiare nel vuoto.
Per esempio nel caso dei fulmini, o di alcuni
esperimenti di fisica della materia detti
spettroscopia di fotoemissione elettronica.
Hanno a che fare con le correnti elettriche molte categorie professionali:
I metereologi, nel caso di fulmini o deboli correnti elettriche presenti in atmosfera
Biologi, fisiologi, e ingegneri biomedici, trattando correnti elettriche che governano
il sistema nervoso e muscolare, e la loro riabilitazione dopo i traumi
Gli ingegneri che si occupano di dispositivi elettronici ed elettrotecnici, dalle centrali
elettriche alle memorie per l’informatica, dai telefoni cellulari ai lettori musicali
Astrofisici ed ingegneri aerospaziali, studiando i flussi di particelle cariche che
provengono dal sole e che disturbano i sistemi di telecomunicazione satellitare
Fisici della materia, studiando le proprietà del trasporto elettronico nei materiali
semiconduttori drogati alla base di dispositivi come diodi, transistor, celle solari, laser
Corrente elettrica
ATTENZIONE: non è sufficiente definire la corrente come CARICA in MOTO: a
livello microscopico le cariche in un materiale sono sempre in moto, ma non
per questo si genera corrente. Affinché ci sia corrente deve esserci un FLUSSO
NETTO di carica attraverso una superficie
-e
-e
Ad esempio, gli elettroni all’interno di un
conduttore (ad esempio un filo di rame) si
muovono in modo casuale con velocità
106 m/s; ma se intersechiamo il filo con
un piano non misuriamo alcuna corrente:
in media avremo tanti elettroni che
attraversano il piano in un senso quanti
nell’altro verso. Al netto, non c’è flusso di
elettroni. Solo collegando il filo ai capi di
una batteria si genererà un flusso netto,
poiché gli elettroni saranno spinti da una
forza elettromotrice diretta dal polo
negativo della batteria a quello positivo.
Analogia tra corrente elettrica e flusso del liquido
Consideriamo l’analogia tra una corrente elettrica ed il flusso dell’acqua che
esce da un rubinetto: ci deve essere una differenza di pressione creata da una
pompa o dovuta a un dislivello tra il serbatoio dell’acqua e il rubinetto; ovvero
c’e una differenza di energia potenziale gravitazionale che spinge l’acqua ad
uscire dal rubinetto.
Analogamente, tra due punti di un circuito elettrico la carica elettrica può
circolare con continuità e quindi creare una corrente solo se tra essi viene
mantenuta una differenza di potenziale elettrico
Corrente elettrica come portata della conduttura
Per l’acqua la portata della conduttura corrisponde al volume di acqua che
esce da un rubinetto nell’unita di tempo; analogamente, considerando il filo
metallico come una conduttura attraverso la quale fluisce carica elettrica e
misurando la quantità di carica elettrica che percorre il filo in un certo
intervallo di tempo, possiamo definire l’intensità di corrente elettrica I come la
quantità di carica che scorre attraverso il filo conduttore nell’unità di tempo:
dQ
i
dt
Generatore elettrico come pompa idraulica
+
-
DV
e
Quando il liquido si trova all stesso livello tra due recipienti comunicanti,
l’acqua non fluisce; dobbiamo creare il dislivello con una pompa in modo il
liquido circoli attraverso i recipienti.
La ddp o forza elettromotrice della pila agisce proprio come una pompa
idraulica: crea un dislivello di potenziale elettrico nel circuito in modo che la
corrente elettrica possa fluire.
La corrente elettrica nel filo conduttore
Si definisce intensità di corrente elettrica, o più semplicemente corrente, la
quantità di carica che attraversa la sezione di un file conduttore nell’unità di
tempo
dq
i
dt
Inversamente, dalla corrente si può ricavare la carica come:
t
t
0
0
q dq i dt
Dalla conservazione della carica
deriva il principio di stazionarietà: la
corrente è la stessa in ogni punto del
filo conduttore; dunque la carica che
attraversa nell’unità di tempo le
superfici aa’, bb’, cc’ è la stessa
Unità di misura
Fisico, matematico, e
chimico francese, AndréMarie Ampère (1775-1836)
rivelò precoce talento
matematico e memoria
straordinaria. Suo padre era
un giudice e fu
ghigliottinato nel 1793.
Stabilì le relazioni tra
elettricità e magnetismo
L’unita di misura dell’intensità di corrente nel Sistema
Internazionale è l’Ampere (A), dal nome dello scienziato
francese A. M. Ampère. Possiamo dire che in un
conduttore circola la corrente di 1 A quando attraverso
una sezione del conduttore passa la carica di 1 C al
secondo. Analogamente, possiamo dire che il Coulomb è
la quantità di carica elettrica che passa nel tempo di 1 s
in un conduttore percorso da 1 A di corrente elettrica
Q 1C
I
1A
Dt 1s
Esempi di amperaggio: una porta USB 2.0 eroga 0.5 A
di corrente; un caricatore per smartphone raggiunge 1
A, mentre quelli per Tablet circa 2 A; la corrente di
picco erogata nelle abitazioni è di 16 A.
La corrente elettrica come quantità scalare
ATTENZIONE: La corrente elettrica è una
quantità scalare, non deve confondere il
fatto che sia disegnata con una freccia che
ne indica il verso.
Infatti due correnti che confluiscono o
provengono da un solo ramo si sommano
come scalari, non come vettori:
i0 i1 i2
In altri termini, la freccia indica soltanto il
VERSO della corrente, ma NON la
DIREZIONE nello spazio, come avviene per i
vettori
Verso della corrente
Per convenzione si e stabilito che la corrente
elettrica è un flusso di cariche positive che si
muovono dal polo positivo (cioè quello a potenziale
maggiore) al polo negativo; in realtà, nei conduttori
metallici sono le cariche negative, (gli elettroni) che
si muovono, e quindi vanno dal polo negativo al
polo positivo.
Quando in un circuito elettrico la corrente fluisce sempre nella stessa direzione
si dice che è corrente continua. Le pile e le batterie sono generatori che
producono corrente continua. Sugli apparecchi elettrici la corrente continua è
indicata con la sigla DC (–), dall’inglese “direct current”.
In alcune situazioni (ad esempio nel caso di trasmissione di energia elettrica a
distanza) è però più conveniente utilizzare la corrente alternata, che ha la
caratteristica di invertire con periodicità il verso. Per esempio la corrente che
circola nella rete elettrica delle nostre case è alternata, ed inverte il verso di
percorrenza da I=+16 A a I=-16 A per 50 volte al secondo (ovvero lavora a 50
Hertz di frequenza). La corrente alternata è indicata con la sigla AC (∼), ovvero
“alternating current”.
La corrente come flusso: densità di corrente
A volte possiamo essere interessati alla corrente che scorre attraverso una
superficie qualsiasi, non necessariamente attraverso un filo conduttore. In
questo caso, dobbiamo considerare una definizione più generale, ovvero la
corrente come flusso di carica attraverso una superficie.
A tale scopo dobbiamo definire il vettore DENSITA’ di CORRENTE J: J ha la
direzione della velocità della carica, e per convenzione il verso concorde con
il moto delle cariche positive, e discorde col moto delle cariche negative; se
dA è il vettore areale infinitesimo, la corrente elettrica è data dal flusso di J
attraverso A:
i J dA
A
Se J è uniforme e perpendicolare ad A in ogni punto, chiaramente si ha
i
i J dA J A J
A
A
A
J 2
m
Densità di corrente e velocità di drift
Quando si applica al conduttore una differenza di potenziale, gli elettroni
acquistano una direzione netta di spostamento; la velocità con cui avviene
questo moto collettivo si dice velocità di drift vd (in italiano velocità di
“trascinamento”, o di “deriva”)
Se indichiamo con n la densità di portatori
(particelle cariche che contribuiscono alla
corrente per unità di volume), la carica che
attraversa la superficie A nell’unità di tempo è
q
i (nAvd )e
t
J n e vd
i J dA ne vd dA
A
A
e: carica elementare col segno relativo
Densità di corrente e velocità di drift
i J dA ne vd dA
A
A
J n e vd
Corrente e densità di corrente sono sempre rivolti nel verso della velocità
delle cariche positive; se la carica che si muove è negativa (come di fatto
accade nei conduttori) il loro verso è opposto a quello della vd elettronica
La velocità di drift all’interno di un conduttore è piccolissima, mentre la
reale velocità degli elettroni è enorme:
m
6 m
vd 10 10
; ve 10
s
s
4
5
Linee di flusso della densità di corrente
J
Come tutti i campi vettoriali, anche la
densità di corrente può disegnarsi
mediante linee di flusso.
Consideriamo in Figura la corrente
attraverso un conduttore strozzato.
Per definizione la tangente alla linea in
ogni punto dà la direzione della
corrente, mentre la densità delle linee
esprime il valore assoluto della densità
di corrente.
Nell’ipotesi di regime stazionario, la corrente (ovvero il flusso) attraverso la
parte larga e la parte strozzata deve essere lo stesso. Questo vuol dire che nella
parte strozzata, essendo l’area più piccola, deve aumentare il modulo di J,
ovvero la velocità di drift: questo è graficamente riprodotto dal fatto che nella
parte strozzata le linee di flusso sono più ravvicinate, dunque esprimono un
aumento di modulo di J rispetto alla parte più larga del conduttore.
Problema 26.2
Si consideri un conduttore cilindrico di
raggio R=2 mm con densità di corrente
uniforme e perpendicolare alla sezione del
cilindro J=2x105 A/m2. Si calcoli il valore
della corrente nella sola regione cilindrica
compresa tra R/2 ed R
Essendo J uniforme su tutti i punti della
superficie attraversata si ha che la corrente
totale è:
i J dA J R 2
A
Per calcolare la corrente che viaggia nel cilindro compreso tra R/2 ed R basta
sottrarre alla precedente il contributo dell’area di raggio R/2:
2
3
R
3 2 4 1
2
2
JR
i J R J
10 A 1.9 A
4
4 4
Problema 26.2
Si consideri lo stesso conduttore cilindrico di
raggio R=2 mm ma con densità di corrente
radiale J=ar2 ed a=3x1011 A/m4. Si calcoli la
corrente nella regione tra R/2 ed R
J ha simmetria radiale sulla sezione sferica
del cilindro, ovvero J è costante lungo un
qualsiasi cerchio di raggio r; il trucco è
quindi considerare il flusso infinitesimo su
un anello di raggio r e spessore dr e quindi
integrare su r:
R
i J dA 2a r 3dr
A
R/2
1 4R
a 4
1 15
2a r
R 1 4 aR 4 7.1A
4 R/2
2
2 32
Problema 26.3
Una corrente i=17 mA scorre in un filo di rame avente raggio r=900 mm; sia J
uniforme. Qual è la velocità di drift (deriva) degli elettroni di conduzione? Si
consideri che ogni atomi di rame fornisce 1 elettrone di conduzione, e che la
densità atomica del rame n=8.51028 atomi/m3.
i
17 103 A
3 A
J
6.7 10 2
8
2
A 8110 m
m
A
6.7 10 2
J
7 m
m
vd
4.9 10
ne 8.5 1028 1 1.602 1019 C
s
m3
3
Resistenza elettrica: definizione
Se si applica la stessa ddp all’estremità di due
conduttori di uguale dimensione e forma ma
diverso materiale, per esempio uno di rame e
uno di grafite, l’intensità di corrente che
percorre i due fili è diversa: la corrente che
circola nella bacchetta di rame è maggiore di
quella che circola in quella di grafite. Il
rapporto tra la differenza di potenziale
applicata e l’intensità di corrente definisce una
nuova grandezza, caratteristica di ciascun
conduttore: la resistenza elettrica:
DV
R
I
La resistenza elettrica misura la resistenza di un materiale conduttore ad
essere attraversato dalla corrente. Benché conduttore, il materiale pone un
‘freno’ agli elettroni che lo attraversano. Questo freno dipende dalle
caratteristiche specifiche del materiale.
Resistenza elettrica: unità di misura
DV
DV
R
I
DV IR
I
R
Georg Simon Ohm (17871854). I suoi risultati furono
inizialmente respinti dalla
comunità scientifica. Visse in
povertà fino al 1833 quando fu
assunto al politecnico di
Norimberga; nel 1853 divenne
professore all’Università di
Monaco.
La resistenza elettrica si misura in Ohm,
indicata col simbolo W (omega), in onore
del fisico tedesco G.S. Ohm che nella
prima metà del XIX secolo formulò la
celebre legge di Ohm
Volt
R
Ohm
Ampere
Prima legge di Ohm
Per misurare la resistenza di un filo conduttore si
applica una DV ai capi del conduttore e si misura la
corrente; dal rapporto tra le misure si ottiene il
valore della resistenza:
R
Rame e grafite seguono la legge di
Ohm: il rapporto tra I e DV è
COSTANTE. La retta con la
pendenza maggiore è quella con la
resistenza minore
DV
I
Si ripete poi la misura per tanti valori di DV: se il
valore di R non varia con DV (dunque il rapporto
DV/I è costante) si dice che il materiale ha un
comportamento Ohmico, ovvero obbedisce alla
legge di Ohm.
Un materiale obbedisce alla prima legge di Ohm se,
a temperatura costante, la resistenza non dipende
dalla differenza di potenziale applicata ai capi del
conduttore; in questo caso, la corrente elettrica in
un conduttore è direttamente proporzionale alla
differenza di potenziale, ed inversamente
proporzionale alla resistenza
Prima legge di Ohm
Conduttore ohmico
In realtà, parlare di “Legge di Ohm” è improprio: più
che una legge, quello di Ohm è un comportamento
che molti conduttori, MA NON TUTTI, seguono. I
conduttori che seguono il comportamento di Ohm
sono detti ohmici; quelli che non seguono Ohm
sono detti non-ohmici.
In figura si vede chiaramente la differenza tra un
conduttore ohmico e non-ohmico; i moderni circuiti
microelettronici nei calcolatori, tablet, smartphone
sono pieni zeppi di conduttori non-ohmici !!
Diodo al silicio non-ohmico
ATTENZIONE: per entrambe le tipologie di materiali
la resistenza è sempre definita:
R
DV
I
La distinzione tra ohmico e non ohmico NON è in
questa definizione, ma nel fatto che per gli ohmici
R non varia con la DV applicata !!
Effetto della temperatura
in generale la resistenza di un conduttore varia fortemente con la
temperatura, per cui se durante il processo di misura la temperatura
varia, anche la resistenza varia.
R
DV
I
In Figura è riportata la curva I-DV per una
lampadina a incandescenza. Sembrerebbe che
l’andamento della curva violi la legge di Ohm, ma
non è così !!
Il filamento di tungsteno è un conduttore
ohmico, tuttavia al crescere della corrente,
aumenta la temperatura del filo incandescente
(effetto Joule).
Nel filo di tungsteno la pendenza
della curva I-V diminuisce poiché
R aumenta con la temperatura
Nei metalli l’aumento di temperatura causa un
aumento di resistenza: dunque R sta
aumentando non perché dipende da DV, ma
perché la temperatura non è costante con
l’aumentare della corrente
Resistività e seconda legge di Ohm
Con i suoi esperimenti Ohm verifico che la resistenza elettrica di un conduttore
dipende non soltanto dalla sostanza di cui e costituito il materiale, ma anche dalle sue
caratteristiche geometriche: consideriamo un filo conduttore di lunghezza L, e sia A
l’area della sezione del filo, e DV la ddp ai capi del filo. Supponendo il campo elettrico
costante all’interno del filo, la legge di Ohm ci dà:
R
DV E L
;
I
JA
Rr
E
r
J
L
A
La resistenza R di un conduttore di sezione costante è proporzionale alla lunghezza
(L) e inversamente proporzionale all’area (A) della sezione (2a legge di Ohm)
r (rapporto tra campo elettrico e densità di corrente) si dice resistenza specifica o
resistività; essa dipende solo dalla sostanza del campione e dalla temperatura, ma non
dalla sua forma o estensione. La resistività è dunque una grandezza intensiva, a
differenza della resistenza che è estensiva
Resistività e seconda legge di Ohm
r R A r W m
L
L’unità di misura della resistività è ohm per metro
(Wm). La resistività rappresenta dunque la resistenza di
un conduttore di lunghezza 1 m e di sezione 1 m2
La resistività misura la capacità di un materiale di
opporsi al passaggio della corrente
rJ E
1
J E s E
r
La resistenza è una quantità macroscopica, connessa
a quantità tipicamente misurate nei circuiti come
corrente e tensione; la resistività è microscopica,
relativa alle proprietà fondamentali del materiale
La resistività connette due grandezze vettoriali: campo
elettrico e densità di carica, ed è una quantità scalare
solo nel caso di sistema isotropo (altrimenti sarebbe
una matrice!)
L’inverso della resistività si dice conducibilità e si
indica con s: la conducibilità misura l’attitudine del
materiale ad essere attraversato dalla corrente.
Valori della resistività nei materiali
Valori della resistività a T ambiente
L’unità di misura della resistività è ohm per metro
(Wm). La resistività rappresenta dunque la resistenza di
un conduttore di lunghezza 1 m e di sezione 1 m2
Problema 26.4
Un blocco di ferro ha dimensioni 1.0 cm 1.0 cm 10 cm; calcolare la resistenza
misurata in direzione z ed x; la resistività del ferro è r= 10-7 W m.
x
z
y
Lungo z:
Lungo x o y:
L
10cm
7
4
R r 10 W m
10
W
2
A
1cm
L
1cm
7
6
R r 10 W m
10
W
2
A
10cm
NB: il materiale è isotropo, ovvero stessa resistività lungo x,y,z; la resistenza cambia a
causa del diverso rapporto tra lunghezza percorsa dalla corrente (L) e sezione
attraversata (A): maggiore è questo rapporto, maggiore la resistenza incontrata.
Resistori in commercio
In molte apparecchiature elettriche sono inseriti componenti che devono avere una
ben determinata resistenza elettrica; questi prendono il nome di resistori, o
semplicemente resistenze. Per facilitare l’utilizzo di queste resistenze, esse sono
vendute utilizzando un codice di colori standard che identificano le caratteristiche
della resistenza. In genere sul resistore sono impresse quattro strisce colorate; i colori
delle prime due indicano il valore della resistenza, la terza striscia indica l’esponente
della potenza di 10, la quarta la tolleranza. Quindi, per esempio: verde (=5), blu
(=6), arancio (3), oro (=5%) significa R=56x103 W con tolleranza del 5%.
Origine microscopica della resistività
Nei conduttori alcuni elettroni (“elettroni di conduzione”) sono liberi di spostarsi da
un atomo all’altro. In un conduttore tipico (ad es. rame) la velocità media di questi
elettroni è ve 106 m/s.
Se si accende un campo elettrico all’interno di un conduttore, ci aspettiamo che gli
elettroni fluiscano collettivamente attraverso il conduttore a quella stessa velocità;
invece, sotto l’azione del campo, la velocità del flusso elettronico netto nella direzione
del campo (“velocità di deriva”) è ENORMEMENTE più bassa: vd 10-6 - 10-7 m/s !!
Perché il moto elettronico è così frenato all’interno del conduttore ? Da cosa
origina, a livello microscopico, il fenomeno della resistenza elettrica?
Il moto degli elettroni NON è completamente libero: come in un fluido gli urti
tra molecole causano una certa viscosità che riduce il flusso del liquido, così gli
elettroni di conduzioni ‘urtano’ con vari ostacoli nel loro percorso.
Fino a temperature non troppo alte (temperatura ambiente), gli urti più importanti
sono tra elettroni e vibrazioni atomiche: vibrando attorno alle posizioni di equilibrio,
gli atomi urtano con gli elettroni e ne ostacolano il flusso. Più è forte l’interazione tra
elettroni e vibrazioni atomiche, maggiore è la resistività del materiale
A temperature molto elevate, gli elettroni iniziano ad urtare fortemente anche tra
loro: l’interazione tra elettroni diventa il fattore predominante nel determinare la
resistività
Origine microscopica della resistività
In Figura, la traiettoria nera rappresenta il moto
dell’elettrone SENZA campo, causato dall’energia
cinetica dell’elettrone ed influenzato soltanto dalle
collisioni, che cambiano continuamente la direzione
del moto. La traiettoria verde è quella seguita in
presenza del campo: gli urti sono gli stessi ma tra un
urto e l’altro le traiettorie sono spostate verso destra
dalla presenza del campo. Dunque, lo spostamento
effettivo dovuto al campo è soltanto quello relativo
alla differenza tra B e B’: per unità di tempo questo
spostamento rappresenta la velocità di deriva, ed è
enormemente più piccolo della traiettoria reale
percorsa dall’elettrone nello stesso tempo.
Un elettrone libero accelerato dal campo elettrico aumenta via via la velocità, dunque
acquista progressivamente energia cinetica. Ma ogni volta che urta contro un atomo,
esso cede parte di questa energia al reticolo cristallino, provocando così un
incremento della vibrazione reticolare e dunque della temperatura del cristallo.
Con gli urti l’elettrone perde l’energia cinetica acquisita grazie al lavoro compiuto dal
campo, e la trasferisce al materiale sotto forma di ENERGIA TERMICA (effetto Joule).
Origine microscopica della resistività
Tra un urto e l’altro l’elettrone è libero di muoversi, e
sottoposto al campo elettrico, subisce
un’accelerazione:
F eE
a
m m
Quando urta, l’elettrone ‘perde memoria’ della sua
direzione precedente e riparte con direzione
casuale. Se definiamo t il tempo che intercorre in
media tra un urto e l’altro (“tempo di rilassamento”)
si ha:
eEt
J
m
vd at
E
J rJ
2
m
ne
t ne
m
r
t n e2
s e n
2
t
m
Possiamo ipotizzare che t non dipenda in modo significativo dal campo applicato. Da
questa assunzione segue che resistività (e conduttività) sono espresse da quantità
tutte indipendenti dal campo applicato, e dunque che un conduttore ordinario
obbedisce alla legge di Ohm.
Dipendenza della resistività dalla temperature
La resistività ha una forte dipendenza dalla
temperatura. Si veda in figura la resistività in
funzione di T per il rame.
Con l’aumento di T aumentano ampiezza e
frequenza di oscillazione degli atomi attorno
alle posizioni di equilibrio, e dunque
aumenta la probabilità di urto tra atomi e
cariche mobili. L’aumento degli urti produce
la diminuzione del tempo di rilassamento t, e
dunque l’aumento di r:
m
r
t n e2
La variazione di r con T in molti metalli comuni è
circa lineare; per cui viene usata la legge empirica:
r r0 r0 (T T0 )
T0 è una temperatura di riferimento (tipicamente la temperatura ambiente T0 =293 K),
r0 la resistività relativa a T0, è detto coefficiente termico di resistività. Si noti che
nella formula precedente la temperatura compare soltanto come differenza tra due
valori, per cui usare gradi Kelvin o Celsius è totalmente indifferente.
Problema 26.6
Calcolare il tempo medio tra due urti nel rame; per il rame n=8.51028 elettroni/m3 ;
r= 1.710-8 W m; ricordiamo che la massa dell’elettrone è m=9.1 10-31 Kg.
t
m
r n e2
2
C
W
2
28
8
2
38
18 Kg
nre (8.5 10 )(1.7 10 )(1.6) 10
37 10
2
m
s
Dimensioni fisiche: ricordiamo che
CW Vs; V / m N / C
C 2W C (CW) C (Vs ) C s V C s N
s
s Kg m Kg
N
2
2
2
2
m
m
m
m m
m C m
m s
s
m
9.11031 Kg
13
t
0
.
25
10
s 25 fs
2
18
r ne
37 10 ( Kg / s)
Adesso capiamo perché la velocità di drift è così piccola: il tempo medio tra due urti
nel rame è brevissimo !!
Problema 26.6
Per il rame n=8.51028 elettroni/m3 ; r= 1.710-8 W m; ricordiamo che la massa
dell’elettrone è m=9.1 10-31 Kg.
Assumendo la velocità media degli elettroni
di conduzione del rame ve=1.6106 m/s,
B
calcolare il cammino libero medio L, ovvero
la distanza media percorsa tra due urti.
ve
A
L
vd
E
L vet (1.6 106 )(25 1015 )m
40 109 m 40 nm
La distanza media tra due atomi è circa 0.5
nm, dunque l’elettrone viaggia indisturbato
attraversando ‘in media’ circa un centinaio di
atomi prima di colpirne uno!
Trasformazione di energia nel circuito
In Figura, un dispositivo non specificato è connesso ad una
batteria B, che mantiene una DV fissata; la batteria genera
una corrente continua i attraverso il circuito. Il lavoro
compiuto (energia spesa) dalla batteria per far circolare
una carica infinitesima dq nel tempo dt è dato da:
dU dq DV i dt DV
Se la forza elettromotrice DV è costante, L’energia totale
erogata nel tempo t è quindi:
t
DU DV i dt qDV
0
Ove q è l’intera carica circolata nel circuito nel tempo t; ovviamente l’energia non può
perdersi nel nulla, deve conservarsi: che fine ha fatto? :
Se il dispositivo è un motore elettrico, si è trasformata in lavoro meccanico
compiuto dal motore;
Se il dispositivo è un accumulatore di energia (ad esempio un condensatore) è stata
immagazzinata nel dispositivo
Se il dispositivo è un resistore, si è trasformata in energia termica (ovvero CALORE)
del resistore
Trasformazione di energia nel circuito
Nei circuiti elettrici, più che il lavoro o l’energia
potenziale, la grandezza tipicamente considerata è
la potenza, ovvero il lavoro per unità di tempo:
P
dU dq DV
i DV
dt
dt
(1)
La cui unità di misura è il Watt: 1 W = 1 A 1 V =
(1 J / 1 s). Da: DV R i
DV 2
P
i2R
R
(2)
ATTENZIONE: la formula (1) si applica in tutti i casi ed è più generale della (2) in cui
compare R, che si applica soltanto nei casi in cui la potenza è dissipata su una
resistenza. In pratica, comunque, qualunque motore ha sempre una minima resistenza
interna, per cui nessun dispositivo è totalmente privo di energia dissipata in calore
Trasformazione di energia elettrica in calore:
Legge di Joule
Consideriamo un resistore, ai cui
capi sia applicata una tensione DV
DV
la potenza dissipata nel resistore è data da:
dL dq
P
DV i DV i 2 R
dt
dt
Se tutto il lavoro si trasforma in calore assorbito dal materiale, indicando con Q il
calore sviluppato nel tempo t, si ha ovviamente:
Q
P Q i2R t
t
Questa formula è la celebre LEGGE DI JOULE: la quantità di calore per unità di tempo
sviluppata nel passaggio di una corrente elettrica attraverso il resistore è data dal
prodotto del quadrato della corrente per la resistenza del resistore
Effetto Joule in motori elettrici e resistori
Nel passaggio di corrente attraverso il conduttore, il lavoro del campo elettrico speso
per accelerare gli elettroni si trasforma attraverso gli urti in energia cinetica degli
atomi, ovvero in calore. Dunque nei conduttori percorsi da corrente avviene sempre un
certo riscaldamento. La trasformazione dell’energia elettrica in calore si dice effetto
Joule. Questo calore rappresenta energia dissipata nei motori elettrici, mentre è
utilmente sfruttata come sorgente di riscaldamento mediante i resistori.
Motori elettrici: macchine che trasformano energia elettrica in
energia meccanica, come un rasoio elettrico o un trapano; hanno
tutti una loro resistenza interna che genera calore, dunque energia
persa rispetto al lavoro erogato dal generatore
Resistori: materiali conduttori con alta resistività utilizzati
per la generazione di calore. Nelle stufe elettriche, le
resistenze si riscaldano al punto di diventare incandescenti
ed emettere calore per irraggiamento. Nelle lampadine ad
incandescenza, il filo incandescente emette una porzione
(piccola) di radiazione elettromagnetica nel visibile, così
da permette l’illuminazione. Nel phon c’è una resistenza
che scaldandosi emette aria calda. Altri esempi sono la
caldaia, la lavastoviglie, la lavatrice, il bollitore
Problema 26.7
Consideriamo una stufa elettrica con tipica resistenza avvolta a
spirale costituita da lega nichel/cromo/ferro (detta nichelcromo);
sia R= 72 W;
1) Sia DV=120 V; calcolare la potenza dissipata dalla stufa
DV 2 (120V )2 (1.2)2 104
P
W 200W
R
72 W
72 W
2) Immaginiamo di tagliare la resistenza a metà e di applicare V=120 V su ciascuna
delle due metà; calcolare la potenza dissipata.
Essendo le due metà in serie, è come avere un’unica resistenza con una V doppia
agli estremi, per cui:
(2 120V ) 2
P
4 200W
72 W
Curiosità varie
Caratteristiche fondamentali degli apparecchi elettrici (utilizzatori):
I parametri fondamentali degli utilizzatori sono connessi (P=IV). Per
esempio, un rasoio elettrico che lavora a ddp=220 V ed ha P=10 W
eroga effettivamente quella potenza solo se la ddp applicata è quella
indicata; se si va negli USA dove la ddp è di 110 V anche la potenza è
minore (il rasoio gira più lentamente)
Trasporto dell’energia elettrica: avviene tramite cavi metallici lunghi
centinaia di chilometri: la 2° legge di Ohm ci dice che questo genera
grandi resistenze; e per ridurre le perdite di energia in calore si
utilizzano alte tensioni (fino a 500 kV) e bassa intensità di corrente.
Q 2
P i R i DV
t
Fusibili di protezione: Il fatto che i conduttori percorsi dalla
corrente elettrica si riscaldano viene sfruttato nei cosiddetti fusibili
di protezione, componenti elettrici costituiti da un piccolo tratto di
filo metallico a basso punto di fusione. Quando la corrente supera
un certo valore, per esempio a causa di un cortocircuito, il fusibile
fonde, interrompe il circuito e impedisce cosi danni maggiori
Il circuito elettrico: il generatore
E iR
Si chiama circuito elettrico un generico percorso
chiuso in cui le cariche elettriche possono muoversi
con continuità.
Il circuito è costituito da un insieme di componenti
elettrici collegati tra loro mediante fili conduttori.
I componenti possono essere soltanto due, come la
pila e la lampadina presenti in una torcia elettrica,
oppure milioni, come quelli, microscopici, all’interno di
un computer.
Il componente fondamentale di un circuito è il generatore: esso e capace di
mantenere una differenza di potenziale tra i due punti del circuito a cui e collegato.
Le pile e le batterie, per esempio, sono generatori di differenza di potenziale
continua e costante con un polo positivo e uno negativo.
La differenza di potenziale generata dalla batteria si dice anche forza elettromotrice,
indicata con E.
Altre caratteristiche di un generatore sono l’intensità di corrente massima che può
erogare, e la potenza
Il circuito elettrico: componenti
I circuiti elettrici reali possono essere anche molto
complessi. Per semplificare lo studio, si utilizzano gli
schemi elettrici, in cui i vari componenti del circuito
sono rappresentati con simboli, collegati tra loro da linee
continue che rappresentano i fili elettrici.
In un circuito elettrico il percorso reale dei fili può
essere anche molto tortuoso, ma il funzionamento
effettivo del circuito non dipende da questo percorso
Utilizzatore: L’utilizzatore è qualunque dispositivo che per funzionare richiede
corrente elettrica, come ad esempio una lampadina o un motore elettrico.
Interruttore: Il circuito viene chiuso o aperto mediante un interruttore. La corrente
circola, convenzionalmente, dal polo positivo al polo negativo della pila.
Fili elettrici: Il collegamento avviene tramite un filo elettrico in genere di rame,
isolato con una guaina di plastica. I fili elettrici hanno una resistenza molto piccola che
di solito è trascurabile rispetto a quella dell’utilizzatore. Per questo motivo, se
incidentalmente si collegano tra loro direttamente i poli del generatore si ottiene un
cortocircuito, con il risultato di scaricare la pila o di danneggiare il generatore stesso.
Inoltre il passaggio molto intenso delle cariche da un polo all’altro può provocare un
forte riscaldamento e bruciare il filo conduttore.
Legge dei nodi o prima legge di Kirchhoff
Nei nodi del circuito (punti in cui convergono più rami) la
corrente si conserva, ovvero la corrente entrante deve
essere uguale a quella uscente (legge dei nodi o prima
legge di Kirchhoff)
i1 i2 i3
Seconda legge di Kirchhoff
c
d
Risolvere un circuito alimentato da un generatore
significa generalmente determinare la relazione tra
differenza di potenziale e corrente nel circuito. A tal
fine, si utilizzano le Leggi di Kirchhoff:
La somma algebrica delle DV calcolate su ciascun ramo di
un circuito chiuso è nulla (Seconda legge di Kirchhoff)
E
(Vb Vc ) (Vc Vd ) (Vd Va ) (Va Vb ) 0 i
R1 R2 R3
i R1
i R2
i R3
E
c
i
Se scegliamo il verso opposto della corrente ? Poco male:
applichiamo Kirchhoff nel verso opposto:
(Vb Va ) (Va Vd ) (Vd Vc ) (Vc Vb ) 0
d
E
E
i
R1 R2 R3
i R3
i R2
i R1
Stesso valore ma con segno negativo, il
ché ci indica che il verso corretto delle
cariche positive è quello di prima
Batterie ideali e reali
Le batterie ideali sono caratterizzate dalla sola
forza elettromotrice. In realtà, come qualsiasi
utilizzatore, anche un generatore possiede una
sua resistenza interna. In figura si vede che la
resistenza della batteria reale (indicata con r) è
inclusa come un elemento in serie col resto del
circuito. Applicando Kirchhoff si ottiene:
E
i r i R E 0 E i ( r R) i
rR
L’effettiva differenza di potenziale ai poli della batteria è
Vb Va E i r i R
Ovvero corrisponde alla forza elettromotrice meno il potenziale perso a causa della
propria resistenza interna; si noti che la forza elettromotrice è una caratteristica
propria della batteria, così come la resistenza interna, mentre la perdita di potenziale
ir dipende anche dalla corrente e dunque dal ‘carico’ R presente nel circuito
Escursioni altimetriche del potenziale
Vb Va E i r i R
Un modo utile per capire l’andamento del potenziale
nel circuito è visualizzarlo dispiegato lungo una linea
retta. In questo modo possiamo visualizzare il profilo
del potenziale proprio come un profilo altimetrico:
partiamo ad esempio dal punto a e percorriamo tutto
il circuito fino allo stesso punto:
Il filo conduttore si suppone a resistenza trascurabile, per cui lungo i fili il potenziale
è sempre costante ed il campo sempre nullo: i fili sono tratti pianeggianti attraversati
senza necessità di compiere lavoro.
In corrispondenza dell’attraversamento dei poli della batteria, il potenziale aumenta:
la batteria è la funivia che spende lavoro consentendo alla carica di ‘salire di quota’
Attraversando le resistenze il potenziale scende: le resistenze rappresentano discese
in cui il lavoro della batteria è speso in effetto Joule
Resistenze in serie
c
d
Le resistenze si dicono IN SERIE se sono poste in
successione lungo lo stesso filo. Dunque in ognuna di
esse scorre la stessa corrente, mentre la differenza di
potenziale prodotta dal generatore si ripartisce tra
tutte le componenti
Vb Vc i R1; Vc Vd i R2 ;
Vd Va i R3
Vb Va E i( R1 R2 R3 )
E
i
;
Req
Req R1 R2 R3
Le resistenze in serie possono essere sostituite da un’unica resistenza equivalente,
uguale alla somma delle singole resistenze, in cui scorre stessa corrente e ai cui capi c’è
la stessa ddp complessiva.
Problema
Dato il circuito in figura, calcolare la ddp tra i punti b ed a
Vb Va E i r i R
E
12V
i
2A
r R 6W
Vb Va 12V 2 A 2 W 8V
Stesso circuito, ma col potenziale Va messo a terra,
ovvero collegato con un filo privo di resistenza alla terra:
Va =0; nulla cambia per quanto riguarda corrente e
differenza di potenziale:
Vb Va Vb 8V
Se colleghiamo a terra Vb si ha:
Vb Va Va 8V Va 8V
Problema
Calcoliamo la potenza del generatore. La potenza netta
trasferita dal generatore al circuito sotto forma di
corrente è data da:
P i DV iVb Va 16W
Questa potenza si può riscrivere come somma di due
contributi
P iE i r iE i 2r
P iE 24W
È la potenza ideale erogata dal generatore
P i r 8W
È la potenza dissipata in calore dal generatore per
effetto Joule a causa della sua resistenza interna
2
Problema 27.1
Consideriamo il circuito in Figura, con due
batterie in opposizione, con caratteristiche:
E1 4.4V
r1 2.3 W
E2 2.1V
r2 1.8 W
ed un resistore tra i punti b e c con R=5.5 W
1) Calcolare la corrente nel circuito.
E1 E2 ir1 r2 R
E1 E2
2.3V
i
0.24 A
R r1 r2 9.6W
2) Calcolare la ddp ai poli della
batteria 1
Va Vb E1 i r1 3.85V
Resistenze in parallelo
Le resistenze si dicono IN PARALLELO se sono
ordinate in rami paralleli con ai capi stessa
differenza di potenziale; la corrente totale che
attraversa il generatore è la somma delle
correnti che scorrono nei singoli rami.
E Va Vb i1R1 i2 R2 i3 R3
1
1
1
i i1 i2 i3 Va Vb
R1 R2 R3
E
i
;
Req
1
1
1
1
Req R1 R2 R3
Le resistenze in parallelo possono essere sostituite da un’unica resistenza
equivalente, il cui inverso è uguale alla somma degli inversi delle singole resistenze,
in cui scorre la corrente totale, e ai cui capi c’è la stessa ddp delle singole resistenze
Problema 27.2
La figura mostra un circuito a più maglie con valori:
E 12V
R1 20 W
R2 20 W
R3 30 W
R4 8 W
1) Calcolare la corrente che transita attraverso la batteria.
R2 ed R3 sono in
parallelo:
1
1
1
R23 12 W
R23 R2 R3
R1, R23 ed R4 sono in serie:
Req R1 R23 R4 40 W
E
12V
i1
0.3 A
Req 40W
Problema 27.2
La figura mostra un circuito a più maglie con valori:
E 12V
R1 20 W
R2 20 W
R3 30 W
R4 8 W
2) Calcolare la corrente i2 che transita nel ramo R2
Vb Vc i1R23 0.3 A 12 W 3.6V
Vb Vc 3.6V
i2
0.18 A
R2
20W
3) Calcolare la corrente i3 che transita nel ramo R3
Dalla prima legge di Kirchhoff applicata
nel nodo b si ha:
i1 i2 i3 i3 i1 i2 0.12 A
Problema 27.3
La figura mostra un circuito a più maglie; date le fem e le resistenze, trovare i valori
delle correnti in ogni ramo del circuito
E1 3V
i3
i1
S1
S2
i3
i1
i3
E2 6V
R1 2 W R2 4 W
Ipotizziamo un verso qualsiasi per
ciascuna corrente nelle maglie; se
è sbagliato non importa, poiché
otterremmo semplicemente un
valore con segno negativo.
Consideriamo i circuiti chiusi S1 ed
S2, e scriviamo le rispettive
equazioni; inoltre imponiamo la
legge dei nodi nel nodo a:
Circuito S1:
E1 E2 i1R1 i2 R2 i1R1 2i1R1 i2 R2
Circuito S2:
E2 E2 i3 R1 i2 R2 i3 R1 0 i3 i2 R2 / 2R1
Legge dei
nodi:
2 R1
i1 i3 i2 i2 i1
2 R1 R2
Sostituisco questo risultato nell’Eq.
per S1 e risolvo rispetto ad i1
Problema 27.3
La figura mostra un circuito a più maglie; date le fem e le resistenze, trovare i valori
delle correnti in ogni ramo del circuito
E1 3V
i3
i1
S1
i3
2 R1
i2 i1
0.25 A
2 R1 R2
i3
R2
i3 i2
0.25 A
2 R1
i3
i1
S1
S2
i3
i1
R1 2 W R2 4 W
2 R1 R2
i1 E1 E2
0.5 A
2
4 R1 4 R1R2
S2
i1
E2 6V
i3
Il verso delle correnti i1 e i2 è opposto a
quanto ipotizzato; era preventivabile
considerando che la batteria più potente è
la 2, e dunque tende ad imporre il proprio
verso di percorrenza stabilito dai suoi poli
Resistenza e capacità equivalente: Tabella riassuntiva
Collegamento in serie e in parallelo
Le lampadine dell’albero di Natale
sono connesse in serie: se una si
fulmina il circuito si apre: non passa
più corrente e nessuna lampadina si
illumina più.
Gli elettrodomestici di casa (luci,
televisore, elettrodomestici) sono tutti
connessi in parallelo: se uno smette di
funzionare gli altri continuano a
funzionare regolarmente
Misure nel circuito: voltmetro e amperometro
DV
DV
La ddp si misura col voltmetro; questo deve essere inserito in parallelo, collegando i
poli del voltmetro ai capi del circuito tra i quali si vuole misurare la ddp
DV
DV
L’intensità della corrente si misura con l’amperometro. Questo deve essere inserito in
serie con il tratto di circuito di cui si vuole misurare la corrente. L’amperometro deve
essere attraversato dalla corrente che si vuole misurare, per cui si deve interrompere il
circuito e inserire lo strumento
Misure nel circuito: voltmetro e amperometro
Come qualunque altro componente, anche amperometro e voltmetro hanno
una loro resistenza interna. Questa resistenza non deve alterare il valore della
resistenza da misurare, per cui:
l’amperometro collegato in serie, deve avere una resistenza piccola e trascurabile
voltmetro connesso in parallelo deve avere una resistenza più grande possibile.
NON collegare un voltmetro in serie: la sua grande resistenza interna impedirebbe
alla corrente di scorrere, interrompendo il circuito
MAI usare un amperometro in parallelo: potrebbe causare un cortocircuito e
bruciare il circuito elettrico.
Gli strumenti più diffusi sono chiamati multimetri o tester.
Questi permettono misure di ddp, corrente e resistenza. Un
multimetro presenta due poli, detti anche boccole o morsetti, i
quali, per mezzo di appositi spinotti e cavi, devono essere
collegati al circuito elettrico.
Quando si misurano grandezze continue si deve rispettare la
polarità dei morsetti. Per convenzione, il polo positivo viene
collegato con il cavetto di colore rosso, quello negativo con il
cavetto di colore nero.
Circuiti RC: processo di carica del condensatore
In figura è riportato un circuito con una resistenza
e un condensatore inizialmente scarico. Per
caricarlo chiudiamo il circuito mettendo in
contatto l’interruttore S col punto a: la batteria
inizia a trasferire carica al condensatore, finché si
giunge all’equilibrio nel momento in cui DV ai
piatti del condensatore eguaglia la forza
elettromotrice; la carica di equilibrio ai piatti del
condensatore è:
q CE
Esaminiamo il processo di carica: tutte le grandezze devono essere valutate come
variabili nel tempo: siano q(t), VC(t) carica e differenza di potenziale ai piatti del
condensatore; i(t) è la corrente nel circuito. In un dato istante durante la carica,
l’equazione della corrente dà:
E VC iR
Si noti che pila e condensatore sono in opposizione tra loro, essendo il polo positivo
(negativo) a contatto col piatto positivo (negativo). Inoltre, l’equazione precedente ci
dice che la corrente si annulla quando VC eguaglia la forza elettromotrice.
Circuiti RC: processo di carica del condensatore
E VC iR
Riscriviamo VC(t) e i(t) in termini di carica:
dq(t )
q(t )
R
E
dt
C
La variazione della carica ai piatti del condensatore è
descritta da una equazione differenziale del 1° ordine; si
può dimostrare che la soluzione è data da:
q(t ) CE 1 et /(RC )
(1)
Notiamo come l’equazione (1) descriva gli istanti iniziali e
finali del processo di carica: per t=0 q=0 (condensatore
scarico); per t l’ esponenziale svanisce, per cui
q C E (condensatore carico). Dalla carica otteniamo:
i(t ) dq / dt
E t /( RC )
e
R
(2)
L’Eq. (2) mostra che per t=0 i(t)= E /R; per t i(t) 0; dunque a t=0 il condensatore si
comporta come un conduttore con resistenza trascurabile (corto circuito); a carica
avvenuta, il condensatore è come un conduttore ‘tagliato’ (circuito aperto)
Circuiti RC: processo di carica del condensatore
Infine VC(t) è ottenuto semplicemente come
VC (t )
q(t )
E 1 et /(RC )
C
(3)
Come ci aspettavamo, per t=0 VC=0 (condensatore
scarico); per t VC = E (condensatore carico).
Il termine RC = t è detto costante di tempo capacitiva: infatti, si può vedere
facilmente che ha le dimensioni fisiche del tempo:
V C C
RC WF
s
AV A
Dall’Eq. (3) si vede che:
VC (t ) E 1 e1 0.63 E
Dunque t è il tempo impiegato dal processo per caricare il condensatore al 63% del
suo massimo valore, corrispondente a VC = E ; in altre parole, t il condensatore si è
rappresenta una stima del tempo impiegato dal condensatore a caricarsi
completamente.
Circuiti RC: scarica del condensatore
Consideriamo il processo inverso: il condensatore
è carico, con:
q0 C E
Giriamo l’interruttore S dal punto a al punto b, in
modo che i piatti del condensatore siano posti in
cortocircuito attraverso resistenza R; adesso
l’equazione della corrente è:
VC iR
dq(t )
q(t )
R
0
dt
C
Si dimostra che la soluzione dell’equazione precedente è:
q(t ) q0et /t
Dunque q(t), diminuisce esponenzialmente col tempo; per t = t: il condensatore si è
scaricato del 37%:
q(t ) q e1 0.37q
0
Dalla carica si ricava facilmente la corrente:
i(t ) dq / dt
0
q0
t
et /t
Nel condensatore carica e corrente variano esponenzialmente col tempo
Circuiti RC: scarica del condensatore
La rapidità con cui un condensatore può caricarsi
per mezzo di un generatore o scaricarsi per
spendere l’energia immagazzinata in esso è la
caratteristica più importante del condensatore;
un generatore elettrochimico come la pila o la
batteria può accumulare una quantità di carica e
dunque un’energia totale enormemente maggiore
che un condensatore, ma il processo di
erogazione dell’energia è molto più lento.
La rapidità con cui il condensatore si carica e si scarica è dovuto all’andamento
esponenziale nel tempo della variazione della carica e del potenziale, e dal tempo
caratteristico RC = t che governa il processo di carica e scarica; consideriamo ad
esempio un tipico ordine di grandezza della capacità come il mF ed un carico R=1000
W; si ottiene:
t RC 1000W mF 103 s
il tempo caratteristico con cui il condensatore carica e scarica è dell’ordine del
millisecondo !
