funzioni esponenziali e logaritmiche come modelli della

Il Ministero della Pubblica Istruzione emana una direttiva rivolta ad alcune
tipologie di Istituti superiori invitandoli a ridurre le ore di matematica a favore
dell’informatica, considerata più utile, diminuendo il tempo dedicato ad alcuni
temi tra cui le funzioni esponenziali e logaritmiche.
Gli alunni, immaginando di essere un gruppo di docenti di matematica convinti
dell’importanza di tale argomento all’interno del curriculum, per i collegamenti
con gli altri argomenti e interdisciplinari e per la sua sensibilità in vari settori,
svolgono un’attività di ricerca volta a dimostrare questa tesi per
presentarla al ministro.
Secondo il matematico Federico Enriques "Non v'è pensiero originale
che non appaia come prolungamento d'un pensiero precedente. La legge
della continuità storica impera su tutto."
Babilonesi ed Egizi studiarono problemi legati alla vita quotidiana; non
costruirono teorie, ma nel loro lavoro troviamo già i primi segni di idee
matematiche su cui lavoreranno le civiltà successive. Infatti presso
Babilonesi ed Egizi troviamo problemi che utilizzano progressioni
aritmetiche e progressioni geometriche: dall'analisi di due progressioni
di questo tipo nascerà il concetto di logaritmo.
A distanza di migliaia di anni, Giovanni Nepero (1550-1617), che
raccoglie i suoi studi circa tale ambito nell’opera “Mirifici
logarithmorum canonis descriptio” giunge alla formula logaritmica
tramite lo studio di relazioni fra progressioni numeriche, ossia
successioni di numeri ordinati secondo una legge. Il termine “logaritmo
fu coniato dall’unione di “logos”, termine greco che significa ragione e
“arithmòs”, ovvero numero)
Nel corso dei secoli i logaritmi furono utilizzati al fine di facilitare calcoli
complicati che oggi risolveremmo con l’uso della calcolatrice,sfruttando le
proprietà dei logaritmi di “ abbassare “ di livello le operazioni : somme invece
di moltiplicazioni, sottrazioni invece di divisioni, moltiplicazioni invece che
potenze
BELLINGARDI FRANCESCA, VALSECCHI GIOVANNA
RIBOLDI MELANIA
PAVANO MARGHERITA
BEDETTI CAMILLA, CODEGA REBECCA, COLOMBO BEATRICE
ACERBI ELEONORA, LAGORI ELISA, MORGANTI LUCIA, MEDA LUCA
BRAMBILLA BEATRICE, SILVIA RATTI
CASIRAGHI ROBERTA, COLOMBO GRETA, FORMENTI ARIANNA
VALENTI MARIALAURA
È una successione numerica in cui ogni termine si
ottiene dal precedente secondo precise regole di
calcolo.
Es: 3, 6, 10, 15, 21
La progressione aritmetica è una successione di numeri per i quali la
differenza tra ogni termine e il suo precedente è costante. Tale differenza
è definita ragione della progressione e viene indicata con q.
Prendiamo come esempio la seguente progressione: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,
14, 16, 18, 20, 22, …
Come si nota, svolgendo la sottrazione 4-2 si ottiene 2, così come
svolgendo 6-4, 8-6, 10-8, 12-10, 14-12, e così via.
Questa successione si definisce quindi progressione aritmetica di
ragione 2
La progressione geometrica è una successione di numeri per i quali, a
partire dal termine iniziale diverso da 0, ogni altro numero è ottenuto
moltiplicando il termine precedente per lo stesso numero diverso da 0.
Tale numero è chiamato ragione della progressione e viene indicata
con q.
Prendiamo come esempio la seguente progressione: 1, 4, 16, 64, 256, 1024,
4096, 16384, 65536
Come si nota, ogni termine n è uguale al precedente per 4.
Ad esempio: 4 è il risultato della moltiplicazione del suo precedente 1 per
la ragione della progressione 4, così come 16 è il risultato della
moltiplicazione del suo precedente 4 per la ragione della progressione 4, e
così per tutti i termini della progressione.
Questa successione si definisce quindi progressione aritmetica di
ragione 4
La somma dei primi n numeri naturali è oggetto di un celebre aneddoto
riguardante il grande matematico Carl Friedrich Gauss (Brunswick 1777 Göttingen 1855).
Da fanciullo Gauss frequentò la scuola locale, dove l’insegnante aveva fama
di essere molto esigente nei riguardi dei suoi allievi. Un giorno, per tenerli
occupati, assegnò loro l’esercizio di sommare tutti i numeri da 1 a 100,
chiedendo che ciascuno deponesse la sua lavagnetta su un tavolo non appena
avesse finito il calcolo. Quasi immediatamente Carl depose sul tavolo la
propria lavagnetta dicendo "Ecco fatto"; l’insegnante gli diede un’occhiata
sprezzante mentre gli altri continuavano diligentemente a fare i loro calcoli.
Quando, alla fine, l’insegnante esaminò i risultati ottenuti dai vari allievi,
trovò che la lavagnetta di Gauss era l’unica a presentare il risultato esatto,
5050, senza alcun calcolo. Il fanciullo, che aveva allora dieci anni,
evidentemente aveva calcolato mentalmente la somma della progressione
aritmetica 1+2+3+…+100.
Da Storia della Matematica di Carl. B. Boyer
L’utilità del logaritmo consiste nel semplificare il calcolo, infatti, si
nota che, esprimendo i numeri sotto forma di potenza, la moltiplicazione e
la divisione sono esprimibili tramite somma e sottrazione di esponenti.
Il vantaggio di tale procedimento sarà tanto maggiore quanto più
complicati saranno i calcoli, poiché tale sistema permette di tradurre
moltiplicazioni e divisioni, derivate a loro volta da somme e sottrazioni, in
elevamenti a potenze ed estrazioni di radici.
Ad esempio 1000x100000=103x105
Briggs (1561-1631) calcolò i logaritmi in base 10 dei numeri da 1 a 20000 e
da 90000 a 100000. Egli ricavò le proprietà dei logaritmi dall’esame di
tavole provvisorie di calcolo logaritmico con numeri interi positivi (a>0).
Di tale lavoro di cui approfittano i suoi contemporanei e successori; si pensi
a Keplero, il quale venne aiutato dal calcolo semplificato tramite i logaritmi
a dedurre le leggi astronomiche.
logabn = nlogab
( x ∈ R ; y ∈ R ; a>0 )
Dimostrazione:
logabn = loga(b∙b∙b∙ n volte)
logabn =logab + logab + logab + logab……..n volte
logabn =n∙logab
CASI PARTICOLARI:
•loga1=0 poiché a0=1
•logaa=1 poiché a1=1
•alogab=b
•x=y
logax=logay
•logaam=m
con x,y > 0
con a,b,c > 0
Dimostrazione:
x=logac , quindi ax=c
da ciò deduco che logbax=logbc
ovvero, applicando una delle proprietà prima illustrate, x logba = logbc
che isolando la variabile x diventa
in cui, sostituendo x con ciò a cui corrisponde, ottengo
.
Una scala descrive il rapporto tra due grandezze.
La scala logaritmica si differenzia dalla scala lineare per il
fatto che la proporzionalità tra le due grandezze non è costante
ma ha un andamento appunto logaritmico.
Il BEL è definito come il logaritmo del rapporto tra una
grandezza e il suo valore di riferimento. 1 Decibel è pari a 1/10 di
Bel, dunque il decibel relativo ad una grandezza X generica viene
espresso nella forma:
che misura la variazione in decibel della grandezza rispetto ad
un valore di riferimento fissato X0.
Se per esempio la grandezza che consideriamo è la X e il valore di
riferimento è X0=10, passando da X0 a X=1000 otteniamo un
incremento in dB espresso dalla formula seguente:
Le sostanze radioattive sono dei composti chimici costituiti di atomi che
si decompongono spontaneamente in altri atomi non radioattivi. Il
fenomeno del decadimento radioattivo è di tipo esponenziale e
l'equazione che dà la misura secondo cui la massa di sostanza
radioattiva diminuisce nel tempo è la seguente:
dove m è la massa della sostanza radioattiva al tempo t, m0 è la massa
della sostanza radioattiva che era presente all'inizio dell'esperimento,
cioè al tempo t =0, e è un numero irrazionale che vale circa 2,7182 e
rappresenta la base dei cosiddetti logaritmi naturali, e infine (lambda) è
una costante detta "costante di decadimento radioattivo" il cui valore è
un numero caratteristico di ciascuna sostanza radioattiva e dà la misura
della maggiore o minore rapidità con cui avviene il processo di
trasformazione.
Più è grande il valore di lambda e maggiore è il numero degli atomi
radioattivi che si trasformano in atomi non radioattivi nell'unità di
tempo e quindi più rapido è il processo di decadimento. Il segno negativo
che compare davanti all'esponente di e suggerisce che la legge di
decadimento radioattivo è una legge di tipo esponenziale decrescente,
cioè una legge la quale mostra che con il passare del tempo gli elementi
presenti all'inizio diminuiscono e non aumentano di numero.
Esiste un settore del sapere scientifico che ricorre al concetto di
magnitudine per quantificare l'energia che si libera in seguito ad un
evento naturale: si tratta della sismologia la quale classifica i terremoti
utilizzando il termine latino di "magnitudo" che vuole dire grandezza.
Fin dai primordi della sismologia (dal greco seismòs che significa
“scossa”) la determinazione dell'intensità di un terremoto rappresentò
un problema di non facile soluzione. In un primo momento,
nell'impossibilità di pervenire ad una classificazione oggettiva del
fenomeno per mancanza di adeguati strumenti di misura, la forza dei
terremoti veniva determinata osservando i danni che questi
provocavano sulla superficie del terreno e soprattutto sulle opere
realizzate dall'uomo. Questo modo di procedere era, ovviamente, molto
approssimativo e legato a valutazioni personali che non potevano
portare se non ad una stima sommariamente qualitativa dell’evento
sismico.
Nel 1897 il sismologo italiano Giuseppe Mercalli (1850-1914) tentò di
dare razionalità e universalità alla scala dei terremoti basata sugli
effetti che questi producevano sulle persone, sui manufatti e sul terreno.
La scala di MERCALLI ebbe successo ed ancora oggi è molto usata.
Essa, tuttavia, più che fornire un dato sull'intensità del terremoto
fornisce una misura della gravità dei danni prodotti. Questi, come è
ovvio, non dipendono solo dall'energia liberata all'ipocentro, cioè nel
luogo in cui si origina il sisma, ma anche e soprattutto dalle condizioni
geografico - economiche della zona colpita, nonché dal suo grado di
urbanizzazione e dal tipo ed età delle costruzioni presenti.
La scala di Mercalli, all'inizio, comprendeva dieci gradi di intensità, ma
successivamente fu portata a 12. L'undicesimo grado fu aggiunto dallo
stesso Mercalli dopo il terremoto di Messina del 1908, mentre l'aspetto
definitivo fu raggiunto nel 1956 per opera di vari sismologhi. La scala di
Mercalli, o come meglio attualmente viene chiamata, la "Scala di
Mercalli Modificata" (scala M.M.), è di tipo empirico e pertanto priva di
reale valore scientifico.
Per dare alla classificazione dei terremoti una valenza scientifica fu
indispensabile trovare un sistema per misurare l'energia che si libera al
momento dell’evento sismico. Allo scopo vennero sistemati, in diversi
punti della superficie terrestre, strumenti adeguati in grado di
registrare il fenomeno. In seguito a queste misurazioni nacque la
cosiddetta “SCALA DELLE MAGNITUDO” ideata dal geofisico
americano Charles Francis Richter nel 1935.
Il valore della magnitudo di un terremoto si determina confrontando l'ampiezza
delle oscillazioni registrate dal sismografo e quella prodotta, sullo stesso
strumento, da un terremoto campione. Oggi, però, ogni stazione sismica è in
possesso di una tabella con i valori del terremoto campione già determinati in
relazione a diverse distanze, al tipo di terreno e al sismografo operante per
semplificare così l’operazione.
Per i terremoti a 100 km di distanza la formula è
ML= log A
dove ML è appunto la magnitudo Richter, o magnitudo locale, ed A è l’altezza
massima della sinusoide da 0 fino al picco in mm.
Poiché l’ampiezza massima registrata sul sismogramma di un forte sisma può
essere anche milioni di volte maggiore di quella relativa ad un terremoto
debole, al fine di evitare numeri di magnitudo troppo grandi, Richter ritenne
opportuno ricorrere al LOGARITMO IN BASE 10 del rapporto fra l’ampiezza
massima A del terremoto, misurata in micrometri, e l’ampiezza A0 che verrebbe
prodotta dal terremoto standard alla stessa distanza epicentrale:
M = log A/A0
La magnitudo di un terremoto può essere quindi definita come la misura
logaritmica dell’energia liberata.
La prova edometrica è una prova di laboratorio utilizzata dagli
ingegneri geotecnici e dai geologi, su campioni di terreno, per la
caratterizzazione meccanica dello stesso. Lo scopo è quello di
determinare i parametri che caratterizzano il materiale in modo
indiretto, attraverso la misura della forza applicata sul campione in
laboratorio.
Graficizzando i risultati delle varie prove in un piano cartesiano in cui
l’asse dell’ascisse rappresenta la forza applicata e l’asse delle ordinate la
deformazione, la lettura di tali prove sarebbe alquanto difficile perché la
relazione tra queste due grandezze è fortemente non lineare.
Si effettua per cui il passaggio dal piano cartesiano sopra descritto al
piano semilogaritmico in cui l’asse delle ascisse diviene in scala
logaritmica, mentre l’asse delle ordinate, mediante relazioni
matematiche, diviene rappresentativa dell’indice dei vuoti, ovvero la
quantità meccanica che si ricerca effettuando questa prova: conoscendo
lo sforzo applicato sul campione, grazie alla linearità della relazione tra
indice dei vuoti e sforzo, è possibile conoscere l’indice dei vuoti attuale
del campione. E’ una misurazione indiretta.
La velocità di raffreddamento di un oggetto dipende dalla superficie,
dalla massa, dal calore specifico (in generale dal materiale di cui è
fatto), dalla temperatura dell' ambiente esterno Ta e dalla temperatura
del corpo stesso T.
Una relazione approssimata è data dalla legge di Newton per il
raffreddamento:
La legge traduce il dato sperimentale che la temperatura decresce con
legge esponenziale, tendendo per grandi tempi alla temperatura
dell'ambiente esterno. Una verifica approssimata di un andamento
esponenziale non è difficile anche con mezzi minimi (una sorgente di
calore, un termometro, un orologio e un po' di cura sperimentale).
In chimica, al fine di quantificare la basicità o l’acidità di una
soluzione, su utilizza un numero reale che tenga conto della
concentrazione degli ioni H+ in essa presenti. Tale numero viene
chiamato pH ed è espresso dalla relazione matematica:
La scala dei valori del pH va da 0 a 14. Inoltre, essendo una scala
logaritmica, se si passa da un “gradino” ad un altro la concentrazione
degli ioni H+ varia di 10 volte.
Il primo modello di dinamica delle popolazioni,che è anche il più semplice,è
quello introdotto da Malthus che si dedicò nel 1798 allo studio della
demografia.
Questo modello si applica ad una popolazione di individui isolata con risorse
di spazio e cibo illimitate.
L’ipotesi fondamentale è che la differenza tra le nascite e le morti nell’unità
di tempo chiamato tasso netto di riproduzione,sia costante.
In particolare si trova che
. , dove
indica la popolazione al tempo
T=0, K è la costante di crescita. Si afferma il modello della variazione di
popolazione in un anno. Al tempo T+1 la popolazione è
.
quindi in un anno c’è stato un incremento di:
L’incremento percentuale della popolazione durante l’anno
La popolazione all’inizio dell’anno
È calcolato come:
N(T+1) – N(T)
N(T)
È l’incremento annuo della popolazione che può essere un numero decimale
α tale che
da cui
= α+1 e α > -1
Rappresenta l’incremento di popolazione in un anno.
Questo modello descrive adeguatamente la crescita di un organismo
unicellulare che si riproduce per divisione in una coltura contente una
sufficiente quantità di nutrimento.
Infatti ad esempio se al tempo T ci sono 1000 organismi possiamo
pensare che dopo un’ora ci sono 2000 organismi,dopo 2 ore 4000 e cosi
via. Per tanto possiamo dire che dopo 2 ore il loro numero è aumentato di
un fattore 2 e cioè ci sono 1000 X 2 X 2 organismi unicellulari.
Segue che dopo T ore la colonia risolta essere composta da: 1000 X 2
organismi unicellulari.
Questo processo non può andare avanti all’infinito. Secondo il modello
di Malthus dopo un certo intervallo T corrispondente all’ascissa del
punto di flesso il tasso di crescita incomincia a diminuire fino a che la
curva si assesta approssimandosi sempre di più ad un valore massimo
che rappresenta la massima popolazione che quella coltura può
ospitare.
Per motivi pratici, dal momento che il sistema metrico decimale impera in
pressoché tutto il Pianeta, è sicuramente più comodo usare come base il 10.
Se dovessimo, per esempio, esprimere in centimetri le dimensioni
dell'Universo o in grammi il peso dell'atomo d'idrogeno senza ricorrere alle
potenze, dovremmo ripiegare su una grafia estremamente scomoda da
utilizzare, sia nella scrittura, sia nella lettura.
I logaritmi permettono alcune importanti applicazioni, come la comoda
rappresentazione di taluni diagrammi. Keplero, ad esempio, se ne servì per
scoprire le sue famose leggi astronomiche.
I logaritmi consentono di “abbassare di grado” le operazioni sui numeri:
elevamento a potenza ed estrazione di radice vengono sostituite da
moltiplicazione e divisione e queste ultime da addizione e sottrazione; è
chiaro che il vantaggio di un tale procedimento sarà tanto maggiore quanto
più complicati saranno i calcoli.
Non vi è campo delle scienze naturali in cui non si faccia uso dei logaritmi
per descrivere qualche fenomeno relativo a quello specifico settore di
studio. In astronomia, ad esempio, lo splendore delle stelle viene valutato
in termini logaritmici attraverso le cosiddette “classi di grandezza” o
"magnitudini" il cui termine fu coniato da Ipparco di Nicea.
Ma le magnitudini stellari non sono altro che logaritmi e la scala numerica
che le rappresenta è una scala logaritmica poiché logaritmica è la risposta
del nostro occhio agli stimoli luminosi
.
È infatti grazie a questa straordinaria proprietà che siamo in grado di percepire senza
problemi sia il tenue barlume della Nebulosa di Andromeda, sia il bagliore di una folgore.
Dal momento che l'occhio è sensibile solo alla luce che riceve istante per istante, se la
risposta a questa fosse lineare rischieremmo di essere totalmente ciechi al di sotto di una
certa soglia di luminosità.
Il primo che studiò la correlazione fisica che intercorre fra il flusso di luce che proviene
da una stella e la sensazione recepita dai nostri occhi fu Pogson. Egli intuì che la strada
giusta per affrontare il problema era quella indicata dalla legge psicofisica di Fechner e
Weber la quale stabilisce che la intensità di una sensazione avvertita coscientemente è
proporzionale al logaritmo dell’intensità dello stimolo che la produce, quindi è meno
intensa di esso.
La legge di Fechner e Weber, applicata al caso delle stelle, assume la forma seguente:
m = k • Log J
dove m (magnitudine) è l'immagine di una stella che si forma nel nostro
occhio e rappresenta quindi la sensazione, mentre J è la quantità di
energia luminosa che incide sul recettore, cioè è lo stimolo; k è una costante
di proporzionalità. Log è il simbolo del logaritmo decimale.
Pogson osservò che l’energia luminosa emessa da una stella di prima grandezza era
di circa due volte e mezza superiore a quella emessa da una stella di seconda
grandezza (teniamo sempre presente che la scala delle grandezze è rovesciata). Ora,
poiché il valore di 2,5 individuato empiricamente da Ipparco è molto vicino a 2,512
che è la radice quinta di 100, Pogson scelse proprio questo valore come "ragione"
della progressione geometrica che avrebbe dovuto individuare i valori di luminosità
relativi alle nuove classi di magnitudine stellare.
Pertanto, secondo la proposta di Pogson, la luce di una stella di seconda
magnitudine doveva essere 2,512 volte più debole della luce di una stella di prima
magnitudine; la luce di una stella di terza magnitudine doveva essere 2,512 volte
più debole della luce di una stella di seconda magnitudine e così via. Alla fine, una
stella di sesta magnitudine doveva essere 100 volte meno luminosa di una di prima.
La formula con la quale si può esprimere è la seguente:
m1 - m2 = k • Log (J1/J2)
dove con m1 - m2 è indicata la differenza di magnitudine di due stelle le cui intensità
luminose siano rispettivamente J1 e J2. Questa formula ci consente, qualora siano noti
i valori delle intensità luminose di due stelle qualsiasi, di definire il valore di k.
La formula di Pogson, attraverso la misura esatta dei flussi luminosi delle singole
stelle, consente di andare al di là delle sei classi di grandezza considerate dagli antichi
e definire anche magnitudini di valori non interi. Inoltre, sempre con la formula di
Pogson, è possibile attribuire alle stelle più brillanti, che gli antichi classificavano
indiscriminatamente di 1ª grandezza, magnitudini prossime a zero e anche negative.
Così a Sirio, la stella più brillante del firmamento, oggi viene attribuita magnitudine 1,46, la Luna piena è un astro di magnitudine -12,7 e il Sole ha magnitudine -26,7.
Qualora sia noto il rapporto fra l’intensità della luce che proviene da due astri,
applicando la legge di Pogson, è possibile ricavare la differenza di magnitudine dei due
astri in oggetto.
Per fissare le classi di magnitudine delle singole stelle era necessario stabilire un
“punto zero”, scegliere cioè una stella campione a cui riferire tutte le altre. Al fine di
mantenere il miglior accordo possibile coi dati di luminosità dell'astronomia antica,
il punto zero fu fissato attribuendo alla Stella Polare (che gli antichi classificavano
di 2ª grandezza) un valore di magnitudine di 2,12. Questo valore tanto preciso fu
scelto in seguito alla scoperta di una debole variabilità della stella. Ora, ad una
stella che presentasse un flusso luminoso x volte inferiore o superiore a quello della
Stella Polare verrebbe attribuita la magnitudine seguente: m = 2,12 ± 2,5 • Log x.
La formula di Pogson permette anche di conoscere il valore del rapporto fra le
intensità luminose che provengono da due astri, se si conosce la differenza di
magnitudine.
Dai dati che abbiamo appena fornito emerge chiaro il motivo per il quale risulta più
conveniente e più comodo usare la scala logaritmica (cioè le magnitudini) al posto della
misura diretta degli splendori stellari. La ragione sta nel fatto che con i logaritmi si fa
uso di quantità che impiegano un intervallo numerico molto limitato, rispetto ai valori
di luminosità che sono invece molto grandi. Dire che due stelle differiscono di dieci
classi di magnitudine è molto più comprensibile e immediato piuttosto che affermare
che il rapporto fra i flussi luminosi dei due astri è diecimila.
CAPITALIZZAZIONE COMPOSTA
Per il calcolo di Montanti, valori attuali, tassi d’interesse, ecc..
Le funzioni Cobb-Douglas sono anche chiamate log-lineari,
perché lineari nei logaritmi.
In architettura viene usata in molti progetti la spirale logaritmica, la traiettoria di
un punto che si muove di moto uniformemente accelerato su una semiretta, la
quale ruota uniformemente intorno alla sua origine.
È detta spirale logaritmica ogni figura piana che proceda da un punto fisso tale che
l’area vettoriale di qualsiasi settore sia sempre una proporzione aggiunta della
figura precedente.
In coordinate polari (r, θ) la
curva può essere scritta come:
L’ambito architettonico e quello del design sono i più ricchi di spunti: dalle
scalinate al mobilio per l’arredamento, esempi che si basano sulle proprietà
della spirale logaritmica.
Questa spirale venne applicata per realizzare i progetti del Quincy Park a
Cambridge, dotato anche di una targa commemorativa.
.
La catenaria, detta anche curva funicolare, è la curva secondo cui si dispone una
fune che supponiamo omogenea, flessibile e non estendibile, appesa a due punti
estremi, che sia lasciata pendere soggetta soltanto al proprio peso.
La sua equazione si riferisce ai logaritmi ed è:
In considerazione del fatto che una catenaria ha la proprietà di avere in ogni suo
punto una distribuzione uniforme del suo peso totale, questo tipo di curva è stata
spesso utilizzata per realizzare manufatti e strutture architettoniche.
Ecco alcuni esempi di catenarie rivoltate.
Cupola di St Paul (1675-1710) a Londra
Barcellona, archi di catenaria nell’attico di Casa Milà (1905- 1910) – Gaudì
Barcellona, Collegio delle Teresinas, Gaudì
Sagrada Familia e suo progetto basato sulla catenaria
Il discorso scientifico della musica ha
le sue radici in due diverse fonti:
quella antichissima della matematica e
delle scienze naturali …
(Mario Baroni)
Molte scale usate nelle scienze sono basate sui logaritmi. Ne sono un
esempio le scale musicali dell’altezza sono in realtà scale logaritmiche
rispetto alla frequenza della fondamentale dei suoni corrispondenti.
Lo si vede osservando i tasti del pianoforte: ogni volta che ci si sposta a
destra di sette tasti bianchi la frequenza della nota corrispondente.
Per ottenere 12 note equidistanti l’una dall’altra è necessario
suddividere l’ottava in 12 parti esattamente uguali; il rapporto fra la
frequenza di una nota e la successiva è costante ed è detto semitono
temperato.
Grazie agli studi sul funzionamento del nostro apparato uditivo, a partire
dalla teoria posizionale (1863) di Helmohtlz, è stato dimostrato che
l'ampiezza percepita di un intervallo musicale non si basa sulle differenze
delle frequenze fra i due suoni che lo compongono, ma sul loro rapporto.
Quindi data una nota, per ottenerne un'altra basta moltiplicare o
dividerne la frequenza per un dato numero a seconda che la nota sia più
acuta o più grave. Quindi non percepiamo la differenza tra due frequenze
ma la differenza fra i loro logaritmi. Infatti, applicando il logaritmo al
rapporto fra due frequenze: V2/V1
La musica e la matematica hanno sempre
una certa parentela l’una e l’altra richiedono
un certo apprendistato, molto talento e un
tocco di grazia.
(Frederick Pratter)

Gruppo 1: Libro di testo Matematica.verde, Zanichelli, di Massimo Bergamini,
Anna Trifone, Graziella Barozzi
http://www2.polito.it/didattica/polymath
http://www.ripmat.italia
http://www.liceopertini.gov.it
http://www.treccani.it

Gruppo 2: http://www.cosediscienza.it/metodo/02_log.htm
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Set_02/
Cap5.html
http://www.audiosonica.com/it/corso/post/30/Decibel_La_scala_logaritmica
R.Nova-“Fondamenti di meccanica delle terre”, editore “Città studi”

Gruppo 3:Libro di testo Matematica.verde, Zanichelli, di Massimo Bergamini, Anna
Trifone, Graziella Barozzi
http://precorso.dicom.uninsubria.it/lezioni/logaritmo.htm

Gruppo 4: www.cosediscienza.it/metodo/02_log.htm
www.slideshare.net/iisscanudo/i-logaritm
www.smartweek.it
www.galassiere.it/logaritmi.htm

Gruppo 5: informazioni fornite da un laureando in economia e finanze

Gruppo 6: https://www.google.it/imghp
http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Studenti/Tesine/SpiraleLogaritmica
-DeFusco.pdf
http://crf.uniroma2.it/quaderni/catenaria/Catenaria.pdf
http://it.wikipedia.org/wiki/Catenaria

Gruppo 7: http://www.lanaturadellecose.it/sonia-cannas-289/matematica-e-musica290/la-scala-logaritmica-308.html
http://math.unipa.it/~grim/Galante%20&%20SpagnoloQ21.pdf
https://www.saveriocantone.net/ssis/ssis3s/seminari/acu4.pdf