Numero dei divisori. Somma dei divisori di un numero naturale

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capitolo
2
L’insieme dei numeri naturali e l’insieme degli interi Numero dei divisori.
Somma dei divisori di un numero naturale
Sia n un numero naturale la cui decomposizione in fattori primi sia:
n = p1r1 p2r2 ... phrh
essendo i pi primi con esponenti ri diversi da zero.
I divisori di n sono numeri naturali del tipo:
p1m1 p2m2 ... phmh
dove gli esponenti mi possono assumere i valori:
0 ≤ m1 ≤ r1
0 ≤ m2 ≤ r2
0 ≤ mh ≤ rh
…
cioè ogni esponente mi può assumere uno qualunque degli ri + 1 numeri dell’intervallo
[0; ri].
Pertanto il numero d (n) dei divisori di n è uguale al prodotto:
d (n) = (r1 + 1)(r2 + 1)…(rh + 1)
La somma s(n) dei divisori di n è uguale al prodotto:
s(n ) = (1 + p1 + p12 + ... + p1r )(1 + p2 + p22 + ... + p2r )...(1 + ph + ph2 + ... + phrh )
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sempio
Determinare il numero e la somma dei divisori di 540.
Decomposto il numero in fattori primi: 540 = 22 ⋅ 33 ⋅ 5, si deduce che il numero d dei divisori di 540 è uguale a:
d(540) = (2 + 1)(3 + 1)(1 + 1) = 3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24
La somma s dei divisori di 540 è uguale a:
s(540) = (1 + 2 + 4)(1 + 3 + 9 + 27)(1 + 5) = 7 ⋅ 40 ⋅ 6 = 1680
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© 2010 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista
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