Consideriamo l’insieme D8 dei divisori di 8, e l’insieme D12
dei divisori di 12:
D8 = {1, 2, 4, 8}
D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
e rappresentiamoli graficamente.
INTERSEZIONE = INSIEME DEI DIVISORI COMUNI
Eseguendo l’intersezione dei due insiemi, otteniamo:
D8 ∩ D12 = {1, 2, 4}
che è l’insieme dei divisori comuni di 8 e di 12,
in quanto contiene i numeri naturali che sono
sia divisori di 8, sia divisori di 12.
Il Massimo Comun Divisore di due
o più numeri è il maggiore dei divisori
comuni a quei numeri.
il numero 4 è il più grande divisore in comune tra 8 e 12, cioè
il Massimo Comun Divisore di 8 e 12 e si scrive:
M.C.D.(8, 12) = 4
Determiniamo ora il M.C.D. fra 12 e 6:
D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D6 = {1, 2, 3, 6}
D12
D6 = {1, 2, 3, 6} = D6
M.C.D.(12, 6) = 6
Dati due numeri a e b, se b è divisore di a allora
M.C.D.(a, b) = b.
Consideriamo la tabella dei divisori di
un numero naturale n diverso da 0.
Osserviamo che per qualunque
coppia di numeri naturali (a, b),
esiste sempre almeno
un divisore comune che è 1.
Nei casi in cui il numero 1 è
l’unico divisore comune tra due
numeri, questi si dicono
primi fra loro.
Osservando la tabella possiamo
concludere che 2 e 3 sono primi tra
loro, come anche 4 e 9, o 7 e 12.
Per determinare il M.C.D. di numeri elevati conviene sempre
scomporli in fattori primi. Vediamo un esempio.
Calcoliamo il M.C.D.(48, 180):
• scomponiamo i due numeri in fattori primi:
48 = 24 x 3
180 = 22 x 32 x 5
• prendiamo i fattori comuni a 48 e 180:
Sono il 2 e il 3.
• prendiamoli con il minimo esponente:
Son il 22 e 3.
• moltiplichiamoli: il M.C.D. fra 48 e 180 è allora 22 x 3 = 12.
Il M.C.D. di due numeri naturali scomposti
in fattori primi si ottiene moltiplicando i fattori primi
comuni, presi una volta sola, col minimo esponente.
