Il comportamento del consumatore.

Il comportamento del consumatore.
Indice.
Le preferenze del consumatore.
1.
Relazioni di preferenza.
4
4
Proprietà delle relazioni di preferenza.
5
Esempio 1.
5
Esempio 2.
5
Esempio 3.
6
2.
Le curve di indifferenza.
6
3.
Esempi di preferenze.
9
Perfetti sostituti.
9
Perfetti complementi.
10
4.
Preferenze regolari.
11
5.
Saggio marginale di sostituzione.
12
6.
Esercizi e soluzioni.
14
Esercizio 1.
14
Soluzione.
15
Utilità.
18
1.
19
Esempi di funzioni di utilità.
Esempio.
19
Perfetti sostituti.
20
Perfetti complementi.
22
2.
Preferenze quasi-lineari.
25
3.
Utilità marginale.
26
4.
Utilità marginale e saggio marginale di sostituzione.
27
5.
Esercizi e soluzioni.
29
Esercizio 1.
29
Soluzione.
29
2
Esercizio 2.
30
Soluzione.
31
Il vincolo di bilancio.
33
1.
Insieme e vincolo di bilancio: proprietà.
33
2.
Come varia la retta di bilancio.
36
2.1.
Variazioni nel livello del reddito.
36
2.2.
Variazioni nel livello dei prezzi.
37
3.
La scelta del consumatore.
40
4.
Esercizi e soluzioni.
42
Esercizio 1.
42
Soluzione.
42
Esercizio 2.
45
Soluzione.
45
Esercizio 3.
47
Soluzione.
47
Esercizio 4.
50
Soluzione.
51
3
Elisa Battistoni
Le preferenze del consumatore
Le preferenze del consumatore.
Nell’analisi del comportamento del consumatore si parte dall’ipotesi che egli scelga la
combinazione di beni e servizi migliore fra tutte quelle che può acquistare. Al
momento della scelta il consumatore prende in considerazione un insieme di beni e
servizi detto paniere di consumo.
I panieri di consumo sono, perciò, l’oggetto della scelta del consumatore e sono un
elenco completo di beni e servizi. Per ogni bene o servizio è specificato quando, dove e
in quali circostanze è disponibile. Tale specificazione è molto importante perché lo
stesso
bene/servizio può
essere valutato
diversamente
dal
consumatore
in
circostanze differenti. Ad esempio un consumatore non valuta allo stesso modo un
ombrello quando piove o quando c’è il sole.
È, quindi, utile considerare lo stesso bene come “diverso” se è disponibile in luoghi o in
circostanze differenti.
1. Relazioni di preferenza.
Consideriamo due panieri di consumo costituiti da due soli beni – il bene 1 ed il bene 2.
I due panieri sono (x1 , x2 ) e (y1, y2 ) .
Si ha:
1.
(x1, x2 ) f (y1, y2 )
⇒
(x1, x2 )
è strettamente preferito a
( y1 , y 2 ) ,
cioè il
consumatore preferisce inequivocabilmente il paniere (x1 , x2 ) a quello (y1, y2 )
ed ogni volta che ne avrà l’opportunità sceglierà (x1 , x2 ) ;
2.
(x1, x2 ) ≈ (y1, y2 )
⇒ (x1 , x2 ) è indifferente a (y1, y2 ) , cioè il consumatore è
ugualmente soddisfatto sia che consumi (x1 , x2 ) , sia che consumi (y1, y2 ) ;
3.
(x1, x2 ) ≥ (y1, y2 ) ⇒ (x1, x2 ) è debolmente preferito a (y1, y2 ) .
4
Elisa Battistoni
Le preferenze del consumatore
Proprietà delle relazioni di preferenza.
1. proprietà transitiva
Dati tre panieri – (x1, x2 ) , (y1, y2 ) e (z1, z2 ) – si ha:
(x1, x2 ) f (y1, y2 ) e (y1, y2 ) f (z1, z2 ) ⇒ (x1, x2 ) f (z1, z2 )
Questa proprietà è necessaria per avere una teoria in cui il consumatore
possa effettuare una scelta “ottimale”;
2. Proprietà riflessiva
(x1, x2 ) ≥ (x1, x2 )
Un paniere è desiderabile almeno quanto se stesso (o uno identico);
3. Proprietà di completezza
Dati due panieri (x1 , x2 ) e (y1, y2 ) si ha:
(x1, x2 ) ≥ (y1, y2 ) oppure (x1, x2 ) ≈ (y1, y2 ) oppure (y1, y2 ) ≥ (x1, x2 ) .
Questo significa che dati due panieri è sempre possibile confrontarli e,
perciò, il consumatore è sempre in grado di effettuare una scelta fra i due
panieri considerati.
Esempio 1.
Se un consumatore sceglie
(x1, x2 )
quando è disponibile anche
(y 1 , y 2 )
si può
concludere che (x1 , x 2 ) f (y1 , y2 ) ?
R: No, perché potrebbe anche essere (x1, x2 ) ≈ (y1, y2 ) . L’unica conclusione che
si può trarre è (x1, x2 ) ≥ (y1, y2 ) .
Esempio 2.
Si considerino tre individui A, B e C. La relazione “almeno altrettanto alto di“ è
transitiva? È completa?
R: è transitiva
5
Elisa Battistoni
Le preferenze del consumatore
Se A è almeno altrettanto alto di B e B è almeno altrettanto alto di C, allora è
anche A altrettanto alto di C.
A ≥ B
 ⇒ A ≥ C
B ≥ C
R: è completa
Per ogni individuo può valere A ≥ B oppure B ≥ A oppure A ≈ B .
Esempio 3.
La relazione “strettamente più alto di” è transitiva? È riflessiva? È completa?
R: è transitiva
Se A f B e B f C allora sarà A f C
R: non è riflessiva
È assurdo dire che A è strettamente più alto di se stesso
A f A ⇒ assurdo
R: non è completa
Per i due individui potrebbe valere A ≈ B , possibilità non contemplata dalla
relazione proposta.
2. Le curve di indifferenza.
Consideriamo un diagramma cartesiano sui cui assi siano riportate le quantità
consumate dei due beni 1 e 2. In corrispondenza di differenti livelli di consumo si
avranno diversi panieri.
Dato un paniere (x1 , x 2 ) ci sono infiniti panieri che per il consumatore hanno lo stesso
livello di soddisfazione, cioè che sono indifferenti a (x1 , x 2 ) . Se si riportano tutti i
panieri indifferenti a (x1 , x 2 ) sul diagramma cartesiano considerato si ottiene una
curva, detta curva di indifferenza.
6
Elisa Battistoni
Le preferenze del consumatore
Il luogo dei punti (x1 , x 2 ) che rappresentano panieri fra i quali il
consumatore è indifferente è detto curva di indifferenza.
x2
x2
Curva di indifferenza
x1
x1
L’insieme strettamente preferito – ovvero l’insieme dei panieri che il consumatore
preferisce strettamente a quello iniziale (x1 , x 2 ) – è la parte di piano che si trova
sopra la curva di indifferenza.
x2
Insieme strettamente preferito
x2
x
x1
x1
L’insieme preferito debolmente deriva dall’unione dell’insieme strettamente preferito
e della sua frontiera (curva di indifferenza)
7
Elisa Battistoni
Le preferenze del consumatore
x2
Insieme debolmente preferito
x2
x1
x1
Le curve di indifferenza possono assumere molte forme, ma le curve di indifferenza
che corrispondono a diversi livelli di soddisfazione non possono intersecarsi!
DIM: Consideriamo due curve di indifferenza che si intersecano relative a livelli
di soddisfazione differenti (vedi fig. sottostante).
x2
Preferenza più alta
X
Z
Y
x1
Siano X , Y e Z tre panieri corrispondenti a diversi livelli di consumo di (x1, x2 ) .
X e Z sono sulla stessa curva di indifferenza ⇒ X ≈ Z .
Z e Y sono sulla stessa curva di indifferenza ⇒ Z ≈ Y .
8
Elisa Battistoni
Le preferenze del consumatore
Per la proprietà transitiva deve essere X ≈ Y , ma X si trova su una curva di
indifferenza più alta di quella di Y ⇒ deve essere anche X f Y ⇒ abbiamo
raggiunto un ASSURDO.
3. Esempi di preferenze.
Perfetti sostituti.
Due beni sono perfetti sostituti se il consumatore è disposto a sostituire un bene con
l’altro ad un saggio (rapporto) costante. Il caso più semplice è quello in cui i due beni
vengono sostituiti in proporzione 1:1.
ESEMPIO: si considerino come beni le matite rosse e le matite blu. Il
consumatore è interessato unicamente alla quantità di matite che possiede,
indipendentemente dal loro colore.
Scegliamo un paniere di consumo iniziale
(x1, x2 ) ,
con x1 =matite rosse e
x2 =matite blu, pari a (10,10 ) . Visto che il consumatore è interessato solamente
alle matite ogni altro paniere che ne contenga 20 è, per lui, altrettanto
desiderabile di quello iniziale: ogni paniere tale che x1 + x2 = 20 è, perciò, sulla
stessa curva di indifferenza del paniere (10,10 ) .
Le curve di indifferenza del consumatore relativamente ai beni considerati sono,
perciò, rette parallele con coefficiente angolare pari a –1.
Se diamo al consumatore una matita rossa in più, per farlo rimanere sulla stessa
curva di indifferenza bisogna togliergliene una blu: perciò i panieri (11,9 ) e
(9,11)
hanno lo stesso grado di soddisfazione del paniere (10,10 ) e si trovano,
quindi, sulla stessa curva di indifferenza.
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Elisa Battistoni
Le preferenze del consumatore
I panieri che contengono un numero totale di matite superiore rispetto al paniere
(10,10 ) sono preferiti strettamente a quest’ultimo e, perciò, si trovano su curve
di indifferenza più alte.
Matite
blu
10
9
10
11
Matite rosse
Le curve di indifferenza di beni perfetti sostituti sono, quindi, rette parallele con
coefficiente angolare negativo.
Se la proporzione in cui il consumatore è disposto a scambiare i due beni non è 1:1 le
rette saranno più o meno inclinate, ma la forma delle curve di indifferenza non
cambierà.
Perfetti complementi.
Due beni sono perfetti complementi se sono sempre consumati insieme in proporzioni
fisse (non necessariamente 1:1).
Un esempio di beni perfetti complementi in un rapporto 1:1 è costituito dai due beni
“scarpa destra” e “scarpa sinistra”.
Un esempio di beni perfetti complementi in un rapporto diverso da quello 1:1 può
essere quello di un consumatore che mette sempre due cucchiaini di zucchero in una
tazza di tè e non consuma mai né zucchero né tè separatamente.
Consideriamo, per semplicità, il caso di due beni perfetti complementi consumati in
proporzione 1:1 (es.: scarpa destra e scarpa sinistra). Inizialmente il consumatore ha il
paniere (10,10 ) ; se forniamo al consumatore un’unità ulteriore del bene 1, portandolo
al paniere (11,10 ) , egli rimarrà indifferente perché non potrà consumare l’unità in più
10
Elisa Battistoni
Le preferenze del consumatore
del bene 1 senza avere anche un’altra unità del bene 2. Analoga considerazione vale
per il passaggio al paniere (10,11) . I tre panieri (10,10 ) , (11,10 ) e (10,11) sono,
perciò, sulla stessa curva di indifferenza.
x2
10
10
x1
Le curve di indifferenza, perciò, sono spezzate ad “L” ed il vertice, nel caso di beni
consumati in proporzione 1:1, si trova sulla diagonale principale.
4. Preferenze regolari.
Le preferenze del consumatore si dicono regolari se sono verificate due ipotesi (le
preferenze analizzate fino a questo punto sono regolari).
1. “più è meglio”:
Se consideriamo due panieri (x1, x 2 ) e (y1, y2 ) tali che (y1, y2 ) contiene
almeno le stesse quantità di entrambi i beni rispetto a
(x1, x2 )
ed una
quantità addizionale di uno dei due beni rispetto a (x1, x 2 ) , allora si ha che
(y1, y2 ) f (x1, x2 ) .
Questa condizione fa sì che le preferenze siano monotone decrescenti, o –
in altri termini – che abbiano inclinazione negativa: infatti, da quanto detto
risulta che i panieri migliori sono tutti quelli che, rispetto ad una curva di
indifferenza, si trovano in alto a destra, mentre quelli peggiori si trovano in
basso a sinistra. Per trovare panieri indifferenti, quindi, ci si deve muovere
11
Elisa Battistoni
Le preferenze del consumatore
per forza in basso a destra o in alto a sinistra ⇒ la curva di indifferenza è
monotona decrescente.
x2
Panieri migliori
Panieri peggiori
x1
2. “la media è preferita agli estremi”:
Consideriamo due panieri indifferenti (x1, x 2 ) e (y1, y2 ) ed una loro media
ponderata
(tx1
+ (1 − t )y1, tx2 + (1 − t )y2 )
t ∈ [0,1]
Il nuovo paniere è sul segmento che unisce i due panieri iniziali.
x2
x
(tx1+(1-t)y1,tx2+(1-t)y2)
y
x1
Dire che il paniere intermedio è preferito a quelli estremi significa dire che
si trova su una curva di indifferenza più alta: perché ciò sia vero l’insieme
dei panieri preferiti deve essere convesso.
5. Saggio marginale di sostituzione.
Il saggio marginale di sostituzione – indicato con MRS (Marginal Rate of Substitution)
– rappresenta il rapporto al quale il consumatore è disposto a sostituire un bene con
l’altro.
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Elisa Battistoni
Le preferenze del consumatore
In altri termini il saggio marginale di sostituzione risponde alla domanda: “Se tolgo una
quantità ∆x1 del bene 1 al consumatore, quale quantità ∆x2 del bene 2 devo dargli in
cambio perché la sua soddisfazione non cambi (ovvero per farlo rimanere sulla stessa
curva di indifferenza)?”.
Il saggio marginale di sostituzione è rappresentato dal rapporto fra le due variazioni
di quantità dei beni 1 e 2:
MRS1,2 =
∆x2
∆x1
Poiché le due variazioni delle quantità dei beni hanno segno opposto – la quantità di un
bene aumenta, mentre quella dell’altro diminuisce – l’MRS ha sempre segno negativo.
Inoltre, per le curve di indifferenza strettamente convesse l’MRS è decrescente:
questo significa che maggiore è la quantità che si possiede di un bene più si è disposti
a cederne in cambio dell’altro.
x2
x1
Se si considera:
∆x 2
lim
∆x1 → 0 ∆x1
si ottiene la derivata della curva di indifferenza e, pertanto, il saggio marginale di
sostituzione dà la misura della pendenza della curva considerata: come si è visto la
pendenza, come l’MRS, è negativa.
L’MRS può essere interpretato anche come “disponibilità marginale a pagare”. Infatti,
se il bene 2 è il “consumo di tutti gli altri beni diversi da 1” ed è misurato in termini
della quantità di moneta che il consumatore può spendere per essi, l’MRS del bene 2
con il bene1 rappresenta i soldi che il consumatore sarebbe disposto a rinunciare a
13
Elisa Battistoni
Le preferenze del consumatore
spendere nell’acquisto degli altri beni per poter consumare una quantità maggiore del
bene 1.
Si noti che la somma che si è disposti a spendere per avere una quantità aggiuntiva del
bene 1 può non coincidere con quanto si deve spendere per tale quantità.
6. Esercizi e soluzioni.
Esercizio 1.
In una assolata domenica di agosto Homer Simpson si trova di fronte ad un
distributore di lattine di birra. La macchina non dà resto: si può ottenere una lattina
di birra solo se si dispone della quantità esatta di denaro (2 monete da 25 cents e 1
moneta da 10 cents). Nessun negozio è aperto e non c’è nessuno in giro. Homer è così
assetato che l’unica cosa che gli interessa è la quantità di lattine che può acquistare
con le monete che ha in tasca (quante più ne può acquistare tanto meglio).
a) Disegnare le curve di indifferenza di Homer;
b) Trovare tutte le combinazioni indifferenti a “2 monete da 25 cents, 1 moneta
da 10 cents”;
c) Le preferenze di Homer sono convesse?
d) Se fosse sabato, il negozio vicino al distributore automatico sarebbe aperto. In
questo caso Homer potrebbe comprare tutta la birra che desidera al prezzo di
4 cents per 1/10 di litro e potrebbe pagare impiegando qualsiasi combinazione
di monete. Supponiamo che Homer decida di spendere in questo negozio tutto il
suo denaro. Disegnare le curve di indifferenza relative alle monete da 10 cents
e da 25 cents, considerando, per semplicità, che Homer possa impiegare
qualsiasi frazione delle monete.
14
Elisa Battistoni
Le preferenze del consumatore
Soluzione.
a) Le monete da 10 cents e da 25 cents sono perfetti complementi e vanno
consumate in proporzione 1:2.
Si ha perciò:
10 cents
3
2
1
2
4
6
25 cents
b) Anche se Homer avesse in tasca frazioni delle monete non se ne potrebbe
comunque servire: c’è, quindi un’intera zona di combinazioni che per Homer sono
indifferenti ad avere 2 monete da 25 cents ed 1 moneta da 10 cents. Ne risulta
che le preferenze di Homer sono rappresentate da “fasce” più che da curve.
10 cents
3
2
1
2
4
6
25 cents
15
Elisa Battistoni
Le preferenze del consumatore
c) Si considerino due panieri x e y sulla stessa curva di indifferenza e si tracci il
segmento con estremi in x e y . Il segmento ottenuto si trova in parte nella
stessa fascia di indifferenza di x e y ed in parte in una fascia superiore: in
questo segmento, quindi, ci saranno punti indifferenti ad x e y e punti
strettamente preferiti. Se ne deduce che le preferenze di Homer sono
convesse, ma non strettamente.
10 cents
x
Paniere intermedio strettamente preferito agli estremi
3
2
1
y
2
4
6
25 cents
Paniere intermedio indifferente agli estremi
16
Elisa Battistoni
Le preferenze del consumatore
d) In questo caso per Homer è indifferente pagare con 1 moneta da 10 cents o con
0,4 monete da 25 cents (oppure, al contrario, utilizzare 2,5 monete da 10 cents
al posto di 1 da 25 cents): i due beni, perciò, diventano, in questo caso, perfetti
sostituti, con un rapporto di sostituzione pari a 2,5 o a 0,4.
10 cents
Inclinazione=-2,5=MRS1,2=
∆x2
∆x1
25 cents
17
Elisa Battistoni
La funzione di utilità
Utilità.
L’utilità è un mezzo per descrivere le preferenze del consumatore.
La funzione di utilità è un mezzo per associare un numero ad ogni possibile paniere di
consumo, in modo che a panieri preferiti siano assegnati numeri più elevati.
Un paniere
(x1, x2 )
è preferito a
( y1 , y 2 )
se e solo se l’utilità di
(x1, x2 ) è maggiore di quella di (y1, y2 ) .
Si hanno, perciò, le seguenti relazioni
(x1, x2 ) f (y1 y2 ) ⇔ u(x1, x2 ) > u(y1, y2 )
(x1, x2 ) ≈ (y1 y2 ) ⇔ u(x1, x2 ) = u(y1, y2 )
(x1, x2 ) ≥ (y1 y2 ) ⇔ u(x1, x2 ) ≥ u(y1, y2 )
L’utilità ha, quindi, un significato ordinale.
Poiché panieri indifferenti si trovano sulla stessa curva di preferenza, tutti i panieri
di questa curva avranno la stessa utilità: una funzione di utilità è, pertanto,
un’assegnazione di valori alle curve di indifferenza tale che alle curve più alte siano
assegnati valori più elevati.
Non tutte le preferenze possono essere rappresentate da una funzione di utilità.
Es.: preferenze non transitive.
Sia
A f B f C f A
Una funzione di utilità associata a queste preferenze dovrebbe essere tale che
u(A) > u(B ) > u(C ) > u(A) ⇒ IMPOSSIBILE!
Ci possono essere diversi modi per assegnare ai panieri valori di utilità: uno di questi
consiste nel tracciare la diagonale del diagramma sul quale sono rappresentate le
18
Elisa Battistoni
La funzione di utilità
curve di indifferenza e nell’assegnare ad ogni curva un valore pari alla sua distanza
dall’origine degli assi.
x2
x1
Poiché le preferenze che prendiamo in considerazione sono monotòne la diagonale
interseca ogni curva una sola volta, associandole, quindi, un solo valore; inoltre, a curve
più alte – e, perciò, a preferenza maggiore – corrisponde una distanza dall’origine
maggiore ed un’utilità più elevata.
Quello descritto è uno dei metodi per costruire le funzioni di utilità, anche se, in molti
casi, non è il più semplice.
1. Esempi di funzioni di utilità.
Data una funzione di utilità è relativamente semplice determinare le curve di
indifferenza corrispondenti: è sufficiente, infatti, rappresentare su un grafico i punti
(x1, x2 ) tali che u(x1, x2 )
sia costante. In corrispondenza di ogni valore dell’utilità si
ottiene una curva di indifferenza.
Esempio.
Sia u(x1, x2 ) = x1 x2 . Come sono le curve di indifferenza?
R: Lungo una curva di indifferenza l’utilità è costante, perciò deve essere:
u(x1, x2 ) = x1 x2 = k
Esplicitiamo x2 rispetto a x1 :
x2 =
k
x1
19
Elisa Battistoni
La funzione di utilità
Si ottiene che la curva di indifferenza è un’iperbole equilatera. A valori di k
più alti corrispondono curve di indifferenza più elevate ed utilità maggiori.
x2
k = 1
k = 2
k = 3
x1
Perfetti sostituti.
Riprendiamo in considerazione il caso delle matite rosse e delle matite blu. Il
consumatore è interessato solamente al numero totale di matite e non al loro colore,
perciò i panieri con un maggior numero di matite sono preferiti.
Si può misurare l’utilità del paniere per mezzo del numero totale di matite:
u(x1, x2 ) = x1 + x2
x1 = numero di matite blu
x2 = numero di matite rosse
Affinché la funzione proposta sia effettivamente una funzione di utilità, deve
verificare due proprietà:
1. Essere costante lungo le curve di indifferenza
Ogni paniere con lo stesso numero totale di matite deve essere sulla stessa
curva di indifferenza, perciò deve valere:
x1 + x 2 = k
su ogni curva di indifferenza. Con la funzione proposta questa proprietà è
verificata;
20
Elisa Battistoni
La funzione di utilità
2. I panieri preferiti devono avere utilità maggiore
I panieri con un maggior numero di matite devono essere preferiti, cioè se
(x1, x2 ) f (y1, y2 ) deve
essere x1 + x2 > y1 + y2 e viceversa. La funzione
proposta verifica questa proprietà.
La funzione
u(x1, x2 ) = x1 + x2
è, quindi, una funzione di utilità per i due beni perfetti sostituti.
La funzione determinata è valida per un rapporto di sostituzione dei due beni di 1:1.
Se il rapporto di sostituzione non fosse 1:1, quale forma analitica avrebbe la funzione
di utilità dei due beni?
Supponiamo che il consumatore chieda 2 unità di x2 per rinunciare ad un’unità del
bene 1: questo significa che il consumatore valuta il bene 1 il doppio del bene 2. Allora
dovrà essere:
u(x1, x2 ) = 2x1 + x2
In generale, se il consumatore è disposto a rinunciare a b unità di 1 per avere in
cambio a unità di 2 (con a, b ≠ 0 ) si ha:
MRS1,2 =
∆x2
+a
a
= −
=
∆x1
−b
b
Nel passaggio dal paniere iniziale al nuovo paniere – contenente a unità in più del bene
2 e b unità in meno del bene 1 – l’utilità del consumatore deve essere rimasta
invariata: ∆u = 0 .
Supponiamo che la funzione di utilità abbia la forma generica:
u(x1, x2 ) = c1 x1 + c2 x2
con c1, c2 = costanti da determinare
Deve essere:
∆u = c1 ∆x1 + c2 ∆x2 = 0
perciò:
21
Elisa Battistoni
La funzione di utilità
∆x2
c
= − 1
c2
∆ x1
Si ha, quindi:
∆x2
c
a
= − = − 1
∆x1
b
c2
MRS1,2 =
Se scegliamo c1 = a e c2 = b si ottiene:
u(x1, x2 ) = ax1 + bx2
Perfetti complementi.
Riprendiamo in considerazione il caso dei beni “scarpa destra” e “scarpa sinistra”,
perfetti complementi in un rapporto 1:1: al consumatore interessa solamente il numero
di paia di scarpe che possiede, pari al minimo fra il numero di scarpe destre ed il
numero di scarpe sinistre. Posto, perciò:
x1 = numero di scarpe destre
x2 = numero di scarpe sinistre
si può scegliere come funzione di utilità la seguente:
u(x1, x2 ) = min{x1, x2 }
Affinché la funzione proposta rappresenti realmente l’utilità del consumatore devono
essere verificate le due proprietà seguenti:
1. A panieri indifferenti deve corrispondere la stessa utilità
(
)
Considero un paniere di riferimento x1, x2 , con x1 = x2 .
Se il consumatore è in possesso di un paniere (x1, x2 ) con x1 > x2 si troverà
(
)
{
}
sulla stessa curva di indifferenza di x1, x2 e dovrà, quindi, avere la stessa
utilità. La funzione proposta fornisce:
(
)
u x1, x2 = min x1, x2 = x1 = x2
(
)
{
}
u x1, x2 = min x1, x2 = x2
Un risultato analogo si ottiene se il consumatore è in possesso di un paniere
(x , x ) con
1
2
x2 > x1 .
22
Elisa Battistoni
La funzione di utilità
La prima proprietà è soddisfatta;
2. Punti su curve di indifferenza più alte devono avere utilità maggiore
Consideriamo due panieri
(x , x ) con
(y , y ) con
1
2
x1 = x 2
1
2
y1 = y2 e y1 > x1
(y , y )
1
2
(x , x )
1
2
La funzione proposta fornisce:
(
{
}
)
u(y , y ) = min{y , y } = y
u x1, x2 = min x1, x2 = x1 = x2
1
2
1
2
1
= y 2 > x1 = x 2
Perciò la funzione proposta verifica anche questa proprietà.
La funzione
u(x1, x2 ) = min{x1, x2 }
è, quindi, una funzione di utilità per i perfetti complementi consumati in un rapporto
1:1.
Se il rapporto di consumo dei due beni è differente da quello 1:1 come diventa la
funzione di utilità?
Consideriamo, ad esempio, il caso di un consumatore che metta sempre 2 cucchiaini di
zucchero in 1 tazza di tè e non consumi mai né zucchero né tè separatamente. Sia:
x1 = numero di cucchiaini di zucchero
x2 = numero di tazze di tè
Supponiamo che il consumatore abbia x2 tazze di tè: egli ne potrà zuccherare un
numero pari a
1
x1 , cioè alla metà dei cucchiaini di zucchero a sua disposizione. Si
2
avranno due casi possibili:
23
Elisa Battistoni
La funzione di utilità
1. x1 ≥ 2x2 ⇒ il consumatore può zuccherare tutte le tazze di tè e ne berrà,
perciò, un numero pari a x2 ;
2. x1 < 2x2 ⇒ il consumatore può zuccherare solamente
berrà, perciò, un numero pari a
1
x1 tazze di tè e ne
2
1
x .
2 1
In definitiva il consumatore potrà consumare un numero di tazze di tè pari a
1

min  x1, x2  . La sua utilità sarà, quindi:
2

1

u(x1, x2 ) = min  x1, x2 
2

Si è detto, però, che l’utilità è un modo di associare un valore alle preferenze, in modo
che a panieri indifferenti corrispondano valori uguali e a panieri preferiti valori
maggiori: questo significa che per noi è indifferente utilizzare come funzione di utilità
quella appena indicata oppure la seguente:
u(x1, x2 ) = min{x1,2x2 }
Quest’ultima espressione della funzione di utilità ha il vantaggio di non presentare
frazioni.
In generale se il rapporto di consumo fra x1 e x2 è pari ad a : b (con a, b ≠ 0 ) la
funzione di utilità del consumatore sarà:
u(x1, x2 ) = min{ax1, bx2 }
24
Elisa Battistoni
La funzione di utilità
2. Preferenze quasi-lineari.
In questo tipo di preferenze tutte le curve di indifferenza risultano dalla “traslazione
verticale” di un’unica curva.
x2
x1
La funzione di utilità delle preferenze quasi-lineari ha la seguente espressione
analitica:
u(x1, x2 ) = v (x1 ) + x2
con v (x1 ) = funzione non lineare di x1
La funzione è, come si vede, lineare per il bene 2 e non lineare per il bene 1: è detta,
pertanto, quasi-lineare.
Es: u(x1, x2 ) =
x1 + x 2 ;
u(x1, x2 ) = ln x1 + x2 .
25
Elisa Battistoni
La funzione di utilità
3. Utilità marginale.
Consideriamo un paniere di consumo (x1, x2 ) al quale è associato un determinato valore
di utilità. La variazione dell’utilità che deriva da una variazione infinitesima del paniere
di consumo è detta utilità marginale.
Supponiamo di aumentare di ∆x1 il consumo del bene 1, passando dal paniere (x1, x2 ) a
quello (x1 + ∆x1, x2 ) . Le rispettive utilità saranno:
PANIERE
UTILITA’
(x 1 , x 2 )
(x 1 + ∆ x 1 , x 2 )
u(x1, x2 )
u(x1 + ∆x1, x2 )
La variazione di utilità legata alla variazione del bene 1 è:
∆u1 = u(x1 + ∆x1, x2 ) − u(x1, x2 )
N.B.: Il pedice di ∆u rappresenta il bene di
cui si è variato il consumo.
La variazione relativa di utilità legata alla variazione del consumo del bene 1 è data da:
∆u1
u(x1 + ∆x1, x2 ) − u(x1, x2 )
=
∆ x1
∆ x1
vale a dire il rapporto incrementale della funzione di utilità rispetto al bene 1.
Passando al limite per l’incremento ∆x1 che tende a zero si ottiene:
MU1 =
∆u1
u(x1 + ∆x1, x2 ) − u(x1, x2 ) ∂u(x1, x2 )
lim
=
= lim
∆ x1
∂x 1
∆x1 → 0 ∆x1
∆x1 → 0
vale a dire la derivata parziale della funzione di utilità rispetto alla variabile x1 :
questa derivata rappresenta l’utilità marginale rispetto al bene 1, ovvero la
variazione di utilità che si ottiene in corrispondenza di una variazione infinitesima
della quantità del solo bene 1.
Analogamente, se viene variato il consumo del bene 2 di ∆x2 , lasciando costante il
livello di consumo del bene 1, si ottiene:
26
Elisa Battistoni
MU2 =
La funzione di utilità
∆u2
u(x1, x2 + ∆x2 ) − u(x1, x2 ) ∂u(x1, x2 )
lim
=
= lim
∆x 2
∂x 2
∆x2 → 0 ∆x2
∆x2 → 0
cioè l’utilità marginale rispetto al bene 2 è pari alla derivata parziale della funzione
di utilità rispetto a x2 .
Si noti che, per come è stata definita, l’utilità marginale dipende dalla particolare
funzione di utilità scelta per descrivere le preferenze del consumatore.
4. Utilità marginale e saggio marginale di sostituzione.
Consideriamo un paniere iniziale (x1, x2 ) ed uno finale (x1 + ∆x1, x2 + ∆x2 ) che siano
indifferenti per il consumatore: in tal caso i due panieri si troveranno sulla stessa
curva di indifferenza ed avranno, quindi, la stessa utilità.
Nel passaggio dal paniere iniziale a quello finale sono variate le quantità di entrambi i
beni.
x2
(x1
x2
+ ∆x1, x2 )
x2 + ∆x2
x1
x1
x1 + ∆ x1
Il passaggio dal paniere iniziale a quello finale può essere scomposto in due fasi:
1. Dal paniere iniziale (x1, x2 ) a quello intermedio (x1 + ∆x1, x2 ) → in questa fase
varia solamente il consumo del bene 1;
2. Dal paniere intermedio
(x 1
+ ∆x1, x2 ) a quello finale
(x1
+ ∆x1, x2 + ∆x2 ) → in
questa fase varia solamente il consumo del bene 2.
Nel primo passaggio si ha una variazione di utilità pari a :
27
Elisa Battistoni
La funzione di utilità
∆u1 = MU1 ∆x1
con
•
MU1 = variazione dell’utilità legata ad una variazione “campione” infinitesima del
bene 1;
•
∆x1 = variazione totale del bene 1.
Nel secondo passaggio si ha:
∆u2 = MU2 ∆x2
con analogo significato.
La variazione totale di utilità legata al passaggio dal paniere iniziale a quello finale è
data da:
∆u = ∆u1 + ∆u2 = MU1 ∆x1 + MU2 ∆x2
e deve essere nulla perché il consumatore è rimasto sulla stessa curva di indifferenza
∆u = 0
MU1 ∆x1 + MU2 ∆x2 = 0
MU1
∆x2
= −
MU2
∆ x1
Perciò risulta:
MRS1,2 =
∆x2
MU1
= −
∆x1
MU2
Si noti che, mentre l’utilità marginale dipende dalla particolare funzione di utilità
scelta per descrivere le preferenze del consumatore, il saggio marginale di
sostituzione non varia con la funzione di utilità scelta.
28
Elisa Battistoni
La funzione di utilità
5. Esercizi e soluzioni.
Esercizio 1.
La funzione di utilità di Lorenzo è
u(x1, x2 ) = x1 x2
1. Calcolare la curva di indifferenza che passa per il punto (3,4);
2. Calcolare l’utilità marginale del bene 1 e quella del bene 2;
3. Calcolare il saggio marginale di sostituzione nel punto (3,4).
Soluzione.
1. Tutti i punti sulla stessa curva di indifferenza devono avere la stessa utilità: in
particolare, in questo caso, devono avere l’utilità del punto (3,4).
u(3,4 ) = 3 * 4 = 12
La curva di indifferenza cercata, quindi, è quella con utilità pari a 12.
Per un punto (x1, x2 ) qualsiasi su questa curva vale:
u(x1, x2 ) = 12
x1 x2 = 12
x2 =
12
x1
La curva di indifferenza è un ramo di iperbole equilatera.
x2
x1
29
Elisa Battistoni
La funzione di utilità
2. L’utilità marginale del bene 1 è data dalla derivata parziale della funzione di utilità
rispetto a x1 , mentre quella del bene 2 è la derivata parziale rispetto a x2 . Si
ottiene:
MU1 =
∂u(x1, x2 )
= x2 ;
∂x1
MU2 =
∂u(x1, x2 )
= x1 .
∂x 2
3. Il saggio marginale di sostituzione fra i due beni è dato dal rapporto:
MRS1,2 = −
MU1
MU2
In questo caso, perciò, il saggio marginale di sostituzione calcolato nel punto (3,4)
vale:
MRS1,2 = −
x2
4
= −
x1
3
Esercizio 2.
Homer Simpson si nutre di ciambelle e birra ed ha una funzione di utilità quasi lineare
per questi due beni
u(x1, x2 ) = 4 x1 + x2
x1 = ciambelle;
x2 = lattine di birra.
1. Inizialmente Homer consumava 9 ciambelle e 10 lattine di birra. Ora il suo consumo
di ciambelle si è ridotto a 4 unità, ma ha ricevuto una quantità di lattine
sufficiente a mantenere inalterata la sua soddisfazione. Quante lattine consuma
ora Homer?
2. Verificare che i panieri (9,10) e (25,2) sono indifferenti per Homer;
3. Raddoppiando le quantità dei due panieri si ottengono i nuovi panieri (18,20) e
(50,4). Questi panieri sono sulla stessa curva di indifferenza?
30
Elisa Battistoni
La funzione di utilità
4. Qual è il saggio marginale di sostituzione di Homer in corrispondenza del paniere
(9,10)?
Soluzione.
1. Con 9 ciambelle e 10 lattine Homer aveva un’utilità pari a
u(9,10 ) = 4 9 + 10 = 22
Ora consuma 4 ciambelle, ma la sua utilità è la stessa. Perciò
u(4, x2 ) = 4 4 + x2 = 22
4 * 2 + x2 = 22
x2 = 22 − 8 = 14
Ora Homer consuma 14 lattine di birra.
2. Perché i panieri (9,10) e (25,2) siano indifferenti deve risultare
u(9,10 ) = u(25,2)
u(9,10 ) = 4 9 + 10 = 22
u(25,2) = 4 25 + 2 = 20 + 2 = 22
I due panieri sono indifferenti perché hanno la stessa utilità per Homer.
3. Perché i due panieri (18,20) e (50,4) siano sulla stessa curva di indifferenza devono
avere la stessa utilità
u(18,20 ) = 4 18 + 20 ≅ 37
u(50,4 ) = 4 50 + 4 ≅ 32
Non è detto che raddoppiando le quantità di due panieri indifferenti si ottengano
ancora due combinazioni con la stessa utilità: in questo caso i panieri ottenuti non
si trovano sulla stessa curva di indifferenza.
4. Il saggio marginale di sostituzione è dato da:
MRS1,2 = −
MU1
MU2
La funzione di utilità è:
31
Elisa Battistoni
La funzione di utilità
u(x1, x2 ) = 4 x1 + x2
Perciò:
MU1 =
4
=
2 x1
2
x1
MU2 = 1
MRS1,2 = −
2
x1
In corrispondenza del paniere (9,10) si ha:
MRS1,2 = −
2
2
= −
3
9
Va notato che in questo caso il saggio marginale di sostituzione non dipende da x2 ,
perciò anche in corrispondenza del paniere (9,20) si avrà lo stessa valore per
l’MRS.
In generale per le funzioni di utilità quasi lineari il saggio marginale di sostituzione
dipende solamente dalla variabile non lineare.
32
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
Il vincolo di bilancio.
1. Insieme e vincolo di bilancio: proprietà.
La mappa delle curve di indifferenza e le funzioni di utilità rappresentano ciò che il
consumatore preferirebbe acquistare, ma non necessariamente ciò che il consumatore
può permettersi di acquistare.
Consideriamo due beni, 1 e 2, che vengono venduti ai prezzi p1 e p2 , rispettivamente.
Supponiamo, inoltre, che il consumatore abbia a disposizione un reddito pari a m che
può spendere per l’acquisto di questi due beni.
Si dice insieme di bilancio del consumatore l’insieme di tutti i panieri (x1, x2 ) che il
consumatore può acquistare in corrispondenza dei prezzi (p1, p2 ) e del reddito m .
Se il consumatore decide di acquistare x1 unità del bene 1 al prezzo p1 egli spenderà
una quantità di moneta pari a p1 x1 ; analogamente, se decide di acquistare x2 unità del
bene 2 al prezzo p2 spenderà una quantità di moneta pari a p2 x2 .
Il consumatore può, pertanto, decidere di acquistare tutte le quantità dei beni 1 e 2
che gli consentano di non superare il reddito m a sua disposizione. Pertanto, il suo
insieme di bilancio è costituito da tutti i panieri (x1, x2 ) tali che sia verificata la
seguente relazione:
p1 x1 + p2 x2 ≤ m
Dal punto di vista grafico l’insieme di bilancio del consumatore è costituito da tutte le
coppie di punti (x1, x2 ) che si trovano nella parte di piano compresa fra i due assi
cartesiani e la retta
p1 x1 + p2 x2 = m
Tale retta è detta vincolo di bilancio e rappresenta l’insieme dei panieri di beni il cui
costo è esattamente uguale al reddito.
33
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
x2
Retta di bilancio
Insieme di bilancio
x1
Se il consumatore decide di acquistare solamente il bene 1 potrà acquistarne una
quantità x1 data da:
p1 x1 + p2 x2 = m
con x2 = 0
p1 x1 + p2 * 0 = m
p1 x1 = m
x1 =
m
p1
Analogamente, se egli decide di acquistare solamente il bene 2 la quantità che potrà
acquistare è pari a:
x2 =
Pertanto le quantità x1 =
m
p2
m
m
e x2 =
rappresentano rispettivamente le intercette
p1
p2
orizzontale e verticale del vincolo di bilancio.
Consideriamo ancora la retta di bilancio
p1 x1 + p2 x2 = m
e supponiamo di conoscere sia il reddito m che la quantità x1 che il consumatore
intende acquistare del bene 1. La quantità x2 che egli può acquistare è data da:
x2 =
p
m
− 1 x1
p2
p2
34
Elisa Battistoni
Il termine
Il vincolo di bilancio
m
è costante e rappresenta l’intercetta del vincolo di bilancio (ovvero la
p2
quantità del bene 2 che il consumatore acquista quando x1 = 0 ); il termine −
p1
p2
rappresenta, invece, il coefficiente angolare della retta.
È da notare che la pendenza della retta di bilancio è negativa: questo significa che il
consumatore è disposto a sostituire una certa quantità di un bene con una quantità
aggiuntiva dell’altro bene in un rapporto costante e pari, appunto, a −
p1
p2
.
Supponiamo, infatti, che il consumatore parta da un paniere (x1, x2 ) che si trova sul
vincolo di bilancio e che voglia arrivare al paniere
(x1
+ ∆x1, x2 + ∆x2 ) ancora sul
vincolo di bilancio.
Poiché entrambi i panieri si trovano sul vincolo di bilancio devono essere soddisfatte le
due equazioni:
p1 x1 + p2 x2 = m
p1 (x1 + ∆x1 ) + p2 (x2 + ∆x2 ) = m
Perciò si ha:
p1 x1 + p2 x2 = p1 (x1 + ∆x1 ) + p2 (x2 + ∆x2 )
ovvero
p1 ∆x1 + p2 ∆x2 = 0
Si ottiene quindi:
∆x2
p
= − 1
p2
∆ x1
cioè si ottiene che il saggio marginale di sostituzione – si ricorda che MRS1,2 =
∆x2
–
∆x1
è pari all’opposto del rapporto fra i prezzi: il segno negativo indica, quindi, che
all’aumentare del consumo del bene 1 deve diminuire il consumo del bene 2 e viceversa.
35
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
2. Come varia la retta di bilancio.
Supponiamo che inizialmente il consumatore abbia a disposizione il reddito m e che
possa acquistare i beni 1 e 2 ai prezzi p1 e p2 . Il suo vincolo di bilancio sarà quindi:
p1 x1 + p2 x2 = m
con
x1 = quantità acquistata del bene 1
x2 = quantità acquistata del bene 2
Nel caso in cui si modifichino il reddito del consumatore e/o uno o entrambi i prezzi
dei beni si modifica di conseguenza anche il vincolo di bilancio.
2.1.
Variazioni nel livello del reddito.
Supponiamo che il reddito del consumatore passi dal valore iniziale m al valore m' ,
con m' > m . Poiché i prezzi dei due beni sono rimasti inalterati la pendenza della retta
di bilancio non è cambiata: la nuova retta di bilancio, quindi, è parallela a quella iniziale,
ma ha un diverso valore delle intercette orizzontale e verticale.
Si ha infatti:
1° caso: il consumatore acquista solamente il bene 1.
In questo caso x2 = 0 e si ha:
x1 =
m
p1
x1' =
m'
p1
Poiché m' > m risulta x1' > x1 .
2° caso: il consumatore acquista solamente il bene 2.
In questo caso x1 = 0 e si ha:
x2 =
m
p2
x2 ' =
m'
p2
Poiché m' > m risulta x2 ' > x2 .
36
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
Quindi la retta di bilancio del consumatore si è spostata verso l’alto rimanendo
parallela a se stessa.
x2
m'
p2
m
p2
m''
p2
Inclinazione = -p1/p2
m''
p1
m
p1
m'
p1
x1
Un discorso del tutto analogo vale se il reddito del consumatore diminuisce passando
dal valore m al valore m'' , con m'' < m : in questo caso la curva di bilancio si sposterà
verso il basso rimanendo parallela a se stessa.
Riassumendo:
quando il reddito del consumatore varia e il rapporto fra i prezzi dei due
beni rimane costante il vincolo di bilancio si sposta parallelamente a se
stesso. Se il reddito diminuisce il vincolo di bilancio si sposta verso l’origine
degli assi; se, invece, il reddito aumenta il vincolo di bilancio si allontana
dall’origine.
2.2.
Variazioni nel livello dei prezzi.
Supponiamo che il prezzo del bene 1 passi dal valore p1 al valore p1' con p1' > p1 ,
mentre il reddito m ed il prezzo p2 rimangono invariati. L’equazione del vincolo di
bilancio diventa:
p1' x1 + p2 x2 = m
37
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
e le intercette sono:
x1 =
m
p1'
x2 =
m
p2
Pertanto, aumentando p1 non cambia l’intercetta verticale, mentre cambiano la
pendenza della retta – che passa da −
p1
p2
a −
p1'
– e l’intercetta orizzontale.
p2
Analogo risultato si ottiene se il prezzo p1 diminuisce fino al valore p1'' . In questo
caso rimarrà ancora immutata l’intercetta verticale, mentre quella orizzontale si
sposterà verso destra: quest’ultima, infatti, rappresenta la quantità x1 che il
consumatore potrebbe acquistare se comprasse solamente il bene 1 e non il bene 2:
diminuendo il prezzo del bene 1, quindi, aumenterà la quantità che il consumatore può
acquistare a parità di reddito.
Graficamente si ha:
x2
m
p2
Inclinazione = -p1’’/p2
Inclinazione = -p1/p2
Inclinazione = -p1'/p2
m
p1'
m
p1
m
p1''
x1
Nel caso in cui il prezzo p1 ed il reddito rimangano invariati e cambi il prezzo p2 il
ragionamento è del tutto analogo. Graficamente si avrà:
38
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
x2
m
p2''
m
p2
Inclinazione = -p1/p2’’
m
p2 '
Inclinazione = -p1/p2
Inclinazione = -p1/p2’
m
p1
x1
con p2 '' < p2 < p2 ' .
Riassumendo:
quando il prezzo di uno dei due beni varia e gli altri parametri rimangono
costanti l’intercetta del vincolo di bilancio sull’asse corrispondente al bene il
cui prezzo è variato si sposta: se il prezzo aumenta l’intercetta si avvicina
all’origine degli assi, mentre se il prezzo diminuisce se ne allontana.
Da quanto detto fin qui risultano le seguenti considerazioni:
•
Se entrambi i prezzi variano aumentando o diminuendo dello stesso fattore k
( p1' = kp1 e p2 ' = kp2 ) il cambiamento si tradurrà in una traslazione del vincolo di
bilancio, che rimarrà parallelo a se stesso. Questo significa che il consumatore si
troverà in una situazione analoga a quella in cui venga variato il suo reddito, mentre
i prezzi rimangono immutati. Si dirà, perciò, che il potere d’acquisto del
39
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
consumatore è cambiato, ovvero che è mutata la sua capacità di acquistare i beni in
commercio;
•
Si consideri il caso di un’economia inflazionistica, in cui sia i prezzi che il reddito
variano di uno stesso fattore k ( p1' = kp1 , p2 ' = kp2 , m' = km ). In questo caso la
pendenza del vincolo di bilancio – data dal rapporto fra i prezzi – non cambia e non
variano nemmeno le intercette – date dal rapporto fra il reddito ed i prezzi. Ne
consegue che il vincolo di bilancio del consumatore non si sposta e non si hanno
effetti sul suo potere di acquisto.
3. La scelta del consumatore.
Si è detto che l’insieme di bilancio indica le alternative tra cui il consumatore può
scegliere e consente di distinguere i panieri di beni ottenibili da quelli non ottenibili,
dati i prezzi dei beni ed il reddito.
Fra tutti i panieri che il consumatore può acquistare si tratta di capire quale egli
sceglierà effettivamente.
A questo proposito si considerino le curve di indifferenza del consumatore ed il suo
vincolo di bilancio.
x2
Scelta del consumatore
x1
Fra tutti i panieri che si trovano nell’insieme di bilancio il consumatore sceglierà quello
che si trova sulla curva di indifferenza più alta – e, quindi, con utilità maggiore – che
40
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
può raggiungere dato il suo reddito. Questo significa che il consumatore sceglierà il
paniere che si trova nel punto di tangenza fra il suo vincolo di bilancio ed una delle
curve di indifferenza: ogni altro paniere del suo insieme di bilancio si trova, infatti, su
curve di indifferenza più basse e, quindi, ha un’utilità minore.
Nella sua scelta, quindi, il consumatore massimizza la sua funzione di utilità ed il
paniere scelto sarà, perciò, il paniere ottimo (x1 *, x2 * ) .
Il paniere scelto appartiene, quindi, sia al vincolo di bilancio che alla curva di
indifferenza ed in quel punto le due curve dovranno avere la stessa inclinazione.
Risulterà quindi:
MRS1,2 =
∆x2
p
= − 1
∆x1
p2
Si ricorda che il Marginal Rate of Substitution rappresenta la pendenza della curva di
indifferenza in un determinato punto.
Inoltre, risulta che l’MRS è pari al rapporto fra le derivate parziali della funzione di
utilità che rappresenta la mappa di indifferenza del consumatore:
MRS1,2 =
−
∆x2
MU1
= −
∆x1
MU2
MU1
p
= − 1
p2
MU2
MU1
p
= 1
MU2
p2
41
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
4. Esercizi e soluzioni.
Esercizio 1.
Un consumatore dispone di un reddito di 40€ per acquistare due beni. Una unità del
bene 1 costa 10€, mentre un'unità del bene 2 costa 5€.
a) Scrivere l'equazione di bilancio;
b) Se il consumatore spendesse tutto il suo reddito per acquistare il bene 1, quante
unità ne potrebbe comprare?
c) Se il consumatore spendesse tutto il suo reddito per acquistare il bene 2, quante
unità ne potrebbe comprare?
d) Supponiamo che p1 scenda a 5€, mentre tutto il resto non cambia. Qual è la nuova
equazione di bilancio?
e) Supponiamo che il reddito scenda a 30€, mentre i prezzi di entrambi i beni restano
a 5€. Qual è la nuova equazione di bilancio?
f) Rappresentate i diversi vincoli di bilancio ottenuti sullo stesso grafico: quali
conclusioni si possono trarre?
Soluzione.
a) Il consumatore spende 10€ per ogni unità del bene 1 acquistata. Detta, perciò, x1
la quantità del bene 1 che il consumatore deciderà di acquistare la sua spesa sarà
data da 10*x1.
Analogamente, detta x2 la quantità del bene 2 acquistata dal consumatore la spesa
relativa all'acquisto di tale bene sarà data da 5*x2.
Acquistando x1 unità del bene 1 e x2 unità del bene 2 il consumatore spenderà in
totale una somma pari a
10x1+5x2
Il consumatore ha a disposizione una somma pari a 40€, pertanto la sua spesa
dovrà essere non superiore a questa cifra
42
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
10x1+5x2≤40
L'insieme di panieri (x1,x2) che soddisfano la disuguaglianza indicata è l'insieme
dei panieri ammissibili per il consumatore; l'insieme dei panieri (x1,x2) che
soddisfano la relazione indicata all'uguaglianza è il vincolo di bilancio del
consumatore.
Vincolo di bilancio
10x1+5x2=40
b) Se il consumatore acquista solamente il bene 1 si avrà x2=0 e quindi
10x1+5*0=40
x1=40/10=4
Pertanto, se il consumatore deciderà di acquistare solamente il bene 1 ne potrà
consumare 4 unità.
c) Analogamente a quanto fatto per il caso precedente si ha:
10*0+5x2=40
x2=40/5=8
Pertanto, se il consumatore decide di acquistare solamente il bene 2 può
consumarne 8 unità.
d) Se il prezzo del bene 1 scende a 5€ il vincolo di bilancio del consumatore diventa:
5x1+5x2=40
In questo caso, se il consumatore decidesse di consumare solamente il bene 1
potrebbe usufruire di un numero di unità del bene pari a 8. Si ha infatti:
5x1+5*0=40
x1=40/5=8
e) Se il prezzo di entrambi i beni rimane fisso a 5€ ed il reddito diminuisce fino a 30€
il vincolo di bilancio del consumatore diventa:
5x1+5x2=30
f) Rappresentiamo i vincoli di bilancio ottenuti sullo stesso grafico.
43
Elisa Battistoni
x2
Il vincolo di bilancio
Legenda:
10x1+5x2=40
5x1+5x2=40
5x1+5x2=30
x1
Dal grafico si può notare che, a parità di condizioni, alla variazione di uno dei
prezzi corrisponde una variazione nell'inclinazione della curva, mentre ad una
variazione del reddito corrisponde una variazione di "altezza" del vincolo di
bilancio: in particolare, se il prezzo del bene 1 diminuisce la curva di bilancio
aumenterà la sua inclinazione, intercettando l'asse x1 in un punto più a destra di
quello iniziale; se, invece, il reddito diminuisce la retta di bilancio si sposterà
parallelamente a se stessa verso il basso.
44
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
Esercizio 2.
La funzione di utilità di un consumatore è u(x1, x2 ) = x12 x2 . Il prezzo del bene 1 è
p1 = 1 , il prezzo del bene 2 è p2 = 3 ed il reddito del consumatore è m = 180 .
Determinare il paniere ottimo (x1 *, x2 * ) per il consumatore.
Soluzione.
Nell’effettuare la scelta il consumatore cercherà di massimizzare la propria utilità nel
rispetto del suo vincolo di bilancio:
{
max u(x1, x2 ) = max x12 x2
s.t. p1 x1 + p2 x2 = m
}
In corrispondenza del paniere ottimo si ha la tangenza fra il vincolo di bilancio del
consumatore ed una delle sue curve di indifferenza: in questo punto, quindi, le due
curve dovranno avere la stessa pendenza.
L’equazione del vincolo di bilancio è
x1 + 3x2 = 180
e la sua pendenza è data da:
∆x2
p
1
= − 1 = −
p2
3
∆ x1
Nel punto di ottimo anche la funzione di utilità deve avere pendenza pari a −
1
e,
3
quindi, deve essere:
∆x 2
MU1
1
= −
= −
MU2
3
∆ x1
con
MU1 = 2x1 x2
MU2 = x12
45
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
Si ha quindi:
MU1
2 x1 x 2
x
=
= 2 2
2
MU2
x1
x1
Perciò
MU1
=
1
3
MU2
x
1
2 2 =
x1
3
1
x1
6
x1 = 6 x 2
x2 =
Sostituendo la condizione trovata nel vincolo di bilancio si ha:
 x1 + 3x2 = 180

 x1 = 6 x 2
6x2 + 3x2 = 180

 x1 = 6 x 2
9 x2 = 180

 x1 = 6 x 2
 x2 = 20

 x1 = 120
Il
paniere
ottimo
per
il
consumatore
è
quindi
(x1 *, x2 * ) = (120,20 ) .
In
corrispondenza di questo paniere l’utilità del consumatore vale:
u(120,20 ) = 120 2 * 20 = 288.000 .
46
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
Esercizio 3.
La Central High School dispone di 60.000$ per acquistare calcolatori elettronici ed
altri materiali didattici. L'equazione di bilancio della scuola è C+X=60.000, dove C
rappresenta la somma spesa per acquistare i computer, mentre X quella spesa per
acquistare altri beni. Attualmente la scuola ha in programma di spendere 20.000$
nell'acquisto di computer.
La commissione statale per l'istruzione intende incoraggiare “l'alfabetizzazione
informatica” nelle scuole sotto la sua giurisdizione e sta esaminando i seguenti
progetti:
PROGETTO A: in base a questo progetto ciascuna scuola superiore dello Stato
riceverebbe 10.000$ da spendere a sua discrezione;
PROGETTO B: il progetto prevede che ciascuna scuola riceva 10.000$, a
condizione che decida di spendere nell'acquisto di computer almeno 10.000$ in
più di quanto spende attualmente. La scuola può scegliere di non partecipare al
progetto e, in questo caso, non riceverà la sovvenzione, ma non dovrà neppure
destinare somme maggiori all'acquisto di computer;
PROGETTO C: il progetto prevede che per ogni dollaro speso nell'acquisto di
calcolatori la scuola riceva dallo Stato una sovvenzione di 50 centesimi.
Si scrivano i vincoli di bilancio della Central High School relativi a ciascuno dei tre
progetti.
Soluzione.
a) Nel caso in cui venga approvato il progetto A il vincolo di bilancio della scuola è
dato da:
C+X=70.000
b) Nel caso in cui venga approvato il progetto B si devono distinguere due situazioni:
la prima, relativa al caso in cui la scuola decida di partecipare al progetto; la
seconda, invece, relativa al caso in cui la scuola non voglia partecipare al progetto.
47
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
Caso 1:
In questo caso il reddito della scuola aumenterà di 10.000$ solamente se la
scuola in questione sarà disposta a spendere almeno 10.000$ in più di
quanto aveva preventivato nell'acquisto di computer: questo significa che il
reddito della scuola sarà pari a 70.000$ se la spesa per computer sarà pari
almeno a 30.000$.
Se si definisce la spesa minima per computer pari a C = 30.000 , la spesa
totale C potrà essere espressa come:
C= C +C'
dove con C' si è indicata la spesa in più rispetto a quella minima destinata
all'acquisto di calcolatori. Si avrà quindi:
C=30.000+C'
Il nuovo reddito della scuola, inoltre, sarà pari a R'=70.000$.
Il vincolo di bilancio può, pertanto, essere scritto come:
C+X=R'
30.000+C'+X=70.000
C'+X=40.000
Il vincolo individua il segmento compreso fra i due punti estremi dati da:
(C',X)=(40.000,0)
e
(C',X)=(0,40.000)
Ritornando ad esprimere la spesa per calcolatori nella variabile originaria C,
il segmento individuato dal vincolo di bilancio è delimitato dai due estremi:
(C,X)=(70.000,0)
e
(C,X)=(30.000,40.000)
Il valore di C è stato ottenuto dai corrispondenti valori di C' aggiungendo la
quota minima di spesa destinata ai calcolatori, pari a 30.000$.
Caso 2:
In questo caso la scuola decide di non partecipare al progetto e di investire una
quota minore di 30.000$ nell'acquisto di computer: il reddito della scuola
rimane, perciò, pari a 60.000$.
48
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
Il vincolo di bilancio della scuola è, pertanto, rappresentato dall'equazione:
C+X=60.000
con la limitazione che C debba essere inferiore a 30.000$: se così non fosse si
ricadrebbe nel caso precedente.
Il vincolo di bilancio individua, perciò, il segmento di estremi
(C,X)=(0,60.000)
e
(C,X)=(30.000,30.000)
c) Nel caso in cui venga approvato il progetto C per ogni dollaro speso nell'acquisto di
computer la scuola riceverà un finanziamento di 0,5$: questo significa che se la
scuola spende in calcolatori una somma pari a C dollari riceverà un finanziamento di
0,5C dollari.
Il vincolo di bilancio della scuola sarà quindi:
C+X=R+0,5C
0,5C+X=R
0,5C+X=60.000
Si tratta del segmento delimitato dai punti:
(C,X)=(0,60.000)
e
(C,X)=(120.000,0)
49
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
La rappresentazione grafica di vincoli di bilancio ottenuti relativamente a ciascuno dei
tre progetti è riportata in figura.
X (*1000)
Legenda
70
Progetto A
60
Progetto B
40
Progetto C
30
30
70
120
C (*1000)
Esercizio 4.
Supponiamo che la Central High School abbia preferenze che possono essere
rappresentate dalla seguente funzione di utilità:
U(C,X)=CX2
Proviamo a determinare come i progetti descritti nell’esercizio precedente
modifichino le decisioni della scuola circa la somma da destinare all’acquisto di
computer.
Determinare la somma destinata all’acquisto di computer che massimizza l’utilità della
scuola, dato il vincolo di bilancio, nei seguenti casi:
a) Nessun progetto viene approvato;
b) Viene approvato il progetto A;
c) Viene approvato il progetto B;
d) Viene approvato il progetto C.
50
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
Soluzione.
La funzione di utilità della scuola è data da:
U(C,X)=CX2
e rimane la stessa indipendentemente dal progetto che viene approvata dalla
commissione statale. Al variare del progetto scelto cambia, invece, il vincolo di bilancio
della scuola.
La scuola deciderà di spendere nell’acquisto dei due beni le quantità C e X che
massimizzano la sua funzione di utilità e che rispettano il suo vincolo di bilancio. Il
problema che si deve risolvere, quindi, è:
Max U(C,X)
s.t.
aC+bX=R
dove a e b sono costanti e R è il reddito che la scuola ha a disposizione nei diversi casi.
a) Nel caso in cui non venga approvato alcun progetto il vincolo di bilancio della scuola
è dato da:
C+X=60.000
Dal vincolo di bilancio si può ricavare l’espressione di C in funzione di X e si
ottiene:
C=60.000-X
Sostituendo questa espressione di C nella funzione di utilità della scuola, questa
diventa una funzione ad una sola variabile – la variabile X – e può, pertanto, essere
massimizzata ponendo la derivata prima pari a zero. Si ha:
U(C,X)=CX2=(60.000-X)X2=60.000X2-X3
U’=
dU
= 120.000X-3X2=0
dX
X=0, X=40.000
Per decidere quale dei due valori di X corrisponda al punto di massimo della
funzione di utilità si può valutare il segno della derivata seconda della funzione
51
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
calcolata nel punto in questione: se la derivata seconda nel punto è minore di zero
allora il punto sarà di massimo, mentre se è maggiore di zero si tratterà di un
punto di minimo. Nel caso in esame si ha:
2
U
U’’= d 2 = 120.000-6X
dX
U’’(X=0)=120.000-6*0=120.000>0
U’’(X=40.000)=120.000-6*40.000=120.000-240.000=-120.000<0
Il punto in cui la derivata seconda della funzione è negativa è X=40.000 e, quindi,
questo è il valore di X che massimizza l’utilità della scuola, tenendo conto, nel
contempo, del vincolo di bilancio. Da quest’ultimo si può ricavare il corrispondente
valore di C:
C=60.000-X=60.000-40.000=20.000
Perciò la scuola deciderà di allocare la sua spesa destinando C=20.000$
all’acquisto di computer e X=40.000$ agli altri beni.
b) In questo caso il vincolo di bilancio della scuola è dato da:
C+X=70.000
e la variabile C può essere espressa in funzione di X come:
C=70.000-X
La funzione di utilità diventa quindi:
U(C,X)=CX2=(70.000-X)X2=70.000X2-X3
Si ha:
U’=
dU
= 140.000X-3X2=0
dX
X=0, X=46.667
La derivata seconda è data da:
2
U
U’’= d 2 = 140.000-6X
dX
U’’(X=0)=140.000-6*0=140.000>0
52
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
U’’(X=46.667)=140.000-6*46.667=140.000-280.000=-140.000<0
La corrispondente spesa per computer è data da:
C=70.000-X=70.000-46.667=23.333
Perciò l’allocazione della spesa che massimizza l’utilità della scuola nel rispetto del
vincolo di bilancio quando viene approvato il progetto A è data da:
(C,X)=(23.333,46.667)
c) Per questo progetto è necessario distinguere due casi: il primo è quello in cui la
scuola decide di aderire al progetto, mentre il secondo è quello in cui la scuola
decide di non aumentare le spese previste per i computer.
Caso 1:
In questo caso si avrà:
C+X=70.000
C=70.000-X
U(C,X)=CX2=(70.000-X)X2=70.000X2-X3
U’=
dU
= 140.000X-3X2=0
dX
X=0, X=46.667
2
U
U’’= d 2 = 140.000-6X
dX
U’’(X=0)=140.000-6*0=140.000>0
U’’(X=46.667)=140.000-6*46.667=140.000-280.000=-140.000<0
Perciò il valore di X che massimizza l’utilità della scuola è X=46.667 e,
conseguentemente, si ha:
C=70.000-X=70.000-46.667=23.333
La soluzione ottenuta non è accettabile perché in questo caso la spesa della
scuola destinata ai computer deve essere non inferiore ai 30.000$, cosa che si
può evidenziare anche dal vincolo di bilancio ricavato nell’esercizio precedente.
Caso 2:
In questo caso si avrà:
53
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
C+X=60.000
C=60.000-X
U(C,X)=CX2=(60.000-X)X2=60.000X2-X3
U’=
dU
= 120.000X-3X2=0
dX
X=0, X=40.000
2
U
U’’= d 2 = 120.000-6X
dX
U’’(X=0)=120.000-6*0=120.000>0
U’’(X=40.000)=120.000-6*40.000=120.000-240.000=-120.000<0
Perciò il valore di X che massimizza l’utilità della scuola è X=40.000, cui
corrisponde
C=60.000-X=60.000-40.000=20.000
Questa soluzione è accettabile.
In definitiva, nel caso in cui venga approvato il progetto B la spesa che massimizza
l’utilità della scuola nel rispetto del vincolo di bilancio è data da:
(C,X)=(20.000,40.000)
e la scuola deciderà di non partecipare al progetto e, quindi, di non usufruire del
finanziamento di 10.000$.
d) Nel caso in cui venga approvato il progetto C si ha:
0.5C+X=60.000
0.5C=60.000-X
C=120.000-2X
U(C,X)=CX2=(120.000-2X)X2=120.000X2-2X3
U’=
dU
= 240.000X-6X2=0
dX
X=0, X=40.000
2
U
U’’= d 2 = 240.000-12X
dX
54
Elisa Battistoni
Il vincolo di bilancio
U’’(X=0)=240.000-12*0=240.000>0
U’’(X=40.000)=240.000-12*40.000=-240.000<0
In questo caso il valore di X che massimizza l’utilità della scuola è X=40.000 e,
corrispondentemente, si ha:
C=120.000-2X=120.000-2*40.000=120.000-80.000=40.000
Pertanto, in questo caso la scuola deciderà di allocare la spesa nel modo
seguente:
(C,X)=(40.000,40.000)
Come si vede, a parità di funzione di utilità del consumatore le scelte di quest’ultimo
cambiano al variare del vincolo di bilancio.
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