Proposta di Analisi Matematica

Mathesis National Congress – Livorno (Italy) 2010
Proposte di“percorsi” di insegnamento tendenti al raggiungimento di
traguardi di apprendimento riferiti a questioni ritenute
particolarmente significative e necessarie da apprendere.
Proposta di Analisi Matematica
Proposals of teaching paths aiming to the achievement of learning goals referred to issues deemed particularly
significant and needed to be learned.
Author: Stefano GERONIMO
1
Riassunto
Fare proposte di “percorsi”…., mi riporta indietro negli anni quando insegnavo matematica al Liceo
Scientifico.
Spesso mi trovavo in difficoltà perché non riuscivo a svolgere il programma ministeriale e molte volte mi
recavo al Ministero per parlare con qualche ispettore.
Ricordo gli ispettori centrali Caldo, Chiellini e Vita ai quali ponevo domande e ricevevo consigli.
Alle mie domande, ricordo, quando esprimevo le mie difficoltà e incertezze, l’ispettore Caldo mi diceva:
“Caro Geronimo riduci le dimostrazioni e passa alla matematica applicata in quanto i problemi
concreti si ricordano, le dimostrazioni si dimenticano”.
Dopo tanti anni, se tornassi ad insegnare in un liceo, continuerei a seguire la strada a suo tempo indicatami,
privilegiando, fra i tanti, i seguenti percorsi:
1) Approssimazione delle funzioni (goniometriche, logaritmiche ed esponenziali per mezzo di polinomi
mediante la formula di Taylor con il resto di Lagrange e quella di Mac- Laurin).
2) Risoluzione approssimata di equazioni polinomiali di qualunque grado mediante, ad esempio, il metodo
delle secanti e delle tangenti
3) Risoluzione di semplici equazioni differenziali del primo e secondo ordine con il metodo delle differenze
finite o con altri metodi.
Con questi “percorsi “ abitueremmo i giovani alla ricerca e alla scoperta di semplici modelli matematici e di
problemi concreti e reali cui si deve tendere oggi e a maggior ragione domani.
Questo, secondo me, è ciò che è importante e significativo che i giovani apprendano di matematica.
1 Già dirigente scolastico, Presidente della Sezione Mathesis di Roma
1
Mathesis National Congress – Livorno (Italy) 2010
1. Premessa
Io penso che l’argomento principale da considerare come percorso di insegnamento-apprendimento
è l’approssimazione in matematica.
Pertanto è consigliabile tralasciare qualche dimostrazione rimandandola ad un momento più
opportuno senza con questo rinunciare a presentare la Matematica nel suo più ampio significato
universale. Ricordo i consigli dell’ispettore Caldo:
“Caro Geronimo riduci le dimostrazioni perché le applicazioni si ricordano mentre le dimostrazioni
facilmente si dimenticano.”
Non conta il numero degli argomenti svolti, non servono formule e formulette, è la qualità che
forma al contrario della quantità che informa.
Perché i giovani, uscenti dalla scuola secondaria superiore, possano percorrere senza troppi intoppi
il cammino universitario o immettersi nel mondo del lavoro è necessario che posseggano specifiche
competenze cioè capacità, conoscenze ed esperienze.
A tal fine desidero puntualizzare i seguenti tre punti.
2. Approssimazione delle funzioni (goniometriche, logaritmiche ed
esponenziali per mezzo di polinomi mediante la formula di Taylor con il
resto di Lagrange e quella di Mac- Laurin).
Nell’opera “Methodus Incrementorum Directa et Inversa” pubblicata a Londra nel 1715, Brook
Taylor presenta una formula che porta il suo nome con la quale si prefiggeva di approssimare
qualsiasi funzione algebrica o trascendente mediante polinomi.
La genialità di questa sua idea fu espressa dallo stesso Giuseppe Luigi Lagrange nel 1772, ben 41
anni dopo la morte di Taylor.
Lagrange riconobbe la grande importanza ed il grande valore di quella formula da indurlo a
definirla come “ il differential principale du fondament du calcul”.
Il ragionamento che ci porta al teorema di Taylor, alla sua formula ed alla formula di di Mac Laurin
è il seguente.
Sia f(x) una funzione definita in un intervallo I e sia x0 ϵ I.
Essa può essere una funzione algebrica, goniometrica, logaritmica o esponenziale.
A volte può essere utile approssimare la f(x) con una funzione g(x) più semplice da calcolarsi di f(x),
che non differisca troppo da f(x), almeno in un opportuno intorno di x0, e che abbia come primo
requisito:
g ( x0 ) = f ( x0 )
(2-1)
e come secondo che g(x) sia un opportuno polinomio di un certo grado n (n = 0, 1, 2,....) cioè:
g ( x) = pn ( x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ..... + an x n
(2-2)
Escluso il caso che la f(x) sia un polinomio, occorrerà aggiungere un certo termine correttivo, cioè
scrivere:
f ( x) = pn ( x) + Rn ( x)
(2-3)
E’ importante osservare che questa formula, significando soltanto che indichiamo con Rn(x) la
differenza fra f(x) ed il polinomio (2-2), non avrebbe alcuna importanza se non si riuscisse ad
indicare una qualche proprietà o a dare una qualche espressione di Rn(x).
Ora, come vedremo, ciò è effettivamente possibile, sotto opportune ipotesi per la funzione f(x).
2
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Teorema di Taylor con il resto di Lagrange.
Enunciato: Sia f(x) una funzione derivabile n volte in un intorno I del punto x0 ed (n+1) volte in
tutti i punti di I escluso al più x0. Allora per ogni x ϵ I \ {x0} esiste almeno un punto ξ, interno
all’intervallo di estremi x0 e x, tale che sia:
n
f ( k ) ( x0 )
f ( x) = ∑
(x − x0 )k + Rn ( x)
k!
k =0
(2-4)
( n +1)
f
(ξ )
con
Rn ( x) =
(x − x0 )n+1
(n + 1)!
(2-5)
essendo x0 < ξ < x .
La (2-4) rappresenta la formula di Taylor e l’espressione
n
f ( k ) ( x0 )
(x − x0 )k
∑
k!
k =0
che in essa compare viene detto polinomio di Taylor di grado n relativo alla funzione f(x) ed al
punto iniziale x0.
La (2-5) prende il nome di forma di Lagrange del termine complementare o del resto ennesimo
della formula di Taylor.
Esso permette spesso di fare delle semplici valutazioni sull’ordine di grandezza dell’errore che si
commette nell’approssimazione di f ( x) ≅ pn ( x) .
Se l’intervallo I contiene 0 e si prende x0=0, la (2-4) con la (2-5) diventa:
f ' (0)
f " (0) 2
f n (0) n f ( n+1) (ξ ) n+1
f ( x) = f (0) +
x+
x + .... +
x +
x
(n + 1)!
1!
2!
n!
(2-6)
con ξ compreso tra 0 ed x.
La (2-6) è detta formula di Mac Laurin ed è quella maggiormente usata nelle applicazioni.
Motivazioni che ci spingono a considerare la formula di Taylor come meta di un percorso di
apprendimento.
Spesso chi studia Matematica sa che ogni tanto ci si imbatte in una formula fondamentale.
L’aggettivo fondamentale è sempre giustificato nel senso che risulta molto importante nello
sviluppo matematico a guisa dei principali nodi ferroviari nei quali si incontrano i treni provenienti
da ogni parte, ma da cui ne ripartono tanti altri per tutte le direzioni.
Si può affermare che fra le tante formule fondamentali che incontriamo nello studio della
Matematica la formula di Taylor ha tutte le qualità per essere considerata fondamentale.
Precisiamo che l’area disciplinare d’interesse è l’Analisi Matematica.
E’ indiscutibile l’utilità della formula di Taylor nelle applicazioni della Matematica, in particolare
nel calcolo approssimato.
Tra le più semplici funzioni che intervengono in Analisi Matematica vi sono le funzioni polinomiali
(o polinomi).
L’approssimazione di funzioni mediante polinomi è una delle idee più antiche dell’analisi numerica
ed una delle più largamente usate.
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Si usa un polinomio per approssimare una funzione f(x) per vari motivi. Forse il più importante è
che i polinomi sono facili da calcolare, facili da derivare e da integrare.. Inoltre le radici di un
polinomio si scoprono con fatica molto minore che per altre funzioni. Spesso si presentano integrali
la cui funzione integranda è complicata e si riesce a risolverli trasformando la funzione integranda
in polinomio.
La formula è poi, didatticamente, estremamente significativa in quanto in essa (2-4) si possono
leggere:
a) L’equazione della retta tangente al grafico di una funzione f(x) nel punto P0 ≡ [x0 , f ( x0 )] ,
considerando solo i primi due termini a secondo membro cioè:
y = f ( x0 ) + f ' ( x0 ) ( x − x0 ) ;
b) la nozione di derivata (fra l’altro, storicamente, Giuseppe Luigi Lagrange (1736-1813)
definisce “derivata di f(x) nel punto x0 il secondo coefficiente dello sviluppo cioè f’(x0)”);
c) il teorema classico di Lagrange o teorema del valore medio
f ( x) − f ( x0 )
= f ' (ξ )
x − x0
e quindi quello di Rolle;
d) la formula di Mac Laurin per i polinomi con x0=0;
e) il teorema del differenziale;
f) informazioni su monotonia e convessità-concavità di una funzione ( f " ( x0 ) <> 0 )…fino ad
arrivare alle varie generalizzazioni di Analisi II per le funzioni di più variabili.
Considerando il caso di una funzione in due variabili z = f ( x, y ) il suo sviluppo in formula
di Taylor/Mac Laurin è il seguente:
1
1. z = c00 + (c10 x + c01 y ) + c20 x 2 + 2c11 xy + c02 y 2 + ....
2
(2-7)
avendo posto:
c00 = f (0,0) ; c10 = f x (0,0) ; c01 = f y (0,0) ; c20 = f xx (0,0) ; c11 = f xy (0,0) ; c02 = f yy (0,0)
(
)
e dove z = c00 + (c10 x + c01 y ) rappresenta il piano tangente in x0=0 e y0=0 alla superficie
di equazione z = f ( x, y ) .
2. I due casi da distinguere fondamentalmente sono quelli corrispondenti al segno positivo
o negativo del discriminante:
2
 ∂2 f 
 ∂2 f ∂2 f 
 −  2 ⋅ 2 
D = c − c20c02 = 
 ∂x∂y  xy==00  ∂x ∂y  xy==00
2
11
(2-8)
Se D è positivo il complesso dei termini di 2° grado della (2-7) si annulla su due rette
y = λ x , con λ = λ1 e λ = λ2 radici dell’equazione:
c20 + 2 c11 λ + c02 λ2 = 0
(2-9)
ed ha segno alternativamente positivo e negativo nelle quattro regioni angolari in cui le 2
rette dividono il piano.
Se D è negativo il complesso dei termini di secondo grado conserva sempre il medesimo
segno, o sempre positivo o sempre negativo.
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In questi ultimi due casi la superficie è sempre un paraboloide ellittico, che si trova
rispettivamente tutto al di sopra o tutto al di sotto del piano tangente, ossia è in tutte le
direzioni concavo o in tutte convesso verso l’alto, nel primo caso è invece un
paraboloide iperbolico, che taglia il piano tangente lungo le due rette indicate, e che,
secondo le direzioni comprese nell’una o nell’altra delle regioni angolari tra quelle rette,
presenta profilo concavo verso l’alto.
Il caso intermedio, D = 0, dà un cilindro parabolico, che tocca il piano tangente lungo
tutta una retta generatrice per l’origine.
Come avevo prima detto da questa “stazione” così importante (Formula di Taylor) ripartono tanti
altri “treni” in tutte le direzioni quali la formula di Taylor di funzioni di 2 o più variabili e tante altre
versioni utilizzate anche in Analisi Funzionale.
3. Risoluzione approssimata di equazioni polinomiali di qualunque grado
mediante, ad esempio, il metodo delle secanti e delle tangenti
Tale capitolo sarà sviluppato in dettaglio nel prossimo Convegno nazionale della Mathesis.
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4. Risoluzione approssimata mediante il metodo delle differenze finite di
semplici equazioni differenziali del primo e secondo ordine a
coefficienti costanti.
L’insegnamento delle equazioni differenziali a livello elementare pur facendo parte dei
programmi ministeriali, in alcuni Licei ed Istituti Tecnici non viene nemmeno accennato, in altri
lo è appena ed in altri ancora viene svolto malissimo.
La teoria delle equazioni differenziali costituisce uno dei capitoli più importanti dell’ Analisi
Matematica, definita da D. Hilbert come una sinfonia coerente dell’infinito (∞).
Di essa fa parte la modellistica matematica, la quale è un campo sterminato della scienza che
comprende buona parte delle applicazioni della matematica allo studio dei problemi reali.
L’economista matematico francese Malinvaud definì il modello matematico come la
rappresentazione formale, cioè espressa in linguaggio matematico, di idee e conoscenze relative
ad un fenomeno.
Per passare dal problema reale alla sua soluzione mediante il calcolatore, occorrono due fasi:
a) L’individuazione del modello matematico;
b) L’impostazione di metodi (algoritmi) sul calcolatore per trovare la soluzione numerica del
problema matematico.
Noi ci occuperemo dello studio di alcune equazioni differenziali ordinarie tra le più semplici di
primo e secondo ordine che sono poi quelle che si presentano più frequentemente nelle
applicazioni.
4.1. Risoluzione di un'equazione differenziale di 1° grado: Crescita della popolazione umana, crescita
dei tumori, crescita di un capitale.
L’economista inglese Malthus (1766-1834), supponendo trascurabile qualsiasi ostacolo alla
crescita, in base all’analisi empirica di dati conosciuti, formulò l’ipotesi che la popolazione
•
umana N(t) è in crescita e che la velocità istantanea di crescita della popolazione N (t ) è
proporzionale alla popolazione stessa N(t) secondo la formula:
•
N (t ) = k N (t )
(4-1)
Con k tasso di crescita costante e positivo.
Studiando la crescita dei tumori si è arrivati a stabilire, in prima approssimazione, che detto V(t)
•
il volume delle cellule che si stanno dividendo all’istante t, le velocità istantanea V (t ) di
accrescimento è data da:
•
V (t ) = λ V (t )
(4-2)
con λ > 0, caratteristica del tipo di cellule esaminate.
Ugualmente interpretando C(t) come il montante all’istante t di un certo Capitale C(t=0) = C0,
•
la velocità istantanea di accrescimento C (t ) di C(t) è data da:
•
C (t ) = δ C (t )
(4-3)
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con δ > 0, tasso istantaneo di interesse.
r%
Esprimendo t in giorni, abbiamo δ =
essendo r% il tasso d’interesse annuale.
36500
Le tre equazioni (4-1), (4-2) e (4-3) sono tre esempi di equazioni differenziali del primo ordine
omogenee ed a coefficienti costanti, e pur pervenendo da problemi reali diversi sono leggi
isomorfe cioè hanno lo stesso modello matematico.
Il metodo delle differenze finite è un metodo per risolvere numericamente, con
approssimazione, equazioni differenziali ordinarie ed è di gran lunga il metodo più semplice e
fra tutti quello più intuitivo.
Questo metodo, sviluppato da Brook Taylor nella sua opera “Methodus Incrementorum Directa
et Inversa” gli servì per determinare la forma del movimento della corda vibrante.
Per quanto ci riguarda non risolveremo queste equazioni esposte col metodo classico della
separazione delle variabili ma ci serviremo del metodo ideato da Taylor.
Sappiamo che esiste una risoluzione semplice ed efficace che la moderna tecnologia ci mette a
disposizione e riguarda l’uso di simulatori elettronici per lo studio delle dinamiche nei fenomeni
transitori.
Questi strumenti un tempo di uso complicato e destinati agli addetti ai lavori oggi sono robusti
ed affidabili.
Spiegare le soluzioni delle equazioni (4-1), (4-2), (4-3) ed infinite altre dello stesso tipo con il
calcolatore vuol dire mostrare, in definitiva, come la derivata prima si approssimi con il
rapporto incrementale e come un problema continuo si possa trasformare in una successione
numerica anzi, come ora vedremo, in una progressione geometrica crescente.
Consideriamo, per esempio, l’equazione differenziale (4-3) cioè:
•
C (t ) = δ C (t )
con δ > 0, tasso istantaneo di interesse.
Applicando il metodo delle differenze finite si ha:
•
C (t + ∆t ) − C (t )
C (t ) ≅
= δ C (t )
∆t
(4-4)
Ponendo ∆t = 1 (per esempio un anno) otteniamo:
C (t + 1) − C (t ) = δ C (t )
cioè:
C (t + 1) = C (t ) (1 + δ )
(4-5)
Per (t+1)=1 la (4-5) diviene:
C (1) = C1 = (1 + δ ) C (0) = (1 + δ ) C0
Per (t+1)=2 la (4-5) diviene:
C2 = (1 + δ ) C1 = (1 + δ ) 2 C0
Per (t+1)=3 la (4-5) diviene:
C3 = (1 + δ ) C2 = (1 + δ )3 C0
………………………………………………………
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………………………………………………………
Per (t+1)=n la (4-5) diviene:
Cn = (1 + δ ) n C0
La successione numerica C0, C1, C2, C3, …., Cn risulta una progressione geometrica di ragione
q = (1 + δ ) > 1 e quindi crescente.
Anche per le altre due equazioni differenziali (4-1) e (4-2), risolte col metodo delle differenze
finite, si ottiene un problema continuo che si trasforma, per ciascuna, in una progressione
geometrica crescente.
Il risultato Cn = (1 + δ ) n C0 rappresenta il montante, a interesse composto, di C0 che si realizza
dopo n intervalli di tempo, che possono considerarsi come anni.
L’errore commesso ad ogni passo si può ridurre diminuendo il passo ed ottenendo così
un’approssimazione maggiore.
Questo l’allievo può farlo usando l’elaboratore elettronico che utilizza forse meglio del docente.
Graficamente otteniamo la Figura 4.1-1.
Figura 4.1-1.
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4.2. Risoluzione di un'equazione differenziale di 1° grado: Decadimento radioattivo Co60 , Scarica
elettrica di un condensatore,
Consideriamo un altro tipo di equazione differenziale del primo ordine, omogenea ed a
coefficienti costanti, che regola il decadimento di una sostanza radioattiva (per esempio il
Cobalto 60):
•
N (t ) = −λ N (t )
(4-6)
•
Abbiamo indicato con N(t) il numero di atomi non disintegrati al tempo t, con N (t ) la velocità
della loro disintegrazione e con λ la costante di decadimento caratteristica della sostanza
considerata.
La soluzione N(t) è riportata nella seguente Tabella 4.2-1.
La soluzione è stata trovata ricorrendo sia ai metodi classici rigorosi, ricavando N(t), sia al
metodo delle differenze finite, ricavando Ni.
Numero di Atomi radioattivi di
60
Cobalto (Co ) iniziali N0 =
Tempo di dimezzamento T =
Vita media τ=T/ln2=
t = ti-ti-1 =
1000
5,28 anni
7,6 anni
2
anni
i
ti
anni
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
N = N 0 e −t / τ
dN
N
= − λN = −
dt
τ
Ni
0
1000
2 792,044
4
627
6
497
8
394
10
312
12
247
14
196
16
155
18
123
20
97
22
77
24
61
26
48
28
38
30
30
32
24
34
19
36
15
38
12
40
9
Ni =
-t/τ
N=N0e
1000
769
591
455
N
3501200
269
1000
207
159800
122
94600
72
56400
43200
33
25 0
19
15
12
9
7
5
N i − N i −1
N
=− i
t i − t i −1
τ
Numero N di Atomi di Co60 non decaduti
Atomi rimasti approx
Atomi rimasti
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40
Tabella 4.2-1
Decadimento radioattivo Co60
9
anni
N i −1
t
1+
τ
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Prendiamo ora in considerazione il circuito elettrico (aperto tramite l’interruttore T) di Figura
4.2-1, composto da un condensatore carico di elettricità di capacità C (in Farad) e da una resistenza
elettrica R (in Ohm) in serie.
i(t)
C
R
T
Figura 4.2-1
Al tempo t=0, siano Q0 (in Coulomb) e V0 (in Volt) rispettivamente la carica e la tensione sul
condensatore. In formule:
V (t = 0) =V 0
Q (t = 0) = Q0 = C V0
(4-7)
Chiudendo l’interruttore T si genera una corrente i (t ) = dQ / dt lungo il circuito ed il condensatore
si scarica attraverso la resistenza elettrica.
L’equazione di Ohm generalizzata applicata al circuito in argomento dà:
•
i dt
Q
dQ Q
0=∫
+Ri= +R
= +RQ
C
C
dt C
(4-8)
Pertanto l’equazione differenziale riguardante la scarica del condensatore è:
•
•
1
1
Q (t ) +
Q (t ) = Q (t ) + Q(t ) = 0
RC
τ
(4-9)
essendo τ = RC la costante di tempo (in secondi) del circuito elettrico.
La (4-9) si trasforma in:
•
1
Q (t ) = − Q(t )
τ
(4-10)
E applicando il metodo delle differenze finite otteniamo:
•
Q (t + ∆t ) − Q (t )
1
Q (t ) ≅
= − Q (t )
∆t
τ
(4-11)
Ponendo ∆t = 1 (per esempio un secondo) otteniamo:
1
Q (t + 1) − Q (t ) = − Q (t )
τ
10
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cioè:
1
Q (t + 1) = (1 − ) Q (t )
τ
(4-12)
Per (t+1)=1 la (4-12) diviene:
1
1
Q (1) = Q1 = (1 − ) Q (0) = (1 − ) Q0
τ
τ
Per (t+1)=2 la (4-12) diviene:
2
1
 1
Q2 = (1 − ) Q1 = 1 −  Q0
τ
 τ
Per (t+1)=3 la (4-12) diviene:
3
 1
Q3 = 1 −  Q0
 τ
…………………………………………………
…………………………………………………
Per (t+1)=n la (4-12) diviene:
n
 1
Qn = 1 −  Q0
 τ
La successione numerica Q0, Q1, Q2, Q3, …., Qn risulta una progressione geometrica decrescente di
ragione q = (1 − 1 / τ ) < 1 .
Il grafico di scarica del condensatore è il seguente che rappresenta la carica Q(t), del condensatore
stesso, come una funzione decrescente nel tempo t.
Figura 4.2-2
Anche l’equazione (4-6) del decadimento radioattivo ha un andamento simile.
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Lo studio numerico delle equazioni differenziali potrà essere condotto in laboratorio misurando ad
esempio le dinamiche di carica e scarica di un condensatore elettrico.
In tal modo l’allievo potrà contenere l’errore commesso ad ogni passo servendosi del calcolatore
che sa ben adoperare.
Le equazioni differenziali (4-1), (4-2) e (4-3) sono del tipo 1 (C(t)) nel grafico di Figura 4.2-3
mentre le equazioni differenziali (4-6) e (4-10) sono del tipo 3 (N(t)) sempre nel grafico di Figura
4.2-3.
Figura 4.2-3
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4.3. Risoluzione di un'equazione differenziale di 2° grado: Moto armonico
L’equazione differenziale del secondo ordine che regola il moto armonico di una particella di
massa m e la cui soluzione x(t) in termini di elongazione di tale massa al tempo t, sono riportati
nella seguente Tabella 4.3-1.
La soluzione è stata trovata ricorrendo sia ai metodi classici rigorosi, ricavando x(t), sia al
metodo delle differenze finite, ricavando xi.
F = ma
10 cm
0 m/s
0,1 N/m
massa elemento mobile m =
pulsazione ω =2π/T=(k/m)0,5=
T =2π/ω=
τ = ti -ti-1 =
0,01 kg
3,2 rad/s
2s
0,1 s
i
x0
10 g
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
10
10
9
7
4
1
-2
-5
-7
-9
-10
-10
-9
-7
-4
-1
2
5
8
9
10
x
m
k
kx
d 2x
k
= − x = −ω 2 x
2
m
dt
vi =dxi/dt=
xi
cm
ti
s
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
− kx = m &x&
v = x& =
xi − xi−1
τ
x = x cos ω t
v=dx/dt
0
(xi-xi-1)/τ x=x0cosωt
v=-ωx0senωt
cm
cm/s
cm/s
xi+1 − 2 xi + xi−1
0
10 0
2 2
= −ω 2 xi xi +1 = 2 − ω τ x i
0
9,5 -9,8
τ2
-10
8,1 -18,7
15
-19
5,8 -25,7
x(t)
10
-26
3,0 -30,2
xi
5
-31
-0,1 -31,6
-32
-3,2 -30,0
0
-30
-6,0 -25,3
-5 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 s
-25
-8,2 -18,2
-10
-18
-9,6 -9,2
-15
-9 -10,0 0,7
1
-9,4 10,5
40
11
-7,9 19,2
v(t)
20
-5,7 26,1
20
vi
27
-2,8 30,3
31
0,3 31,6
0
32
3,4 29,7
s
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2
-20
30
6,2 24,9
25
8,3 17,6
-40
17
9,6 8,6
8
10,0 -1,3
(
cm
velocità iniziale v0 =
costante elastica della molla k =
cm/s
Elongazione iniziale x0 =
Tabella 4.3-1
Moto armonico
13
)
− xi −1
Mathesis National Congress – Livorno (Italy) 2010
5. Conclusioni
Concludo il mio dire osservando:
Galileo Galilei diceva: “Il libro della Natura è scritto in lingua matematica” ed Einstein
aggiungeva: “basta saperlo leggere”!
Compito dei Docenti è abituare i giovani alla ricerca ed alla scoperta di modelli matematici per la
risoluzione di problemi concreti cui si deve tendere oggi e a maggior ragione domani.
Enriques partiva dalla consapevolezza che “il sapere non è un dono che l’uno possa dare e l’altro
ricevere passivamente bensì una scoperta che ciascuno deve fare o rifare per proprio conto”.
Questo è il binomio insegnamento-apprendimento!
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