PROPOSTA DI DIMOSTRAZIONE
DELLA CONGETTURA DI COLLATZ
( Con estensione a 4n + 5 )
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Gruppo “B.Riemann*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
*Gruppo amatoriale per la ricerca matematica sui numeri primi, sulle
loro congetture e sulle loro connessioni con le teorie di stringa
Abstract
Collatz’s Conjecture proof.
The calculation about Collatz’s Conjecture ends always with odd
number 1 because for any initial number “n” of “3n + 1”, this
calculation before or after, meets some “number of Collatz”
(4m -1) /3.
These numbers precede always 4m Collatz’s numbers and 4m are
both infinite numbers, so, for any “n” initial number of “3n + 1”,
1
the calculation ends always with final odd number 1, at once in the
calculation appears a Collatz’s number followed by a 4m till final
odd number 1.
Rassunto
In questo lavoro dimostriamo la congettura di Collatz anche e
soprattutto in base agli infiniti numeri di Collatz, di forma em
con m pari, o anche, più precisamente, di forma 4n -1/3, per
esempio:
(41 -1)/3 = 3/3 = 1
(42-1) /3 = (16-1)/3 = 15/3 = 5,
(43-1) /3 = (64-1)/3 = 21
……..
L’algoritmo della congettura di Collatz, già ben nota ai matematici
anche con altri nomi (problema del 3n + 1, problema di Syracuse,
problema di Katukani, procedura di Hasse, problema di Ulam) e
che asserisce che a partire da qualsiasi numero intero positivo n, la
ripetizione di questa funzione alla fine produce sempre il valore 1
(con 2 la sequenza finale …4...2…1), effettivamente termina in
2
questo modo per tutti gli infiniti n interi positivi.
DIMOSTRAZIONE
Quale che sia il numero n testato con l’algoritmo di Collatz (3n +
1 : se pari si divide per due fino a ottenere un numero dispari n’ >
1, se dispari si ricomincia con 3n’ + 1), si ottiene una serie di
numeri (numeri di Hallstone); se osserviamo questa serie a
ritroso, e cioè dal basso verso l’alto se essa costituisce una
colonna numerica, o da destra a sinistra se invece è una lista
numerica orizzontale, ci accorgiamo che essa passa sempre da una
potenza 4m preceduta da un numero cj di forma (4m - 1)/3
Chiameremo questi numeri c “numeri di Collatz”, che sono infiniti,
e sono di forma cj = (4m – 1)/3, ma anche cj = 4 • cj - 1 + 1, dove
cj- 1 è il numero di Collatz precedente nella serie cj, come vedremo.
Ogni numero di Collatz precede una potenza di 4; a partire dalla
quale il ciclo numerico “collassa” rapidamente verso il numero 1,
e quindi verso la fine del ciclo, perché solo le potenze di 2,
sono i soli numeri pari che divisi successivamente per due, danno
3
sempre numeri pari, fino all’unico numero dispari 1 che segna la
fine del ciclo.
Altri numeri pari non potenze di 2, infatti, divisi una o più volte
per 2, danno alla fine un numero dispari n’ maggiore di 1, e il
ciclo 3n’ + 1 ricomincia.
Esempio unico per tutti:
per n = 36, = 9 • 4 = 9 • 22,
36/2=18
18/2 = 9 (numero dispari > 1)
9 * 3 + 1 = 28
28/2 = 14
14/2 = 7 (numero dispari > 1)
7 * 3 + 1 = 22
22/2 = 11 (numero dispari > 1)
11 * 3 + 1 = 34
34/2 = 17 (numero dispari > 1)
17* 3 + 1 = 52
52/2 = 26
4
26/2 = 13 (numero dispari > 1)
13 ∗ 3 + 1 = 40
40/2 = 20
20/2 = 10
10/ 2= 5 = numero (dispari) di Collatz c2 = (42–1 )/3=(16–1)/3 = 15/3 = 5
5 * 3 + 1 = 16 = 42
qui comincia il collasso finale verso 1
16/2 = 8 = 23 = 24-1
8/2 = 4 = 22 =42-1
4/2 = 2 = 21=2 = 24-3
2/2 = 1 = 2° = fine del ciclo (1 numero dispari finale)
Da 16 = 42 a 1 avviene il collasso finale, poichè 16 è preceduto dal
numero di Collatz c2 = 5= (42 – 1)/3 = (16 – 1)/3 = 15/3 = 5,
che è il secondo numero di Collatz e quindi c2 = 5; il primo numero di
Collatz è c1= 1, poiché (41 - 1)/3 = = 3/3 = 1.
Ovviamente, ripetiamo, i numeri di Collatz sono infiniti, C∝,
poiché anche le potenze di 4 sono infinite; e legate a cj dalla
formula cj = (4m – 1)/3 con m = 2 * j. E, di conseguenza, quale
che sia n tra gli infiniti interi positivi, l’algoritmo 3n + 1 prima o
poi incappa sempre in un qualsiasi numero di Collatz e subito
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dopo in una potenza pari di 2, che fa automaticamente collassare il
ciclo numerico fino a 1.
Le potenze dispari d di 2 come tali fanno ugualmente collassare il
ciclo, (se n = 2d) ma non sono precedute da un numero di Collatz
perché 2d – 1 non è divisibile per 3 (come invece lo è 4m – 1), e
anzi può essere un numero primo, e i numeri primi di forma 2d – 1
sono detti anche numeri primi di Marsenne se anche d è primo).
Esse appaiono solo nel “collasso” (2^m/2 = 2^m – 1 con m – 1 = d
= numero dispari ma anche 2m – 3, ecc.
Esempio e grafico per n = 3
3*3=9 +1 =10 pari: si divide per 2
10/2=5 dispari: si moltiplica per 3 e si aggiunge 1
5*3 + 1= 15 + 1 = 16 pari si divide successivamente per 2;
poiché 5 è u numero di Collatz e 16 è una potenza di 2 e
anche di 4, ciclo inizia il collasso verso 1 finale :
16/2 = 8
8/2 = 4
6
4/2 = 2
2/2 = 1
fine del ciclo (Vedi anche grafico seguente per n = 3)
Come si può notare dalla successiva TABELLA 1, tutti i numeri
di Collatz, a partire da 1, e tranne lo 0 iniziale c0 = 0, finiscono
alternativamente con la cifra 1 e la cifra 5, poiché, per la loro
forma cj = cj – 1 • 4 + 1, la cifra finale f di ogni numero cj
moltiplicata per 4 e con l’aggiunta di 1 dà sempre 5 se f è 1, e 1 se
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invece f è 5.
Ovviamente, ripetiamo, i numeri di Collatz sono infiniti, Cj ,
poiché anche le potenze m pari di 4 e quindi 4m sono infinite; e
legate a cj dalla formula cj = (4m – 1)/3. E’ di conseguenza, quale
che sia n tra gli infiniti interi positivi, l’algoritmo 3n + 1 prima o
poi incappa sempre in un qualsiasi numero di Collatz e subito
dopo in una potenza pari di 4, che fa automaticamente collassare il
ciclo numerico fino a 1.
Le potenze dispari di 2 come tali farebbero ugualmente collassare
il ciclo (se n = 2d, con n dispari), ma non sono precedute da un
numero di Collatz perché 2d – 1 non è divisibile per 3 (come
invece lo è lo è 4m– 1), e anzi può essere un numero primo,e
quindi dispari, e il ciclo ricomincia e i numeri primi di forma
2d – 1 sono detti anche numeri primi di Marsenne. Ma proprio
per questo non appaiono mai in un ciclo numerico di Collatz, non
essendo 2d -1 divisibile per 3.
Facciamo una breve tabella dei primi 10 numeri di Collatz, per
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chiunque voglia verificare al computer i calcoli 3n + 1 per i primi
1000 n interi positivi, fino a incontrare uno dei suddetti numeri di
Collatz, seguito da 4m e quindi dal collasso-fine del ciclo.
(Ovviamente, per n sempre grandi si incontreranno cj sempre più
grandi).
TABELLA 1
(4m -1)/3
0
4 • cj + 1=
1
5
21
85
4*0 +1
(4-1)/3
4*1+1
(16-1)/3 4*5+1
(64-1)/3 4*21+1
(256-1)/3 4*85+1
1
5
21
85
341
5
341
(1024-1)/3
4*341+1
1365
6
7
8
9
10
…
1365
5461
21845
87381
349525
…
(4096-1)/3
5461
21845
87381
349525
…
4*1365+1
4*5461+1
4*21845+1
4*87381+1
4*349525+1
…
5461
21845
87381
524925
1398101
…
m
0
cj =
0
1
2
3
4
9
= cj+1
Notiamo che 16, 64, 256, 1024 e 4096 sono tutti numeri
divisibili per 8, che rappresenta il numero corrispondente
alle vibrazioni fisiche delle superstringhe attraverso la
seguente relazione di Ramanujan:
∞ cos πtxw'
− πx 2 w '
e
dx
∫0 cosh πx
142
4 anti log
⋅ 2
πt 2
t w'
w'
−
e 4 φw' (itw')
1
8=
. (1)
3
10 + 11 2
10 + 7 2
+
log
4
4
Conclusione
Con l’interessante concetto di infiniti numeri di Collatz
cj = (4m-1)/3 = 4*cj-1
+ 1,
che precedono sempre i numeri 4m
anch’essi infiniti, che fanno collassare il ciclo numerico fino a 1, e
con la logica conseguenza che per qualsiasi n testato con
l’algoritmo 3n + 1, si incontra sempre, prima o poi, un qualsiasi
2
numero di Collatz cj, e successivamente il numero 4m, da qui il
ciclo finisce rapidamente, e la congettura di Collatz è così
definitivamente dimostrata.
10
Riferimenti
1) “ Connessione tra Repunit, numeri di Mersenne e Congettura di
Collatz” A cura di Francesco Di Noto Eugenio Amitrano
( http://www.atuttoportale.it/)
PARTE SECONDA
V A R I A N T E 4*n + 5 D E L L A
CONGETTURA
D I C O L L A T Z (3n+1)
---------------------Nella prima parte abbiamo parlato dei numeri di Collatz 1, 5, 21,
85, 341… alla base dimostrazione della relativa congetturaQui estendiamo la congettura da 3n +1 a 4n + 5.
Quando il ciclo 3n+1 per qualsiasi n incontra uno di questi
2
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numeri, esso collassa e termina immediatamente, come abbiamo
visto con la sequenza 16, 8, 4, 2, 1.
Ora, poiché esso funziona con le potenze del 4, vorremmo sapere
se qualche altro algoritmo, variante del primo, potrebbe funzionare
con le potenze di 3.
Dopo qualche tentativo, abbiamo scelto l’algoritmo 4n + 5
3
ma ora dividendo per 3 i numeri ottenuti da 4n + 5, anziché per 2
come nell’algoritmo
3n +1,
2
ovviamente qualora 4n + 5 sia divisibile per 3, altrimenti si
ricomincia.
Ora il ciclo ovviamente termina sempre con la sequenza finale
9, 3, 1 anziché con 4, 2, 1 come prima.
Ma 4n +5 deve essere multiplo di 3 e non multiplo di 2 (e cioè
3
pari), come nella congettura classica, per poter effettuare la
divisione, in caso contrario si procede ancora con 4n + 5.
3
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Ora i nuovi numeri di Collatz per questa variante della congettura
(anzi ormai da considerare come ex- congettura e quindi teorema
a tutti gli effetti) sono di forma:
cj= (9j – 5) / 4 , oppure ricavabile dal precedente
con la formula:
cj = 9 ( cj-1 + 1 ) +1
come vedremo nella seguente tabella:
potenze j di 9
Numeri di Collatz cj =(9j -5)/4
TABELLA 1
j
1
2
3
4
5
6
7
…
9j
9
81
729
6.561
59.049
531.441
4.782.969
…
(9k -5)/4
=
(9-5)/4=1
(81-5)/4 = 19
(729 -5)/4 =181
(6 561-5)/4=1 639
14 761
132 859
1 195 741
…
cj
1 = c1
19 = c2
181 = c3
1 639 = c4
14 761 = c5
132 859 = c6
1 195 741 = c7
…
Esempi di ciclo della variante 4n + 5:
per n = 1:
4*1 + 5 = 4 + 5 = 9 = 91
13
(1 = cj =nuovo numero
di Collatz)
9/3 = 3
3/3 = 1 fine del ciclo.
Per n = 2: 4*2 + 5 = 8 +5 = 13
4*13 + 5 = 52 + 5 = 57 divisibile per 3
57/3 =19 numero di Collatz
4*19 + 5 = 76 + 5 = 81 = 92 = potenza di 9; 19 = c2 nuovo
numero di Collatz
81/3 = 27
27/3 = 9
9/3 = 3
3/3 = 1 fine del ciclo.
Per n più grandi i cicli sono ovviamente molto più lunghi, e solo
per n = 44 si incontra il terzo numero di Collatz = 181, e poi
subito 36 = 729 che fa collassare il ciclo:
4*44 + 5 = 176 + 5 = 181;
4*181 +5 = 724 + 5 = 729 = 93 potenza di 9, e 729/3 =243, 243/3
14
=81, 81/3=9 , 9/9=1, fine del ciclo con 243, 81, 9, 1.
4*1639 +5 = 6561 e 6561/3 = 2187, 2187/3 = 729, 729 /3 = 243,
243/3 = 81, 81/3 = 27,
27/3 = 9,
9/3 = 1 e fine del ciclo come:
6561, 2187, 729, 243,81, 27,9,3, 1
Ma anche con 4n+5 funziona ugualmente, essendo 9=32 :
9
6561/9 = 729, 729/9 = 81, 81/9 = 9, 9/9 = 1
analogamente a come 3n + 1 /2 funziona sia con 4 che con 2, con
4 = 22 e quindi anche l’algoritmo
3n+1 è valido, ed abbrevia il
4
ciclo finale con potenze di 4 decrescenti al posto delle potenze di
2 decrescenti (vedi grafico nella prima parte).
15
