MATEMATICA AL FORTE

DANIELA ROMAGNOLI
MATEMATICA AL FORTE
CAMPUS ESTIVO 2011
MATEMATICA, FISICA E SPORT
BARD (AO)
PREFAZIONE
Ho preparato queste note per il Corso di Algebra moderna inserito nel Campus estivo 2011
di matematica, fisica e sport organizzato a Bard, in Valle d’Aosta, e riservato a studenti delle
scuole superiori interessati a proseguire gli studi in ambito matematico-fisico-ingegneristico.
Le lezioni si propongono sia di presentare i prerequisiti necessari che di introdurre strumenti nuovi
per la presentazione di alcune tematiche del calcolo combinatorio. In Appendice ho proposto gli
assiomi di Peano e il fondamentale strumento matematico dell’ induzione e ho presentato alcune
importanti successioni, introducendo così famose famiglie di numeri che intervengono in molte
situazioni e che danno alla materia trattata un aspetto particolarmente ludico.
INDICE
Capitolo 1 – Nozioni introduttive e notazioni
………………………. P 1
Capitolo 2 – Corrispondenze e funzioni
. .…………………….. P 7
Capitolo 3 – Alcuni problemi combinatorici
…………………….. P 11
Appendice 1 – Gli assiomi di Peano
…………………… P 30
Appendice 2 – Alcune Successioni
…………………… P 34
1. Successioni aritmetiche e geometriche
2. La Successione di Fibonacci
3. I numeri di Lucas
4. I numeri di Mersenne
5. I numeri di Catalan
6. Linee del piano
Bibliografia
………
………
………
……….
……….
……….
P
P
P
P
P
P
34
36
44
46
48
50
Capitolo 1.
Nozioni introduttive e notazioni
1.1 Insiemi
La teoria degli insiemi è alla base di tutta la matematica , in quanto ne fornisce il linguaggio
base e le notazioni .
Definiamo un insieme come una collezione di oggetti, in numero finito o infinito . Nel primo
caso parliamo di insieme finito di ordine pari al numero degli oggetti che lo costituiscono , nel
secondo caso di insieme infinito .
Così sono insiemi finiti di ordine 7 gli insiemi dei nani della favola di Biancaneve , dei giorni
della settimana , delle note musicali , dei numeri naturali compresi tra 0 e 6… , sono insiemi
infiniti l’insieme di tutti i numeri naturali, l'insieme dei numeri interi, quello dei razionali,
degli irrazionali e dei reali .
Gli oggetti che costituiscono un insieme sono detti i suoi elementi .
Gli insiemi sono generalmente indicati con lettere maiuscole dell'alfabeto latino esteso A, B,
X, Y…, gli elementi con lettere minuscole a, b, x, y … .
Per indicare l'appartenenza o meno dell'elemento x all'insieme A , si scrive
x∈ A
e
x∉A
rispettivamente .
L'insieme privo di elementi è detto insieme vuoto e indicato universalmente con il simbolo
∅ .
Sono esempi di ∅ l’insieme delle soluzioni reali dell’equazione x2 + 1 = 0 , l’insieme dei
numeri naturali minori di 0 , l’insieme delle soluzioni reali del sistema seguent
Vediamo i modi più usati per indicare un insieme .
Alcuni insiemi hanno una notazione standard : così N, Z, Q, R, C indicano l'insieme dei
numeri naturali, interi, razionali, reali e complessi , 2Z l'insieme dei numeri pari , Z[x]
l'insieme dei polinomi in una variabile x a coefficienti interi . Vedremo in seguito molte altre
notazioni di uso comune in matematica .
-1-
Uno specifico insieme viene indicato mediante l’indicazione diretta dei suoi elementi,
elencando gli stessi tra parentesi graffe, ciascuno una volta sola e senza dare importanza
all’ordine . Così ,
I=
{
}={
0,1,2
1,0,2
}={
}=…
1,2,0
indica l’insieme dei primi tre numeri naturali .
Un altro modo per assegnare un insieme X consiste nell’indicare una proprietà caratteristica
comune a tutti i suoi elementi e scrivere
X=
{
x / x ha la proprietà P
}
x : x ha la proprietà P
}.
o anche
X=
{
In tal caso si parla di rappresentazione caratteristica dell’insieme X .
L’insieme I =
{
0,1,2
} , finito di ordine 3, ha la seguente rappresentazione caratteristica
I=
{
x / x ∈ N e 0≤ x ≤ 2
:
}
o, equivalentemente ,
I=
{
x ∈ N / 0≤ x ≤ 2
}.
Osserviamo che è necessario indicare esplicitamente la natura degli elementi dell’insieme e
non solo la loro proprietà caratteristica : infatti la stessa proprietà degli elementi di I dà luogo
in R all’insieme infinito [0,2] , detto intervallo chiuso di estremi 0 e 2 ,
[0,2]= {
x ∈ R / 0≤ x ≤ 2
}.
Gli intervalli della retta reale possono anche essere aperti e semiaperti (o semichiusi ) e sono
caratterizzati e indicati nel modo che segue :
(a,b) =
{
x ∈R / a < x < b
}
[a,b) =
{
x ∈ R / a ≤ x <b
}
( a,b] =
{
x ∈ R / a< x ≤ b
}.
Ricordiamo infine i simboli logici che si usano più frequentemente :
-2-
∀ significa “ per ogni “ , “ per tutti “ , “ qualunque sia “ , …
∃ significa “ esiste almeno un/o/a “
∃!significa “ esiste uno ed un solo “
⇒ si legge “implica” : se p e q sono due affermazioni , p⇒q significa che se p è vera,
allora è vera anche q
⇔ si legge “biimplica” o “ se e soltanto se “ : se p e q sono due affermazioni ,
p ⇔ q significa che p e q sono equivalenti, cioè che esse sono entrambe vere o
entrambe false .
∧
∨
si legge “e” , ha il significato della congiunzione e
si legge “o” , ha il significato della congiunzione o , oppure ( è il vel latino).
1. 2 Sottoinsiemi
Un insieme A si dice sottoinsieme dell’insieme B se ogni elemento di A appartiene a B.
Si scrive
A⊆B
e si legge “ A contenuto in B “ o “ A incluso in B” . In simboli :
A ⊆ B ⇔ ∀ x ∈A ⇒ x ∈ B .
Ad esempio :
N⊆Z⊆Q⊆R⊆C,
2Z ⊆ Z ,
{
0,1,2
}⊆ {
0,1,2,3
}⊆N.
Dalla definizione segue che ogni insieme è sottoinsieme di se stesso e che l’insieme vuoto è
un sottoinsieme di qualunque insieme , cioè
∀A ,A⊆A e∅⊆A .
Due insiemi A e B sono uguali se hanno gli stessi elementi . Si scrive A = B . In simboli :
A=B ⇔ A⊆B ∧ B⊆A.
A è detto sottoinsieme proprio di B se è un sottoinsieme di B non coincidente con B , cioè A
⊆ B e A ≠ B . Si scrive talvolta A ⊂ B ( si noti l’analogia dei simboli ⊆ e ⊂ con
i simboli ≤ e < della relazione di ordinamento per grandezza dei numeri reali ) .
-3-
Dato un insieme I , la collezione di tutti i suoi sottoinsiemi costituisce l’insieme delle parti o
insieme potenza di I :
P(I) = { A / A ⊆ I } .
Per quanto osservato precedentemente ∅ e I appartengono a P(I), quindi P(I) non è mai privo
di elementi .
Come esempio , costruiamo P(I) nei casi I =
P( { 0,1
P( { 0,1,2
{
0,1
} e I ={
0,1,2
}.
} ) = { ∅,{0},{1}, {0,1}}
} ) = { ∅,{0},{1},{2}, {0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}}.
Se I ha ordine 2 , il suo insieme delle parti ha 4 elementi , se I ha ordine 3 , il suo insieme
delle parti ha 8 elementi , si dimostra che se I ha ordine n , il suo insieme delle parti ha 2n
elementi .
1.3 Operazioni tra insiemi .
Definizione . Dati due insiemi A e B , si dice insieme unione di A e di B l’insieme A U B
avente come elementi gli oggetti che appartengono ad almeno uno tra A e B . in simboli :
A U B = {x / x ∈A ∨ x ∈B }
Definizione . Dati due insiemi A e B , si dice insieme intersezione di A e di B l’insieme
A I B avente come elementi gli oggetti che appartengono sia ad A che a B . In simboli :
A I B = {x / x ∈A ∧ x ∈B }.
Ad esempio :
NU Z = Z , NI Z = N
{0,1,2} U {1,2,3} = {0,1,2,3}, {0,1,2} I {1,2,3} = {1,2}
{
x ∈ R / 0≤ x ≤ 2
}
U
{
x ∈ R / -1≤ x < 2
} = [0,2] U [− 1,2) = [− 1,2]
[0,2] I [− 1,2) = [0,2) ,
(0,2)
U [− 1,0) =
{
(0,2)
x ∈ R / -1≤ x < 2 ∧ x ≠ 0
},
I [− 1,0) = ∅ .
Due insiemi A e B si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune , cioè se A I B = ∅ .
Sono disgiunti gli intervalli della retta reale dell’ultimo esempio .
-4-
Osserviamo che i concetti di unione e intersezione insiemistica vengono usati, a volte
implicitamente , quando si risolvono equazioni, disequazioni e sistemi di equazioni o
disequazioni : a titolo di esempio si discuta l’equazione (x2 – 1)(x +3) = 0 e il sistema del
paragrafo 1.1
x − y = 0
 2
2
 x + y − 8 x + 15 = 0
L’insieme S delle soluzioni di (x2 – 1)(x +3) = 0 è S = {-1,+1,-3} ed è l’unione insiemistica
dell’ insieme S1 = {-1,+1} delle soluzioni di x2 – 1 = 0 e dell’insieme S2 = {-3} delle soluzioni
di x + 3 = 0 .
L’ insieme delle soluzioni del sistema è ∅ ed è l’intersezione dei due insiemi infiniti di coppie
di numeri reali
{(x,y) / y = x }
{(x,y) / x2 +y2 –8x + 15 = 0}
che nel piano cartesiano danno luogo rispettivamente alla bisettrice del primo e terzo
quadrante e alla circonferenza di centro C(4,0) e raggio 1 (si noti come la proprietà
caratteristica dei due insiemi ne diventi l’equazione cartesiana ) .
Definizione . Dati due insiemi A e B , si dice insieme differenza di A e di B l’insieme A-B
avente come elementi gli oggetti che appartengono ad A e che non appartengono a B In
simboli :
A-B = {x / x ∈A ∧ x ∉B } .
Ad esempio :
{0,1,2,3 } - {-,1,0,2,-2 } = {1,3}
R - {x∈ R / x >0 } = {x∈ R / x ≤ 0 } = (− ∞,0]
Z – 2Z = {x ∈Z / ∃ y ∈Z ∧ x = 2y + 1 }
Se la differenza viene effettuata tra un insieme e un suo sottoinsieme , si parla di
complementare del secondo insieme nel primo .
Così, riferendoci all’ultimo esempio, l’insieme dei numeri dispari è il complementare
dell’insieme dei numeri pari nell’insieme degli interi .
Definizione . Dati due insiemi A e B , si dice insieme differenza simmetrica di A e di B
l’insieme A ∆ B avente come elementi gli oggetti che appartengono ad A e che non
appartengono a B e gli oggetti che appartengono a B e che non appartengono a A. In simboli
A ∆ B = {x / x ∈A ∧ x ∉B } U {x / x ∈B ∧ x ∉A } = (A-B) U (B-A) .
-5-
Ad esempio :
{0,1,2,3 } ∆ {-1,0,2,-2 } = {1,3} U {-1,-2 }{-1,1,-2,3 } .
Quest’ultima operazione ha la seguente applicazione : date due specie biologiche e denotati
con A l’insieme dei caratteri morfologici della prima e con B quelli della seconda , l’ordine di
A ∆ B indica la distanza tra le due specie in esame .
Definizione . Dati due insiemi A e B non vuoti, si dice insieme prodotto cartesiano di A e di
B l’insieme AxB avente come elementi le coppie ordinate di elementi di A e di B . In simboli
AxB = {(a,b) / a ∈A ∧ b ∈B }
Ad esempio , se A = {0,1,2 } e B = {2,3 } , si ha
AxB = {(0,2), (0,3), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3)} .
Il prodotto cartesiano RxR , indicato anche con R2, è l’insieme di tutte le coppie ordinate di
numeri reali , che, come è noto, è in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei punti del
piano cartesiano.
RxR = R2 = {(a,b) / a ∈R ∧ b ∈ R}
La coppia (a,b) è rappresentata nel piano cartesiano dal punto di ascissa a e di ordinata b.
Il prodotto cartesiano di insiemi non è un’operazione commutativa. Con A e B come sopra si
ha
AxB = {(0,2), (0,3), (1,2), (1,3), (2,2), (2,3)} ,
BxA = {(2,0), (3,0), (2,1), (3,1), (2,2), (3,2)} .
-6-
Capitolo 2.
Corrispondenze e funzioni
Definizione. Si definisce corrispondenza dell’insieme I nell’insieme I’ un sottoinsieme F del
prodotto cartesiano I x I’.
F esprime un “legame” tra gli elementi di I e gli elementi di I’ : precisamente dice che
l’elemento x di I è legato all’elemento x’ di I’ se e solo se la coppia ordinata (x,x’) appartiene
a F. Diciamo allora che x’ è una immagine di x nella corrispondenza F e che x è una
controimmagine di x’nella corrispondenza F .
I è detto dominio della corrispondenza.
I’ è detto codominio della corrispondenza.
Esempio. Dati I ={x,y,z} e I’ = {1,2,3} l’insieme F ={(x,2),(z,3),(z,2)} determina la
corrispondenza che associa il numero 2 agli elementi x e z e il 3 ancora a z. Quindi : x ha
immagine 2 , y non ha immagini, z ha le due immagini 2 e 3, il numero 1 non ha alcuna
controimmagine , il numero 2 ha le controimmagini x e z, il 3 ha controimmagine z .
Definizione Una corrispondenza di I in I’ è detta :
funzionale se ogni x di I ha al più una immagine
ovunque definita se ogni x di I ha almeno una immagine
iniettiva se ogni elemento di I’ ha al più una controimmagine ( o equivalentemente se
elementi distinti hanno immagini distinte )
suriettiva se ogni elemento di I’ ha almeno una controimmagine
La corrispondenza dell’esempio non ha nessuna di queste proprietà .
Le corrispondenze più importanti sono quelle ovunque definite e funzionali : esse sono dette
funzioni e sono i sottoinsiemi F di I x I’ in cui ogni elemento x di I è primo elemento di una e
una sola coppia .
Il concetto di funzione è basilare in matematica ; ne diamo un’altra definizione equivalente a
quanto detto finora .
Definizione Dato un insieme I (detto dominio) e un insieme I’ (detto codominio ) , una
funzione f di I in I’ è una legge che associa ad ogni elemento di I uno ed un solo elemento di
I’ . Scriviamo
f : I→ I’
e per indicare che x viene mandato in y scriviamo x → y oppure
-7-
f(x) = y.
y è detto l’ immagine di x ; x è detta una controimmagine di y .
La legge f sopra definita come sottoinsieme di I x I’ è l’insieme F = {(x,y) y = f(x) }.
F viene in tal caso detto grafo (o grafico) di f . Nel caso di funzioni reali di variabile reale
l’insieme F è l’insieme dei punti appartenenti al grafico della funzione nel piano cartesiano.Vi
è dunque identificazione tra la legge f che definisce una funzione e il suo grafico F: per citare
un esempio di funzione di R in R molto nota, la parabola indica sia la nota curva piana che la
funzione definita dalla legge f(x) = x2 di cui la parabola è il grafico .
Osservazione. In qualche caso una funzione può essere identificata con la sequenza delle
immagini degli elementi del dominio : è il caso, particolarmente importante, delle successioni
(vedi appendice 2) .
Si dice successione a valori in un insieme C ( negli esempi più noti R ) una funzione a avente
come dominio l’insieme N . Si scrive :
a(0),a(1),…,a(n),…
o, come è più abituale,
a0 ,a1,…,an,…
Così la successione
1, 2, 22,23,…,2n,…
1, 2, 4, 8, 16, …
è il modo usuale per rappresentare la funzione f : N → R , f(n) = 2n . f è iniettiva e non
suriettiva .
Ancora, la funzione f : N → R , f(n) = 2n è rappresentata usualmente con la sequenza dei
numeri pari
0, 2, 4, 6, 8, 10 …
Anche in questo caso f è iniettiva e non suriettiva .
Sono particolarmente importanti le funzioni iniettive , suriettive e quelle aventi entrambe le
proprietà : le biiezioni o corrispondenze biunivoche .
Tra queste , la funzione di dominio e codominio lo stesso insieme definita da f(x) = x, è detta
funzione identica o identità di I e indicata con idI.
Nel caso I = R , la funzione identica è la legge y = x , avente grafico la bisettrice del primo e
terzo quadrante.
Le funzioni si possono comporre mediante l’operazione di composizione di funzioni :
-8-
Definizione. Date due funzioni f : I → I’ e g : I’ → I” si dice funzione composizione (o
funzione composta) di f e di g la funzione g o f di I in I” così definita : (g o f )(x) = g(f(x))
In termini di grafo , indicati con F e G i grafi di f e g rispettivamente e con H il grafo della
loro composizione , abbiamo
H = { ( x,x”) ∈I x I” ∃ x’∈ I’ , (x,x’)∈ F e (x’,x”)∈G } .
E’ immediato verificare che la composizione di due funzioni iniettive è iniettiva , di due
funzioni suriettive è suriettiva . Da ciò segue che la composizione di due biiezioni è ancora
una biiezione .
Data una biiezione f , esiste la sua funzione inversa secondo la
Definizione. Se f : I → I’ è una biiezione , si definisce inversa di f la funzione f
che associa ad ogni y di I’ l’unico x tale che f(x) = y.
-1
: I’ → I
Si prova che l’inversa di una biiezione è ancora una biiezione e che f - 1 è l’unica funzione
tale che f - 1 o f = id I e f o f - 1 = id I’ . Quest’ultima proprietà è molto utile per verificare se
due funzioni sono una l’inversa dell’altra.
Esempi.
1) Consideriamo le funzioni di R in R f e g così definite : f(x) = x3 e g(x) = 1 – x . Non è difficile
provare che si tratta di corrispondenze biunivoche : infatti ogni numero reale ha una e una sola
radice cubica (sua controimmagine mediante f ) e l’equazione y = 1- x ha l’unica soluzione x = 1
-y).
La composizione g o f è la funzione di R in R così definita gof(x) = g(x3) = 1-x3 .
In questo caso , in cui il dominio e il codominio di f e di g coincidono, è possibile anche definire
f o g , ottenendo la funzione f o g (x) = f (g(x)) = f ( 1 – x ) = ( 1 – x )3 . Si noti che l’operazione
di composizione non è un’operazione commutativa.
In figura riportiamo i grafici di f e di g .Dai grafici si legge bene la biunivocità di entrambe :
infatti ogni retta parallela all’asse delle ascisse taglia il grafico una e una sola volta . Proiettando
sull’asse x abbiamo il valore della controimmagine . Per esempio, mediante la funzione f , la
controimmagine di 1 è 1 e di 8 è 2 Mediante la funzione g abbiamo, per esempio, che la
controimmagine di 1 è 0 e quella di 2 è –3.
-9-
Le inverse di f e di g sono, rispettivamente, le funzioni reali di variabile reale f -1(x) = 3 x e
g −1 (x) = 1 – x . Si noti che g ha come inversa se stessa, il che equivale a dire che la
composizione successiva gog = g2 è la funzione identica di R in R ( infatti gog(x) = g(1-x) =
(1-(1-x)) = x).
In base alla proprietà prima enunciata, anche gof e fog sono biiezioni di R in R e come tali
sono invertibili. Si ha (g o f) -1 (x) = 3 1 − x = (f -1o g -1) (x) e (f o g) -1 (x) = 1 - 3 x = (g -1o
f -1) (x) . Si noti che la funzione inversa di una composizione di funzioni è la composizione
delle funzioni inverse in ordine inverso!
2) Dati gli insiemi I = { 1,2,3,4
f di grafo
F=
{
} e J = {x, y, z} studiamo la corrispondenza
(1, x), (2, y), (3,y ), (4, y)
},
cioè la legge che a 1 associa x, a 2 , a 3 e a 4 associa y ( equivalentemente f(1) = x , f(2) = y,
f(3) = y, f(4) = y ). f è una funzione perché ogni elemento ha una e una sola immagine, non
è iniettiva ( y ha tre contro immagini), non è suriettiva (z non ha contro immagini).
3) Dati gli insiemi I = { 1,2,3
G=
{
} e J = {x, y, z} la corrispondenza g di grafo
}
(1, y), (2, x), (3,z )
( equivalentemente g(1) = y , g(2) = x, g(3) = z ) è una funzione perché ogni elemento del
dominio ha una e una sola immagine, è iniettiva e suriettiva perché ogni elemento del
codominio ha una e una sola controimmagine. Dunque g è una biiezione e g-1 ha grafo
{
(y, 1), (2, x), (3,z )
}
( equivalentemente g-1(x) = 2 , g-1(y) = 1, g-1(z) = 3 ) .
- 10 -
Capitolo 3
Alcuni problemi combinatorici .
Il calcolo combinatorio prende in considerazione degli insiemi finiti particolari e ne conta
l’ordine . Questo può dar luogo ad interessanti e utili applicazioni .
Premettiamo che se I è un insieme contenente solo un numero finito di elementi , tale numero
è un numero naturale , detto ordine o cardinalità di I , e indicato con I  oppure con # I .
Un insieme finito I ha ordine 0 se e solo se I = ∅ e ha ordine n ≥ 1 se e solo se è in
corrispondenza biunivoca con il sottoinsieme In = {1,…,n-1,n} di N .
Se I è un insieme finito di ordine n e A è un suo sottoinsieme di ordine m , allora m ≤ n , cioè
A ≤ I  .
Ci occupiamo in questo capitolo di qualche problema di combinatorica e delle sue
applicazioni, senza dare tutte le dimostrazioni delle proposizioni citate .
Problema 1 . Contare i sottoinsiemi di un insieme finito .
Ricordiamo che, dato un insieme I, finito o infinito, si dice suo insieme delle parti , o insieme
potenza l’insieme
P(I) = {A A ⊆ I }.
P(I) non è mai vuoto ( ogni insieme I ha i sottoinsiemi banali ∅ e I stesso ) , se I è infinito
anche P(I) contiene infiniti elementi, se I è finito vale la
Proposizione 1.1 Sia I un insieme finito di ordine n . Allora P(I) ha 2n elementi .
Esempio . Costruiamo l’insieme delle parti dell’insieme I = {V, R, N} contenente tre palline
di colore verde, rosso e nero
P(I) = {∅, {V}, {R}, {N}, {V,R}, {V,N}, {R,N}, {V, R, N } } .
Problema 2 . Contare gli elementi dell’unione di due insiemi finiti .
Proposizione 2.1 Siano A e B due insiemi finiti disgiunti di ordine n ed m rispettivamente.
Allora
A∪B= A + B = n + m
- 11 -
La Proposizione 2.1 si generalizza al caso di n insiemi finiti Ai , i = 1, 2, …, n , disgiunti ,
fornendo l’uguaglianza :
A1∪ … ∪An =
n
∑A
i
,
1
dove A1∪ … ∪An è definito come l’insieme degli elementi che appartengono ad almeno
uno degli insiemi Ai , i = 1,2,…,n.
Proposizione 2.2 Siano A e B due insiemi finiti di ordine n ed m rispettivamente e sia k
l’ordine di A∩B . Allora
A∪B= A + B - A ∩B
cioè
A∪B = n + m – k
Queste due evidenti proposizioni risultano utili per risolvere semplici problemi combinatorici
Esempi . 1) Su 25 studenti , 15 hanno superato l’esame di Matematica , 12 quello di Chimica
e 5 hanno superato entrambi gli esami . Quanti studenti hanno superato almeno un esame ?
Quanti studenti hanno fallito entrambi gli esami ?
Sia A l’insieme degli studenti che hanno superato l’esame di Matematica , A ha ordine 15.
Sia B l’insieme degli studenti che hanno superato l’esame di Chimica , B ha ordine 12 .
A∩B è l’insieme degli studenti che hanno superato entrambi gli esami , A∩B ha ordine 5.
La risposta alla prima domanda è l’ordine dell’insieme A∪B , dato da 15 + 12 – 5 = 22 .
Non hanno superato nessuno dei due esami 25 – 22 = 3 studenti .
2) Sia I = {1, 2,…, 20}. Quanti sono i numeri di I divisibili per 2 o per 3 ?
Sia A l’insieme dei numeri pari di I , l’ordine di A è 10.
Sia B l’insieme dei multipli di 3 minori di 20 , B = {3, 6, 9, 12, 15, 18} ha ordine 6 .
A∩B è l’insieme dei multipli di 6 minori di 20 , A∩B = { 6, 12, 18} ha ordine 3.
I numeri di I divisibili per 2 o per 3 sono 10 + 6 – 3 = 13 .
La Proposizione 2.2 si generalizza al caso di n insiemi finiti Ai , i = 1, 2, …, n , dando luogo
al principio di Inclusione-Esclusione , che ci permette di calcolare l’ordine di un’unione finita
di insiemi finiti, conoscendo l’ordine delle intersezioni ( A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An è l’insieme degli
elementi che appartengono a tutti gli Ai , i = 1,2,…,n.
Principio di Inclusione-Esclusione . Siano A1, A2, …, An n insiemi di ordine finito. Si ha :
A1∪ … ∪An =
n
∑A
i
1
-
∑ A ∩A
i< j
i
j
- 12 -
+
∑ A ∩A
i< j<k
i
j
∩ Ak - …
La dimostrazione di questo principio non presenta particolari difficoltà , la riportiamo per il
caso n = 3 , con un esempio di applicazione .
Dunque , per n = 3 , dobbiamo provare che
A1∪A2 ∪A3 = A1+ A2+A3 - A1 ∩ A2 - A1 ∩ A3 - A2 ∩ A3 + A1 ∩ A2 ∩ A3
Dimostrazione. Sia x un elemento che appartiene solo ad A1 : x dà il contributo 1 all’addendo
A1e 0 a tutti gli altri . Così se x appartiene solo ad A2 o ad A3.
Se x appartiene sia ad A1 che ad A2, ma non ad A3, esso dà contributo 1 agli addendi A1,
A2e A1 ∩ A2e contributo 0 a tutti gli altri. In totale quindi esso viene conteggiato 1+1-1
= 1 volte . Così se x appartiene sia ad A1 che ad A3, ma non ad A2 oppure sia ad A2 che ad A3,
ma non ad A1. Se, infine, x appartiene ad A1, ad A2 e ad A3, la somma dei vari addendi vale
1+1+1-1-1-1+1 = 1 . Ne deduciamo che la somma a secondo membro ci conta esattamente
una volta l’elemento x , comunque sia scelto in A1∪A2 ∪A3 , e quindi essa ci dà l’ordine di
A1∪A2 ∪A3 .
Esempio In un gruppo di amici , 8 hanno visto il film x , 12 il film y e 9 il film z . Inoltre
6 hanno visto x e y , 4 x e z , 7 y e z e soltanto uno di essi ha assistito alle tre proiezioni .
Di quante persone è formato il gruppo ?
Abbiamo:
X = 8 , Y= 12 , Z= 9 , X ∩ Y = 6 , X ∩ Z= 4 , Y ∩ Z= 7 , X ∩ Y ∩ Z= 1
e quindi :
X∪Y ∪Z = 8 + 12 + 9 – 6 – 4 – 7 + 1 = 13 .
Problema 3. Contare gli elementi del prodotto cartesiano di due insiemi finiti.
Proposizione 3.1 Siano A e B due insiemi finiti di ordine n e m rispettivamente .Allora
A x B = A.B= nm
Dimostrazione . Sia A = {a1, a2, …, an} . Consideriamo gli n sottoinsiemi Ai a due a due
disgiunti formati ognuno dalle m coppie aventi ai come prima componente . Per la
Proposizione 2.2 generalizzata abbiamo
A x B = A1∪ … ∪An =
n
∑A
i
= nm
1
Osservazione Disponendo in colonna e in riga gli n elementi di A e gli m elementi di B , il
prodotto cartesiano A x B può essere visualizzato come una tabella di nm quadretti .
La Proposizione 3.1 motiva il “ metodo delle scelte “ , di cui si fa un grande uso in
combinatorica e in molte applicazioni della vita pratica :
- 13 -
supponiamo di voler contare in quanti modi si può costruire una coppia (a,b) , se a appartiene
a un insieme con n elementi e b ad uno con m elementi , cioè se posso scegliere a in n modi e
b in m modi . La proposizione 3.1 dice che la coppia (a,b) può essere costruita in nm modi .
Questo metodo viene anche chiamato “ principio di moltiplicazione delle scelte “ e così
formulato :
Se una scelta può essere compiuta in n modi diversi e , per ciascuno di essi ,una seconda
scelta può essere compiuta in m modi diversi , allora la successione delle due scelte può
essere effettuata in n.m modi distinti .
In modo naturale tutto quanto visto per il prodotto cartesiano di due insiemi finiti si estende al
caso del prodotto cartesiano di un numero finito n di insiemi finiti Ai , definito come l’insieme
delle n-ple ordinate (a1, a2,…,an), ai ∈ Ai , i = 1,2,…,n.
Il “ principio di moltiplicazione delle scelte “ (anche nella sua forma estesa a più di due
scelte) ci permette di risolvere molti problemi combinatorici .
Esercizi
1) Quanti oggetti possiamo differenziare con delle targhe di due simboli di cui il primo è
una lettera scelta tra a,b,c,d e il secondo è una cifra da 1 a 5 ?
Le lettere possono essere scelte in 4 modi , le cifre in 5 modi : possiamo costruire 20
targhe diverse .
2) Supponiamo che il menu di un ristorante consista di 5 antipasti , 6 primi , 6 secondi e 4
dolci : quanti pasti completi ( di quattro piatti ) possiamo ordinare ?
Le quaterne ordinate ( e quindi le scelte possibili ) sono 5 . 6 . 6 . 4 = 720 .
3) In una regione vi sono venti città , collegate a coppie da una strada comunale . Quante
strade comunali possiede la regione in questione ?
Osserviamo che ogni strada collega due diverse città . Abbiamo 20 scelte diverse per la
partenza e 19 per l’arrivo di una strada : le scelte possibili sono quindi 20 . 19 .
In tal modo però ogni strada ab è stata contata due volte : una volta con a città di partenza e
b di arrivo e una volta con b partenza e a arrivo ; ne segue che il numero cercato è (20 . 19)
: 2 = 190 .
4) Quante diagonali ha un poligono convesso di 6 lati ?
Osserviamo che ognuno dei 6 vertici può essere scelto come primo punto di una diagonale
mentre come scelta per il secondo punto dobbiamo escludere il vertice in questione e i
due a lui adiacenti . Abbiamo dunque 6-3 = 3 scelte per il secondo punto di ogni diagonale
- 14 -
e 6 scelte per il primo . Il prodotto delle scelte deve però essere diviso per due , per le
6(6 − 3)
= 9.
stesse argomentazioni di 3) . Dunque le diagonali di un esagono sono
2
n(n − 3)
.
Per un poligono convesso di n lati le diagonali sono
2
Problema 4 . Contare il numero delle funzioni da un insieme di ordine n in un insieme
di ordine m : le disposizioni con ripetizione.
Proposizione 4. 1 Le funzioni da un insieme di ordine n in un insieme di ordine m sono mn .
Diamo una dimostrazione di questa proposizione , utilizzando il metodo delle scelte prima
enunciato .
Dimostrazione : dare una funzione da un insieme di ordine n in un insieme di ordine m
significa dare le immagini degli n elementi del dominio . Per l’immagine del primo elemento
ho m scelte , tante quanti sono gli elementi del codominio , per l’immagine del secondo
elemento ho ancora m scelte ,…, così per l’immagine dell’n-simo elemento . In totale avrò m
m ...m = mn scelte .
Osservazione Una funzione di un insieme con n elementi in un insieme di m elementi può
essere vista come una n-pla ordinata di elementi scelti tra m , con possibilità di ripetizioni .
Per questo motivo tali funzioni sono anche dette disposizioni con ripetizione : per quanto
provato sopra il numero delle disposizioni con ripetizione di m elementi a n a n è mn .
Esempi. 1) Le funzioni di I3 in I2 sono identificabili con le 8 terne
(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(1,2,2) , (2,1,1) , (2,1,2) , (2,2,1) , (2,2,2) . La prima è la funzione
costante di valore 1 , la seconda è la funzione che manda 1 in 1, 2 in 1,3 in 2 , … , l’ultima è
la funzione costante di valore 2 .
2) Vogliamo calcolare il numero delle colonne tra loro diverse che si possono giocare al
totocalcio . Come è noto , il gioco consiste nell’assegnare uno dei tre simboli 1 , x , 2 ad
ognuna delle 13 partite . Ogni colonna può essere identificata con una sequenza ordinata di
elementi scelti tra 1,x,2 e quindi con una funzione di un insieme con 13 elementi (le tredici
partite) in un insieme con 3 elementi (i tre simboli citati) . Le colonne possibili sono quindi
313 = 1594323 .Giocando tutte queste colonne si ha la certezza del tredici (purtroppo con una
spesa superiore alla vincita !!) .
Problema 5. Contare le biiezioni (corrispondenze biunivoche) di un insieme finito con
n elementi in se stesso : le permutazioni.
Premettiamo alcune notazioni .
Definizione. Dato un numero naturale n > 0 , chiamiamo fattoriale di n il numero
- 15 -
n! = 1 . 2 . …. (n – 2) . (n-1) . n
Si pone inoltre 0! = 1 .
Osservazione . n! cresce rapidamente al crescere di n : ne diamo i primi dieci valori nella
tabella che segue
n
n!
1
2
6
24
120
720
5040
40320
362880
3628800
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Proposizione 5.1 Siano A e B due insiemi finiti dello stesso ordine n . Le biiezioni tra di essi
sono n! .
Dimostrazione . Con il metodo delle scelte .
Per individuare una biiezione, noti il dominio e il codominio, basta assegnare le n immagini
degli n elementi del dominio . Ora, per l’immagine del primo elemento di A abbiamo n scelte
(qualunque elemento di B), per l’immagine del secondo elemento di A abbiamo n-1 scelte
(dobbiamo escludere l’elemento di B immagine del primo elemento di A ), … , per
l’immagine dell’n-simo elemento di A la scelta è unica .
Si possono dunque effettuare n! scelte: ad ognuna corrisponde una diversa biiezione di A in B
Nel caso in cui i due insiemi A e B coincidano , le biiezioni di A in se stesso vengono dette
permutazioni di A . Abbiamo così l’importante
Corollario 5.1. Le permutazioni di un insieme di ordine n sono n!
Esempio . Scrivere tutte le permutazioni di I3 in I3
Se scriviamo le 3! permutazioni dei numeri da 1 a 3 come terne (vedi l’esempio 1) abbiamo
le 6 terne seguenti che corrispondono ad altrettante biiezioni di I3 in I3 :
(1,2,3) (1,3,2) (2,1,3) (2,3,1) (3,1,2) (3,2,1) .
Osserviamo che abbiamo scritto i 3 numeri esattamente una volta sola in tutti gli ordini
possibili : abbiamo ordinato (allineato) in tutti i modi possibili i nostri elementi . Possiamo
dedurre che n oggetti distinti possono essere ordinati in n! modi possibili .
- 16 -
Si dice quindi, per estensione, permutazione di n oggetti distinti un qualunque loro
ordinamento o allineamento . Questi ordinamenti si ottengono uno dall’altro permutando gli
n oggetti e la teoria svolta ci dice che ne otteniamo in totale n! .
Si scrive anche Pn = n! , per indicare il numero totale delle permutazioni di n oggetti distinti .
Esempi . 1) Scriviamo tutte le 3! = 6 permutazioni di 3 palline di colore B (bianco),R (rosso),
V (verde) .
Abbiamo due allineamenti che mettono la pallina B al primo posto , altrettanti per R e V
BRV BVR RVB RBV VBR VRB.
2) Quanti sono gli anagrammi della parola madre ? E della parola mamma ?
Osserviamo che si definisce alfabeto un insieme finito di simboli e, dato un certo alfabeto (qui
si tratta dell’alfabeto latino di 26 lettere), si definisce parola un qualunque allineamento dei
suoi simboli . Il numero di simboli è detto lunghezza della parola. Se n è l’ordine
dell’alfabeto, le parole di lunghezza m sono in totale nm .
Non è richiesto quindi che la parola che si ottiene anagrammando madre abbia un significato
nella lingua italiana, né che ne segua le regole grammaticali, quindi dobbiamo contare in
quanti modi si possono allineare le cinque lettere m,a,d,r,e . I modi sono tanti quante le
permutazioni di 5 oggetti , cioè 5! = 120 .
Osserviamo che, in generale, gli anagrammi di una parola con n lettere distinte sono n!
Nella parola mamma vi sono invece delle lettere ripetute , due a e tre m : gli anagrammi
5!
. Motiviamo così questo fatto : passiamo da mamma ( che ha due lettere
saranno
2! . 3!
ripetute ) a mamme ( che ha una sola lettera ripetuta ) e da mamme a madre (che ha tutte
lettere distinte) . Gli anagrammi di mamme sono la sesta parte di quelli di madre : da ogni
anagramma di mamme ne ottengo 6 = 3! di madre ,sostituendo nelle posizioni delle tre m i 3!
anagrammi della parola mdr . A loro volta gli anagrammi di mamme sono il doppio (2 = 2!) di
quelli di mamma ( ogni anagramma di mamma ci dà due anagrammi di mamme sostituendo
al posto delle due a i due anagrammi di ae ) .
Esercizi
1) Dire quanti sono gli anagrammi della parola logica e della parola matematica .
Soluzione : sono 6! e
10!
rispettivamente .
2! 3!. 2!
.
2) Scrivere tutti i numeri formati dalle cifre 1 , 2 , 3 non ripetute
Soluzione : 123, 132 , 213 , 231 , 312 , 321 .
- 17 -
Problema 6. Contare le funzioni iniettive di un insieme finito con k elementi in un
insieme finito con n elementi , k ≤ n : le disposizioni semplici .
Supponiamo ora di voler disporre in fila (allineare) k oggetti presi in un insieme di n ( quindi
k ≤ n ) : il nome di questi allineamenti è disposizioni semplici di n oggetti a k a k .
Il numero totale delle disposizioni di n oggetti a k a k si indica con Dn,k
Proposizione 6. 1
Dn,k = n.(n-1).….(n-k+1) =
n!
(n − k )!
Esempio . Sia I l’insieme formato da tre palline di colore verde (V), rosso (R), nero (N) . Le
3!
disposizioni di queste tre palline a due a due sono D3,2 = = 6 , e precisamente, sono gli
1!
allineamenti
VR, RV,VN, NV, RN, NR .
Ricordando che cos’è una funzione iniettiva si può vedere che essi corrispondono alle sei
funzioni iniettive di un insieme A = {a1, a2 } di ordine 2 in B = {V, R, N } seguenti :
f(a1) = V, f(a2) = R
f(a1) = R, f(a2) = V
f(a1) = V, f(a2) = N
f(a1) = N, f(a2) = V
f(a1) = R, f(a2) = N
f(a1) = N, f(a2) = R .
Infatti la definizione rigorosa di disposizione è la seguente :
Definizione . Si dice disposizione ( di n oggetti a k a k ) una funzione iniettiva di un insieme
di ordine k in un insieme di ordine n ( k ≤ n )
e vale la
Proposizione 6.2 Sia A un insieme di ordine k e B un insieme di ordine n . Vi sono
Dn,k = n(n-1)…(n-k+1) =
n!
(n − k )!
funzioni iniettive di A in B .
Dimostrazione. Con il metodo delle scelte.
Sia A = {a1, … , ak }. Contiamo in quanti modi si può costruire una funzione iniettiva
f:A→B.
- 18 -
Per f(a1) si hanno n scelte (f(a1) può essere uno qualunque degli elementi di B), per f(a2) si
hanno n-1 scelte (f(a2) deve essere diversa da f(a1) per l’iniettività) , … , per f(ak) si hanno n
- k+1 scelte . Si hanno quindi n(n-1) … (n-k+1) = n!/(n-k)! modi di costruire una funzione
iniettiva di A in B e , quindi ci sono Dn,k funzioni iniettive di A in B .
Esercizi .
1) Scrivere le disposizioni dei quattro numeri 1,2,3,4 a due a due (equivalentemente , scrivere
tutti i numeri diversi di due cifre scelte tra le quattro assegnate ) .
Soluzione : si hanno dodici coppie ordinate di numeri , precisamente
12,13,14,23,24,34
21,31,41,32,42,43
2) In quanti modi 3 oggetti possono essere colorati con 5 colori diversi ?
Soluzione : Il numero richiesto è D5,3 =
5!
= 3.4.5 = 60 .
2!
3) A un campionato di calcio partecipano nove squadre. Se ogni squadra incontra tutte le
altre due volte , quante partite devono essere giocate ?
Soluzione : Si giocano 72 partite, il numero delle disposizioni di 9 oggetti a due a due .
In generale , lasciando cadere l’ipotesi k ≤ n vale la
Proposizione 6.3 Sia f una funzione di un insieme di ordine k in uno di ordine n
i)
ii)
iii)
Se f è iniettiva , k ≤ n
Se f è suriettiva , k ≥ n
Se k = n , f è biiettiva se e soltanto se f è iniettiva o suriettiva .
Tralasciamo la dimostrazione della proprietà 6.3 , intuitiva ma non banale . Osserviamo che la
proposizione contrapposta di i) e ad essa logicamente equivalente : se k > n, allora f non è
iniettiva è detta principio dei cassetti ( o principio delle gabbie dei piccioni ) e può venire
così riformulata ( chiamando oggetti gli elementi di Ik e cassetti le loro immagini ) :
se in n cassetti (gabbie) ho k > n oggetti (piccioni) , qualche cassetto (gabbia) contiene
almeno 2 oggetti(piccioni).
Osservazione Il principio dei cassetti può essere esteso , diventando il Principio generale dei
cassetti ( o delle gabbie dei piccioni ) :
Se ho nk + 1 oggetti (piccioni) da riporre in n cassetti (gabbie), qualche cassetto (gabbia)
contiene almeno k + 1 oggetti (piccioni).
- 19 -
Per k = 1 , si ritrova il principio enunciato prima (se ho n + 1 oggetti (piccioni) in n cassetti
(gabbie) , qualche cassetto ne contiene almeno 2) .
La dimostrazione per assurdo di questa proposizione è la seguente : se ogni cassetto
contenesse al più k oggetti , avremmo al più nk oggetti , contro l’ipotesi .
Con il principio generale dei cassetti si risolvono i seguenti esercizi :
1) In un gruppo di 32 persone almeno due hanno il compleanno nello stesso giorno
Soluzione : Abbiamo 32 oggetti (le persone) da riporre in 31 cassetti( i giorni )…..
2) Assumendo che nessun essere umano abbia più di un milione di capelli , provare che in
una città con più di un milione di abitanti ci sono almeno due persone aventi lo stesso
numero di capelli .
Soluzione : Numeriamo da 0 a 1.000.000 dei cassetti virtuali e vediamo gli abitanti come
gli oggetti con cui riempirli . Metteremo la persona nel cassetto x se e solo se essa
possiede esattamente x capelli . Per il principio dei cassetti , ce n’è almeno uno contenente
due persone , aventi quindi lo stesso numero di capelli .
3) Supponiamo che i numeri da 1 a 10 siano posizionati casualmente su una circonferenza .
Allora la somma di qualche terna di numeri consecutivi è almeno 17 .
Soluzione : Vi sono 10 terne di numeri consecutivi sulla circonferenza e ogni numero da
1 a 10 compare in tre di esse esattamente : indichiamo con S1,S2,…S10 le somme di
ognuna di esse . Da quanto osservato si ha che
S1 + S2 +… + S10 = 3 ( 1 + 2 +…+10 ) = 165 .
E’ come sistemare 165 oggetti in 10 cassetti : qualche Si vale almeno 17 .
4) Su un quadrato di lato 1 metro vengono disegnati in modo casuale 51 punti . Provare che
almeno 3 di questi punti giacciono su un quadrato di lato 20 centimetri .
Soluzione : se dividiamo il quadrato iniziale in 25 quadrati di lato 20 centimetri , poiché
51 = 25.2 + 1 , uno di essi contiene almeno 3 punti .
4) Dati dodici numeri interi diversi , provare che almeno due di essi possono essere scelti
in modo che la loro differenza sia divisibile per 11 .
Soluzione : I resti della divisione per 11 sono i numeri da 0 a 10 , quindi almeno due dei
dodici interi divisi per 11 hanno lo stesso resto e quindi la loro differenza è un multiplo di
11 .
Problema 7 . Contare il numero dei sottoinsiemi di k elementi scelti in un insieme di n
elementi : le combinazioni semplici.
Affrontiamo ora l’argomento da cui prende il nome il calcolo combinatorio .
Definizione . Sia A un insieme di ordine n . Si dice combinazione di n oggetti a k a k ( o di
classe k ) ogni sottoinsieme di ordine k di A .
- 20 -
Il numero delle combinazioni di n oggetti a k a k si indica con la notazione Cn,k . Dato un
insieme di ordine n , esso possiede Cn,k sottoinsiemi con k elementi .
Per dare la risposta al problema abbiamo bisogno di introdurre dei numeri particolari e
particolarmente importanti : i coefficienti binomiali, e di enunciarne alcune proprietà .
Definizione . Si dice coefficiente binomiale n su k , 0 ≤ k ≤ n , il numero
n
n!
  =
 k  k!(n − k )!
Proposizione 7.1 .
n
i)   =
0
n
  =1
n
n  n 

ii)   = 
k n − k
n
iii)   =
k
 n − 1  n − 1
 , 1 ≤ k ≤ n-1 ( formula di Stifel ) .

 + 
 k   k − 1
Scriviamo ora i coefficienti binomiali disponendoli in un triangolo illimitato , chiamato
triangolo di Tartaglia o triangolo di Pascal :
 0
 
 0
1
 
1
1
 
 0
…
…
 3
 
 3
 3
 
 2
 3
 
1
 3
 
 0
 2
 
 2
 2
 
1
 2
 
0
…
…
…
Per il punto i) della proposizione 9 il primo e l’ultimo coefficiente binomiale in ogni riga del
triangolo sono uguali a 1, per il punto ii) il secondo e il penultimo coefficiente binomiale in
ogni riga sono uguali tra loro e per il punto iii) ogni coefficiente binomiale all’interno del
triangolo è la somma dei due coefficienti binomiali alla sua destra e alla sua sinistra nella riga
precedente .
- 21 -
Queste osservazioni ci permettono di riscrivere il triangolo di Tartaglia calcolando molto
facilmente i numeri di ogni riga :
1
1
1
1
1
1
…
2
1
3
3
1
4
6
4
1
...
…
…
…
...
.
Chi già conosce il triangolo di Tartaglia sa che i numeri delle sue righe sono i coefficienti
delle potenze del binomio :
(a+b)0 = 1
(a+b)1 = a + b
(a+b)2 = a2 +2 ab +b2
(a+b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
……………………………………….
Si prova infatti (vedi Appendice 1) la
Proposizione 7.2 Per qualsiasi numero naturale n e per ogni a , b reali si ha
(a+b)n =
n
∑
o
 n  n-k k
  a b
k
(Formula del binomio di Newton ).
Il triangolo di Tartaglia è uno strumento molto utile per calcolare rapidamente i coefficienti
binomiali e per visualizzarne altre proprietà , quali quelle enunciate nella proposizione
seguente .
Proposizione 7.3
n
n n
i)   +   + … +   = 2n
n
 0 1
- 22 -
n
ii)  
0
n
n
n
-   +   … + (-1)n   = 0
 2
1
n
n n
n n
   
   
iii)   +   +… =   +   +… = 2n-1
0
2
1
3
Quindi : le somme dei numeri di ogni riga del triangolo di Tartaglia sono le potenze
successive di 2, le somme con segno alterno dei numeri di ogni riga sono nulle, le somme dei
numeri di posto pari e di posto dispari in ogni riga sono uguali tra loro e coincidono con la
somma di tutti i numeri della riga precedente .
Segnaliamo un’altra delle innumerevoli proprietà del triangolo di Tartaglia : se ne diamo la
seguente rappresentazione
1
1
1
1
1
1
.
1
2
3
4
5
.
1
3
6
10
.
1
4 1
10 5 1
. . . .
leggiamo, sommando in diagonale, i famosi numeri di Fibonacci F1 =1 , F2 = 1 , F3 = 1+1= 2
F4 = 1+2 = 3 ,…, Fn = Fn-1 + Fn-2 (vedi Appendice 2)
La risposta al problema 7 è data dalla
n
Proposizione 7.4 . Sia A un insieme di ordine n . A possiede Cn,k =   sottoinsiemi di
k
ordine k .
Dimostrazione . Il numero Cn,k si ottiene dal numero Dn,k delle disposizioni semplici di n
oggetti a k a k e dal numero Pk delle permutazioni di k elementi mediante le seguenti
considerazioni : il numero delle disposizioni semplici di n oggetti a k a k ci dà il numero di
tutte le k-ple (ordinate)di tali oggetti, mentre Pk ci dà il numero degli ordinamenti degli
oggetti di ciascuna di esse . Un sottoinsieme di ordine k si ottiene quindi da k ! k-ple di
oggetti , per cui vale la relazione :
Cn,k =
n
n!
Dn, k
=  
=
(n − k )!k!  k 
Pk
Osservazione . Dalla definizione di combinazione e dalla proposizione 7.4 deduciamo che i
coefficienti binomiali sono numeri naturali non nulli .
- 23 -
Esempi. 1) Se I è l’insieme formato da tre palline di colore verde ( V), rosso ( R), nero ( N) le
disposizioni di queste tre palline a due a due sono D3,2 = 6, e, precisamente, sono gli
allineamenti
VR, RV,VN, NV, RN, NR .
Le combinazioni di queste tre palline a due a due sono tre : corrispondono ai tre sottoinsiemi
seguenti ( che scriviamo senza parentesi e virgola tra i due elementi)
VR,VN,RN ,
ottenuti ciascuno da due delle disposizioni precedenti, trascurando l’ordine degli elementi .
2) Aggiungiamo all’insieme I una pallina gialla G e scriviamo tutte le combinazioni delle 4
 4
4!
palline a 2 a 2 . Otteniamo C4,2 =   =
= 1.2.3 = 6 sottoinsiemi :
 2  (4 − 2)!2!
VR, VN, RN, VG, NG, RG ,
i tre dell’esempio precedente più quelli ottenuti con l’aggiunta della pallina gialla .
Usando la definizione di combinazione e l’uguaglianza
n
Cn,k =  
k
si dimostrano senza calcoli le proprietà dei coefficienti binomiali .
n n
Così la i)   =   =1 della proposizione 7.1 può essere motivata osservando che ci sono
0 n
solo un sottoinsieme con 0 elementi (l’insieme vuoto ) e uno con n ( tutto l’insieme) . Per la
n  n 
 basta osservare che, quando scegliamo k elementi tra n, isoliamo
ii)   = 
k n − k
 n   n − 1  n − 1
 (formula di Stifel) , 1 ≤ k ≤ n-1,
 + 
automaticamente i restanti n-k . La iii)   = 
 k   k   k − 1
 n − 1
 sottoinsiemi di
si ottiene osservando che , fissato un elemento tra gli n , vi sono 
 k 
 n − 1
 che lo contengono ( quest’ultimo numero si calcola
ordine k che non lo contengono e 
 k − 1
escludendo l’elemento fissato e contando il numero dei sottoinsiemi di k-1 elementi che si
possono formare con gli n-1 elementi rimasti ) .
Anche la formula del binomio di Newton :
- 24 -
(a+b)n =
n
∑
o
 n  n-k k
  a b
k
può essere dimostrata con considerazioni di tipo combinatorico .
Osserviamo infine che , sempre per il significato dei coefficienti binomiali , nel triangolo di
Tartaglia la somma dei numeri della riga n-sima ci dà l’ordine dell’insieme delle parti di un
insieme di ordine n ( Problema 1 ) .
Esercizi
1) Quattro giocatori di tennis vogliono giocare un doppio . Quante coppie distinte si possono
formare ?
Soluzione . Vi sono C4,2 = 6 formazioni distinte di due giocatori ciascuna .
2) Nel gioco del Superenalotto bisogna indovinare 6 numeri scelti tra il numero 1 e il numero
90 . Quanti insiemi di sei numeri si possono formare ?
 90 
Soluzione :   = 622614630 .
6
3) Calcolare il numero di modi distinti in cui può essere servito un giocatore di scala
quaranta in una singola mano .
Soluzione. Supponendo di giocare con 54x2 = 108 carte e sapendo che si danno 13 carte ,
108 
 possibilità .
abbiamo 
 13 
4) (a) Quanti insiemi di 5 carte si possono avere con un mazzo da poker di 52 carte ?
(b) Quanti poker di assi si possono formare ?
(c) Quanti poker diversi si possono formare ?
Soluzione (a) C52,5 = 2.598.960
(b) 48 ( tante infatti sono le scelte per la quinta carta )
(c) 13 . 48 = 624 ( ci sono infatti 13 scelte per il grado del poker e per
ognuna 48 possibilità per la quinta carta ).
- 25 -
Problema 8 . Contare il numero delle permutazioni con ripetizione di n oggetti
Cominciamo a definire che cosa intendiamo con permutazioni con ripetizione.
Definizione . Si dice permutazione con ripetizione di n oggetti a1,…,an di cui a1 preso r1
volte,…, an preso rn volte ogni (r1 +…+ rn ) – upla in cui a1 compare r1 volte,…, an compare rn
volte .
Proposizione 8.1 Il numero delle permutazioni con ripetizione di n oggetti a1,…,an di cui a1
preso r1 volte,…, an preso rn volte è dato dalla frazione
(r1 + ... + rn )!
r1!...rn !
Esempio . Si consideri la parola mamma , formata da due lettere distinte a1 = a e a2 = m prese
r1 = 2 volte e r2 = 3 volte con r1 + r2 = 5 Gli anagrammi di mamma sono le permutazioni con
5!
ripetizione di 2 oggetti presi 2 e 3 volte e in totale sono
= 10 .
2!3!
Esercizio In quanti modi possiamo distribuire 5 libri ai due studenti Alice e Matteo in modo
che Alice ne abbia due e Matteo tre ? Ordiniamo i libri e consideriamo le sequenze di
lunghezza 5 contenenti due a e tre m : per esempio la sequenza ammma determina la
distribuzione seguente : Alice ha il primo e l’ultimo libro , Matteo gli altri tre . E’ evidente
che la risposta al quesito è il numero degli anagrammi della parola mamma , cioè 10 .
Il numero
(r1 + ... + rn )!
viene anche indicato così :
r1!...rn !
 r1 + ... + rn 


 r ...r 
 1 n 
e viene detto coefficiente multinomiale . Si osservi che, per n = 2, si ritrovano i soliti coefficienti
binomiali:
 r1 + r2   r1 + r2 
=

=
 rr   r 
 12   1 
 r1 + r2 


 r 
 2 
Analogamente ai coefficienti binomiali, di cui sono una generalizzazione, i coefficienti
multinomiali hanno numerose proprietà e compaiono nello sviluppo della potenza n-sima di
una somma . Si prova infatti che :
- 26 -
(x1 + ... + xk )n
=
 r1 + ... + rk  r1 rk

x1 ...x k .
r1 ...rk 
r1 +...+ rk = n 
∑
Esercizi.
1) In quanti modi possiamo distribuire 8 videocassette diverse a tre amici, Silvio, Daniele ed
Elisa , dandone quattro a Silvio e due a ciascuno degli altri ?
8


 . Si ottiene 420 .
Soluzione . Basta calcolare il numero multinomiale 
 4 2 2
2) Trovare il coefficiente di x4y2z2 nello sviluppo di (x+y+z)8.
8


 = 420
Soluzione . E’ 
4
2
2


Problema 9 . Contare il numero dei multi-insiemi di k elementi scelti in un insieme di
n elementi : le combinazioni con ripetizione .
Sappiamo che le combinazioni semplici sono gli insiemi di k elementi distinti scelti in un
insieme di ordine n . Se lasciamo cadere l’ipotesi che i k elementi siano distinti, cioè se
consentiamo la ripetizione degli elementi, quante sequenze di k oggetti scelti tra n possiamo
formare?
Il problema proposto è equivalente al seguente : supponiamo di avere oggetti di n tipi diversi
e di voler costruire un insieme I di k elementi , prendendo x1 oggetti del primo tipo, x2 del
secondo tipo,…,xn dell’n-simo tipo ( qualche xi può valere zero), naturalmente con la
condizione che x1+…+xn = k. In quanti modi è possibile costruire I ? Equivalentemente :
dato il numero naturale k in quanti modi esso può essere scritto come somma di n
numeri naturali ( 0 compreso) ?
Definizione . Dati n elementi distinti , si dice combinazione con ripetizione di classe k di
questi oggetti ogni scelta non ordinata di k elementi anche non distinti scelti tra essi.
Proposizione 9.1 Se A è un insieme di ordine n , il numero delle combinazioni con
 n + k − 1
 .
ripetizione di n elementi di classe k è Cn+k-1,n-1 = Cn+k-1,k .= 
 k

Esempio . Sia A = {a1, a2, a3 }. Le scelte con ripetizione di due suoi elementi sono C4,2 = 6 e
precisamente : a1, a2 ; a1, a3 ; a2, a3 ; a1, a1 ; a2, a2 ; a3, a3 .
La a1, a2 corrisponde alla sequenza di 2 x e 2 sbarre : x/x/ . Le altre sono rispettivamente le
sequenze : x//x ; /x/x ; xx// ; /xx/ ; //xx .
Come vedremo negli esercizi che seguono, il numero delle combinazioni con ripetizione di
classe k è anche il numero di modi in cui è possibile disporre k oggetti indistinguibili in n
cassetti .
- 27 -
Esercizi
1) In quanti modi possiamo mettere 12 palline identiche (e quindi indistinguibili) in 6 cassetti
ammettendo che qualche cassetto sia vuoto?
Soluzione : mettiamo in riga 17 oggetti , le 12 palline e le 5 sbarrette e osserviamo che
ognuna di queste righe ci dà una e una sola ripartizione delle palline : le palline a sinistra della
prima sbarra corrispondono a quelle del primo cassetto , quelle tra la seconda e la terza a
quelle del secondo cassetto , …. Se le due sbarre sono adiacenti il cassetto è vuoto.
Ogni riga è completamente determinata dalle cinque posizioni delle sbarrette , vi sono quindi
17 
  possibilità , pari al numero delle combinazioni con ripetizione di 6 elementi di classe 12
5
(le combinazioni con ripetizione di k oggetti di classe n possono essere pensate come la
suddivisione di k oggetti (qui k = 12) in n cassetti (n = 6) con la condizione che conti solo il
numero degli oggetti in ogni cassetto e non il tipo di oggetto (le palline sono indistinguibili) e
supponendo cassetti vuoti ) .
2) In quanti modi possiamo scrivere il numero naturale non nullo k come somma di n numeri
interi non negativi ? Si considerano diverse due rappresentazioni che differiscono per l’ordine
degli addendi .
La risposta è data dalle considerazioni precedenti , cioè dalle soluzioni di x1+…+xn = k ( lo
 5 + 2 − 1
 n + k − 1
 = 6
 : nel caso k = 5 e n = 2 si trovano le 
zero è il cassetto vuoto ) ed è 
 2 −1 
 k −1 
decomposizioni seguenti : 5+0, 4+1,3+2, 2+3, 1+4, 0+5.
Pensando a 5 come alla somma 1+1+…+1 di 5 1 , agli 1 come palline e ai 2 addendi della
somma come cassetti l’esercizio dato è equivalente all’esercizio 1) ( è possibile mettere 5
palline in 2 cassetti nei 6 modi seguenti: 5,0; 4,1; 3,2; 2,3;1,4; 0,5. ).
3) In quanti modi possiamo mettere 12 palline identiche (e quindi indistinguibili) in 6 cassetti
(numerati da 1 a 6) in modo tale che nessun cassetto sia vuoto?
Soluzione. Poniamo le palline in una riga: possiamo ripartire la riga in 6 parti usando 5 sbarre
per ottenere una delle configurazioni richieste . Per esempio la configurazione
OO/OOO/O/OO/OOO/O
indica che vi sono due palline nel primo cassetto , tre nel secondo ,una nel terzo , due nel
quarto , tre nel quinto e una nel sesto .
Ora , vi sono 11 buchi (tra le dodici palline) in cui inserire 5 pareti per ottenere sei cassetti e
ogni sbarretta ha 11 posizioni in cui può essere inserita e in nessun buco ve ne possono essere
11
due perché ciò corrisponderebbe a un cassetto vuoto. Vi sono dunque   possibilità e quindi
5
altrettante ripartizioni di palline .
- 28 -
4) In quanti modi possiamo scrivere il numero naturale non nullo k come somma di n numeri
naturali non nulli ? Si considerano diverse due rappresentazioni che differiscono per l’ordine
degli addendi.
Soluzione : Pensando a k come alla somma 1+1+…+1 di k 1 , agli 1 come palline e alle n
 k − 1
 .
somme come cassetti , l’esercizio 3) generalizzato ci dice che le possibilità sono 
 n − 1
 5 − 1
 = 4 modi come somma di due naturali non
Per esempio , il numero 5 si può scrivere in 
 2 − 1
nulli : 5 = 1+ 4 = 2+3 =3+2 = 4+1.
Si dimostra infatti la
Proposizione 9.2 Se A è un insieme di ordine s , il numero delle combinazioni con ripetizione
 r − 1
 .
di classe r , nelle quali ogni elemento compare almeno una volta , è Cr -1, s-1 = 
 s − 1
- 29 -
Appendice 1
Gli assiomi di Peano
Alla base del contare vi sono l’insieme N dei numeri naturali, a tutti ben noto fin dalle scuole
elementari, e le sue proprietà.
L’insieme N dei numeri naturali viene formalmente determinato dai cinque assiomi seguenti,
dovuti al matematico Giuseppe Peano ( 1858-1931):
i) 0 è un numero naturale
ii) a ogni numero naturale n corrisponde un altro numero naturale, unico, detto successore di n
iii) due numeri naturali distinti hanno due successori distinti
iv) 0 non è il successore di nessun numero naturale
v) qualunque sottoinsieme A di N avente le due proprietà
a) 0∈A
b) per tutti gli n ∈N, n∈A ⇒ il successore di n ∈A
deve essere l’insieme N.
L’assioma v) viene detto Principio di induzione matematica .
Invece di n∈A si può dire "n ha la proprietà P". Con questa terminologia il principio di
induzione matematica diventa l’assioma seguente:
v’) qualsiasi proprietà dei numeri naturali valida per 0 e valida per il successore di n
ogniqualvolta valga per n vale per tutti i numeri naturali .
Dagli assiomi di Peano si può dedurre formalmente tutta l’aritmetica; il primo passo consiste
nell' introdurre l’operazione di somma di numeri naturali, in base alla quale, indicato con 1 il
successore di 0, si trova subito che il successore di n è n+1, l’operazione di moltiplicazione e
nel dimostrarne le proprietà . Non ci inoltriamo in queste definizioni, accenniamo solo al fatto
- 30 -
che, a partire dagli assiomi di Peano è possibile dotare N di un ordinamento totale, il consueto
ordinamento secondo grandezza, definito come la relazione ≤ seguente :
dati m, n ∈ N ,
m ≤ n ⇔ ∃ x ∈ N tale che m+x = n .
Si può provare che tale relazione è una relazione di ordine totale verificante la seguente
proprietà :
v") dato comunque un sottoinsieme non vuoto A di N, A possiede un primo elemento, cioè un
elemento m tale che
m ≤ a , ∀a ∈ A .
Diciamo allora che la relazione data è un buon ordinamento e che l’insieme N è bene ordinato
.
La proprietà v") può venire assunta come quinto assioma al posto del principio di induzione
matematica . In tal caso è semplice dimostrare la validità del principio di induzione :
assumiamo quindi che N sia un insieme bene ordinato e dimostriamo il
Principio di induzione matematica ( 1a forma )
Sia ( P(n) ) una successione di proposizioni tali che
i)
P(0) (P(n 0 )) è vera
( base dell’induzione )
ii)
La verità di P(k) implica la verità di P(k + 1 ) , k ≥ 0 (n 0 ) (ipotesi induttiva)
Allora P(n) è vera, ∀n ≥ 0 (n 0 ) .
Dimostrazione . Sia S = {x > 0 (n0) | P(x) è falsa }. Supponiamo, per assurdo, che S non sia
vuoto. Per l’assioma del buon ordinamento di N, S ha un primo elemento, che indichiamo con
m. Consideriamo ora la proposizione P(m) : poiché m∈S, P(m) è falsa; inoltre, poiché m è il
primo elemento di S, m – 1 ∉ S (e m – 1 ≥ 0 (n0)), quindi la proposizione P(m-1) è vera e la
ii) ci dice allora che P(m) è vera . Abbiamo una contraddizione, dunque S è vuoto .
In modo del tutto analogo si dimostra il
Principio di induzione matematica ( 2a forma ) .
Sia ( P(n) ) una successione di proposizioni tali che
i)
P(0) (P(n 0 )) è vera
( base dell’induzione )
ii)
La verità di P(k), ∀ 0 (n 0 ) ≤ k < m, implica la verità di P(m) (ipotesi induttiva)
Allora P(n) è vera, ∀n ≥0 (n 0 ) .
Il principio di induzione matematica si rivela molto utile per dimostrare proposizioni il cui
enunciato dipenda da n ∈ N . Vediamone negli esempi l’uso corretto .
- 31 -
Esempi
1) Si provi la validità della formula di Gauss : 1 + 2 + …+ n =
n (n + 1)
.
2
Soluzione : in questo caso P(n) è l’affermazione : la somma dei primi n naturali è
Base dell’induzione : 1 =
1. 2
, quindi P(1) è vera
2
Ipotesi induttiva : P(k) è vera , cioè 1 + 2 +…+ k =
n ( n + 1)
.
2
k ( k + 1)
2
Proviamo la verità di P(k + 1) :
1 + 2 +…+ k + (k + 1) =
k ( k + 1)
( k + 1)( k + 2)
+ (k + 1) =
2
2
Il principio di induzione matematica (1° forma) ci permette di concludere che P(n) è vera
∀n≥1.
Dalla formula di Gauss segue subito la formula che ci dà la somma dei primi n termini di una
successione aritmetica di termine iniziale a e di ragione d
a + (a + d) + (a + 2d) + …+ (a + (n-1)d) =
n ( 2a + ( n − 1)d )
,
2
che naturalmente può essere dimostrata indipendentemente per induzione su n .
Lasciamo per esercizio la verifica della formula che dà la somma dei primi n termini
di una successione geometrica di termine iniziale a e ragione q ≠1 :
2
n-1
a + aq + aq + … + aq
a − aq n
=
.
1− q
2) Come esempio di applicazione del principio di induzione matematica nella 2a forma ,
dimostriamo la nota proposizione P(n) : ogni numero naturale n > 1 può essere fattorizzato in
un prodotto di numeri primi .
Base dell’induzione . P(2) è vera : infatti 2 è un numero primo ed è lui la sua fattorizzazione.
Ipotesi induttiva : vale P(k), ∀ 2 ≤ k < m
Proviamo P(m) . Abbiamo due casi :
i) m è primo ed è lui la sua fattorizzazione
ii) m non è primo, allora m = m1m2 , con 2 ≤ m1,m2 <m . Per l’ipotesi induttiva m1 e m2
fattorizzano in numeri primi e così avviene quindi per m .
- 32 -
3) Proviamo, usando l’induzione, la proprietà 5.1 del capitolo 3, già provata con il metodo
delle scelte :
Siano A e B due insiemi finiti dello stesso ordine n . Le biiezioni tra di essi sono n! .
Sia n = 1 ( base dell’induzione ) . Se A e B hanno un elemento ciascuno l’unica biiezione è
quella che li fa corrispondere ( e 1 = 1! )
Ipotesi induttiva : supponiamo di sapere che tra due insiemi di ordine n-1 vi sono (n-1)!
biiezioni . Sia ora A di ordine n : una biiezione di A in B (anch’esso di ordine n ) si ottiene
dando una biiezione su n-1 elementi e dando l’immagine dell’elemento rimasto : si hanno
così (n-1)! biiezioni con la stessa immagine per il primo elemento di A , (n-1)! con la stessa
immagine per il secondo elemento di A ,…, (n-1)! con la stessa immagine per l’n-simo
elemento di A .
In totale le biiezioni cercate sono (n-1)! + (n-1)! +…+ (n-1)! = n . (n-1)! = n ! .
Proviamo infine usando l’ induzione la formula del binomio di Newton :
Teorema . Siano x e y due numeri reali arbitrari e n un qualsiasi intero non negativo. Allora
(x + y )n = ∑  x n−k y k .
k
n
n
k =0
 
Dimostrazione. Procediamo per induzione su n.
1. Se n = 0 allora
0
0
k =0
 
∑  k x
0−k
y k = x 0 y 0 = 1 e ( x + y ) = 1 . Dunque la formula vale per n = 0 .
0
n
n
n
2. Supponiamo che valga (x + y ) = ∑  x n − k y k allora si ha:
k =0  k 

n  n−k k 
x y  ( x + y ) =
 k =0  k 

(x + y )n+1 = ∑ 
n
n
n
n
n
= ∑  x n − k +1 y k + ∑  x n − k y k +1 =
k =0  k 
k =0  k 
n
n −1 n
 n 
  n 

n
 
=   x n +1 + ∑  x n − k +1 y k  +   y n +1 + ∑  x n − k y k +1  =
k =1  k 
k =0  k 
 0 
  n 

 n + 1 n +1 n  n  n − k +1 k  n + 1 n +1 n  n  n − k +1 k
 x + ∑  x
 y + ∑ 
x
= 
y + 
y =
k =1  k 
k =1  k − 1
 0 
 n + 1
 n + 1 n +1 n  n   n  n − k +1 k  n + 1 n +1
 x + ∑   + 
 y =
x
= 
y + 
k =1  k 
 0 
 n + 1
 k − 1 
 n + 1 n +1 n  n + 1 n − k +1 k  n + 1 n +1 n +1  n + 1 n − k +1 k
 x + ∑ 
x
 y = ∑ 
x
= 
y + 
y
k =1  k 
k =0  k 
 0 
 n + 1
Pertanto, per il principio di induzione, la formula è vera per ogni intero n ≥ 0 .
- 33 -
Appendice 2
Alcune successioni
1. Successioni aritmetiche e geometriche
Definizione 1 Si dice successione (o progressione) aritmetica di termine iniziale a0 e ragione
d ( d ∈ R ) la funzione a : N → R così definita :
a(n) = an = a0 + nd .
Esplicitandone le immagini in sequenza , si scrive :
a0 , a0 + d , a0 + 2d ,…, a0 + nd , …
Esempio 1 La successione dei numeri pari 0,2,4,6,… è la successione aritmetica di termine
iniziale 0 e ragione 2 , definita dalla legge a(n) = 2n .
La successione aritmetica della definizione 1 si esprime in forma ricorsiva ponendo an = an1 + d (n ≥1) e assegnando a0 come termine iniziale .
La successione dell’esempio si può dare in forma ricorsiva scrivendo an = an-1 + 2 (n≥1) e
specificando che il termine iniziale a0 vale 0 .
Può essere utile ricordare la formula che dà la somma dei primi n termini di una tale
successione ( di facile dimostrazione usando il principio di induzione matematica )
n −1
∑a
0
i
= na0 +
n ( n − 1)
d
2
Definizione 2 Si dice successione (o progressione) geometrica di termine iniziale a0 e ragione
q ( q ∈ R ) la funzione a : N → R così definita :
a(n) = an = a0qn .
Esplicitandone le immagini , si scrive :
a0 , a0q , a0q2 ,…, a0qn, …
Esempio 2. La successione delle potenze di 2 : 1,2,4,8,16,… è la successione geometrica di
termine iniziale 1 e ragione 2, definita dalla legge a(n) = 2n .
La successione geometrica della definizione 2 si esprime facilmente in forma ricorsiva
ponendo an = an-1q , (n≥1) e assegnando a0 come termine iniziale .
- 34 -
La successione dell’esempio 2 si può dare in forma ricorsiva scrivendo an = 2an-1 (n≥1) e
specificando che il termine iniziale a0 vale 1 .
La formula che dà la somma dei primi n termini di una successione geometrica è :
n −1
∑ a i = a0 .
0
1− qn
.
1− q
Le successioni aritmetiche e geometriche intervengono nello studio di numerosi problemi di
tipo economico, biologico, medico .
Esempi
1) Si vuole trovare una formula che dia il valore dello stipendio di un lavoratore dopo n anni,
sapendone il valore iniziale s0 e supponendone un aumento annuale pari al 2% di s0.
Procedendo ricorsivamente, abbiamo
s(0) = s0
2
s0
100
2
2
2
2
s(2) = s(1) +
s0 = s0 +
s0 +
s0 = s0 +2
s0
100
100
100
100
…
2
s(n) = s0 + n
s0 .
100
s(1) = s0 +
Il problema è descritto da una successione aritmetica di termine iniziale s0 e ragione
2
s0
100
2) Si vuole schematizzare in modo ricorsivo il processo di decadimento radioattivo .
Alcune sostanze decadono nel tempo , trasformandosi in altre sostanze ; si dice tempo di
dimezzamento il periodo T in cui decade la metà degli atomi . Assumendo come unità di
misura dei tempi T e indicando con Q il numero degli atomi presenti inizialmente si ha :
Q(0) = Q
Q(1) =
1
Q
2
Q(2) =
1
Q
22
…
Q(n) =
1
Q
2n
Il processo è descritto da una successione geometrica di termine iniziale Q e ragione
- 35 -
1
2
2. La successione di Fibonacci
Sulla Mole Antonelliana di Torino si accende la successione di Fibonacci ( ideazione
dell’artista Mario Merz )
La relazione ricorsiva Fn = Fn-1 + Fn-2 , n ≥ 3, unitamente alle condizioni iniziali F1 = F2 = 1
individua la nota successione di Fibonacci :
1,1,2,3,5,8,13,…
catalogata con la sigla A000045 sulla On line Encyclopedia of integer sequences, in sigla
OEIS (archivio in rete che cataloga e illustra circa 180000 successioni, creato nel 1996 dal
matematico Neil Sloane).
Si tratta del primo esempio conosciuto di relazione ricorsiva : i primi dodici termini di essa si
trovano nel Liber Abbaci (1202) di Leonardo Pisano detto Fibonacci (1170 - 1250) come
risposta al seguente problema: quot paria coniculorum in uno anno ex uno pario germinentur .
Si suppone che una coppia di conigli adulti generi ogni mese una coppia di piccoli e che
questi si riproducano , generando anch'essi una coppia di conigli, a partire dal secondo mese
di vita . Partendo da una coppia di coniglietti, quante coppie ci saranno nel mese n ?
Indichiamo questo numero con F(n) o Fn . Dunque, per le ipotesi fatte
F(1) = 1 ( inizialmente abbiamo una coppia non adulta)
F(2) = 1 (dopo un mese abbiamo ancora una sola coppia)
- 36 -
F(3) = 1 + 1 = F(1) + F(2) (nel 3° mese abbiamo la coppia di partenza, che è diventata adulta,
e la coppia di coniglietti da essa generata)
F(4) = 2 + 1 = F(3) + F(2) (si hanno 2 coppie, quella iniziale e la loro progenie mensile più la
coppia del mese precedente diventata adulta)
.
.
.
F(n) = F(n-1) + F(n-2) ( nel mese n-simo, n >2 , vi sono tutte le coppie del mese precedente,
cioè F(n-1), più le coppie dei piccoli, che sono esattamente tante quante erano le coppie due
mesi prima , cioè F(n-2)) .
I numeri di Fibonacci sono i valori della successione descritta : i primi dodici sono
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,… .
Si pone generalmente F0 = 0, affinchè la relazione ricorsiva Fn = Fn-1 + Fn-2 sia valida anche
per n = 2 .
Nel disegno che segue è illustrata la situazione fino al quinto mese
I numeri di Fibonacci si ritrovano in molte situazioni e compaiono spesso in natura. Per
esempio in molte piante il numero di rami in cui il fusto si ramifica segue uno schema del tipo
seguente :
- 37 -
Così i numeri delle spirali dei semi del girasole, dei petali di alcuni fiori, delle cime del
cavolfiore, delle scaglie dell'ananas sono spesso numeri di Fibonacci .
La letteratura matematica sulle proprietà dei numeri di Fibonacci è molto vasta . Ci limitiamo
ad indicarne alcune proprietà e a darne la formula generale, che ricaveremo nel prossimo
paragrafo .
Usando il metodo di induzione matematica si possono dimostrare le seguenti formule :
i)
F1 + F2 + F3 + … + Fn = Fn+2 - 1
ii)
F1 + F3 + F5 + … + F2n-1 = F2n
iii)
F2 + F4 + F6 + … + F2n = F2n+1 - 1 .
iv)
Fn =
 n − k − 1
 (cioè, disponendo i coefficienti binomiali del triangolo di Tartaglia
k 
k ≥0 
∑
nel modo che segue si ottengono i numeri di Fibonacci sommando "in diagonale" )
- 38 -
n
n
 
0
n
 
1
n
 
 2
0
1
F2
F3
1
1
1
F4
F5
2
1
2
1
F6
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
7
1
7
21
35
35
21
7
n
 
 3
n
 
 4
n
 
5
n
 
6
n
 
7
…
v) Per ogni n > 0 ,
Fn +1 Fn −1 − Fn2 = ( −1) n (identità di Cassini)
L’identità di Cassini è la base di un paradosso geometrico proposto dal grande inventore di
enigmi Sam Loyd nel 1858; l’idea è di prendere una scacchiera e di dividerla in quattro parti,
come illustrato nella figura sottostante, quindi di ricomporre i pezzi in un rettangolo:
Ecco che l’area di 8 × 8 = 64 quadrati è stata risistemata in modo da ottenere 5 × 13 = 65
quadrati! Da dove viene questo quadrato in più? L’errore risiede nell’ipotesi che le figure
siano tutte allineate lungo la diagonale del rettangolo. Questo si dimostra non esser vero.
Infatti uno stretto parallelogrammo è incuneato nel rettangolo e la sua area è proprio quella
del quadrato di troppo.
- 39 -
1
Siamo in grado di capire dove si trova l’errore prendendo la funzione tangente degli angoli α
e β in modo tale che possiamo scoprire le loro ampiezze rispettive. Si ricordi che, se
avessero entrambi la diagonale come semiretta, dovrebbero esser uguali in quanto angoli
alterni interni di rette parallele.
3
2
Poiché tan α = , si ha che α ≈ 20.6 o , mentre dato che tan β = , si ottiene β ≈ 21.8o . La
8
5
o
differenza, β − α , è solamente 1.2 , ma sufficiente a dimostrare che essi non sono sulla
diagonale.
Una costruzione simile scompone qualsiasi quadrato Fn × Fn in quattro parti, utilizzando
come dimensioni Fn +1 , Fn , Fn −1 e Fn − 2 , che nella nostra illustrazione diventano
rispettivamente 13, 8, 5 e 3; il risultato è un rettangolo Fn −1 × Fn +1 , nel quale, come mostra
l’identità di Cassini, un quadrato è stato guadagnato o perso a seconda che n sia pari o
dispari.
Proviamo ora una interessante proprietà combinatorica dei numeri di Fibonacci, che da taluni
autori viene data come definizione dei numeri stessi .
Proposizione Sia In = {1,2,3,…,n} ⊂ N . Il numero dei sottoinsiemi di In che non contengono
due suoi numeri consecutivi è dato da Fn+2 .
Dimostrazione . Identifichiamo un sottoinsieme A di In con una stringa di lunghezza n
formata con le due cifre 1 e 0 . La cifra 1 indica l'appartenenza di un elemento di In ad A , la
cifra 0 la non appartenenza . Per esempio, per n = 4, la stringa 1010 indica il sottoinsieme
{1,3} dell' insieme I4 = {1,2,3,4} . I sottoinsiemi di In che non contengono due suoi numeri
consecutivi sono dati dalle stringhe che non hanno mai due cifre 1 consecutive .
Consideriamo tra questi quelli di ordine k : la stringa che li rappresenta contiene k volte la
cifra 1 . Per contarli tutti , partiamo da n-k cifre tutte uguali a 0
0 0 0 ... 0
1442443
n −k
e contiamo in quanti modi possiamo inserire k cifre 1 in modo che due di esse non siano mai
adiacenti . Essendo i posti vuoti disponibili n - k + 1 , le k cifre 1 si possono inserire in
 n − k + 1

Cn-k+1,k = 
 k 
modi . Quindi i sottoinsiemi cercati sono
- 40 -
∑
k ≥0
Per la proprietà iv) , Fn =
 n − k + 1


 k 
 n − k − 1
 , il numero cercato è proprio l'(n+2)-simo numero di
k 
k ≥0 
∑
Fibonacci .
Vogliamo ora trovare la forma chiusa dei numeri di Fibonacci, ossia una formula che esprima
il termine n-esimo della successione come funzione di n. Si procede in questo modo :
cerchiamo una soluzione della relazione
Fn = Fn −1 + Fn − 2
che momentaneamente non prenda in considerazione le condizioni iniziali e che sia della
forma
Fn = x n
per qualche x costante reale, da determinare. Andando a sostituire si ottiene
x n − x n −1 − x n − 2 = x n − 2 ( x 2 − x − 1) = 0 .
Tale equazione ha come soluzione x = 0 , che però scartiamo in quanto banale, oppure x che
soddisfa l’equazione
x2 − x −1 = 0
che è denominata equazione caratteristica della relazione ricorsiva Fn = Fn −1 + Fn − 2 . Le radici
di x 2 − x − 1 = 0 sono
α=
1+ 5
1− 5
.
, β=
2
2
Notiamo ora che, delle due soluzioni Fn = α n o Fn = β n , nessuna soddisfa le condizioni
iniziali F0 = 0 , F1 = 1 . Tuttavia si può facilmente provare che se α n e β n sono entrambe
soluzioni di Fn = Fn −1 + Fn − 2 , allora lo è anche una loro qualsiasi combinazione lineare, cioè
ogni scrittura della forma
A1α n + A2 β n
è ancora soluzione.
Cerchiamo quindi soluzioni di tipo
Fn = A1α n + A2 β n
che soddisfino le condizioni iniziali
0 = A1α 0 + A2 β 0 , 1 = A1α + A2 β .
Dobbiamo pertanto risolvere il sistema seguente:
- 41 -
 A1 + A2 = 0
 
 A ⋅  1 + 5  + A ⋅  1 − 5  = 1.
2 

 1  2 

 2 
 
Le soluzioni sono A1 = 1
5 e A1 = − 1
5 , che, sostituite in Fn = A1α n + A2 β n , ci danno la
forma chiusa dell’ n -esimo numero di Fibonacci
n
n
1  1 + 5   1 − 5  
 ,
 −

Fn =
5  2   2  


detta formula di Binet della successione di Fibonacci.
Ricordiamo che il numero
lettera Φ .
1+ 5
è detto rapporto aureo (o sezione aurea) e indicato con la
2
Il numero Φ è un numero molto famoso e molto usato in architettura (prende il nome dalla
lettera iniziale dello scultore greco Fidia), pittura, anatomia e botanica . Fu introdotto dai
pitagorici come rapporto tra la diagonale e il lato di un pentagono regolare ( o come rapporto
tra il lato del pentagono stellato o pentagramma, simbolo dei pitagorici, e il lato del pentagono
regolare con gli stessi vertici ) :
Il rapporto aureo è definito come il rapporto tra due lunghezze a e b tale che
a a+b
.
=
b
a
1+ 5 a
1− 5
a
1
Risolvendo la proporzione, si hanno le due radici = Φ =
e ==
.
b
2
b
Φ
2
Nella figura che segue riportiamo la costruzione geometrica del rapporto aureo :
- 42 -
Si costruisca un quadrato il cui lato AB ha lunghezza a e punto medio M . La circonferenza
5a
, interseca la retta AB nel punto C. Il segmento BC ha
disegnata,di centro M e raggio
2
a+b
a
lunghezza b e = Φ =
.
b
a
Anche le diagonali del pentagono di lato a + b si intersecano in segmenti che danno luogo
alla sezione aurea e generano un pentagono regolare di lato b e diagonali di lunghezza a
(ancora il rapporto aureo) e così all'infinito :
Dalla forma chiusa dei numeri di Fibonacci , osservando che quando n è grande Fn si avvicina
Φn
1
1
1− 5
1− 5 n
perché
=
< 1 e quindi ( =
diventa
molto a
Φ
2
Φ
2
5
F
esponenzialmente piccolo , si ha che il rapporto n ha come limite (per n → ∞) proprio il
Fn −1
numero Φ .
)
- 43 -
3. I numeri di Lucas
Nella seconda metà del diciannovesimo secolo, il matematico francese Edouard Lucas (18421891) riprese lo studio della successione di Fibonacci e introdusse una successione
strettamente legata ad essa, detta appunto la successione di Lucas, prendendo come valori di
partenza 1 e 3 e proseguendo con le somme dei due antecedenti.
La successione di Lucas ha la sigla A000032 in OEIS. Ne diamo i primi 11 valori :
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Ln
1
3
4
7
11
18
29
47
76
123
199
In generale :
si dice successione di Lucas ogni successione di numeri interi positivi costruita a partire da
due numeri qualsiasi e in cui ogni numero successivo si ottiene dalla somma dei due numeri
che lo precedono.
Una successione di Lucas è dunque una generalizzazione della successione di Fibonacci: ciò
che distingue tali successioni è il fatto che i due numeri di partenza possono essere qualsiasi .
La successione di Lucas è una successione di Lucas con valori di partenza 1,3.La successione
di Fibonacci è una successione di Lucas con valori di partenza 1,1.
I numeri della successione di Lucas 1,3,4,7,11,18, … vengono detti numeri di Lucas e sono
spesso introdotti mediante la seguente definizione:
Ln = Fn −1 + Fn +1 , n > 1.
Poichè i numeri di Fibonacci soddisfano la relazione di ricorrenza
Fn = Fn −1 + Fn − 2
n > 1,
i numeri di Lucas sono in relazione tra loro con la seguente
Ln = Ln −1 + Ln − 2
n > 2,
e anche questa ne è una possibile definizione, unitamente a L1 = 1 , L2 = 3 .
Come nel caso della successione di Fibonacci, può esser utile assegnare un valore a L0 : per
avere L2 = L1 + L0 , assumiamo L0 = 2 e quindi
Ln = Ln −1 + Ln − 2
- 44 -
n≥2
Usiamo ora la formula di Binet dei numeri di Fibonacci per ricavare una forma chiusa per i
numeri di Lucas Ln .
Osservando che 1 (α − β ) = 1
Ln = Fn −1 + Fn +1
=
1
α −β
1+ 5
1− 5
e β=
, si ha:
2
2
1
1
α n −1 − β n −1 +
α n +1 − β n +1 =
=
α −β
α −β
5 , dove α =
[
]
[
]
 n 1


n 1
α  + α  − β  + β .

β

 α
1+ 5
1− 5
e β=
,notando che (1 α ) + α = 5 = α − β e che
2
2
(1 β ) + β = −(α − β ) si ha la formula di Binet per i numeri di Lucas :
Sostituendo ora α =
Ln = α n + β n .
Si prova inoltre che i numeri di Lucas sono così legati ai coefficienti binomiali :
n n − k 

 , n ≥ 1
Ln = ∑
k ≥0 n − k  k

- 45 -
4. I numeri di Mersenne
La successione di numeri 1,3,7,15,31,63,…, detti numeri di Mersenne, dal nome dell’abate
francese che nel secolo XVII li studiò, ci dà le immagini della funzione f(n) = 2n - 1, di
dominio N - {0} , successione avente sigla A000225 in OEIS.
La stessa successione è individuata ricorsivamente dalla relazione mn = 2mn-1 + 1 e dalla
condizione iniziale m1 = 1 ed è la risposta del problema della torre di Hanoi :
Il gioco della torre di Hanoi fu inventato dal matematico francese E.Lucas nel 1883 e da allora
è venduto come giocattolo . Il gioco consiste in un supporto piano dotato di tre pioli A,B,C e
di n dischi ( 8 nella versione " classica " in figura) di diverso diametro infilati in uno di questi
pioli e aventi diametro decrescente dal basso verso l'alto . Si chiede di trasferire gli n dischi ,
nello stesso ordine , ad uno qualunque dei due pioli liberi secondo le seguenti regole :
a) i dischi devono essere mossi uno per volta , usando uno dei due pioli liberi come
"intermediario"
b) un disco non può mai trovarsi su uno di diametro minore .
Ci chiediamo qual è il numero minimo mn di mosse necessarie per terminare il gioco
E' ovvio che nel caso di un unico disco occorra una sola mossa , cioè m1= 1 .
- 46 -
Per capire il meccanismo ricorsivo , osserviamo che se abbiamo due dischi sul piolo A
possiamo risolvere il gioco spostando il disco piccolo sul piolo B , il disco grande sul piolo C
e infine il disco piccolo sul piolo C , cioè m2 = 3 = 2m1 + 1 .
Se abbiamo n dischi , con mn-1 mosse muoviamo n-1 dischi su un piolo libero , con una mossa
spostiamo il disco base sull'altro piolo, e con mn-1 mosse riposizioniamo su di esso la torre
degli n-1 dischi , ottenendo così la relazione ricorsiva
mn = 2mn-1 + 1 .
Per ottenere una formula esplicita per mn , procediamo per iterazione :
mn = 2mn-1 + 1 =
= 2 ( 2mn-2 + 1) + 1 =
= 22mn-2 + 2 + 1 =
= 22 ( 2mn-3 + 1) + 2 + 1 =
= 23 mn-3 + 22 + 2 + 1 =
…………………………….
= 2n-1 mn-(n-1) + 2n-2 + … + 22 + 2 + 1 =
= 2n-1 + 2n-2 + … + 22 + 2 + 1 =
= 2n - 1 .
L'ultima uguaglianza segue dalla formula della somma dei primi n termini di una successione
geometrica .
Al gioco della torre di Hanoi è associata la leggenda seguente : nella città indiana di Benares i
sacerdoti del tempio di Brahma devono spostare con le regole dette i 64 dischi d'oro della
torre di Brahma . Il mondo terminerà alla fine del lavoro dei sacerdoti . Dai conti fatti
occorrono m64 = 264 - 1 = 18.446.744.073.709.551.615 mosse e , calcolando una mossa per
microsecondo ( 10-6secondo) , oltre 5000 secoli per spostare la torre!
- 47 -
5. I numeri di Catalan
Questi numeri, indicati con la notazione C(i) (o Ci), furono introdotti dallo stesso Catalan nel
1838, per risolvere il seguente problema (già affrontato da Eulero): in quanti modi diversi si
può suddividere in triangoli un poligono convesso di n +1 lati tracciandone diagonali che non
si intersecano? In figura abbiamo le 5 triangolazioni diverse di un pentagono convesso.Il
quesito posto è equivalente al "problema delle parentesi di Catalan" : in quanti modi è
possibile eseguire un'operazione non associativa su n fattori ai di un insieme A ? Osserviamo
che in presenza di un'operazione non associativa non possiamo scrivere il prodotto a1a2…an ,
ma dobbiamo inserire le parentesi . In quanti modi possiamo farlo ? Per esempio , se
moltiplichiamo tre elementi abbiamo le due possibilità (e quindi al massimo due risultati )
seguenti : (a1a2)a3 e a1(a2a3) , se ne moltiplichiamo quattro i possibili prodotti sono i
seguenti cinque :
(a1a2)(a3a4) , (a1 (a2a3 )a4) , ( (a1a2)a3 )a4 , a1 ((a2a3 )a4) , a1 (a2(a3a4) ) .
Sempre in figura è rappresentata la corrispondenza tra questi due problemi per n = 4 .
(a1a2)(a3a4)
a3
a4
((a1a2)a3)a4
(a1(a2a3))a4
a1((a2a3)a4)
a1(a2(a3a4))
a2
a1
Dunque C3 = 2 , C4 = 5 e ovviamente C1 = C2 = 1 .
Per calcolare l'n-simo numero di Catalan, cioè il numero di modi in cui è possibile scrivere il
prodotto non associativo a1a2…an , osserviamo che esso si scrive in modo unico nella forma
pp', dove p è uno dei possibili prodotti a1a2…ai e q è uno dei possibili prodotti ai+1ai+2…an (
pp' = (a1a2…ai )( ai+1ai+2…an) , 1 ≤ i ≤ n-1 ). Per ogni i , esistono Ci differenti p e Cn-i differenti
p' , quindi Ci Cn-i differenti prodotti pp' . Abbiamo dunque trovato la relazione ricorsiva non
lineare seguente
Cn =
n −1
∑
Ci Cn-i
1
- 48 -
, n≥2 .
Questa formula ci dà dunque C5 = C1C4 + C2C3 + C3C2 + C4C1 = 5 + 2 + 2 + 5 = 14 ed ecco in
figura le 14 possibili triangolazioni dell’esagono
Esse corrispondono ai 14 modi diversi di inserire le parentesi in un’operazione non
associativa operante su 4 elementi.
La successione dei numeri di Catalan è registrata nella OEIS con la sigla A000108, i
primi undici numeri sono
1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796 .
I numeri di Catalan sono la risposta di molti altri problemi combinatori, per esempio si
ottengono nel seguente problema :
In una griglia n × n , quanti sono i cammini di lunghezza 2n che partono dall’angolo in
basso a sinistra ed arrivano in quello in alto a destra senza toccare la corrispondente linea
diagonale tratteggiata , detti cammini di Dyck? La risposta è, con le nostre notazioni, Cn+1.
Nella figura che segue abbiamo i C5 = 14 cammini di Dyck sulla griglia 4 x 4 .
- 49 -
L’n-esimo numero di Catalan Cn può essere definito facendo uso dei coefficienti binomiali nel
modo seguente (forma chiusa dei numeri di Catalan)
 2(n − 1) 
, n≥1
n  n − 1 
1
Cn = 
6. Linee nel piano.
Ci chiediamo qual è il massimo numero Ln di regioni definite da n linee nel piano. Questo
problema fu risolto per la prima volta nel 1826 dal matematico svizzero Jacob Steiner.
Cominceremo col considerare i casi con n piccolo. Il piano senza linee ha una regione, con
una linea ha due regioni e con due linee ha quattro regioni.
1
2
1
1
2
3
4
L0 = 1
L1 = 2
L2 = 4
Verrebbe da pensare che Ln = 2n, ossia che aggiungendo una nuova linea si raddoppi il
numero delle regioni. Ma non è così. Potremmo ottenere il raddoppiamento se la n-esima
linea dividesse ogni vecchia regione in due. La linea può dividere la vecchia regione in al
più due parti, poiché ogni regione è convessa (una regione è convessa se contiene tutti i
segmenti che uniscono due suoi punti qualsiasi); una linea retta può dividere una regione
convessa in al più due nuove regioni , che a loro volta saranno convesse. Ma quando
aggiungiamo la terza linea, come si può vedere nella figura seguente, notiamo che essa può
dividere al più tre delle vecchie regioni e non importa il modo in cui abbiamo posto le prime
due linee
- 50 -
2
1
3
4
7
6
5
Allora L3 = 4 + 3 = 7.
Siamo ora in grado di generalizzare. La n-esima linea (per n > 0) aumenta di k il numero
delle regioni se e solo se divide k delle vecchi regioni e divide k delle vecchie regioni se e
solo se interseca le linee precedenti in k – 1 punti distinti. Due linee possono toccarsi in al più
un punto, perciò la nuova linea può intersecare le n-1 vecchie linee in al più n-1 punti distinti:
allora deve essere k minore o uguale a n. Abbiamo stabilito la limitazione superiore:
Ln minore o uguale Ln-1 + n per n > 0.
Inoltre è facile mostrare che possiamo ottenere l’uguaglianza in questa formula,
semplicemente ponendo l’n-esima linea in modo che non sia parallela a nessuna delle altre (e
quindi le intersechi tutte) e che non passi per nessuno dei punti di intersezione presenti (e
quindi intersechi tutte le linee in punti distinti). La ricorrenza è perciò:
L0 = 1
Ln = Ln-1 + n per n > 0
Ora vorremmo trovare una forma chiusa per Ln. Proviamo a cercarla, “sviluppando” fino alla
fine la nostra ricorrenza:
Ln = Ln-1 + n =
= Ln-2 + (n – 1) + n =
= Ln-3 + (n – 2) + (n – 1 ) + n =
..................................................
= L0 + 1 + 2 + ... + (n – 2) + (n – 1) + n =
= 1 + Sn
dove: Sn = 1 + 2 + ... + (n – 1) + n = [n(n+1)]/2 (formula di Gauss)
Abbiamo allora
Ln = {[n(n+1)]/2} + 1 per n ≥ 0
Facciamo una tabella con i primi valori di Sn ( chiamati anche numeri triangolari)
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Sn 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105
Da questa ricaviamo i valori di Ln (chiamati anche numeri poligonali centrali)
Ln 2 4 7 11 16 22 29 37 46 56 67 79 92 106
- 51 -
Questa successione è detta lazy caterer’s sequence ed è catalogata A000124 sul sito OEIS.
La successione Ln ci dà il numero massimo di pezzi di un cerchio (di solito si usa una torta
per descrivere la situazione) che può essere ottenuto con un determinato numero di tagli
rettilinei. Così, tre tagli rettilinei in una torta la dividono in sei pezzi, se i tagli sono lungo
delle rette che si incontrano in un punto, in sette pezzi altrimenti (vedi figura).
- 52 -
Bibliografia
1) Cerasoli - Eugeni - Protasi , Elementi di matematica discreta, Zanichelli, Bologna 1988
2) J.H.Conway-R.K.Guy , The book of numbers, Copernicus - Springer - Verlag
1995
3) A.Conte - L.Picco Botta - D.Romagnoli , Algebra, Levrotto§Bella, Torino 1986
4) Graham-Knuth-Patashnik , Matematica discreta , Hoepli 1992
5) G. M. Piacentini Cattaneo , Algebra . Un approccio algoritmico, Decibel Zanichelli,1996
6) A. Posamentier, I.Lehmann, The fabulous Fibonacci Numbers, Prometheus Books, 2007
7) D. Romagnoli, Elementi di Matematica discreta, Quaderno didattico n.23, Dipartimento
di Matematica . Università di Torino, 2004
8) D. Romagnoli, Problemi di combinatorica, Quaderno didattico n.43, Dipartimento di
Matematica . Università di Torino, 2008