Eventi e insiemi (II)

Eventi e insiemi (II)
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L'evento Ω corrispondente all'intero spazio dei risultati dell'esperimento casuale è assimilabile all'insieme totale o universo . Tale evento si verica certamente e viene chiamato
evento certo .
Il complementare o la negazione Ā di un insieme A è l'insieme
di tutti i punti dell'universo che non appartengono ad A.
Il complementare di Ω è l'insieme vuoto ∅ anche detto evento
impossibile .
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L'unione A ∪ B di due insiemi A e B è l'insieme costituito
dai punti appartenenti ad uno dei due insiemi o a entrambi;
l'evento A ∪ B si verica dunque quando si vericano A, B o
entrambi.
Proprietà
A∪B = B∪A
A∪A = A
A∪∅ = A
A∪Ω = Ω
A ∪ Ā = Ω
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L'intersezione A ∩ B di due insiemi A e B è l'insieme costituito dai punti comuni ad entrambi gli insiemi; l'evento A ∩ B
si verica dunque quando si vericano sia A che B .
Proprietà
A∩B = B∩A
A∩A = A
A∩∅ = ∅
A∩Ω = A
A ∩ Ā = ∅
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Leggi associative
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
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Leggi distributive
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
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Due eventi A e B si dicono incompatibili se la loro intersezione è l'evento impossibile A ∩ B = ∅, cioé se è impossibile
che si verichino entrambi simultaneamente.
equivale a dire che ogni volta che si verica
ca anche B , ovvero che l'evento A implica B .
• A⊂B
Proprietà
A∪B = B
A∩B = A
A
si veri-
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Unione multipla
A 1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ An =
n
[
Ai
i=1
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Intersezione multipla
A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An =
n
\
i=1
Ai
•
Legge di de Morgan dell'unione
n
[
Ai =
i=1
•
n
\
Ai
i=1
Legge di de Morgan dell'intersezione
n
\
i=1
Ai =
n
[
i=1
Ai
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Una
successione
è un insieme indicizzato di eventi
{Ai; i = 1, 2, . . .}
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Limite inferiore di una successione
∞
\
lim inf Ai = lim
i→∞
•
i→∞
Ah =
i→∞
i→∞
∞
[
h=i
∞ \
∞
[
Ah
i=1 h=i
h=i
Limite superiore di una successione
lim sup Ai = lim
di eventi:
di eventi:
Ah =
∞ [
∞
\
i=1 h=i
Ah
di eventi:
•
Successione crescente
•
Limite di una successione crescente
lim Ai =
i→∞
Ai ⊂ Ai+1
∞
[
di eventi:
Ai
i=1
di eventi:
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Successione decrescente
•
Limite di una successione decrescente
lim Ai =
i→∞
per ogni i.
∞
\
i=1
Ai+1 ⊂ Ai
Ai
per ogni i.
di eventi:
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Caratterizzazione dello spazio degli eventi F :
Ω ∈ F
A ∈ F ⇔ Ā ∈ F
A1 , A 2 ∈ F ⇒ A1 ∪ A2 ∈ F
Una famiglia di insiemi dotata di queste caratteristiche è
detta algebra di Boole .
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Se si aggiunge la chiusura rispetto all'unione innita:
A1 , A 2 , . . . ∈ F ⇒
∞
[
i=1
Ai ∈ F
si ottiene un'algebra di Boole completa o σ-algebra o classe
additiva.
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Quando Ω è un'innità numerabile, l'insieme delle parti di Ω
è una σ-algebra.
Quando Ω = R, la più piccola classe di sottoinsiemi di R della
forma di intervallo chiusa rispetto alla negazione ed all'unione
(nita e innita) è detta σ-algebra di Borel di R.
Alla coppia
(Ω, F )
si dà il nome di
spazio misurabile
.