Statica

Statica
In questo capitolo consideriamo dei corpi rigidi estesi fermi. Nel
porre le condizioni d' immobilità dovremo tener conto del punto
d' applicazione delle forze e dovremo calcolare il momento di una
forza rispetto ad un punto.
Centro di massa
Il centro della distribuzione media della massa di un corpo è chiamato centro di massa o centro d' inerzia .
Lo abbiamo già incontrato nella formulazione della seconda legge di Newton; la risultante delle forze
esterne che agiscono su di un corpo è uguale alla sua massa per l' accelerazione del suo centro di massa.
CdM
Centro di gravità
Le forze di gravità che agiscono sulle varie parti di un corpo esteso rigido possono essere rappresentate
come un' unica forza applicata in un singolo punto chiamato centro di gravità o baricentro . Nelle situazioni
che noi incontreremo, potremo sempre porre il centro di gravità in corrispondenza con il centro di massa.
CdG
Fg
Momento di una forza rispetto ad un punto
G
Il momento di una forza FG rispetto ad un punto P è una grandezza vettoriale che noteremo M
. Essa
dipende dal punto d' applicazione della forza, che noteremo A , e può essere denita tramite il prodotto
vettoriale tra due vettori; quello che va da P ad A e il vettore della forza:
F ; P
G
M
F ;
P
= PA FG
L' unità di misura di questa grandezza sarà quella di una forza per una distanza, cioè newton per metro.
[ N m]
statica pag. 1
Se le forze che dobbiamo considerare sono tutte parallele ad un piano, possiamo tralasciare il prodotto
vettoriale e utilizzare delle denizioni alternative.
Momento = forza per braccio
Chiamiamo linea d' azione di una forza la retta che passa dal suo punto d' applicazione ed ha la stessa
direzione della forza. Chiamiamo braccio di una forza rispetto ad un punto P la distanza tra P e la linea
d' azione della forza. Attenzione, il braccio può essere diverso dalla distanza PA . Diremo allora che il
momento di una forza FG rispetto ad un punto P è dato dall' intensità della forza moltiplicata dalla lunghezza del braccio, con un segno meno se la forza gira in senso orario rispetto a P
+
-
F
P
A
braccio
linea d’azione
Introducendo l' angolo che il vettore della forza forma con il vettore PA , osserviamo che il braccio corrisponde alla distanza PA per il seno di . Oppure che possiamo ottenere il momento moltiplicando la
distanza PA per la componente della forza perpendicolare alla direzione PA . Avremo dunque:
M
F ; P
= forza braccio = F sin PA
-
F
T
+
F
α
P
α
A
braccio
linea d’azione
Somma dei momenti
Quando abbiamo diverse forze agenti su di un corpo rigido, possiamo calcolare il momento rispetto ad un
punto P per ognuna di esse. Sommando poi questi momenti otteniamo un momento risultante.
Mris = M
; P
F
1
; P
+M
F
2
; P
+ + MFn =
; P
XM
Fi
; P
statica pag. 2
Equazioni della statica
Una condizione anchè un corpo rigido stia fermo è quella di avere un momento risultante nullo per tutti
i punti P dello spazio. L' altra condizione è quella di avere una forza risultante nulla ( calcolata come se
tutte le forze si applicassero ad un sol punto) . Se la seconda condizione è soddisfatta basta assicurarsi che
il momento risultante ripetto ad un punto sia nullo per dedurne che lo sarà per tutti i punti dello spazio.
Le equazioni che dovranno soddisfare le forze agenti su di un corpo rigido fermo saranno dunque:
Mris = 0
; P
FG ris = G0
La scelta del punto rispetto al quale calcolare i momenti è libera. Spesso è conveniente scegliere il punto
d' applicazione di una forza di cui non si conosce ancora l' intensità o la direzione.
Procedura per la risoluzione dei problemi di statica
Proponiamo qui una procedura standard per risolvere i problemi di statica che incontreremo.
1 . Individuare il corpo oggetto della nostra attenzione. Altrimenti detto, bisogna essere in chiaro
su quale sia l' oggetto preso in considerazione, dove inizia e dove nisce. Si tratterà di un corpo
rigido esteso e bisognerà tener conto delle sue dimensioni.
2. Disegnare le forze che agiscono sul corpo rigido. Su di uno schizzo dell' oggetto considerato
dovrebbero apparire chiaramente tutte le forze con una denominazione appropriata, il loro punto
d' applicazione oltre alle distanze e agli angoli che già si conoscono.
3. Scrivere le equazioni della statica. Per noi si tratterà di un equazione per i momenti e di una
o due equazioni per le forze.
i. Equazione dei momenti .
a) Scelta di un punto rispetto al quale calcolare i momenti. La scelta del punto deve
essere specicata chiaramente sullo schizzo e/o tramite la notazione utilizzata.
b) Calcolo dei momenti . Esprimiamo il momento di ogni forza utilizzando i dati
conosciuti e le denominazioni appropriate per le grandezze incognite.
c) Scrittura dell'equazione che vuole la somma dei momenti uguale a zero.
ii. Equazioni delle forze
a) Scelta di due direzioni perpendicolari secondo cui scomporre le forze in gioco. La
scelta delle direzioni dev' essere indicata chiaramente sullo schizzo tramite un sistema
di riferimento cartesiano ( assi x e y ) .
b) Scomposizione delle forze conosciute ed incognite secondo le direzioni scelte.
c) Scrittura delle equazioni corrispondenti all' annullamento delle forze in ogni direzione.
4. Risolvere le equazioni . La risoluzione delle equazioni dovrebbe permetterci di determinare
quanto richiesto dal problema.
statica pag. 3
Esempi
Un' aereo di cui conosciamo il peso e il centro di gravità, è fermo a terra. Vogliamo determinare il valore
delle forze di sostegno che agiscono sulle ruote anteriori e sulla ruota posteriore.
1.2 m
4.8 m
Fra
Frp
P
Fg
Sull' aereo in gura agiscono tre forze; quella di gravità F applicata al centro di gravità, la forza che il
suolo esercita sulle ruote anteriori Fra e quella del suolo sulla ruota posteriore Frp .
Calcoliamo i momenti di queste tre forze rispetto al punto d' appoggio delle ruote anteriori P per un peso
dell' aereo di 30' 000 N:
M
=0
M g = ? F 1 . 2 m = ? 30000 N 1 . 2 m = ? 36000 Nm
M
= + Frp 6 m
g
ra
F
F
; P
; P
rp
F
;
g
P
Se la somma dei momenti dev' essere nulla, avremo:
Mris = M
;
P
ra
F
; P
+M
F
g
; P
+M
rp
F
; P
= 0 ? 36000 + Frp 6 = 0 ) Frp = 6000 N
In questo caso tutte le forze sono verticali per cui scriveremo una sola rquazione:
Fris = Fra ? F + Frp = Fra ? 30000 + 6000 = 0 ) Fra = 24000 N
;
y
g
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