Probabilità - ticino.com

Elementi di calcolo delle probabilità
Definizione di probabilità
A) Qui davanti a me ho un’urna contenente 2 palline bianche e 998 nere. Mi metto una
benda sugli occhi, scuoto ripetutamente l’urna ed estraggo una pallina.
•
E’ più probabile pescare una pallina bianca o una nera? .........
•
E se nell’urna ci fossero 400 palline bianche e 600 nere? .........
B) In un’urna voglio introdurre 1000 palline. Quante bianche e quante nere dovrò mettere
nell’urna se voglio che sia uguale la probabilità di estrarre una bianca o una nera?.....
Osserva che ai quesiti proposti hai risposto facilmente e senza esitazioni. E non c’è stato disaccordo nelle risposte fra te e i tuoi compagni. Eppure non abbiamo iniziato il discorso spiegando
cosa si debba intendere per "probabilità".
Esempio 1
Immagina di occuparti delle vendite in una fabbrica di provette di vetro. Il docente di laboratorio di scienze della SSPSS vorrebbe acquistare una partita di tali contenitori per il nuovo laboratorio e ti chiede di esaminare un campione della merce in vendita. Da tale esame dipenderà
l’acquisto delle provette. Immagina di aver a disposizione in magazzino 12 recipienti già imballati, dei quali però uno è crepato (mentre i rimanenti 11 sono perfetti). Il tuo capo ti aveva raccomandato di metterlo da parte, ma tu te ne eri dimenticato e ora ti trovi piuttosto in imbarazzo. Posto di fronte ai 12 pacchi, il possibile compratore ne indica uno perché sia aperto: c’è 1
possibilità su 12 che la provetta scelta sia quella crepata? Speriamo che tu non sia così sfortunato!
Esempio 2
Il lancio di un dado da gioco: il numero "6" ha 1 su 6 possibilità di uscire nel lancio.
Le situazioni descritte sono esempi di prova aleatoria (aleatoria deriva dalla parola latina "alea"
che significa proprio "dado da gioco" ) cioè una prova della quale non si sa con certezza il risultato che uscirà.
Nella prova dell’esempio 1 può succedere uno dei seguente eventi:
•
"il pacco scelto contiene una provetta crepata" (e questo può succedere in 1 caso su 12);
•
"il pacco scelto contiene una provetta intatta" (e questo può succedere in 11 casi su 12).
L’evento "il pacco scelto contiene la provetta crepata" ha probabilità di accadere 12 < 0, 083
11
mentre l’evento "il pacco scelto contiene una provetta intatta" ha probabilità 12 < 0.917.
1
Infatti la probabilità p di un evento e (quando tutti i casi sono egualmente possibili quindi equiprobabili) è definita dal rapporto
p(e) =
num ero dei casi favorevoli
num ero dei casi possibili
Da questa definizione si deduce la seguente condizione:
1
0 6 p(e) ≤ 1
1
Analogamente nell’esempio 2 l’evento "esce il numero 6" ha probabilità 6 (1 su 6), mentre il suo
5
evento contrario "esce un numero diverso da 6" ha probabilità 6 (5 su 6).
Quindi la somma delle probabilità di un evento e e del suo evento contrario c vale sempre 1.
Dunque:
p(e) + p(c) = 1 ⇒ p(e) = 1 − p(c)
Un evento si dice evento certo quando ha probabilità 1, cioè quando i casi favorevoli sono tutti
quelli possibili.
Esempio 1
La probabilità che dal lancio di un dado esca un numero più piccolo di 10 è ovviamente 1.
Riassumendo:
Esempio: lancio di un dado
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Teoria
Sia S lo spazio campionario, cioé l ′insieme
di tutti gli esiti possibili.
Sia e un evento dell ′insieme S
Per esempio e1 = esce 1, e2 = esce 2 .
1
p(e1) =
6
0 ≤ p(e) ≤ 1
In particolare
p(e) = 1 se l ′evento è certo
p(e) = 0 se l ′evento è impossibile
Sia e un evento ec il suo evento contrario
p(e) + p(c) = 1
e = esce un numero tra 1e6 ⇒ p(e) = 1
e = esce un numero più grande di 7 ⇒ p(e) = 0
e = esce 1; c = esce un numero diverso da 1
1
5
1 5
p(e) = p(c) =
⇒ + =1
6
6
6 6
Notazione insiemistica e somma di probabilità
Esempio 2
Visualizziamo la prova aleatoria con i diagrammi di Venn.
L’insieme di tutti i casi possibili è detto spazio campione S mentre gli eventi "esce il numero 1"
E1 = {1} oppure "esce il numero 2"E2 = {2}, oppure ... "esce il numero 6"E6 = {6} sono dei sottoinsiemi di S.
2
Nel diagramma di Venn qui sopra, prova tu a disegnare l’evento "esce un numero pari" E =
{numero pari}, come sottoinsieme di S.
Esempio 1
L’evento "la provetta è crepata" e l’evento "la provetta è intatta" sono eventi che non si possono
verificare simultaneamente, e si dicono incompatibili o disgiunti. In questo caso sono anche contrari o complementari, perché o accade l’uno oppure l’altro, cioè insieme esauriscono le possibilità.
Esempio 2
Gli eventi E p = {pari} (tirando il dado, esce un numero pari) e E1 = {1} (esce il numero 1) sono
incompatibili ma non contrari.
Gli eventi E p = {pari} (tirando il dado, esce un numero pari) e Ed = {dispari} (esce un numero
dispari) sono contrari (e quindi incompatibili).
L’evento E p = {pari} (tirando il dado, esce un numero pari) e l’evento E2 = {2} (esce il numero
2) invece non sono incompatibili.
In generale:
due eventi E1, E2 sono incompatibili o disgiunti se la loro intersezione E1 ∩ E2 = ∅
due eventi E1, E2 sono contrari o complementari se la loro intersezione E1 ∩ E2 = ∅ e se la
somma delle loro probabilità è p(E1) + p(E2) = 1
Esempio 2.1
Qual è la probabilità che lanciando un dado "esca un numero pari" oppure "il numero 3" ?
Visualizza nel diagramma di Venn il sottoinsieme che ci interessa.
Tra tutte le 6 possibilità, i casi favorevoli sono "esce 2, 4, 6" e "esce 3": in tutto 4 casi, dunque
3
1
4
la probabilità è 6 + 6 = 6 < 0, 667.
Dal punto di vista insiemistico, la congiunzione "o", "oppure" si traduce con il simbolo di
unione ∪ .
Dunque se E p = {2, 4, 6}, E3 = {3}, il quesito posto sopra chiede la probabilità di E ∪ E3.
In questo caso p(E ∪ E3) = p(E) + p(E3), cioè
la probabilità di due eventi incompatibili è la somma delle probabilità dei singoli
eventi!
Esempio 2.2
Qual è la probabilità che "esca un numero pari" oppure "esca un numero multiplo di 3"?
3
Qui la questione è più complicata perché il 6 è sia pari sia multiplo di 3, e non dobbiamo contarlo come caso favorevole due volte.
Se E p = {2, 4, 6} e F = {3, 6}, allora
p(E p ∪ F ) = p(E p) + p(F ) − p(E p ∩ F ) = 6 + 6 − 6 = 6 < 0, 667.
3
2
1
4
La differenza fra i due esempi è che nell’esempio 2.1 gli eventi erano incompatibili, mentre
nell’esempio 2.2 non lo sono.
In generale
la probabilità di un evento A o di un evento B è:
se A ∩ B = ∅ ⇒ p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
se A ∩ B ∅ ⇒ p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)
ESEMPIO 3
Nel gioco della roulette è previsto di poter puntare su uno o su due numeri (tale puntata si
chiama "cavallo") compresi tra lo 0 e il 36 (in tutto sono 37 numeri), oppure sui numeri pari
(sono 18) o sui dispari (sono 18), oppure sui numeri rossi (sono 18) o su quelli neri (sono 18).
Osserva che lo 0 è verde.
La probabilità che esca lo 0 è 1/37;
la probabilità che esca un numero nero è 18/37;
la probabilità che esca un numero pari è 18/37;
la probabilità che esca un numero nero e pari è
10
;
37
la probabilità che esca un numero nero o un numero pari é
4
26
37
Riassumendo
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Probabilità composta
Analizziamo in questo paragrafo il caso in cui le prove aleatorie sono più d’una. Le due prove
possono essere indipendenti l’una dall’altra oppure il risultato della prima prova può influire sul
risultato della seconda.
Abbiamo la seguente regola
Regola della moltiplicazione
Se A e B sono eventi indipendenti (cioè se il verificarsi di A non è influenzata dal verificarsi di
B) abbiamo
p(A ∩ B) = p(A) · p(B)
Nel caso di eventi dipendenti vedremo come risolvere il problema mediante un esempio.
Il diagramma ad albero
Se un esperimento è a più stadi il problema di descrivere i possibili risultati può essere semplificato mediante l’uso dei diagrammi ad albero: - per ogni stadio ci sono tanti rami quante sono le
possibilità - il numero totale dei percorsi rappresenta il numero totale di eventi possibili - ad
ogni percorso è associata la probabilità corrispondente all’evento
5
Ecco la regola generale per "muoversi" su un diagramma ad albero
Esempio 0
Da un’urna contenente 6 palline bianche (B) e 4 nere (N) se ne estraggono due a caso, una di
seguito all’altra senza reimbussolamento.
Si vuole determinare qual è la probabilità:
•
p(B1 ∩ B2) = che la prima pallina sia bianca e la seconda bianca
•
p(B1 ∩ N2) = che la prima pallina sia bianca e la seconda nera
•
p(N1 ∩ B2) = che la prima pallina sia nera e la seconda bianca
•
p(N1 ∩ N2) = che la prima pallina sia nera e la seconda nera
Questo esempio di probabilità composta di eventi non indipendenti può venir visualizzata
mediante il seguente diagramma ad albero:
6
Supponiamo di voler determinare, ad esempio, la probabilità che la seconda pallina estratta sia
nera. Risulterà:
4
2
7
p(N2) = p(B1 ∩ N2) + p(N1 ∩ N2) = 15 + 15 = 15
Esempio 1
Torniamo all’esempio della fabbrica di provette di cui tu sei il magazziniere. Finora ti è andata
bene: la provetta che il docente della SSPSS ha scelto è intatta, tuttavia non è del modello che
desidera acquistare.
Tu, pronto, gli proponi l’acquisto di provette di un altro tipo che si trovano nel locale adiacente
su una scaffalatura a tre ripiani. Su ciascun ripiano sono poste 12 scatole contenenti una provetta, ma anche questa volta qualcuno di tali recipienti vitrei è difettoso:
•
sul primo ripiano 2 provette su 12 sono crepate;
•
sul secondo ben 3 su 12 sono rovinate;
•
sull’ultimo ripiano tutte le 12 provette sono perfette.
Il docente compratore decide di controllare 1 recipiente imballato fra tutti i 36 che gli hai
mostrato, per vedere se fa al caso suo. Procederà nel seguente modo: prima sceglierà uno dei 3
ripiani, estraendo a sorte un biglietto fra tre biglietti numerati da 1 a 3, poi sceglierà una delle
12 provette su quel dato ripiano, pescando un biglietto tra 12 biglietti numerati da 1 a 12.
Se la provetta così designata andrà bene, il docente stipulerà con te un contratto per l’acquisto
di un’intera partita di recipienti, altrimenti? la tua ditta ha perso un cliente. Qual è la probabilità che il contratto venga stipulato?
Chiaramente il problema è formato da due prove aleatorie consecutive: la scelta del ripiano (1 su
3) e la scelta della provetta su un ripiano (a seconda della prima scelta, hai 10 su 12 possibilità
che il recipiente estratto vada bene, oppure 9 su 12 possibilità che vada bene, oppure 12 su 12).
Il complesso di tale prova si chiama prova composta.
Schematizziamo la procedura di sorteggio con un diagramma ad albero formato da due strati
di ramificazione e da 36 rami.
La prima prova aleatoria è costituita da 3 eventi "è stato scelto il primo ripiano r1 " , "è stato
scelto il secondo ripiano r2 " oppure "è stato scelto il terzo ripiano r3"; il totale dei casi possibili
o spazio campione è:
Sprim a prova = {r1, r2, r3}.
7
Ognuno dei 3 eventi ha la stessa probabilità di accadere:
1
e
p(r1) = p(r2) = p(r3) = 3
p(r1) + p(r2) + p(r3) = 1
La seconda prova aleatoria dipende dalla prima:
•
•
•
se è stato scelto il primo ripiano r1, gli eventi possibili sono:
2
1
−
e1 = è stata estratta una provetta crepata la cui probabilità è p(e1) = 12 = 6
−
e2 = è stata estratta una provetta perfetta la cui probabilità è p(e2) = 12 = 6
10
5
se è stato scelto il secondo ripiano r2, gli eventi possibili sono:
1
3
−
e1 = è stata estratta una provetta crepata la cui probabilità è p(e2) = 12 = 4
−
e2 = è stata estratta una provetta perfetta la cui probabilità è p(e2) = 12 = 4
9
3
se è stato scelto il terzo ripiano r3, gli eventi possibili sono:
12
−
e2 = è stata estratta una provetta perfetta la cui probabilità è p(e2) = 12 = 1
−
(e1 = è stata estratta una provetta perfetta la cui probabilità è p(e1) = 12 = 0)
0
La probabilità di uno dei 36 eventi della prova composta (ad esempio che venga scelto il primo
ripiano e che la provetta estratta sia crepata) si calcola "percorrendo" il ramo dell’albero probabilistico descritto (il primo ramo) e moltiplicando i valori della probabilità dei singoli
eventi lungo il ramo.
La prova aleatoria composta è data dai seguenti eventi:
•
se è stato scelto il primo ripiano r1, gli eventi possibili sono:
−
E11 = è stata estratta una provetta crepata sul primo ripiano la cui probabilità è:
1
1 1
p(E11 ) = 3 · 6 = 18
8
−
•
•
E12 = è stata estratta una provetta perfetta sul primo ripiano la cui probabilità è:
1 5
5
p(E12 ) = 3 · 6 = 18
se è stato scelto il secondo ripiano r2, gli eventi possibili sono:
−
E21 = è stata estratta una proveta crepata sul secondo ripiano la cui probabilità è:
1
1 1
p(E21 ) = 3 · 4 = 12
−
E22 = è stata estratta una provetta perfetta sul secondo ripiano la cui probabilità
1 3
1
è: p(E22 ) = 3 · 4 = 4
se è stato scelto il terzo ripiano r3, gli eventi possibili sono:
−
E32 = è stata estratta una provetta perfetta sul terzo ripiano la cui probabilità è:
1
1
p(E32 ) = 3 · 1 = 3
−
(E31 = è stata estratta una provetta crepata sul terzo ripiano la cui probabilità è:
1
p(E31 ) = 3 · 0 = 0)
Verifica che la somma di tutte le probabilità è 1.
La risposta al quesito iniziale "qual è la probabilità che il contratto venga stipulato" è dato dalla
probabilità degli eventi E12 E22 E32 . Dunque:
5
1
1
p = p(E12 ) + p(E22 ) + p(E32 ) = 18 + 4 + 3 =
10 + 9 + 12
36
31
= 36
Verifica che la probabilità che il contratto non venga stipulato è:
5
q = p(E11 ) + p(E21 ) + p(E31 ) = 36
Dato un evento E, il suo evento contrario è quell’evento che si verifica quando e sono quando
non si verifica E: lo indichiamo con il simbolo Ē .
Es.: nel lancio di una moneta, l’evento contrario dell’uscita "testa" è l’uscita "croce".
Dato un evento E e il suo contrario Ē , si ha che p(Ē ) = 1 − p(E).
Esempio 2
Lanciando due dadi qual è la probabilità che escano due 6 (per un totale di 12 punti)?
Costruisci un diagramma ad albero e verifica che la probabilità di questo evento è:
1
6
1
1
· 6 = 36
< 2, 78%
E qual è la probabilità che esca un totale di 11 punti (con un dado 5 e con l’altro dado 6,
oppure con il primo dado 6 e con il secondo 5)? Sullo stesso diagramma ad albero verifica che la
probabilità è:
1
6
1
1
1
1
1
1
· 6 + 6 · 6 = 36 + 36 = 18
9
< 5, 56%
Glossario dei termini più utilizzati e riassunto
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Problemi vari
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