l`algebra e le sue applicazioni tra classico e moderno

L’ALGEBRA E LE SUE APPLICAZIONI
TRA CLASSICO E MODERNO
COLLANA INTERDISCIPLINARE

Direttore
Alfio R
Università degli Studi di Catania
Comitato scientifico
Marco F
Università degli Studi Roma Tre
Mercede M
Università degli Studi di Salerno
Rosanna U
Università degli Studi di Messina
L’ALGEBRA E LE SUE APPLICAZIONI
TRA CLASSICO E MODERNO
COLLANA INTERDISCIPLINARE
L’Algebra non è altro che Geometria scritta, la Geometria non è altro che
Algebra figurata.
Marie–Sophie G
Una collana di Algebra, in una sezione relativa alla macro–area 
Matematica e Informatica, ha come obiettivo primario la divulgazione
culturale e didattica dei temi dell’Algebra classica e moderna. Come è
noto lo strumento algebrico è andato via via affermandosi nel tempo
soprattutto per le sue molteplici applicazioni. Così, mentre classicamente l’Algebra era nota per i suoi contributi nella Teoria dei numeri
e nello studio delle equazioni, con l’avvento dell’opera di Cartesio
l’Algebra è diventato lo strumento principale per interpretare gli oggetti geometrici, mentre con il lavoro di Eulero e Fermat ha trovato
inaspettate applicazioni in campi più moderni della ricerca quali la
Crittografia e la Teoria dei codici.
Questa collana vuole dare impulso e sostegno a tutte quelle pubblicazioni che intendano diffondere in modo scientifico e puntuale
tematiche che coinvolgano in modo diretto o indiretto aspetti teorici
o applicativi dell’Algebra, ricordando, come usava dire Alfred North
Whitehead, che l’Algebra è lo strumento intellettuale che è stato creato per
rendere chiari gli aspetti quantitativi del mondo.
Sergio De Nuccio
Niels Henrik Abel
La vita e le memorie sulle equazioni algebriche
Prefazione di
Silvio Maracchia
Copyright © MMXV
ARACNE editrice int.le S.r.l.
www.aracneeditrice.it
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via Quarto Negroni, 
 Ariccia (RM)
() 
 ----
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: febbraio 
A Luca Andrea
Indice
11
Prefazione
13
Introduzione
37
Capitolo I
I primi anni di vita di Abel: 1802 – 1815
1.1. L’infanzia di Abel, 37 – 1.2. Cenni storici sulla Norvegia, 40 –
1.3. La famiglia di Abel, 41
49
Capitolo II
Abel si trasferisce a Kristiania: 1815 - 1823
2.1. Gli anni nella scuola cattedrale di Kristiania, 49 –
2.2. L’ingresso all’Università. Le prime pubblicazioni. Viaggio a Copenaghen, 54
59
Capitolo III
La teoria delle equazioni prima di Abel
3.1. Generalità sulle equazioni algebriche, 59 – 3.2. Equazioni algebriche in una
incognita, 61 – 3.3. La risolubilità algebrica dell’equazioni fino al quarto grado, 66
3.4. I contributi di F. Viète, R. Descartes, W. von Tschirnhaus, 77– 3.5. Il contribu
to di L. Euler, 79 – 3.6. Il contributo di E. Bézout,85 – 3.7. I contributi di E.
Waring e di A. T. Vandermonde, 87 – 3.8. Il contributo di J.-L. Lagrange, 91 –
3.9. Il contributo di P. Ruffini, 101.
93
Indice
Abel, la vita e le Memorie sull’equazioni algebriche
410 N. H.
111
Capitolo IV
La prima Memoria di Abel del 1824
4.1. La prima Memoria sull’equazione di 5° grado, 111 – 4.2. Traduzione in italiano
della Memoria di Abel del 1824, 112 – 4.3. L’originale in francese della Memoria di
Abel del 1824, 119.
129
Capitolo V
Il viaggio in Europa: 1825-1826
5.1. Arrivo a Berlino - La visita a Crelle – La nomina di Holmboe, 129 –
5.2. Il primo numero del Giornale di Crelle, 133 – 5.3. Nuova versione
della Memoria del 1824, 135 – 5.4. Soggiorno a Parigi, 192 – 5.5. Ritorno
a Berlino, 204
205
Capitolo VI
Il ritorno in Norvegia: 1827-1829
6.1. Il ritorno a Kristiania, 205 – 6.2. La morte di Abel, 208– 6.3. Memoria
sulle equazioni abeliane, 212 – 6.4. Sulla risoluzione algebrica delle
equazioni, 258
295
Appendice
A.1. La risoluzione dell’equazione x n- 1 = 0 nelle Disquisitiones Arithmeticae
di C. F. Gauss, 295 – A.2. P.-L. Wantzel: De l’impossibilité de résoudre toutes
les équations algébriques avec des radicaux, 321 – A.3. F. Cajori: Pierre Laurent Wantzel, 330.
339
Bibliograa
Prefazione
Quando nel 1950 uscì anche in Italia il libro I Grandi Matematici di Eric Temple Bell, scritto in uno stile scorrevole ma non banale,
molti lettori non addetti ai lavori conobbero per la prima volta
l’esistenza e l’importanza di tanti matematici di cui non avevano mai
sentito parlare.
Due di essi, Evariste Galois e Henrik Abel, vissuti nella stessa
epoca (1811-32 il primo e 1802-29 il secondo), colpirono per la sorte
che, in un certo senso, li accomuna. Entrambi matematici di assoluto
livello, morirono giovanissimi, Galois di duello ed Abel di tubercolosi; entrambi con una vita difficile sia per le situazioni familiari e sia
per le incomprensioni, almeno iniziali per Abel, da parte della matematica cosiddetta ufficiale; entrambi impegnati alla risoluzione generale delle equazioni; entrambi studiosi specialmente dei matematici
Giuseppe Lagrange e di Adrien-Marie Legendre che li indirizzarono
verso il proseguimento e il completamento dei loro studi.
Possiamo dire che un'altra circostanza, non casuale, accomuna
Galois ad Abel: entrambi sono stati oggetto degli approfonditi studi di
Sergio De Nuccio che ha trattato per primo Galois con una monumentale opera di ben quattro volumi (Lezioni di matematica dagli scritti
di Evariste Galois, coautrice Margherita Barile) per circa 2000 pagine,
più un ulteriore volume (I compiti scolastici di Evariste Galois).
Oggi Sergio De Nuccio presenta agli studiosi, ma anche a qualunque lettore interessato, matematico o no, un approfondito studio sui
lavori algebrici di Henrik Abel. Possiamo dire che, per lo stretto legame dei due matematici, la scelta è stata quasi obbligata e la tecnica
espositiva la medesima: si riportano nella loro interezza gli scritti originali, si traducono dando la possibilità al lettore di comprendere quei
passaggi che potrebbero risultare alquanto ostici.
11
612
N.Prefazione
H. Abel, la vita e le Memorie sull’equazioni algebriche
De Nuccio, dopo una iniziale, sintetica ma esaustiva panoramica
sugli studi algebrici e sugli algebristi da quando si cominciarono a
studiare le equazioni di terzo grado sino ad Abel stesso, dà inizio al
suo lavoro occupandosi nei primi due capitoli della vita del matematico inserita in un ambiente turbato dai conflitti tra Norvegia, Danimarca, Svezia e da lotte politiche. La famiglia di Abel, pur in gravi ristrettezze economiche fece di tutto per valorizzare le notevoli attitudini del
giovane Heinrik che poté, pur tra molte difficoltà, studiare i grandi
matematici che lo avevano preceduto e far conoscere i suoi lavori.
Nel libro di De Nuccio, dopo una lunga esposizione sulle equazioni algebriche dei primi quattro gradi (cap. terzo), possiamo trovare
tutti i lavori che Abel scrisse sulle equazioni algebriche, dal primo sintetico lavoro giovanile pubblicato a sue spese nel 1824, sino ai lavori
definitivi. Tutti questi lavori sono riportati da De Nuccio nella loro
lingua originale, il francese, e tradotti (capp. 4, 5, 6). Si può aver così
una intera panoramica di prima mano dei grandi contributi di Abel che
culminarono nella dimostrazione di impossibilità di poter risolvere
l’equazione generale di quinto grado mediante radicali. Dopo questo
notevole risultato Abel si occupò di indagare e di individuare quelle
particolari equazioni di qualsiasi grado risolubili comunque mediante
radicali (ad esempio le equazioni binomie) stabilendo una condizione
di commutatività che oggi, in senso più generale, viene appunto indicata come “abeliana”.
Il libro di De Nuccio, arricchito inoltre da numerosissime figure
relative ai frontespizi delle opere trattate e alle immagini di tutti i matematici coinvolti, si chiude con alcune appendici: la prima relativa alle equazioni binomie così come furono trattate da Karl Friedrich
Gauss (1777-1855) per risolvere il problema della ciclotomia e la seconda per presentare la dimostrazione di Pierre Laurent Wantzel
(1814-1848) sul problema della impossibilità già dimostrata da Abel.
Un libro, scritto con passione e competenza, che fornisce pertanto, uno strumento completo per chi voglia studiare la teoria algebrica
di un grande matematico posto al livello dei più grandi e morto all’età
di soli ventisette anni.
Silvio Maracchia
Introduzione
7
Introduzione
Abel aveva dei lineamenti regolari, che si possono dire anche veramente gentili. Il suo sguardo e i suoi occhi erano di una bellezza poco
comune; ma una carnagione pallida, senza freschezza e vivacità, offuscava un p˯ la gradevolezza della sua figura. Si veniva colpiti dalla
conformazione particolare della testa con il suo ovale prominente; il
cranio fortemente sviluppato sembrava testimoniare una intelligenza
straordinaria. Sulla sua fronte alta e larga, nascosta in parte dai suoi
capelli cascanti, regnava un’espressione meditativa. Un sentimento di
benevolenza era impresso sul suo volto. L’aspetto generale di Abel
non aveva niente di eccezionale: di media statura, di costituzione fisica delicata, semplice e trascurato nel vestire. Solo penetrando nella
sua intimità, si poteva apprezzare il suo giusto valore. Ma, nonostante
questo o quel dettaglio inopportuno, soprattutto nella sua prima giovinezza, la sua persona non era, tutto sommato, molto simpatica.
Quando non si chiudeva tutto il giorno nella
sua stanza per lavorare in solitudine, ed era in
compagnia dei suoi amici, soprattutto di quelli
che non facevano parte della cerchia abituale,
egli si mostrava gaio ed allegro, anche se di
temperamento egli fosse piuttosto malinconico. Spesso la sua allegria non era
l’espressione fedele del suo stato d’animo. Pochi potevano essere in familiarità con lui. Era
ben voluto dai suoi compagni di studi e anche
L'unico ritratto in vita
di N.H. Abel.
dalle persone più anziane che s’interessavano
Un disegno fatto a Paa lui. Con i primi egli aveva certamente comrigi da Johan Gorbitz
nel 1826.
messo delle sventatezze; ma la sua amabilità
era asserita da tutti con una rara unanimità.
Egli si faceva amici dovunque , e nient’altro che amici.1
1
C. –A. Bjerknes, Niels-Henrik Abel, Paris, Gauthier-Villars, 1885, pp.28-29.
13
814
N.Introduzione
H. Abel, la vita e le Memorie sull’equazioni algebriche
Questa è la descrizione di Niels Henrik Abel, illustre matematico norvegese vissuto nel XIX secolo e morto giovane quando non aveva ancora compiuto ventisette anni. Anche se la sua vita è stata breve e
sfortunata, segnata da grandi difficoltà economiche e da uno stato di
salute cagionevole, Abel ha saputo concretizzare le sue idee innovative che nell’Ottocento hanno dato origine a ulteriori sviluppi
dell’algebra e dell’analisi. I suoi lavori sull’impossibilità di risolvere
tramite radicali l’equazione generale di quinto grado e la scoperta delle cosiddette equazioni abeliane sono stati dei punti fondamentali nella storia dell’equazioni algebriche.Gli algebristi italiani del ’500: Scipione Dal Ferro2, Niccolò Fontana (detto Tartaglia)3, Girolamo Cardano4, Lodovico Ferrari5, avevano ottenuto le formule risolutive tra2
Matematico italiano, nato a Bologna nel 1465 e ivi morto nel 1526. È uno degli
algebristi che, nel Rinascimento, dettero vita in Italia a una fioritura di metodi e procedure per risolvere equazioni polinomiali di grado superiore al secondo. Prima ancora di Tartaglia, scoprì il metodo per la risoluzione algebrica delle equazioni di terzo grado, che espose in un quaderno, a tutt'oggi introvabile.
3
Matematico italiano, nato a Brescia nel 1499 e morto a Venezia nel 1557. Divenuto balbuziente nel 1512, per le ferite riportate alla mandibola e al palato durante la
presa di Brescia da parte dei francesi (in cui perse la vita il padre), gli fu dato il soprannome di Tartaglia, che accettò e utilizzò sempre per firmare le sue opere. Autodidatta, fu uno dei maggiori algebristi italiani del “500. È nota la sua formula risolutiva delle equazioni algebriche di terzo grado (precedentemente trovata e non pubblicata da Scipione Dal Ferro), che comunicò segretamente a Cardano. Questi la
pubblicò, nel 1545, nella opera Ars Magna, iniziando così una lunga disputa con
Tartaglia stesso (protrattasi per più di due anni). Nel 1543 Tartaglia pubblicò la prima traduzione in italiano degli Elementi di Euclide (con interessanti commenti) e,
successivamente, tradusse in latino e in italiano un’opera di Archimede. Scrisse un
trattato completo di matematica pura e applicata, che contiene regole di aritmetica,
algebra, geometria, fisica, e in cui si trova un accenno al cosiddetto triangolo di Tartaglia.
4
Matematico italiano, nato a Pavia nel 1501 e morto a Roma nel 1576. La sua
fama è legata principalmente al trattato Ars Magna, pubblicato nel 1545, in cui sono
contenute le formule risolutive, per mezzo di radicali, delle equazioni algebriche di
terzo e quarto grado.
5
Matematico italiano, nato a Bologna nel 1522 e ivi morto nel 1565). Giunto a 14
anni nella casa di Cardano a Milano per esserne il servitore, ma sapendo già leggere
e scrivere ne divenne il segretario. Scoprì tra la formula risolutiva delle equazioni di
quarto grado del tipo x4 + ax2 + b = ex, con a, b, e positivi e dimostrò le soluzioni
date da Cardano stesso delle equazioni cubiche ridotte dei tipi x3 + ax = bx2 e x3 +
ax2 = b. A soli 20 anni subentrò alla cattedra di insegnamento di Cardano e, nel frattempo, la sua capacità di risolvere problemi algebrici lo aveva reso famoso e anche
Introduzione
Introduzione
15
9
mite radicali delle equazioni generali di terzo e quarto grado e tutta la
materia venne poi sistemata e completata da un altro matematico italiano Rafael Bombelli6.
Scipione Dal Ferro
Niccolò Fontana
(Tartaglia)
Girolamo Cardano
Il periodo che va dalla pubblicazione dell’opera di Bombelli (1572) alla pubblicazione della Memoria “Rèflexions sur la rèsolution algèbrique des équations” (1770-71) di Joseph - Louis Lagrange7 può essere
considerato di transizione. In esso vengono determinati dei risultati
parziali legati alla risoluzione delle equazioni di grado superiore al
quarto.
relativamente ricco. Nel 1565 fu chiamato a insegnare matematica all’università di
Bologna, ma in quello stesso anno morì.
6
Matematico italiano, nato a Borgo Panigale (Bologna), nel 1526 e morto a Roma nel 1572 Quasi nulla si conosce sulla sua vita, tranne che scrisse un trattato algebrico, intitolato Algebra, che ebbe una grande diffusione. L’opera è divisa in tre
Libri in cui l’autore, insieme a risultati già acquisiti dai suoi predecessori, espose idee nuove e fondamentali per lo sviluppo dell’algebra. Per esempio, nelle ultime pagine del Libro I si trovano, per la prima volta, i numeri complessi con le rispettive
regole di calcolo.
7
Matematico nato a Torino nel 1736 e morto a Parigi nel 1813. Svolse inizialmente la sua attività nella città natale, insegnando Analisi, a soli 19 anni, alla Regia
Accademia di artiglieria e genio e dedicandosi a varie ricerche matematiche. Nel
1757 fondò con alcuni colleghi una società scientifica, che in seguito divenne
l’Accademia delle Scienze di Torino. Su proposta di J. Le Ronde d’Alembert e di
Eulero, nel 1766, fu chiamato da Federico II di Prussia a insegnare all’Accademia
delle Scienze di Berlino, proprio per sostituire Eulero; lì rimase fino al 1787. In seguito accettò l’invito del re Luigi XVI si trasferì a Parigi, dove divenne membro
dell’Académie des Sciences. Insegnò Analisi all’École Normale e all’École Polytechnique. Le sue lezioni furono raccolte in più volumi, uno dei quali, Théorie des
fonctions analytiques, divenne un classico: in esso Lagrange introduce la locuzione
16
10
N.Introduzione
H. Abel, la vita e le Memorie sull’equazioni algebriche
Tra i matematici più eminenti di questo periodo che si occuparono del
problema delle equazioni vanno ricordati: François Viète8, René Descartes9, Walter von Tschirnhaus10, Leonard Euler11, Etienne Bézout12.
di funzione derivata, il relativo simbolismo y = f ’(x), tuttora in uso. Alla sua morte
fu sepolto nel Pantheon di Parigi. Le sue ricerche sulla risoluzione delle equazioni
algebriche aprirono la strada ai successivi risultati di P. Ruffini, N. Abel ed E. Galois ed egli stesso congetturò che le equazioni polinomiali di grado superiore al
quarto non fossero risolubili per radicali.
8
Matematico francese, nato a Fontenay-le-Comte nel 1540 e morto a Parigi nel
1603. Figlio di un agiato procuratore, studiò diritto presso l'Università di Poitiers;
nel 1560 si iscrisse al Foro di Fontenay ed esercitò l'avvocatura. Nel 1571 era avvocato al Parlamento di Parigi e nel 1573 venne nominato consigliere al Parlamento
della Bretagna. Nel 1576 fu al servizio del re Enrico III e nel 1580 consigliere speciale di Enrico di Navarra, il futuro re Enrico IV. Notevoli sono i suoi contributi
all'aritmetica, all'algebra, alla trigonometria e alla geometria. È noto soprattutto per
l'introduzione di notazioni algebriche sintetiche.
9
Il nome italianizzato è Cartesio. Matematico francese, nato a La Haye nel 1596
e morto a Stoccolma (Svezia) nel 1650. All’età di otto anni, nel 1604, iniziò a frequentare il collegio di La Flèche, tenuto dai Gesuiti. Negli anni 1612-16 soggiornò
a Poitiers per seguire i corsi di giurisprudenza e conseguire la licenza in diritto canonico e civile. Dopo un soggiorno a Parigi, nel 1618 si trasferì a Breda (Olanda)
per arruolarsi, come volontario, dapprima nell'esercito di Maurizio di Nassau (principe di Orange) e poi in quello del duca di Baviera (1619), partecipando alla fase
boema e ungherese della guerra dei Trent'Anni. Dal 1623 intraprese una serie di
viaggi per la Germania, la Svezia, l'Olanda, la Svizzera e anche per l'Italia, dove soggiornò a Venezia, a Firenze e a Roma. Nel 1625 fece ritorno in Francia ed
ebbe modo di stringere amicizia con Padre M. Mersenne, un frate
dell’ordine dei Minimi e una delle figure di maggior spicco della cultura europea seicentesca. Nel 1629 si trasferì in Olanda e si dedicò esclusivamente a
comporre e a pubblicare le sue opere. Nel 1649 accettò l’invito della regina Cristina di Svezia e si recò a Stoccolma dove si ammalò di polmonite e morì. In La
Geometrie, l’unico libro di argomento matematico da lui scritto, espose le sue idee
sull’algebra e sulla geometria analitica, il nuovo ramo della matematica che aveva
fondato contemporaneamente a P. de Fermat. Oltre alla cosiddetta regola di Cartesio che lega i segni della radici reali di un’equazione alle permanenze e le variazioni dei segni dei coefficienti, le novità che Cartesio apportò in algebra consistono in
un uso sistematico delle sostituzioni, nell’uso di uguagliare a zero i termini
dell’equazione tutti posti in un unico membro e nella creazione di un simbolismo
efficiente, quale per esempio gli indici a esponente per indicare le potenze.
10
Matematico tedesco, nato a Kieslingswalde nel 1651 e morto a Dresda nel
1708. Nel 1668 iniziò a frequentare le lezioni di matematica, filosofia e medicina
presso l’Università di Leida. Viaggiò a lungo (nel 1674 visitò l’Inghilterra e successivamente si recò a Parigi) e fu in corrispondenza con tutti i maggiori matematici del
suo tempo. Nel 1682 fu nominato membro dell’Académie Royale di Parigi. Si dedi-
Introduzione
Introduzione
17
11
I continui insuccessi nella ricerca di formule risolutive per radicali
delle equazioni algebriche di grado uguale o superiore al quinto, fecero di questo uno dei problemi cruciali dell’algebra nella seconda metà
del Settecento. Non fu dunque per caso che verso il 1770 tre matematici, Edward Waring13, Alexandre-Théophil Vandermonde14,
cò alla teoria dei massimi e dei minimi e alla teoria delle equazioni, dove introdusse
le trasformazioni che portano il suo nome.
11
Matematico svizzero, nato a Basilea nel 1707 e morto a San Pietroburgo nel
1783. Inizialmente destinato, per volere del padre, a divenire un pastore protestante,
si indirizzò poi alla matematica, su consiglio di Johann Bernoulli, che, essendo stato
suo precettore, ne aveva scoperto il grande talento. Dopo che l’Università di Basilea
gli aveva negato la cattedra di fisica, accettò un incarico presso l’Accademia delle
Scienze di San Pietroburgo, dove, dopo pochi anni, divenne professore. Su invito di
Federico il Grande, si recò a Berlino, e qui, dal 1744 al 1766, curò la fondazione e
l’ampliamento dell’Accademia delle Scienze. È autore di centinaia di saggi sugli argomenti più vari: geometria, calcolo differenziale ed integrale, aritmetica, serie numeriche, equazioni algebriche, meccanica, ottica, astronomia, cartografia e musica.
Continuò a lavorare fino in tarda età, nonostante la totale cecità che lo colse nel
1771.
12
Matematico francese, nato a Nemours nel 1730 e morto a Les Basses-Loges (nella parrocchia di Avon) nel 1783). Le sue ricerche sulle curve piane e le loro intersezioni gli valsero a ventotto anni l’entrata all’Académie des Sciences di Parigi. Divenne insegnante di matematica ed esaminatore delle Guardie di Marina e successivamente del Corpo di Artiglieria. Il suo nome è principalmente legato ai suoi lavori
sulle equazioni algebriche e i suoi risultati in questo campo vennero raccolti nel trattato Théorie générale des équations algébraiques (1779). I esso si trova il teorema
di Bézout (che afferma che due curve algebriche di grado (rispettivamente) m ed n si
intersecano in generale in m·n punti) per il quale è rimasto principalmente famoso.
Formulò anche l'identità di Bézout per polinomi.
13
Matematico inglese, nato a Old Heath nel 1736 e morto a Pontesbury nel 1798.
A soli 23 anni gli fu conferita la prestigiosa cattedra Lucasiana di matematica a
Cambridge, e a 27 anni venne eletto membro della Royal Society. I suoi principali
risultati riguardano la risoluzione delle equazioni algebriche, in cui anticipò parzialmente l’approccio di Galois, e la teoria dei numeri, in cui formulò una famosa congettura che porta il suo nome, la quale fu dimostrata da Hilbert nel 1909, ed è ancor
oggi oggetto di studio: ogni numero intero positivo si può scrivere come somma di
un numero fissato di potenze n-esime, numero che dipende solo da n.
14
Matematico francese, nato a Parigi nel 1735 e ivi morto nel 1796. Collaborò con
E. Bézout e A. Lavoisier. Si dedicò alla matematica a partire dal 1770 e, l’anno successivo, fu ammesso all’Académie des Sciences di Parigi. Il suo scritto Mémoire sur
la résolution des équations (1771), riguarda le funzioni simmetriche e la risoluzione
dei polinomi ciclotomici. Un altro suo lavoro dal titolo Mémoire sur l'élimination
(1772) tratta i fondamenti della teoria dei determinanti.Il suo nome è associato a un
particolare determinante (determinante di Vandermonde).
18
12
N.Introduzione
H. Abel, la vita e le Memorie sull’equazioni algebriche
René Descartes
(Cartesio)
François Viète
Leonard Euler
Walter von Tschirnhaus
Etienne Bézout
Introduzione
Introduzione
Edward Waring
Joseph-Louis Lagrange
19
13
Augustin-Louis Cauchy
Joseph-Louis Lagrange, all’insaputa l’uno dell’altro, pubblicarono
quasi contemporaneamente i loro risultati sulla difficile questione. Dei
tre quello che ha influenzato le ricerche successive sulla teoria delle
equazioni algebriche è stato Lagrange.
L’importanza del suo contributo risiede soprattutto nelle sue intuizioni, secondo le quali nello studio delle equazioni algebriche è necessario esaminare certe espressioni razionali delle radici e studiare le loro
proprietà collegate alle permutazioni delle stesse radici. Queste idee di
Lagrange e i successivi lavori sulle permutazioni di Augustin-Louis
Cauchy15 diedero la spinta alla dimostrazione prodotta da Paolo Ruffini16 dell’impossibilità di risolvere per radicali le equazioni di quinto
grado e di grado superiore.
15
Matematico francese, nato a Parigi nel 1789 e morto a Sceaux nel 1857. Fondatore della moderna Analisi matematica, a lui si devono le prime moderne definizioni
di limite, di continuità (come limite), di infinitesimo e di infinito, di integrale. Sviluppò i criteri di convergenza per le serie che portano il suo nome. Membro
dell’Accademia delle Scienze di Parigi e professore di Analisi all’École Polythecnique, Cauchy dopo la Rivoluzione del Luglio1830 fu costretto a lasciare tutti gli incarichi e ad abbandonare la Francia perché, da convinto realista, si era rifiutato di prestare giuramento al nuovo sovrano Luigi Filippo d’Orleans, non riconoscendone la
legittimità. Soggiornò in Italia e, su invito del re di Sardegna Carlo Alberto di Savoia, insegnò Fisica matematica all’Università di Torino. Nel 1833 si recò a Praga
per fare da precettore al nipote di Carlo X di Borbone. Fece quindi ritorno in Francia
nel 1838, chiamato per riprendere il posto all’Accademia, ma per dieci anni rinunciò
all’insegnamento, sempre perché si rifiutava di prestare giuramento al re Luigi Filippo.
16
Matematico italiano, nato a Valentano nel 1765 e morto a Modena nel 1822.
Compì gli studi universitari presso l’Università di Modena e in questa Università, il
20
14
N.Introduzione
H. Abel, la vita e le Memorie sull’equazioni algebriche
Questa dimostrazione che si presenta in qualche punto lacunosa, non
venne presa in considerazione né da Lagrange né da altri membri
dell’Académie des Sciences di Parigi. Solo Cauchy riconobbe
l’importanza dei lavori del matematico italiano, ma lo fece privatamente in una lettera allo stesso Ruffini e non pubblicamente.
A rendere comprensibile il ragionamento di Ruffini e a colmare
un’importante lacuna presente nel suo lavoro ci pensò Abel che, indipendentemente da Ruffini, diede di questa impossibilità una dimostrazione chiara, corretta e completa. Il Teorema di Ruffini-Abel da una
parte mise fine alla ricerca di una formula risolutiva radico-razionale
per l’equazione generale di grado superiore al quarto, dall’altra parte
pose però un nuovo problema, quello di trovare tutti i tipi di equazioni che si risolvono tramite i radicali. Si trattava di una questione molto
complicata che s’impose all’attenzione dei matematici perché esistono
particolari equazioni di grado superiori al quarto che sono risolubili
, in
per radicali. Son tali le cosiddette equazioni binomie (
considerate da Carl
particolare l’equazioni ciclotomiche (
Friedrich Gauss17 in relazione alla costruibilità con riga e compasso
dei poligoni regolari) e le più generali equazioni abeliane (così chiamate su proposta di Kronecker18 e Jordan19), in cui ciascuna radice si
può ottenere con un’operazione razionale applicata a una sola di esse e
queste operazioni sono permutabili tra loro. Ma sono state le idee di
Évariste Galois20 a fornire una teoria nuova e originale, che contiene
le condizioni necessarie e sufficienti affinché un’equazione sia risolubile per radicali.
15 ottobre 1788, ottenne la cattedra di Istituzioni Analitiche. Venne escluso dall'insegnamento per aver rifiutato di prestare giuramento alla Repubblica cisalpina. Soppressa l'Università di Modena, passò a insegnare al Ginnasio. Dopo la caduta di Napoleone, Francesco IV istituì di nuovo l’Università di Modena e Ruffini non solo
riprese ad insegnarvi, ma ne divenne anche Rettore. Una delle sue opere è la Teoria
generale delle equazioni.
17
Matematico tedesco, nato a Braunschweig nel 1777 e morto a Gottinga nel
1855. È uno dei più grandi matematici di tutti i tempi. Professore e direttore
dell’osservatorio astronomico di Gottinga, indirizzò le sue ricerche verso tutti i rami
della matematica, della fisica e dell’astronomia. Nel 1799 interpretò geometricamente il teorema fondamentale dell’algebra, fornendone anche varie dimostrazioni rigorose. Nel trattato Disquisitiones arithmeticae (1801) espose in modo completo e organico la Teoria dei numeri. S’interessò allo studio delle superfici introducendo le
coordinate curvilinee e stabilendo dei teoremi sulla curvatura totale di una superfi
cie. Fu il primo a costruire una geometria non-euclidea, ma non pubblicò niente di
Introduzione
Introduzione
Paolo Ruffini
Carl Friedrich
Gauss
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Évariste Galois
queste sue ricerche. Diede una rappresentazione geometrica dei numeri complessi,
conferendo ad essi la prima sistemazione organica.
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Matematico tedesco, nato a Lignitz nel 1823 e morto a Berlino nel 1891. Compì
gli studi presso l’Università di Berlino, dove nel 1845 conseguì il dottorato con una
tesi sulla teoria dei numeri algebrici. Nel 1861 divenne membro dell’Accademia di
Berlino. Dal 1883 insegnò all’Università di Berlino. Contemporaneamente a Hermite, trovò la soluzione delle equazioni di quinto grado mediante le funzioni ellittiche.
Diede contributi significativi in algebra relativamente ai concetti di campo di razionalità e di campo d’integrità, con i quali venne precisato ed esteso il concetto di irriducibilità di una equazione algebrica
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Matematico francese nato a Lione, Francia nel 1838 e morto a Parigi nel 1922.
Frequentò l’École Polytechnique, dove in seguito ebbe l’incarico di professore. Dal
1881 fu membro dell’Istitut de France e dal 1897 fino al giorno della sua morte diresse il Journal des Mathématiques pures et appliqueés di Liouville. Riuscì a cogliere la profondità del pensiero di E. Galois e alla teoria di Galois dedicò pregevoli
memorie e il monumentale Traité des Substitutions et des Equations algébriques
(1870). Definì in modo parametrico una curva piana e diede la definizione generale
di area di una figura.
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Matematico francese, nato a Bourg-la-Reine nel 1811 e morto a Parigi nel 1832.
La sua vita fu tormentata da drammi personali, come il suicidio del padre, il duplice
insuccesso all'esame di ammissione all'École Polytechnique, l’esperienza della prigione per motivi politici e anche un amore infelice. La sua fu una vita molto breve,
ma intensa finita tragicamente con una morte violenta in seguito alle gravi ferite riportate in un duello, i cui motivi non sono stati mai chiariti. L’opera principale di
Galois è un lavoro intitolato Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, scritto più volte e mai pubblicato quando l’autore era in vita,
contenente un criterio generale per la risolubilità per radicali di un’arbitraria equazione algebrica. Gli invii del maggio 1829 a A. Cauchy e del febbraio 1830 a J. Fourier non ebbero seguito, una terza versione del 1831 venne respinta a seguito del
giudizio negativo espresso da S. Lacroix e S. Poisson. La Memoria venne pubblicata
per la prima volta nel 1846 da J. Liouville nel suo Journal de Mathématiques, insieme ai principali lavori di Galois, i cui manoscritti gli erano stati affidati da A.
Chevalier, amico fraterno del giovane matematico.