Programma a.a. 2010-2011

Modulo Geometria (6cfu) Docente del Corso Prof.ssa Vittoria Bonanzinga
Programma a.a. 2010-2011
Sistemi lineari e matrici (2 crediti)
Sistemi di equazioni lineari. Sistemi lineari omogenei.
Matrici. Matrici diagonali, simmetriche e antisimmetriche. Matrice trasposta. Matrici
triangolari. Matrice ridotta per righe.
Riduzione per righe di una matrice. Sistemi lineari equivalenti. Sistemi lineari ridotti.
Risoluzione dei sistemi di equazioni lineari. Metodo di Gauss-Jordan.
Prodotto di matrici. Matrici invertibili.
Proprietà del prodotto: associativa, distributiva rispetto all’addizione, matrice trasposta di
un prodotto di matrici; matrice inversa di un prodotto di matrici.
Rango di una matrice.
Determinanti. Regola di Sarrus. Teorema di Laplace.
Calcolo dei determinanti e proprietà.
Determinanti e matrici invertibili.
Matrice aggiunta. Inversa di una matrice con il metodo di riduzione, con il metodo della
matrice aggiunta.
Complementi ed applicazioni: Regola di Cramer, Minore di una matrice. Teorema di
Kronecher. Sistemi lineari parametrici.
Equazioni matriciali per il calcolo dell’inversa di una matrice.
Spazi vettoriali, Applicazioni lineari, Prodotti scalari (2 crediti)
Definizione ed esempi di spazi vettoriali: L’insieme delle n-uple. Lo spazio delle matrici. Lo
spazio dei polinomi. Sottospazi. L’insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo
è un sottospazio.
Operazioni con i sottospazi: somma, intersezione, unione e somma diretta. Criterio per la
somma diretta di due sottospazi. Sottospazi supplementari. L’insieme delle matrici
quadrate di ordine n è la somma diretta del sottospazio delle matrici simmetriche di ordine
n e del sottospazio dell’insieme delle matrici antisimmetriche di ordine n. Combinazione
lineare di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale.
Sistemi di vettori linearmente indipendenti. Criterio per la lineare indipendenza dei vettori.
Spazi vettoriali di dimensione finita.
Generatori e basi di uno spazio vettoriale. Metodo del completamento e metodo degli
scarti per la determinazione di una base.
Basi canoniche. Componenti di un vettore e cambiamenti di base. Teorema sulla
dimensione di un sottospazio. Formula di Grassmann.
Applicazioni lineari : definizione ed esempi.
Nucleo ed immagine di un’applicazione lineare.
Applicazioni lineari e matrici. Applicazioni lineari iniettive, suriettive e biunivoche.
Isomorfismi. Criterio di iniettività. Un’applicazione lineare F.VW è individuata
univocamente dalle immagini dei vettori di una base di V. Teorema sui generatori
dell’immagine di un’applicazione lineare. Teorema della dimensione.
Composizione tra due applicazioni lineari e matrice associata. Traccia di una matrice.
Matrici simili. Controimmagine di un vettore. Applicazioni lineari parametriche.
Autovalori e autovettori. Molteplicità di un autovalore.
Polinomio caratteristico. Diagonalizzazione. Endomorfismi semplici. Teorema sulla
dimensione degli autospazi. Autovettori non nulli relativi ad autovalori distinti sono
linearmente indipendenti. Matrici ortogonali e ortogonalmente diagonalizzabili.
Spazi vettoriali euclidei.
Prodotti scalari e matrici simmetriche.
Perpendicolarità e basi ortogonali. Norma di un vettore, normalizzato di un vettore.
Procedimento di Gram-Schmidt per la determinazione di una base ortonormale.
Basi ortonormali e matrici ortogonali. Endomorfismi parametrici. Endomorfismi di spazi
vettoriali di polinomi e di spazi vettoriali di matrici.
Geometria del piano cartesiano (1 credito)
Sistemi di riferimento. Coordinate cartesiane e polari nel piano.
Rette del piano cartesiano. Equazione cartesiana: implicita ed esplicita. Forma
parametrica. Coefficiente angolare e parametri direttori. Passaggio da equazioni
parametriche a cartesiane e viceversa. Retta per due punti, retta per un punto e parallela
(oppure perpendicolare) ad una data retta, proiezione ortogonale di un punto su una retta,
distanza punto-retta. Distanza tra due rette parallele, punto medio di un segmento. Punti
simmetrici rispetto ad un centro e rispetto ad una retta.
Intersezioni. Condizioni di parallelismo e ortogonalità.
Fasci di rette.
Trasformazioni del piano cartesiano: traslazioni, rotazioni e rototraslazioni.
Circonferenze. Retta tangente in un punto appartenente ad una circonferenza. Rette
tangenti ad una circonferenza da un punto esterno al cerchio. Fasci di circonferenze. Asse
radicale.
Coniche. Forme canoniche.
Classificazione affine delle coniche. Centro di una conica. Teorema sugli asintoti di
un’iperbole anche in forma non canonica.
Riduzione a forma canonica delle coniche. Fasci di coniche.
Geometria dello spazio cartesiano (1 credito)
Sistemi di riferimento. Coordinate cartesiane e polari nello spazio.
Punti, rette e piani dello spazio cartesiano. Parametri direttori di una retta nello spazio.
Parametri di giacitura di un piano. Equazioni cartesiane e parametriche di una retta. Retta
per due punti, retta per un punto e parallela ad una retta, retta per un punto e
perpendicolare ad un piano. Passaggio da equazioni parametriche a cartesiane e
viceversa. Piano per tre punti non allineati. Piano per un punto e parallelo ad un piano
dato, proiezione ortogonale di una retta su un piano. Distanza punto-piano, distanza tra
due rette sghembe.
Intersezioni. Mutue posizioni di rette e piani nello spazio. Condizioni di parallelismo e
ortogonalità.
Fasci di piani.
Trasformazioni dello spazio cartesiano: traslazione, rotazione e rototraslazione.
Sfere e circonferenze. Intersezioni sfera-piano: piano secante, piano tangente, piano
esterno ad una sfera. Equazione cartesiana del piano tangente ad una sfera in un suo
punto. Fasci di sfere. Piano radicale.
Quadriche: definizione. Quadriche degeneri e non degeneri. Coni e cilindri. Classificazione
affine delle quadriche.
Forme canoniche.
Riduzione a forma canoniche delle quadriche.
Testi di riferimento
1. F. Flamini, A. Verra ``Matrici e vettori. Corso di base di Geometria e Algebra
Lineare."; Carocci Editore, Collana: LE SCIENZE , (2008) pp. 380. Pagina Web
della casa Editrice e del Testo
2. S. Greco, P. Valabrega, “Lezioni di geometria, Algebra lineare” vol. I, Levrotto&
Bella, Torino.
3. S. Greco, P. Valabrega, “Lezioni di geometria, Geometria Analitica,” vol. II,
Levrotto& Bella, Torino.
4. M. Stoka, “Corso di Geometria” per le Facoltà di Ingegneria, CEDAM.
5. N. Chiarli, S. Greco, P. Valabrega, “100 Pagine di…Algebra lineare” Levrotto&
Bella, Torino.
6. N. Chiarli, S. Greco, P. Valabrega, “100 Esercizi di…Algebra lineare” Levrotto&
Bella, Torino.
7. M. Stoka, V. Pipitone, “Esercizi e problemi di Geometria”, CEDAM
Program 2010-2011
Linear systems and matrices (2 credits)
Systems of linear equations. Homogeneous linear systems. Matrices. Diagonal matrices,
symmetric and skew- symmetric matrices. Transpose matrix. Triangular matrices. Row
operations. Matrix in row reduced form.
Row reduction of a matrix. Equivalent linear systems. Reduced linear systems.
Solving of systems of linear equations. Gauss-Jordan method.
Product of matrices. Invertible matrices.
Properties of the product: associative, distributive with respect to the sum, transpose matrix of a
product of matrices; inverse matrix of a product of matrices.
Rank of a matrix.
Determinants. Rule of Sarrus. Laplace theorem.
Computation of determinants and properties.
Determinants and invertible matrices.
Adjugate matrix. Inverse of a matrix with the reduction method and with the method of the adjugate
matrix.
Complements and applications: Cramer’s rule , minor of a matrix. Kronecher theorem. Parameter
linear systems.
Matrix equations for the computation on the inverse of a matrix.
Vector spaces, linear maps, scalar products (2 credits)
Definition and examples of vector spaces. The set of n-uples. Matrix space. Polynomial space.
Subspaces. The set of the solutions of a homogeneous linear system is a subspace.
Operations with subspaces: sum, intersection, union and direct sum. Criterion for the direct sum of
two subspaces. Complementary subspaces. The set of square matrices of order n is the direct sum
of the subspace symmetric matrices of order n and the subspace of the set of skew symmetric
matrices of order n. Linear combination of a set of vectors of a vector space.
Systems of linearly independent vectors. Criterion of linear independence of the vectors. Vector
spaces of finite dimension.
Generators and bases of a vector space. Extending to a basis. Discard method to determine a basis.
Standard bases. Components of a vector and changes of basis. Theorem of dimension of a
subspace. Grassman formula.
Linear maps: definition and examples. Kernel and image of a linear map.
Linear maps and matrices. Injective, surjective and bijective linear maps. Isomorphisms. Criterion
of injectivity. A linear map is unequivocally identified by the images of the vectors of a basis of V.
Theorem on the generators of the image of a linear map. Dimension theorem.
Composition of two linear maps and associated matrices. Trace of a matrix. Similar matrices.
Counter image of a vector. Parametric linear maps.
Eigenvalue and eigenvectors. Algebraic and geometric multiplicity of an eigenvalue.
Characteristic polynomial. Diagonalization of a matrix and diagonalizable endomorphisms.
Theorem on the dimension of eigenspaces. Non-zero eigenvectors associated to distinct
eigenvector are linearly independent. Orthogonal and orthogonally diagonalizable matrices.
Euclidean vector spaces. Scalar products and symmetric matrices.
Perpendicularity and orthogonal bases. Norm of a vector, normalized vector. Gram-Schmdit
process to determine an orthonormal basis.
Orthonormal bases and orthogonal matrices. Parametric endomorphisms. Endomorphisms of
polynomial vector spaces and of matrix vector spaces.
Geometry of the Cartesian plane
(1 credit)
Reference systems. Cartesian coordinates and polar coordinates in the plane.
Lines of Cartesian plane. Cartesian equation; implicit and explicit. Parametric form. Slope of a line
and components of a vector parallel to the line. Passage from parametric equations to Cartesian
equations and vice versa. Line for two points, line for a point and parallel (or perpendicular) to a
given line, orthogonal projection of a point on a line, distance point-line. Distance between two
parallel lines, mid-point of a segment. Symmetric points with respect to a center and with respect to
a line.
Intersection. Conditions of parallelism and orthogonality.
Sheaves of lines.
Transformations of Cartesian plane: translations, rotations and rototranslations.
Circles. Tangent line in a point of a circle. Tangent lines to a circle from an external point.
Sheaves of circles. Radical axis.
Conics. Canonical forms.
Affine classification of conics. Center of a conic. Theorem on asymptotes of hyperbole, also in
non-canonical form. Reduction to a canonical form of conics. Sheaves of conics.
Geometry of Cartesian space (1 credit)
Reference systems. Cartesian and polar coordinates in space.
Points, lines and planes of Cartesian space. Direction parameters of a line in space. Meaning of the
coefficients in the equation of a plane. Cartesian and parametric equations of a line. A line for two
points, line for a point and parallel to a line, line for a point and perpendicular to a plane. Passage
from parametric equation to Cartesian and vice versa. Plane for three non-aligned points. Plane for
a point and parallel to a given plane, orthogonal projection of a line on a plane. Distance pointplane. Distance between two skew lines. Intersections. Mutual positions of lines and planes in the
space. Parallelism and orthogonality conditions. Sheaves of plane.
Transformations of the Cartesian space: translation, rotation and rototranslation.
Spheres and circles. Intersections sphere-plane: secant plane, tangent plane, external plane to a
sphere. Cartesian equation of the tangent plane to a sphere in a point. Sheaves of spheres. Radical
plane.
Quadrics: definition. Non-degenerate and degenerate quadrics. Cones and cylinders. Affine
classification of quadrics.
Canonical forms.
Reduction to canonical form of quadrics.
References
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
Greub, Werner (1975), Linear Algebra (4th ed.), Springer.
W.W. Sawyer, An Engineering approach to Linear Algebra, Cambridge University Press,
(2008).
J. W. Harris, H. Stocker, Handbook of Mathematics and Computational Science, 1998,
Springer.
Stillwell, John (2004). "Analytic Geometry". Mathematics and its History (Second Edition
ed.). Springer Science Business Media Inc. ISBN 0387953361.