UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO
Facoltà di Ingegneria
Corso di Economia e Organizzazione Aziendale
prof.ssa Maria Sole Brioschi
TAN, TAE e TAEG
DLP-L Addendum
Corso 20085 – Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Edile – Anno Accademico 2012/2013
TAN, TAE e TAEG
Economia e Organizzazione Aziendale
A.A. 2012/ 2013
Matematica finanziaria
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (1)
• Tasso Annuo Nominale (TAN) e Tasso Annuo Effettivo (TAE)
I tassi di interesse sono solitamente indicati su base annua, ma la
liquidazione degli interessi può avvenire più di una volta all’anno e quindi
restituire un interesse effettivo (TAE) diverso da quello nominale (TAN)
• Esempio
– Si considerino le condizioni contrattuali offerte da due istituti bancari
diversi per l’apertura di un conto corrente
– La banca A offre queste condizioni : tasso attivo r del 4% con
liquidazione degli interessi annuale
– La banca B offre lo stesso tasso ma con liquidazione degli interessi
semestrale
– Si ipotizzi di depositare € 100 in due c/c aperti presso le due banche
Fonte: “Finanziare le risorse dell’impresa”, Giudici
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (2)
– Nel primo caso dopo un anno sarà possibile liquidare il conto ritirando
€ 104
– Nel secondo caso, invece, sarà possibile ritirare già dopo sei mesi la
frazione degli interessi relativa al primo semestre – e cioè € 2 (la metà
degli interessi pari al 4%) – mentre a fine anno saranno liquidati sul
conto anche gli interessi relativi al secondo semestre (altri € 2) più il
capitale iniziale
104
102
2
t=0
100
t=1
t=0
t=1/2 t=1
100
Banca A
Banca B
– Calcoliamo i rendimenti effettivi TAE A e TAE B offerti dalle due banche
Fonte: “Finanziare le risorse dell’impresa”, Giudici
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (3)
– Esse devono soddisfare le seguenti relazioni
–
100 =
–
100 =
104
1 + TAE A
2
(1 + TAE B )1 / 2
da cui TAE A = 4%
+
102
1 + TAE B
da cui TAE B = 4,04%
– La seconda banca offre dunque condizioni migliori. Infatti, il tasso di
rendimento annuale del 4% con interessi composti ogni 6 mesi
corrisponde ad un rendimento implicito del 4,04%
– Allo stesso risultato potremmo arrivare ipotizzando, nel caso del conto
aperto presso la banca B, di non incassare gli interessi pagati dopo 6
mesi, ma di lasciarli sul conto, e ritirare il montante alla scadenza
successiva
Fonte: “Finanziare le risorse dell’impresa”, Giudici
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (4)
– In tal caso, gli interessi maturati dopo 6 mesi (€ 2) genereranno a loro
volta interessi, pari a € 0,04, ovvero il 4% di € 2 diviso 2 (visto che
rimangono sul conto solo per altri 6 mesi)
2+2+0,04+100
2
t=0
t=1/2
100
t=1
Banca B
– Seguendo questa strategia, il rendimento effettivo TAE B sarà pari a
– 100 = 104,04
1 + TAE B
da cui ancora TAE B = 4,04%
Fonte: “Finanziare le risorse dell’impresa”, Giudici
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (5)
• La lezione è che non si possono confrontare direttamente tassi di interesse
con diversi regimi di capitalizzazione, anche se relativi alla stessa scadenza
• Inoltre, da quest’ultimo esempio si vede chiaramente che il metodo
dell’attualizzazione dei flussi di cassa ipotizza implicitamente il
reinvestimento dei flussi di cassa intermedi alle stesse condizioni
contrattuali di remunerazione … altrimenti non avrebbe alcun valore
percepire un flusso finanziario prima della scadenza. E’ necessario quindi
individuare un TAE che renda confrontabili i diversi regimi di
capitalizzazione
• In generale, componendo m volte all’anno con un TAN pari a r, si ha
TAE = (1 + r/m)m – 1
TAN = r = m * [ (1 + TAE)1/m - 1 ]
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo (6)
• Esempio
Se il TAN = 10%, si ottiene con
–
Composizione semestrale
TAE = (1 + 0,1/2)2 – 1 = 10,25%
– Composizione mensile
TAE = (1 + 0,1/12)12 - 1= 10,47%
– Composizione settimanale
TAE = (1 + 0,1/52)52 - 1= 10,51%
• Esempio
Se ad un prestito è associato un TAN del 16%, qual è il tasso annuo effettivo
con rimborsi su base semestrale?
TAE = (1 + r/m)m – 1 = (1 + 0,16/2) 2 – 1 = 0,1664 o 16,64%
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo globale (1)
• La necessità di definire un ‘rendimento equivalente’ per confrontare diversi
finanziamenti con diverso regime di capitalizzazione degli interessi ha
spinto la Commissione Europea a rendere obbligatoria la pubblicazione del
tasso annuo effettivo globale (TAEG), in contrapposizione al TAN, ogni
qual volta venga proposto un finanziamento
• Il TAN corrisponde al tasso di interesse semplice, mentre il TAEG è un
tasso effettivo che tiene conto non solo
– della composizione degli interessi, ma anche
– delle spese accessorie (come ad esempio diritti e spese di apertura
pratica) che gravano sul consumatore
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo globale (2)
• Esempio
Si calcoli il TAEG di un finanziamento per l’acquisto di un motorino pari a
€ 2.500 su 5 anni, rimborsabili con rate trimestrali costanti. Il TAN è pari al
5% e le spese accessorie per avviare la pratica sono pari a € 20
– Se non ci fossero spese accessorie, il finanziamento (in base alle formule
precedenti) comporterebbe un TAE pari a
4
TAN
TAE = 1 +
− 1 = 5,0945%
4
– La rata trimestrale R comprenderà una quota-parte relativa al
pagamento degli interessi e una quota-parte relativa alla restituzione
del finanziamento : essa dovrà soddisfare la relazione
5
2500 =
t =1 / 4 step1 / 4
Valore del finanziamento erogato
R
∑ (1 + TAE )
t
da cui R = € 142,051
Somma dei flussi di pagamento trimestrali attualizzati al TAE
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Tasso annuo nominale e tasso annuo effettivo globale (3)
– Per calcolare il TAEG è sufficiente individuare il tasso che soddisfa la
seguente relazione
2500 − 20 =
5
R
∑ (1 + TAEG )
t =1 / 4 step1 / 4
t
– In pratica, il finanziamento al netto delle spese accessorie deve essere
uguale al valore attuale delle rate future corrisposte ad ogni trimestre
per i prossimi 5 anni, attualizzato al costo effettivo globale del capitale
– Facendo i conti si ottiene un TAEG = 5,429%
– Si noti che è TAEG (> TAE) > TAN per il doppio effetto della
composizione anticipata degli interessi e delle spese accessorie al
finanziamento
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