Matematica Discreta I - Matematica e Informatica

Matematica Discreta
Lezione del giorno 14 gennaio 2011
Sviluppo della potenza di un binomio secondo Newton
Vedremo ora un’altra interessante applicazione del Principio di induzione.
Se a,b sono numeri reali >0, sono ben note le formule per calcolare il quadrato e il cubo del binomio
(a+b):
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
Esaminando la riga numero 2 e la riga numero 3 del triangolo di Tartaglia-Pascal, possiamo scrivere
le precedenti formule anche nel modo seguente:
 2
 2
 2
(a+b)2 =   a2+   ab+   b2
0
1 
 2
3
 3
3 
 3
(a+b)3 =   a3+   a2b+   ab2+   b3
0
1 
 2
 3
Queste formule sono un caso particolare di una formula generale (dovuta a Newton) che permette di
calcolare (per ogni numero naturale n) la potenza (a+b)n, considerando tutti i prodotti delle potenze
di base a per le potenze di base b (in cui gli esponenti di a decrescono da n a 0 e quelli di base b
crescono da 0 a n), moltiplicando tali prodotti ordinatamente per gli elementi della riga numero n
del triangolo di Tartaglia-Pascal e sommando i risultati:
n
n
n
 n  2 n-2  n  n-1  n  n
 a b + 
 ab +   b
(a+b)n =   an+   an-1b+   an-2b2+……+ 
0 
1 
2
 n - 2
 n - 1
n
Dimostrazione della formula di Newton:
Si usa il principio di induzione. Per n=1 la formula dà l’eguaglianza:
1 
1
(a+b)1=   a1+   b1
1
0
1  1
che é banalmente vera in quanto   =   =1 .
 0  1
Supponiamo vera la formula per n, e dimostriamola vera per n+1: la tesi è dunque la seguente
 n  1 n+1  n  1 n  n  1 n-1 2
 n  1 2 n-1  n  1 n  n  1 n+1
 a + 
 a b+ 
 a b +……+ 
 a b + 
 ab + 
 b
(a+b)n+1 = 
(*)
0 
1 
2 
 n -1 
n 
 n  1
Sfruttiamo l’identità (a+b)n+1=(a+b)(a+b)n e l’ipotesi che la formula è vera per n, ottenendo, per la
proprietà distributiva:
(a+b)n+1=(a+b)n(a+b)=
n
n
n
 n  2 n-2  n  n-1  n  n
 a b + 
 ab +   b ]=
=(a+b)[   an+   an-1b+   an-2b2+……+ 
0 
1 
2
 n - 2
 n - 1
n
n
n
n
 n  3 n-2  n  2 n-1  n  n
 a b + 
 a b +   ab +
=   an+1+   anb+   an-1b2+……..…+ 
0 
1 
2
 n - 2
 n - 1
n
n
n
n
 n  2 n-1  n  n  n  n+1
 a b + 
 ab +   b =
+   anb+   an-1b2+   an-2b3+…………+ 
0 
1 
2
 n - 2
 n - 1
n
n
n n
n n
n n 
n
 ] abn+   bn+1
=   an+1+[   +   ] anb+[   +   ] an-1b2+.......+[   + 
0 
1   0 
 2  1 
 n   n - 1
n
n
 n  1
 ,
e si ottiene, come si voleva, il secondo membro della (*), tenendo conto che   =1= 
0 
0 
n
 n  1
 n   n - 1   n - 1
  =1= 
 , ed applicando la formula (già dimostrata)   = 
 + 
 (da cui si ottiene
n
 n  1
 m   m - 1  m 
 n  1  n   n 
 =   +   ; poi sostituendo n con n+1 ed con 2:
sostituendo n con n+1 ed m con 1: 
1   0   1 
 n  1  n   n 

 =   +   etc…).
 2  1   2 
Esempio: per calcolare la quarta e la quinta potenza del binomio a+b, basta utilizzare le righe
numero 4 e 5 del triangolo di Tartaglia-Pascal ottenendo le seguenti formule:
(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
(a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
Algoritmo della divisione fra i numeri naturali.
E’ ben noto che, dati 2 numeri interi positivi, si possa “dividere” il primo (dividendo) per il secondo
(divisore) trovando un “quoziente” e un “resto”.
Dimostreremo formalmente tale proprietà:
Teorema dell’algoritmo della divisione.
Comunque dati 2 numeri naturali a,b (detti rispettivamente “dividendo” e “divisore”), esistono due
numeri interi q,r0 (detti rispettivamente ”quoziente” e “resto”) tali che a=bq+r con r<b.
Inoltre q,r sono unici.
Dimostrazione:
Dimostrazione dell’esistenza di q,r: si consideri l’insieme di tutte le differenze della forma a-bx,
con x che varia fra gli interi 0, limitandosi a quelle differenze che danno un risultato 0:
S = { z / z=a-bx, con x intero 0, e con z 0 }
L’insieme S è non vuoto: infatti almeno la differenza a-b0=a è elemento di S, perché a>0.
Possiamo osservare che S contiene certamente un elemento minimo: infatti se S non contiene lo 0
allora S è sottoinsieme di N ed S contiene un elemento minimo per l’Assioma del minimo; se
invece S contiene lo 0, è ovvio che 0 è il suo minimo. Sia dunque s il minimo in S. Per costruzione
di S si ha che s è un intero 0, ed inoltre s=a-bx con x intero 0. Da cui a=bx+s, e basta scegliere
r=s e q=x per avere l’esistenza di q ed r. Resta però da verificare che r<b: se per assurdo fosse rb,
si avrebbe r-b0, r-b=(a-bq)-b=a-b(q+1), con q+10 (perché q=x0) dunque il numero r-b sarebbe
una delle differenze che appartengono ad S; ma si avrebbe anche r-b<r (perché b>0),
contraddizione perché r è il minimo in S.
La dimostrazione dell’unicità di q,r sarà svolta nella prossima lezione.