Matematica Discreta Lezione del giorno 14 gennaio 2011 Sviluppo della potenza di un binomio secondo Newton Vedremo ora un’altra interessante applicazione del Principio di induzione. Se a,b sono numeri reali >0, sono ben note le formule per calcolare il quadrato e il cubo del binomio (a+b): (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 Esaminando la riga numero 2 e la riga numero 3 del triangolo di Tartaglia-Pascal, possiamo scrivere le precedenti formule anche nel modo seguente: 2 2 2 (a+b)2 = a2+ ab+ b2 0 1 2 3 3 3 3 (a+b)3 = a3+ a2b+ ab2+ b3 0 1 2 3 Queste formule sono un caso particolare di una formula generale (dovuta a Newton) che permette di calcolare (per ogni numero naturale n) la potenza (a+b)n, considerando tutti i prodotti delle potenze di base a per le potenze di base b (in cui gli esponenti di a decrescono da n a 0 e quelli di base b crescono da 0 a n), moltiplicando tali prodotti ordinatamente per gli elementi della riga numero n del triangolo di Tartaglia-Pascal e sommando i risultati: n n n n 2 n-2 n n-1 n n a b + ab + b (a+b)n = an+ an-1b+ an-2b2+……+ 0 1 2 n - 2 n - 1 n Dimostrazione della formula di Newton: Si usa il principio di induzione. Per n=1 la formula dà l’eguaglianza: 1 1 (a+b)1= a1+ b1 1 0 1 1 che é banalmente vera in quanto = =1 . 0 1 Supponiamo vera la formula per n, e dimostriamola vera per n+1: la tesi è dunque la seguente n 1 n+1 n 1 n n 1 n-1 2 n 1 2 n-1 n 1 n n 1 n+1 a + a b+ a b +……+ a b + ab + b (a+b)n+1 = (*) 0 1 2 n -1 n n 1 Sfruttiamo l’identità (a+b)n+1=(a+b)(a+b)n e l’ipotesi che la formula è vera per n, ottenendo, per la proprietà distributiva: (a+b)n+1=(a+b)n(a+b)= n n n n 2 n-2 n n-1 n n a b + ab + b ]= =(a+b)[ an+ an-1b+ an-2b2+……+ 0 1 2 n - 2 n - 1 n n n n n 3 n-2 n 2 n-1 n n a b + a b + ab + = an+1+ anb+ an-1b2+……..…+ 0 1 2 n - 2 n - 1 n n n n n 2 n-1 n n n n+1 a b + ab + b = + anb+ an-1b2+ an-2b3+…………+ 0 1 2 n - 2 n - 1 n n n n n n n n n ] abn+ bn+1 = an+1+[ + ] anb+[ + ] an-1b2+.......+[ + 0 1 0 2 1 n n - 1 n n n 1 , e si ottiene, come si voleva, il secondo membro della (*), tenendo conto che =1= 0 0 n n 1 n n - 1 n - 1 =1= , ed applicando la formula (già dimostrata) = + (da cui si ottiene n n 1 m m - 1 m n 1 n n = + ; poi sostituendo n con n+1 ed con 2: sostituendo n con n+1 ed m con 1: 1 0 1 n 1 n n = + etc…). 2 1 2 Esempio: per calcolare la quarta e la quinta potenza del binomio a+b, basta utilizzare le righe numero 4 e 5 del triangolo di Tartaglia-Pascal ottenendo le seguenti formule: (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 Algoritmo della divisione fra i numeri naturali. E’ ben noto che, dati 2 numeri interi positivi, si possa “dividere” il primo (dividendo) per il secondo (divisore) trovando un “quoziente” e un “resto”. Dimostreremo formalmente tale proprietà: Teorema dell’algoritmo della divisione. Comunque dati 2 numeri naturali a,b (detti rispettivamente “dividendo” e “divisore”), esistono due numeri interi q,r0 (detti rispettivamente ”quoziente” e “resto”) tali che a=bq+r con r<b. Inoltre q,r sono unici. Dimostrazione: Dimostrazione dell’esistenza di q,r: si consideri l’insieme di tutte le differenze della forma a-bx, con x che varia fra gli interi 0, limitandosi a quelle differenze che danno un risultato 0: S = { z / z=a-bx, con x intero 0, e con z 0 } L’insieme S è non vuoto: infatti almeno la differenza a-b0=a è elemento di S, perché a>0. Possiamo osservare che S contiene certamente un elemento minimo: infatti se S non contiene lo 0 allora S è sottoinsieme di N ed S contiene un elemento minimo per l’Assioma del minimo; se invece S contiene lo 0, è ovvio che 0 è il suo minimo. Sia dunque s il minimo in S. Per costruzione di S si ha che s è un intero 0, ed inoltre s=a-bx con x intero 0. Da cui a=bx+s, e basta scegliere r=s e q=x per avere l’esistenza di q ed r. Resta però da verificare che r<b: se per assurdo fosse rb, si avrebbe r-b0, r-b=(a-bq)-b=a-b(q+1), con q+10 (perché q=x0) dunque il numero r-b sarebbe una delle differenze che appartengono ad S; ma si avrebbe anche r-b<r (perché b>0), contraddizione perché r è il minimo in S. La dimostrazione dell’unicità di q,r sarà svolta nella prossima lezione.