i numeri complessi

Numeri complessi
Un numero complesso nella forma
z=x+iy
È costituito da una parte reale x
E una immaginaria
iy
dove y è il coefficiente della parte immaginaria .
Per y=0 si ottiene l’insieme dei numeri reali, per cui 𝑅 ⊆ 𝐶
Complesso coniugato
Indicheremo complesso coniugato 𝑧 come il numero complesso che ha la stessa
parte reale di 𝑧 ma parte immaginaria opposta.
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
𝑧 = 𝑥 − 𝑖𝑦
Si definisce modulo di 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 il numero
𝑧 =
𝑥2 + 𝑦2
Definiamo inverso di 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 il numero complesso:
𝑧 −1
𝑧
𝑥 − 𝑖𝑦
= 2= 2
𝑧
𝑥 + 𝑦2
Addizione

𝑎 + 𝑖𝑏 + 𝑐 + 𝑖𝑑 = 𝑎 + 𝑐 + 𝑖 𝑏 + 𝑑
Proprietà associativa.
- Proprietà commutativa.
- ∃ 0 + 𝑖0 .
- z ammette –z simmetrico rispetto all’addizione (opposto) tale che
−𝑧 = −𝑎 − 𝑖𝑏
-
Moltiplicazione
𝑎 + 𝑖𝑏 ∙ 𝑐 + 𝑖𝑑 = 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑 + 𝑖 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐
 Proprietà associativa e commutativa.
 ∃ 1 + 𝑖0 .
 z ammette il reciproco:
1
1
𝑧
𝑎
𝑏
=
=
= 2
−
𝑖
𝑧 𝑎 + 𝑖𝑏 𝑧 ∙ 𝑧 𝑎 + 𝑏2
𝑎2 + 𝑏2


Vale la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto l’addizione vale sia
a destra che a sinistra:
𝑢 + 𝑣 ∙ 𝑧 = 𝑢 ∙ 𝑧 + 𝑣 ∙ 𝑧 𝑢, 𝑣, 𝑧 ∈ 𝐶
𝑧 ∙ 𝑢 + 𝑣 = 𝑧 ∙ 𝑢 + 𝑧 ∙ 𝑣 𝑢, 𝑣, 𝑧 ∈ 𝐶
Rappresentazione dei numeri complessi

Rappresentazione Vettoriale.

Rappresentazione Geometrica.

Rappresentazione Trigonometrica ( o polare)

Rappresentazione Esponenziale.
Rappresentazione Vettoriale
Chiamiamo piano vettoriale un piano in cui si fissa:
Un’origine O;
 Un vettore unitario 𝑂𝑉 (vettore non nullo);
 Il verso positivo delle rotazioni attorno O.

Definiamo un numero complesso di modulo ρ (numero reale non negativo) e
argomento θ ( in radianti) un operatore che associa ad ogni vettore 𝑂𝐴 un
vettore vettore 𝑂𝐵 ottenuto nel seguente modo:
Si moltiplica 𝑂𝐴 per ρ e si ottiene 𝑂𝑃 .
 Si ruota 𝑂𝑃 attorno all’origine O di θ.


Due numeri complessi si dicono uguali se hanno moduli uguali e argomenti
che differiscono per un multiplo di 2π
 Somma
di numeri complessi (legge del parallelogramma).
 Prodotto di numeri complessi (prodotto dei moduli e somma
degli argomenti).
Il prodotto (scalare) di due vettori è
uno scalare. Il prodotto di un vettore
per uno scalare è un vettore. In C il
prodotto di due numeri complessi è
un numero complesso.
Rappresentazione Geometrica
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale e dato un numero complesso
z=x+iy , i suoi numeri reali x e y possono essere interpretati come coordinate
cartesiane del punto P
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = 𝑂𝑃
𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2
Rappresentazione Trigonometrica
𝑥 = ρ cos θ .
 y = ρ sin θ.
Da cui

𝑧 =ρ= 𝑥 2 + 𝑦 2
 z=ρ(cos θ + 𝑖 sin θ )
 𝜗 = tan−1 (𝑦/𝑥) , 𝑥 ≠ 0
 𝑧 −1 =𝜌−1 (cosθ −isinθ)

Si definisce il prodotto di due numeri complessi
z=𝑧1 ∙ 𝑧2 = ρ1 ρ2 (cos(θ1 +θ2 ) + 𝑖 sin( θ1 + θ2 ))
( applicando le formule di addizione del sen e cos)
La Divisione
z = 𝑧1 ÷ 𝑧2 =
ρ1
= ρ (cos(θ1 −θ2 ) + 𝑖 sin( θ1 − θ2 ))
2

(applicando le formule di sottrazione del sen e cos)

La potenza n-esima ( formula di De Moivre) (indotta dalla moltiplicazione)
𝑧 𝑛 = ρ𝑛 ∙ (cos 𝑛θ + 𝑖 sin(𝑛𝜃)) , n ∈ 𝑁
Ammette una ed una sola soluzione.
Utilizzando De Moivre si dimostra che per ogni z non nullo e 𝑛 ∈ 𝑁 esistono n radici
n-esime di z tali che
𝑤𝑛 = 𝑧
Con 𝑤 = 𝜑(cos(𝜏) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜏))
Date dalla formula
𝑤𝑘 =
𝑛
𝜌 ∙ cos
𝜃+2𝑘𝜋
𝑛
+ 𝑖 sin(
𝜃+2𝑘𝜋
)
𝑛
k=0,..n-1
𝑤 = 𝜑(𝑐𝑜𝑠𝜏 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜏)
Si ha che esiste un unico φ 𝑒 ∀𝑘 ∈ 𝑍 tali che:
𝜑𝑛=𝜌
𝑛𝜏 = 𝜗 + 2𝑘𝜋
Per cui le radici distinte sono n ( quelle per cui k=0,1,..n-1 )
Tali punti rappresentano nel piano complesso i vertici di un poligono regolare di n lati
inscritto in una circonferenza di centro O e raggio 𝑛 𝜌 .
Nel caso z=1 si ottengono le radici n-esime dell’unità
𝜀𝑘,𝑛 = cos
θ+2𝑘π
𝑛
θ+2𝑘π
)
𝑛
+ 𝑖 sin(
per k=0,..,n-1.
Inoltre vale:( 𝑛 𝑧)𝑛 = 𝑧 ma non vale
𝑛
Poiché 𝑧 ∈ { 𝑧 𝑛 }.
Analogamente:


{
𝑛 𝑚
𝑛
𝑧} = { 𝑚𝑛 𝑧}
𝑢 ∙ 𝑚 𝑧 = { 𝑛𝑚 𝑢𝑧}
𝑛
𝑧𝑛 = z
In generale:
La radice n-esima ( con n pari) di un numero positivo dà sempre due
radici reali e le altre complesse.
La radice n-esima ( con n dispari) di un numero positivo dà sempre una
radice reale e le altre complesse.
Sia N un numero qualunque, sia x una qualsiasi delle sue radice n𝑛
esime (𝑥 = 𝑁 ), allora i numeri
𝑥𝛽0 , 𝑥𝛽1 , 𝑥𝛽2,… 𝑥𝛽𝑛−1
Sono tutti numeri distinti perché distinti sono i beta, inoltre si ha:
(𝑥𝛽0 )𝑛 = 𝑥 𝑛 𝛽0 𝑛 = 𝑥 𝑛 1 = 𝑥 𝑛 = 𝑁
(𝑥𝛽1 )𝑛 = 𝑥 𝑛 𝛽1 𝑛 = 𝑥 𝑛 1 = 𝑥 𝑛 = 𝑁
……..
(𝑥𝛽𝑛−1 )𝑛 = 𝑥 𝑛 𝛽𝑛−1 𝑛 = 𝑥 𝑛 1 = 𝑥 𝑛 = 𝑁
Le radici di z non sono “allineate” alle radice dell’unità.
Si dimostra, grazie ai numeri complessi, il teorema fondamentale dell’algebra
(generalizzazione):
Dato un Polinomio di grado n
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑎0 𝑥 𝑛 +𝑎1 𝑥 𝑛−1 +..+𝑎𝑛−1 𝑥+𝑎𝑛 , 𝑎0 ≠ 0
Esso ha n radici in C, ciascuna contata con la dovuta molteplicità (ad es. per n=5 si
può avere x=2 soluzione doppia, x=3 soluzione semplice, x=4 doppia, per cui n=5).
Rappresentazione Esponenziale
Un numero complesso z=x+iy si può rappresentare come:
𝑒 𝑧 = 𝑒 𝑥+𝑖𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑒 𝑖𝑦 = 𝑒 𝑥 ∙ (cos 𝑦 + 𝑖 sin 𝑦)
(formula di Eulero)
Per un numero complesso di modulo unitario si ha:
𝑒 𝑖𝑦 = cos 𝑦 + 𝑖 sin 𝑦
Tali formule sono ottenute a partire dalla forma trigonometrica z=ρ(cos θ + 𝑖 sin θ )
sfruttando lo sviluppo in serie del seno, coseno e 𝑒 𝑥 , infatti:

𝑒𝑥 = 1 + 𝑥 +

𝑥3
− 3!

𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 −
𝑥2
2!
+
𝑥3
3!
+
𝑥5
5!
𝑥7
− 7!
+⋯
+
𝑥4
4!
𝑥6
6!
+⋯
𝑥2
2!
−
+⋯
Mediante tali relazioni e posto 𝑥 = 𝜗 si ha:
𝑧 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜗 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝜌
1−
𝜗2
2!
+
𝜗4
4!
−
𝜗6
6!
+⋯ +
Analogamente alle altre forme si ha, dato il numero complesso z:

𝑧 = 𝜌𝑒 𝑖𝜃

𝑧 = 𝜌𝑒 −𝑖𝜃

𝑧 −1 = 𝜌−1 𝑒 −𝑖𝜃
Formula di De Moivre:
Radice n-esima:
𝑛
𝑧=
𝑛
𝜌
𝜗+2𝑘𝜋
𝑖∙
𝑒 𝑛
Potenza:
𝑧 𝑛 = 𝜌𝑛 𝑒 𝑖𝑛𝜗
Eulero introdusse anche le seguenti formule iperboliche:
𝑒 𝑖𝒛 −𝑒 −𝑖𝑧
sinh(𝒊𝒛)= 2
cosh(𝑖𝑧) =
=𝑖 sin 𝑧
𝑒 𝑖𝑧 +𝑒 −𝑖𝑧
2
= cos 𝑧
In particolare, se 𝑥𝜖𝑅 si ha:
𝑒 𝑖𝑥 −𝑒 −𝑖𝑥
sinh(𝒊𝒙)= 2𝑖 =
cosh(𝑖𝑥) =
𝑒 𝑖𝑥 +𝑒 −𝑖𝑥
2
sin 𝒙
= cos 𝑥
Dato i numeri complessi
𝑧 = 𝜌𝑒 𝑖𝜗 e 𝑧1 = 𝑒 𝑖𝛼
possiamo dare un significato geometrico al prodotto 𝑧 ∙ 𝑧1 :

𝑧 ∙ 𝑧1 = 𝜌𝑒 𝑖𝜗 𝑒 𝑖𝛼 =𝜌𝑒 𝑖(𝜗+𝛼)
ovvero una 𝛼 rotazione in
senso antiorario del
vettore 𝑧.
Dalle formule di Eulero si ottiene
anche l’identità:
𝑖𝜋
𝑒
In generale valgono le seguenti identità:
𝑒 𝑖𝜋/2 -i=0
𝑒 𝑖𝜋3/2 +i=0
𝑒 𝑖2𝜋 -1=0
+1=0