Geometrie non Euclidee - Liceo Classico G.da Fiore

Geometrie non Euclidee
Giulia Cozza, Chiara Leone, Giovanni
Macchione, Chiara Perrone
Geometrie non Euclidee
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Geometrie non Euclidee
Giulia Cozza, Chiara Leone, Giovanni
Macchione, Chiara Perrone
Prefazione
Le "Geometrie non Euclidee" è il frutto di un lavoro laboratoriale prodotto da
un gruppo di studenti del "Liceo Classico Gioacchino Da Fiore" di Rende (CS).
Siamo 4 studenti frequantanti il 4° anno e in quanto alunni ci rendiamo
conto di come possa essere difficile capire alcuni concetti, specialmente se
si tratta di matematica! E' per questo motivo che, dopo due settimane di
analisi e comprensione dei testi scolastici e ricerche su internet, abbiamo
deciso di semplificarne alcuni, così che possano essere alla portata di tutti.
E' alla fine della terza settimana di laboratorio che abbiamo presentato il
nostro lavoro alla professoressa, che lo ha visionato per correggere
eventuali errori. Inoltre, durante le settimane di laboratorio, il nostro lavoro
è stato controllato affinché venisse svolto correttamente.
Il libro tratta, come si può capire dal titolo, delle geometrie non euclidee.
Sono stati presi in considerazione i matematici presenti nel programma
scolastico, oggetto di studio e di maggiore rilevanza nello sviluppo di queste
geometrie.
Speriamo che il libro vi sia utile.
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Euclide e i cinque Postulati
Euclide è stato un matematico e scenziato greco vissuto agli inizi del 3°
secolo a.C. ed è conosciuto soprattutto per i suoi Elementi, una vasta
raccolta in cui espone quelli che erano i concetti fondamentali della
matematica greca del tempo. I temi affrontati nei 13 libri che
comprendevano gli Elementi non influenzarono le ricerche solo in campo
geometrico o aritmetico ma anche in molti altri campi come l'ottica,
l'astronomia e la musica.
Il libro che ci interessa per poter poi comprendere la nascita delle geometrie
euclidee è l'I, nel quale Euclide dà delle definizioni per gli enti geometrici
fondamentali (punto, retta, piano, angolo) ed enuncia 5 assiomi,verità
generali, e 5 postulati, assunzioni specifiche relative alla geometria.
Quella che viene generalmente chiamata "geometria euclidea" venne
classificata dal matematico tedesco Felix Klein come "parabolica".
GLI ENTI GEOMETRICI FONDAMENTALI NELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
Questi enti, definiti fondamentali proprio perchè alla base della geometria
euclidea, comprendono, come detto in precedenza, punto, retta e piano.
Euclide dà una definizione ben precisa di questi tre enti.
Il piano: è quello che giace ugualmente rispetto alla retta su di esso.
Il punto: è un elemento del piano che non ha parti.
La retta: è un sottoinsieme del piano illimitata nel senso della
lunghezza e senza parti nel senso della larghezza.
GLI ASSIOMI
Gli assiomi sono delle proprietà che non devono essere dimostrate ed
esprimono le relazioni esistenti fra gli enti primitivi. Questi devono avere
delle caratteristiche particolari:
Compatibilità: non devono contraddirsi l'un l'altro.
Indipendenza: dalle proprietà affermate da uno non si devono poter
dedurre le proprietà affermate dall'altro.
Completezza: tutti i teoremi devono essere dedotti da questi.
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Euclide differenzia diversi tipi di assiomi:
Di appartenenza
D'ordine
Di partizione del piano
Di congruenza
Di trasporto
Della parallela
I POSTULATI
I postulati di Euclide sono 5:
I postulato: tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola
retta.
II postulato: la linea retta si può prolungare indefinitamente.
III postulato: dato un punto ed una lunghezza, è possibile descrivere un
cerchio.
IV postulato: tutti gli angoli retti sono uguali.
V postulato: due rette tagliate da una trasversale si incontreranno in un
punto posto dalla parte in cui la trasversale forma due angoli interni la
cui somma è minore di un angolo retto.
Il V postulato, che ora andremo ad analizzare, è il più famoso e quello che
portò alla formazione delle geometrie non euclidee.
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Il V postulato di Euclide e la nascita delle
Geometrie non Euclidee
Formulato diversamente da come lo è stato nel paragrafo precedente, il V
postulato di Euclide afferma: " se una retta, incontrandone altre due, forma
con esse angoli interni da una stessa parte la cui somma è minore di due
retti, queste due rette, prolungate all'infinito, si incontreranno dalla parte in
cui giacciono tali angoli".
Oggi viene formulato ancora in un altro modo:
"per un punto esterno ad una retta data passa una e una sola
parallela ad essa".
LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE
Le geometrie non euclidee sono quelle che si sviluppano a partire dai primi
decenni del XIX secolo e che fondano le loro teorie sulla negazione del V
postulato di Euclide.
Pare che il primo a formulare una geometria nella quale il V postulato fosse
sostiutito dalla sua negazione sia stato Carl F. Gauss attorno al 1813.
Nonostante questo, le geometrie non euclidee sono state scoperte almeno
quattro volte in venti anni. In epoche più antiche infatti, le comunicazioni tra
gli scienziati erano scarse e perciò scoperte simultanee non sono rare nel
corso della storia. Ne è un esempioIntorno la lettera ricevuta da Gauss e
inviatagli da Ferdinand Schweikart, che lo informava di essere arrivato
anche egli in modo autonomo e indipendente a conclusioni sostanzialmente
identiche.
Tra i fondatori delle geometrie non euclidee vanno citati: Girolamo Saccheri,
Nicolaj Lobacevskij, Bernhard Riemann, insieme ad altri relativamente di
minore importanza.
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Fu dunque con la nascita delle geometrie non euclidee che da questo
postulato se ne formularono due varianti, il postulato Va e il postulato Vb.
IL POSTULATO Va
Questo postulato viene sostituito al V nella geometria Ellittica di Riemann e
afferma che:
"Non esiste alcuna retta s passante per un punto P e parallela alla retta r
prefissata", che può essere formulato affermando che "ogni retta s passante
per il punto P incontra sempre la retta prefissata r"
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IL POSTULATO Vb
Questa seconda variante viene sostituito al V postulato euclideo nella
geometria iperbolica di Lobacevskij e afferma che:
"Esistono almeno due rette s' e s'' passanti per il punto P e parallele alla
retta data r".
Andiamo ora ad analizzare le varie teorie e i vari modelli proposti dai
matematici.
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Saccheri: il padre delle Geometrie non
Euclidee
Girolamo Saccheri iniziò involontariamente quello che è il filone delle
Geometrie non Euclidee. Egli infatti tentò di dimostrare il V postulato di
Euclide, cercando contraddizioni logiche in una geometria fondata sulla
negazione del V postulato.
COSA FECE SACCHERI?
Per elaborare la sua teoria egli analizzò particolari quadrilateri, chiamati
"birettangoli isosceli", i quali furono successivamente chiamati "quadrilateri
di Saccheri".
Considerando questo tipo di quadrilatero ABCD, avente i lati AD e BC uguali
fra loro ed entrambi perpendicolari ad uno solo degli altri lati , tracciò le
diagonali e osservò come gli angoli in D e in C sono congruenti.
Osservò inoltre che questi angoli possono essere:
Retti----->Ipotesi dell'angolo retto
Ottusi----->Ipotesi dell'angolo ottuso
Acuti----->Ipotesi dell'angolo acuto
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IPOTESI DELL'ANGOLO RETTO
In questa ipotesi Saccheri accetta il V postulato di Euclide, essendo gli
angoli entrambi retti.
IPOTESI DELL'ANGOLO OTTUSO
In questa seconda ipotesi gli angoli sono entrambi ottusi dunque viene
negato il V postulato.
IPOTESI DELL'ANGOLO ACUTO
In questa terza ipotesi gli angoli interni sono entrambi acuti dunque, anche
in questo caso, viuene negato il V postulato.
Saccherì mirava a confutare le due ipotesi che negavano la validità del V
postulato, così da rendere possibile solo quella dell'angolo retto, ma solo
quella dell'angolo ottuso risulta contraddittoria. L'ipotesi dell'angolo acuto
può essere invece sostituita a quella dell'angolo retto, ma Saccheri non se
ne rese conto.
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Geometria Iperbolica di Lobacevskij e i
modelli di Klein e Poincaré
La geometria iperbolica di Lobacevskij e Bolyai si ottiene sostituendo al V
postulato di Euclide il postulato Vb (Paragrafo 2).
La teoria di Euclide afferma che due rette s e s' intersecano r finchè gli
angoli a e a' non saranno retti. In questo modo s e s' saranno coincidenti e
dunque formeranno l'unica parallela alla retta r, cioè la retta s presente in
figura.
Lobacevskij rieteneva invece che le due rette s ed s' cessano di intersecare
r quando a e a' raggiungono un valore comune detto "angolo di parallelismo
", inferiore all'angolo retto. Ciò implica l'esistenza di numerose rette che
passano per lo stesso punto e non intersecano r. Per Lobacevskij s e s' sono
parallele a r mentre tutte le rette comprese tra s e s' sono definite
antiparallele.
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Venne denominata "iperbolica" dal matematico tedesco Felix Klein. Il
termine iperbolico, che in greco ha il significato di "eccesso", sta proprio ad
indicare l'eccesso di parallele rispetto a ciò che si era considerato in
precedenza.
Lo stesso Klein propose un modello di questa geometria in cui gli enti
geometrici punto e retta soddisfano tutti gli assiomi della geometria
euclidea tranne quello delle parallele (Paragrafo 1).
IL MODELLO DI KLEIN
Per spiegare il modello di Klein prendiamo in considerazione:
Una circonferenza y
Un punto generico P nel piano
Una corda AB privato degli estremi, corrispondente a una "retta"
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Per P passano infinite rette che non
intersecano AB
Nella seconda figura abbiamo tracciato due rette limite, PA e PB, che non
intersecano la retta AB essendo i punti A e B esterni al piano (insieme di
tutti i punti interni alla circonferenza), ed un altra retta che non si interseca
con AB. Le prime due rette sono definite "parallele" mentre le altre sono
considerate "non secanti" o "ultraparallele".
Dunque due rette possono essere:
Incidenti se hanno in comune un punto nel piano di Klein.
Parallele se hanno in comune un punto della circonferenza y che
delimita il piano di Klein
Ultraparallele negli altri casi
Inoltre si arriva alla conclusione che più P è lontano dalla retta più saranno
le rette che non intersecano r.
Analizziamo ora un altro modello dell geometria iperbolica: il modello di
Poincaré.
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IL MODELLO DI POINCARE'
Questo modello è leggermente più complesso di quello del matematico Klein.
Consideriamo una circonferenza K e diamo le definizioni degli enti
fondamentali:
Il piano: è l'insieme di tutti i punti interni alla circonferenza.
La retta: ogni diametro della circonferenza K privato degli estremi
oppure ogni arco di circonferenza interno a K , sempre privato degli
estremi ed ortogonale alla circonferenza che lo delimita.
Il punto: un punto interno alla circonferenza K (quindi esclusi i punti
sulla circonferenza).
Dimostrato che per due punti del piano passerà una e una sola retta si
arriva alla conclusione che: presa una retta del piano e un punto non
appartenente ad essa, esistono infinite rette passanti per quel punto e
parallele alla retta data.
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Geometria Ellittica: Riemann
La geometria ellittica è una geometria che ammette che: " per un punto non
passi alcuna parallela ad una retta data". Venne formulata per la prima
volta dal matematico tedesco Riemann, il quale attraverso il suo modello
riuscì a soddisfare tutti i postulati scritti da Euclide, ad eccezione del V
postulato, che viene sostituito con il postulato Va (Paragrafo 2).
IL MODELLO DI RIEMANN
Per spiegare la sua teoria il matematico utilizzò definizioni per gli enti
primitivi diverse da quelle euclidee:
Il piano di Riemann: una qualunque superficie sferica.
Il punto di Riemann: una qualunque coppia di punti diametralente
opposti sulla superficie sferica.
La retta di Riemann: una qualsiasi circonferenza massima.
Osserviamoli ora in figura:
Definì inoltre la linea di minima distanza tra due punti "la geodetica"; cioè
l'arco minore di circonferenza che passa per i due punti ed ha il centro nel
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centro della sfera.
Dimostriamo ora come viene reso valido il postulato Va:
Fissando un punto di Riemann (A, B) e una retta di Riemann ( r ), ogni retta
di Riemann passante per il punto di Riemann dato interseca r in un altro
punto di Riemann (C, D). Considerato ciò si arriva alla conclusione che non
esiste alcuna retta passante per il punto A, B che sia parallela alla retta data
r.
In questo modo il matematico dimostra come la sua teoria non sia
contraddittoria.
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Indice
--Euclide e i 5 postulati.
Gli enti geometrici fondamentali nella geometria euclidea.
Gli assiomi.
I postulati.
--Il V postulato di Euclide e la nascita delle geometrie non euclidee.
Le Geometrie non Euclidee.
Il postulato Va.
Il postulato Vb.
--Saccheri: il padre delle geometrie non euclidee.
Cosa fece Saccheri?
Ipotesi dell'angolo Retto.
Ipotesi dell'angolo Ottuso.
Ipotesi dell'angolo Retto.
--Geometria iperbolica di Lobacevskij e i modelli di Klein e Poincaré.
Il modello di Klein.
Il modello di Poincaré.
--Geometria Ellittica: Riemann.
Il modello di Riemann.
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Sitografia
--Euclide e i 5 postulati:
digilander.libero.it/mifrali//ipertesto/iciniquepost.htm
www.treccani.it/enciclopedia/euclide_(Enciclopedia_dei_ragazzi)/
--Il V postulato e la nascita delle geometrie non euclidee:
www.ist100.fe.it/-meccaferri.m/geometrie/quinto_postulato.htm
www.itaer.it/lavori/storia/pag2005.htm
--Saccheri: il padre delle geometrie non euclidee:
progettomatematica.dm.unibo.it/GeometrieNonEuclidee/par6.html
--Geometria iperbolica di Lobacevskij e i modelli di Klein e Poincaré:
www.ist100fe.it/-maccaferri.m/geometria_iperbolica.htm
www.bathmath.it/matematica/a_ageo/cap1/Klein.htm
progettomatematica.dm.unibo.it/GeometrieNonEuclidee/par14.htm
--Geometria ellittica: Riemann:
areeweb.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Apr_02/Cap11
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