01 - Massa inerziale e massa gravitazionale

a.s. 2009/2010 – Classe 4DS – 22/09/2009 - Prof. Fernando D’Angelo.
Approfondimento: massa inerziale e massa gravitazionale.
Il secondo principio della dinamica afferma che la forza applicata ad un corpo è proporzionale
alla accelerazione che esso subisce:
(1)
F = mi · a .
La costante mi che esprime la proporzionalità fra forza ed accelerazione si chiama massa inerziale
del corpo e si misura in kg. L'accelerazione a esprime la variazione della velocità nell'unità di tempo
e si misura in m/s². La forza si misura in N (newton). La massa inerziale di un corpo esprime
l'inerzia con cui esso si oppone alla forza che gli fa cambiare la velocità, cioè lo fa accelerare.
Maggiore è la massa inerziale, minore è la variazione di velocità (la accelerazione) che a parità di
forza si ottiene.
Consideriamo adesso la forza gravitazionale fra due corpi.
La legge di gravitazione universale formulata da Newton è la seguente:
(2)
F =G
m1g m2 g
r2
dove G è una costante, la cosiddetta costante di gravitazione universale, r è la distanza fra i
baricentri dei due corpi, m1g e m2g sono le masse gravitazionali dei corpi. Abbiamo indicato le
masse gravitazionali con una g a pedice per distinguerle dalle masse inerziali dei corpi. La massa
gravitazionale mg è infatti la “carica” gravitazionale e rappresenta la capacità di un corpo di
attrarne un altro.
Per quanto detto, la massa inerziale e la massa gravitazionale di un corpo sono concettualmente
distinte!
Calcoliamo l'accelerazione che un corpo qualunque ha in prossimità della superficie della terra
(l’accelerazione di gravità) essendo soggetto all’attrazione gravitazionale della terra.
Indichiamo con:
m1i : massa inerziale del corpo,
m1 g : massa gravitazionale del corpo,
M Tg : massa gravitazionale della Terra,
d = RT + h : distanza del corpo dal centro della Terra.
Per il secondo principio della dinamica:
(3)
F = m1i ⋅ a = G
m1g M Tg
d2
.
Dalla precedente relazione ricaviamo l’accelerazione di gravità:
(4)
a=G
m1g M Tg
m1i d
2
⎛ m1g
= ⎜⎜
⎝ m1i
⎞ ⎛ G M Tg
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
2
⎠ ⎝ d
⎞
⎟⎟
⎠
Analizziamo questa formula.
Per comodità abbiamo raggruppato con parentesi i termini in due fattori.
Nella seconda parentesi:
G è costante, la cosiddetta costante di gravitazione universale,
M Tg è costante,
d può ritenersi costante se il corpo cadendo compie piccoli spostamenti rispetto al raggio terrestre
( RT ≅ 6400km ).
Nella seconda parentesi quindi complessivamente c’è una costante che indicheremo con C.
Nella prima parentesi compare il rapporto fra la massa gravitazionale del corpo e la sua massa
inerziale.
Questo rapporto in generale potrebbe essere diverso per ogni corpo: se così fosse, i corpi, in
prossimità della superficie terrestre, dovrebbero cadere con accelerazioni diverse.
Invece le misure sperimentali effettuate con grande precisione (eliminando per esempio l'aria che si
oppone alla caduta dei corpi), ci portano alla conclusione che tutti i corpi in prossimità della Terra
cadono con la stessa accelerazione a = g!
Possiamo allora riscrivere la (4) nel modo seguente:
(5)
⎛ m1g
g = ⎜⎜
⎝ m1i
⎞
⎟⎟ ⋅ C
⎠
Ma se g e C sono costanti che non dipendono dal corpo considerato, si deduce che anche il
rapporto:
(6)
m1g
m1i
è una costante che non dipende dal corpo considerato.
È possibile allora, scegliendo opportunamente le unità di misura, fare in modo che tale rapporto
valga proprio1 in modo che:
(7)
m1i = m1g
Questo importante risultato viene detto Principio di equivalenza.
Grazie a questo principio, pur essendo concettualmente diversi i due tipi di massa, è possibile usare
nel seguito la parola massa, senza ulteriori specificazioni.
Il Principio di equivalenza costituì per Einstein la base su cui costruì la teoria della relatività
generale, da molti considerata la teoria scientifica più profonda, elegante e bella di tutti i tempi.
Essa fu pubblicata nel 1916 dopo lunghi anni di studi.