Il duello triangolare Smith, Brown e Jones si accordano per un duello alla pistola con le seguenti condizioni. Dopo aver tirato a sorte per stabilire chi tirerà per primo, secondo e terzo, essi si dispongono ai vertici di un triangolo equilatero. L'accordo è che ognuno può tirare un solo colpo ogni turno e che si continua nello stesso ordine ciclico sinché due siano morti. Ad ogni turno l'uomo che tira può mirare dove preferisce. I tre duellanti sanno che Smith colpisce sempre il bersaglio, Brown è preciso per l'80 % delle volte e Jones per il 50 %. Ammettendo che tutti adottino la migliore strategia e che nessuno sia ucciso da un colpo vagante non diretto a lui, quali sono le probabilità esatte di sopravvivenza dei tre? ______________________________________________________________________ Premessa Valutiamo prima di tutto le probabilità di sopravvivenza che si hanno in un normale duello a due. Siano: § § § § § § § A e B i duellanti a la frazione dei tiri messi a segno da A b la frazione dei tiri messi a segno da B sAA la probabilità di sopravvivenza di A se A spara per primo sBA la probabilità di sopravvivenza di B se A spara per primo sAB la probabilità di sopravvivenza di A se B spara per primo sBB la probabilità di sopravvivenza di B se B spara per primo Supponiamo che A spari per primo. L'andamento del duello è descritto dal diagramma di flusso che segue (i sopravvissuti sono indicati nelle caselle nell'ordine in cui dovranno sparare). AB a 1-a spara A A BA 1-b b spara B B AB 1-a a spara A A BA 1-b b spara B Dal diagramma si ricava (1) sAA = a + a(1-a)(1-b) +a(1-a)2 (1-b)2+....+ a(1-a)k(1-b)k + … = a / (a + b - ab) (2) sBA = 1 - sAA = (b - ab) / (a + b - ab) Analogamente, se è invece B a sparare per primo (3) sAB = (a - ab ) / (a + b - ab) (4) sBB = 1 - sAB = b / (a + b - ab) Strategia La strategia ottimale seguita da ciascun duellante è quella di sparare all'avversario più bravo. Solo così infatti, se il colpo è messo a segno, sarà massimizzata la probabilità di sopravvivenza nel duello a due che seguirà. Svolgimento del duello In seguito abbreviamo con le iniziali i duellanti Smith, Brown e Jones. Applicando le formule da (1) a (4) al problema proposto le probabilità di sopravvivenza nei tre possibili duelli sono le seguenti: Duellanti S e B sSS = 1 sSB = 1/5 sBS = 4/5 sBB = 0 Duellanti S e J sSS = 1 sSJ = 1/2 sJS = 0 sJJ = 1/2 Duellanti B e J sBB = 8/9 sBJ = 5/9 sJB = 1/9 sJJ = 4/9 Esaminiamo ora l'andamento del duello triangolare. Ordine di fuoco n° 1 SBJ oppure n° 2 SJB I diagrammi di flusso sono rappresentati in figura e le probabilità di sopravvivenza (l'ordine di fuoco è indicato in pedice) sono sS1 = 1/2 sB1 = 0 sJ1 = 1/2 sS2 = 1/2 sB2 = 0 sJ S2 = 1/2 SBJ SJB 1 spara S JS 1/2 1 spara S JS 1/2 1/2 spara J J sp S 1/2 spara J J sp Ordine di fuoco SBJ S Ordine di fuoco SJB Ordine di fuoco n° 3 BSJ Il diagramma di flusso è rappresentato in figura e le probabilità di sopravvivenza sono sS3 = (1/5)(1/2) = 1/10 sB3 = (4/5)(4/9) = 16/45 sJ3 = (4/5)(5/9) + (1/5)(1/2 ) = 49/90 BSJ 4/5 1/5 spara B JB 5/9 SBJ 4/9 spara S 1 spara J J sp JS B 1/2 1/2 spara J J sp Ordine di fuoco BSJ S Ordine di fuoco n° 4 BJS Il diagramma di flusso è rappresentato in figura e le probabilità di sopravvivenza sono sS4 = (1/5)(1/2)(1/2) = 1/20 sB4 = (4/5)(4/9) + (1/5)(1/2)(8/9) = 4/9 sJ4 = (4/5)(5/9) + (1/5)(1/2)(1/9) + (1/5)(1/2)(1/2) = 91/180 BJS 4/5 1/5 spara B JB 5/9 JSB 4/9 1/2 B BJ spara J J sp 8/9 1/2 spara J SBJ 1/9 1 spara S spara B B sp J JS 1/2 1/2 spara J J sp S Ordine di fuoco BJS Ordine di fuoco n° 5 JSB Il diagramma di flusso è rappresentato in figura e le probabilità di sopravvivenza sono sS5 = (1/2)(1/2) = 1/4 sB5 = (1/2)(8/9) = 4/9 sJ5 = (1/2)(1/9) + (1/2)(1/2) = 11/36 JSB 1/2 1/2 spara J BJ SBJ 8/9 1/9 spara S 1 spara B B sp JS J 1/2 spara J J 1/2 S Ordine di fuoco JSB Ordine di fuoco n° 6 JBS Il diagramma di flusso è rappresentato in figura e le probabilità di sopravvivenza sono sS6 = (1/2)(1/5)(1/2) = 1/20 sB6 = (1/2)(8/9) + (1/2)(4/5)(4/9) = 28/45 sJ6 = (1/2)(1/9) + (1/2)(4/5)(5/9) + (1/2)(1/5)(1/2) = 59 /180 JBS 1/2 1/2 spara J BJ 8/9 BSJ 1/9 4/5 J JB spara B B sp 4/9 1/5 spara B SBJ 5/9 1 spara S spara J B ar J JS 1/2 1/2 spara J J sp Ordine di fuoco JSB S Conclusioni Poiché i sei ordini di fuoco sono equiprobabili (probabilità = 1/6), le probabilità di sopravvivenza complessive sono date da (5) sS = (sS1 + sS2 + sS3+ sS4 + sS5 + sS6) / 6 (6) sB = (sB1 + sB2 + sB3 + sB4 + sB5 + sB6 ) / 6 (7) sJ = (sJ1 + sJ2 + sJ3+ sJ4+ sJ5 + sJ6 ) / 6 Sostituendo i valori numerici calcolati si hanno le probabilità richieste sS = 29 / 120 = 0,24166 sB = 14 / 45 = 0,31111 sJ = 161/360 = 0,44722 Osservazioni Per le date frazioni di tiri messi a segno dai duellanti Jones ha la probabilità più alta di sopravvivere, benché sia il meno abile. La minore abilità di Jones è in questo caso più che compensata dalla strategia adottata che spinge i duellanti a sparare al più bravo. Se le frazioni dei tiri messi a segno dai duellanti fossero diverse si avrebbero casi in cui la strategia di gara non riesce a sovvertire la scala di bravura. Ad esempio se Jones mettesse a segno solo il 30 % dei tiri, a parità di tutto il resto si avrebbe sS = 0,3706 sB = 0,3367 sJ = 0,2926