relazioni tra gli elementi di un triangolo.

RELAZIONI TRA GLI ELEMENTI DI UN TRIANGOLO.
1. TRIANGOLO RETTANGOLO
Dato il triangolo ABC rettangolo in A, siano a la misura dell’ipotenusa BC, b e c quelle dei cateti
AC e AB e siano β e γ le misure degli angoli in B e C.
Valgono le seguenti relazioni:
b = asen β = acos γ
c = asen γ = acos β
b = c tg β = c cotg γ
c = b tg γ = b cotg β
ossia in un triangolo rettangolo un cateto:
a)
b)
c)
d)
è uguale all’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto a tale cateto;
è uguale all’ipotenusa per il coseno dell’angolo adiacente al cateto che si calcola;
è uguale all’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto al cateto che si calcola;
è uguale all’altro cateto per la cotangente dell’angolo adiacente al cateto che si calcola.
ESEMPI
C
b
Figura 1
a
A
c
B
Con riferimento alla figura 1 risolviamo i seguenti triangoli nel caso in cui siano dati:
1) a = 6 e β =
π
.
6
Applicando i teoremi sui triangoli rettangoli otteniamo:
π
1
π π π
b = a*sen β =6*sen = 6* = 3;
si calcola γ : γ = - =
6
2
2 6 3
c = a*cos β =6*cos
π
= 6*
6
3
=3 3
2
2) a = 4 e c = 2 3 .
Applicando i teoremi sui triangoli rettangoli otteniamo:
2 3
3
c=a*sen γ quindi 2 3 = 4sen γ da cui sen γ =
=
4
2
γ=
π
3
β=
π π
-
2 3
b = a*sen β = 4sen
=
π
6
π
6
=4*
1
=2
2
e
2.TEOREMA DELLA CORDA
La misura di una corda è uguale al prodotto della misura del diametro per il seno di uno degli
angoli alla circonferenza che insistono su uno degli archi sottesi dalla corda.
Diametro = BD = 2r
corda = BC = 2 r sen α
o anche:
BC = 2rsen( π − α )
ESEMPI
1) BD = 5; α =
π
3
sarà
BC = 5sen
π
3
2) BC=8; α =
=5
3
2
π
6
sarà
8 = BDsen
π
6
da cui BD=16
3. AREA DI UN TRIANGOLO IN FUNZIONE DELLA MISURA DI DUE LATI E DEL
SENO DELL’ANGOLO COMPRESO
1
1
1
S= absen γ = acsen β = bcsen α
2
2
2
C
γ
a
b
α
β
A
B
c
ESEMPIO
1) a = 5
;
b = 12
γ=
;
π
4
1
π 1
2
S= *5*12*sen = *5*12*
=15 2
2
4 2
2
4. TEOREMA DEI SENI
In un triangolo qualunque, il rapporto fra la misura di un lato e il seno dell’angolo opposto è
costante.
a
b
c
=
=
= 2R
senα senβ senγ
ESEMPIO
Dati b = 2, c =
2, γ =
Per il teorema dei seni:
da cui sen β =
π
6
, trova gli altri elementi del triangolo.
b
c
=
senβ senγ
b ⋅ senγ
.
c
Svolgendo i calcoli si ottiene sen β =
2
2
ed essendo c<b sarà γ < β ;
si avranno pertanto due soluzioni, β1 corrispondente all’angolo acuto e β 2 , corrispondente
all’angolo ottuso.
Si avrà pertanto:
β1 =
π
4
e α1 = π −
β2 =π −
π
π
4
−
π
6
=
7
π
12
3
3
π π
= π e α2 = π − π − =
4 4
4
6 12
5. TEOREMA DI CARNOT O DEL COSENO.
In un triangolo qualunque, il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei
quadrati delle misure degli altri due lati diminuita del doppio del prodotto di queste per il
coseno dell’angolo opposto al lato che si calcola:
a2=b2+c2-2bccos α
b2=a2+c2-2accos β
c2=a2+b2-2abcos γ
C
γ
a
b
α
β
A
B
c
Esempio.
Risolvere il seguente triangolo:
a=2 2
c= 6+ 2
β =60°
Applicando il teorema di Carnot trovo:
( ) +(
b2 = 2 2
2
6+ 2
)
2
− 2⋅2 2 ⋅
(
2
)
6 + 2 ⋅ cos 60°
Svolgendo i calcoli ottengo b = 12 da cui b=2 3 .
Applicando il teorema dei seni si ha:
b
a
2 3
2 2
=
da cui
=
senβ senα
sen60° senα
da cui sen α = 45°.
Essendo α + β + γ = 180° sarà γ = 75°
ESERCIZI
1) Calcolare l’area di un rombo avente il lato di 12 cm e un angolo di 30°.
2) In un triangolo rettangolo un cateto è 40 cm, mentre il seno dell’angolo opposto al cateto
4
considerato è
. Calcolare l’altezza relativa all’ipotenusa e le proiezioni dei cateti
5
sull’ipotenusa stessa.
3) In una circonferenza di diametro AB=2r è data la corda AC che forma con il diametro un
3
angolo α la cui tangente vale . Calcolare la lunghezza delle corde BC e AC.
4
4) In un triangolo α =
π
4
i lati che lo comprendono sono b = 4 e c =
2 . Calcolare le funzioni
degli angoli β e γ .
5) In un trapezio isoscele una diagonale forma con uno dei lati obliqui un angolo di 30°, uno
degli angoli alla base è 45° e la base maggiore misura 9 3 . Trovare la lunghezza della base
minore.
6) Risolvere un triangolo rettangolo sapendo che un cateto misura 24 cm e che l’ipotenusa è
17
dell’altro cateto.
15
7) Risolvere il triangolo isoscele di perimetro 2p = 64cm e base 14 cm.
8) Calcolare perimetro e area di un triangolo rettangolo sapendo che c = 60 cm e tg β =
12
.
5
9) Risolvere un triangolo rettangolo sapendo che l’ ipotenusa è 12 cm e l’area 18 3 cm2.
10) Risolvere un triangolo isoscele nota la base a = 16 cm e l’area S =
64 3
cm2.
3