rettangoli -quelli

Il calcolo di un integrale definito può essere laborioso fornendoci un valore con una precisione per noi
inutile. Per semplificarne il calcolo avendo in ogni caso dei valori che non si discostino molto da quello
reale, è necessario utilizzare i metodi d’integrazione numerica.
In generale ognuno di questi metodi consiste nello scomporre l’intervallo di integrazione [a , b] in più
intervalli di ampiezza
b−a
, dove n è il numero di sottointervalli in cui si vuole suddividere [a , b].
n
Una volta ottenuti questi intervalli, è possibile costruire su di essi una serie di figure geometriche, le cui
somma delle aree riesca ad approssimare più o meno fedelmente il volume dell’integrale definito.
Esistono tre metodi di approssimazione, che differiscono in base a quale figura geometrica viene costruita su
ogni intervallo ∆x (cioè
b−a
): dei RETTANGOLI, dei TRAPEZI e di CAVALIERI-SIMPSON.
n
RETTANGOLI
Il metodo dei rettangoli costruisce su ogni ∆x un rettangolo di base ∆x e altezza il minimo
(approssimazione per difetto) o il massimo (approssimazione per eccesso) della funzione in quell’intervallo,
è il meno preciso dei tre metodi ma è di semplice realizzazione, infatti la sua formula è
=
b−a
( y0 + y1 + y2 + ... + yn−1 ) : plurirettangolo inscritto
n
=
b−a
( y1 + y2 + y2 + ... + yn ) : plurirettangolo circoscritto.
n
b
∫ f ( x)dx
a
b
∫ f ( x)dx
a
2
Esempio: calcolare
∫ x dx
2
0
Poniamo n = 8; (n può valere quanto vogliamo, più è grande, più laboriosi sono i calcoli, maggiore è la
precisione); dividiamo l’intervallo [0;2]in 8 intervallini e calcoliamo il passo h =
Costruiamo la seguente tabella
x0 = 0
x1 = 0,25
x2 = 0,5
x3 = 0,75
x4 = 1
x5 = 1,25
x6 = 1,5
x7 = 1,75
x8 = 2
b−a
= (2 - 0)/8= 0,25;
n
y0 = 0
y1 = 0,0625
y2 = 0,25
y3 = 0,5625
y4 = 1
y5 = 1,5625
y6 = 2,25
y7 = 3,0625
y8 = 4
Approssimiamo con la prima formula (rettangoli inscritti)
2
∫ x dx =
2
0
b−a
( y0 + y1 + y2 + ... + y7 ) =
n
=(0,25)(0 + 0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1 + 1,5625 + 2,25 + 3,0625) = 2,1875
Approssimiamo con la seconda formula (rettangoli circoscritti)
b−a
( y1 + y2 + ... + y8 ) =(0,25)(0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1 + 1,5625 + 2,25 + 3,0625+ 4) = 3,1875
n
0
naturalmente l’integrale può essere calcolato in modo esatto (Torricelli)
2
∫ x dx =
2
2
 x3 
8
=
x
dx
3 =3
∫0
 0
2
2
8
= 2, 6
3
TRAPEZI
Il metodo dei trapezi è molto più preciso rispetto a quello dei rettangoli, infatti costruisce su ogni ∆x un
trapezio rettangolo la cui base maggiore è il massimo della funzione nell’intervallo ∆x , la base minore ne è
il minimo mentre l’altezza è ∆x .
La formula per approssimare il valore di un integrale con questo metodo è
b
∫ f ( x)dx
=
a
b − a  y0 + y n

+ y1 + y2 + y3 + ... + yn−1  .

n  2

2
Esempio: ricalcolare
∫ x dx con questo metodo
2
0
Poniamo n = 8, il passo è ancora h =
b−a
= 0,25;
n
Riportiamo qui la tabella precedente >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
Approssimiamo con il metodo dei trapezi
2
∫ x dx =
2
0
b − a  y0 + y8

+ y1 + y2 + y3 + ... + y7  =

n  2

x0 = 0
x1 = 0,25
x2 = 0,5
x3 = 0,75
x4 = 1
x5 = 1,25
x6 = 1,5
x7 = 1,75
x8 = 2
y0 = 0
y1 = 0,0625
y2 = 0,25
y3 = 0,5625
y4 = 1
y5 = 1,5625
y6 = 2,25
y7 = 3,0625
y8 = 4
0+4

=(0,25) 
+ 0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1 + 1,5625 + 2,25 + 3,0625  = 2,6875
 2

CAVALIERI-SIMPSON (o delle parabole)
La formula per approssimare il valore di un integrale con questo metodo è
b
∫ f ( x)dx =
a
1 b−a
⋅
[ y0 + y 2 n + 4 ( y 2 + y4 + ... + y 2 n−2 ) + 2( y1 + y 3 + ... + y 2 n−1 )].
3 2n
2
Esempio: ricalcolare
∫ x dx con questo metodo; poniamo n = 8; il passo è h =
2
0
x0 = 0
x1 = 0,125
x2 = 0,25
x3 = 0,375
x4 = 0,5
x5 = 0,625
x6 = 0,75
x7 = 0,875
x8 = 1
y0 = 0
y1 = 0,015625
y2 = 0,0625
y3 = 0,140625
y4 = 0,25
y5 = 0,390625
y6 = 0,5625
y7 = 0,765625
y8 = 1
x9 = 1,125
x10 = 1,25
x11 = 1,375
x12 = 1,5
x13 = 1,625
x14 = 1,75
x15 = 1,875
x16 = 2
b−a
= 0,125; La tabella:
2n
y9 = 1,265625
y10 = 1,5625
y11 = 1,890625
y12 = 2,25
y13 = 2,640625
y14 = 3,0625
Y15 = 3,515625
y16 = 4
Approssimiamo con il metodo di Cavalieri-Simpson
2
1 b−a
2
∫0 x dx = 3 ⋅ 2n [ y0 + y16 + 4 ⋅ ( y2 + y4 + ... y14 ) + 2 ⋅ ( y1 + y3 + ... y15 )]=
0 + 4 + 4 ⋅ (0,0625 + 0,25 + 0,5625 + 1 + 1,5625 + 2,25 + 3,0625) +


= (0,04166) 2 ⋅ (0,15625 + 0,140625 + 0,390625 + 0,765625 + 1,265625 + 1,890625 +  = 2,51
2,640625 + 3,515625)
