Cenni di Logica Matematica

Cenni di Logica Matematica
Matematica Generale
Cenni di Logica Matematica
 Logica Formale: codifica delle regole formali cui devono obbedire le
teorie deduttive.
 La logica matematica e` di tipo binario: ogni proposizione e`
necessariamente o vera o falsa.
– Le proposizione “indecidibili” non fanno parte della logica matematica:
– “La presente proposizione e` falsa”
– “Il barbiere rade solo chi non si rade da se`”
 Un Teorema e` un enunciato che collega due proposizioni: una
proposizione supposta vera (ipotesi) ed una proposizione (tesi) che
“segue” o “discende” dalla prima tramite un ragionamento logico.
 Per dimostrazione si intende il ragionamento che permette di concludere
che la tesi sia vera assumendo che l’ipotesi sia vera. Questo
ragionamento deve seguire le regole della logica formale.
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Matematica Generale
 Una Teoria e` una collezione di proposizioni. La teoria e` consistente se non
si puo` dedurre in essa P e il contrario di P.
 Esempio: la seguente teoria (composta dalle proposizione P1, P2 e P3)
e` consistente?
P1: Mario ha i capelli rossi
P2: Ogni studente di questo corso ha i capelli neri
P3: Mario e` uno studente di questo corso
 Una proposizione P e` indipendente dalla teoria consistente T se la teoria
che si ottiene aggiungendo P a T e` consistente ed anche la teoria che si
ottiene aggiungendo “non P” a T e` consistente.
 Esempio: P1 e` indipendente dalla teoria composta da P2 e P3?
 Esempio: la proposizione
P4: Mario ha i baffi
E` indipendente dalla teoria composta da P2 e P3?
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Matematica Generale
 Due proposizioni P e Q sono equivalenti se sono entrambe vere o entrambe false.
Si indica con:
"P ! Q" oppure con "P sse Q" (se e soltanto se)
 Si definisce “somma logica” delle proposizioni P e Q ( P ! Q) la proposizione che e`
vera se almeno una tra P e Q sono vere.
–
Nota: la somma logica non denota un’alternativa tra le proposizioni. P e Q possono
essere entrambe vere.
 Si definisce “prodotto logico” delle proposizioni P e Q (P ! Q ) la proposizione che e`
vera se P e Q sono entrambe vere.
 Si definisce “negazione” della proposizione P (
e` falsa ed e` falsa se P e` vera.
 L’implicazione logica (
!P) la proposizione che e` vera se P
!) e` la relazione fondamentale tra proposizioni.
L’affermazione P ! Q significa che se P e` vera, anche Q e` vera.
–
P e` condizione sufficiente per Q.
–
Q e` condizione necessaria per P.
Osservazione: P ! Q e` essa stessa una proposizione (puo` essere vera o falsa)
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Matematica Generale
 Se si verifica che P ! Q e Q ! P allora le due proposizione P e Q
sono equivalenti P ! Q
– P e` condizione necessaria e sufficiente per Q
– P se e soltanto se Q (P sse Q)
 Proprieta` dell’implicazione: se P ! Q allora !Q ! !P
– Di conseguenza le due affermazioni P ! Q e !Q ! !P sono
equivalenti.
 Tecniche dimostrative (per dimostrare che “P implica Q”):
– Dimostrazione Diretta: dimostro P ! Q
– Dimostrazione Inversa (Contronominale): dimostro !Q ! !P
– Dimostrazione per Assurdo: dimostro che assumendo vere P e !Q si arriva
ad una contraddizione (teoria non consistente: una affermazione vera e
falsa contemporaneamente).
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Matematica Generale
Esempio:
–
Definizione: un numero intero x e` “primo” se e` divisibile solo per 1 e x
–
Definizione: un numero intero x e` “dispari” se non e` divisibile per 2
–
P = “x e` un numero intero primo diverso da 2”
–
Q = “x e` un numero intero dispari”
–
Teorema: P implica Q ( P
–
Dimostrazione Diretta:
! Q)
Per ipotesi x e` un numero primo diverso da due, quindi e` divisibile solo per 1 e x (x diverso da 2),
quindi x non e` divisibile per 2
–
Dimostrazione Inversa:
Per ipotesi (!Q) x e` un numero intero non dispari, ovvero e` divisibile per 2. Vogliamo dimostrare
che !P e` vera, ovvero che o x non e` primo oppure x e` uguale a 2. Supponiamo quindi x
diverso da 2 (altrimenti !P e` vera automaticamente). Per l’ipotesi (!Q) x e` divisibile per 2 oltre
che per 1 e per x. Quindi necessariamente x non e` primo e quindi !P e` vera.
–
Dimostrazione per Assurdo:
Supponiamo vere P e !Q. Per l’ipotesi P x e` divisibile solo per 1 e x e x diverso da 2. Quindi per
l’ipotesi P, x non e` divisibile per 2. Per l’ipotesi !Q x e` non dispari, ovvero divisibile per 2. La
proposizione “x e` divisibile per 2” risulta quindi contemporaneamente vera e falsa.
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