Calcolo delle Probabilità: esercitazione 4
Argomento: Probabilità classica Libro di testo pag. 1-7 e 72-77 e variabile casuale uniforme discreta
NB: assicurarsi di conoscere le definizioni, le proprietà richiamate e le relative dimostrazioni quando
necessario
Esercizio 1
Si consideri un’urna con N palline numerate da 1 a N, di cui K incandescenti e N−K fredde. Si
supponga che n (n<N) palline siano estratte casualmente dall’urna e fatte scivolare su un contenitore
esterno da un meccanismo automatico. Qual è la probabilità che si estraggano k palline incandescenti
nel caso di
a)
reinserimento
b)
senza reinserimento
c)
Si supponga N=8, K=4, n=4, k=2. Se voi foste l’incaricato al recupero manuale dal contenitore
esterno ed eventuale reinserimento delle palle uscita dall’urna, bendato e privo di qualsivoglia
protezione alle mani, quali dei due schemi preferireste che fosse utilizzato?
Soluzione
Si applica la definizione classica di probabilità:
numero casi favorevoli
numero casi possibili
a) numero dei casi possibili = D(Nr ,)n = Nn (possibili campioni di ampiezza n con reinserimento)
n
numero di casi favorevoli = K k ( N − K ) n − k
k
probabilità di k palle incandescenti =
n k
K ( N − K ) n − k
k
n −k
n k
n K N − K
n−k
k
=
= (p ) (1 − p )
n
N
k N N
k
dove p è la proporzione di palle incandescenti nell’urna
b) numero dei casi possibili = DN.n =
N!
(possibili campioni di ampiezza n nel caso in cui non
( N − n )!
ci sia reinserimento anche detto campionamento in blocco)
n
n
K!
( N − K )!
numero di casi favorevoli = D N − K , n − k = D K , k D N − K , n − k =
k
k (K − k )! (N − K − (n − k ) )!
1
Calcolo delle Probabilità: esercitazione 4
n K!
( N − K )!
K N − K
k (K − k )! (N − K − (n − k ) ) ! k n − k
probabilità di k palle incandescenti =
=
N!
N
( N − n )!
n
c) nel caso a) Prob(k palle incandescenti) ≈ 0.514
nel caso b) Prob(k palle incandescenti) = 0,375
Supponendo che l’addetto preferisca preservare l’arto intatto (☺) al lasciare brandelli di tessuto
epiteliale e connettivo su qualche palla uscita dall’urna (), lo schema senza reinserimento
dovrebbe essere quello preferito.
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Calcolo delle Probabilità: esercitazione 4
Esercizio 2
Da un’urna contenente 12 palline verdi e 8 palline rosse si estraggono 4 palline.
Si calcoli la probabilità che nel campione estratto vi siano più palline verdi che rosse,
1. se l’estrazione è con reinserimento;
2. se l’estrazione è senza reinserimento.
Soluzione
Da un’urna contenente 12 palline verdi e 8 palline rosse si estraggono 4 palline.
La probabilità che nel campione estratto vi siano più palline verdi che rosse risulta:
1. 0.4752, se l’estrazione è con reinserimento;
2. 0.4654, se l’estrazione è senza reinserimento.
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Calcolo delle Probabilità: esercitazione 4
Esercizio 3
Da un’urna contenente 44 palline, delle quali 11 sono bianche, si estraggono con reinserimento 3
palline.
1. Si calcoli la probabilità che la prima pallina estratta sia bianca.
2. Si calcoli la probabilità che, fra le tre palline estratte, una sia bianca e le altre due non siano
bianche.
3. Si calcoli la probabilità che almeno una delle tre palline estratte sia bianca.
Soluzione
1. La probabilità che la prima pallina estratta sia bianca coincide con la proporzione p di palline
bianche nell’urna: p = 11 / 44 = ¼ = 0.25.
2. La probabilità che una pallina sia bianca e le altre due non siano bianche si può calcolare come
3p(1 – p)2 = (3/4)3 = 0.42.
3. La probabilità che almeno una delle tre palline estratte sia bianca è data da
1 – (1 – p)3 = 1 – (3/4)3 = 0.58.
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Calcolo delle Probabilità: esercitazione 4
Esercizio 4
Da un’urna contenente 28 palline bianche e 46 palline nere si estraggono con reinserimento 3 palline.
1. Si calcoli la probabilità che nessuna pallina estratta sia bianca.
2. Si determini la probabilità che le palline estratte siano tutte dello stesso colore.
3. Si calcoli la probabilità che almeno una pallina estratta sia bianca.
Soluzione
Si indichi con p la proporzione di palline bianche nell’urna, ovvero
p = 28 / (28+46) = 14/37.
1. La probabilità che nessuna delle 3 palline estratte sia bianca è data da
(1−p)3 = (23/37)3 = 0.24
2. La probabilità che le 3 palline estratte siano dello stesso colore è data da
(1−p)3 + p3 = 0.24+0.05 = 0.29
3. La probabilità che almeno una delle 3 palline estratte sia bianca è data da
1 – (1−p)3 = 1−0.24 = 0.76
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Calcolo delle Probabilità: esercitazione 4
Esercizio 5
Si consideri un gioco che consiste nel lanciare un dado regolare le cui facce sono contrassegnate con i
numeri da 1 a 6. Il giocatore paga per giocare un prezzo di 40 euro e vince una somma pari 10 euro
moltiplicata per il numero ottenuto nella prova.
Si consideri la variabile casuale X che rappresenta il guadagno ottenuto dal giocatore al netto del
prezzo pagato per giocare.
1.
Si dica qual è il supporto della variabile X e si disegni il grafico della funzione di probabilità e
della funzione di ripartizione.
2.
Si calcoli il valore atteso e la varianza di X.
3.
Giochereste al gioco? Giochereste al gioco se il prezzo fosse 10 euro? E se fosse 60 euro?
Soluzione
1.
Il supporto di X è pari a: −30, −20, −10, 0, 10, 20 ottenuto come
10×valore sulla faccia del dado − 30
P(X=x)= 1/6
2.
x= −30, −20, −10, 0, 10, 20 avendo ogni faccia la medesima probabilità 1/6
E(X)= −5 euro e Var (X ) = E (X 2 ) − (E (X )) 2 ≈ 292
Alternativamente indicando con Y la v.a. che assume valore pari al numero riportato sulla faccia
del dado si ha che Y è una v.a. uniforme discreta con N=6 e supporto 1,2,…,6.
Da cui
E(Y) =
N +1 7
=
2
2
e
Var (Y) =
N 2 − 1 35
=
12
12
.
Essendo X = −30 + 10 Y si ha
E(X)= −30 + 10×
Var(X)= 100×
3.
7
= −5
2
35
≈ 292
12
Per un prezzo pari a 30 non sembra conveniente giocare avendo il gioco un guadagno atteso
negativo. Per un prezzo pari a 60 euro il gioco ha un guadagno positivo con probabilità 0 sembra
dunque irrazionale giocare (essendo impossibile l’evento “guadagno positivo”). Per un prezzo
pari a 10 il guadagno atteso è 25 euro e quindi è razionale accettare il gioco
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Calcolo delle Probabilità: esercitazione 4
Esercizio 6
Sia X una v.a con distribuzione binomiale di parametri n e p. Si dimostri che E(X)=np e
Var(X)=np(1−p). Suggerimento i
( ) = n( ).
n
i
n −1
i −1
Soluzione
[
]
Si dimostra la seguente formula ricorsiva E (X k ) = npE (Y + 1) k −1 con Y∼ Bin (p, n−1)
n
n
n
i =0
i =1
i =1
E (X k ) = ∑ i k (in )pi (1 − p) n − i =∑ i k (in )pi (1 − p) n − i = np∑ i k −1 (in−−11 )pi −1 (1 − p) n − i =
n −1
= np∑ ( j + 1) k −1 ( nj −1 )p j (1 − p) n −1− j
(sostituendo j=i−1)
j= 0
[
= npE (Y + 1) k −1
[
]
]
Da cui E (X) = npE (Y + 1)0 = np .
Inoltre E (X 2 ) = npE (Y + 1) = npE (Y) + np = np(n − 1)p + np = n 2 p 2 − np 2 + np .
Da cui Var (X) = E (X 2 ) − E(X) 2 = n 2 p 2 − np 2 + np − n 2 p 2 = np(1 − p) .
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