prova di matematica

1
ESERCIZI
Esercizio 1. Consideriamo nel piano xy la parabola y = x2. Discutere il problema di trovare, tra tutte le corde che
congiungono due punti sulla parabola tali che in una delle due estremità la corda sia perpendicolare alla parabola, quelle
di lunghezza minima.
Esercizio 2. È dato un numero primo p
necessariamente:
io
1,2,5 e si considerano le sue potenze p,p2, ... ,p999. Mostrare che,
almeno una di queste potenze di p, scritta i.n notazione
decimale) deve terminare
con le cifre 001.
Esercizio 3. Si consideri un triangolo con vertici A, B, C e siano D ed E due 5uoi punti interni tali che valgano le
seguenti. congruenze fra angoli:
EAB = DAC
EBA = DBC
ECA = DCB
Dimostrare che le proiezioni E" E2, E3 di E appartengono a una circonferenza il cui centro è Q, il punto medio del
segmento DE (si veda la figura).
A
c
B
Esercizio 4. Indichiamo con Z+ l'insieme dei numeri interi>
soddisfano le seguenti t1~ p1'Oprietà:
O. Si considerino le funzioni f
• per ogni n E Z+
f(1(n))
• per ogni n E Z+
f(n)
• MCD(1(n),
:s n +{(n)
:s f(n + 1)
f(m)) = 1 per ogni coppia di interi positivi distinti n, m.
Quante sono le funzioni f che godono delle p1'Oprietàelencate sopra?
Z+
-4
Z+ che
2
5. In un gioco tradizionale armeno un giocatore gioca contro il banco lanciando due dadi. Se la somma dei
risultati che appaiono sulle facce superiori vale 7 o 11 il giocatore vince, se invece la somma vale 2, 9 o 12 vince il
banco. Nel caso in cui al primo lancio il giocatore ottenga un risultato n diverso da 2, 9, 7, 11, 12, egli lancia ancora
i dadi ripetutamente finché la somma delle facce superiori non faccia n, nel cui caso vince, o 7, nel cui caso vince il
banco. Qual è la probabilità che il giocatore ha di vincere? Conviene fare questo gioco?
Esercizio
Esercizio
6. Si consideri un sottoinsieme D del piano contenente un numero finito di punti N. Fissato un sistema
di riferimento cartesiano ortogonale con coordinate Xl e X2J si considerino la proiezione DI di D sull'asse Xl e la
proiezione D2 di D sull'asse X2. Detti Nl e N2 il numero di elementi di DI e D2 rispettivamente, si dimostri che
almeno uno tra Nl e N2 deve essere maggiore o uguale di VN.
Fissato poi un sistema di riferirr.ento cartesiano ortogonale in R3, si consideri un sottoinsieme finito E di Z3 =
{(l, m, n) : l, m, n E Z}. Siano El, E2, E3 rispettivomente le proiezioni di E sui piani cartesiani or/ogonali alle
direzioni dei vettori el = (1, O,O), e2 = (O, 1, O) e e3 = (O,O, 1). Denotato con IX I il numero di elementi di un insieme
X, si dimostri che