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Metodi Statistici per l’Ingegneria - A.A. 2011/12 appello scritto del 20/6/12
Cognome
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Matricola
Si possono utilizzare le tabelle delle distribuzioni fornite, e la calcolatrice. E’ vietato l’uso di libri, appunti etc.
In tal caso la prova viene annullata.
Il testo degli esercizi va riconsegnato assieme all’elaborato. La calligrafia deve essere leggibile.
Motivare le risposte. Soluzioni numeriche senza descrizione del procedimento non sono considerate valide.
1)
X si distribuisce come una Poissoniana di parametro  pari al valor medio 4.
a) la probabilità che in 3 giorni arrivino non più di 5 prenotazioni e’ FX(5) = P(X5) = (P(X=5)+ P(X=4)+ P(X=3)+
P(X=2)+ P(X=1)+ P(X=0)) essendo P(X=i) = i e- / i! seguono i calcoli.
b) Analogamente, la probabilità che in 3 giorni arrivino più di 6 prenotazioni equivale a chiedere P(X>6) = 1-P(X6) =
1 - P(X=6) - P(X5), utilizzando i calcoli svolti nel punto a).
2)
Una variabile aleatoria continua X di valor medio 0, ha densità: f(x) = α1 per -1x<0; α2 per 0x1; 0 altrove.
Per determinare α1 e α2 impongo -∞+∞ f(x) dx = 1 e E[X]=0, cioe’ -∞+∞ x f(x) dx = 1
Entrambi gli integrali hanno f(x)=0 per x negli intervalli ( -∞, -1) e (1, +∞) da cui
-∞+∞ f(x) dx = -10 f(x) dx + 01 f(x) dx = -10 α1 dx + 01 α2 dx = α1x]-10 + α2x]01 = α1+ α2 = 1
-∞+∞ x f(x) dx = -10 x f(x) dx + 01 x f(x) dx = -10 x α1 dx + 01 x α2 dx = α1x2/2]-10 + α2x2/2]01 = ½ (α2 - α1) = 0
Da cui segue, come unica soluzione del sistema, α1 = α2 = ½
3)
8 paia di scarpe vengono messe in un cesto. Ogni giocatore ne estrae due a caso, ad esaurimento (le scarpe estratte non
vengono mai rientrodotte). Se le due scarpe estratte formano una coppia ben assortita (non necessariamente di proprietà
dell’estrattore) chi le ha estratte vince. Con quale probabilità il primo giocatore vince? E il secondo?
Va considerata la scelta di quale paio di scarpe (su 8) fa vincere il 1 giocatore, e la probabilità di estrarre quel paio di
scarpe nelle prime 2 estrazioni sena reimbussolamento, nei 2 modi possibili (sx-dx o dx-sx).
Ogni volta si sceglie su tutte le scarpe disponibili nel cesto (16 alla prima estrazione, 15 alla seconda etc.) con
probabilità uniforme. Uso la regola del rapporto casi favorevoli su casi possibili. Il giocatore 1 vince con probabilità = 8
(quale coppia) 2 (i due casi dx-sx oppure sx-dx) (1/16)(prob la scarpa dx della coppia scelta fra le 8) (1/15) (la scarpa
compagna) = 1/15. Risultato analogo si ottiene dividendo per 16! il numero delle sequenze favorevoli, 8 2 14!.
Per calcolare la probabilità di vincita del giocatore 2 considero due eventi disgiunti e faccio la somma della loro
probabilità. I due eventi sono: “2 vince  1 ha vinto” e “2 vince  1 non ha vinto”. Uso P(AB)=P(A|B) P(B)
Nel primo caso: A=(2 vince | 1 ha vinto) e’ come giocare in 7, quindi vale la formula di prima calibrata su 7 e non su 8
P(A) = 7 2 (1/14) 1/13 = 1/13, da moltiplicare per 1/15 = P(1 vince).
Nel secondo caso, se 1 non ha vinto, ho 2 scarpe su 14 che non possono formare una coppia e solo 6 paia accoppiabili: 6
2 (1/14) 1/13, moltiplicato per 1- P(1 vince) cioe’ per 14/15.
In totale = 1/(13 15) + 6 2 /(14 13) 14/15 = 1/(13 15) (1 + 6 2) = 1/15
4)
Pag 256 del libro
5)
X e Y indipendenti con f(x) = 0 per x <0; e-x per x0. f(y) = 0 per x <0; e-y per y0.
Per calcolare P(Z<=z), fissato un valore di z, si integra la densita congiunta di x e y (e-(x+y) per l’indipendenza) nella
regione di R2 in cui X e Y hanno valori per cui X/Y<z, e f(x,y)0. Si tratta della regione nel primo quadrante compresa
tra l’asse delle y e la retta x/y=z, e si ottiene FZ(z) = 1–1/(1+z)