Richiami di matematica - Progetto e

Richiami di matematica
Seno coseno e tangente di un angolo
Consideriamo nel piano cartesiano, una circonferenza goniometrica cioè una
circonferenza di raggio unitario e l’angolo α formato dalla semiretta a uscente
dall’origine O e l’asse delle ascisse come in figura:
Il seno dell’angolo α è definito come il valore della coordinata y del punto di
intersezione tra la semiretta (punto B) e la circonferenza. Nell’esempio della figura
precedente il seno dell’angolo α è rappresentato dalla lunghezza del segmento
.
Il coseno dell’angolo α è definito come il valore dell’ascissa x del punto di
intersezione tra la semiretta (punto B) e la circonferenza. Nell’esempio della figura
precedente il coseno dell’angolo α è rappresentato dalla lunghezza del segmento
.
La tangente dell’angolo α è definita come il rapporto tra il seno e coseno dello
stesso angolo α.
Proprietà di triangoli rettangoli
Teorema 1. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa
con il seno dell'angolo opposto al cateto.
Teorema 2 In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'ipotenusa
con il coseno dell'angolo acuto adiacente al cateto.
Teorema 3. In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell'altro cateto
con la tangente dell'angolo opposto al cateto da calcolare.
Applicando i teoremi 1 e 2 al triangolo rettangolo rappresentato nella seguente figura,
si ha:
Teorema 1 applicato al cateto
. In un triangolo rettangolo, un cateto (
)è
uguale al prodotto dell'ipotenusa (
) con il seno dell'angolo opposto al cateto. In
formule si ha:
=
· sin β
Teorema 1 applicato al cateto
. In un triangolo rettangolo, un cateto (
)è
uguale al prodotto dell'ipotenusa (
) con il seno dell'angolo opposto al cateto. In
formule si ha:
=
· sin α
Teorema 2 applicato al cateto
. In un triangolo rettangolo, un cateto (
)è
uguale al prodotto dell'ipotenusa (
) con il coseno dell'angolo acuto adiacente al
cateto. In formule si ha:
=
· cos β
Teorema 2 applicato al cateto
. In un triangolo rettangolo, un cateto (
)è
uguale al prodotto dell'ipotenusa (
) con il coseno dell'angolo acuto adiacente al
cateto. In formule si ha:
=
· cos α
Relazione fondamentale della goniometria
Dato il triangolo rettangolo AHB e, utilizzando il teorema di Pitagora, ricaviamo
l’espressione dell’ipotenusa
.
L’ipotenusa
rappresenta il raggio della circonferenza goniometrica e quindi vale
uno. Considerando che il segmento
rappresenta il coseno dell’angolo α e che il
segmento
rappresenta il seno dell’angolo α, si ottiene:
(1 ° relazione fondamentale della goniometria)
Ricavando le espressioni di
e di
, si ha:
Valori del seno e coseno di angoli espressi in gradi e radianti
Tavola con valori
Gradi °
<0°
0°
1°
2°
3°
4°
5°
6°
7°
8°
9°
10°
11°
12°
13°
14°
15°
16°
17°
18°
19°
20°
21°
22°
23°
24°
25°
26°
27°
28°
29°
30°
31°
32°
33°
34°
35°
36°
37°
38°
39°
40°
41°
42°
Radianti
0
π/180
π/90
π/60
π/45
π/36
π/30
7π/180
2π/45
π/20
π/18
11π/180
π/15
13π/180
7π/90
π/12
4π/45
17π/180
π/10
19π/180
π/9
7π/60
11π/90
23π/180
2π/15
5π/36
13π/90
3π/20
7π/45
29π/180
π/6
31π/180
8π/45
11π/60
17π/90
7π/36
π/5
37π/180
19π/90
13π/60
2π/9
41π/180
7π/30
Seno
-sin (-x)
0
0,0175
0,0349
0,0523
0,0698
0,0872
0,1045
0,1219
0,1392
0,1564
0,1736
0,1908
0,2079
0,2250
0,2419
0,2588
0,2756
0,2924
0,3090
0,3256
0,3420
0,3584
0,3746
0,3907
0,4067
0,4226
0,4384
0,4540
0,4695
0,4848
0,5000[3]
0,5150
0,5299
0,5446
0,5592
0,5736
0,5878
0,6018
0,6157
0,6293
0,6428
0,6561
0,6691
Coseno
cos (-x)
1
0,9998
0,9994
0,9986
0,9976
0,9962
0,9945
0,9925
0,9903
0,9877
0,9848
0,9816
0,9781
0,9744
0,9703
0,9659
0,9613
0,9563
0,9511
0,9455
0,9397
0,9336
0,9272
0,9205
0,9135
0,9063
0,8988
0,8910
0,8829
0,8746
0,8660[4]
0,8572
0,8480
0,8387
0,8290
0,8192
0,8090
0,7986
0,7880
0,7771
0,7660
0,7547
0,7431
Tangente
-tg(-x)
0
0,0175
0,0349
0,0524
0,0699
0,0875
0,1051
0,1228
0,1405
0,1584
0,1763
0,1944
0,2126
0,2309
0,2493
0,2679
0,2867
0,3057
0,3249
0,3443
0,3640
0,3839
0,4040
0,4245
0,4452
0,4663
0,4877
0,5095
0,5317
0,5543
0,57735[5]
0,6009
0,6249
0,6494
0,6745
0,7002
0,7265
0,7536
0,7813
0,8098
0,8391
0,8693
0,9004
43°
44°
45°
45°↔90°
60°
90°
90°↔180°
180°
180°↔360°
360°
>360°
43π/180
11π/45
π/4
π/4↔π/2
π/3
π/2
π/2↔π
π
π↔2π
2π
>2π
0,6820
0,6947
0,7071[7]
cos(90°-x)
0,8660[4]
1
sin(180°-x)
0
-sin(x-180°)
0
sin(x-360°)
0,7314
0,7193
0,7071[7]
sin(90°-x)
0,5000[3]
0
-cos(180°-x)
-1
-cos(x-180°)
1
cos(x-360°)
0,9325
0,9657
1
ctg(90°-x)
1,7321[6]
Non definita
-tg(180°-x)
0
tg(x-180°)
0
tg(x-360°)