Fondamenti di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Fondamenti di
ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA
Corso di laurea in Ingegneria Gestionale
2011 - 2012
Michel Lavrauw
Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali
Università di Padova
Lezione 8
Capitolo 3 - Spazi vettoriali
Uno spazio vettoriale è una quaterna (V , K , +, ·) dove
Capitolo 3 - Spazi vettoriali
Uno spazio vettoriale è una quaterna (V , K , +, ·) dove
I
V è un insieme non vuoto e K è un campo
Capitolo 3 - Spazi vettoriali
Uno spazio vettoriale è una quaterna (V , K , +, ·) dove
I
V è un insieme non vuoto e K è un campo
I
+ è un operazione binaria (”somma”)
+ : V ×V →V
Capitolo 3 - Spazi vettoriali
Uno spazio vettoriale è una quaterna (V , K , +, ·) dove
I
V è un insieme non vuoto e K è un campo
I
+ è un operazione binaria (”somma”)
+ : V ×V →V
I
· è un operazione binaria (”prodotto esterno”)
· : K ×V →V
tali che valgono le proprietà
Capitolo 3 - Spazi vettoriali
Uno spazio vettoriale è una quaterna (V , K , +, ·) dove
I
V è un insieme non vuoto e K è un campo
I
+ è un operazione binaria (”somma”)
+ : V ×V →V
I
· è un operazione binaria (”prodotto esterno”)
· : K ×V →V
tali che valgono le proprietà
1. ”somma”: (i) elemento neutro;
Capitolo 3 - Spazi vettoriali
Uno spazio vettoriale è una quaterna (V , K , +, ·) dove
I
V è un insieme non vuoto e K è un campo
I
+ è un operazione binaria (”somma”)
+ : V ×V →V
I
· è un operazione binaria (”prodotto esterno”)
· : K ×V →V
tali che valgono le proprietà
1. ”somma”: (i) elemento neutro; (ii) inversa;
Capitolo 3 - Spazi vettoriali
Uno spazio vettoriale è una quaterna (V , K , +, ·) dove
I
V è un insieme non vuoto e K è un campo
I
+ è un operazione binaria (”somma”)
+ : V ×V →V
I
· è un operazione binaria (”prodotto esterno”)
· : K ×V →V
tali che valgono le proprietà
1. ”somma”: (i) elemento neutro; (ii) inversa; (iii) associatività;
Capitolo 3 - Spazi vettoriali
Uno spazio vettoriale è una quaterna (V , K , +, ·) dove
I
V è un insieme non vuoto e K è un campo
I
+ è un operazione binaria (”somma”)
+ : V ×V →V
I
· è un operazione binaria (”prodotto esterno”)
· : K ×V →V
tali che valgono le proprietà
1. ”somma”: (i) elemento neutro; (ii) inversa; (iii) associatività;
(iv) commutatività;
Capitolo 3 - Spazi vettoriali
Uno spazio vettoriale è una quaterna (V , K , +, ·) dove
I
V è un insieme non vuoto e K è un campo
I
+ è un operazione binaria (”somma”)
+ : V ×V →V
I
· è un operazione binaria (”prodotto esterno”)
· : K ×V →V
tali che valgono le proprietà
1. ”somma”: (i) elemento neutro; (ii) inversa; (iii) associatività;
(iv) commutatività;
2. ”prodotto esterno”: ∀h, k ∈ K , ∀v , w ∈ V
(i) h · (v + w ) = h · v + h · w ;
Capitolo 3 - Spazi vettoriali
Uno spazio vettoriale è una quaterna (V , K , +, ·) dove
I
V è un insieme non vuoto e K è un campo
I
+ è un operazione binaria (”somma”)
+ : V ×V →V
I
· è un operazione binaria (”prodotto esterno”)
· : K ×V →V
tali che valgono le proprietà
1. ”somma”: (i) elemento neutro; (ii) inversa; (iii) associatività;
(iv) commutatività;
2. ”prodotto esterno”: ∀h, k ∈ K , ∀v , w ∈ V
(i) h · (v + w ) = h · v + h · w ; (ii) (h + k) · v = h · v + k · v ;
Capitolo 3 - Spazi vettoriali
Uno spazio vettoriale è una quaterna (V , K , +, ·) dove
I
V è un insieme non vuoto e K è un campo
I
+ è un operazione binaria (”somma”)
+ : V ×V →V
I
· è un operazione binaria (”prodotto esterno”)
· : K ×V →V
tali che valgono le proprietà
1. ”somma”: (i) elemento neutro; (ii) inversa; (iii) associatività;
(iv) commutatività;
2. ”prodotto esterno”: ∀h, k ∈ K , ∀v , w ∈ V
(i) h · (v + w ) = h · v + h · w ; (ii) (h + k) · v = h · v + k · v ;
(iii) (hk) · v = h · (k · v );
Capitolo 3 - Spazi vettoriali
Uno spazio vettoriale è una quaterna (V , K , +, ·) dove
I
V è un insieme non vuoto e K è un campo
I
+ è un operazione binaria (”somma”)
+ : V ×V →V
I
· è un operazione binaria (”prodotto esterno”)
· : K ×V →V
tali che valgono le proprietà
1. ”somma”: (i) elemento neutro; (ii) inversa; (iii) associatività;
(iv) commutatività;
2. ”prodotto esterno”: ∀h, k ∈ K , ∀v , w ∈ V
(i) h · (v + w ) = h · v + h · w ; (ii) (h + k) · v = h · v + k · v ;
(iii) (hk) · v = h · (k · v ); (iv) 1 · v = v ;
Spazi vettoriali - Esempi
Esempi già incontrati:
Spazi vettoriali - Esempi
Esempi già incontrati:
1. (V , K , +, ·) = (M(m × n, K ), K , +, ·) con prodotto esterno
h · A = hA, h ∈ K
Spazi vettoriali - Esempi
Esempi già incontrati:
1. (V , K , +, ·) = (M(m × n, K ), K , +, ·) con prodotto esterno
h · A = hA, h ∈ K
2. (V , K , +, ·) = (C, R, +, ·) con prodotto esterno:
a · α = aα con a ∈ R, α ∈ C
Spazi vettoriali - Esempi
Esempi già incontrati:
1. (V , K , +, ·) = (M(m × n, K ), K , +, ·) con prodotto esterno
h · A = hA, h ∈ K
2. (V , K , +, ·) = (C, R, +, ·) con prodotto esterno:
a · α = aα con a ∈ R, α ∈ C
3. (V , K , +, ·) = (K [X ], K , +, ·) con prodotto esterno:
a · P(X ) = aP(X ) con a ∈ K
Spazi vettoriali - Esempio (M(m × n, K ), K , +, ·)
V = M(m × n, K )
Spazi vettoriali - Esempio (M(m × n, K ), K , +, ·)
V = M(m × n, K )
(i) Om,n + A = A + Om,n = A: elemento neutro con Om,n la
matrice nulla (Om,n = (oij ), oij = 0, ∀i, j)
Spazi vettoriali - Esempio (M(m × n, K ), K , +, ·)
V = M(m × n, K )
(i) Om,n + A = A + Om,n = A: elemento neutro con Om,n la
matrice nulla (Om,n = (oij ), oij = 0, ∀i, j)
(ii) A + (−A) = (−A) + A = O inversa con −A = (−aij ): la
matrice opposta
Spazi vettoriali - Esempio (M(m × n, K ), K , +, ·)
V = M(m × n, K )
(i) Om,n + A = A + Om,n = A: elemento neutro con Om,n la
matrice nulla (Om,n = (oij ), oij = 0, ∀i, j)
(ii) A + (−A) = (−A) + A = O inversa con −A = (−aij ): la
matrice opposta
(iii) A + (B + C ) = (A + B) + C : proprietà associativa
Spazi vettoriali - Esempio (M(m × n, K ), K , +, ·)
V = M(m × n, K )
(i) Om,n + A = A + Om,n = A: elemento neutro con Om,n la
matrice nulla (Om,n = (oij ), oij = 0, ∀i, j)
(ii) A + (−A) = (−A) + A = O inversa con −A = (−aij ): la
matrice opposta
(iii) A + (B + C ) = (A + B) + C : proprietà associativa
(iv) A + B = B + A: la proprietà commutativa
Spazi vettoriali - Esempio (M(m × n, K ), K , +, ·)
Se h ∈ K e A = (aij ) ∈ M(m × n, K ), il prodotto esterno di h per
A è la matrice hA = (bij ), definita ponendo bij = haij , per ogni i, j.
Spazi vettoriali - Esempio (M(m × n, K ), K , +, ·)
Se h ∈ K e A = (aij ) ∈ M(m × n, K ), il prodotto esterno di h per
A è la matrice hA = (bij ), definita ponendo bij = haij , per ogni i, j.
∀h, k ∈ K , ∀A, B ∈ M(m × n, K )
(i) h(A + B) = hA + hB
Spazi vettoriali - Esempio (M(m × n, K ), K , +, ·)
Se h ∈ K e A = (aij ) ∈ M(m × n, K ), il prodotto esterno di h per
A è la matrice hA = (bij ), definita ponendo bij = haij , per ogni i, j.
∀h, k ∈ K , ∀A, B ∈ M(m × n, K )
(i) h(A + B) = hA + hB
(ii) (h + k)A = hA + kA
Spazi vettoriali - Esempio (M(m × n, K ), K , +, ·)
Se h ∈ K e A = (aij ) ∈ M(m × n, K ), il prodotto esterno di h per
A è la matrice hA = (bij ), definita ponendo bij = haij , per ogni i, j.
∀h, k ∈ K , ∀A, B ∈ M(m × n, K )
(i) h(A + B) = hA + hB
(ii) (h + k)A = hA + kA
(iii) h(kA) = (hk)A,
Spazi vettoriali - Esempio (M(m × n, K ), K , +, ·)
Se h ∈ K e A = (aij ) ∈ M(m × n, K ), il prodotto esterno di h per
A è la matrice hA = (bij ), definita ponendo bij = haij , per ogni i, j.
∀h, k ∈ K , ∀A, B ∈ M(m × n, K )
(i) h(A + B) = hA + hB
(ii) (h + k)A = hA + kA
(iii) h(kA) = (hk)A,
(iv) 1A = A
Spazi vettoriali - Esempio C
V = C = {(a, b) : a, b ∈ R}
1. Proprietà della somma del campo C: (i) elemento neutro; (ii)
inversa; (iii) associatività; (iv) commutatività;
Spazi vettoriali - Esempio C
V = C = {(a, b) : a, b ∈ R}
1. Proprietà della somma del campo C: (i) elemento neutro; (ii)
inversa; (iii) associatività; (iv) commutatività;
2. ”prodotto esterno”: ∀h, k ∈ K , ∀v , w ∈ V
(i) h · (v + w ) = h · v + h · w ;
Spazi vettoriali - Esempio C
V = C = {(a, b) : a, b ∈ R}
1. Proprietà della somma del campo C: (i) elemento neutro; (ii)
inversa; (iii) associatività; (iv) commutatività;
2. ”prodotto esterno”: ∀h, k ∈ K , ∀v , w ∈ V
(i) h · (v + w ) = h · v + h · w ; (ii) (h + k) · v = h · v + k · v ;
Spazi vettoriali - Esempio C
V = C = {(a, b) : a, b ∈ R}
1. Proprietà della somma del campo C: (i) elemento neutro; (ii)
inversa; (iii) associatività; (iv) commutatività;
2. ”prodotto esterno”: ∀h, k ∈ K , ∀v , w ∈ V
(i) h · (v + w ) = h · v + h · w ; (ii) (h + k) · v = h · v + k · v ;
(iii) (hk) · v = h · (k · v );
Spazi vettoriali - Esempio C
V = C = {(a, b) : a, b ∈ R}
1. Proprietà della somma del campo C: (i) elemento neutro; (ii)
inversa; (iii) associatività; (iv) commutatività;
2. ”prodotto esterno”: ∀h, k ∈ K , ∀v , w ∈ V
(i) h · (v + w ) = h · v + h · w ; (ii) (h + k) · v = h · v + k · v ;
(iii) (hk) · v = h · (k · v ); (iv) 1 · v = v ;
Spazi vettoriali - Esempio (K [X ], K , +, ·)
Considera la somma di polinomi in K [X ]
(aX 4 +bX +c)+(dX 6 +eX 4 +fX ) = dX 6 +(a+e)X 4 +(b+f )X +c
Spazi vettoriali - Esempio (K [X ], K , +, ·)
Considera la somma di polinomi in K [X ]
(aX 4 +bX +c)+(dX 6 +eX 4 +fX ) = dX 6 +(a+e)X 4 +(b+f )X +c
Proprietà della somma nel campo K implicanno
Spazi vettoriali - Esempio (K [X ], K , +, ·)
Considera la somma di polinomi in K [X ]
(aX 4 +bX +c)+(dX 6 +eX 4 +fX ) = dX 6 +(a+e)X 4 +(b+f )X +c
Proprietà della somma nel campo K implicanno
(i) O(X ) + P(X ) = P(X ) + O(X ) = P(X ): elemento neutro
con O(X ) il polinomio O(X ) = 0 ∈ K [X ]
Spazi vettoriali - Esempio (K [X ], K , +, ·)
Considera la somma di polinomi in K [X ]
(aX 4 +bX +c)+(dX 6 +eX 4 +fX ) = dX 6 +(a+e)X 4 +(b+f )X +c
Proprietà della somma nel campo K implicanno
(i) O(X ) + P(X ) = P(X ) + O(X ) = P(X ): elemento neutro
con O(X ) il polinomio O(X ) = 0 ∈ K [X ]
(ii) P(X ) + (−P(X )) = (−P(X )) + P(X ) = O(X ) inversa
Spazi vettoriali - Esempio (K [X ], K , +, ·)
Considera la somma di polinomi in K [X ]
(aX 4 +bX +c)+(dX 6 +eX 4 +fX ) = dX 6 +(a+e)X 4 +(b+f )X +c
Proprietà della somma nel campo K implicanno
(i) O(X ) + P(X ) = P(X ) + O(X ) = P(X ): elemento neutro
con O(X ) il polinomio O(X ) = 0 ∈ K [X ]
(ii) P(X ) + (−P(X )) = (−P(X )) + P(X ) = O(X ) inversa
(iii) P(X ) + (Q(X ) + R(X )) = (P(X ) + Q(X )) + R(X ):
proprietà associativa
Spazi vettoriali - Esempio (K [X ], K , +, ·)
Considera la somma di polinomi in K [X ]
(aX 4 +bX +c)+(dX 6 +eX 4 +fX ) = dX 6 +(a+e)X 4 +(b+f )X +c
Proprietà della somma nel campo K implicanno
(i) O(X ) + P(X ) = P(X ) + O(X ) = P(X ): elemento neutro
con O(X ) il polinomio O(X ) = 0 ∈ K [X ]
(ii) P(X ) + (−P(X )) = (−P(X )) + P(X ) = O(X ) inversa
(iii) P(X ) + (Q(X ) + R(X )) = (P(X ) + Q(X )) + R(X ):
proprietà associativa
(iv) P(X ) + Q(X ) = Q(X ) + P(X ): la proprietà commutativa
Spazi vettoriali - Esempio (K [X ], K , +, ·)
Se h ∈ K e P(X ) ∈ K [X ],
P(X ) = an X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0
Spazi vettoriali - Esempio (K [X ], K , +, ·)
Se h ∈ K e P(X ) ∈ K [X ],
P(X ) = an X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0
il prodotto esterno di h per P(X ) è il polinomio
h · P(X ) = han X n + han−1 X n−1 + . . . + ha1 X + ha0
Spazi vettoriali - Esempio (K [X ], K , +, ·)
Se h ∈ K e P(X ) ∈ K [X ],
P(X ) = an X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0
il prodotto esterno di h per P(X ) è il polinomio
h · P(X ) = han X n + han−1 X n−1 + . . . + ha1 X + ha0
∀h, k ∈ K , ∀P(X ), Q(X ) ∈ K [X ]
(i) h(P(X ) + Q(X )) = hP(X ) + hQ(X )
Spazi vettoriali - Esempio (K [X ], K , +, ·)
Se h ∈ K e P(X ) ∈ K [X ],
P(X ) = an X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0
il prodotto esterno di h per P(X ) è il polinomio
h · P(X ) = han X n + han−1 X n−1 + . . . + ha1 X + ha0
∀h, k ∈ K , ∀P(X ), Q(X ) ∈ K [X ]
(i) h(P(X ) + Q(X )) = hP(X ) + hQ(X )
(ii) (h + k)P(X ) = hP(X ) + kP(X )
Spazi vettoriali - Esempio (K [X ], K , +, ·)
Se h ∈ K e P(X ) ∈ K [X ],
P(X ) = an X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0
il prodotto esterno di h per P(X ) è il polinomio
h · P(X ) = han X n + han−1 X n−1 + . . . + ha1 X + ha0
∀h, k ∈ K , ∀P(X ), Q(X ) ∈ K [X ]
(i) h(P(X ) + Q(X )) = hP(X ) + hQ(X )
(ii) (h + k)P(X ) = hP(X ) + kP(X )
(iii) h(kP(X )) = (hk)P(X ),
Spazi vettoriali - Esempio (K [X ], K , +, ·)
Se h ∈ K e P(X ) ∈ K [X ],
P(X ) = an X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0
il prodotto esterno di h per P(X ) è il polinomio
h · P(X ) = han X n + han−1 X n−1 + . . . + ha1 X + ha0
∀h, k ∈ K , ∀P(X ), Q(X ) ∈ K [X ]
(i) h(P(X ) + Q(X )) = hP(X ) + hQ(X )
(ii) (h + k)P(X ) = hP(X ) + kP(X )
(iii) h(kP(X )) = (hk)P(X ),
(iv) 1P(X ) = P(X )
Spazi vettoriali - Terminologia
I
V → vettori v ∈ V .
Spazi vettoriali - Terminologia
I
V → vettori v ∈ V .
I
elemento neutro per la somma vettore nullo 0 ∈ V
Spazi vettoriali - Terminologia
I
V → vettori v ∈ V .
I
elemento neutro per la somma vettore nullo 0 ∈ V
I
inversa: vettore opposto −v ∈ V , i.e.
v + (−v ) = 0 = (−v ) + v
Spazi vettoriali - Terminologia
I
V → vettori v ∈ V .
I
elemento neutro per la somma vettore nullo 0 ∈ V
I
inversa: vettore opposto −v ∈ V , i.e.
v + (−v ) = 0 = (−v ) + v
I
se K = R → spazio vettoriale reale
Spazi vettoriali - Terminologia
I
V → vettori v ∈ V .
I
elemento neutro per la somma vettore nullo 0 ∈ V
I
inversa: vettore opposto −v ∈ V , i.e.
v + (−v ) = 0 = (−v ) + v
I
se K = R → spazio vettoriale reale
I
se K = C → spazio vettoriale complesso
Spazi vettoriali - Terminologia
I
V → vettori v ∈ V .
I
elemento neutro per la somma vettore nullo 0 ∈ V
I
inversa: vettore opposto −v ∈ V , i.e.
v + (−v ) = 0 = (−v ) + v
I
se K = R → spazio vettoriale reale
I
se K = C → spazio vettoriale complesso
Notazione (V , K , +, ·)
VK o V
Spazi vettoriali - Esempio (K n , K , +, ·)
I
V = K n = {(a1 , a2 , . . . , an ) : ai ∈ K }
Spazi vettoriali - Esempio (K n , K , +, ·)
I
V = K n = {(a1 , a2 , . . . , an ) : ai ∈ K }
I
somma:
(a1 , a2 , . . . , an )+(b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 +b1 , a2 +b2 , . . . , an +bn )
Spazi vettoriali - Esempio (K n , K , +, ·)
I
V = K n = {(a1 , a2 , . . . , an ) : ai ∈ K }
I
somma:
(a1 , a2 , . . . , an )+(b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 +b1 , a2 +b2 , . . . , an +bn )
I
prodotto esterno:
h · (a1 , a2 , . . . , an ) = (ha1 , ha2 , . . . , han )
Spazi vettoriali - Esempio (K n , K , +, ·)
I
V = K n = {(a1 , a2 , . . . , an ) : ai ∈ K }
I
somma:
(a1 , a2 , . . . , an )+(b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 +b1 , a2 +b2 , . . . , an +bn )
I
prodotto esterno:
h · (a1 , a2 , . . . , an ) = (ha1 , ha2 , . . . , han )
Vettore nullo: (0, 0, . . . , 0).
Spazi vettoriali - Esempio (RR , R, +, ·)
Spazi vettoriali - Esempio (RR , R, +, ·)
I
V = RR : tutte le funzioni di R in R
Spazi vettoriali - Esempio (RR , R, +, ·)
I
V = RR : tutte le funzioni di R in R
I
somma:
f + g : R → R : x 7→ f (x) + g (x)
Spazi vettoriali - Esempio (RR , R, +, ·)
I
V = RR : tutte le funzioni di R in R
I
somma:
f + g : R → R : x 7→ f (x) + g (x)
I
prodotto esterno:
hf : R → R : x 7→ hf (x)
Spazi vettoriali - Esempio (RR , R, +, ·)
I
V = RR : tutte le funzioni di R in R
I
somma:
f + g : R → R : x 7→ f (x) + g (x)
I
prodotto esterno:
hf : R → R : x 7→ hf (x)
Vettore nullo: 0 : R → R : x 7→ 0.
Lo spazio vettoriale dei vettori geometrici
Un vettore geometrico è una classe d’equivalenza di un segmento
−→
orientato, rispetto alla relazione d’equipollenza. Notazione: AB
−→ −→
AB = CD se e solo se ABCD è un parallelogramma.
Lo spazio vettoriale dei vettori geometrici
Un vettore geometrico è una classe d’equivalenza di un segmento
−→
orientato, rispetto alla relazione d’equipollenza. Notazione: AB
−→ −→
AB = CD se e solo se ABCD è un parallelogramma.
I
V : tutti vettori geometrici
Lo spazio vettoriale dei vettori geometrici
Un vettore geometrico è una classe d’equivalenza di un segmento
−→
orientato, rispetto alla relazione d’equipollenza. Notazione: AB
−→ −→
AB = CD se e solo se ABCD è un parallelogramma.
I
I
V : tutti vettori geometrici
−→ −→
somma: AB + CD
Lo spazio vettoriale dei vettori geometrici
Un vettore geometrico è una classe d’equivalenza di un segmento
−→
orientato, rispetto alla relazione d’equipollenza. Notazione: AB
−→ −→
AB = CD se e solo se ABCD è un parallelogramma.
I
I
I
V : tutti vettori geometrici
−→ −→
somma: AB + CD
−→
prodotto esterno: λAB
Lo spazio vettoriale dei vettori geometrici
Un vettore geometrico è una classe d’equivalenza di un segmento
−→
orientato, rispetto alla relazione d’equipollenza. Notazione: AB
−→ −→
AB = CD se e solo se ABCD è un parallelogramma.
V : tutti vettori geometrici
−→ −→
I somma: AB + CD
−→
I prodotto esterno: λAB
−→
Vettore nullo: AA
I
Sottospazi
Sia VK uno spazio vettoriale e ∅ =
6 W ⊂ V , W , allora W è un
sottospazio di VK se e solo se
∀v , w ∈ W , ∀h, k ∈ K : hv + kw ∈ W
Sottospazi
Sia VK uno spazio vettoriale e ∅ =
6 W ⊂ V , W , allora W è un
sottospazio di VK se e solo se
∀v , w ∈ W , ∀h, k ∈ K : hv + kw ∈ W
Esempi
Sottospazi
Sia VK uno spazio vettoriale e ∅ =
6 W ⊂ V , W , allora W è un
sottospazio di VK se e solo se
∀v , w ∈ W , ∀h, k ∈ K : hv + kw ∈ W
Esempi
I
R = {(a, 0) : a ∈ R} è un sottospazio di C
Sottospazi
Sia VK uno spazio vettoriale e ∅ =
6 W ⊂ V , W , allora W è un
sottospazio di VK se e solo se
∀v , w ∈ W , ∀h, k ∈ K : hv + kw ∈ W
Esempi
I
R = {(a, 0) : a ∈ R} è un sottospazio di C
I
R[X ] è un sottospazio di RR : P(X ) : R → R : a 7→ P(a)
Sottospazi
Sia VK uno spazio vettoriale e ∅ =
6 W ⊂ V , W , allora W è un
sottospazio di VK se e solo se
∀v , w ∈ W , ∀h, k ∈ K : hv + kw ∈ W
Esempi
I
R = {(a, 0) : a ∈ R} è un sottospazio di C
I
R[X ] è un sottospazio di RR : P(X ) : R → R : a 7→ P(a)
I
{0} è un sottospazio di VK (sottospazio nullo)
Sottospazi
Sia VK uno spazio vettoriale e ∅ =
6 W ⊂ V , W , allora W è un
sottospazio di VK se e solo se
∀v , w ∈ W , ∀h, k ∈ K : hv + kw ∈ W
Esempi
I
R = {(a, 0) : a ∈ R} è un sottospazio di C
I
R[X ] è un sottospazio di RR : P(X ) : R → R : a 7→ P(a)
I
{0} è un sottospazio di VK (sottospazio nullo)
I
VK è un sottospazio di VK
Sottospazi
Sia VK uno spazio vettoriale e ∅ =
6 W ⊂ V , W , allora W è un
sottospazio di VK se e solo se
∀v , w ∈ W , ∀h, k ∈ K : hv + kw ∈ W
Esempi
I
R = {(a, 0) : a ∈ R} è un sottospazio di C
I
R[X ] è un sottospazio di RR : P(X ) : R → R : a 7→ P(a)
I
{0} è un sottospazio di VK (sottospazio nullo)
I
VK è un sottospazio di VK
I
Insieme dei matrici diagonale in M(n × n, K )
Sottospazi
Sia VK uno spazio vettoriale e ∅ =
6 W ⊂ V , W , allora W è un
sottospazio di VK se e solo se
∀v , w ∈ W , ∀h, k ∈ K : hv + kw ∈ W
Esempi
I
R = {(a, 0) : a ∈ R} è un sottospazio di C
I
R[X ] è un sottospazio di RR : P(X ) : R → R : a 7→ P(a)
I
{0} è un sottospazio di VK (sottospazio nullo)
I
VK è un sottospazio di VK
I
Insieme dei matrici diagonale in M(n × n, K )
I
Insieme dei matrici triangolari superiore in M(n × n, K )
Sottospazi
Sia VK uno spazio vettoriale e ∅ =
6 W ⊂ V , W , allora W è un
sottospazio di VK se e solo se
∀v , w ∈ W , ∀h, k ∈ K : hv + kw ∈ W
Esempi
I
R = {(a, 0) : a ∈ R} è un sottospazio di C
I
R[X ] è un sottospazio di RR : P(X ) : R → R : a 7→ P(a)
I
{0} è un sottospazio di VK (sottospazio nullo)
I
VK è un sottospazio di VK
I
Insieme dei matrici diagonale in M(n × n, K )
I
Insieme dei matrici triangolari superiore in M(n × n, K )
I
Insieme dei polinomi di grado ≤ d (d ∈ N) in K [X ]
Sottospazi
Sia VK uno spazio vettoriale e ∅ =
6 W ⊂ V , allora W è un
sottospazio di VK se e solo se
∀v , w ∈ W , ∀h, k ∈ K : hv + kw ∈ W
Esercizi
Sottospazi
Sia VK uno spazio vettoriale e ∅ =
6 W ⊂ V , allora W è un
sottospazio di VK se e solo se
∀v , w ∈ W , ∀h, k ∈ K : hv + kw ∈ W
Esercizi
1. Sia v = (x, y , z) ∈ R3 . Stabilire se {hv : h ∈ R} è un
sottospazio di R3 .
Sottospazi
Sia VK uno spazio vettoriale e ∅ =
6 W ⊂ V , allora W è un
sottospazio di VK se e solo se
∀v , w ∈ W , ∀h, k ∈ K : hv + kw ∈ W
Esercizi
1. Sia v = (x, y , z) ∈ R3 . Stabilire se {hv : h ∈ R} è un
sottospazio di R3 .
2. Stabilire se W1 = {(r , 0, 0) : r ∈ R} è un sottospazio di R3 .
Sottospazi
Sia VK uno spazio vettoriale e ∅ =
6 W ⊂ V , allora W è un
sottospazio di VK se e solo se
∀v , w ∈ W , ∀h, k ∈ K : hv + kw ∈ W
Esercizi
1. Sia v = (x, y , z) ∈ R3 . Stabilire se {hv : h ∈ R} è un
sottospazio di R3 .
2. Stabilire se W1 = {(r , 0, 0) : r ∈ R} è un sottospazio di R3 .
3. Stabilire se W2 = {(x, y , z) ∈ R3 : x = 0} è un sottospazio
di R3 .
Sottospazi
Sia VK uno spazio vettoriale e ∅ =
6 W ⊂ V , allora W è un
sottospazio di VK se e solo se
∀v , w ∈ W , ∀h, k ∈ K : hv + kw ∈ W
Esercizi
1. Sia v = (x, y , z) ∈ R3 . Stabilire se {hv : h ∈ R} è un
sottospazio di R3 .
2. Stabilire se W1 = {(r , 0, 0) : r ∈ R} è un sottospazio di R3 .
3. Stabilire se W2 = {(x, y , z) ∈ R3 : x = 0} è un sottospazio
di R3 .
4. Stabilire se W3 = {(x, y , z) ∈ R3 : xy = 0} è un sottospazio
di R3 .
Sottospazi
Proposizione
Siano W1 e W2 due sottospazi di VK . Allora W1 ∩ W2 è un
sottospazio di VK .
Dimostrazione.
Sottospazi
Domanda: Siano W1 e W2 due sottospazi di VK .
W1 ∪ W2 è un sottospazio di VK ?
Sottospazi
Domanda: Siano W1 e W2 due sottospazi di VK .
W1 ∪ W2 è un sottospazio di VK ?
Esempio W1 = {(r , 0, 0) : r ∈ R} e
W2 = {(x, y , z) ∈ R3 : x = 0} sono due sottospazi di R3 .
W1 ∪ W2 è un sottospazio di R3 ?