Tipologie di esercizi per l`esame di algebra e geometria per il corso

Tipologie di esercizi per l’esame di algebra e geometria
per il corso di laurea in ingegneria edile architettura, AA 2013/14
Di regola in una prova d’esame ci saranno 4 esercizi di complessità simile
a quella degli esercizi in questo foglio e saranno sui seguenti argomenti:
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Insiemi di generatori, lineare indipendenza, basi, dimensione;
algebra dei sottospazi vettoriali;
sistemi lineari, matrici e trasformazioni lineari;
autovalori ed autovettori;
spazi vettoriali euclidei;
operatori lineari autoaggiunti, forme bilineari simmetriche;
Esercizio 1 - Insiemi di generatori, lineare indipendenza, basi,
dimensione. Consideriamo nello spazio vettoriale R3 i seguenti vettori:
v1 = (0, 1, 2), v2 = (1, 1, 1), v3 = (−2, −1, 0), v4 = (3, 3, 2). Siano poi
F1 = {v1 , v2 }, F2 = {v1 , v2 , v3 }, F3 = {v1 , v2 , v3 , v4 } degli insiemi di vettori.
a) Per ciascuno dei tre insiemi stabilire se è linearmente indipendente;
b) per ciascuno dei tre insiemi stabilire se è un sistema di generatori di R3 ;
c) per ciascun insieme linearmente indipendente, determinare una base di
R3 che lo contenga;
d) per ciascun sistema di generatori determinare una base di R3 in esso
contenuta.
Esercizio 2 - Algebra dei sottospazi vettoriali. Nello spazio vettoriale
R4 si considerino i sottospazi U = L(v1 , v2 , v3 ) e W = Sol(A; 0), dove v1 =
(1, −1, −1, −2), v2 = (2, 1, 2, 2), v3 = (1, 2, 3, 4) e A = (1, 0, 0, −1).
a) Determinare una base e la dimensione di U;
b) determinare una base e la dimensione di W;
c) determinare una rappresentazione cartesiana di U;
d) determinare la dimensione di U ∩ W ;
e) determinare la dimensione di U + W .
Esercizio 3 - Sistemi lineari, matrici e
assegnato il sistema lineare:

y

x + 2y + 3z

x − y + 4z
trasformazioni lineari. E’
= 2
= 0
= 1
a) Trovare la soluzione del sistema in R3 mediante il metodo di Gauss.
b) Trovare la soluzione del sistema in R3 mediante il metodo di Cramer.
c) Sia A la matrice dei coefficienti associata al sistema; dopo aver determinato quali fra le seguenti matrici rappresenta A−1 , calcolare la soluzione
del sistema sfruttando l’inversa della matrice.


0 4 −3
 1 0
0 
3 −1 0


−11 4 −3
 1
0
0 
3
−1 1


−11 4 −3
 1
0
0 
0
−1 0
Esercizio 4 - Autovalori ed autovettori. Sia T l’endomorfismo di R2
che, secondo la base canonica B = (e1 , e2 ), è rappresentato da:
T (e1 ) = (2 + c)e1 + 3e2
T (e2 ) = −3e1 + (2 − c)e2
a) Determinare gli autovalori di T al variare del parametro c ∈ R;
b) determinare i valori di c per i quali T è diagonalizzabile;
c) per ciascuno di questi valori di c, scrivere le matrici diagonali che rappresentano T ;
d) nel caso c = 5 scrivere una base spettrale per T e la matrice diagonale
che rappresenta T rispetto a tale base.
Esercizio 5 - Spazi vettoriali euclidei. Nello spazio vettoriale euclideo
standard R4 sono assegnati i vettori a1 = (1, 1, 0, 0), a2 = (1, 0, 1, 0) e b =
(1, 0, 0, 1). Sia U il sottospazio generato da a1 ed a2 .
a) Determinare una base ortogonale di U .
b) determinare proiezione ortogonale di b su U ;
c) verificare il risultato trovato.
Esercizio 6 - Operatori lineari autoaggiunti, forme bilineari simmetriche. Nello spazio vettoriale euclideo R3 è assegnato il piano π : x−y = 0.
Sia P la proiezione ortogonale sul piano π.
a) Determinare i vettori trasformati dei vettori e1 , e2 ed e3 della base
canonica;
b) verificare che l’operatore P è autoaggiunto;
c) determina gli autovalori di P ;
d) determinare una base ordinata spettrale ortonormale di P e scrivere la
matrice relativa;